概率统计大题综合（解析版）
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概率统计大题综合冲刺秘籍1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数x1+x2+⋯⋯+xn（3）平均数：x=，反映样本的平均水平n2222(x1−x)+(x2−x)+⋯⋯(xn−x)（4）方差：s=n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；22s越大，样本波动越大，越不稳定；s越小，样本波动越小，越稳定；2（5）标准差：σ=s，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X的期望、方差，求aX+ba,b∈R的期望与方差，利用期望和方差的性质2EaX+b=aEX+b，DaX+b=aDX进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B(n,p),则Eξ=np，Dξ=np(1-p).Pξ=k≥Pξ=k+14.求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式Pξ=k≥Pξ=k-1求解结果5.线性回归分析解题方法：1,nn2(1)计算x,y,xi,xiyi的值；i=1i=1(2)计算回归系数a,b；(3)写出回归直线方程y=bx+a.nnxi−xyi−yxiyi−nxyi=1i=1线性回归直线方程为：y=bx+a，b==，a=y−bxnn222xi−xxi−nxi=1i=1其中x,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)nnxi−xyi−yxiyi−nxyi=1i=1r==nnnnx−x2y−y22222iixi−nxyi−nyi=1i=1i=1i=1r>0，正相关；r<0，负相关r≤1,且r越接近于1，线性相关性越强；r越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性2nad-bc2独立性检验计算公式：K=a+bc+da+cb+d冲刺训练一、解答题1(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队31员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.(注：比赛结果没有平局)42(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.7【答案】(1)407(2)112,【分析】(1)设事件Ai=“种子选手M第i局上场”i=1,2,3，事件B=“甲队最终2:1获胜且种子选手M上场”，求出PAi、PBAii=1,2,3的值，利用全概率公式可求得PB的值；(2)设事件A0=“种子选手M未上场”，事件C=“甲队2:1获得胜利”，计算出PC、PA0C的值，利用贝叶斯公式可求得PA0C的值.【详解】(1)解：设事件Ai=“种子选手M第i局上场”i=1,2,3，事件B=“甲队最终2:1获胜且种子选手M上场”.由全概率公式知，PB=PBA1⋅PA1+PBA2⋅PA2+PBA3⋅PA31因为每名队员上场顺序随机，故PAi=i=1,2,3，531111111311111PBA1=××+××=，PBA2=××+××=，PBA34224224242242411133=C2⋅××=.224831111317所以PB=∑PBAiPAi=×+×+×=，i=1454585407所以甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率为.40(2)解：设事件A0=“种子选手M未上场”，事件C=“甲队2:1获得胜利”，A3223111141PA0=3=，PA0=1-=，PCA0=C2×××=，A5555222471211PC=PB+PCA0⋅PA0=+×=，404540PA0C因为PA0C=.PC77PA0C407由(1)知PA0C=PB=，所以PA0C===.40PC1111407所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M上场的概率为.112(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已4知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且p1+p2=，如果甲、乙两位同学3想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？3,5【答案】(1)分布列见解析，E(ξ)=4(2)11轮【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，312C77C5C721P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，C344C3441212123C7C57C51P(ξ=2)==，P(ξ=3)==C322C3221212所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ012372171P44442222721715所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=．444422224(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为1222212222Q=C2p11-p1C2p2+C2p1C2p21-p2+C2p1C2p2282=2p1p2p1+p2-3p1p2=p1p2-3p1p2，341由0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2=，得≤p1≤1，3344222414则p1p2=p13-p1=3p1-p1=-p1-3+9，因此p1p2∈3,9，14824216416令t=p1p2∈3,9，Q=3t-3t=-3t-9+27，于是当t=9时，Qmax=27．16要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．271616设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼Bn,，E(X)=n，272716由E(X)≥6，即n≥6，解得n≥10.125．27*而n∈N，则nmin=11，所以理论上至少要进行11轮答题．3(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计304,(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：2P(K≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.07227063.8415.0246.6357.87910.82822n(ad-bc)(参考公式：K=，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6【分析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；22n(ad-bc)2(2)由公式K=计算K，然后根据临界值表进行判断；(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．【详解】(1)列联表补充如下：患病末患病总计服用药物104555末服用药物203050总计307510522105×(10×30-20×45)336(2)K==≈6.109>5.024．30×75×55×50552∵PK≥5.024=0.025，∴认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则43122C615C6C480C6C490P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，C4210C4210C4210101010134C6C424C41P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，C4210C42101010ξ的分布列如下：ξ01234158090241P2102102102102105,158090241则E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=1.6．2102102102102104(2023·江苏常州·校考一模)设X,Y是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为**ai,bj，其中i,j∈N，令pij=PX=ai,Y=bj，称piji,j∈N是二维离散型随机变量X,Y的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X,Yb1b2b3⋅⋅⋅a1p11p12p13⋅⋅⋅a2p21p22p23⋅⋅⋅a3p31p32p33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅*现有nn∈N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．(1)当n=2时，求X,Y的联合分布列，并写成分布表的形式；nn(2)设pk=PX=k,Y=m,k∈N且k≤n，求kpk的值．m=0k=0nkkn-k(参考公式：若X~Bn,p，则kCnp1-p=np)k=0【答案】(1)答案见解析n(2)3【分析】(1)X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，分别计算概率即可；nnk1k2n-kk1k2n-k(2)计算得pk=Cn33，则kpk=kCn33，最后利用二项分布的期望公式即可k=0k=0得到答案.【详解】(1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，11则PX=0,Y=0==，3291112PX=0,Y=1=C2××=，339111112PX=0,Y=2==，PX=1,Y=0=C2××=，329339111211PX=1,Y=1=C2××=，PX=2,Y=0==，339329PX=1,Y=2=PX=2,Y=1=PX=2,Y=2=0，故X,Y的联合分布列为X,Y01206,12199922109912009(2)当k+m>n时，PX=k,Y=m=0，nn-kn-kkm1故pk=PX=k,Y=m=PX=k,Y=m=PCnCn-k⋅nm=0m=0m=03kn-kkCnmCnn-kk1k2n-k=nCn-k=n2=Cn333m=03nnnk1k2n-kn所以kpk=kCn33，由二项分布的期望公式可得kpk=3．k=0k=0k=05(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人5数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者61的.3A型病B型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为mm>0元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p0<p<1，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.2若p=，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.32nad-bc2k=，a+bc+da+cb+d2pk≥k00.