【精选】2024.1~2新高考新结构联考卷29套（解析版）
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精选2024.1~2新高考新结构联考卷29套解析版目录安徽省2024届“耀正优＋”高三名校期末测试数学试题1河北省金太阳联考2024届高三上学期摸底考试数学试题15江西省上饶市六校2024届高三第一次联合考试（2月）数学试卷28江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试数学试题40河南省金太阳联考2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题54辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三高考适应性考试模拟数学试题63河北省衡中同卷2023-2024学年高三1月考试数学试题80福建省名校联盟全国优质校2024届高三大联考数学试卷95浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题1072024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题124湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷132安徽省部分学校2023-2024学年高三下学期春季阶段性检测数学试题141甘肃省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试题153广东省衡水金卷2024届高三年级2月份大联考数学试题167江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷177江西省上进联盟2023-2024学年高三下学期一轮总复习（开学考）验收考试数学试卷192重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题202,湖南省名校教育联盟2024届高三下学期入学摸底考试数学试题216广东省、福建省、甘肃省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题228山东省齐鲁名校联盟2024届高三下学期开学质量检测数学试题239浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学联考数学试题253湖南省、贵州省2023-2024学年高三下学期2月开学金太阳联考数学试题260河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(V)数学试题269安徽省1号卷A10联盟2024届高三开年考数学试题278黑龙江省“六校联盟”2023-2024学年高三下学期联合性适应测试数学试题290安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试(2月)数学试题305浙江省新阵地教育联盟2024届高三下学期第三次联考(开学考试)数学试题320河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题335江西省名校教研联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷343,安徽省2024届“耀正优＋”高三名校期末测试数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U=1,2,3,4,5,A=2,3,B=xx=2k,k∈Z，则B∩∁UA=()A.4B.2,4C.1,2D.1,3,5答案A【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.解析∵U=1,2,3,4,5,A=2,3，∴∁UA=1,4,5，又B=xx=2k,k∈Z∴B∩∁UA=4故选：A．132.复数i-i的虚部是().A.-8B.-8iC.8D.8i答案A【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项.13i2-13-2313解析因为i-i=i=i=-8i，所以复数i-i的虚部是-8，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题.13.已知向量a=0,-2，b=1,t，若向量b在向量a上的投影向量为-a，则a⋅b=()2511A.-2B.-C.2D.22答案A【分析】根据向量投影的概念运算求出t，再利用向量数量积运算求得结果.aa⋅ba解析由题b在a上的投影向量为b⋅cosθ×=2=0,t，aa1又-a=0,1，∴t=1，即b=1,1，2∴a⋅b=0×1+-2×1=-2.故选：A.π224.在△ABC中，“C=”是“sinA+sinB=1”的()2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A·1·,【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式，可得答案.解析在△ABC中，A+B+C=π，则B=π-C-A，πππ充分性：当C=2时，B=2-A，sinB=sin2-A=cosA，2222π22sinA+sinB=sinA+cosA=1，所以“C=”是“sinA+sinB=1”的充分条件;222ππππ必要性：当sinA+sinB=1时，取A=，B=+=A+，121222222π2πππ此时满足sinA+sinB=sin+cos=1，但C=≠，121232π22所以“C=”是“sinA+sinB=1”的不必要条件.2π22综上所述，“C=”是“sinA+sinB=1”的充分不必要条件.2故选：A.225.过点0,-2与圆x+y-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则cosα=()115110A.B.C.-D.4444答案A22【分析】圆的方程化为(x-2)+y=5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin∠BPC，由二倍角公式可得cosα的值．2222解析圆x+y-4x-1=0可化为(x-2)+y=5，则圆心C(2,0)，半径为r=5；22设P(0,-2)，切线为PA、PB，则PC=2+2=22，BC52521△PAC中，sin∠BPC=PC=22，所以cosα=1-2sin∠BPC=1-2×22=4．故选：A．6.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为()A.24B.120C.48D.60答案C【分析】将AB捆绑在一起，计算得到答案.42解析将AB捆绑在一起，共有A4×A2=48种排法.故选：C.221n7.若系列椭圆Cn:anx+y=1(0<an<1，n∈n*)的离心率en=2，则an=()1n1n1n1na.1-4b.1-2c.1-2d.1-4答案a·2·,【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.2y2x解析椭圆cn可化为：+=1.11an1-1can1n1n因为0<an<1，所以离心率en=a==2，解得：an=1-4.1an故选：a8.已知等差数列an(公差不为0)和等差数列bn的前n项和分别为sn、tn，如果关于x的实系数方程221003x-s1003x+t1003=0有实数解，那么以下1003个方程x-aix+bi=0i=1,2,⋯1003中，有实数解的方程至少有()个.a.499b.500c.501d.502答案d22【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到a502-4b502≥0，要想无实根，需满足ai-4bi<0，结合根的判别式与基本不等式得到δ1<0,δ1003<0至多一个成立，同理可证：δ2<0,δ1002<0至多一个成立，⋯δ501<0,δ503<0至多一个成立，且δ502≥0，从而得到结论.21003a1+a1003解析由题意得：s1003-4×1003t1003≥0，其中s1003==1003a502，21003b1+b10032t1003==1003b502，代入上式得：a502-4b502≥0，222要方程x-aix+bi=0i=1,2,3,⋯,1003无实数解，则ai-4bi<0，显然第502个方程有解.22设方程x-a1x+b1=0与方程x-a1003x+b1003=0的判别式分别为δ1,δ1003，2222则δ1+δ1003=a1-4b1+a1003-4b1003=a1+a1003-4b1+b100322a1+a10032a5022≥-4×2b502=-8b502=2a502-4b502≥0，22等号成立的条件是a1=a1003，所以δ1<0,δ1003<0至多一个成立，同理可证：δ2<0,δ1002<0至多一个成立，⋯δ501<0,δ503<0至多一个成立，且δ502≥0，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，故选：d.【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0,b>0，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲22ab线C左、右两支分别交于P，Q两点,与其两条渐近线分别交于R，S两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l，使得AP∥ORB.l在运动的过程中，始终有PR=SQC.若直线l的方程为y=kx+2，存在k，使得S△ORB取到最大值2D.若直线l的方程为y=-x-a，RS=2SB，则双曲线C的离心率为32答案BD【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线l：y=kx+t分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出P,Q和R,S坐标，从而可对B、C项判断；根据RS=2SB，求出b=2a，从而可对D项判断.解析对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；y=kx+t对于B项：设直线l:y=kx+t，与双曲线联立22，得：b2-a2k22-2a2ktx-a2t2+a2b2xyx=0，2-2=1ab222222aktab+at设Px1,y1，Qx2,y2，由根与系数关系得：x1+x2=222，x1x2=-222，b-akb-akx+xy+y2221212aktakt所以线段PQ中点N,=,+t，22b2-a2k2b2-a2k2batbt将直线l：y=kx+t，与渐近线y=ax联立得点S坐标为Sb-ak,b-ak，b-atbt将直线l：y=kx+t与渐近线y=-ax联立得点R坐标为Rb+ak,b+ak222aktakt所以线段RS中点M,+t，b2-a2k2b2-a2k2PQ-RS所以线段PQ与线段RS的中点重合，所以PR==SQ，故B项正确；2·4·,-2a2b112b对于C项：由B项可得Rb+ak,b+ak，S△ORB=2OB×yR=2OBb+ak，因为OB为定值，bb2b当k越来越接近渐近线y=-ax的斜率-a时，b+ak趋向于无穷，所以S△ORB会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；2baab对于D项：联立直线l与渐近线y=ax，解得S2b+a,2b+a，ba2ab联立直线l与渐近线y=-ax，解得R-2b+a,2b-a由题可知，RS=2SB，所以yS-yR=2yB-yS即3yS=yR+2yB3abab=，解得b=2a，所以e=3，故D项正确.2b+a2b-a故选：BD.11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()πA.直线AE与PB所成的角为2B.△ABE的周长最小值为4+346C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为326-2D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为5答案ACD【分析】A选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一平面内，由余弦定理求出AE+BE的最小值，得到周长的最小值；C选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.解析A选项，连接AD，由于D为PB的中点，所以PB⊥CD，PB⊥AD，又CD∩AD=D，AD,CD⊂平面ACD，所以直线PB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，所以PB⊥AE，故A正确；·5·,B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E，则AE+BE的最小值即为AB的长，由于AD=CD=23，AC=4，222232+232-42CD+AD-AC1cos∠ADC===，2CD⋅AD2×23×233π1cos∠ADB=cos2+∠ADC=-sin∠ADC=-3，2222222166所以AB=BD+AD-2BD⋅ADcos∠ADB=2+23-2×2×23×-=16+，3316666故AB=16+=41+，△ABE的周长最小值为4+41+，B错误；333C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，取AC的中点M，连接BM,PM，过点P作PF垂直于BM于点F，则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，22因为AM=2,AB=4，所以BM=AB-AM=23，同理PM=23，123则MF=BM=，332246故PF=PM-MF=，346设OF=ON=R，故OP=PF-OF=-R，346-RONOPR3因为△PNO∽△PFM，所以=，即=，FMPM232336解得R=，C正确；3D选项，4个小球分两层(1个，3个)放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q-VKG，26由C选项可知，其高为r，3由C选项可知，PF是正四面体P-ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，26则QS=r，SF=r，31由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体P-HJI中，QZ=r，QP=3r，4·6·,26626-2正四面体Q-VKG高为3r+r+r=×4，解得r=，D正确.335故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于．答案3920【分析】根据小于300的所有末尾是1的三位数是以101为首项，以10为公差的等差数列求解.解析解：小于300的所有末尾是1的三位数是101，111，121，⋯，291，是以101为首项，以10为公差的等差数列，20×101+291所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为S20==3920,2故答案为：3920ax13.已知函数fx=lnx+1-，若fx≥0恒成立，则a=.x+1答案1【分析】对f(x)求导，分a>0和a≤0两种情况，判断f(x)的单调性，求出f(x)的最小值，再结合fx≥0恒成立求出a的取值范围.1ax-a-1解析由题可得f(x)的定义域为-1,+∞，且fx=-=，x+1(x+1)2(x+1)2①当a≤0时，fx>0，所以fx在-1,+∞上单调递增，所以当x∈-1,0时，fx<f0=0，与fx≥0矛盾；②当a>0时，当x∈-1,a-1时，fx<0,fx单调递减，当x∈a-1,+∞时，fx>0,fx单调递增，所以f(x)min=fa-1=lna-a-1，11-a因为fx≥0恒成立，所以lna-a-1≥0，记ga=lna-a-1,ga=-1=,当a∈aa0,1时，ga>0,ga单调递增，当a∈1,+∞时ga<0,ga单调递减，所以g(a)max=g1=0，所以lna-a-1≤0在(0,+∞)上恒成立，故要使lna-a-1≥0恒成立，则lna-a-1=0，所以a=1.故答案为：12p14.已知抛物线C:y=2px(p>0)，点P为抛物线上的动点，点A4-2,0与点P的距离AP的最小值为2，·7·,则p=.答案2-2,4,123p23p22【分析】由题意得|AP|=x-4-+8p-2p，对4-与0的大小关系分类讨论即可得解.22p2pp22222解析设Px,y,|AP|=x-4-+y=x-24-x+4-+2px=x-8-3px+222p24-23p22=x-4-+8p-2p23p8222(i)当4-≥0，即0<p≤时，|ap|有最小值8p-2p，即ap有最小值8p-2p=2，238解得p=2±2，由于2+2>，故p=2-2.33p82p2p(ii)当4-<0，即p>时，|AP|有最小值4-，即AP有最小值4-=2，解得p=4或232212.综上，p的值为2-2,4,12.故答案为：2-2,4,12.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2,c=4,acosC+b=0.(1)求a；3π(2)已知点D在线段BC上，且∠ADB=，求AD长.4答案(1)10；45(2).5【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.(2)由(1)的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.222a+b-c解析(1)在△ABC中，由acosC+b=0及余弦定理，得a⋅+b=0，2ab222即a+3b-c=0，而b=2,c=4，所以a=10.222b+a-c2+10-165(2)由(1)知a=10，由余弦定理得cosC===-，2ab2×2×1052253ππC为三角形内角，则sinC=1-cosC=，而∠ADB=，于是∠ADC=，544ADAC在△ADC中，由正弦定理得=，sinCsin∠ADC252×AC⋅sinC545所以AD===.sin∠ADC25216.（15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；·8·,(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.答案(1)0.2(2)分布列见解析，数学期望为0.6【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；(2)根据独立重复实验相关概率计算知识可得答案.解析(1)设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A，则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则PA=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2.(2)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3，由(1)可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则X∼B3,0.2，00312所以PX=0=C3×0.2×(1-0.2)=0.512,PX=1=C3×0.2×(1-0.2)=0.384，22330PX=2=C3×0.2×1-0.2=0.096,PX=3=C3×0.2×(1-0.2)=0.008，故X的分布列为X01230.51P0.3840.0960.0082所以EX=3×0.2=0.6.17.（15分）如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4，B为底面圆周上异于A，C的点.(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；(2)设平面A1AB∩平面C1CB=l，Q∈l，BC1与平面QAC所成角为α，当四棱锥B-A1ACC1的体积最大时，求sinα的取值范围.答案(1)作图及理由见解析；14(2)0,.4【分析】(1)取BC中点P，作直线C1P，再利用线面平行的判定推理作答.(2)延长AA1,CC1交于点O，作直线BO，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答.解析(1)取BC中点P，作直线C1P，则直线C1P即为所求，1取AB中点H，连接A1H,PH，则有PH⎳AC,PH=AC，如图，2·9·,1在等腰梯形A1ACC1中，A1C1=AC，有HP⎳A1C1,HP=A1C1，则四边形A1C1PH为平行四边形，2即有C1P⎳A1H，又A1H⊂平面A1AB，C1P⊄平面A1AB，所以C1P⎳平面A1AB.(2)延长AA1,CC1交于点O，作直线BO，则直线BO即为直线l，如图，过点B作BO⊥AC于O，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，因此BO⊥平面A1ACC1，即BO为四棱锥B-A1ACC1的高，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，22BA⋅BCBA+BC1BO=≤=AC，当且仅当BA=BC时取等号，此时点O与O2重合，AC2AC21梯形A1ACC1的面积S为定值，四棱锥B-A1ACC1的体积VB-A1ACC1=3S⋅BO，于是当BO最大，即点O与O2重合时四棱锥B-A1ACC1的体积最大，BO2⊥AC,BO2=2，以O2为原点，射线O2A,O2B,O2O1分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，2AC-A1C12在等腰梯形A1ACC1中，AC=2AA1=2A1C1=4，此梯形的高h=AA1-=3，2显然A1C1为△OAC的中位线，则O(0,0,23),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(-1,0,3)，BC1=(-1,-2,3),AB=(-2,2,0),BO=(0,-2,23),O2A=(2,0,0)，设BQ=λBO,λ∈R，则AQ=AB+BQ=AB+λBO=(-2,2-2λ,23λ)n⋅O2A=2x=0设平面QAC的一个法向量n=(x,y,z)，则，令y=3λ，得n=(0,n⋅AQ=-2x+(2-2λ)y+23λz=03λ,λ-1)，|n⋅BC1||-2×3λ+3(λ-1)|则有sinα=|cos‹n,BC1›|==22222=|n||BC1|(3λ)+(λ-1)×(-1)+(-2)+(3)·10·,3|λ+1|，222×4λ-2λ+13|t|令t=λ+1，则sinα=，当t=0时，sinα=0，222×4t-10t+733147当t≠0时，0<sinα==≤，当且仅当t=，即λ71015234522×2-+422×7-+ttt772=时取等号，514综上得0≤sinα≤，414所以sinα的取值范围是0,.4【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.18.（17分）已知函数fx=lnx-axx-1.(1)当a<0时，探究fx零点的个数；2+a3(2)当a>0时，证明：fx≤-.a2+8a-a2答案(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)首先求得导函数，然后分类讨论确定fx零点的个数即可；(2)由题意可知fx在0,+∞上有1个零点，结合不等式的特点，构造函数g(x)=lnx-(x-1)，对函数g(x)进行求导，利用导数推出lnx-(x-1)≤0成立，再代入进行求证即可.21-2ax+ax+1解析(1)fx=-2ax+a=，定义域为0,+∞.xx21当a<0时，二次函数y=-2ax+ax+1的图象开口向上，对称轴为x=.42①a+8a<0，即-8<a<0时，fx在0,+∞上无零点；21②a+8a=0，即a=-8时，fx在0,+∞上有1个零点；42③a+8a>0，即a<-8时，fx在0,+∞有2个不同的零点；综上，当-8<a<0时，fx在0,+∞上无零点；当a=-8时，fx在0,+∞上有1个零点；当a<-8时，fx在0,+∞有2个不同的零点；22(2)证明：由(1)分析知，当a>0时，二次函数-2ax+ax+1的图象开口向下，此时a+8a>0，fx在0,+∞上有1个零点，设零点为x0，ax+1220a+a+8a则ax0=，解得，x0=，24a进一步，当0<x<x0时，fx>0，fx单调递增，当x>x0时，fx<0，fx单调递减，2ax0+1ax0-1所以fx≤fx0=lnx0-ax0x0-1=lnx0-ax0+ax0=lnx0-+ax0=lnx0+，22不妨设g(x)=lnx-(x-1)，函数定义域为0,+∞，11-x可得gx=-1=，xx当0<x<1时，gx>0，g(x)单调递增；当x>1时，gx<0，g(x)单调递减，所以当x=1时，函数g(x)取得最大值，最大值g(1)=0，则lnx-(x-1)≤0成立，·11·,2a+a+8a2+aax0-1ax0-1a+2x034a32+a此时lnx0+≤x0-1+=-=-=-222222a2+8a-a3，22+a3故fx≤-.a2+8a-a219.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿MQ波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比=MPλλ>0,λ≠1，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M2y222x的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x+y=4，定点分别为椭圆C:+=1a>b>0的右焦点F与22ab1右顶点A，且椭圆C的离心率为e=．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过右焦点F斜率为kk>0的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．BS①求的取值范围；DS81π②将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为，求直线l的方程．82y2x1510答案(1)8+6=1；(2)①3,1；②y=2x-2．2222222x-2aλλa-c【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x+y+x+22λ-1λ-1MF=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方MABSBFBF程；(2)①首先由面积比值求得=，令=λ，则BF=λFD，利用坐标表示向量，求得λ=DSDFDF3，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关5-2x0·12·,BF2r-BF112-2x022系列式得=，求得r，再根据-==，求得x0,y0，即可19DF2r+DFBFDF322-2x0计算直线方程.c-2c+22解析(1)方法(1)特殊值法，令M±2,0，=，且a=2c，解得c=2a+2a-22y22222x∴a=8，b=a-c=6，椭圆C的方程为+=186MFx-c2+y2方法(2)设Mx,y，由题意==λ(常数)，22MAx-a+y2222222x-2aλλa-c整理得：x+y+x+=0，22λ-1λ-122c-2aλ2=0λ-1c1故，又=，解得：a=22，c=2．222a2λa-c=-4λ2-12y2222x∴b=a-c=6，椭圆C的方程为+=1．8622方法(3)设Mx,y，则x+y=4．MFx-c2+y2x-c2+4-x22c+4-2cx由题意===22222MAx-a+yx-a+4-xa+4-2axMFc2+4cc122222∵为常数，∴=，又=，解得：a=8，c=2，故b=a-c=6a2+4aa2MA2y2x∴椭圆C的方程为+=1861S△SBF2SB⋅SF⋅sin∠BSFSBS△SBFBF(2)①由==，又=，S△SDF1SD⋅SF⋅sin∠DSFSDS△SDFDF2BSBF∴=(或由角平分线定理得)DSDFBF22令=λ，则BF=λFD，设Dx0,y0，则有3x0+4y0=24，DFxB=2λ+1-λx022又直线l的斜率k>0，则x0∈-22,2，代入3x+4y-24=0得：yB=-λy0222321+λ-λx0+4λy0-24=0，即λ+15λ-3-2λx0=0，31∵λ>0，∴λ=∈3,1．