圆锥曲线中的新定义问题（学生版）

&ldquo;九省联考&rdquo;新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点&ldquo;新定义&rdquo;题型内容新颖，题目中常常伴随有&ldquo;定义&rdquo;、&ldquo;规定&rdquo;等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。解题策略求解&ldquo;新定义&rdquo;题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。一、单选题1已知曲线&Gamma;的对称中心为O，若对于&Gamma;上的任意一点A，都存在&Gamma;上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线&Gamma;为&ldquo;自稳定曲线&rdquo;．现有如下两个命题：①任意椭圆都是&ldquo;自稳定曲线&rdquo;；②存在双曲线是&ldquo;自稳定曲线&rdquo;．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题5-12数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=&omega;(其中&omega;=)的椭圆为黄金椭圆，现有一个22y2x黄金椭圆方程为+=1，(a&gt;b&gt;0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙O,P为黄金椭圆上除顶22ab点外任意一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x,y轴分别交于M,N两点，则22ba+=()22|OM||ON|11A.B.&omega;C.-&omega;D.-&omega;&omega;3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为&ldquo;卡西尼卵形线&rdquo;.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1-1,0、F21,0是平面直角坐标系xOy内的两个定1,点，满足PF1&sdot;PF2=2的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是-3,3；③OP的取值范围是1,3；④△PF1F2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.44在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=maxx1-x2,y1-y2为两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的&ldquo;切比雪夫距离&rdquo;，并对于点P与直线l上任意一点Q，称dP,Q的最小值为点P与直线l间的&ldquo;切比雪夫距离&rdquo;，记作dP,l，给定下列四个命题：p1：对于任意的三点A，B，C，总有dC,A+dC,B&ge;dA,B；4p2：若点P3,1，直线l:2x-y-1=0，则dP,l=；3p3：满足d(O,M)=CC&gt;0的点M的轨迹为正方形；p4：若点F1(-c,0)，F2c,0，则满足dP,F1-dP,F2=2a2c&gt;2a&gt;0的点M的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.45定义：若直线l将多边形分为两部分，且使得多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l2y2x为多边形的一条&ldquo;等线&rdquo;．已知双曲线C:2-2=1(a，b为常数)和其左右焦点F1,F2，P为C上的一动ab点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形AF1BF2与三角形PF1F2有相同的&ldquo;等线&rdquo;l．则对于下列四个结论：①PA=PB；②等线l必过多边形的重心；23y23x③l始终与-=1相切；22ab④l的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2&alpha;时，用一个与旋转轴所成角为&beta;的平面&gamma;(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥cos&beta;曲线)的离心率为e=．比如，当&alpha;=&beta;时，e=1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系cos&alpha;Oxyz中放置一个圆锥，顶点S(0,0,2),M(0,1,1)，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N(0,0,1)，则过点M,N的平面截该圆锥得的截口曲线为圆2,B.平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E(-2,-2,0),F(2,2,0)，则平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面&gamma;截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面&gamma;不经过原点O7法国数学家加斯帕尔&bull;蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何2y2x学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C:+=1(a&gt;22ab22221b&gt;0)的&ldquo;蒙日圆&rdquo;的方程为x+y=a+b，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e=,P为蒙日圆上任一2点，则以下说法正确的是()A．过点P作椭圆C的两条切线PA,PB，则有PA&perp;PB.4B．过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值kOP&sdot;kAB=-.3916C．过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B，则S△APB的取值范围7,7.D．过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则S△AOB的最大值为3.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为&ldquo;卡西尼卵形线&rdquo;．