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；34000(2)m元97,【分析】(1)设男性患者有x人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思xx想列不等式求x范围，再由∈z，∈z确定x最小值；63(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m，6m，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x人，则女性患者有2x人，2×2列联表如下：a型病b型病合计5xx男x662x4x女2x333x3x合计3x22假设h0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，3x5x⋅4x-x⋅2x2263632x根据列联表中的数据k==，3x⋅3x⋅2x⋅x322要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，2x则>7.879，解得x>11.8185，3xx因为∈Z，∈Z，所以x的最小整数值为12，63因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m，6m.2233232则Pξ=3m=C3p1-p+p=-2p+3p，Pξ=6m=1+2p-3p，323232所以Eξ=3m⋅-2p+3p+6m⋅1+2p-3p=3m2p-3p+2，2因为p=，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000Eξ，3232234000所以1000×3m2×3-3×3+2=9m元.6(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进8,21球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次32数X的分布列和数学期望.2nad-bc2附：χ=a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；11(2)分布列见解析，数学期望为.62【分析】(1)完善列联表，计算χ的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出X的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H0：该校学生喜欢足球与性别无关，222200(60×70-30×40)χ的观测值为χ=≈18.182>10.828=x0.001，100×100×90×110根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X的可能值为0,1,2,3，221112212215P(X=0)=1-3×1-2=18，P(X=1)=C2×31-3×1-2+1-3×2=18，1221221842212P(X=2)=C2×31-3×2+3×1-2=18=9，P(X=3)=3×2=9，所以X的分布列为：X01231542P181899154211数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.18189967(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP主要有两类：A类是以自拍人像、9,美颜美妆为核心功能的APP；B类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述A，B两类APP的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A类APP的占60%，使用过B类APP的占50%，设个人对美颜拍摄类APP类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X为5人中使用过美颜拍摄类APP的人数，设X的数学期望为EX，求PX=EX；(3)在单独使用过A，B两类APP的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A类APP，乙组对B类APP分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380si记甲、乙两组评分的平均数分别为x1，x2，标准差分别为s1，s2，试判断哪组评价更合理.(设Vi=(i=xi1,2)，Vi越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.【答案】(1)0.8256(2)625(3)甲组对A类APP的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过A类APP”和“使用过B类APP”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.4(2)题意知X∼B5,，由二项分布的数学期望公式可求出EX，再由二项分布的概率公式即可求5出PX=EX.(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件A表示“使用过A类APP”，事件B表示“使用过B类APP”，由题意知PA=0.6，PB=0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP的概率:P=1-PAB=1-0.4×0.5=0.8.4(2)由题意知X∼B5,，54则X的数学期望EX=5×=4.54441256PX=EX=PX=4=C55×5=625.94+86+92+96+87+93+90+82(3)x1==90，885+83+85+91+75+90+83+80x2==84，810,122222222s1=4+-4+2+6+-3+3+0+-8=19.25≈4.39，8122222222s2=1+-1+1+7+-9+6+-1+-4=23.25≈4.82，8s14.39s24.82V1==<v2==，x190x284故甲组对a类app的评价更合理.8(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时1发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，4现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设x为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求x的分布列与数学期望e(x)；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？1【答案】(1)分布列见解析，2721347(2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．409620481【分析】(1)根据题意得到随机变量x~b2,，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，4列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率p1和p2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率11都是，可得方案一中，随机变量x~b2,，443291133121则px=0=4=16，px=1=c2⋅4⋅4=8，px=2=4=16，所以随机变量x的分布列为：x012931p1681611所以期望为ex=2×=．42(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为p1，313721则其概率为p1=1-1-px=2=1-1-16=4096．11,对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为p2，36135123436+6×35+15×3434712则p2=1-4-c6⋅4⋅4-c6⋅4⋅4=1-4096=2048，可得p2<p1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在5“健身达人”中有是“年轻人”.6(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果12,相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.22n(ad-bc)附：χ=.a+bc+da+cb+dα0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析2【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望eη，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，55根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为60×=50，非年轻人为10人；66健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为h0：“健身达人”与年龄无关联，22100×(50×10-30×10)25根据列联表中的数据，可得χ==≈1.042<3.841，80×20×60×4024依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为h0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，13,全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.1c22由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为p==，c155033201322181所以pη=0=c355+c355=125，2312236pη=100=c355=125，330238pη=300=c355=125.所以η的分布列为：η010030081368p12512512581368数学期望为eη=0×+100×+300×=48(元)，125125125按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20，20,40，40,60，60,80，80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.指标值合计抗体小于60不小于60有抗体14,没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m名志愿者产生抗体.(i)用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9，求m的值；(ⅱ)以(i)中的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量x，求px=k最大时的k的值.2nad-bc2参考公式：χ=(其中n=a+b+c+d为样本容量).a+bc+da+cb+dα0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.2【分析】(1)完善列联表，计算χ的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10(人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：指标值合计抗体小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设h0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，22200×(50×20-20×110)根据列联表中数据，得χ=≈4.945>3.841，160×40×70×130根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.15,(2)(i)令事件A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，160mm则PA=200=0.8,PB=40,PC=1-PAPB=1-0.2×1-40=0.9，解得：m=20，所以m=20.kk110-k(ⅱ)依题意，随机变量X∼B(110,0.9)，P(X=k)=C110×0.9×0.1(k∈N,k≤110)，∗显然P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当P(X=k)最大时，k∈N,k<110，P(X=k)≥P(X=k-1)kk110-kk-1k-1111-kC110×0.9×0.1≥C110×0.9×0.1于是，即kk110-kk+1k+1109-k，P(X=k)≥P(X=k+1)C110×0.9×0.1≥C110×0.9×0.1110!