5-2x0SBTBBF②由①知，==，由阿波罗尼斯圆定义知，SDTDDFS，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，BFNBBF2r-BF1则有=，即=，解得：r=．11DFNDDF2r+DF-BFDF·13·,28191122又S圆C=πr=π，故r=，∴-=18229BFDF222321又DF=x0-2+y0=x0-2+6-4x0=22-2x0，11115-2x012-2x022∴-=-=-==，1119BFDFλDFDF322-2x022-2x0322-2x0232310解得：x0=-，y0=-6-x0=-，244-y05510∴k==，∴直线l的方程为y=x-．2-x0222【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.·14·,河北省金太阳联考2024届高三上学期摸底考试数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=A∪B=x∈N0≤x≤8，A∩∁UB=1,3,5，则集合B为()A.2,4,6,7B.0,2,4,6,8C.0,2,4,6,7,8D.0,1,2,3,4,5,6,7,8答案C【分析】利用韦恩图即可得解.解析因为U=A∪B=x∈N0≤x≤8=0,1,2,3,4,5,6,7,8，又A∩∁UB=1,3,5，所以B=0,2,4,6,7,8.故选：C.2.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是()A.若α⎳β，l⊂α，n⊂β，则l⎳nB.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC.若l⊥n，m⊥n，则l⎳mD.若l⊥α，l⎳β，则α⊥β答案D【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.解析对于A，若α⎳β，l⊂α，n⊂β，则l与n可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若α⊥β，l⊂α，则l与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，若l⊥n，m⊥n，则l与m可能平行，也可能相交或异面，故C错误；对于D，若l⎳β，则由线面平行的性质定理可知，必有l1⊂β，使得l⎳l1，又l⊥α，则l1⊥α，因为l1⊂β，所以α⊥β，故D正确.故选：D.23.若抛物线x=2py(p>0)上一点Mn,6到焦点的距离是4p，则p的值为()12767A.B.C.D.71276答案A【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.2p解析因为抛物线x=2py(p>0)的准线为y=-，2p12由题意可得：6+=4p，解得p=.27·15·,故选：A.4.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()1418A.B.C.D.99327答案B【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.4解析甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：3=81种；23每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C4A3=36种；364由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：=.819故选：B.5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧⋯⋯以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为()A.44πB.64πC.70πD.80π答案D【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.2π解析由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，32π则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an=⋅n，32π所以S15=1+2+3+⋯+15=80π.3故选：D．226.已知圆C:x+2x+y-1=0，直线mx+ny-1=0与圆C交于A，B两点.若△ABC为直角三角形，则()22A.mn=0B.m-n=0C.m+n=0D.m-3n=0答案A22【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB=2r-d进行求解即可.·16·,22解析因为圆C:x+2x+y-1=0，圆心为C-1,0，半径为r=2，即CA=CB=222因为△ABC为直角三角形，所以AB=CB+CA=2,-m-nm+n设圆心C-1,0到直线mx+ny-1=0的距离为d，d==2222m+nm+n22m+n由弦长公式AB=2r-d得d=1，所以=1，化简得mn=0.22m+n故选：A.7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A.3.5B.4C.4.5D.5答案D【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.解析设甲组数据分别为x1、x2、⋯、x6，乙组数据分别为x7、x8、⋯、x12，66661122甲组数据的平均数为xi=3，可得xi=18，方差为xi-3=5，可得xi-3=30，66i=1i=1i=1i=1121212121122乙组数据的平均数为xi=5，可得xi=30，方差为xi-5=3，可得xi-5=18，66i=7i=7i=7i=712118+30混合后，新数据的平均数为xi==4，1212i=1612612122122方差为12xi-4+xi-4=12xi-3-1+xi-5+1i=1i=7i=1i=7612612122=12xi-3+xi-5-2xi-3+2xi-5+12i=1i=7i=1i=71=×30+18-2×3-3×6+2×5-5×6+12=5.12故选：D.8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点22Ax1,y1,Bx2,y2的曼哈顿距离为：dA,B=x1-x2+y1-y2.已知点M在圆O:x+y=1上，点N在直线l:3x+y-9=0上，则dM,N的最小值为()91091018-21010A.B.-1C.D.3-101053答案D【分析】如图，作过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，过点N作NA⊥MB于点A，结合直线的斜率得出MN平行于x轴，dM,N最小，再设M(cosθ,sinθ)，求出MB，利用三角函数知识得最小值．解析如图，过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，过点N作NA⊥MB于点A,dM,N表示NAMA+NA的长度，因为直线l的方程为3x+y-9=0，所以tan∠NBA=3,=3，即NA=3AB,ABdM,N=MA+3AB=MB+2AB，当固定点M时，MB为定值，此时AB为零时，dM,N最小，即N与B重合(MN平行于x轴)时，dM,N最小，如图所示，9-sinθ1设M(cosθ,sinθ)，θ∈0,2π，则xB==3-sinθ，3311MB=xB-cosθ=3-sinθ-cosθ=3-(sinθ+3cosθ)，33·17·,由三角函数知识可知sinθ+3cosθ=10sinθ+φ，其中tanφ=3，则其最大值是10，10所以d(M,N)min=3-，故D正确.3故选：D.1【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到MB=xB-cosθ=3-sinθ-cosθ，再利3用辅助角公式即可求出其最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.设集合P=x0≤x≤4,Q=y0≤y≤4，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有()A.B.C.D.答案BD【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．解析对于A：由图象可知定义域不是P，不满足；对于B：定义域为P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足；对于C：集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足；对于D：由函数定义可知D满足．故选：BD．31810.已知二项展开式fx=x-x，下列说法正确的有()A.fx的展开式中的常数项是56B.fx的展开式中的各项系数之和为0C.fx的展开式中的二项式系数最大值是70D.fi=-16，其中i为虚数单位·18·,答案BC【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.k38-k1kkk24-4k解析Tk+1=C8x-x=-1C8x，66对A：令24-4k=0，即k=6，则T7=-1C8=28，故A错误；18对B：令x=1，即f1=1-1=0，故各项系数之和为0，故B正确；48×7×6×5对C：由n=8，故二项式系数中的最大值为C8==70，故C正确；4×3×2×13188对D：fi=i-i=-i+i=0，故D错误.故选：BC.*11.在△ABC中，若A=nBn∈N，则()A.对任意的n≥2，都有sinA<nsinbb.对任意的n≥2，都有tana<ntanbc.存在n，使sina>nsinB成立D.存在n，使tanA>ntanB成立答案AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.ππ解析在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B=，则A=，tanA=1，124ππ3-1tanB=tan3-4==2-3，3tanB=3(2-3)，则tanA>3tanB，B错，D对；1+30<a<π0<nb<ππ显然0<b<π，即0<b<π，则0<b<，0<c<π0<π-b-nb<πn+1π令f(x)=sinnx-nsinx，0<x<,n≥2，f(x)=ncosnx-ncosx=n(cosnx-cosx)<0，n+1π因此函数f(x)在0,n+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sinnb<nsinb，从而sina<nsinb，a对，c错.故选：ad【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a,b满足2a+b=3，则a-b=.答案31【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得a⋅b=-，再由运算律求a-b即可.2221解析因为2a+b=3，所以4a+4a⋅b+b=3，所以a⋅b=-，2222则(a-b)=a-2a⋅b+b=3，故a-b=3.故答案为：313.定义两个点集s、t之间的距离集为ds,t=pqp∈s,q∈t，其中pq表示两点p、q之间的距2离，已知k、t∈r，s=x,yy=kx+t,x∈r，t=x,yy=4x+1,x∈r，若ds,t=1,+∞，则t的值为.·19·,答案-522【分析】集合t表示双曲线y-4x=1上支的点，集合s表示直线y=kx+t上的点，ds,t=1,+∞，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1，计算得到答案.22222解析y=4x+1，即y-4x=1，y≥0，故集合t表示双曲线y-4x=1上支的点，集合s表示直线y=kx+t上的点，ds,t=1,+∞，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为y=±2x，不妨取2x+y=0，则y=-2x+t，即2x+y-t=0，t平行线的距离d==1，故t=-5或t=5(舍去).1+4故答案为：-5.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为1是解题的关键.2314.已知c:y=x，过点p1,0倾斜角为60°的直线l交c于a、b两点(a在第一象限内)，过点a作ad⊥22πx轴，垂足为d，现将c所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得∠x上平面-x下平面=，则几何体3pabd外接球的表面积为．答案13π【分析】翻折前，将直线l的方程与抛物线的方程联立，求出点a、b的坐标，然后以以原坐标原点o为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线op所在直线为y轴，过点o且垂直于平面opb的直线作z轴建立空间直角坐标系，设球心为ga,b,c，根据球心的性质可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.解析翻折前，设点ax1,y1、bx2,y2，则y1>0，直线l的方程为y=3x-1，1y=3x-1x1=2x2=213联立y2=3x可得y=3或3，即点A2,3、B2,-2，21y2=-2·20·,易知点D2,0，翻折后，以原坐标原点O为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线OP所在直线为y轴，过点O且垂直于平面OPB的直线作z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，3133则P0,1,0、D0,2,0、B2,2,0、A-2,2,2，设四棱锥P-ABD的外接球球心为Ga,b,c，a2+b-12+c2=a2+b-22+c23a=222321222a+b-1+c=a-+b-+c3由题意可得22，解得b=2，222322323a+b-1+c=a+2+b-2+c-2c=2333332913所以，球心为G2,2,2，所以，球G的半径为PG=4+2-1+4=2，2因此，球G的表面积为4πAG=13π.故答案为：13π.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数fx=alnx-x．(1)当a=1时，求函数fx的单调区间；(2)当a>0时，求函数fx的最大值．答案(1)fx在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+∞)上为减函数；(2)a(lna-1)【分析】(1)直接利用函数的导数确定函数的单调区间．(2)求导根据函数的单调性即可求解最值．解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，11-x当a=1时，fx=lnx-x，fx=-1=，xx1-x当fx=>0，解得：0<x<1，x1-x当fx=<0，解得：x>1．x∴f(x)在(0,1)上为增函数；f(x)在(1,+∞)上为减函数；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，aa-xfx=-1=，xx当a>0时，令fx>0，得0<x<a，令fx<0时，得x>a，∴f(x)的递增区间为0,a，递减区间为a,+∞．·21·,f(x)max=alna-a=a(lna-1).Sn1116.（15分）设Sn为数列an的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.nn+123(1)求an的通项公式；2n-1annn6-1(2)令bn=，Tn为数列bn的前n项积，证明：∑Ti≤.Sni=152答案(1)an=n(2)证明见解析【分析】(1)由等差数列定义可得Sn，由Sn与an的关系即可得an；n-1(2)由Sn与an可得bn，即可得Tn，由2n+1n+1≥6，可得Tn≤6，借助等比数列求和公式计算即可得证.Sn11解析(1)由是首项为、公差为的等差数列，nn+123Sn11n1故=+n-1=+，nn+12336n1n2n+1n+1即Sn=3+6nn+1=6，n2n-1n-1当n≥2时，Sn-1=，6n2n+1n+1n2n-1n-1故Sn-Sn-1=an=-6622n2n+3n+1-2n+3n-12==n，63×2当n=1时，a1=S1==1，符合上式，62故an=n；2n2n+1n+1(2)由an=n，Sn=，622n-1an62n-1n62n-1n故bn===，Snn2n+1n+12n+1n+162-164-1×262n-1n则Tn=b1b2⋯bn=⋅⋅⋯⋅2+11+14+12+12n+1n+16n2-1n6==，2n+1n+12n+1n+1由2n+1n+1≥3×2=6，n6n-1故Tn≤=6，6nn1×1-6nnn-16-1则∑Ti≤∑6==.i=1i=11-6517.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(0<p<1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记x为试验结束时所进行的试验次数，x的数学期望为ex．1(1)证明：ex<；p(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2，每次试验的成本为a(a>0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．·22·,答案(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析k-17【分析】(1)由题意，X=1,2,3,...,8，P(X=k)=p(1-p),k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)，列出分布0126列，列出E(X)，乘公比错位相减法求和S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，分析可证明1EX<；p1(2)由(1)可得E(X)<=5，分析即得解p解析(1)由题意，X=1,2,3,...,8k-17故P(X=k)=p(1-p),k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)分布列如下：X12345678234567Ppp(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)(1-p)01267所以X的数学期望E(X)=p(1-p)+2p(1-p)+3p(1-p)+⋯+7p(1-p)+8(1-p)，0126记S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，1237(1-p)S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，7012671-1-p7作差可得，pS=1-p+1-p+1-p+⋯+1-p-71-p=-71-p，p7871-(1-p)71-(1-p)1则E(X)=pS+8(1-p)=+(1-p)=<；ppp1(2)由(1)可知E(X)<=5，则试验成本的期望小于5a元，p试验成功则获利8a元，且8a>5a，则该公司应该投资该产品2y2x118.（17分）已知椭圆C：2+2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2，经过点F1且倾斜abπ角为θ0<θ<2的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，△ABF2的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直．·23·,π①若θ=，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；3π15②是否存在θ0<θ<2，使得折叠后△ABF2的周长为2？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．2y2x13335答案(1)+=1；(2)①；②存在；tanθ=．432814222【分析】(1)由△ABF2的周长可求出a的值，从而由离心率的值可求得c=1，进而由椭圆中a=b+c的关系求出b的值，即可得椭圆的标准方程.(2)①直线l的方程为y=3x+3，与椭圆方程联立求出点A,B的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点F1,A,B,F2的坐标，从而可得F1A,BF2，再利用空间向量的夹角公式即可求解.151②由A′F2+B′F2+A′B′=,AF2+BF2+|AB|=8，可得|AB|-A′B′=，设折叠前Ax1,y1,22Bx2,y2，直线l的方程my=x+1与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出m的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tanθ的值.解析解：(1)由椭圆的定义知：AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a，所以△ABF2的周长L=4a=8，所以a=2，1c1222又椭圆离心率为，所以=，所以c=1，b=a-c=3，2a2由题意，椭圆的焦点在x轴上，2y2x所以椭圆的标准方程为+=1；432y2x(2)①由直线l：y-0=3x+1与+=1，4383联立求得A0,3，(因为点A在x轴上方)以及B-5,-53，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则·24·,38F10,-1,0，A0,0,3，B53,-5,0，F20,1,0，313F1A=0,1,3，BF2=-53,5,0．F1A⋅BF213记异面直线AF1和BF2所成角为φ，则cosφ=cos<f1a,bf2>==；F1ABF228②设折叠前Ax1,y1，Bx2,y2，折叠后A，B在新图形中对应点记为A′，B′，A′x1,y1,0，B′x2,0,-y2，151由A′F2+B′F2+A′B′=，AF2+BF2+|AB|=8，故AB-A′B′=，22my=x+1将直线l方程与椭圆方程联立22，得3m2+4y2-6my-9=0，xy+=1436m-9y1+y2=2，y1y2=2，3m+43m+4在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴)；22222A′B′=x1-x2+y1+y2，AB=x1-x2+y1-y2，222221所以AB-A′B′=x1-x2+y1-y2-x1-x2+y1+y2=，(i)2-2y1y21又=，x-x2+y-y2+x-x2+y2+y221212121222222所以x1-x1+y1-y2+x1-x2+y1+y1=-4y1y2，(ii)221由(i)(ii)可得x1-x2+y1-y2=-2y1y2，4222212因为x1-x2+y1-y2=1+my1-y2=4-2y1y2，·25·,26m2361182所以1+m3m2+4+3m2+4=4+3m2+4，1+m21182即144=+，3m2+443m2+4212+12m118228所以=+，解得m=，3m2+443m2+445π1335因为0<θ<，所以tanθ==．2m14【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF2周长的变化，得到AB-A′B′=1，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.219.（17分）已知定义域为R的函数hx满足：对于任意的x∈R，都有hx+2π=hx+h2π，则称函数hx具有性质P.(1)判断函数fx=2x,gx=cosx是否具有性质P；(直接写出结论)35π(2)已知函数fx=sinωx+φ2<ω<2,φ<2，判断是否存在ω,φ，使函数fx具有性质P？若存在，求出ω,φ的值；若不存在，说明理由；(3)设函数fx具有性质P，且在区间0,2π上的值域为f0,f2π.函数gx=sinfx，满足gx+2π=gx，且在区间0,2π上有且只有一个零点.求证：f2π=2π.答案(1)函数fx=2x具有性质P；gx=cosx不具有性质P.(2)ω=2，φ=0(3)证明见解析【分析】(1)利用定义判断即可；(2)假设函数fx具有性质P，可求出φ=0，进而可得ω=2，从而可得fx=sin2x，再根据定义进行验证，即可得到答案；(3)由函数fx具有性质P及(2)可知，f(0)=0，进而可得fx在0,2π的值域为0,kπ，k∈Z且k>0，由gx在区间0,2π上有且只有一个零点可证明当k>2时不符合题意，再求解当k=1时与gx是以2π为周期的周期函数矛盾，从而可得k=2，即可证明.解析(1)因为fx=2x，则fx+2π=2(x+2π)=2x+4π，又f2π=4π，所以fx+2π=f(x)+f(2π)，故函数fx=2x具有性质P；因为gx=cosx，则gx+2π=cos(x+2π)=cosx，又g2π=cos2π=1，g(x)+g(2π)=cosx+1≠g(x+2π)，故gx=cosx不具有性质P.(2)若函数fx具有性质P，则f0+2π=f(0)+f(2π)，即f(0)=sinφ=0，π因为φ<，所以φ=0，所以fx=sin(ωx)；2若f(2π)≠0，不妨设f(2π)>0，由fx+2π=f(x)+f(2π)，得f2kπ=f(0)+kf(2π)=kf(2π)(k∈Z)(*)，只要k充分大时，kf(2π)将大于1，而fx的值域为[-1,1]，故等式(*)不可能成立，所以必有f(2π)=0成立，35即sin(2ωπ)=0，因为<ω<，所以3π<2ωπ<5π，22所以2ωπ=4π，则ω=2，此时fx=sin2x，则fx+2π=sin2(x+2π)=sin2x，而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，即有fx+2π=f(x)+f(2π)成立，·26·,所以存在ω=2，φ=0使函数fx具有性质P.(3)证明：由函数fx具有性质P及(2)可知，f(0)=0，由gx+2π=gx可知函数gx是以2π为周期的周期函数，则g2π=g(0)，即sin(f(2π))=sin(f(0))=0，所以f(2π)=kπ，k∈Z；由f(0)=0，f(2π)=kπ以及题设可知，函数fx在0,2π的值域为0,kπ，所以k∈Z且k>0；当k>2，fx=π及fx=2π时，均有gx=sinfx=0，这与gx在区间0,2π上有且只有一个零点矛盾，因此k=1或k=2；当k=1时，f(2π)=π，函数fx在0,2π的值域为0,π，此时函数gx的值域为0,1，而fx+2π=f(x)+π，于是函数fx在2π,4π的值域为π,2π，此时函数gx的值域为-1,0，函数gx=sinfx在当x∈0,2π时和x∈2π,4π时的取值范围不同，与函数gx是以2π为周期的周期函数矛盾，故k=2，即f(2π)=2π，命题得证.【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.·27·,江西省上饶市六校2024届高三第一次联合考试（2月）数学试卷第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1.已知集合A=x-1≤x≤1，B=xy=lg2-1，则A∩B=()A.x-1≤x≤1B.x0≤x≤1C.x-1≤x≤0D.x0<x≤1答案dx【分析】解出集合b=xy=lg2-1，利用交集计算即可.xx解析由y=lg2-1可知：2-1>0，即x>0，故B=xx>0，所以A∩B=x-1≤x≤1∩xx>0=x0<x≤1.故选：d.42.已知复数z=，其中i为虚数单位，则z=()1-ia.2+2ib.2-2ic.-2-2id.-2+2i答案b【分析】利用复数的除法运算化简，找到共轭复数即可.441+i解析结合题意：z===2+2i，所以z=2-2i.1-i1-i1+i故选：b.3.已知向量a=1,1，b=m,2，且a⊥a-b，则b=()a.2b.3c.4d.22答案a【分析】由a⊥a-b求出m=0，从而可求解.解析由a=1,1，b=m,2，所以a-b=1-m,-1，因为a⊥a-b，所以a·a-b=1-m-1=0，得m=0，22所以b=0+2=2，故a正确.故选：a.x4.曲线fx=e+ax在点0,1处的切线与直线y=2x平行，则a=()a.-2b.-1c.1d.2答案cx【分析】确定曲线fx=e+ax在点0,1处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.x解析因为曲线fx=e+ax在点0,1处的切线与直线y=2x平行，x故曲线fx=e+ax在点0,1处的切线的斜率为2，x0因为fx=e+a，所以f0=e+a=1+a=2，·28·,所以a=1，故选：c.sinx-sinxxe-e5.