福建省福州现代中学2022-2023学年下学期七年级期中考数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年福建省福州市仓山区现代中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列是二元一次方程的是（）A．3x﹣6＝xB．3x＝2yC．x﹣y2＝0D．2x﹣3y＝xy2．（4分）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．3．（4分）用式子表示“4的平方根±2，正确的是（）A．B．C．±＝2D．4．（4分）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°5．（4分）已知直线AB、CB在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．6．（4分）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（）A．x+y＝1B．x+y＝﹣1C．x+y＝9D．x﹣y＝97．（4分）若，则a与b的关系是（）第1页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 A．a＝b＝0B．a＝bC．a+b＝0D．8．（4分）把一些书分给几名同学，若（）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x．A．每人分7本，则可多分9个人B．每人分7本，则剩余9本C．每人分9本，则剩余7本D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本9．（4分）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（）xmm+2ynn﹣3t5pA．16B．17C．18D．1910．（4分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，则下列结论：①∠AOE＝65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE＝∠DOF；④∠AOE＝∠GOD．其中正确结论的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）用不等式表示“a的2倍与4的差是负数”：．12．（4分）如图，在数轴上表示的x的取值范围是．13．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△第2页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 DEF的位置，AB＝10，DH＝4，阴影部分的面积为48，则平移距离为．14．（4分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．15．（4分）若关于x的不等式组的解集中任意一个x的值都不在1≤x≤4的范围内，则a的取值范围是．16．（4分）若实数a、b、c满足a+b＝2，c﹣a＝1，a≥﹣3b，则a+b+c的最大值为．三、解答题：（本题共9小题，共86分）17．（8分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．18．（8分）解不等式组．19．（8分）一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．第3页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 21．（8分）已知：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，E为AB上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明．22．（10分）2022年北京冬奥会、冬残奥会的纪念品得到广大民众的喜爱，某校想要购买A型、B型两种纪念品．已知购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．（1）求A型纪念品和B型纪念品的单价；（2）学校现需一次性购买A型纪念品和B型纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个A型纪念品？23．（10分）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1．第4页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 24．（12分）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．（1）已知A（﹣1，2），B（4，﹣3），C（﹣3，4），请问哪个点是方程2x+3y＝6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y＝6的“理想点”并说明理由；（2）已知m，n为非负整数，且，若P（，|n|）是方程2x+y＝8的“理想点”，求2m﹣n的平方根．（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝1和kx+2y＝5的“理想点”，求点P的坐标．25．（14分）已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．（1）如图1，求∠AME，∠E，∠ENC的数量关系．（2）利用（1）的结论解决以下问题：如图2所示，已知：AB∥CD，∠BED＝75°，∠BFD＝35°，若∠EBF＝x°，∠EDF＝y°且x＞y，求3x﹣2y的范围．（3）如图3，点G为CD上一点，∠EMN＝∠AMN，∠GEM＝∠GEK，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系．（用含m式子表示）第5页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 2022-2023学年福建省福州市仓山区现代中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列是二元一次方程的是（）A．3x﹣6＝xB．3x＝2yC．x﹣y2＝0D．2x﹣3y＝xy【分析】二元一次方程就是含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，依据定义即可判断．【解答】解：A、是一元一次方程，故错误；B、正确；C、未知数的项的最高次数是2，故错误；D、未知数的项的最高次数是2，故错误．故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程的条件：①只含有两个未知数；②未知数的项的次数都是1；③整式方程．2．（4分）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．【解答】解：因为a＞b且ac＜bc，所以c＜0．选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．故选：A．【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负．第6页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 3．（4分）用式子表示“4的平方根±2，正确的是（）A．B．C．±＝2D．【分析】根据算术平方根以及平方根的定义解决此题．【解答】解：A．根据算术平方根的定义，＝2表示4的算术平方根，故A不符合题意．B．根据算术平方根的定义，＝2表示4的算术平方根，故B不符合题意．B．根据平方根的定义，＝±2表示4的平方根是±2，那么C不符合题意．D．根据平方根的定义，＝±2表示4的平方根是±2，那么D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．4．（4分）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°【分析】根据邻补角互补和条件∠3+∠1＝180°，可得∠3＝∠5，再根据同位角相等，两直线平行可得结论．【解答】解：∵∠1+∠5＝180°，∠3+∠1＝180°，∴∠3＝∠5，∴AB∥CD，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握：同位角相等，两直线平行．5．（4分）已知直线AB、CB在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则第7页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形即可．【解答】解：根据题意可得图形，故选：B．【点评】本题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．6．（4分）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（）A．x+y＝1B．x+y＝﹣1C．x+y＝9D．x﹣y＝9【分析】方程组中的两个方程相加得出x+y+m﹣5＝4+m，整理后即可得出答案．【解答】解：，①+②得：x+y+m﹣5＝4+m，即x+y＝9，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．