×0.9≥110!×0.1k!(110-k)!(k-1)!(111-k)!9(111-k)≥k989999则，整理得，解得≤k≤，因此k110!×0.1≥110!×0.9k+1≥9(110-k)1010k!(110-k)!(k+1)!(109-k)!=99，所以P(X=k)最大时，k的值为99.11(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名1女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参21加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，2选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．8【答案】(1)9130(2)EX=3【分析】(1)根据条件概率求解即可；(2)先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】(1)设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.112C4⋅C28C43则PAB==，PA=1-=.C215C2566PAB8所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：PBA==；PA911(2)因为女生参加活动得分为×10+×20=15；2216,11男生参加活动得分为×20+×30=25.22设恰有Y名女生参加活动，则有2-Y名男生参加活动，2C42所以PY=0==，C25611C4⋅C28PY=1==，C21562C21PY=2==，C2156812所以EY=1×+2×=，15153又X=15Y+252-Y=50-10Y，2130所以EX=50-10EY=50-10×=.3312(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，3小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且4另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．189【答案】(1)256(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】(1)小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；(2)由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；(3)分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则3331434189PA=C444+C44=256．(2)X的可能取值为2，3，422C2C6153PX=2===，C47014817,13C2C6404PX=3===，C4707804C2C6153PX=4===，C470148X的分布列为；X234343P14714343数学期望EX=2×+3×+4×=3．14714189(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为PA=；2564311记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则PB=+=；71414因为PB>PA，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．13(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.25(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；36(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.2附：若随机变量Z∼Nμ,σ，则Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827；Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545；Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.70【答案】(1)81(2)①能，理由见解析②假【分析】(1)设Ai为第i次通过第一关，Bi为第i次通过第二关，计算P=P(A1B1)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1B2)即可；2(2)①由X~N(μ,σ)，且μ=171，计算σ，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；②假设乙所说为真，由μ=201计算σ，求出PX≥μ+3σ≈0.0013<0.005，利用小概率事件即可得18,出结论．【详解】(1)设Ai：第i次通过第一关，Bi：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为P，由题意知P=PA1B1+PA1A2B1+PA1B1B2+PA1A2B1B2=PA1PB1+PA1PA2PB1+PA1PB1PB2+PA1PA2PB1PB225225255225570=3×6+1-3×3×6+3×1-6×6+1-3×3×1-6×6=81.257(2)设此次闯关活动的分数记为X∼Nμ,σ.①由题意可知μ=171，因为=0.0228，且P(X>25001-Pμ-2σ≤X≤μ+2σ1-0.9545μ+2σ)==≈0.0228，22351-171400所以μ+2σ=351，则σ==90；而=0.16，225001-Pμ-σ≤X≤μ+σ1-0.6827且P(X>μ+σ)==≈0.1587<0.16，22所以前400名参赛者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；②假设乙所说为真，则μ=201，1-Pμ-2σ≤X≤μ+2σ1-0.9545PX≥μ+2σ==≈0.0228，2257351-201而=0.0228，所以σ==75，从而μ+3σ=201+3×75=426<430，250021-Pμ-3σ≤X≤μ+3σ1-0.9973而PX≥μ+3σ==≈0.0013<0.005，22所以X≥μ+3σ为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.14(2023·广东韶关·统考模拟预测)研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x(°C)47891412新增感就诊人数y(位)y1y2y3y4y5y66622参考数据：yi=3463，yi-y=289ii(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中5男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；616(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r=，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程1719,y=bx+a，据此估计昼夜温差为15°C时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考数据：r=nnxi-xyi-yxi-xyi-yii，b=nnn222xi-x⋅yi-yxi-xi=1i=1i=18【答案】(1)X的分布列见解析；EX=9(2)15【分析】(1)首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率计算出y1，从而得到随机变量X的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和数学期望；(2)首先根据样本相关系数r和已知条件计算出x,y，进一步计算可得a，利用最小二乘法计算出y=bx+a请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程b，从而得到线性回归方程，将x=15代入可得答案.2C454×31【详解】(1)因为1-=，所以=，C26yy-16y111所以y1y1-1=4×3×6=9×8，解得y1=9，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，其中N=9,M=4,n=2，2112C55C5×C45C41PX=0==，PX=1==，PX=2==，C218C29C26999X的分布列为X012551P18965518X数学期望为EX=0×+1×+2×=；18969662(2)因为xi=54，所以x=9，所以xi-x=64，ii66xi-xyi-yxi-xyi-yii16由于r===，668×171722xi-x⋅yi-yi=1i=166xi-xyi-yi8×16所以xi-xyi-y=8×16，所以b=6==2，i264xi-xi=166666222222因为yi=3463，yi-y=yi-2yyi+6y=yi-6y=289，iiiii解得y=23，所以a=y-bx=23-2×9=5，所以y=2x+5，20,当x=15时，y=30+5=35，据此估计昼夜温差为15°C时，该校新增感冒就诊的学生人数为35.15(2023·重庆·统考模拟预测)某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或3不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.4(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取2一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值α=0.05的χ独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能311不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；555方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可131能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.2105针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.21,参考数据：独立性检验临界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282nad-bc2其中χ=，n=a+b+c+d．a+bc+da+cb+d【答案】(1)列联表见解析，能(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析2【分析】(1)由题意填写列联表，计算χ，对照附表得出结论．(2)计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论．