函数fx=x-x的图象大致为()e+ea.b.c.d.答案c【分析】确定函数的奇偶性排除d选项，再由x∈(0,π)函数值的取值范围排除a、b选项后可得正确结论．-xesin-x-e-sin-x-sinxsinxsinx-sinx-xe-exe-e解析由已知f-x=-xx=x-x=x-x=fx，fx为偶函数，e+ee+ee+e排除d；sinx-sinx-1xe-exe-eexex当x∈0,π时，0<sinx≤1，0<fx=x-x≤x-x<x-x<x，e+ee+ee+eexx令g(x)=e-ex，g(x)=e-e，g(x)=0时，x=1，当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,π)时，g(x)>0，x所以，当x∈(0,π)时，g(x)≥g(1)=0，即e≥ex，sinx-sinx-1xe-exe-eexex所以，当x∈(0,π)时，0<fx=x-x≤x-x<x-x<x≤1，即0<fx<1，可排e+ee+ee+ee除a、b.故选:c.π3πππ6.若α∈4,4，6tan4+α+4cos4-α=5cos2α，则sin2α=()241271a.b.c.d.2525255答案c【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.πππππ解析令t=4+α，t∈2,π，得α=t-4，则6tant+4cos2-t=5cos2t-2，即6tant+4sint=5sin2t=10sintcost，整理得5cost+3cost-1=0，且cost<0，3π27那么cost=-5，则sin2α=sin2t-2=-cos2t=1-2cost=25.故选：c.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是()·29·,1111a.b.c.d.5432答案a【分析】先求出10个数中任取3个数，至多有1个阴数的总基本事件个数，再列举出取出的3个数之和是5的倍数的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.解析如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为1,3,5,7,9，阴数为2,4,6,8,10若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，312基本事件总数为n=c5+c5c5=60，取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括2,1,7,2,3,5,4,1,5,4,7,9,6,1,3,6,5,9,8,3,9,8,5,7,10,1,9,10,3,7，1,5,9,3,5,7共有12个，121取出的3个数之和是5的倍数的概率是p==.605故选：a.48.已知圆柱的底面半径为1，高为2，ab，cd分别为上、下底面圆的直径，四面体abcd的体积为，则直3线ac与bd所成角的余弦值为()5321a.b.c.d.3333答案d【分析】建立空间直角坐标系，假定a,b的坐标，结合已知解出c,d的坐标，利用线线角的向量求法求解即可.解析如图，找底面圆心o，作og与底面垂直，oe⎳ab，om⊥oe，故以o为原点，建立空间直角坐标系，规定a(0,-1,2)，b(0,1,2)，设c(x,y,0)，d(-x,-y,0)，22易知底面圆方程为x+y=1，则ab=(0,2,0)，ac=(x,y+1,-2)，2y+22x+4故cos∠cab=，sin∠cab=，22222x+4+(y+1)x+4+(y+1)21x+4222故sabc=×2××x+4+(y+1)=x+4，2x2+4+(y+1)2·30·,设d到面abc的距离为d，设面abc的法向量n=(x0,y0,z0)，故有2y0=0，xx0+(y+1)y0-2z0=0，解得x02=，y0=0，z0=1，x2-2-244故n=x,0,1，由点到平面的距离公式得d==，已知四面体abcd的体积为3，441+21+2xx4124故得=×x+4×，解得x=1(负根舍去)，易得y=0，故c(1,0,0)，d(-1,0,0)，3341+2x-2+41ac=(1,1,-2)，bd=(-1,-1,-2)，设直线ac与bd所成角为θ，故有cosθ==.6×63故选：d二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>b>0，则()1111ab33A.<b.2>2>1C.a<bd.loga2<logb2ab答案ab【分析】对a：由不等式性质计算即可得；对b：结合指数函数的单调性即可得；对c、d：举出反例即可得.ab11解析对a：由a>b>0，故ab>0，则>，即>，故A正确；ababba对B：由a>b>0，且fx=2xab0为定义域上的单调递增函数，故2>2>2=1，故B正确；111111333333对C：当a=8，b=1时，有a=8=2，b=1=1，此时a>b，故C错误；1对D：当a=2，b=时，有loga2=log22=1，logb2=log12=-1，此时loga2>logb2，故D错误.22故选：AB.10.已知定义在R上的奇函数fx满足fx=f2-x，且fx在-1,0上单调递增，则()A.fx的图象关于1,0中心对称B.fx是周期函数2024C.fx在1,2上单调递减D.fk=1k=0答案BC【分析】对A：由fx=f2-x可得fx的图象关于直线x=1对称；对B：结合fx为奇函数与fx=f2-x即可得周期性；对C：结合对称性与fx在-1,0上单调递增即可得；对D：结合周期性与奇函数的性质计算即可得.解析对A：由fx=f2-x，故fx的图象关于直线x=1对称，故A错误；对B：由fx为奇函数，故fx=-f-x，又fx=f2-x，故-f-x=f2-x，即有fx=-f2+x，则fx+2=-f2+x+2=-fx+4=-fx，即fx=fx+4，故fx是周期函数且周期为4，故B正确；对C：由fx在-1,0上单调递增，且fx为奇函数，故fx在0,1上单调递增，又fx的图象关于直线x=1对称，故fx在1,2上单调递减，故C正确；对D：由fx为定义在R上的奇函数，故f0=0，有f0=f4=0，由fx的图象关于直线x=1对称，故fx的图象关于2,0中心对称，故f1+f3=0，由fx=f2-x，故f0=f2=0，·31·,即有f0=f2=f4=0，f1+f3=0，故f1+f2+f3+f4=0，2024∑fk=f0+f1+⋯+f2024=f0+506f1+f2+f3+f4k=0=0+0=0，故D错误.故选：BC.1x11.已知正项数列an满足a1=，an+1=fan，其中fx=lne-1-lnx，则()2A.an为单调递减数列B.a2023<a202411c.an+1>anD.a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an≥1-n22答案ACD【分析】利用导数判断单调性，放缩法证明不等式逐个选项分析即可.x解析对于AB，由已知得an+1=fan，令hx=fx-x=lne-1-lnx-x，x-e+1+xxx定义域为0,+∞，hx=x，令g(x)=-e+1+x，g(x)=-e+1，xe-1当x∈(0,+∞)时，此时g(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上单调递减，xg(x)<g(0)=0，也可得e-x-1>0，即hx<0，故h(x)在(0,+∞)上单调递减，当x→0时，h(x)→0，则h(x)<0，故fx<x，则fan<an，即an+1<an，故an为单调递减数列，故a正确，显然a2023>a2024，故B错误；1an对于C，欲证an+1>an，且由题意得an+1=fan=lne-1-lnan，2anananan1e-11e-12即证lne-1-lnan>an，即证ln>an，取指数得>e，2an2anananan2an2又易知an>0，化简得e-1-ane>0，故证明e-1-ane>0恒成立即可，2xxxx令φx=e-1-2xe，x∈(0,+∞)，而φx=2ee-x-1>0，anan故φx在(0,+∞)上单调递增，且>0，故φ>0，22anan21即e-1-ane>0恒成立，故an+1>an得证，故C正确，21111111对于D，由C可知，a1=，a2>a1=，a3>a2=，⋯，an>an-1=n，224282211n1-1122上式相加，得a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an≥+⋅⋅⋅+n=，2211-21故a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an≥1-n得证，故D正确.2故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数证明数列的单调性，再构造函数结合放缩法证明不等式即可.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出一个焦点在y轴上，焦距为4的椭圆的标准方程.2y2答案+x=1(答案不唯一)5【分析】根据给定条件，结合椭圆的标准方程写出得解.·32·,y22x222解析依题意，设椭圆方程为+=1(a>b>0)，其半焦距c=2，显然a-b=c=4，22ab2y2令b=1，得a=5，所以椭圆的标准方程为+x=1.52y2故答案为：+x=1(答案不唯一).513.动点P与两个定点O0,0，A0,3满足PA=2PO，则点P到直线l：mx-y+4-3m=0的距离的最大值为.答案2+34【分析】利用两点距离公式及已知求得P的轨迹是圆心为(0,-1)，半径为2的圆上，再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线l垂直，进而求最大值.222222解析令P(x,y)，则x+(y-3)=2x+y，整理得x+(y+1)=4，所以P的轨迹是圆心为(0,-1)，半径为2的圆上，又直线l：mx-y+4-3m=0可化为m(x-3)-(y-4)=0，易知过定点(3,4)，2222由3+(4+1)>4，故点(3,4)在圆x+(y+1)=4外，则圆心与定点所在直线与直线l垂直，圆心与直线l距离最大，22所以点P到直线l距离的最大值为3+(4+1)+2=2+34.故答案为：2+34πππ14.函数fx=2sinωx+6(ω>0)在区间6,2上有且只有两个零点，则ω的取值范围是.111723答案3,5∪3,3解析利用三角函数的性质分析求解即可.ππTπ3T由于fx在区间6,2上有且只有两个零点，所以2<3<2，ππ3ππ即<<⇒3<ω<9，由fx=0得，ωx+=kπ，k∈Z，ω3ω6ππππωππωπ∵x∈6,2，∴ωx+6∈6+6,2+6，πωππωπ+<ππ≤+<2π6666111723∴或，解得<ω<5或<ω≤，2π<πω+π≤3π3π<πω+π≤4π3332626111723所以ω的取值范围是3,5∪3,3.111723故答案为：3,5∪3,3ππωππωπ【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到ωx+6∈6+6,2+6，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量(单位：g)将它们分成5组：360,380，380,400，400,420，420,440，440,460，得到如下频率分布直方图.·33·,(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间380,400，400,420，420,440内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.记这3个石榴中质量在区间420,440内的个数为X，求X的分布列与数学期望.答案(1)416g9(2)分布列见解析，EX=7【分析】(1)由频率分布直方图中，样本平均数的计算公式求解；(2)由分层抽样，计算这三个组中抽取的个数，根据X可能的取值，计算对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.解析(1)该品种石榴的平均质量为x=20×370×0.005+390+410+450×0.010+430×0.015=416，所以该品种石榴的平均质量为416g.(2)质量在区间380,400，400,420，420,440内的频率比为0.010:0010:0015=2:2:3，所以分层抽样抽取时，质量在区间380,400，400,420，420,440内的石榴个数分别为2，2，3.由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，321C44C4C318PX=0==，PX=1==，C335C33577123C4C312C31PX=2==，PX=3==，C335C33577所以X的分布列为X0123418121P353535354181219EX=0×+1×+2×+3×=.353535357Sn1116.（15分）设Sn为数列an的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.nn+123(1)求an的通项公式；2n-1annn6-1(2)令bn=，Tn为数列bn的前n项积，证明：∑Ti≤.Sni=152答案(1)an=n(2)证明见解析·34·,【分析】(1)由等差数列定义可得Sn，由Sn与an的关系即可得an；n-1(2)由Sn与an可得bn，即可得Tn，由2n+1n+1≥6，可得Tn≤6，借助等比数列求和公式计算即可得证.Sn11解析(1)由是首项为、公差为的等差数列，nn+123Sn11n1故=+n-1=+，nn+12336n1n2n+1n+1即Sn=3+6nn+1=6，n2n-1n-1当n≥2时，Sn-1=，6n2n+1n+1n2n-1n-1故Sn-Sn-1=an=-6622n2n+3n+1-2n+3n-12==n，63×2当n=1时，a1=S1==1，符合上式，62故an=n；2n2n+1n+1(2)由an=n，Sn=，622n-1an62n-1n62n-1n故bn===，Snn2n+1n+12n+1n+162-164-1×262n-1n则Tn=b1b2⋯bn=⋅⋅⋯⋅2+11+14+12+12n+1n+16n2-1n6==，2n+1n+12n+1n+1由2n+1n+1≥3×2=6，n6n-1故Tn≤=6，6nn1×1-6nnn-16-1则∑Ti≤∑6==.i=1i=11-6517.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB⎳CD，AB⊥BC，PD=AB=2CD=2，BC=2，∠PDC=120°.(1)证明：PB⊥AD；5(2)点E在线段PC上，当直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为时，求平面ABE与平面PBC的夹5角的余弦值.答案(1)证明见解析4154(2)77·35·,【分析】(1)要证AD⊥PB，需要证过PB的平面与AD垂直即可，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理结合条件即得；(2)建立空间直角坐标系，先根据条件确定E点的坐标，再求二面角.解析(1)如图：由于平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，过点P作CD的垂线交CD的延长线于点O，则PO⊥平面ABCD.连接OB交AD于Q，连接OA，∵PD=2，∠PDC=120°，∴OD=1，∴OC=AB=2，又AB⎳CD，∠ABC=90°，∴四边形ABCO为矩形，ODOA2∴OA=BC=2，∴==，OAAB2∴Rt△ODA∽Rt△AOB，∴∠OAD=∠ABO，又∵∠OAD+∠DAB=90°，∴∠AQB=90°，即AD⊥OB，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，又PO∩BO=O,PO,BO⊂平面POB，∴AD⊥平面POB，又∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB.(2)以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分別为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P0,0,3，C0,2,0，A2,0,0，B2,2,0，由于E在PC上，设PE=λPC，则E0,2λ,3-3λ，∴AE=-2,2λ,3-3λ，又平面ABCD的法向量n=0,0,1，设直线AE与平面ABCD所成角为θ，3-3λ5∴sinθ=cosAE,n==，2+4λ2+3-3λ2515解得λ=或λ=(舍去)，2233∴E0,1,，∴BA=0,-2,0，BE=-2,-1,，BC=-2,0,0，22·36·,设平面ABE的法向共n1=x1,y1,z1，平而PBC的法向共n2=x2,y2,z2，-2y1=0,-2x2=0,BA⋅n1=0,BC⋅n2=0,则即3，3BE⋅n1=0,BE⋅n2=0,-2x1-y1+2z1=0,-2x2-y2+2z2=0,取x1=3，y2=3得n1=3,0,22，n2=0,3,2，424154∴cosn1,n2==，11×7774154故平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为.772y2x18.（17分）已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点F到其渐近线的距离为3，点A1,0在C22ab上.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与C交于M，N(不与点A重合)两点，记直线AM，AN，l的斜率分别为k1，k2，k，且kk1+kk2=-6，是否存在k值，使得FM=FN.若存在，求出k的值和直线l的方程；若不存在，请说明理由.22y答案(1)x-=131515(2)k=±；直线l为y=±x-255【分析】(1)借助渐近线公式及点到直线的距离公式，并代入A点计算即可得；(2)借助韦达定理结合kk1+kk2=-6从而得到直线中所设参数的关系，取线段MN中点P，由FM=FN可得FP⊥MN，即可得k的值和直线l的方程.2y2xb解析(1)由双曲线C：-=1可得F-c,0，渐近线方程为：y=±x，a2b2abca则有d==3，化简得b=3，又A1,0在C上，b2+1a2102y即-=1，即a=1，故C：x-=1；a233(2)由题意可知直线l的斜率存在且斜率为k，设直线l为y=kx+m，Mx1,y1、Nx2,y2，y=kx+m联立直线与双曲线2，消去y可得3-k22-2kmx-m2-3=0，2yxx-=132222222则有3-k≠0且Δ=4km+43-km+3=12m-12k+36>0，222即k≠3且m>k-3，22km-m-3有x1+x2=2，x1x2=2，3-k3-ky1y2由A1,0，故k1=、k2=，x1-1x2-1y1y2x1y2+x2y1-y1-y2则kk1+kk2=kk1+k2=k+=k⋅x1-1x2-1x1-1x2-12-m-32km2kxx+m-k2k⋅2+m-k⋅2-2m12x1+x2-2m3-k3-k=k⋅=k⋅2x1x2-x1+x2+1-m-32km2-2+13-k3-k·37·,222k-m-3+2kmm-k-2m3-k=k⋅22-m-3-2km+3-k2-6m+k6mk+k=k⋅==-6，22-k+mk+m2即有m+kk=-m+k，即m+k2k+m=0，故m+k=0或2k+m=0，当m+k=0时，直线l为y=kx-k，过点A1,0，故舍去，当2k+m=0时，直线l为y=kx-2k，x1+x2y1+y2由Mx1,y1、Nx2,y2，则线段MN中点P为,，22x+x2y+ykx+x-4k312km-2k1212-2k-6k==，==-2k=，23-k23-k2223-k23-k22-2k-6k即P,，由FM=FN，F-2,0，FP⊥MN，3-k23-k2-6k2-0223-k-6k2k23故有⋅k=-1，即=-2+，解得k=，-2k23-k23-k252+23-k1515故k=±，则直线l为y=±x-2，551515即存在k=±，使得FM=FN，此时直线l的方程为y=±x-2.55.【点睛】关键点睛：本题关键在于借助韦达定理结合题目所给kk1+kk2=-6，计算出直线中参数得关系.19.（17分）若函数fx在a,b上有定义，且对于任意不同的x1,x2∈a,b，都有fx1-fx2<kx1-x2，则称fx为a,b上的“k类函数”.2x(1)若fx=+x，判断fx是否为1,2上的“3类函数”；22xx(2)若fx=ax-1e--xlnx为1,e上的“2类函数”，求实数a的取值范围；2(3)若fx为1,2上的“2类函数”，且f1=f2，证明：∀x1，x2∈1,2，fx1-fx2<1.2x答案(1)fx=+x是1,2上的“3类函数”，理由见详解.214+e(2)≤a≤2e+1ee(3)证明过程见详解.【分析】(1)由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明fx1-fx2<3x1-x2即可；x(2)由已知条件转化为对于任意x∈1,e，都有-2<fx<2，fx=axe-x-lnx-1，只需a<x+lnx+3x+lnx-1x且a>x，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.xexe·38·,11(3)分x1-x2<和≤x1-x2<1两种情况进行证明，f1=f2，用放缩法fx1-fx2=22fx1-f1+f2-fx2≤fx1-f1+f2-fx2进行证明即可.解析(1)对于任意不同的x1,x2∈1,2，x1+x2+2有1≤x1<x2≤2，2<x1+x2<4，所以2<<3，222x1x2x1+x2+2fx1-fx2=2+x1-2+x2=x1-x22<3x1-x2，2x所以fx=+x是1,2上的“3类函数”.2x(2)因为fx=axe-x-lnx-1，由题意知，对于任意不同的x1,x2∈1,e，都有fx1-fx2<2x1-x2，不妨设x1<x2，则-2x2-x1<fx1-fx2<2x2-x1，故fx1+2x1<fx2+2x2且fx1-2x1>fx2-2x2，故fx+2x为1,e上的增函数，fx-2x为1,e上的减函数，故任意x∈1,e，都有-2≤fx≤2，x+lnx+3x+lnx+3由fx≤2可转化为a≤x，令gx=x，只需a<gxminxexe1+x-2-lnx-xgx=，令ux=-2-lnx-x，ux在1,e单调递减，2xxe所以ux≤u1=-3<0，gx<0，故gx在1,e单调递减，4+egxmin=ge=e+1，ex+lnx-1x+lnx-1由fx≥-2可转化为a≥x，令hx=x，只需a≥hxmaxxexe1+x2-lnx-xhx=，令mx=2-lnx-x，mx在1,e单调递减，2xxe且m1=1>0，me=1-e<0，所以∃x0∈1,e使mx0=0，即2-lnx0-x0=0，2-x0即lnx0=2-x0,x0=e，当x∈1,x0时，mx>0，hx>0，故hx在1,x0单调递增，当x∈x0,e时，mx<0，hx<0，故hx在x0,e单调递减，x0+lnx0-11hxmax=hx0=e+1=2，x0ee14+e故≤a≤.2e+1ee(3)因为fx为1,2上的“2类函数”，所以fx1-fx2<2x1-x2，不妨设1≤x1<x2≤2，1当x1-x2<时，fx1-fx2<2x1-x2<1；211当≤x1-x2<1时，因为f1=f2，-1<x1-x2≤-22fx1-fx2=fx1-f1+f2-fx2≤fx1-f1+f2-fx21<2x1-1+22-x2=2x1-x2+1≤2-2+1=1，综上所述，∀x1，x2∈1,2，fx1-fx2<1.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥fx恒成立a≥fxmax或a≤fx恒成立a≤fxmin；②数形结合(y=fx的图象在y=gx上方即可)；③讨论最值fxmax≤0或fxmin≥0恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.·39·,江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知复数z满足z+1=0，则z+1=()a.3b.2c.2d.1答案c【分析】求出z，再求z+1可得答案.2解析因为z+1=0，所以z=±i，22所以z+1=1±i=1+±1=2.故选：c.22.已知集合a=xx-3x-4≥0，b=xx-25-x>0，则∁RA∩B=()A.-1,2B.2,4C.-4,1D.-4,2答案B【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根据补集运算和交集运算求解即可.2解析由x-3x-4≥0，得x≤-1或x≥4，所以A=xx≤-1或x≥4，所以∁RA=x-1<x<4=-1,4.由x-25-x>0得2<x<5，所以b=x2<x<5=2,5，所以∁ra∩b=2,4.故选：b3.如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线ab与cd所成角的大小为()ππππa.b.c.d.6432答案d【分析】将正方体的表面展开图还原为正方体，证明ab⊥平面dce，即可证明ab⊥cd，即可得答案.解析将正方体的表面展开图还原为正方体，ab与cd在正方体中的位置如图所示，·40·,由于de⊥平面acbe,ab⊂平面acbe，故de⊥ab，又ab⊥ec，且de∩ec=e,de,ec⊂平面dce，故ab⊥平面dce，cd⊂平面dce，所以ab⊥cd，π故直线ab与cd所成角的大小为.2故选：d.4π4.已知向量a=log23,sin3，b=log38,m，若a⊥b，则m=()a.-23b.-3c.23d.32答案c【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.4π解析因为a⊥b，所以a⋅b=0，即log23×log38+msin=0，33所以log28-m=0，所以m=23.2故选：c.5.下表统计了2017年~2022年我国的新生儿数量(单位：万人).年份201720182019202020212022年份代码x123456新生儿数量y17231523146512001062956经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且y=-156.66x+a，据此预测2023年新生6儿数量约为()(精确到0.1)(参考数据：yi=7929)i=1a.773.2万b.791.1万c.800.2万d.821.1万答案a【分析】先求出x，y，a，得回归直线方程，再代入x=7可得结果.7929解析由题意得x=3.5，y==1321.5，6所以a=y+156.66×3.5=1321.5+548.31=1869.81，y=-156.66x+1869.81，当x=7时，y=-156.66×7+1869.81=773.19≈773.2.故选：a.6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以a1，a2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以b表示从乙箱中取出的是·41·,白球，则下列结论错误的是()5113a.a1，a2互斥b.pba1=c.pa2b=d.pb=7721答案c【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.解析因为每次只取一球，故a1，a2是互斥的事件，故a正确；1254由题意得pa1=，pa2=，pba1=，pba2=，3377152413pb=pa1b+pa2b=×+×=，故b，d均正确；373721248因为pa2b=×=，故c错误.3721故选：c.7.阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反2y2x射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线c：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分22ab别为F1，F2，其离心率e=5，从F2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则sin∠F2F1E=()55425A.B.C.D.6555答案B【分析】设EF1=m，EF2=n，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得n=2a，进而得出结论．c解析设EF1=m，EF2=n，F1F2=2c，由题意知m-n=2a，F2E⊥EP，=5，a222222222所以m+n-2mm=4a，c=5a，m+n=4c，所以mn=2c-2a=8a，22又m-n=2a，所以n+2an-8a=0，解得n=2a，EF22a5所以sin∠F2F1E===.F1F225a5故选：B.8.