7．（4分）若，则a与b的关系是（）A．a＝b＝0B．a＝bC．a+b＝0D．【分析】根据立方根的和为0，可得被开数互为相反数，可得答案．第8页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：若，则a与b的关系是a+b＝0，故选：C．【点评】本题考查了立方根，注意立方根互为相反数被开方数互为相反数．8．（4分）把一些书分给几名同学，若（）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x．A．每人分7本，则可多分9个人B．每人分7本，则剩余9本C．每人分9本，则剩余7本D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本【分析】根据不等式表示的意义解答即可．【解答】解：由不等式7（x+9）＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人；若每人分11本，则不够；故选：A．【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．9．（4分）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（）xmm+2ynn﹣3t5pA．16B．17C．18D．19【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，∴p＝2m﹣3n+13＝5+13＝18，故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．10．（4分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，则下列结论：第9页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 ①∠AOE＝65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE＝∠DOF；④∠AOE＝∠GOD．其中正确结论的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，∠AOE的度数；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度数，得到OF平分∠BOD；又由OG⊥CD，即可求得∠GOE与∠DOF的度数．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠BOD＝∠CDO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD＝65°；故①正确；∵OF⊥OE，∴∠BOF＝90°﹣∠AOE＝25°，∵∠BOD＝50°，∴OF平分∠BOD；故②正确；∵OG⊥CD，CD∥AB，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝90°﹣∠AOE＝25°，∵∠DOF＝∠BOD＝25°，∴∠GOE＝∠DOF；第10页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 故③正确；∴∠AOE＝65°，∠GOD＝40°；故④错误．故正确的有：①②③．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）用不等式表示“a的2倍与4的差是负数”：2a﹣4＜0．【分析】直接利用“a的2倍”即2a，再减4小于零，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：2a﹣4＜0．故答案为：2a﹣4＜0．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．12．（4分）如图，在数轴上表示的x的取值范围是x＜1．【分析】根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得．【解答】解：在数轴上表示的x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．13．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，阴影部分的面积为48，则平移距离为6．第11页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平移的性质可知：AB＝DE，由此可求出EH的长．由S阴影DHCF＝S梯形ABEH结合梯形的面积公式即可求出BE．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DE＝AB＝10，DE∥AB，S△ABC＝S△DEF，∴EH＝10﹣4＝6，S阴影DHCF＝S梯形ABEH＝48，∴（EH+AB）BE＝48，∴（6+10）BE＝48，∴BE＝6，即平移的距离为6．故答案为：6．【点评】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．14．（4分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°．【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．【解答】解：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°，第12页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 而∠2+∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°．故答案为15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．15．（4分）若关于x的不等式组的解集中任意一个x的值都不在1≤x≤4的范围内，则a的取值范围是a≤﹣1或a≥3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再结合解集中任意一个x的值都不在1≤x≤4的范围内可得答案．【解答】解：解不等式x﹣a＞1，得：x＞a+1，解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，则不等式组的解集为a+1＜x＜a+2，∵解集中任意一个x的值都不在1≤x≤4的范围内，∴a+2≤1或a+1≥4，解得：a≤﹣1或a≥3，故答案为：a≤﹣1或a≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（4分）若实数a、b、c满足a+b＝2，c﹣a＝1，a≥﹣3b，则a+b+c的最大值为6．【分析】由c﹣a＝1得c＝a+1，与a+b＝2相加得a+b+c＝a+3，由a+b＝2且a≥﹣3b，可得a的最大值为3，从而得出a+b+c的最大值．【解答】解：由c﹣a＝1得c＝a+1，由a+b＝2得a+b+c＝a+3，∵a+b＝2且a≥﹣3b，第13页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 ∴a≤3，∴a+b+c的最大值＝3+3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了整数问题的综合运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．三、解答题：（本题共9小题，共86分）17．（8分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，合并同类项，得：﹣5x≤10，系数化为1，得：x≥﹣2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．（8分）解不等式组．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣4，所以不等式组的解集是﹣4≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的第14页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 解集是解此题的关键．19．（8分）一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣a+2＝0，解方程可得a，然后再求出这个正数即可．【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，则这个正数为9．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．【分析】根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．【解答】解：设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，1.5b×b＝7350，∴b＝70，或b＝﹣70（舍去），即宽为70米，长为1.5×70＝105米，∵100≤105≤110，64≤70≤75，∴符合国际标准球场的长宽标准．【点评】本题考查算术平方根的意义，列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提．21．