【详解】(1)由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30%+19%+11%)×200=120人，3其中年轻人有120×=90人，非年轻人30人，4由图1知，样本中的年轻人有(45%+35%)×200=160人，不常使用直播销售的用户有200-120=80人，其中年轻人有160-90=70人，非年轻人10人，补充完整的2×2列联表如下，年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户9030120不常使用直播销售用户701080合计1604020022200×(90×10-70×30)计算χ==4.6875>3.841，120×80×160×402依据小概率值α=0.05的χ独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．(2)方案一：设获利X万元，则X的所有可能取值为300,-150,0，311E(X)=300×+(-150)×+0×=150，555232121D(X)=(300-150)×+(-150-150)×+(0-150)×=36000，555方案二：设获利Y万元，则Y的所有可能取值为500,-300,0，131E(Y)=500×+(-300)×+0×=160，2105212321D(Y)=(500-160)×+(-300-160)×+(0-160)×=126400，2105所以E(X)<e(y),d(x)<d(y)，从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，22,所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．16(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：生活习惯b疾病a具有不具有患病2515未患病2040(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b有关？(2)从该市市民中任选一人，m表示事件“选到的人不具有生活习惯b”，n表示事件“选到的人患有疾病a”，试利用该调查数据，给出pnm的估计值；(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯b，且末患有疾病a的人数为x，试利用该调查数据，给出x的数学期望的估计值．22n(ad-bc)附：χ=，其中n=a+b+c+d．a+bc+da+cb+dα0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【答案】(1)有关4(2)93(3)分布列见解析，52【分析】(1)根据题设可得列联表，故可求χ的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b有关.(2)根据条件概率的计算公式结合表中数据可求pn∣m的估计值.(3)利用二项分布的期望公式可求x的数学期望的估计值.【详解】(1)由已知得列联表如下：生活习惯b疾病a合计具有不具有患病251540未患病204060合计4555100零假设为h0：该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b无关．根据列联表中的数据，经计算得到23,22100×(40×25-15×20)χ=≈8.249>6.635=x0.01．45×55×40×60依据α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．459201(2)由(1)数据可得：PM==，PNM==，1002010051PNM54所以PN∣M===．PM99201(3)由题意知可用B3,估计X的分布，513所以EX的估计值为np=3×=．5517(2023·江苏扬州·统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量(盒)100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量(个)12m2032m(1)求实数m的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数(盒)；22(2)假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布Nμ,σ，其中μ为(1)中的平均数，σ=12100．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在266,596(单位：盒)内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？(群的个数按四舍五入取整数)2附：若X服从正态分布X~Nμ,σ，则P(μ-σ<x<μ+σ)≈0.683,p(μ-2σ<x<μ+2σ)≈0.954,p(μ-3σ<x<μ+3σ)≈0.997．【答案】(1)m=18，376(2)186800元【分析】(1)根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；(2)根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励金.【详解】(1)由题意得：12+2m+20+32=100，解得m=18．1故平均数为×(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376.100(2)由题意，μ=376,σ=110，且266=376-110=μ-σ,596=376+220=μ+2σ，1故p(x>596)=P(X>μ+2σ)=×(1-0.954)=0.023，224,所以“优质群”约有1000×0.023=23个，11P(266≤X<596)=P(μ-σ<x<μ+2σ)=×0.683+×0.954=0.8185，22所以“一级群”约有1000×0.8185=818.5≈819个；所以需要资金为23×1000+819×200=186800，故至少需要准备186800元．18(2023·浙江·校联考模拟预测)某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况(篮球，篮球)(篮球，乒乓球)(乒乓球，篮球)(乒乓球，乒乓球)(上午，下午)甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；(2)记x为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求x的分布列和数学期望e(x)；(3)假设a表示事件“室外温度低于10度”，b表示事件“某学生去打乒乓球”，p(a)>0，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：P(A|B)>P(A|B).4【答案】(1)0.4；7(2)分布列见解析，1.82(3)证明见解析【分析】(1)根据古典概型以及条件概率的计算，即可得答案；(2)确定X的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望；(3)根据题意可得P(B|A)>P(B|A)，利用条件概率的计算公式，以及对立事件的概率公式进行推理，即可证明结论.【详解】(1)设事件C为“早上甲打篮球”，事件D为“下午甲打篮球”，20nCD204则P(CD)==0.4，P(D|C)===.50nC357(2)由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为0.4，乙上下午都选择篮球的概率为0.2，甲上下午都选择乒乓球的概率为0.2，乙上下午都选择乒乓球的概率为0.5，记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则X的所有可能取值为1、2，25,所以P(X=1)=0.4×0.2+0.2×0.5=0.18，P(X=2)=1-P(X=1)=0.82，所以X的分布列为：X12P0.180.82所以E(X)=1×0.18+2×0.82=1.82.P(AB)P(BA)P(B)-P(AB)(3)证明：由题意知P(B|A)>P(B|A)，即>=，P(A)P(A)1-P(A)即P(AB)>P(B)⋅P(A)，即P(AB)-P(B)P(AB)>P(B)⋅P(A)-P(B)P(AB)，P(AB)P(AB)即P(AB)⋅P(B)>P(B)⋅P(AB)，即>，P(B)P(B)即P(A|B)>P(A|B).19(2023·广东深圳·统考二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第k次投进的概率为p(0<p<1)，当第k次投进时，p第k+1次也投进的概率保持p不变；当第k次没能投进时，第k+1次能投进的概率降为.2(1)若选手甲第1次投进的概率为p(0<p<1)，求选手甲至少投进一次的概率；2(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分x的分布列与3数学期望.237p7pp【答案】(1)-+4885(2)分布列见解析；3【分析】(1)记选手甲第k次投进为事件akk=1,2,3，未投进为事件ak，则所求概率为1-pa1a2a3；(2)根据x的取值为0,1,2,3分情况讨论即可.【详解】(1)解：记选手甲第k次投进为事件akk=1,2,3，未投进为事件ak，选手甲至少投进一次这一事件的概率为1-pa1a2a3.pp7p7p2p3因为pa1a2a3=1-p1-21-4=1-4+8-8，7p7p2p3所求概率为1-pa1a2a3=-+.488(2)得分x等于乙投进的次数，则x的取值为0,1,2,3.记选手乙第k次投进为事件bkk=1,2,3，26,211由题意可知p(b1)=,p(b2)=,p(b3)=,3361255px=0=pb1b2b3=××=,33627投进1次对应事件为b1b2b3+b1b2b3+b1b2b3，2121121217px=1=××+××+××=，33333333627投进2次对应事件为b1b2b3+b1b2b3+b1b2b3，2212111117px=2=××+××+××=，333333333272228投进3次对应事件为b1b2b3,px=3=××=.33327所以x的分布列为x01235778px2727272757785选手乙得分的数学期望ex=0×+1×+2×+3×=.27272727320(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位：万)，得到如下表格：a区b区c区d区外来务工人数x>0，P2-P12P3-P2P4-P3P5-P4P6-P52所以=，同理可得====，P1-P03P2-P1P3-P2P4-P3P5-P43所以Pi+1-Pii=0,1,2,⋯,5为等比数列.【点睛】关键点点睛：第(3)问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列{Pi}中相邻三项之间的关系是解题关键.29,22(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业111生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6:2347:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).227【答案】(1)(i)；(ii)6322(2)0.75.【分析】(1)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”i=1,2,3.根据全概率公式即可求解PA，根据条件概率公式即可求解PB2A；21(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为33n3≤n≤10元的概率为Pn，叫价出现n元的情况只有下列两种：①叫价为n-1元，且骰子点数大212于2，其概率为Pn-1；②叫价为n-2元，且骰子点数小于3，其概率为Pn-2.