若集合xxlnx+k-ln4x+k<0中仅有2个整数，则实数k的取值范围是()A.3ln4,2ln2B.2ln2,3ln3C.2ln2,3ln2D.3ln2,2ln24333432433答案A【分析】原不等式等价于kx+1<xln4-xlnx，令gx=kx+1，fx=xln4-xlnx，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．解析原不等式等价于kx+1<xln4-xlnx，设gx=kx+1，fx=xln4-xlnx，44则fx=ln4-1+lnx=ln-1，令fx=0，得x=，xe4当0<x<时，f'x>0，fx单调递增；e4当x>时，fx<0，fx单调递减.e又f4=0，x→0时，fx→0，因此y=fx与y=gx的图象如图，·42·,当k≤0时，显然不满足题意；g1<f1g1≥f1当k>0时，当且仅当g2<f2，或g2<f2.g3≥f3g3<f32k<ln4342由第一个不等式组，得3k<2ln4-2ln2，即ln≤k<ln2，4334k≥3ln4-3ln32k≥ln4由第二个不等式组，得3k<2ln4-2ln2，该不等式组无解.4k<3ln4-3ln3342综上所述，ln≤k<ln2.433故选：a.【点睛】方法点睛：先对式子进行变形，等号一边为一次函数(通常过定点)，另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A,B两点，若FA=3FB，则直线l的倾斜角可能为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案BC【分析】分直线l的倾斜角为锐角、钝角讨论，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，直线l交准线于C，作BM⊥AA，垂足为M，结合抛物线定义、图形性质可得答案.2解析当l的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，p准线方程为x=-，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，2直线l交准线于C，作BM⊥AA，垂足为M，则AA=AF，BB=BF，FA=3FB，所以AM=2BF，AB=4BF=2AM，所以∠ABM=30°，则∠BFO=60°，所以直线l的倾斜角60°；·43·,当直线l的倾斜角为钝角时，2如图所示，由抛物线y=2px(p>0)的焦点为F，p准线方程为x=-，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A,B，2直线l交准线于C，作BM⊥AA，垂足为M，则AA=AF，BB=BF，FA=3FB，所以AM=2BF，AB=4BF=2AM，所以∠ABM=30°，则∠BFO=60°，则l的倾斜角为120°.故选：BC.π10.已知函数fx=asinωx+4φa>0，ω>0，φ<3，若fx的图象过A0,1，Bm,2，Cm+π,0三点，其中点B为函数fx图象的最高点(如图所示)，将fx图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐1π标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，则()4615ππA.fx=2sin2x+6B.gx=2sin2x-6C.fx2π5π的图象关于直线x=对称D.gx在-,-π上单调递减33答案BC1π【分析】由图象得fx=2sin2x+6，然后对选项逐一判断.12π11解析由题意得a=2，4×ω=π，ω=2，所以fx=2sin2x+4φ，.由f0=1，得2sin4φ=1，由图知fx在0，m上单调递增，πkππ所以4φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=+，k∈Z.6224ππ又φ<，只可能k=0，所以φ=，3241ππ所以fx=2sin2x+6，gx=2sin2x-6，故A错误，B正确；2π12ππ2π因为f3=2sin2×3+6=2，所以fx的图象关于直线x=3对称，故C正确；ππ3ππ5π令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，26236·44·,令k=-2，得-5π≤x≤-7π，又-5π,-π5π,-7π包含-但不是其子集，故D错误.36336故选：BC.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面BCC1B1内(含边界)一点，则()A.若D1P⊥平面A1C1D，则点P与点B重合263πB.以D为球心，为半径的球面与截面ACD1的交线的长度为33717C.若P为棱BC中点，则平面D1EP截正方体所得截面的面积为6D.若P到直线A1B1的距离与到平面CDD1C1的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧答案ABC【分析】由线线垂直证明线面垂直判断选项A；由球面与截面的交线轨迹，计算长度判断选项B；由位置关系得截面形状，计算面积判断选项C；由P点位置特征分析轨迹形状判断选项D.解析正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面DCC1D1，DC1⊂平面DCC1D1，BC⊥DC1，正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1，D1C,BC⊂平面BCD1，D1C∩BC=C，则DC1⊥平面BCD1，D1B⊂平面BCD1，DC1⊥D1B，同理，DA1⊥D1B，DA1,DC1⊂平面A1C1D，DA1∩DC1=D，D1B⊥平面A1C1D，若点P不与B重合，因为D1P⊥平面A1C1D，则D1P⎳D1B，与D1P∩D1B=D1矛盾，故当D1P⊥平面A1C1D时，点P与B重合，故A正确；DA=DC=DD1，AC=AD1=CD1，三棱锥D-ACD1为正三棱锥，故顶点D在底面ACD1的射影为△ACD1的中心H，11113连接DH，由VD-ACD1=VD1-ACD，得3×2×2×2×2=3×2×22×22×2DH，226262222所以DH=，因为球的半径为3，所以截面圆的半径r=3-3=，332所以球面与截面ACD1的交线是以H为圆心，为半径的圆在△ACD1内部部分，3·45·,1362326226如图所示，HN=×22×=，所以MF=2-=.323333222ππHF+HM=MF，所以∠MHF=，同理，其余两弦所对圆心角也等于，222π23π所以球面与截面ACD1的交线的长度为2π×-3××=，故B正确；3233对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接D1M、D1G，分别交侧棱C1C于点N，交侧棱A1A于点H，连接EH和NP，如图所示：则截面为五边形D1HEPN，GA=AE=EB=BP=PC=CM=1，GE=EP=PM=2，GM=3222213D1G=D1M=D1D+DM=13，HA=，GH=，331GM2317cos∠D1GM==，故sin∠D1GM=，D1G26261173171131717所以S△D1GM=2×13×32×=2，S△GEH=2×2×3×=6，262631717717所以五边形D1HEPN的面积S=S△D1GM-2S△GEH=2-2×6=6，故C正确；因为A1B1⊥平面BCC1B1，PB1⊂平面BCC1B1，所以PB1⊥A1B1，点P到直线A1B1的距离即点P到点B1的距离，因为平面BCC1B1⊥平面CDD1C1，故点P到平面CDD1C1的距离为点P到CC1的距离，由题意知点P到点B1的距离等于点P到CC1的距离，故点P的轨迹是以B1为焦点，以CC1为准线的抛物线在侧面BCC1B1内的部分，故D错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线.·46·,第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．2912.x-x的展开式中的常数项为．(用数字作答)．答案-672解析根据二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.292r9-3rr9-rrr2x-x的展开式的通项公式为Tr+1=C9(x)-x=C9(-2)x，9-3r令=0，得r=3，233故常数项为C9(-2)=-672．故答案为：-672.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项，属基础题.221221113.已知A为圆C：x+y-1=上的动点，B为圆E：x-3+y=上的动点，P为直线y=x上的442动点，则PB-PA的最大值为.130答案+151【分析】设E关于直线y=x的对称点为E，求出E，要使PB-PA的值最大，转化为P,A,B(其中B21为B关于直线y=x的对称圆E上的点)三点共线，利用该直线过C,E两点可得答案.21解析设E3,0关于直线y=x的对称点为Em,n，2n19⋅=-1m=m-325912则n1m+3，解得12，故E5,5，=⋅n=22251921221则圆E关于y=2x对称的圆E的方程为x-5+y-5=4，要使PB-PA的值最大，1则P,A,B(其中B为B关于直线y=x的对称圆E上的点)三点共线，2且该直线过C,E两点，如图，92122130其最大值为AB=CE+1=5+5-1+1=5+1.130故答案为：+1.514.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，x1，x2，⋯，x2n-1，3为数列1，3的第n次扩展·47·,数列，令an=log31×x1×x2×⋯×x2n-1×3，则数列an的通项公式为.n3+1答案an=2【分析】根据数列的定义找到an+1与an的关系，然后利用构造法结合等比数列的定义求解即可.解析因为an=log31×x1×x2×⋯×x2n-1×3，233332所以an+1=log31⋅1⋅x1x1x1x2x2⋯x2n-1x2n-1⋅3⋅3=log31⋅x1x2⋯x2n-2x2n-1⋅3=3an-1，11所以an+1-2=3an-2，13又a1=log31×3×3=2，所以a1-=，2213所以an-2是以2为首项，3为公比的等比数列，nn13n-133+1所以an-=×3=，所以an=.2222n3+1故答案为：an=2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.(1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N60,144，规定X≥72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；24(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，35求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.2附：若X~Nμ,σ(σ>0)，则Pμ-σ<x<μ+σ≈0.683，pμ-2σ<x<μ+2σ≈0.954，pμ-3σ<x<μ+3σ≈0.997.答案(1)16116(2)15【分析】(1)由正态分布的性质可求得px≥72，由此可估计进入面试的人数．(2)由已知得y的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得y取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案.解析(1)因为x服从正态分布n60,144，所以μ=60，σ=12，72=μ+σ，1-0.683所以px≥72≈=0.1585.2进入面试的人数z~b100,0.1585，ez=100×0.1585≈16.因此，进入面试的人数大约为16.(2)由题意可知，y的可能取值为0，2，4，6，8，10，2421则py=0=1-3×1-5=75；2422py=2=3×1-5=75；21448py=4=1-3×c2×5×1-5=75；·48·,214416py=6=3×c2×5×1-5=75；24216py=8=1-3×5=75；24232py=10=3×5=75.128161632580116所以ey=0×+2×+4×+6×+8×+10×==.757575757575751516.（15分）如图，在△abc中，ab=bc=2，d为△abc外一点，ad=2cd=4，记∠bad=α，∠bcd=β.(1)求2cosα-cosβ的值；22(2)若△abd的面积为s1，△bcd的面积为s2，求s1+s2的最大值.3答案(1)231(2)2【分析】(1)利用余弦定理，进行转换即可；32231(2)根据题意，由(1)知2cosα-cosβ=，求出s1+s2取得最大值，最大值为.22222解析(1)在△abd中，由余弦定理，得bd=ab+ad-2ab⋅adcosα=20-16cosα，222在△bcd中，由余弦定理，得bd=bc+cd-2bc⋅cdcosβ=8-8cosβ，所以20-16cosα=8-8cosβ，所以82cosα-cosβ=12，3即2cosα-cosβ=.211(2)由题意知s1=ab⋅adsin∠bad=4sinα，s2=bc⋅cdsin∠bcd=2sinβ，22222222所以s1+s2=16sinα+4sinβ=161-cosα+41-cosβ22=20-16cosα-4cosβ，3由(1)知2cosα-cosβ=，231所以cosβ=2cosα-2，cosα∈4,1，222322所以s1+s2=20-16cosα-42cosα-2=-32cosα+24cosα+113231=-32cosα-8+2，312231所以当cosα=8∈4,1时，s1+s2取得最大值，最大值为2.17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(chú)甍(méng)者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形abcd为矩形，四边形abfe、cdef为两个全等的等腰梯形，ef⎳ab，ab=4，ef=ad=2，p是线段ad上一点.·49·,2(1)若点p是线段ad上靠近点a的三等分点，q为线段cf上一点，且fq=fc，证明：pf⎳平面5bdq；3239(2)若e到平面abcd的距离为，pf与平面bcf所成角的正弦值为，求ap的长.213答案(1)证明见解析33(2)ap=1-，或ap=1+.22【分析】(1)连接cp交bd于点h，通过比例线段证明pf⎳hq，可得pf⎳平面bdq；(2)建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点p的位置即可.解析(1)证明：连接cp交bd于点h，连接hq，2phpdpd2因为ad⎳bc，且pd=ad，所以===，3hcbcad32fq2因为fq=fc，所以=，5qc3fqph所以=，所以pf⎳hq，qchc因为hq⊂平面bdq，pf⊄平面bdq，所以pf⎳平面bdq；(2)分别取ad,bc的中点i,j，连接ei,ij,fj，则ij⎳ab，且ij=ab，因为四边形abfe与四边形cdef为全等的等腰梯形，所以ea=ed=fb=fc，11四边形eijf为等腰梯形，且ef⎳ij，ef=ab=ij，22ei⊥ad，fj⊥bc，又ad⎳bc，所以fj⊥ad，因为ei,fj⊂平面eijf，且ei,fj为两条相交直线，所以ad⊥平面eijf，ad⊂平面abcd，所以平面abcd⊥平面eijf.平面abcd∩平面eijf=ij,过e在平面eijf内作ij的垂线，垂足为m，则em⊥平面abcd，31em=，im=ij-ef=1.22过m作mk⎳ad，易得mk,mj,me两两垂直，以m为坐标原点，mk,mj,me所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，·50·,3则f0,2,2，b1,3,0，c-1,3,0，333设pa,-1,0(-1≤a≤1)，所以pf=-a,3,2，fb=1,1,-2，fc=-1,1,-2.3n⋅fb=x+y-z=02设平面bcf的一个法向量n=x,y,z，则3，n⋅fc=-x+y-z=02令z=2，解得x=0，y=3，所以n=0,3,2，设pf与平面bcf所成角的大小为θ，则pf⋅n12239sinθ=cospf,n===13，pf⋅na2+45×1343解得a=±，且满足题意，233所以ap=1-，或ap=1+.222y2x18.（17分）已知椭圆c：2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且AF1+AF2=4，ab1离心率为.2(1)求C的方程；(2)已知点B-1,0，M，N是曲线C上两点(点M，N不同于点A)，直线AM,AN分别交直线x=-1于9P，Q两点，若BP⋅BQ=-，证明：直线MN过定点.42y2x答案(1)+=143(2)证明见解析【分析】(1)由题意列方程组求解a,b,c的值，即得答案；(2)设MN的方程x=sy+t并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线AM,BM的方程，进而9求得P,Q坐标，结合BP⋅BQ=-化简求值，可得t的值，即可证明结论.42a=4c1解析(1)设椭圆C的半焦距为c，由题意得a=2，222a=b+ca=2解得b=3，c=12y2x故C的方程为+=1.43(2)证明：由题意可知直线MN的斜率不为0，否则P,Q将位于x轴同侧，BP⋅BQ>0，不合题意；2y2x设MN的方程为x=sy+t(t≠2)，代入+=1，43·51·,222得3s+4y+6sty+3t-12=0，222222由Δ=36st-43s+43t-12>0，得3s+4-t>0，26st3t-12设Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=-2，y1y2=2，3s+43s+48t所以x1+x2=sy1+y2+2t=2，3s+422224t-12sx1x2=sy1+tsy2+t=sy1y2+sty1+y2+t=2，3s+4y13y13y1直线AM的方程为y=x-2，令x=-1，得y=-，故P-1,-，x1-2x1-2x1-23y2同理可求Q-1,-，x2-23y13y2所以BP=0,-，BQ=0,-，x1-2x2-293y13y29由BP⋅BQ=-，得-⋅-=-，4x1-2x2-2423t-12y1y213s2+41即=-，所以=-，xx-2x+x+444t2-12s28t412122-2×2+43s+43s+423t-4所以=-1，解得t=-1，(t=2舍)，2t-2所以直线MN的方程为x=sy-1，故直线MN过定点-1,0.【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心.x19.（17分）已知函数fx=x-1e-alnx(a∈R).(1)当a=e时，求fx的最小值；(2)若fx有2个零点，求a的取值范围.答案(1)0(2)0,e∪e,+∞【分析】(1)依据给定参数值，确定具体函数，用导数求解最值即可.(2)根据题意，对参数范围进行分类讨论，找到符合题意的情况即可.解析(1)fx的定义域为0,+∞.2xxxexe-e当a=e时，fx=x-1e-elnx，fx=xe-=.xx2x2x令gx=xe-e(x>0)，则gx=x+2xe>0，所以gx在上0,+∞单调递增，又g1=0，所以当x∈0,1时，gx<0，fx<0；·52·,当x∈1,+∞时，gx>0，fx>0，所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以fxmin=f1=0.2xxaxe-a(2)由题意知fx=xe-=(x>0).xx①当a≤0时，fx>0在0,+∞上恒成立，所以fx在0,+∞上单调递增，所以fx至多有一个零点，不合题意；2x2x②当a>0时，令hx=xe-a，则hx=x+2xe>0在0,+∞上恒成立，所以hx在0,+∞上单调递增，aa因为h0=-a<0，ha=ae-a=ae-1>0，2x02x0所以存在唯一x0∈0,a，使得hx0=x0e-a=0，所以a=x0e.当x∈0,x0时，hx<0，fx<0；当x∈x0,+∞时，hx>0，fx>0，所以fx在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，x0所以fxmin=fx0=x0-1e-alnx0.(a)当a=e时，由(1)知fxmin=f1=0，即a=e时，x0=1，且fx0=0，fx只有一个零点1，不合题意；2x0(b)当a>e时，因为a=x0e>e，则x0>1，又fx在0,x0上单调递减，所以fxmin=fx0<f1=0，lna1而flna=lna-1e-alnlna=alna-1-lnlna，令φx=x-1-lnx，则φx=1-=xx-1.x当x>1时，φx>0，φx在1,+∞上单调递增；当0<x<1时，φx<0，φx在0,1上单调递减，所以φxmin=φ1=0；当x>1时，φx>φ1=0，即x-1-lnx>0.又lna>1，所以lna-1-lnlna>0，所以flna=aφlna>0，由fx的单调性及零点存在定理，知fx在x0,+∞上有且仅有一个零点.又fx在0,x0上有且仅有一个零点1，所以，当a∈e,+∞时，fx存在两个零点；2x0(c)当0<a<e时，由a=x0e<e，得0<x0<1，又fx在x0,+∞上单调递增，-1-1-1aaa所以fx0<f1=0.取x=e，则0<e<1，所以0<1-e<1.1x1当x∈0,1时，lnx<x-1，所以ln1-x<-x，所以x<-ln1-x=ln，所以e<.1-x1-x111-11-a-a-aea1-a1又因为0<e<1，fe=e-1e-a×-a>e-1-1+1=-1+1=0，a1-e由fx的单调性及零点存在定理，知fx在0,x0上有且有一个零点，又1为fx在x0,+∞内的唯一零点，所以当a∈0,e时，fx存在两个零点.综上可知，a的取值范围是0,e∪e,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是正确对参数范围进行讨论，然后得到零点个数，最后得到所要求的参数范围．·53·,河南省金太阳联考2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3(2+3i)i1.已知复数z=，则z=()1+i15151515A.-+iB.+iC.--iD.-i22222222答案B3(2+3i)i(3-2i)(1-i)1515解析因为z===-i，所以z=+i．1+i(1+i)(1-i)22222.已知集合A=x∣log2(4-x)<1,B={x∣x>a}，若A∩B=A，则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意可得A={x∣2<x<4}，则a≤2．3.“α是第二象限角”是“sinαtanα<0”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析若α是第二象限角，则sinα>0,tanα<0,sinαtanα<0．若sinαtanα<0，则α是第二象限角或第三象限角．故选A．4.某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，10名参赛者的成绩(单位：个)分别是152，136，125，131，129，123，143，119，115，138，则这组数据的中位数是()A.126B.129C.130D.131答案C解析将这组数据从小到大排列为115，119，123，125，129，131，136，138，143，152，第5个和第6个129+131数据分别是129和131，则这组数据的中位数是=130．225.已知抛物线C:y=8x的焦点为F，过点F的直线l与拋物线C交于A，B两点，点A在x轴上方，且A的横|BF|坐标为5，则=()|AF|2523A.B.．C.D.7755答案C解析如图，设点A，B在抛物线C的准线上的投影分别是A,B，作BD⊥AA，垂足为D，BD与x轴交于点E，由题意可知|AF|=5+2=7．设|BF|=m，则|AD|=7-m,|EF|=4-m，易证△BEF∽△BDA，则|BF||EF|m4-m14|BF|2=，即=，整理得5m=14，解得m=，故=．|AB||AD|m+77-m5|AF|5·54·,6.折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动．如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点P，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点P重合，记此时的折痕为l，点Q在l上，则|OQ|+|PQ|的最小值为()A.5B.4C.3D.2答案D解析如图，设P关于l对称的点为P1，则P1在圆O上，连接P1Q,OP1，则有|PQ|=QP1，故|QP|+|QO|=QP1+|QO|≥OP1=2．2y2x7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过点F的直线l:x+3y+m=0与y轴交于点22abB，与双曲线C交于点A(A在y轴右侧)．若B是线段AF的中点，则双曲线C的离心率是()A.2B.2C.3D.3答案C3°解析设双曲线C的右焦点为F(c,0)．因为直线l的斜率是-，所以∠BFF=30，所以|OF|=c,33c23c23c|OB|=,|BF|=BF=．因为B是线段AF的中点，所以|AB|=|BF|=BF=．因为333°23c23c∠ABF=60，所以AF=．由双曲线的定义可得2a=|AF|-AF=，则双曲线C的离心率33·55·,ce==3．a38.函数f(x)=sinx-sin3x+sin2xcosx+2cosx的值域是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2]答案B3333解析f(x)=sinx-sin(2x+x)+sin2xcosx+2cosx=sinx(1-cos2x)+2cosx=2sinx+2cosx=22πt-1(sinx+cosx)(1-sinxcosx)．设t=sinx+cosx=2sinx+4∈[-2，2]，则g(t)=2t1-2=32-t+3t，从而g(t)=-3t+3．由g(t)>0，得-1<t<1，由g(t)<0，得-2≤t<-1或1<t≤2，则g(t)在[-2,-1)和(1,2]上单调递减，在(-1，1)上单调递增．因为g(-2)=-2,g(-1)=-2,g(1)=2,g(2)=2，所以-2≤g(t)≤2，即f(x)的值域为[-2,2]．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>R312π222D.若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB=，则a+b>c2答案BC·56·,32π解析若平面△ABC是面积为R的等边三角形，则AB=BC=AC=R，则α=β=γ=,a=b=c=43π222222222πR．A不正确．若a+b=c，则(aR)+(βR)=(γR)，则a+β=γ．B正确．若a=b=c=R，则α332π322R=β=γ=,AB=BC=AC=R，则平面△ABC的面积为R，则O到平面ABC的距离h=R-3436123=R，则三棱锥O-ABC的体积VO-ABC=S△ABC⋅h=R，则球面O-ABC的体积V>VO-ABC=331223R．C正确．由余弦定理可知12222BC=2R-2Rcosα,222π222ππAC=2R-2Rcosβ,因为C=,所以BC+AC=AB,则cosα+cosβ-cosγ=1,取α=β=,γ=，232222AB=2R-2Rcosγ,22ππ222π2π22则a=b=R,c=R，则a+b=R<r=c．d不正确．329411.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为r，且f(x-1)-f(1-x)=2x-2,f(x)的图象关于点(1,0)对称，则()a.f(0)=1b.y=f(x)-x为偶函数c.f(x)的图象关于点(1,0)对称d.f(2024)=-2023答案abd解析由f(x-1)-f(1-x)=2x-2，可得f(x)-f(-x)=2x，则f(x)+f(-x)=2，令x=0，得f(0)=1．a正确．令g(x)=f(x)-x，则g(-x)=f(-x)+x=f(x)-x=g(x)，故y=f(x)-x为偶函数．b正确．假设f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(x-1)+f(1-x)=0，则f(x-1)-f(1-x)=0，即f(x)-f(-x)=0，则f(x)=1，这与f(x)的图象关于点(1,0)对称矛盾，假设不成立．c不正确．因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(1+x)+f(1-x)=0，令h(x)=f(1+x)-f(1-x)，则，则为常数)，则，从而，即，由，得-2023．