利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（原卷版）

利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为xa(byb,y0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】2考点一：椭圆焦点三角形的面积为Sbtan（为焦距对应的张角）2证明：设PFm,PFn12mn2a12sincos2b22sin22222222Sbbbtan．2cmn2mncos2，12：mnVF1PF21cos21cos2cos21SVF1PF2mnsin3222b双曲线中焦点三角形的面积为S（为焦距对应的张角）tan2【精选例题】22xy【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知F1,F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q164为C上关于坐标原点对称的两点，且PQF1F2，则四边形PF1QF2的面积为________．,22y【例2】设F，F是双曲线C:x1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则△PFF12123的面积为（）75A．B．3C．D．222【跟踪训练】22xy1.设P为椭圆1上一点，F1,F2为左右焦点，若F1PF260，则P点的纵坐标为（）25933339393A．B．C．D．444422xy2.设双曲线C:1(a0，b0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为5．P是C上一点，且2212abFPFP．若△PFF的面积为4，则a（）1212A．1B．2C．4D．8考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式2b若椭圆与直线l交于AB两点，M为AB中点，且k与k斜率存在时，则kK；（焦点在xABOMABOM2a2a轴上时），当焦点在y轴上时，kKABOM2b2b若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，kK（焦点在x轴上时），当焦点在y轴PAPB2a2a上时，kKPAPB2b下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P(x，y)，A(x，y)，因为AB过原点，由对称性可知，点B(x，y)，所以001111x2y2001(1)22a2b2y0y1y0y1y0y1kPAkPB22．又因为点P(x0，y0)，A(x1，y1)在椭圆上，所以有22．x0x1x0x1x0x1x1y11(2)22aby2y22201bb两式相减得222，所以kPAkPB2．x0x1aa,22xy112211222aby2y1b中点弦问题证明：设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0则椭圆22两式相减得x2x2a2x2y22112a2b2yy12222y2y1y0y2y12y2y1b2kk====e1．ABOMxxxxxx222210x2112x2x1a222ba双曲线中焦点在x轴上为kk，焦点在y轴上为kk，OMAB2OMAB2ab【精选例题】22xy【例1】已知椭圆G:1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB22ab的中点坐标为（1，1），则G的方程为22222222xyxyxyxyA．1B．1C．1D．145363627271818922xy【例2】过双曲线C：1（a0，b0）的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB22ab1中点，若kABkOD，则C的离心率为（）26A．6B．2C．3D．222xy【例3】（多选题）已知椭圆C：221(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，ab1B2．点M为C上不在坐标轴上的任意一点，且MA1，MA2，MB1，MB2四条直线的斜率之积大于，则C的9离心率可以是3627A．B．C．D．3333,【跟踪训练】22xy1.已知M为双曲线1(a0,b0)的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双曲线中心O的对称22ab1点为B，设直线MA、MB的倾斜角分别为、，且tantan，则双曲线的离心率为（）465A．5B．3C．D．2222xy2.已知A，B，P是双曲线1（a0，b0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线22ab4PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）35621A．B．C．2D．22322xy3.已知双曲线21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，4b1B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（）463A．B．2C．D．222考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b【精选例题】22xy【例1】若双曲线1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（）22ab13A．y3xB．y3xC．yxD．yx3322【例2】已知F是双曲线C：xmy3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A．3B．3C．3mD．3m【跟踪训练】,22xy1.已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B22ab两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d和d，且dd6，则双曲线的方程为（）121222222222xyxyxyxyA．1B．1C．1D．1412124399322xy222．已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C：xy6x50相切，且双曲线的22ab右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为22222222xyxyxyxyA．1B．1C．1D．154453663【精选例题】22xy【例1】已知双曲线C:1a0,b0的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为2，焦点到渐近线的距离22ab为6.过F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为△AF1F2与△BF1F2的内心，则HG的取值范围为（）4346A．22,4B．3,2C．2,D．22,3322xy【例2】（多选题）双曲线1的左、右焦点分别F1、F2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限22ab的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为e1,e2,△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为D，则（）A．I到y轴的距离为aB．点D的轨迹是双曲线111C．若OPF1F2，则225D．若S△IPF1S△IPF2S△IF1F2，则1e12e1e22,22y【例3】（多选题）已知F1,F2分别为双曲线x1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B3两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则（）A．圆O1和圆O2外切B．圆心O1在直线AO上2SSC．