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1-1,0、F21,0是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足PF1&sdot;PF2=2的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P的横坐标的取值范围是-3,3C.OP的取值范围是1,2D.△PF1F2的面积的最大值为19如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所成的角为&alpha;，过A1的平面与圆锥的轴所成的角为&beta;&beta;&gt;&alpha;，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,长半轴长为a，短半轴长为b，椭圆的中心为N,再以B1B2为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线PA1交于C1，与直线PA2交于C2，则下列说法正确的是()A.当&beta;&lt;&alpha;时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆sin&beta;+&alpha;sin&beta;-&alpha;2B.|NC1|&sdot;|NC2|=a2cos&alpha;cos&beta;C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=cos&alpha;3,sin&alpha;D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=sin&beta;102021年3月30日，小米正式开始启用具备&ldquo;超椭圆&rdquo;数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线22nn33C：x|+y|=1.其中星形线E：x+y=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()1A.E关于y轴对称B.E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过81C.E上的点到原点距离的最小值为D.曲线E所围成图形的面积小于242y2x11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线+=22ab22322x0y021a&gt;0,b&gt;0上点Px0,y0处的曲率半径公式为R=ab4+4，则下列说法正确的是()abA.对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R2y2xB.椭圆+=1a&gt;b&gt;0上一点处的曲率半径的最大值为a22ab2y22xbC.椭圆+=1a&gt;b&gt;0上一点处的曲率半径的最小值为a2b2a2x21D.对于椭圆+y=1a&gt;1上点,y0处的曲率半径随着a的增大而减小a22三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=x1-x2+y1-y2为点Ax1,y1到点Bx2,y2的&ldquo;折线距离&rdquo;．22点O是坐标原点，点P在圆x+y=1上，点Q在直线2x+y-25=0上．在这个定义下，给出下列结论：37①若点P的横坐标为-，则d(O,P)=；②d(O,P)的最大值是2555③d(O,Q)的最小值是2；④d(Q,P)的最小值是2其中，所有正确结论的序号是．2y2x13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：+=1x&gt;-2，O为坐标原点，点Ax+24(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C关于x轴对称1②卵圆上不存在两点关于直线x=对称2③线段PO长度的取值范围是[1,2]④△OAP的面积最大值为114城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义dP,Q=x1-x2+y1-y2为两点Px1,y1、Qx2,y2之间的&ldquo;出租车距离&rdquo;.给出下列四个结论：①若点O0,0，点A1,2，则dO,A=3；②到点O0,0的&ldquo;出租车距离&rdquo;不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是&pi;；2③若点A1,2，点B是抛物线y=x上的动点，则dA,B的最小值是1；4,22④若点A1,2，点B是圆x+y=1上的动点，则dA,B的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.15已知点A1,-1．若曲线G上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则称G为&Psi;型曲线，给定下列四条曲线：2①y=x+3-3&le;x&le;0；②y=xx&ge;0；21③y=2-x0&le;x&le;2；④y=x&lt;0．x其中，属于&Psi;型曲线的是(写出序号即可)16Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义2是：线上的任何点到两个固定点S1，S2的距离的乘积等于常数b.b是正常数，设S1，S2的距离为2a，如果a<b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a=b，就得到一个双纽线；如果a>b，就得到两个卵形线.若S1-1,0，S21,0.动点P满足PS1&sdot;PS2=1.则动点P的轨迹C的方程为；若A&#39;和A是轨迹C与x轴交点中距离最远的两点，则△APA&#39;面积的最大值为.四、解答题17在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c=0和点P1x1,y1，P2x2,y2，记&eta;=ax1+by1+cax2+by2+c，若&eta;&lt;0，则称点P1，P2被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．(1)求证：点A1,2，B-1,0被直线x+y-1=0分隔；22(2)若直线y=kx是曲线x-4y=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q0,2的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．18设直线l:y=g(x)，曲线S:y=F(x)．