d正确．第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a,b满足|3a+b|=5，则a⋅(a+2b)=答案622252解析因为|3a+b|=5，所以(3a+b)=25，所以9a+6a⋅b+b=25，则a⋅b=，故a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=6.13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体abcdef中，h是棱bc的中点，则异面直线hf与ac所成角的余弦值是·57·,abhecdf3答案6解析取棱ab的中点g，连接hg，fg.因为h，g分别是棱bc，ab的中点，所以hg⎳ac，则∠fhg是异面直线hf与ac所成的角或补角.设ab=2，则hg=1,fg=5,hf=3.在△ghf中，由余弦定222hg+fh-fg33理可得cos∠fhg==-，则异面直线hf与ac所成角的余弦值是.2hg⋅fh6614.将1,2,3,⋯,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则a<b<c的填法共有种．(用数字作答)第1行第2行第3行答案6048012解析第3行，c=9，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有c3a8种情况.第2行，取剩下612个数中最大的数为b，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有c3a5种情况，第1行，剩下3个312123数任意排列，则有a3种情况，故共有c3a3c3a4a3=60480种填法。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且tana+tanc+tanatanc=1．(1)求角b的大小；(2)若b=4，求△abc面积的最大值．解析(1)因为tana+tanc+tanatanc=1，所以tana+tanc=1-tanatanc,·58·,tana+tanc所以=1，所以tan(a+c)=1．1-tanatancπ因为0<a+c<π，所以a+c=．43π因为a+b+c=π，所以b=．422222(2)由余弦定理可得b=a+c-2accosb，即a+c+2ac=16．22因为a+c≥2ac，当且仅当a=c时，等号成立，所以2ac+2ac≤16，解得ac≤16-82，12则△abc的面积s=acsinb=ac≤42-4．2416.（15分）某学校组织知识竞赛，题库中试题分a，b两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从a，b两种2试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1311题，则第2题选择同一种试题作答的概率为．已知学生甲答对a种试题的概率均为，答对b种试题422的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．3(1)求学生甲2题均选择b种试题作答的概率；(2)若学生甲第1题选择a种试题作答，记学生甲答对的试题数为x，求x的分布列与期望．12解析(1)若学生甲第1题选择b种试题作答并且答对，则第2题选择b种试题作答的概率p1=×2322×=，391若学生甲第1题选择b种试题作答并且答错，则第2题选择b种试题作答的概率p2=2(2)由题可知，x的取值可能为0，1，2，1111313且p(x=0)=××+××=，2422431612111111113277p(x=1)=××+××+××+××=．2322332422431441211125p(x=2)=××+××=，23223318故x的分布列为x0123775p16144183775157则e(x)=0×+1×+2×=．161441814417.（15分）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为棱bb1,ab的中点，f在棱cc1上，且ef⎳平面adc1．cf(1)求的值；cc1(2)若aa1=ab，求平面a1ef与平面c1ef夹角的余弦值．·59·,解析(1)取a1b1的中点g，连接eg交ad于点h，连接c1g,c1h．易证eh⎳bb1，则eh⎳c1f．因为ef⎳平面adc1，且平面adc1∩平面gefc1=c1h，所以ef⎳c1h，则四边形ehc1f为平行四边形，故eh=c1f111因为e为棱ab的中点．所以eh=bd=bb1=cc1,24413cf3所以c1f=cc1，所以cf=cc1，即=,44c14(2)过点a作ac的垂线am，从而有am,ac,aa1两两垂直，故以a为坐标原点，am,ac,aa1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设ab=4，则a1(0,0,4),e(3,1,0),f(0,4,3),c1(0,4,4)，设平面a1ef的法向量为m=x1,y1,z1，m⋅a1e=3x1+y1-4z1=0,则令x1=53，得m=(53,1,4)．m⋅ef=-3x1+3y1+3z1=0,易证ab⊥平面efc1，则平面efc1的一个法向量为ab=(23,2,0)．设平面aef与平面c1ef的夹角为θ，|ab⋅m|30+2423则cosθ=|cos‹ab,m›|===，|ab||m|4×9223423即平面a1ef与平面c1ef夹角的余弦值为．232y2x318.（17分）已知椭圆c:+=1(a>b>0)的右焦点与点P,1连线的斜率为2，且点(1,e)在椭圆Ca2b22上(其中e为C的离心率)．(1)求椭圆C的标准方程．(2)已知点D(2,0)，过点P的直线l与C交于A，B两点，直线DA，DB分别交C于M，N两点，试问直线·60·,MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．1-0-c3a2=2,1c22解析(1)由题意可得+=1,解得b=1,222aabc2=1,a2=b2+c2,3(2)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m(y-1)+,Ax1,y1,Bx2，y2,Mx3,y3,2Nx4,y4，x1-2则直线DA的方程为x=y+2．y1x1-2x=y+2,y122联立2整理得3-2x1y+2x1-2y1y+y1=0x+y2=1,22y1y1则y1y3=，即y3=．3-2x13-2x1x1-2x1-231代入x=y+2，得x3=+2=-．y13-2x1223-2x1y231同理可得y4=,x4=-．3-2x2223-2x2y2y1-y1-y33-2x23-2x1y23-2x1-y13-2x2因为kMN===x4-x31-1x1-x223-2x123-2x2y3-2my-m+33212-y13-2my1-m+22my2-y1===-2,my1-y2my1-y2所以直线MN的斜率为定值，且定值为-2．a219.（17分）已经函数fx=x+alnx-x-xa>0．2(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；1(2)当0<a<时，证明：f(x)恰有三个不同的极值点x1,x2,x3，且x1x2x3=1．2参考数据：取ln2=0.7．22解析(1)由a=2，得f(x)=(x+2)lnx-x-x，则f(x)=lnx+-2x，x则f(1)=-2,f(1)=0，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=0．2aa-ax+x-a(2)证明：f(x)=lnx+-ax，令g(x)=lnx+-ax，则g(x)=．xxx2122因为0<a<，所以1-4a>0，则方程-ax+x-a=0存在两个不同的实数根m，n(设m<n)，则m+21n=>0,mn=1，则0<m<1<n．a当x∈(0,m)∪(n,+∞)时，g(x)<0，当x∈(m,n)时，g(x)>0，则f(x)=g(x)在(0,m)和(n,+∞)上单调递减，在(m,n)上单调递增．2131312f(1)=0,fa=2lna+a-a,fa2=-2lna+a-a=-fa，4131-3x+2x-111令h(x)=2lnx+-x0<x<，则h(x)=<0在0,上恒成立，故h(x)在0,x2x222·61·,11521上单调递减，故h(x)>h2=8-2ln2>0，则fa>0,fa2<0,21不妨令x1<x2<x3，则x1∈a,m,x2=1,x3∈n,a2,fx1=fx2=fx3=0，当x∈0,x1∪x2,x3时，f(x)>0，当x∈x1,x2∪x3,+∞时，f(x)<0，则f(x)在(0，x1和x2,x3上单调递增，在x1,x2和x3,+∞上单调递减，从而f(x)恰有三个极值点x1,x2,x3．1由fx+f(x)=0,fx1+fx3=0，得x1x3=1，所以x1x2x3=x1x3=1．·62·,辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三高考适应性考试模拟数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合S=ss=2n+1,n∈Z，T=tt=4n+1,n∈Z，则S∩T=()A.∅B.SC.TD.Z答案C【分析】分析可得T⊆S，由此可得出结论.解析任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.52.已知复数z满足z=1且有z+z+1=0，则z=()13132231A.-±iB.±iC.±iD.±i22222222答案A5【分析】设z=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，由棣莫佛公式可知z=cos5θ+isin5θ，根据平方关系求出cosθ，从而求出sinθ，即可得解.5解析设z=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，由棣莫佛公式可知z=cos5θ+isin5θ，5因为z+z+1=0，所以cos5θ+isin5θ+cosθ+isinθ+1=0，即cos5θ+cosθ+1+sin5θ+sinθi=0，cos5θ+cosθ+1=0cos5θ=-cosθ-122所以，即，因为cos5θ+sin5θ=1，sin5θ+sinθ=0sin5θ=-sinθ2222所以cos5θ+sin5θ=-cosθ-1+-sinθ=1，22123即cosθ+2cosθ+1+sinθ=1，所以cosθ=-，所以sinθ=±1-cosθ=±，2213所以z=-±i.22故选：Asinα3.已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=，则tanα的最大值是()sinβ22A.4B.2C.D.45答案Csinα【分析】将cos(α+β)=变形，配角sinα=sin[(α+β)-β]利用两角差的正弦公式展开化简计算，可sinβ得关于tanβ的一元二次方程，根据Δ≥0列不等式求解tanα的取值范围，即可得最大值.sinα解析∵cos(α+β)=，∴cos(α+β)sinβ=sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβtanα+tanβ2sinβ，即tan(α+β)=2tanβ，∴=2tanβ，即2tanαtanβ-tanβ+tanα=0，又因为β为锐角，所1-tanαtanβ2222以该方程有解，即Δ=1-8tanα≥0，解得-≤tanα≤．又α为锐角，∴0<tanα≤．所以444·63·,2tanα的最大值是.4故选：c4.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计logo的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的logo，那么该同学所选的函数最有可能是()a.fx=x-sinxb.fx=sinx-xcosx213c.fx=x-d.fx=sinx+x2x答案b【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.解析a：f(x)=1-cosx≥0，即f(x)在定义域上递增，不符合；b：f(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx，在(-2π,-π)上f(x)<0，在(-π,π)上f(x)>0，在(π,2π)上f(x)<0，所以f(x)在(-2π,-π)、(π,2π)上递减，(-π,π)上递增，符合；2121C：由f(-x)=(-x)-=x-=f(x)且定义域为{x|x≠0}，为偶函数，22(-x)x2所以题图不可能在y轴两侧，研究(0,+∞)上性质：f(x)=2x+>0，故f(x)递增，不符合；3x33D：由f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-f(x)且定义域为R，为奇函数，2研究(0,+∞)上性质：f(x)=cosx+3x>0，故f(x)在(0,+∞)递增，所以f(x)在R上递增，不符合；故选：B5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在yx轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y=1.1，第n(n∈N，第0根20弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l:y=x+1交于点Anxn,yn和Bnxn,yn，则ynynn=022=()参考数据：1.1=8.14．A.814B.900C.914D.1000答案Cnn【分析】根据题意，有yn=1.1，yn=n+1，则有ynyn=(n+1)1.1，利用错位相减法分析可得答案．·64·,x解析根据题意，第n根弦分别与雁柱曲线y=1.1和直线l:y=x+1交于点An(xn，yn)和Bn(xn，yn)，nn则yn=1.1，yn=n+1，则有ynyn=(n+1)1.1，202320设Tn=ynyn，则Tn=1+2×1.1+3×1.1+4×1.1+⋯⋯+21×1.1，①n=023421则1.1Tn=1.1+2×1.1+3×1.1+4×1.1+⋯⋯+21×1.1，②212320211⋅1-121①-②可得：-0.1Tn=1+1.1+1.1+1.1+⋯⋯+1.1-21×1.1=-21×1.11.1-121212122=10×(1.1-1)-21×1.1=-10-11×1.1=-10-10×1.1=-91.4；Tn=914，20故ynyn=914；n=0故选：C6.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为()A.4πB.8πC.12πD.16π答案B【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，42πR内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>1，∠BDC=θ，则tanθ=R，求出S=，再换元利用基本2R-1不等式求出函数的最小值得解.2解析设圆锥的内切球半径为r，则4πr=4π，解得r=1，设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，轴截面如下图示，内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>1，∠BDC=θ，则tanθ=R，又∠ADE=π-2θ，故AB=BE+AE=R+tan(π-2θ)=R-tan2θ，22tanθ2R2RR(R+R)又tan2θ==，故AB=R-=，22221-tanθ1-R1-RR-1πR2(R2+1)422πR故该圆锥的表面积为S=+πR=，22R-1R-122令t=R-1>0，所以R=t+1，22π(t+1)11所以S=t=2π⋅t+t+2≥2π⋅2t⋅t+2=8π.(当且仅当t=1时等号成立)所以该圆锥的表面积的最小值为8π.故选：B227.已知定点P(m,0)，动点Q在圆O：x+y=16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是()A.2B.3C.4D.5答案D·65·,【分析】当P在圆内时，由几何性质可得MP+MO=4>OP=m，此时M的轨迹是以O,P为焦点的椭圆.当P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O.当P在圆外时，MP-MO=4<OP=m,此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.解析当P在圆内时，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点,则OH⊥PQ,线段PQ的中点E在线段HQ内，则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M，如图1.连接MP,则QM=MP,所以MP+MO=MQ+MO=OQ=4则MP+MO=4>OP=m此时M的轨迹是以O,P为焦点的椭圆.当P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O.当P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点,则OH⊥PQ,线段PQ的中点E在线段HP内，则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M，如图2.连接MP,则QM=MP,所以MP-MO=MQ-MO=OQ=4则MP-MO=4<OP=m此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支.同理当Q在圆上运动时，还会得到MO-MP=4<OP=m所以动点M的轨迹是双曲线，则P在圆外,所以m>r=4故选：D18.设a=cos0.1，b=10sin0.1，c=，则()10tan0.1A.a<b<cb.c<b<ac.c<a<bd.a<c<b答案dπ238801599【分析】先根据sinθ<θ<tanθ，θ∈0,2，得到b>a,c>a，再构造函数，比较出c<239600<600<b，得到结论.1解析a=cos0.1>0,b=10sin0.1>0,c=>0，10tan0.1ba=10tan0.1，=10tan0.1⋅cos0.1=10sin0.1，ac·66·,π下证θ∈0,2时，tanθ>θ>sinθ，π设∠AOB=θ∈0,2，射线OB与单位圆O相交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作AB⊥x轴，交射线OB于点B，连接AC，则CD=sinθ,AB=tanθ，设扇形AOC的面积为S，因为S△AOC<s<s△aob，111所以oa⋅cd<θ<oa⋅ab，即sinθ<θ<tanθ，222ba故tan0.1>0.1>sin0.1，所以=10tan0.1>10×0.1=1，=10sin0.1<10×0.1=1，ac所以b>a,c>a，3xπ因为b=10sin0.1，令fx=sinx-x+6，x∈0,2，2x则fx=cosx-1+，其中f0=0，2令gx=fx，则gx=-sinx+x，g0=0，π令hx=gx，则hx=-cosx+1>0在x∈0,2上恒成立，π则hx=gx在x∈0,2上单调递增，又g0=0，π故hx=gx=-sinx+x>0在x∈0,2上恒成立，2xπ所以gx=fx=cosx-1+2在x∈0,2上单调递增，又f0=0，2xπ故gx=fx=cosx-1+2>0在x∈0,2上恒成立，3xπ所以fx=sinx-x+6在x∈0,2上单调递增，又f0=0，330.10.111599所以sin0.1-0.1+>0，即sin0.1>0.1-=-=，661060006000599则b=10sin0.1>6001cos0.1因为c==，10tan0.110sin0.124xxπ令qx=cosx-1+2-24，x∈0,2，33xx则qx=-sinx+x-，令wx=qx=-sinx+x-，66·67·,22xx则wx=-cosx+1-，令ex=wx=-cosx+1-，22则ex=sinx-x，令rx=ex=sinx-x，π则rx=cosx-1<0在x∈0,2上恒成立，π所以rx=ex=sinx-x在x∈0,2单调递减，π又r0=0，故rx=ex=sinx-x<0在x∈0,2上恒成立，2xπ所以ex=wx=-cosx+1-2在x∈0,2上单调递减，2xπ又e0=0，故ex=wx=-cosx+1-2<0在x∈0,2上恒成立，3xπ所以wx=qx=-sinx+x-6在x∈0,2上单调递减，3xπ又w0=0，故wx=qx=-sinx+x-6<0在x∈0,2上恒成立，24xxπ故qx=cosx-1+2-24在x∈0,2上单调递减，0.010.0001238801又q0=0，故q0.1<0，即cos0.1<1-+=，2242400002388011cos0.1240000238801600238801故c==<=×=，10tan0.110sin0.1599240000599239600600238801599其中c<<<b，239600600则a<c<b，d正确.故选：d【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：2n352n+1xxxn+1xxnx2n+2e=1+x++⋯++ox，sinx=x-+-⋯+-1+ox，2!n!3!5!2n+1!2462nxxxnx2ncosx=1-+-+⋯+-1+ox，2!4!6!2n!23n+1xxnxn+1ln1+x=x-+-⋯+-1+ox，23n+112nnnnn-122=1+x+x+⋯+x+ox，1+x=1+nx+x+ox1-x2!二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>k时，恒有b2+b3+⋯+bn<n-2023答案acdan【分析】ab选项，由an有上界判断；c.根据an无上界，且为正项递增数列，可得→0判断；d.用an+k反证法判断.解析a.若an有上界，则an一定存在最小的上界，故正确；b.若an有上界，则an一定存在最小的上界，故错误；c.若an无上界，又an为正项递增数列，则n→+∞时，an→+∞，an+k→+∞，anan1则→0，所以<，故正确；an+kan+k2023d.假设对任意n>k时，恒有b2+b3+⋯+bn≥n-2023，nn-1不妨设an=2，则b2+b3+⋯+bn=，2n-1取k=4047，当k>4047时，b2+b3+⋯+bn=<n-2023，2与假设矛盾，故假设不成立，∗所以若an无上界，则存在k∈n，当n>k时，恒有b2+b3+⋯+bn<n-2023，故正确；故选：acd11.已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β=2sinα+βcosα-β.设△abc的内角a，b，c满足sin2a1+sina-b+c=sinc-a-b+.面积s满足1≤s≤2.记a，b，c分别为a，b，c所对的边，则下2列式子一定成立的是()·69·,1aa.sinasinbsinc=b.2≤≤22c.8≤abc≤162d.bcb+c>84sinA答案CD1【分析】结合已知sin2α+sin2β=2sinα+βcosα-β对sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+2进行变形化简即可得sinAsinBsinC的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆a半径R可求=2R的范围，从而判断B；根据sinAsinBsinC的值，结合△ABC外接圆半径R即可求sinAabc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得bcb+c>bc⋅a，从而判断D﹒1解析∵△ABC的内角A、B、C满足sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+，211∴sin2A+sinπ-2B=sinC-π+C+，即sin2A+sin2B=-sin2C+，221∴sin2A+sin2B+sin2C=，2由题可知，sin2α+sin2β=2sinα+βcosα-β，1∴2sinA+BcosA-B+sin2C=，21∴2sinCcosA-B+2sinCcosC=21∴2sinCcosA-B-cosA+B=，21∴有sinAsinBsinC=，故A错误；8设△ABC的外接圆半径为R，abc由正弦定理可知，===2R，sinAsinBsinC2112R∴S=absinC=⋅2RsinA⋅2RsinB⋅sinC=2RsinAsinBsinC=∈1,2，224a∴R∈2,22，∴=2R∈4,42，故B错误；sinA3abc=8RsinAsinBsinC∈8,162，故C正确；bcb+c>abc≥8，故D正确．故选：CD．第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有种.答案14【分析】根据加法分类计数原理求解即可.解析不妨设圆周上的点依次为A,B,C,D,E,F,G,H，要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；·70·,共计2+4+8=14种.故答案为：14.13.已知f(x)=2sin2x+π，若∃x,x,xÎ0,3π31232，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)，若x1+x2+x3的最大值为M，最小值为N，则M+N=.23π答案6【分析】作出f(x)在0,3π上的图象，x1,x2,x3为f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，2利用数形结合思想即可求得M和N﹒解析作出f(x)=2sin2x+π在0,3π32上的图象(如图所示)π3ππ因为f(0)=2sin3=3，f2=2sinπ+3=-3，所以当f(x)的图象与直线y=3相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最小为N，ππ3由2sin2x+3=3，得sin2x+3=2，π7π则x1=0，x2=，x3=π，N=；66当f(x)的图象与直线y=-3相交时，设三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最大为M，ππ3由2sin2x+3=-3，得sin2x+3=-2，7π3π8π则x1+x2=，x3=，M=；62323π所以M+N=.623π故答案为：.62y2x14.已知椭圆C:+=1，F1、F2分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上43S△DAB一点，使得PD平分∠F1PF2．过点D作PF1、PF2的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是S△PF1F2．3答案/0.187516S△DAB33【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得=1-，再利用均值不S△PF1F24|PF1||PF2|等式求解作答.·71·,θ解析设∠F1PF2=θ，依题意，∠ADB=π-θ，|AD|=|BD|=|PD|sin2，由S△PF1D+S△PF2D=S△F1PF2，1θ1θ1θ|PF1||PF2|sinθ得|PF1||PD|sin+|PF2||PD|sin=|PF1||PF2|sinθ，即|PD|sin=，222222|PF1|+|PF2|1θ2S|AD||BD|sin(π-θ)|AD||BD||PD|sin|PF||PF|sin2θ△DAB2212====，S△PFF1|PF||PF||PF||PF|(|PF|+|PF|)212|PF1||PF2|sinθ12121222y2x椭圆C:+=1中，|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4，43222在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cosθ，22即有|F1F2|=(|PF1|+|PF2|)-2|PF1||PF2|(1+cosθ)，22(|PF1|+|PF2|)-|F1F2|6则1+cosθ==，2|PF1||PF2||PF1||PF2|S△DAB|PF1||PF2|2|PF1||PF2|36因此=(1-cosθ)=(1+cosθ)(1-cosθ)=2-S△PF1F216168|PF1||PF2|33333=1-≤1-=，当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取等号，4|PF1||PF2|4|PF1|+|PF2|2162S△DAB3所以的最大值是.S△PF1F2163故答案为：16四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率答案(1)0.96(2)0.8336【分析】(1)根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；(2)根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.