于是得到Pn=Pn-13331+Pn-2n≥3，构造等比数列Pn-Pn-1，结合累加法可求解.3【详解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”i=1,2,3.678由题意可知PB1=,PB2=,PB3=，212121111PAB1=,PAB2=,PAB3=，234所以，由全概率公式可得：PA=PB1⋅PAB1+PB2⋅PAB2+PB3⋅PAB361718122=×+×+×=.212213214637×1PB2APB2⋅PAB22137(ii)由条件概率可得PB2A====.PAPA22226321(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.3330,设叫价为n3≤n≤10元的概率为Pn，叫价出现n元的情况只有下列两种：2①叫价为n-1元，且骰子点数大于2，其概率为Pn-1；31②叫价为n-2元，且骰子点数小于3，其概率为Pn-2.32122217于是得到Pn=Pn-1+Pn-2n≥3，易得P1=，P2=×+=3333339111由于Pn-Pn-1=-Pn-1+Pn-2=-Pn-1-Pn-2n≥3，33311于是当n≥2时，数列Pn-Pn-1是以首项为，公比为-的等比数列，9311n-2故Pn-Pn-1=9×-3n≥2.于是P10=P1+P2-P1+P3-P2+⋅⋅⋅+P9-P8+P10-P911929×1--331110=+1=+×≈0.7531--4433于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为n3≤n≤10元的概率为Pn，利用叫价为n元是在叫价为n-1元的基础上再叫价1元或在叫价为n-2元的基础上再叫价2元，从而确定Pn与Pn-1的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.23(2023·广东茂名·统考二模)春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的2概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用917户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为.273(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若DX=，试求X的分布列和期望；4(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P取得最大值时，q为何值？(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第(2)问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.13【答案】(1)分布列见解析；当p=时，期望为1；当p=时，期望为3；4431,9(2)q=17(3)805500元313【分析】(1)复购的人数X满足X∼B4,p，故通过DX=可求得p=或，然后分两种情况进444行求分布列和期望即可；17(2)设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为q1，由题得,q1=q，故可计算得P=27323q1-2q1+q1，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的q值；(3)根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可【详解】(1)由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为p，复购的人数X满足二项分布，即X∼B4,p，313故D(X)=4p(1-p)=,故p=或.444又知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，101034811113310827①当p=4时,P(X=0)=C444=256,P(X=1)=C444=256=64,21232542731331123P(X=2)=C444=256=128,P(X=3)=C444=256=64,414301P(X=4)=C444=256X的分布列为X0123481272731P25664128642561此时期望为E(X)=4×=1，43030141131131232②p=4时,P(X=0)=C444=256,P(X=1)=C444=256=64,P(X=2)=C432125427333111082744=256=128,P(X=3)=C444=256=64,4341081P(X=4)=C444=256，所以X的分布列为X0123413272781P25664128642563此时期望为E(X)=4×=3417(2)设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为q1，由题得,q1=q.2732,112232P=C3q11-q1=3q1q1-2q1+1=3q1-2q1+q1,2P=33q1-4q1+1=33q1-1q1-1,1令P=0,得q1=或1，311所以q1∈0,3时,P>0，函数P单调递增,当q1∈3,1时,P<0，函数P单调递减.1故当q1=,P取得最大值.3179由q=q1可得，此时q=.27172900000(3)短视频平台:(100×2%)×900000×-×4=364000(元),91009170000社交媒体平台:(100×5%)×170000×-×5=441500(元),17100净利润总额:364000+441500=805500(元).故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的24(2023·全国·模拟预测)甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有5个红球，5个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取2个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取3个小球，记录颜色.设随机变量X表示在甲袋中抽取出的红球个数，Yk表示X=k时，在乙袋中抽取出的红球个数，Z表示在乙袋中抽取出的红球个数.(1)求X的分布列；(2)求Yk的数学期望EYk(用含k的代数式表示)；n(3)记X的所有可取值为a1,a2,⋯,an，证明：EZ=pX=akEYak，并求EZ.k=1【答案】(1)分布列见解析；5+k(2)；431(3)证明见解析，.20【分析】(1)根据题意，求得X的取值，再求对应概率，即可求得分布列；(2)Yk服从超几何分布，直接写出期望即可；(3)根据全期望公式，结合条件概率的和全概率公式，整理化简即可证明，再根据所证结论，直接计算即可.【详解】(1)X的所有可能取值为0,1,22112C21C3C23C33PX=0==,PX=1==,PX=2==，C210C25C21055533,所以X的分布列为X012133P10510(2)依题意，Yk服从超几何分布，且N=10+2=12,M=5+k,n=3，5+k5+k故EYk=3×=.124(3)Z的所有可能取值为0，1，2，3，则由全概率公式，2PZ=l=PZ=l|x=kPX=kk=02=PYk=lPX=k，l=0,1,2,3；k=0332因此EZ=∑lPZ=l=∑∑lPYk=lPX=kl=0l=0k=0232=∑PX=k∑lPYk=l=∑PX=kEYkk=0l=0k=0n=∑PX=akEYak，k=115363731故EZ=×+×+×=.1045410420【点睛】本题属于中档题，考查随机变量的分布列、期望、全概率公式.同四省联考一样，本题直接考查超几何分布的期望.作为重要的离散型随机变量之一，超几何分布的参数含义、均值一定要熟记，方差课本上不做要求，如果对自己要求较高的同学应掌握推导过程，具体证明可参见2023届“星云”五一联考22题.本题第(3)问的背景是重期望(或全期望)公式：对随机变量X和Y，总有EX=EEXY.25(2023·河北·统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为A1，A2，A3，A4，⋯，A10，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：方案一：将班级选派的3n名参赛选手每3人一组，分成n组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这n个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.方案二：将班级选派的3n名参赛选手每n人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的n名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有234,个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.4(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，5且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数p0<p<1，a班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.【答案】(1)80;160(2)选择方案一，理由见解析4【分析】(1)设郭靖同学答对的题目数为x，得分为y，由题意确定x∼b10,，根据二项分布的期5望和方差的性质，即可求得答案.(2)设a班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为p1,p2，分别求出p1,p2的表达式，作差并利用构造函数判断p1,p2的大小，即可得到结论.【详解】(1)设郭靖同学答对的题目数为x，得分为y，则y=10x，4由题意可知x∼b10,,54则e(y)=e(10x)=10e(x)=10×10×=80;544d(y)=d(10x)=100d(x)=100×10××1-=160.55(2)设a班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为p1,p2，223323当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为c3p(1-p)+c3p=3p-2p，23n2nn故p1=3p-2p=p3-2p；nn当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为p，则小组没有出线的概率为1-p，22nn33n2n3n故p2=c3p1-p+c3p=3p-2p；2nn2n3n2nnn故p1-p2=p3-2p-3p+2p=p[(3-2p)+2p-3]，nn∗令fn=3-2p+2p-3,n∈n，n+1n+1nn则fn+1-fn=3-2p+2p-3-2p)-2pnnnn=3-2p2-2p+2pp-1=21-p3-2p-p，因为0<p<1，所以1-p>0,3-2p>1，nnnn故3-2p>1,0<p<1,∴3-2p-p>0，则fn+1-fn>0，即fn+1>fn，nn∗故fn=3-2p+2p-3,n∈N为单调增函数，因为f(1)=3-2p+2p-3=0，由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即n≥6，此时fn≥f6>f1=0⇒P1>P235,故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.【点睛】关键点睛：本题为概率类综合题目，题目背景较为复杂，因而解答的关键是要明确题目含义，明确变量服从二项分布，从而作答，难点在于第二问求得方案一二的概率表达式，并进行大小比较.26(2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1-p；新细胞在下一个周期T内可以继1续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中p∈,1.2(1)设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望；*(2)设nTn∈N结束后，X细胞数量为m的概率为Pmn.