S1S2πD．12的取值范围是2π,3π【跟踪训练】22y1.已知双曲线方程是x1，过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点3M、N分别为△CF1F2、△DF1F2的内心，则MN的范围是______.22xy2．（多选题）已知双曲线C:1a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2，焦点到渐22ab近线的距离为6.过F2作直线l交双曲线C的右支于A、B两点，若H、G分别为△AF1F2与△BF1F2的内心，则（）A．C的渐近线方程为y3xB．点H与点G均在同一条定直线上46C．直线HG不可能与l平行D．HG的取值范围为22,3考点五：已知具有公共焦点F,F的椭圆与双曲线的离心率分别为e,e,P是它们的一个交点，且1212sin2cos2FPF2，则有()()1.12ee12【精选例题】【例1】已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲3线离心率倒数之和的最大值为（）44346A．B．C．4D．333,x2y222xy【例2】（多选题）已知椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20，b20)有公共焦点F1（左a1b1a2b2焦点），F2（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，C1，C的离心率分别为e和e，且e2，则（）2122112322222C．A．a1b1a2b2B．e1D．cosF1PF2e1e254【跟踪训练】2222xyxy1．已知F是椭圆C1：221（ab0）的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2：221（m0，abmn12n0）与椭圆C1共焦点，若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则ee12的最小值为______．考点六：设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A,B两点，若211AFFB(0)，则e1k，即ecos．11【精选例题】22xy【例1】已知椭圆C:1过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若AF2FB，43则直线l的斜率k的值为．22xy【例2】已知F是双曲线1(a0,b0)的右焦点，直线l经过点F且与双曲线相交于A,B两点，22ab记该双曲线的离心率为e，直线l的斜率为k，若AF2FB，则（）22222222A．8ek1B．e8k1C．9ek1D．k9e122xy【例3】已知F1，F2是双曲线C：221a0,b0的左，右焦点，过点F1倾斜角为30°的直线与双曲ab线的左，右两支分别交于点A，B.若AF2BF2，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5,【跟踪训练】1y2x221.斜率为的直线l过椭圆C:1ab0的焦点F，交椭圆于A,B两点，若AFAB，则该椭圆2a2b23的离心率为．22xy2.已知双曲线221a,b0的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左､ab6右支分别交于点A，B，且AF2BF2，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．22D．23b考点七：已知双曲线方程为的右焦点为F，过点F且与渐近线yx垂直的直a线分别交两条渐近线于P,Q两点.22情形1.如图1.若,则e(*)1图1图222如图2.若QFFP(01)，则e1【精选例题】22xy【例1】过双曲线1(a0,b0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A，与双曲线的另一条22ab渐近线交于点B，若FB2FA，则此双曲线的离心率为________,22xy【例2】已知双曲线C:1，(a0,b0)过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A、22abAF1B两点A、B两点分别在一、四象限，若，则双曲线C的离心率为（）BF223A．B．2C．3D．53【跟踪训练】22xy1.已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分ab别交l1，l2于A,B两点，且FB2AF，则该双曲线的离心率为（）23443A．B．3C．D．33322xy2．F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A,B两点，ab若AB2BF，则双曲线的离心率为1510A．B．5C．D．1023x2y21．已知点P在椭圆221ab0上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若PF1PF23，且△PF1F2的面ab2积为2，则b（）A．2B．3C．4D．5222m2．椭圆mxny1与直线y1x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则2n的值是（）2239223A．B．C．D．23227,22xy3．已知双曲线C:1(a,b0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C实轴长（）22abA．3B．3C．23D．6x2y2134．（多选题）已知椭圆C:1(ab0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为，且经过点3,,Pa2b222在椭圆上，则（）A．PF1的最大值为3B．PF2F1的周长为4C．若F2PF160，则PF2F1的面积为3PFPF4D．若12，则F2PF16022xy5．（多选题）设椭圆的方程为1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，24M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（）A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2xy3014C．若直线方程为yx1，则点M坐标为,334D．若直线方程为y2x2，则|AB|2322y6．（多选题）设A，B是双曲线x1上的两点，下列四个点中可以为线段AB中点的是（）4A．0,2B．(-1,2)C．1,1D．1,4,2222xyxy7．（多选题）若P是椭圆C:1ab0与双曲线C:1m0,n0在第一象限的交点，122222abmn且C1，C2共焦点F1，F2，F1PF2，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是（）22bnA．PF1ma，PF2maB．cos22bn314D．若90，则22C．若=120°，则22e1e2的最小值为2ee122222xyxy8．（多选题）如图，P是椭圆C:1(ab0)与双曲线C:1(m0,n0)在第一象限的122222abmn交点，且C1,C2共焦点F1,F2,F1PF2,C1,C2的离心率分别为e1,e2，则下列结论正确的是（）13A．PF1=a+m,PF2=a-mB．若60，则224ee1222nC．若90，则e1e2的最小值为2D．tan2b22xy9．己知椭圆C:1的焦点分别为F10,2，F20,2，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点2m611P,为线段MN的中点，则直线l的方程为．2222xy10．已知点A,B,C是离心率为2的双曲线:1a0,b0上的三点,直线AB,AC,BC的斜率分别22ab'''是k1,k2,k3,点D,E,F分别是线段AB,AC,BC的中点,O为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率分别是k1,k2,k3.111若'''3,则k1k2k3kkk123