解析(1)由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，·72·,3C19甲购买一盒猕猴桃的概率P=1-0.2×=0.96.4C20(2)用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1第2第3第4第5周周周周周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√4故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率P=0.8+0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.2+0.8×0.8×0.2=0.8336.116.（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点D在棱AA1上，且A1D=AA1,E为A1C1的中3点．(1)证明：平面BDE⊥平面BCC1B1；(2)若AB=AA1=2,BC=22,求二面角D-BE-A1的余弦值．答案(1)证明见解析；534(2).34【分析】(1)法一、延长DE与CC1的延长线交于点G，连接GB与B1C1交于点F，利用线段关系及面面垂直的性质判定EF⊥平面BCC1B1即可；法二、延长ED与CA的延长线交于点G，连接BG，利用线段关系及面面垂直的性质判定BG⊥平面BCC1B1即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.解析(1)解法一·73·,如图，延长DE与CC1的延长线交于点G，1111因为A1D=AA1=CC1,E为A1C1的中点，所以GC1=A1D=CC1=GC，33341连接GB与B1C1交于点F，则FC1=B1C1，41取B1C1的中点H，连接A1H,EF，则FC1=C1H，故EF⎳A1H，2因为AB=AC，所以A1H⊥B1C1，所以EF⊥B1C1，又EF⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1⊥平面BCC1B1，平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1，所以EF⊥平面BCC1B1，因为EF⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCC1B1．解法二如图，延长ED与CA的延长线交于点G，连接BG，1因为A1D=AA1,E为A1C1的中点，所以GA=2A1E=AB=AC，3所以BC⊥BG，又BG⊂平面ABC，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，所以BG⊥平面BCC1B1，因为BG⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCC1B1．(2)由AB=AC=2,BC=22=2AB，易得AB⊥AC，则AB,AC,AA1两两垂直，以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，·74·,4则B2,0,0,D0,0,3,A10,0,2,E0,1,2，4所以BE=-2,1,2,A1E=0,1,0,BD=-2,0,3，m⋅BE=-2x1+y1+2z1=0设平面BEA1的法向量为m=x1,y1,z1，则，m⋅A1E=y1=0取z1=1，得m=1,0,1，设平面BED的法向量为n=x2,y2,z2，n⋅BE=-2x2+y2+2z2=0则4，取z2=3，得n=2,-2,3，n⋅BD=-2x2+z2=03m⋅n1×2+0×-2+1×3534则cosm,n===，12+02+12×22+-22234m⋅n+3由题意可得二面角D-BE-A1为锐二面角，534所以二面角D-BE-A1的余弦值为．3417.（15分）记Sn为数列an的前n项和，且满足Sn=knan+pan+qn+rk,p,q,r∈R．1(1)若p=r=0,k=，求证：数列an是等差数列；2n+1Sn*(2)若k=q=0,p=2,r≠0，设bn=-1，数列bn的前n项和为Tn，若对任意的k∈N，都有T2k-1r<λ<t2k，求实数λ的取值范围．答案(1)证明见解析(2)-1,21【分析】(1)由题意得sn=nan+qn，再结合an=sn-sn-1n≥2得到an+1-2an+an-1=0，从而得到数列2an是等差数列；nn(2)由题意得an+1=2an，从而得数列an是等比数列，进一步可求得bn=-12-1，再分别求得t2k,t2k-1，利用数列的增减性可求得实数λ的取值范围．11解析(1)当p=r=0,k=时，sn=nan+qn，22当n≥2时，a1na+qn-1n-1n=sn-sn-1=2n2an-1+qn-1，整理得n-2an-n-1an-1+2q=0，则n-1an+1-nan+2q=0，两式相减，得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，·75·,因为n≥2，所以an+1-2an+an-1=0，所以数列an是等差数列．(2)当k=q=0,p=2时，sn=2an+r，令n=1，得a1=s1=2a1+r，则a1=-r≠0，因为sn+1-2an+1=sn-2an，所以an+1=2an，因为a1=-r≠0，所以an≠0，所以数列an是首项为-r，公比为2的等比数列，n-r1-2nn+1snnn所以sn==1-2r，所以bn=-1=-12-1．1-2r2k-12k2k-1因为b2k-1+b2k=-2-1+2-1=2，k32k-121-42k所以t2k=2+2+⋯+2==4-1，1-432k2k1k则t2k-1=t2k-b2k=4-1-2-1=-4-1，33所以t2k是递增数列，t2k-1是递减数列，所以t2kmin=t2=2,t2k-1max=t1=-1，所以-1<λ<2，即实数λ的取值范围为-1,2．x218.（17分）已知函数fx=a-ex,a>0且a≠1.fx(1)设gx=+ex，讨论gx的单调性；x(2)若a>1且fx存在三个零点x1,x2,x3.1)求实数a的取值范围；2e+12)设x1<x2<x3，求证：x1+3x2+x3>.e答案(1)答案见解析2e(2)1)1<a<e；2)证明见解析【分析】(1)先求gx的导函数,再分类讨论即可.(2)1)根据fx存在三个零点x1,x2,x3，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.fxx2xxxaxlna⋅x-1a-exaalna⋅x-a解析(1)gx=+ex=+ex=,gx==,xxxx2x2x2因为a>0,x>0,gx定义域为-∞,0∪0,+∞11当a>1时,lna>0,解gx>0,得x>,解gx<0,得0<x<,x<0lnalna11当0<a<1时,lna<0,解gx>0,得x<,解gx<0,得0>x>,x>0lnalna11综上,当a>1时,gx增区间为lna,+∞,gx减区间为-∞,0,0,lna,11当0<a<1时,gx增区间为-∞,lna,gx减区间为0，+∞,lna，0,x2(2)1)因为fx=a-ex,a>1且fx存在三个零点x1,x2,x3.x2所以a-ex=0有3个根-10x当x<0时,f-1=a-e<0,f0=a>0,fx=alna-2ex>0,fx在-∞,0上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.1+2lnx当x>0,xlna=1+2lnx,即lna=有两个根,x1+2lnx1+2lnx令tx=,可转化为y=lna与tx=有两个交点xx·76·,2-1+2lnx1-2lnxtx==,22xx可得x∈0,e,tx>0,tx是单调递增的,可得x∈e,+∞,tx<0,tx是单调递减的,12其中te=0,当x>e,tx>0,txmax=te=e2所以可得0<lna<,e2e即得1<a<e.x22)因为fx=a-ex,a>1且fx存在三个零点x1,x2,x3.设x<x<x，ax1=ex2,ax2=ex2,ax3=ex2,易知其中x<0,0<x<x,123123123x1x22222因为x1<x2,a<a,所以ex1<ex2,x1<x2,-x1<x2,故可知x1+x2>0;①1+2lnx由1)可知y=lna,与tx=有两个交点x2<x3,x11x∈0,e,tx是单调递增的,x2∈0,e,tx2=lna>0,te=0,所以x2>e;②1e>x2>,x3>e,e若x3≥2e,则x2+x3>2e若e<x3<2e,构造函数hx=tx-t2e-x,e<x<2e1-2lnx1-2ln2e-xhx=2+2x2e-x221-2lnx2e-x+x1-2ln2e-x=22x2e-x22设mx=1-2lnx2e-x+x1-2ln2e-x,-22e-x222xmx=+-21-2lnx2e-x+2x1-2ln2e-xx2e-x-22e-x222x3-22e-x32x3-2e-x32x因为+==x2e-xx2e-xx2e-x33又因为2e>x>e,2x>2e,x>2e-x,x>2e-x,-22e-x222x所以+>0③x2e-x因为-21-2lnx2e-x+2x1-2ln2e-x=22lnx-12e-x+2x1-2ln2e-x11又因为x>e,lnx>,2e-x<e,ln2e-x<22所以2lnx-1>0,2e-x>0;1-2ln2e-x>0,x>e>0即得22lnx-12e-x+2x1-2ln2e-x>0④由③④可知mx>0,,mx在e,2e上单调递增,x>e可得mx>me=0mxhx=,可知mx与hx同号22x2e-x所以hx>0,hx在e,2e上单调递增.hx>he=te-te=0tx-t2e-x>0,tx3>t2e-x3,又由1)可知tx2=tx3所以tx2>t2e-x3,x2∈0,e,2e-x3∈0,ex∈0,e,tx>0,tx是单调递增的,所以x2>2e-x3,x2+x3>2e⑤2e+1由①②⑤可知x1+3x2+x3>e·77·,2y2x19.（17分）已知动直线l与椭圆C:+=1交于Px1,y1，Qx2,y2两个不同点，且ΔOPQ的面积SΔOPQ=326,其中O为坐标原点.22222(1)证明x1+x2和y1+y2均为定值;(2)设线段PQ的中点为M，求OM⋅PQ的最大值；6(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存2在，请说明理由.2222答案(1)x1+x2=3，y1+y2=2；5(2)26(3)椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=2【分析】(1)根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O2222到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x1+x2和y1+y2均为定值；(2)由(I)可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；62222(3)假设存在D(u，v)，E(x1，y1),G(x2，y2)，满足S△ODE=S△ODG=S△OEG=，由(1)得u+x1=3，u+x2=2222222223，x1+x2=3，v+y1=2，v+y2=2，y1+y2=2，从而得到D、E、G的坐标，可以求出DE、DG、EG方程，从而得出结论.解析(1)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=-y2∵P(x1，y1)在椭圆上22x1y1∴+=1①326又∵S△OPQ=，26∴x1y1=②262222由①②得x1=，y1=1．此时x1+x2=3，y1+y2=2；22y2x(ⅱ)当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m，m≠0，将其代入+=1得322223k+2x+6kmx+3m-2=0222222故Δ=36km-123k+2m-2>0即3k+2>m26km3m-2又∵x1+x2=-2，x1x2=23k+23k+222222263k+2-m∴PQ=1+kx1+x2-4x1x2=1+k23k+2|m|∵点O到直线l的距离为d=21+k22|m|6|m|3k2+2-m212263k+2-m∴S△OPQ=21+k2⋅2=23k+21+k3k+26又∵S△OPQ=222整理得3k+2=2m22226km23m-2此时x1+x2=x1+x2-2x1x2=-3k2+2-2×3k2+2=3·78·,222222222y1+y2=3-x1+3-x2=4-x1+x2=23332222综上所述x1+x2=3，y1+y2=2．结论成立．(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，由(1)知6OM=x1=，PQ=2y1=22因此OM⋅PQ=6．x+xy+yx+x22123k1212-3k+2m1(ⅱ)当直线l的斜率存在时，由(1)知=-,=k+m==22m222mmx+x2y+y29k216m2-21121212|OM|=+=+==3-224m2m24m22m222222243k+2-m22m-11|PQ|=1+k2+3k22=m2=22+m22211111所以|OM||PQ|=3-×2×2+=3-2+2m2m2m2m21123-m2+2+m225≤=224511|OM|⋅|PQ|≤．当且仅当3-=2+，2m2m2即m=±2时，等号成立．5综合(1)(2)得|OM|⋅|PQ|的最大值为.26(3)椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=26证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1),G(x2，y2)，满足S△ODE=S△ODG=S△OEG=2222222222222由(1)得u+x1=3，u+x2=3，x1+x2=3，v+y1=2，v+y2=2，y1+y2=22223222解得：u=x1=x2=，v=y1=y2=1.266因此u，x1，x2从集合2，-2中选取，v，y1，y2从集合-1,1中选取；6666因此D、E、G只能从点集2,1，-2,1，2,-1，-2,-1这四个点选取三个不同的点，6而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾.26所以椭圆C上不存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=2·79·,河北省衡中同卷2023-2024学年高三1月考试数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合A=x0≤x≤2,B=xx-x>0，则图中的阴影部分表示的集合为()A.xx≤1或x>2B.xx<0或1<x<2c.x1≤x<2d.x1<x≤2答案a【分析】由题可知图中的阴影部分表示∁a∪ba∩b，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.解析由题可知图中的阴影部分表示∁a∪ba∩b，2b=xx-x>0=xx>1或x<0，则A∪B=R,A∩B=x1<x≤2，所以∁a∪ba∩b=xx≤1或x>2.故选：A.4cosx2.函数fx=的部分图象大致为()12x+x2A.B.C.D.答案C【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.解析由题可知，fx的定义域为x∣x≠0，4cos(-x)4cosx又因为f(-x)===f(x)，1212-x+⋅(-x)x+x22·80·,所以，fx为偶函数．ππ3π3π5π当0<x<时，fx>0，当<x<时，fx<0，当<x<时，fx>0.22222故选：C．2y2x3.椭圆2+2=1a>b>0的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另ab两条边，则椭圆的离心率为()13A.B.C.4-23D.3-122答案D【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果.解析设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得AF1=AB=BF2=c，∠F1AF2=90°，∴AF2=3c，∴AF1+AF2=3+1c=2a，cc∴e===3-1，a3+1c2故选：D.4.已知fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π的一段图像如图所示，则()3πA.fx=sin2x+4πB.fx的图像的一个对称中心为-5,0C.fxπ5π的单调递增区间是+kπ,+kπ,k∈Z885πD.fx的图像向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象8答案C【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；Tπ3ππ2π解析由图可知A=1，2=8--8=2，所以T=π=ω，解得ω=2，·81·,3π所以fx=sin2x+φ，又函数过点-8,1，即f-3π=sin2×-3π+φ3π+φ=π+2kπ,k∈Z，88=1，所以2×-825π3π3π解得φ=4+2kπ,k∈Z，因为φ<π，所以φ=-4，所以fx=sin2x-4，故A错误；ππ3π23π因为f-5=sin2×-5-4=sin-20≠0，故B错误；π3πππ5π令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，24288故函数的单调递增区间为π+kπ,5π+kπ,k∈Z，故C正确；88将函数fx5π个单位得y=sin2x+5π-3ππ=cos2x为偶函数，的图象向左平移884=sin2x+2故D错误；故选：C5.设a，b，c都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则c-a⋅c-b的最大值为()333333A.-B.+C.-3D.+3222222答案D【分析】按题意设出向量坐标，展开运算即可.1322解析设a=1,0，b=,，c=x,y=cosθ,sinθ，则x+y=1221323123所以c-a·c-b=x-1,y⋅x-,y-=x-x++y-y222223313π3=2-32cosθ+2sinθ=2-3sinθ+3≤2+3故选：D.an+2,n为奇数6.在数列{an}中，a1=2，a2=1，an+2=，则an的前20项和S20=()2an,n为偶数A.621B.622C.1133D.1134答案C【分析】设bn=a2n-1，cn=b2n.根据已知可推得bn为等差数列，cn为等比数列，求出bn,cn的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前n项和公式求解，即可得出答案.解析设bn=a2n-1，cn=b2n，则b1=a1=2，c1=a2=1.由已知可得，a2n+1-a2n-1=2，即bn+1-bn=2，所以bn为以2为首项，2为公差的等差数列，bn=2+2n-1=2n.a2n+2=2a2n，即cn+1=2cn，n-1n-1所以cn为以1为首项，2为公比的等比数列，cn=1×2=2.9所以，an的前20项和S20=b1+b2+⋯+b10+c1+c2+⋯+c10=2+4+⋯+20+1+2+⋯+2=1010×2+201×1-2+=1133.21-2故选：C.2tx7.设实数t>0，若te-ln2x≥0对x>0恒成立，则t的取值范围为()A.1,+∞B.1,+∞C.0,112eeeD.0,2e·82·,答案B【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数t范围.2tx解析由x∈0,+∞，则tx>0，te>0，12tx当x∈0,2时，ln2x≤0，te>ln2x恒成立，2tx1即任意t>0，te-ln2x≥0对x∈0,2恒成立；12tx2tx当x∈2,+∞时，te-ln2x≥0⇔2txe≥2xln2x，2txln2x即2txe≥ln2xe，其中2tx>0,ln(2x)>0，x构造函数F(x)=xe,x>0，则F(2tx)≥F(ln2x).xF(x)=(x+1)e，因为x>0，所以F(x)>0，F(x)单调递增；ln2x则有2tx≥ln(2x)，则t≥,2x∈(1,+∞)，2xlnx构造函数φ(x)=,x∈(1,+∞)，x1-lnx则φ(x)=，令φ(x)=0，解得x=e，2x当x∈(1,e)时，φ(x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时，φ(x)<0，φ(x)单调递减，1eln2x1则φ(x)max=φ(e)=，即当x=时，=，e22xmaxeln2x11故要使t≥,2x∈(1,+∞)恒成立，则t≥，即t的取值范围为,+∞.2xee故选：B.【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关x键在于指对分离，构造“指幂-幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：xe与xlnx，x+lnx与x+xe等.2y2x8.已知F1，F2是双曲线C1：2-2=1a>0,b>0的左、右焦点，椭圆C2与双曲线C1的焦点相同，C1与abC2在第一象限的交点为P，若PF1的中点在双曲线C1的渐近线上，且PF1⊥PF2，则椭圆的离心率是()1355A.B.C.D.2235答案C【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出PF1,PF2，利用中位线定理找到a1,a2的关系，再结合PF1⊥PF2，借助勾股定理进行运算即可.解析根据题意:设m=PF1,n=PF2，设椭圆长半轴长为a1，短半轴长为b1，双曲线实半轴长为a2，虚半m+n=2a1m=a1+a2轴长为b2，则由椭圆及双曲线定义可得：,∴，m-n=2a2n=a1-a2又因为PF1⊥PF2，且O,M分别为PF1，F1F2的中点，所以F1M⊥OM,b2c所以F1(-c,0)到渐近线b2x+a2y=0的距离为F1M=d==b2，22a2+b2m=a1+a2所以PF1=m=2b2，PF2=n=2a2，结合，可得：a1=3a2⋯①n=a1-a2222222因为PF1⊥PF2，所以m+n=4c,即a1+a2+a1-a2=4c，22210225整理得：a1+a2=2c，将①代入，a1=2c，所以e=.93·83·,故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知复数z0=1-i，z=x+yix,y∈R，则下列结论正确的是()A.方程z-z0=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程z-z0+z-z0=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程z-z0-z-z0=1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支1D.方程z+2z0+z0=z-z0表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线答案AC【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可.解析由复数模的几何意义知，z-z0=2表示复平面内点(x,y)与点(1,-1)之间的距离为定值2，则z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，z-z0+z-z0=2表示复平面内点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之和为2，又2=z0-z0，不满足椭圆的定义2a>F1F2，故B不正确；由复数模的几何意义知，z-z0-z-z0=1表示复平面内点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之差为1，又2=z0-z0，满足双曲线的定义2a<F1F2，故C正确；1对于D，z+2z0+z0=z-z0可化为z+1=z-z0，表示复平面内点(x,y)到点(-1,0)和(1,-1)的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.10.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是()A.圆锥SO的侧面积为22π·84·,8B.三棱锥S-ABC体积的最大值为3ππC.∠SAB的取值范围是4,3D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为23+1答案BD【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，计算体π1积最大值判断B；先用取极限的思想求出∠ASB的范围，再利用∠SAB=-∠ASB求范围判断C；将22△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，求出S1C判断D作答.22解析在Rt△SOC中，SC=SO+OC=22，则圆锥的母线长l=22，半径r=OC=2，对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl=42π，A错误；1对于B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=×4×2=4，2118则三棱锥S-ABC体积的最大值为：×S△ABC×SO=×4×2=，B正确；333222π对于C，△SAB是等腰三角形，SA=SB，又因为SA+SC=16=AC，则∠ASC=，2ππ1ππ依题意，0<∠ASB<2，而∠SAB=2-2∠ASB，因此∠SAB∈4,2，C错误；π对于D，由AB=BC,AC=4，∠ABC=，得AB=BC=22，有△SAB为等边三角形，2π将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面的位置，得到△S1AB，则△S1AB为等边三角形，∠S1BA=，如3图，5π于是SE+CEmin=S1C，因为S1B=BC=22,∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=，62225π2S1C=S1B+BC-2S1B⋅BC⋅cos=8+8+83=4(3+1)，6所以SE+CEmin=S1C=23+1，D正确.故选：BD11.如图，曲线y=x下有一系列正三角形，设第n个正三角形Qn-1PnQn(Q0为坐标原点)的边长为an，则()24A.a1=,a2=33an+13B.记Sn为an的前n项和，则Pn+1为Sn+2,2an+1321C.记Sn为数列an的前n项和，则Sn=an+1+an+142·85·,2nD.数列an的通项公式为an=3答案ABDa13a1a23【分析】A项，根据题意由正三角形求得点P12,2和P2a1+2,2a2，代入曲线y=x，即可求an+13解a1,a2；B项，由△Qn-1PnQn为边长为an的等边三角形，求得Pn+1Sn+2,2an+1；C项，将Pn+1坐标代3212入曲线y=x，整理得Sn=an+1-an+1；D项，结合an=Sn-Sn-1，化简得到an+1-an=，利用等差数列423的通项公式求解得an.解析选项A，由题意知△Q0P1Q1为边长为a1的等边三角形，如图OQ1=a1，a13a1则P1,，22312因为点P1在曲线y=x上，可得a1=a1，解得a1=，223又由题意知△Q1P2Q2为边长为a2的等边三角形，则Q1Q2=a2，a233a24则P2a1+2,2a2，可得2a2=a1+2，解得a2=3，故A正确；选项B，由△Qn-1PnQn为边长为an的等边三角形，an+13可得Pn+1Sn+2,2an+1，故B正确；3an+1选项C，由点Pn+1在曲线y=x上，则an+1=Sn+，22321整理得Sn=an+1-an+1，42321321由an+1>0，可知Sn=an+1-an+1≠an+1+an+1，故C错误；4242321选项D，当n≥2时，可得Sn-1=an-an，42321321所以an=Sn-Sn-1=4an+1-2an+1-4an-2an，3可化为(an+1+an)(an+1-an)=an+1+an，22因为an>0，则an+1+an>0，所以an+1-an=,n≥2，34222∗2又因为a2-a1=-=，an+1-an=,n∈N，a1=，3333322即数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，33222n所以数列an的通项公式为an=+(n-1)×=，故D正确．