(i)求P2n；8(ii)证明：P3n<.227p2【答案】(1)分布列见解析，p-4p+4n-1n(2)(i)p⋅1-p；(ii)证明见解析【分析】(1)求出ξ的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；(2)(i)求出第kT时分裂为2个X细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；(ii)求出第kT时分裂为3个X细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出P3n，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.2【详解】(1)2个T结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4,其中Pξ=1=p,23Pξ=2=p1-p+1-pp=p-p，123Pξ=3=1-p×C2×p×1-p=2p1-p，Pξ=4=1-p，所以ξ分布列为ξ12342323Ppp-p2p1-p1-p23232Eξ=1×p+2×p-p+3×2p1-p+4×1-p=p-4p+4.(2)(i)P2n表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞.不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞，k-12n-k2n-1-k此事件概率P2,k=p×1-p×p=1-p×p，n2n-1-k所以P2n=P2,1+P2,2+⋅⋅⋅+P2,n=1-p⋅pk=1n2n-1-kn-1n=1-ppp=p⋅1-p.k=1(ii)P3n代表分裂nT后有3个细胞的概率，设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞，这两个X细36,胞在剩下的n-kT中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞，此事件的概率k-11n-kk-1n-kn-k-1n-kP3,k=p⋅1-p⋅C2p⋅P2n-k=p⋅1-p⋅2⋅p⋅p⋅1-p，2n-2-k3n-2-2k得P3,k=2p⋅1-p⋅p-2p⋅1-p⋅p，nn2n-2-k3n-2-2kP3n=P3,1+P3,2+⋅⋅⋅+P3,n=2p⋅1-p⋅p-2p⋅1-p⋅pk=1k=1n-1n-1nnnn2p⋅1-p⋅1-p2p⋅p-p⋅1-p==，1+p1+pp21n其中p∈,1，p∈0,1.22x⋅p-x⋅1-x2x⋅1-x⋅1-xn令x=p,P3n=<，221+pp1+pp21记fx=x1-x，fx=1-x1-3x,令fx=0，得x=.31当x∈0,,fx>0,fx递增；31当x∈,1，fx<0,fx递减.314故fxmax=f3=27，88也就是P3n<<.22271+pp27p【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解P2n时，利用等比数列的知识求解；二是求解P3n的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.27(2023·山东潍坊·统考模拟预测)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W已知这种球的质2量指标ξ(单位：g)服从正态分布X~Nμ,σ，其中μ=270，σ=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为p0<p<1.ξ-μ(1)令η=，则η~n0,1，且φa=pη<a，求φ-2，并证明：φ-2+φ2=1；σ(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为fp，求出fp的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题.(ⅰ)在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为x，求x的分布列；(ⅱ)已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后37,一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.2参考数据：x~nμ,σ，则pμ-σ<x≤μ+σ≈0.6827，pμ-2σ<x≤μ+2σ≈0.9545，pμ-3σ<x≤μ+3σ≈0.9973.【答案】(1)0.02275；证明见解析.(2)(ⅰ)分布列见解析189(ⅱ)能，.256【分析】(1)利用正态分布的对称性即可求得结果；3(2)先利用导数求出p=，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.4【详解】(1)φ-2=pη<-2=pξ<260，又pμ-2σ<x≤μ+2σ≈0.9545，0.9545所以φ-2=pξ<260=0.5-=0.5-0.47725=0.02275.2因为φ-2=pη<-2，根据正态曲线对称性，φ-2=pη<-2=pη>2，又因为Φ2=Pη<2=1-Pη≥2，所以Φ-2+Φ2=1.233(2)f(p)=C3p1-p=3p1-p，232f(p)=33p1-p+p-1=3p3-4p.3令f(p)=0，得p=.433当p∈0,4时，f(p)>0，fp在0,4上为增函数；33当p∈4,1时，f(p)<0，f(p)在4,1上为减函数.33所以f(p)的最大值点p0=，从而p=.44(ⅰ)X的可能取值为3，2，1，0.32218922281PX=3=p+C3p1-pp=，PX=2=C4p1-pp=，2565122232731313PX=1=C4p1-p=，PX=0=1-p+C3p1-p=，512256所以X的分布列为X3210189812713P256512512256(ⅱ)若X=3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，所以，1班如果第10轮积3分，189则可提前一轮夺得冠军，其概率为PX=3=.25628(2023·辽宁丹东·统考二模)某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白38,鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方22差分别为μ，σ(μ与σ均取整数)．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设X∼2Nμ,σ．2(1)求μ，σ；(2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值(以使得P(K=102)最大的N的值作为N的估计值)；(3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n(n≤50)只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值(精确到0.1元)．2附：若X∼Nμ,σ，则P(|X-μ|≤σ)=0.68，P(|X-μ|≤2σ)=0.95．参考数据：21≈4.6，22≈4.7，23≈4.8，24≈4.9．【答案】(1)17，23(2)N的估计值为149或150(3)每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10【分析】(1)根据平均数和方差的计算公式或者利用方差的性质即可求解，(2)利用二项分布的概率计算公式，利用单调性即可求解，或者列不等式17102C1020.32N≥17102C1020.32N+1,8N8N+1求解N的范围即可求解，17102C1020.32N≥17102C1020.32N-1.8N8N-1(3)利用二项式定理求解近似值，结合基本不等式即可求解.【详解】(1)法1：22记甲地小白鼠样本X值的平均数为x，方差为s1；记乙地小白鼠样本X值的平均数为y，方差为s2，则22x=14，y=21，s1=6，s2=17，所以2222120x+90y120×14+90×212120s1+(x-μ)+90s2+(y-μ)μ===17．σ==210210210224×6+(14-17)+3×17+(21-17)≈23,72法2：记甲地小白鼠样本的X值为x1，x2，⋯，x120，平均数为x，方差为s1；记乙地小白鼠样本的X值为2y1，y2，⋯，y90，平均数为y，方差为s2．22120x+90y120×14+90×21因为x=14，y=21，s1=6，s2=17．所以μ===17．21021039,12012022由xk-x=120s1，xk-x=0，可得k=1k=11201201202222xk-μ=xk-x+x-μ=xk-x+2xk-x(x-μ)+(x-μ)k=1k=1k=11201201202222=xk-x+2(x-μ)xk-x+(x-μ)=120s1+120(x-μ)=30×60．k=1k=1k=190222同理yk-μ=90s2+90(y-μ)=30×99，于是k=112090212230×60+30×99s=xk-μ+yk-μ=≈23．210k=1k=1210(2)法1：因为σ=23=4.8，所以P(12.2≤X≤21.8)=P(μ-σ≤X≤μ-σ)≈0.68．从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K~B(N，0.68)，k102N17P(K=k)=CN0.328(k=0,1,2,⋯,N)．17102102N当N<102时，P(K=102)=0；当N≥102时，P(K=102)=8CN0.32．10217102102Nα(N)CNN-101记α(N)=CN0.32，则==．8α(N+1)0.32C1020.32(N+1)N+1α(N)101.32由<1等价于N-101<0.32(N+1)，当且仅当N<=149，知当103≤N≤148时，αα(N+1)0.68(N)<α(N+1)；当N=149时，α(N)=α(N+1)；当N>149时，α(N)>α(N+1)；故N=149或N=150时，α(N)最大，所以N的估计值为149或150．法2：因为σ=23=4.8，所以P(12.2≤X≤21.8)=P(μ-σ≤X≤μ-σ)≈0.68．从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K~B(N，0.68)，k102N17P(K=k)=CN0.328(k=0,1,2,⋯,N)．17102102N当N<102时，P(K=102)=0；当N≥102时，P(K=102)=8CN0.32．17若N=102，则P(K=102)=P(K=101)<p(k=101)．8×102若n≥103，则17102c1020.32n≥17102c1020.32n+1,8n8n+117102c1020.32n≥17102c1020.32n-1.8n8n-10.32(n+1)≤n-101,化简得解得149≤n≤150．0.32n≥n-102.综上，n的估计值为149或150．(3)记n只小白鼠检测费用为y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，y=11n+9，则40,p(y=n+9)=0.991n，p(y=11n+9)=1-0.991n．nne(y)(n+9)0.991+(11n+9)1-0.991n9因此==11-10×(1-0.009)+．nnnn112233因为n≤50，所以(1-0.009)=1-cn0.009+cn0.009-cn0.009+⋯≈1-0.009n．e(y)99故=0.09n++1≥20.09n×+1=2.8，当且仅当n=10时取等号．nnn于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10．【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算)．