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x&isin;R都有g(x)&ge;F(x)．则称直线l为曲线S的&ldquo;上夹线&rdquo;．(1)已知函数f(x)=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f(x)的&ldquo;上夹线&rdquo;；(2)观察下图：5,根据上图，试推测曲线S:y=mx-nsinx(n&gt;0)的&ldquo;上夹线&rdquo;的方程，并给出证明．2y2x19已知椭圆C：2+2=1(a&gt;b&gt;0)的左､右焦点分别为F1,F2.ab2&theta;(1)设P为椭圆C上除左､右顶点外的任意一点，设&ang;F1PF2=&theta;，证明：S△PF1F2=btan；22y2x(2)若椭圆C的标准方程为+=k(k&gt;0)，则我们称C和C为&ldquo;相似椭圆&rdquo;.已知&Gamma;和C为&ldquo;相似椭22ab圆&rdquo;，且&Gamma;的长轴长是C的半长轴长的2倍.M为&Gamma;上的动点，过点M作&Gamma;的切线交C于A，B两点，N为22C上异于A，B的一点，且满足ON=&lambda;OA+&mu;OB，问&lambda;+&mu;是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.ax0+by0+c20在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x0,y0)、直线l:ax+by+c=0，我们称&delta;=为点P22a+b(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的方向距离.2x2(1)设双曲线-y=1上的任意一点P(x,y)到直线l1:x-2y=0，l2:x+2y=0的方向距离分别为&delta;1,&delta;2，4求&delta;1&delta;2的值；(2)设点E(-t,0)、F(t,0)、到直线l:xcos&alpha;+2ysin&alpha;-2=0的方向距离分别为&eta;1,&eta;2，试问是否存在实数t，对任意的&alpha;都有&eta;1&eta;2=1成立？说明理由；2y2x(3)已知直线l:mx-y+n=0和椭圆2+2=1(a&gt;b&gt;0)，设椭圆E的两个焦点F1、F2到直线l的方向ab2距离分别为&lambda;1、&lambda;2满足&lambda;1&lambda;2&gt;b，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小.2y29y2x221(1)设椭圆C1:2+2=1与双曲线C2:9x-8=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线abC2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为&ldquo;盾圆&rdquo;；24x0&le;x&le;3(2)如图，已知&ldquo;盾圆D&rdquo;的方程为y=，设&ldquo;盾圆D&rdquo;上的任意一点M到F(1,0)的距离-12(x-4)3<x≤4为d1，m到直线l:x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；6,2y222x2(3)由抛物线弧e1:y=4x0≤x≤3与第(1)小题椭圆弧e2:e2:2+2=13≤x≤a所合成的封闭ab曲线为“盾圆e”，设过点f(1,0)的直线与“盾圆e”交于a、b两点，fa=r1，fb=r2，且∠afx=α(0r1≤α≤π)，试用cosα表示r1，并求的取值范围.r22y2x22已知椭圆c:2+2=1(a>b&gt;0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，定义：△F1BF2为椭圆C的ab&ldquo;特征三角形&rdquo;，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为&ldquo;相似椭圆&rdquo;，且特征三角2y2x形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点F(3,0)是椭圆C1:2+2=1的一个焦点，且C1上任意一点ab到它的两焦点的距离之和为4(1)若椭圆C2与椭圆C1相似，且C2与C1的相似比为2：1，求椭圆C2的方程.21(2)已知点P(m,n)(mn&ne;0)是椭圆C1上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x=y异于原点mn22的交点，证明：点Q一定在双曲线4x-4y=1上.(3)已知直线l:y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，(设其面积为S)，使得A、C在直线l上，B、D在曲线Cb上？若存在，求出函数S=f(b)的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.2x023已知抛物线&Gamma;:x=4y，Px0,y0为抛物线&Gamma;上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为22|x1|,|x1|&ge;|x2|点P的&ldquo;特征直线&rdquo;.设x1、x2为方程x-ax+b=0(a,b&isin;R)的两个实根，记&tau;a,b=.|x2|,|x1|&lt;|x2|(1)求点A2,1的&ldquo;特征直线&rdquo;l的方程；2x2(2)已知点G在抛物线&Gamma;上，点G的&ldquo;特征直线&rdquo;与双曲线-y=1经过二、四象限的渐近线垂直，且与y4轴的交于点H，点Qa,b为线段GH上的点.求证：&tau;a,b=2；(3)已知C、D是抛物线&Gamma;上异于原点的两个不同的点，点C、D的&ldquo;特征直线&rdquo;分别为l1、l2，直线l1、l2相交xc于点Ma,b，且与y轴分别交于点E、F.求证：点M在线段CE上的充要条件为&tau;a,b=(其中xC为2点C的横坐标).7</x≤4为d1，m到直线l:x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；6,2y222x2(3)由抛物线弧e1:y=4x0≤x≤3与第(1)小题椭圆弧e2:e2:2+2=13≤x≤a所合成的封闭ab曲线为“盾圆e”，设过点f(1,0)的直线与“盾圆e”交于a、b两点，fa=r1，fb=r2，且∠afx=α(0r1≤α≤π)，试用cosα表示r1，并求的取值范围.r22y2x22已知椭圆c:2+2=1(a></b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a=b，就得到一个双纽线；如果a>