333故选：ABD.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13212.在等比数列an中，a3，a7是函数fx=x-4x+4x-1的极值点，则a5=．3答案2【分析】由题，利用导数及韦达定理可得a3a7，后利用等比中项性质可得答案.2解析fx=x-8x+4，2由题a3，a7是方程x-8x+4=0的两个不等实根，则由韦达定理a3a7=4>0,a3+a7=8>0，所以a3>0,a7>0·86·,2又a5是a3，a7的等比中项且a5与a3，a7同号，则a5=4,a5>0⇒a5=2.故答案为：2.2y2x13.设双曲线Γ：2-2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，以Γ的实轴为直径的圆记为C，过点ab3F1作C的切线l，l与Γ的两支分别交于A，B两点，且cos∠F1BF2=，则Γ的离心率的值为.513答案2【分析】如图，设直线l与圆C的切点为P，过点F2作F2Q⊥AB于点Q，则F1Q=2PF1=2b,QF2=2OP=2a，由题意求出sin∠F1BF2，进而求出BF2、BQ，结合双曲线的定义化简计算即可求解.解析设直线l与圆C的切点为P，则OP=a，OP⊥PF1，2222由OF1=c，得PF1=OF1-OP=c-a=b，过点F2作F2Q⊥AB于点Q，则OP⎳F2Q，由O为F1F2的中点，得F1Q=2PF1=2b,QF2=2OP=2a，324因为cos∠F1BF2=,∠F1BF2为锐角，所以sin∠F1BF2=1-cos∠F1BF2=，55QF22a5a5a33a有BF2===，得BQ=BF2cos∠F1BF2=×=，sin∠F1BF24225253a所以F1B=F1Q+BQ=2b+，由双曲线的定义知，23a5a3aBF1-BF2=2a，即2b+-=2a，解得b=，22222213ac13又c=a+b，所以c=，所以双曲线的离心率为e==.2a213故答案为：.214.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A,B恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线x-1xe+1,x>0G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=12(其中e是自然对数的底数)，点O为坐x+1,x≤016标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则sinβ=.·87·,答案1【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.x-1xe+1,x>0解析函数y=12，x+1,x≤016x-1因为x>0,y=(x+1)e>0，所以该函数在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增.x-1x1-1过原点作y=xe+1的切线，设切点Ax1,x1e+1，x-1x1-1由y=x+1e，则切线OA的斜率为k1=x1+1e，x1-1x1-1直线OA:y-x1e+1=x1+1ex-x1过0,0，x1-12x1-12x1-1∴-x1e-1=-x1-x1e，∴x1e-1=0(x1>0)，x1-1-2x-1-2即e=x1，由函数y=e与y=x的图象在(0,+∞)有且只有一个交点，且当x1=1时满足方程，故方程有唯一解x1=1，则k1=2；1212过原点作y=16x+1的切线，设切点Bx2,16x2+1，11由y=x，得切线OB的斜率k2=x2，88121则切线OB:y-16x2+1=8x2x-x2过原点(0,0)，1212则有-x2-1=-x2(x2≤0)，∴x2=-4，1681则k2=-，则有k1k2=-1，2∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，π则β=，sinβ=1.2故答案为：1.·88·,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图所示，在四棱维P-ABCD中，PA⊥面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD，且PA=AB=BC=1AD=2.2(1)求PB与CD所成的角；(2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值.答案(1)60°15(2)5【分析】(1)利用向量的夹角的余弦值，求异面直线的夹角.(2)建立空间直角坐标系，根据法向量与直线的方向向量的夹角来确定线面角的正弦值，再根据同角关系求余弦值.解析(1)因为PA⊥面ABCD,AB⊥AD，所以PA,AB,AD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)则PB=2,0,-2,CD=-2,2,0PB⋅CD1∴cosPB，CD==，所以PB与CD所成的角为60°PBCD2(2)AP=0，0，2，AC=2，2，0，设平面PAC的法向量为m=x,y,z∵m⊥AP,m⊥AC,∴z=0，令y=-1，则m=1,-1,0，y+x=0设直线PD与面PAC所成的角的为θ，又PD=0，4，-2，m⋅PD10∴sinθ=cosm，PD==5mPD·89·,15直线PD与面PAC所成的角的余弦值为.5∗16.（15分）已知数列an满足an+1=an+2，n∈N，且a2，a5，a14构成等比数列.(1)求数列an的通项公式；n(2)设bn=2an+1，求数列bn的前n项和Sn.n+1答案(1)an=2n-1；(2)Sn=(2n-1)⋅2+2【分析】(1)根据an+1=an+2可得an+1-an=2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列，再根据a2，a5，a1422构成等比数列，得a5=a2a14，即(a1+8)=(a1+2)(a1+26)，解出a1后利用等差数列通项公式即可求出数列{an}的通项公式．nn(2)易知bn=2⋅an+1=2⋅(2n+1)，则利用错位相减求和法即可求出数列{bn}的前n项和Sn．解析解：(1)由an+1=an+2，得an+1-an=2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列，又a2，a5，a14构成等比数列，22得a5=a2a14，即(a1+8)=(a1+2)(a1+26)，整理解得a1=1，所以an=1+2(n-1)=2n-1．nn(2)bn=2⋅an+1=2⋅(2n+1)，12n则Sn=3×2+5×2+⋯+(2n+1)×2，23n+12Sn=3×2+5×2++(2n+1)×2，23nn+1两式相减得-Sn=3×2+2(2+2+⋯+2)-(2n+1)⋅2，2n-12(1-2)n+1n+2n+1n+1即-Sn=6+2×-(2n+1)⋅2=6+2-8-(2n+1)⋅2=2(1-2n)-2，1-2n+1所以Sn=(2n-1)⋅2+2．4S217.（15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，已知=acosB+abcosA.tanB(1)求角B；S(2)若b=3,△ABC的周长为l，求的最大值.lπ答案(1)33(2)4【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；S3(2)由余弦定理及三角形的面积公式得=a+c-3，再由基本不等式进行求解即可.l124S2解析(1)因为=acosB+abcosA，tanB14×acsinBcosB22所以=acosB+abcosA，sinB即2ccosB=acosB+bcosA，由正弦定理，得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sinA+B，因为A+B=π-C，所以2sinCcosB=sinC，1因为C∈0,π，所以sinC≠0，所以cosB=，2·90·,π又B∈0,π，所以B=.322222(2)由余弦定理，得b=a+c-2accosB，即9=a+c-ac，212所以9=a+c-3ac，即ac=a+c-9，313因为S=acsinB=ac，l=a+c+3，242S3ac3a+c-9所以==，l4a+c+312a+c+3S3所以=a+c-3，l122a+c又ac≤(当且仅当a=c时取等号)，422a+c所以9=a+c-3ac≥(当且仅当a=c=3时取等号)，4所以a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)，S333所以=a+c-3≤×6-3=(当且仅当a=c=3时取等号)，l12124S3即的最大值为.l42y2x23318.（17分）已知椭圆E:+=1a>7经过点M-2,.a2a2-72(1)求E的标准方程；(2)过点N0,6的直线l交E于C,D两点(点C在点D的上方)，E的上､下顶点分别为A,B，直线AD与直线BC交于点Q，证明：点Q在定直线上.2y2x答案(1)+=1169(2)证明见解析【分析】(1)直接代点计算即可；(2)设直线l的方程为y=kx+6,Cx1,y1，Dx2,y2，将直线和椭圆联立，消去y，然后表示出直线AD和yQ-3直线BC的方程，利用韦达定理计算的值为定值，则可求出yQ的值即可证明.yQ+342722解析(1)因为E过点M，所以+=1，整理得4a-7a-16=0.22a4a-722因为a>7，所以a=16，2y2x所以E的标准方程为+=1；169(2)设直线l的方程为y=kx+6,Cx1,y1，Dx2,y2,A0,3,B0,-3.y=kx+622联立22，整理得9+16kx+192kx+432=0,Δ>0，9x+16y=144192k432x1+x2=-2,x1x2=2，9+16k9+16ky2-3所以直线AD的方程为y=x+3①，x2y1+3直线BC的方程y=x-3②，x1解法一：·91·,yQ-3y2-3x1kx2+3x1由①②得==yQ+3x2y1+3kx1+9x2432576k-144kkxx+3x+x-3xk⋅2-2-3x22-3x2121229+16k9+16k9+16k1====-，kx1x2+9x2k⋅432+9x432k+9x322229+16k9+16k3所以yQ=.23所以点Q在定直线y=上运动，故点Q在定直线上.2解法二(和积转化)：9所以kx1x2=-x2+x2，49yQ-3kx1x2+3x1-4x1+x2+3x1由①②得===yQ+3kx1x1+9x2-9x+x+9x12243x1-9x213=-，所以yQ=.27x2-9x1323所以点Q在直线y=上运动，故点Q在定直线上.2解法三(点代平方差)：22x2y2因为D在E上，所以+=1，1692y2+3y2-3x2所以=-，916y2-39x2即=-⋅,x216y2+3yQ-3x1y2-3x19x29x1x2由①②得y+3=y+3⋅x=y+3⋅-16y+3=-16⋅Q1212kx1+9kx2+94329x1x299+16k21=-⋅=-⋅=-，16k2xx+9kx+x+81162432-192k31212k⋅2+9k⋅2+819+16k9+16k3所以yQ=.23所以点Q在直线y=上运动，故点Q在定直线上.2y2-2x1【点睛】方法点睛：在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过y1+2x2y2-2x1kx2+2x1kx1x2+2x1直线代换可得：==，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这y1+2x2kx1+6x2kx1x2+6x2种式子一般称为“非对称韦达定理”，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1⋅x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法即可.·92·,219.（17分）已知函数fx=x-ax+2lnx，a∈R．(1)讨论fx的单调性；(2)已知fx有两个极值点x1,x2，且x1<x2，证明：2fx1-fx2≥-1-3ln2．答案(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出函数的导数，分类讨论δ≤0和δ>0，在Δ>0时，结合二次函数性质判断导数的正负，从而确定函数的单调性；(2)结合(1)可得0<x1<1<x2以及两极值点x1,x2的关系式，求出2fx1-fx2的表达式，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，求出其最小值，即可证明不等式.2解析(1)由题意知函数fx=x-ax+2lnx的定义域为(0,+∞)，222x-ax+2fx=2x-a+=，xx2令f(x)=0,∴2x-ax+2=0，2当δ=a-16≤0，即-4≤a≤4时，f(x)≥0，等号仅在个别点处取得，此时fx在(0,+∞)上单调递增；2当δ=a-16>0，即a<-4或a>4，222a-a-16a+a-16若a>4，则方程2x-ax+2=0的两根为x1=,x2=，44此时两根均为正数，且x1<x2，22a-a-16a+a-16则x∈0,4或x∈4,+∞时，f(x)>0，22a-a-16a+a-16此时fx在0,4，4,+∞上均单调递增；2222a-a-16a+a-16a-a-16a+a-16x∈,时，f(x)<0，此时fx在,上单调递减；4444若a<-4，则f(x)>0恒成立，fx在(0,+∞)上单调递增；故a≤4时，fx在(0,+∞)上单调递增；22a-a-16a+a-16a>4时，fx在0,4，4,+∞上均单调递增，22a-a-16a+a-16在,上单调递减；44ax1+x2=(2)由(1)知，当a>4时，fx有2个极值点，满足2，x1x2=1又x1<x2，则0<x1<1<x2，22故2fx1-fx2=2x1-ax1+2lnx1-x2-ax2+2lnx222=2x1-2ax1+4lnx1-x2+ax2-2lnx222=2x1-4x1+x2x1+4lnx1-x2+2x1+x2x2-2lnx22222=-2x1-4+4lnx1+x2+2-2lnx2=-2+x2-6lnx2-2，x24222462x-6x+4令gx=x--6lnx-2,x>1，则gx=2x+-=，x2x3xx342222x-3x+22x-1x-2==33xx2x+1x+2x-1x-2=，3x·93·,则当x∈1,2时，gx<0，gx在1,2上单调递减，当x∈2,+∞时，gx>0，gx在2,+∞上单调递增，22则gxmin=g2=2-2-6ln2-2=-1-3ln2，2故2fx1-fx2≥-1-3ln2.【点睛】难点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题，综合性强，难度较大，难点在于不等式的证明，解答时要求出2fx1-fx2的表达式，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出其最小值，从而证明不等式.·94·,福建省名校联盟全国优质校2024届高三大联考数学试卷第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合A=x2x-5x+2<0，B=xx>1，则A∩B=()111A.0,2B.2,1C.2,2D.1,2答案D【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.解析解不等式2x2-5x+2<0，得1<x<2，即a={x1<x<2，而b=xx>1，22所以A∩B={x|1<x<2}.故选：d1-i2.已知i为虚数单位，1-2i=()51052a.b.c.d.5525答案b【分析】由复数的除法和模的定义求解.1-i1-i1+2i3+i10解析1-2i==5=5.1-2i1+2i故选：b3.已知a，b为单位向量，若a-b=3，则a，b的夹角为()ππ2π5πa.b.c.d.6336答案c【分析】利用两边平方的方法化简已知条件，从而求得a，b的夹角.解析设a，b的夹角为θ，221由a-b=3两边平方得a-2a⋅b+b=3,a⋅b=-，21a⋅b=a⋅b⋅cosθ=cosθ=-，22π由于0≤θ≤π，所以θ=.3故选：c2y2x4.设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线-=1(a>b>0)分别交于A、B两点，若线段AB的中点22ab4横坐标是m，则该双曲线的离心率是()557A.B.C.2D.222答案A·95·,【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.43解析由线段AB的中点横坐标是m，得线段AB的中点纵坐标是m，设A(x1,y1),B(x2,y2)，55x-3y+m=02222222由222222消去x得(9b-a)y-6bmy+b(m-a)=0，bx-ay=ab422222222222Δ=36bm-4b(9b-a)(m-a)=4ab(9b+m-a)>0，26bm6m22因此y1+y2=22=5，整理得a=4b，显然Δ>0成立，9b-a222a+bb5所以该双曲线的离心率e==1+2=.aa2故选：A2(x-μ)-22σ5.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为Ix=I0e，其中I0为输出信号功率最大值(单2位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ为输出信号的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽2(x-2)-2度。现已知输出信号功率为Ix=I0e(如图所示)，则其3dB带宽为()A.ln2B.4ln2C.3ln2D.22ln2答案D【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.222(x-2)(x-2)(x-2)1-2-212解析依题意，由I(x)=I0，I(x)=I0e，得I0e=I0，即e=2，222则有(x-2)=2ln2，解得x1=2-2ln2，x2=2+2ln2，所以3dB带宽为x2-x1=22ln2.故选：D6.已知a1,a2,a3,a4,a5成等比数列，且2和8为其中的两项，则a5的最小值为()11A.-32B.-16C.D.3216答案B【分析】结合题意，a5取最小值时为负数，且a4=8，利用等比数列的基本量运算即可求解.解析由题意，要使a5最小，则a1,a3,a5都是负数，则a2和a4选择2和8，设等比数列的公比为q,q<0，2a48当a4=8,a2=2时，q===4，所以q=-2，所以a5=-16；a222a4211当a4=2,a2=4时，q===，所以q=-，所以a5=-1；a2842综上，a5的最小值为-16.故选：B.7.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,BA⊥BC,PA=PB=PC=2，点M是棱BC上一动点，则PM+MA的取值范围是()·96·,10+1410+14A.6+27,4B.2+2,4C.,4D.,2+222答案A【分析】把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，PM+MA最大；PM+MA的最小值为AP，利用余弦定理即可求解.解析如图所示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，PM+MA=2+2<4；当M与C重合时，PM+MA=2+2=4最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，PM+MA最小.2222-214此时，sin∠CBP==，24π14所以cos∠ABP=cos2+∠CBP=-sin∠CBP=-4.22由余弦定理得：AP=AB+BP-2AB⋅BP⋅cos∠ABP2214=2+2-2×2×2×-4=6+27.所以PM+MA的取值范围为6+27,4.故选：A.22014π8.方程2cos2xcos2x-cos=cos4x-1所有正根的和为()xA.810πB.1008πC.1080πD.1800π答案C222014π22014π【分析】易得2cos2xcos2x-cos=cos4x-1=2cos2x-2，令a=cos2x,b=cos，得xx到a=1,b=1或a=-1,b=-1讨论求解.22014π2解析解：2cos2xcos2x-cos=cos4x-1=2cos2x-2，x22014π2令a=cos2x,b=cos，则2aa-b=2a-2，即ab=1，x所以a=1,b=1或a=-1,b=-1，·97·,22014π当a=1,b=1时，即cos2x=1,cos=1，x1007π所以x=kπ,k∈Z,x=,k1∈Z，k1因为1007=1×19×53，所以x=π,19π,53π,1007π，22014π当a=-1,b=-1时，即cos2x=-1,cos=-1，x2k+1π22014π4028π则x=,k∈Z,x==,k1∈Z，22k1+1π2k1+124028因为2k+1是奇数，所以也是奇数，不成立；2k1+1所以方程所有正根的和为：π+19π+53π+1007π=1080π,故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.下列命题正确的是()A.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.97,rB=-0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强B.若样本数据x1,x2,⋅⋅⋅,x6的方差为2，则数据2x1-1,2x2-1,⋅⋅⋅,2x6-1的方差为8C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数D.某人解答5个问题，答对题数为X，若X∼B5,0.6，则EX=3答案BCD【分析】对于A，由由相关系数的意义即可判断；对于B，由方程的性质即可判断；对于C，30×22%=6.6，28×22%=6.16结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D，由二项分布均值公式即可判断.解析对于A，因为rA=0.97<rB=0.99，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；2222对于B，若样本数据x1,x2,⋅⋅⋅,x6的方差为s=2，则数据2x1-1,2x2-1,⋅⋅⋅,2x6-1的方差为s1=2s=8，故B正确；对于C，将这原来的30个数从小大大排列为a1,a2,⋯,a30，则30×22%=6.6，所以原来的22%分位数为a7，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为a2,⋯,a29，则28×22%=6.16，所以剩下28个数据的22%分位数为a8，由于a1,a2,⋯,a30互不相同，所以C正确；对于D，某人解答5个问题，答对题数为X，若X∼B5,0.6，则EX=5×0.6=3，故D正确.故选：BCD.lnx10.对于函数fx=，下列说法正确的是()x1A.fx在x=e处取得极大值；B.fx有两个不同的零点；e4πC.f4<fπ<f3d.π<4答案aclnx【分析】a选项，对函数fx=求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；x·98·,lnxb选项，令函数fx==0，求得零点；c选项，根据a选项得到的单调性来比较大小即可；d选项，x根据单调性可知f4<fπ，代入即可比较大小.1-lnx解析fx的定义域为0,+∞，且fx=.令fx=0，得x=e.∴fx在0,e上单调递增，2x1在e,+∞上单调递减，因此fx在x=e处取得极大值fe=,a正确.e令fx=0，解得x=1，故函数fx有且仅有一个零点，b错误.由fx在e,+∞上单调递减，得f4<fπ<f3，则c正确.ln4lnππ4π4因为f4<fπ，即<，所以ln4<lnπ，则4<π,d错误.4π故选：ac.222*11.已知mn是圆on:x+y-2nx-2ny+n=0n∈n上任意一点，过点pn-1,n向圆on引斜率为knkn>0的切线ln，切点为Qnxn,yn，点An3n,n，则下列说法正确的是()n2n+1A.n=1时，k1=3B.yn=+nn+11-xnxn13C.<2sinD.MnAn+MnPn的最小值是n+11+xnyn-n22答案BCD【分析】对于A，直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B，首先由直线与圆相切，联立方程组得n1-xn判别式为0，由此可得kn=，进一步解方程得切点坐标即可判断；对于C，首先得=2n+11+xnxn11=，通过构造函数fx=x-2sinx，结合导数即可判断；对于D，由MnAn=MnCn结合yn-n2n+12三角形三边关系即可求解.22解析当n=1时，圆O1的方程为x-1+y-1=1，圆心为1,1，半径为1，过点P1-1,1向圆O1引切线，根据题意可知，切线斜率存在，设切线方程为y=kx+1+1，即kx-y+k+1=0，|k+k|3由点到直线的距离公式可得=1，又因为kn>0，所以k1=，故A不正确；1+k23y=knx+1+n设直线ln:y=knx+1+n，由222，x+y-2nx-2ny+n=02222得1+knx+2kn-2nx+kn=0，2222由Δ=0，即2kn-2n-4kn1+kn=0，2nn-knn又因为kn>0，所以kn=，所以xn=2=，2n+11+knn+1nnn2n+1所以yn=knxn+1+n=n+1+1+n=n+1+n，故B正确；2n+1n1-xn1-n+11xn1因为==,=，1+xn1+n2n+1yn-n2n+1n+1令fx=x-2sinx，fx=1-2cosx，ππ当x∈0,4时，fx=1-2cosx<0，所以fx在0,4上单调递减，11π因为0<≤<，而f0=0，2n+13411-xnxn所以f<f0=0，即<2sin，故c正确；2n+11+xnyn-n·99·,3n1设cn2,n，此时2mnan=mncn，13故而|mnan|+|mnpn|=|mncn|+|mnpn|≥|cnpn|=n+1，等号成立当且仅当mn在cnpn上，故d正确.22故选：bcd.【点睛】关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得kn,xn,yn关于n的表达式，由此即可顺利求解.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．sn+1sn12.设sn是数列an的前n项和，-=1，a3=5，则a2024=．n+1n答案4047sn【分析】由题意可知n是公差为1的等差数列，由sn与an的关系求出其通项公式可解.sn+1snsn解析因为n+1-n=1，所以n是公差为1的等差数列，sn2所以=a1+n-1，则sn=n-n+na1，n所以s3=3a1+6，s2=2a1+2，又a3=s3-s2=a1+4=5，2可得a1=1，且sn=n，22所以a2024=s2024-s2023=2024-2023=4047.故答案为：4047π13.设函数fx=sinωx+3(ω>0)在区间0,π恰有两个零点，则ω的取值范围是．58答案3,3【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.πππ解析由x∈0,π，得ωx+3∈3,πω+3，π因为函数fx=sinωx+3(ω>0)在区间0,π恰有两个零点，π58所以2π<πω+≤3π，解得<ω≤，33358所以ω的取值范围是3,3.58故答案为：3,3.14.如图，在△SBE中，SE=BE=1，在直角梯形BEDC中，BE⊥DE，CD∥BE，CD=2，DE=3，DE⊥SE，记二面角S-DE-B的大小为θ，若θ∈π,2π，则直线SC与平面SDE所成角的正弦值的最大值33为．答案3-1·100·,【分析】根据题意以EB,ED和过点E垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系E-xyz，可知∠BES为二面角S-DE-B的平面角，设出点S的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.解析如图，以EB,ED和过点E垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系E-xyz，则B1,0,0,D0,3,0,C2,3,0,由BE⊥DE，DE⊥SE，可知∠BES为二面角S-DE-B的平面角，又SE=1，θ∈π,2π，33设Sa,0,1-a22π,cosπ1,1，a∈cos33=-22，22则ES=a,0,1-a,SC=2-a,3,-1-a,ED=0,3,0，n⋅ED=3y=0设平面SDE的法向量为n=x,y,z，则，2n⋅ES=ax+1-az=0-a-a令x=1，则z=,y=0，所以n=1,0,，221-a1-a设直线SC与平面SDE所成角为α，n⋅SC2-a+aa2-1则sinα=cosn,SC==2=a-2，n⋅SC1+a⋅2-a2+3+1-a221-a2a-13353其中=a-2++4≤-2a-2+4=4-23，-≤a-2≤-，a-2a-2a-2223当且仅当a-2=，即a=2-3时，取得最大值,a-22则sinα的最大值为4-23=3-1=3-1.