29(2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(markov)不等式和切比雪夫(chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：ex设x为一个非负随机变量，其数学期望为ex，则对任意ε>0，均有PX≥ε≤，ε马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：n设X的分布列为PX=xi=pi,i=1,2,⋯,n,其中pi∈(0,+∞),xi∈[0,+∞)(i=1,2,⋯,n),pi=1，i=1nxi11E(X)则对任意ε>0，P(X≥ε)=pi≤pi=xipi≤xipi=，其中符号Ai表示对所xi≥εxi≥εεεxi≥εεi=1εxi≥ε有满足xi≥ε的指标i所对应的Ai求和．切比雪夫不等式的形式如下：DX设随机变量X的期望为EX，方差为DX，则对任意ε>0，均有PX-EX≥ε≤2ε(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．【答案】(1)证明见解析(2)不可信【分析】(1)利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；(2)由题意可知治愈的人数为X服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式41,说明即可.22【详解】(1)法一：对非负离散型随机变量X-EX及正数ε使用马尔科夫不等式，2EX-EXDX22有PX-EX≥ε=PX-EX≥ε≤=．22εε法二：设X的分布列为PX=xi=pi,i=1,2,⋯,n,n其中pi,xi∈(0,+∞)(i=1,2,⋯,n),pi=1，记μ=EX，则对任意ε>0，i=1x-μ2ni1212DXPX-μ≥ε=∑Pi≤∑2Pi=2∑xi-μPi≤2∑xi-μPi=2.xi-μ≥εxi-μ≥εεεxi-μ≥εεi=1ε(2)设在100名患者中治愈的人数为X．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，X∼B100,0.8,EX=100×0.8=80,DX=100×0.8×1-0.8=16．DX由切比雪夫不等式，有PX≤60≤PX-80≥20≤=0.04．220即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．30(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选1择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第31ii=1,2,⋯,n-1题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为；第31ii=1,2,⋯,n-1题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为.3(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；17(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：EY≤.1811【答案】(1)分布列见解析；9111n(2)+×-223(3)证明见解析【分析】(1)设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为3个，PnC2表示第n题正确选项为2个的概率，PnC3表示第n题正确选项为3个的概率.由全概率公式可求出P2C2，继而P2C3可求，再由全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；(2)根据(1)中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论42,PC=1PC+2PC化简可得PC-1=-1PC-1，可知PC-1为等n+123n23n3n+1223n22n22比数列,求通项可得PnC2；(3)根据(2)求出的PnC2可得PnC3=1-PnC2，在利用全概率公式即可求得Y的分布列，计算出1111nEY=-×-,则结论可证.12123【详解】(1)设事件C2表示正确选项为2个，事件C3表示正确选项为3个，PnC2表示第n题正确选项为2个的概率，PnC3表示第n题正确选项为3个的概率.设事件C表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量X表示第二题得分.依题得，X可能取值为0，2.12112254因为P2C2=P1C2+P1C3=×+×=，P2C3=1-P2C2=，3333339923C35C3415147所以PX=0=PCC2P2C2+PCC3P2C3=2×9+3×9=2×9+4×9=18C4C412C35C34153411PX=2=PCC2P2C2+PCC3P2C3=2×9+3×9=2×9+4×9=18C4C4所以X的分布列为:X02711P181871111所以EX=0×+2×=.18189121221(2)依题得，Pn+1C2=PnC2+PnC3=PnC2+1-PnC2=-PnC2，333333111所以Pn+1C2-2=-3PnC2-2，1111又因为P1C2-=-=-，2326所以PC-1是以-1为首项，以-1为公比的等比数列.n2263111n-111n111n所以PnC2-2=-6×-3=2×-3，PnC2=2+2×-3.111n111n(3)由(2)可知，PnC2=2+2×-3，PnC3=1-PnC2=2-2×-3.依题得，Y可能取值为0，2，5.525111n1111n2PY=0=2×PnC2+3×PnC3=6×2+2×-3+2×2-2×-3=3C4C411n21111n111n+6×-3PY=2=0×PnC2+3×PnC3=2×2-2×-3=4-4×-3，C411111n111nPY=5=2×PnC2+0×PnC3=6×2+2×-3=12+12×-3，C443,111n111n1111n17所以EY=2×4-4×-3+5×12+12×-3=12-12×-3<18.【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.44</p(k=101)．8×102若n≥103，则17102c1020.32n≥17102c1020.32n+1,8n8n+117102c1020.32n≥17102c1020.32n-1.8n8n-10.32(n+1)≤n-101,化简得解得149≤n≤150．0.32n≥n-102.综上，n的估计值为149或150．(3)记n只小白鼠检测费用为y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，y=11n+9，则40,p(y=n+9)=0.991n，p(y=11n+9)=1-0.991n．nne(y)(n+9)0.991+(11n+9)1-0.991n9因此==11-10×(1-0.009)+．nnnn112233因为n≤50，所以(1-0.009)=1-cn0.009+cn0.009-cn0.009+⋯≈1-0.009n．e(y)99故=0.09n++1≥20.09n×+1=2.8，当且仅当n=10时取等号．nnn于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10．【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算)．29(2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(markov)不等式和切比雪夫(chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：ex设x为一个非负随机变量，其数学期望为ex，则对任意ε></p<1.ξ-μ(1)令η=，则η~n0,1，且φa=pη<a，求φ-2，并证明：φ-2+φ2=1；σ(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为fp，求出fp的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题.(ⅰ)在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为x，求x的分布列；(ⅱ)已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后37,一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.2参考数据：x~nμ,σ，则pμ-σ<x≤μ+σ≈0.6827，pμ-2σ<x≤μ+2σ≈0.9545，pμ-3σ<x≤μ+3σ≈0.9973.【答案】(1)0.02275；证明见解析.(2)(ⅰ)分布列见解析189(ⅱ)能，.256【分析】(1)利用正态分布的对称性即可求得结果；3(2)先利用导数求出p=，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.4【详解】(1)φ-2=pη<-2=pξ<260，又pμ-2σ<x≤μ+2σ≈0.9545，0.9545所以φ-2=pξ<260=0.5-=0.5-0.47725=0.02275.2因为φ-2=pη<-2，根据正态曲线对称性，φ-2=pη<-2=pη></p<1,∴3-2p-p></p<1，a班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.【答案】(1)80;160(2)选择方案一，理由见解析4【分析】(1)设郭靖同学答对的题目数为x，得分为y，由题意确定x∼b10,，根据二项分布的期5望和方差的性质，即可求得答案.(2)设a班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为p1,p2，分别求出p1,p2的表达式，作差并利用构造函数判断p1,p2的大小，即可得到结论.【详解】(1)设郭靖同学答对的题目数为x，得分为y，则y=10x，4由题意可知x∼b10,,54则e(y)=e(10x)=10e(x)=10×10×=80;544d(y)=d(10x)=100d(x)=100×10××1-=160.55(2)设a班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为p1,p2，223323当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为c3p(1-p)+c3p=3p-2p，23n2nn故p1=3p-2p=p3-2p；nn当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为p，则小组没有出线的概率为1-p，22nn33n2n3n故p2=c3p1-p+c3p=3p-2p；2nn2n3n2nnn故p1-p2=p3-2p-3p+2p=p[(3-2p)+2p-3]，nn∗令fn=3-2p+2p-3,n∈n，n+1n+1nn则fn+1-fn=3-2p+2p-3-2p)-2pnnnn=3-2p2-2p+2pp-1=21-p3-2p-p，因为0<p<1，所以1-p></p<1)，当第k次投进时，p第k+1次也投进的概率保持p不变；当第k次没能投进时，第k+1次能投进的概率降为.2(1)若选手甲第1次投进的概率为p(0<p<1)，求选手甲至少投进一次的概率；2(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分x的分布列与3数学期望.237p7pp【答案】(1)-+4885(2)分布列见解析；3【分析】(1)记选手甲第k次投进为事件akk=1,2,3，未投进为事件ak，则所求概率为1-pa1a2a3；(2)根据x的取值为0,1,2,3分情况讨论即可.【详解】(1)解：记选手甲第k次投进为事件akk=1,2,3，未投进为事件ak，选手甲至少投进一次这一事件的概率为1-pa1a2a3.pp7p7p2p3因为pa1a2a3=1-p1-21-4=1-4+8-8，7p7p2p3所求概率为1-pa1a2a3=-+.488(2)得分x等于乙投进的次数，则x的取值为0,1,2,3.