（8分）已知：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，E为AB上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明．第15页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）证出AD∥EF，得出∠BEF＝∠BAD，再由平行线的性质得出∠BAD＝∠ADG，即可得出结论．【解答】（1）如图所示：（2）∠BEF＝∠ADG．理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADF＝∠EFB＝90°．∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠BEF＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）．∵DG∥AB，∴∠BAD＝∠ADG（两直线平行，内错角相等）．∴∠BEF＝∠ADG．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟记平行线的判定与性质是关键，注意两者的区别．22．（10分）2022年北京冬奥会、冬残奥会的纪念品得到广大民众的喜爱，某校想要购买A型、B型两种纪念品．已知购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．（1）求A型纪念品和B型纪念品的单价；（2）学校现需一次性购买A型纪念品和B型纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个A型纪念品？第16页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元，根据购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元得，可解得A型纪念品的单价是55元，B型纪念品的单价是40元；（2）设购买m个A型纪念品，由购买的总费用不超过5000元，得55m+40（100﹣m）≤5000，解不等式取符合条件的最大整数解即可．【解答】解：（1）设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元，根据题意得，解得，答：A型纪念品的单价是55元，B型纪念品的单价是40元；（2）设购买m个A型纪念品，∵购买的总费用不超过5000元，∴55m+40（100﹣m）≤5000，解得m≤66，∵m是整数，∴m最大取66，答：最多可以购买66个A型纪念品．【点评】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及不等式．23．（10分）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1．【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得；（2）先根据不等式的性质得出2m+1＜0，解得m＜﹣，结合以上求出m的范围可得答案．【解答】解：（1）解方程组得，由题意知，第17页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 解得﹣2≤m＜2；（2）由2mz+z＜2m+1得（2m+1）z＜2m+1，∵不等式的解集为z＞1，∴2m+1＜0，解得m＜﹣，则﹣2≤m＜﹣，∴符合条件的整数m的值为﹣2、﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．24．（12分）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．（1）已知A（﹣1，2），B（4，﹣3），C（﹣3，4），请问哪个点是方程2x+3y＝6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y＝6的“理想点”并说明理由；（2）已知m，n为非负整数，且，若P（，|n|）是方程2x+y＝8的“理想点”，求2m﹣n的平方根．（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝1和kx+2y＝5的“理想点”，求点P的坐标．【分析】（1）根据“理想点”定义进行判断即可；（2）根据题意求出m和n的值，进一步求解即可；（3）解二元一次方程组，得出，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可．【解答】解：（1）点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”，理由如下：∵x＝﹣1，y＝2时，2x+3y＝2×（﹣1）+3×2＝﹣2+6＝4≠6，x＝4，y＝﹣3时，2x+3y＝2×4+3×（﹣3）＝8﹣9＝﹣1≠6，x＝﹣3，y＝4时，2x+3y＝2×（﹣3）+3×4＝﹣6+12＝6，∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”；第18页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 （2）把代入方程2x+y＝8，得，又∵，解得，∵m，n为非负整数，∴m＝9，n＝2，∴2m﹣n＝18﹣2＝16，∴＝±4；（3）根据题意，得，解得，∵x是整数，∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±3，∵y是整数，∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2或k﹣4＝±3或k﹣4＝±6，∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±3，当k﹣4＝1时，，当k﹣4＝﹣1时，，当k﹣4＝3时，，当k﹣4＝﹣3时，，综上，P点坐标为（3，﹣5）或（﹣3，7）或（1，﹣1）或（﹣1，3）．【点评】本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键．25．（14分）已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．第19页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 （1）如图1，求∠AME，∠E，∠ENC的数量关系．（2）利用（1）的结论解决以下问题：如图2所示，已知：AB∥CD，∠BED＝75°，∠BFD＝35°，若∠EBF＝x°，∠EDF＝y°且x＞y，求3x﹣2y的范围．（3）如图3，点G为CD上一点，∠EMN＝∠AMN，∠GEM＝∠GEK，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系．（用含m式子表示）【分析】（1）过点E作EL∥AB，利用平行线的性质可得∠1＝∠BME，∠2＝∠DNE，由∠MEN＝∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）根据（1）中的关系得出x与y的关系式，再根据已知条件x∥y列出y的不等式求得y的取值范围；（3）由已知∠EMN＝∠BMN，∠GEN＝∠GEK，EH∥MN，可得∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，因为∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM，等量代换得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点E作EL∥AB，∵AB∥CD，∴EL∥AB∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∵∠MEN＝∠1+∠2，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE；（2）由（1）的结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CFD＝35°，∠BED＝∠ABE+∠CDE＝∠ABF+∠EBF+∠CDF+∠EDF＝75°，第20页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 即x°+y°+35°＝75°，∴x°＝40°﹣y°，∴3x﹣2y＝120﹣5y，∵x＞y，∴40﹣y＞y，∴y＜20，∴0＜y＜20，当y＝0时，120﹣5y＝120，当y＝20时，120﹣5y＝20，∴3x﹣2y的范围为：20＜3x﹣2y＜120；（3）∵∠AMN＝∠EMN，∠GEK＝∠GEM∴m∠AMN＝∠EMN，m∠GEK＝∠GEM，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠EMN＝m∠AMN，∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM＝m∠GEK﹣m∠AMN，∴∠GEK＝∠GEM＝（∠GEH+∠HEM），∴m∠GEK＝∠GEH+∠HEM，∵∠BMN＝180°﹣∠AMN，∴∠BMN+∠KEG﹣∠GEH＝180°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，根据平行线的性质得出角的关系．第21页（共22页）学科网（北京）股份有限公司 第22页（共22页）学科网（北京）股份有限公司