记选手乙第k次投进为事件bkk=1,2,3，26,211由题意可知p(b1)=,p(b2)=,p(b3)=,3361255px=0=pb1b2b3=××=,33627投进1次对应事件为b1b2b3+b1b2b3+b1b2b3，2121121217px=1=××+××+××=，33333333627投进2次对应事件为b1b2b3+b1b2b3+b1b2b3，2212111117px=2=××+××+××=，333333333272228投进3次对应事件为b1b2b3,px=3=××=.33327所以x的分布列为x01235778px2727272757785选手乙得分的数学期望ex=0×+1×+2×+3×=.27272727320(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位：万)，得到如下表格：a区b区c区d区外来务工人数x></x<μ+2σ)=×0.683+×0.954=0.8185，22所以“一级群”约有1000×0.8185=818.5≈819个；所以需要资金为23×1000+819×200=186800，故至少需要准备186800元．18(2023·浙江·校联考模拟预测)某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况(篮球，篮球)(篮球，乒乓球)(乒乓球，篮球)(乒乓球，乒乓球)(上午，下午)甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；(2)记x为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求x的分布列和数学期望e(x)；(3)假设a表示事件“室外温度低于10度”，b表示事件“某学生去打乒乓球”，p(a)></x<μ+σ)≈0.683,p(μ-2σ<x<μ+2σ)≈0.954,p(μ-3σ<x<μ+3σ)≈0.997．【答案】(1)m=18，376(2)186800元【分析】(1)根据样本容量列方程求出m，利用组中数求出平均数；(2)根据正态分布的概率计算公式求出对应的概率值，计算“优质群”和“一级群”的个数，求出奖励金.【详解】(1)由题意得：12+2m+20+32=100，解得m=18．1故平均数为×(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376.100(2)由题意，μ=376,σ=110，且266=376-110=μ-σ,596=376+220=μ+2σ，1故p(x></e(y),d(x)<d(y)，从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，22,所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．16(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：生活习惯b疾病a具有不具有患病2515未患病2040(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b有关？(2)从该市市民中任选一人，m表示事件“选到的人不具有生活习惯b”，n表示事件“选到的人患有疾病a”，试利用该调查数据，给出pnm的估计值；(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯b，且末患有疾病a的人数为x，试利用该调查数据，给出x的数学期望的估计值．22n(ad-bc)附：χ=，其中n=a+b+c+d．a+bc+da+cb+dα0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【答案】(1)有关4(2)93(3)分布列见解析，52【分析】(1)根据题设可得列联表，故可求χ的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b有关.(2)根据条件概率的计算公式结合表中数据可求pn∣m的估计值.(3)利用二项分布的期望公式可求x的数学期望的估计值.【详解】(1)由已知得列联表如下：生活习惯b疾病a合计具有不具有患病251540未患病204060合计4555100零假设为h0：该市市民患有疾病a与是否具有生活习惯b无关．根据列联表中的数据，经计算得到23,22100×(40×25-15×20)χ=≈8.249></v2==，x190x284故甲组对a类app的评价更合理.8(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时1发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，4现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设x为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求x的分布列与数学期望e(x)；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？1【答案】(1)分布列见解析，2721347(2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．409620481【分析】(1)根据题意得到随机变量x~b2,，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，4列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率p1和p2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率11都是，可得方案一中，随机变量x~b2,，443291133121则px=0=4=16，px=1=c2⋅4⋅4=8，px=2=4=16，所以随机变量x的分布列为：x012931p1681611所以期望为ex=2×=．42(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为p1，313721则其概率为p1=1-1-px=2=1-1-16=4096．11,对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为p2，36135123436+6×35+15×3434712则p2=1-4-c6⋅4⋅4-c6⋅4⋅4=1-4096=2048，可得p2<p1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在5“健身达人”中有是“年轻人”.6(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果12,相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.22n(ad-bc)附：χ=.a+bc+da+cb+dα0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析2【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望eη，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，55根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为60×=50，非年轻人为10人；66健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为h0：“健身达人”与年龄无关联，22100×(50×10-30×10)25根据列联表中的数据，可得χ==≈1.042<3.841，80×20×60×4024依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为h0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，13,全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.1c22由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为p==，c155033201322181所以pη=0=c355+c355=125，2312236pη=100=c355=125，330238pη=300=c355=125.所以η的分布列为：η010030081368p12512512581368数学期望为eη=0×+100×+300×=48(元)，125125125按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20，20,40，40,60，60,80，80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.指标值合计抗体小于60不小于60有抗体14,没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m名志愿者产生抗体.(i)用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9，求m的值；(ⅱ)以(i)中的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量x，求px=k最大时的k的值.2nad-bc2参考公式：χ=(其中n=a+b+c+d为样本容量).a+bc+da+cb+dα0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.2【分析】(1)完善列联表，计算χ的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10(人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：指标值合计抗体小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设h0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，22200×(50×20-20×110)根据列联表中数据，得χ=≈4.945></p<1，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.2若p=，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.32nad-bc2k=，a+bc+da+cb+d2pk≥k00.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；34000(2)m元97,【分析】(1)设男性患者有x人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思xx想列不等式求x范围，再由∈z，∈z确定x最小值；63(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m，6m，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x人，则女性患者有2x人，2×2列联表如下：a型病b型病合计5xx男x662x4x女2x333x3x合计3x22假设h0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，3x5x⋅4x-x⋅2x2263632x根据列联表中的数据k==，3x⋅3x⋅2x⋅x322要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，2x则>
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