故答案为：3-1【点睛】思路点睛：根据题意设出点S的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+n-4．(1)证明：数列an-1是等比数列；(2)设bn=log2an+1-1，求数列bnan-1的前n项和Tn．答案(1)证明见解析；n+1(2)Tn=n⋅2.【分析】(1)利用an=Sn-Sn-1,n≥2变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.(2)由(1)求出bn，再利用错位相减法求和即得.解析(1)证明：数列an中，Sn=2an+n-4，当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-5，两式相减得an=2an-2an-1+1，·101·,即an=2an-1-1，则an-1=2(an-1-1)，又a1=S1=2a1-3，则a1=3，a1-1=2≠0，所以数列an-1是首项为2，公比为2的等比数列.n-1nn+1(2)由(1)知an-1=2×2=2，bn=log2(an+1-1)=log22=n+1，nbn(an-1)=(n+1)⋅2，23n则Tn=2×2+3×2+4×2+⋯+(n+1)×2，234nn+1于是2Tn=2×2+3×2+4×2+⋯+n×2+(n+1)×2，n23nn+12(1-2)n+1n+1两式相减得-Tn=2×2+(2+2+⋯+2)-(n+1)×2=2+-(n+1)×2=-n⋅2，1-2n+1所以Tn=n⋅2.16.（15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=13，在底面△ABC中，有AB⊥BC，且AB=8，BC=6，点D为12等腰三角形B1AC的底边AC的中点，在△BB1D中，有cos∠BB1D=．13(1)求证：BC⊥B1D；(2)求直线AB1与平面B1BC所成角的正弦值．答案(1)证明见解析；1210(2).65【分析】(1)利用余弦定理求出B1D，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、性质推理即得.(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦.1解析(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BD，由AB⊥BC，点D为AC的中点，得BD=AC=2122AB+BC=5，222222212在△BB1D中，BD=B1B+B1D-2B1B⋅B1Dcos∠BB1D，即5=13+B1D-2×13B1D×，13222解得B1D=12，由BD+B1D=169=B1B，得∠B1DB=90°，即B1D⊥BD，由B1A=B1C，点D为AC的中点，得B1D⊥AC，而AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC，因此B1D⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以BC⊥B1D.·102·,(2)在平面ABC内过点D分别作AB，BC的平行线，交AB，BC于点E，F，由(1)知B1D⊥平面ABC，AB⊥BC，显然直线DE,DF,DB1两两垂直，以点D为坐标原点，直线DE,DF,DB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(3,-4,0),B(3,4,0),C(-3,4,0),B1(0,0,12)，AB1=(-3,4,12),CB=(6,0,0),BB1=(-3,-4,12)，设平面B1BC的法向量n=(x,y,z)，n⋅CB=6x=0则n⋅BB=-3x-4y+12z=0，令z=1，得n=(0,3,1)，令直线AB1与平面B1BC所成的角为θ，1|AB1⋅n|241210因此sinθ=|cos‹AB1,n›|===65，|AB1||n|13×101210所以直线AB1与平面B1BC所成角的正弦值是.6517.（15分）甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜(后续项目不再进行比赛)．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．(注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．)(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望．答案(1)甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为0.8；(2)分布列见解析，X的数学期望为4.3．【分析】(1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件Ai，利用Ai表示事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜，结合概率加法和乘法公式求解；(2)确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可其分布列，再利用期望公式求其期望.解析(1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件Ai，i=1,2,3，则PA1=PA2=PA3=0.7，则事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜可表示为A1A2+A1A2A3+A1A2A3，所以事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为PA1A2+A1A2A3+A1A2A3=0.7×0.7+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7=0.784≈0.8，(2)由(1)可得甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率约为0.8，同理可得甲俱乐部在女子双打项目中获胜的概率约为0.8，甲俱乐部在男子单打项目中获胜的概率约为0.8，设事件甲俱乐部在女子单打项目中第i局获胜为事件Bi，i=1,2,3，则PB1=PB2=PB3=0.2，则事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜可表示为B1B2+B1B2B3+B1B2B3，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率为PB1B2+B1B2B3+B1B2B3=0.2×0.2+0.2×0.8×0.2+0.8×0.2×0.2=0.104≈0.1，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率约为0.1，同理可得事件甲俱乐部在混合双打项目中获胜的概率约为0.1，由已知X的取值可能为3,4,5；PX=3=0.8×0.8×0.1+0.2×0.2×0.9=0.1，·103·,比赛进行了4个项目，甲俱乐部获胜的概率为0.8×0.8×0.9+0.8×0.2×0.1+0.2×0.8×0.1×0.8=0.4864，比赛进行了4个项目，乙俱乐部获胜的概率为0.2×0.2×0.1+0.2×0.8×0.9+0.8×0.2×0.9×0.2=0.0584，PX=4=0.4864+0.0584=0.5448≈0.5，PX=5=0.8×0.8×0.9×0.2+0.8×0.2×0.1×0.2+0.8×0.2×0.9×0.8+0.2×0.8×0.1×0.2+0.2×0.8×0.9×0.8+0.2×0.2×0.1×0.8=0.3552≈0.4，所以X的分布列为X345P0.10.50.4所以随机变量X的数学期望EX=3×0.1+4×0.5+5×0.4=4.3.2y2x18.（17分）已知椭圆E的方程为+=1(a>b>0),A为E的左顶点，B为E的上顶点，E的离心率为22ab1,△ABO的面积为3．2(1)求E的方程；(2)过点P-2,1的直线交E于M、N两点，过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点H，证明：线段MH的中点在定直线上．2y2x答案(1)+=143(2)证明过程见解析c11【分析】(1)由题意=,ab=3结合a,b,c的平方关系即可求解.a22(2)由题意设直线MN方程为kx-y+2k+1=0，Mx1,y1,Nx2,y2，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交2yT点坐标以及中点坐标表示出T的坐标，证明为定值即可.xT+21c11解析(1)因为离心率为,△ABO的面积为3，所以=,ab=3，2a22222又因为a=b+c，2y222x所以a=4,b=3，即E的方程为+=1.43(2)由题意过点P-2,1的直线斜率存在，设为kx-y+2k+1=0，设Mx1,y1,Nx2,y2，kx-y+2k+1=0联立22，得4k2+3x2+8k2k+1x+82k2+2k-1=0，xy+=143·104·,8k2k+1x1+x2=-24k+3可得2，xx=82k+2k-11224k+3所以y1+y2=kx1+2+1+kx1+2+1=kx1+x2+4k+2228k2k+14k+24k+362k+1=-+=，2224k+34k+34k+3且x1y2+x2y1=x1kx2+2+1+x2kx1+2+12216k2k+2k-18k2k+1-24k=2kx1x2+2k+1x1+x2=2-2=2(*)，4k+34k+33k+422221Δ=64k2k+1-324k+32k+2k-1=961-2k>0⇒k<，2y2直线AN:y=x+2和x=x1联立，x2+2y2x1+21y2x1+2得Hx1,,Tx1,y1+，T为MH的中点，x2+22x2+21y2x1+2x1y2+x2y1+2y1+y2令x=x1∈-2,2,y=y1+=，2x2+22x2+22yx1y2+x2y2+2y1+y22yx1y2+x2y1+2y1+y2此时=，化简得=，x+2x2+2x1+2x+2x1x2+2x1+x2+42y-24k+122k+1将(*)代入上式得==3，x+282k2+2k-1-16k2k+1+44k2+3所以线段MH的中点T在定直线3x-2y+6=0上.1y2x1+22yT【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出Tx1,y1+，再结合韦达定理证明为定值即2x2+2xT+2可顺利得解.a19.（17分）已知函数fx=lnx-．x(1)当a=-1时，求fx的极值；21x02(2)若存在实数0<x0<，满足fx0=f，求fa的取值范围．21-x0答案(1)fx的极小值为1，无极大值；(2)2-2ln2,+∞.【分析】(1)利用导数研究函数单调性，从而求极值；2x01(2)利用函数fx的导数可知a<0，且1-x<-a<x0，从而a∈-2,0，再求范围即可.0111x-1解析(1)当a=-1时，fx=lnx+,x>0，则fx=-=，xxx2x2当0<x<1时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=1时，fx取极小值为f1=1，无极大值；a1ax+a(2)由fx=lnx-，则f(x)=+=,x>0，xxx2x2若a≥0，则f(x)>0恒成立，函数f(x)单调递增，22x0x01若fx0=f，则x0=，解得x0=0或x0=，与题意不符，所以a<0，1-x01-x02当0<x<-a时，f(x)<0，f(x)单调递减，·105·,当x>-a时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=-a时，fx取极小值为f-a=ln-a+1，21x0x01-2x0又0<x0<，则x0-=>0，21-x01-x022x0x0所以x0>，而fx0=f1-x01-x02x0所以<-a<x0，1-x02x2-xx1设g(x)=,x∈0,，则g(x)=>0，1-x21-x211所以g(x)为增函数，则g(x)<g2=2，1所以a∈-2,0，1下面证明当a∈-2,0时，符合题意：22x0ax0a1-x0由fx0=f1-x可得lnx0-x=ln1-x-2，000x021-x0a1-x01-x01化简得ln+-a=0，设t==-1∈1,+∞，x0x2x0x0022则lnt+at-a=0,t∈1,+∞，设gt=lnt+at-a,t∈1,+∞，211+2at则gt=+2at=，tt11所以当t∈1,-2a时，gt>0，gt单调递增；当t∈-2a,+∞时，gt<0，gt单调递减；又g1=0，当t→+∞时，gt→-∞，1所以一定存在t0∈1,+∞使得gt0=0，满足题意，所以a∈-2,0；2211所以fa=lna-=2ln-a-，aa11令hx=2ln-x-x,x∈-2,0，2x+1则hx=,可知hx>0，所以h(x)为增函数，2x11且h-2=2ln2+2=2-2ln2,2则h(x)∈2-2ln2,+∞，即fa∈2-2ln2,+∞.2x0【点睛】思路点睛：第(2)问中，根据条件，利用导数可分析出<-a<x0，从而先确定a的取值范围，1-x02再求fa的取值范围．·106·,浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合m=x∣x-3x-4<0,n={x∣y=ln(x-1)}，则m∩n=()a.(1,4)b.[1,4)c.(-1,4)d.[-1,4)答案a【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.2解析m=x∣x-3x-4<0=x∣-1<x<4，n={x∣y=ln(x-1)}={x∣x>1}，M∩N=x1<x<4.故选：a2.若1-2iz-3-2i=2+i，则z=()a.-3+3ib.-3-3ic.3+3id.3-3i答案d【分析】化简已知条件求出复数z，从而可求出其共轭复数z解析由1-2iz-3-2i=2+i，2+i得z=+3+2i1-2i(2+i)(1+2i)=+3+2i(1-2i)(1+2i)22+4i+i+2i=+3+2i5=3+3i，所以z=3-3i，故选：d2y2x3.已知直线ax+y=0是双曲线-=1(a>0)的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为()a24A.6B.26C.22D.42答案A【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a值，求出半焦距，判断选项.2y2x解析由ax+y=0是双曲线-=1a>0的一条渐近线，a242则=a，解得a=2a222故c=a+b=2+4=6,则c=6，故选：A4.已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=λa+μb(λ,μ∈R)．“λ>0，且μ>0”是“c⋅(a+b)>0”的·107·,()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.解析当λ>0，且μ>0时，22c⋅a+b=λa+μb⋅a+b=λa+λ+μa⋅b+μb=λ+μ+λ+μcosa,b>λ+μ-λ+μ=0，充分性满足；当c⋅(a+b)>0时，c⋅a+b=λ+μ+λ+μcosa,b，当λ>0，μ=0时，c⋅a+b=λ+λcosa,b是可以大于零的，即当c⋅(a+b)>0时，可能有λ>0，μ=0，必要性不满足，故“λ>0，且μ>0”是“c⋅(a+b)>0”的充分而不必要条件.故选：A.15.函数fx=alnx+的图象不可能是()xA.B.C.D.答案D【分析】分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.1解析①当a=0时，fx=，此时A选项符合；x1alnx+,x>01x②当a>0时，fx=alnx+=，xaln-x+1,x<0x1当x<0时，fx=aln-x+，x1因为函数y=aln-x,y=在-∞,0上都是减函数，x所以函数fx在在-∞,0上是减函数，1如图，作出函数y=aln-x,y=-在-∞,0上的图象，x·108·,1由图可知，函数y=aln-x,y=-的图象在-∞,0上有一个交点，x即函数fx在在-∞,0上有一个零点，1a1ax-1当x>0时，fx=alnx+，则fx=-=，xxx2x211由fx>0，得x>，由fx<0，得0<x<，aa11所以函数fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，11当a=1时，fa=alna+a=1，故b选项符合；1alnx+,x>01x③当a<0时，fx=alnx+=，xaln-x+1,x<0x1当x>0时，fx=alnx+，x1因为函数y=alnx,y=在0,+∞上都是减函数，x所以函数fx在0,+∞上是减函数，1如图，作出函数y=alnx,y=-在0,+∞上的图象，x1由图可知，函数y=alnx,y=-的图象在0,+∞上有一个交点，x即函数fx在在0,+∞上有一个零点，1a1ax-1当x<0时，fx=aln-x+，则fx=-=，xxx2x211由fx>0，得x<，由fx<0，得<x<0，aa11所以函数fx在a,0上单调递减，在-∞,a上单调递增，11当a=-1时，fa=aln-a+a=-1，故c选项符合，d选项不可能.故选：d.6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为()·109·,a.36b.32c.28d.24答案c【分析】设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱1abh=322台的高为h，可得出，求出ah的值，即可求得该正四棱台的体积.12bh=13解析设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱台的高为h，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，1abh=322222222则，可得abh=ah⋅bh=ah×3=36，可得ah=12，12bh=132所以，该正四棱台的体积为v=ah+4×3+4×1=12+16=28.故选：c.227.在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x-3+y=1，且圆c与x轴交于m,n两点，设直线l的方程为y=kxk>0，直线l与圆C相交于A,B两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为k1,k2,k3，则()A.k1+k2=2k3B.2k1+k2=k3C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3答案A【分析】根据圆C与x轴交于M,N两点，得到M,N的坐标，再根据直线l与圆C相交于A,B两点，得到坐标，再根据联立斜率关系计算即可.22解析如图，由题意得lAM:y=k1x-2，与圆C:x-3+y=1联立，22消y整理得x-21+k1x-2k1+4=0，22k1+4∴xM=2，xA=2，1+k1222k1+42k14k2+2-2k2∴A,，同理可得B,．1+k21+k21+k21+k21122∵kOA=kOB，2k1-2k2221+k11+k2∴2=2，即1+k1k2k1+2k2=0．2k1+44k2+2221+k11+k21∵k1k2≠-1，∴k2=-k1，2y0=k1x0-2,设Px0,y0，∴y0=k2x0-4,2k1-4k2x0=,k1-k22k1-4k2-2k1k282k1∴-2kk∴Pk-k,k-k，即P3,3，y=12,12120k-k12·110·,2k131∴k3==k1，8431∴k1+k2=k1=2k3，2故选：A．8.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，AB=BC=1，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则()A.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最小值B.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最小值C.有且仅有一点P使二面角B-l-C取得最大值D.有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值答案D【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断．解析过A作AM⊥l于M，连接MB、MC，如图所示，因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线l在平面内，且直线BC交单位圆于点A，所以AC⊥l，AM,AC⊂平面AMC，AM∩AC=A，所以l⊥平面AMC，MC,MB⊂平面AMC，所以l⊥MC，l⊥MB，所以∠BMC是二面角B-l-C的平面角，设∠BMC=θ，∠AMC=α，∠AMB=β，AM=t，则θ=α-β，由已知得t∈0,2，AB=BC=1，2121tanα-tanβt-tttanα=，tanβ=，tanθ=tanα-β===，tt1+tanα⋅tanβ21t2+21+⋅tt2t1⋅t+2-t2t2+t2-t令ft=，则ft==，22222t+2t+2t+2当t∈0,2时，ft>0，ft单调递增，当t∈2,2时，ft<0，ft单调递减，1f2=>f0=03·111·,所以t∈0,2，当t=2时，ft取最大值，没有最小值，即当t=2时tanθ取最大值，从而θ取最大值，由对称性知当t=2时，对应P点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则()A.A与D相互独立.B.A与B相互独立C.B与D相互独立D.A与C相互独立答案BCD【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.解析不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A=“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B=“12,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D=“12,21,34,43”.事件AD=∅，事件AB=“13,14,23,24”，事件BD=“12,21,”，事件AC=“31,41,32,42”，82616141则PA==,PB==，PC==，PD==，123122122123412141PAD=0，PAB==，PBD==，PAC==，123126123所以PAD≠PAPD，所以A与D不相互独立；PAB=PAPB，所以A与B相互独立；PBD=PBPD，所以B与D相互独立；PAC=PAPC，所以A与C相互独立；故选：BCD10.已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2-x=5，gx-fx-4=7．若x=2是gx的对称轴，且g2=4，则下列结论正确的是()A.fx是奇函数B.3,6是gx的对称中心22C.2是fx的周期D.gk=130k=1答案BD【分析】根据对称性和已知条件得到fx=f-x，判断A；结合已知条件变形得到g(2-x)+g(x+4)=12，判断B；利用赋值法求得f2≠f0，判断C；根据条件得到的gx周期为4，对称中心为3,6，从而得到函数值即可求解，判断D.解析对于A，因为x=2是gx的对称轴，所以g(2-x)=g(x+2)，又因为fx+g2-x=5，所以f-x+g2+x=5，故fx=f-x，·112·,即fx为偶函数，故A错误；对于B，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，联立得g(2-x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，故B正确；对于C，因为fx+g2-x=5，g2=4，则f0+4=5，即f0=1；因为gx-fx-4=7，则4-f-2=7，即f-2=-3，则f2=-f-2=3；显然f2≠f0，所以2不是fx的周期，故C错误；对于D，因为x=2是gx的对称轴，所以g(6-x)=g(x-2)，又因为g(2-x)+g(x+4)=12，即gx+g6-x=12，则gx+gx-2=12，所以gx+2+gx=12，所以gx+2=gx-2，即gx=gx+4，所以gx周期为4，因为gx周期为4，对称中心为3,6，所以g3=6，当x=4时，代入gx-fx-4=7，即g4-f0=7，所以g4=8，所以g4=g0=8，又x=2是gx的对称轴，所以g1=g3=6，22所以gk=5×6+4+6+8+6+4=130，故D正确，k=1故选：BD.11.在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<α≤90°)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.那么()A.存在90°旋转函数B.80°旋转函数一定是70°旋转函数1bx2C.若g(x)=ax+为45°旋转函数，则a=1D.若h(x)=x为45°旋转函数，则-e≤b≤0xe答案ACD【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将45°旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.解析对A，如y=x满足条件，故A正确；对B，如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；11对C，若g(x)=ax+为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+逆时针旋转45°后，不存xx在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45°的直线与g(x)=ax+111y=ax+的函数图象有两个交点.即y=x+bb∈R与g(x)=ax+至多1个交点.联立x可得xxy=x+b2a-1x-bx+1=0.当a=1时，-bx+1=0最多1个解，满足题意；22当a≠1时，a-1x-bx+1=0的判别式Δ=b-4a-1，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不满足题意，故a=1.故C正确；bxbx对D，同C，h(x)=x与y=x+aa∈R的交点个数小于等于1，即对任意的a，a=x-x至多1个解，eebxb1-x故gx=x-x为单调函数，即gx=x-1为非正或非负函数.eeb1-xx又g1=-1，故x-1≤0，即e≥-bx-1恒成立.ex即y=e图象在y=-bx-1上方，故-b≥0，即b≤0.·113·,x0xx0xxex0当y=e与y=-bx-1相切时，可设切点x0,e，对y=e求导有y=e，故=e，解得x0=2，此x0-1x022时b=-e=-e，故-e≤b≤0.故D正确.故选：ACD第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．x64212.2+x-2y的展开式中xy的系数为．(用数字作答)y答案-406x42【分析】由二项式定理得到x-2y的通项公式，结合2+，得到T3,T4，得到xy的系数.y6r6-rrrr6-rr解析x-2y的通项公式为Tr+1=C6x-2y=C6-2xy，2242424242令r=2得，T3=C6-2xy=60xy，此时60xy⋅2=120xy，33333333x42令r=3得，T4=C6-2xy=-160xy，此时-160xy⋅=-160xy，y42故xy的系数为120-160=-40故答案为：-40213.已知F为抛物线C:y=4x的焦点，直线x=t与C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF与C的另一个交点为E.若△ABF与△DEF的面积之比为4:1，则t=.答案2【分析】由题意可判断得t>1，写出点A，B的坐标，从而得AB=4t，表示出直线AD的方程，与抛物线4联立方程组，从而求解出点D的横坐标，代入抛物线方程计算，即可得DE=，从而根据三角形面积t公式表示△ABF与△DEF的面积，再根据面积比列式计算可得t的值.2解析如图，抛物线C:y=4x的焦点为F1,0，可知t>1，由题意，得At,2t,Bt,-2t，即AB=4t2t所以直线AD的方程为y=x-1，t-12ty=x-122联立t-1，化简得tx-t+1x+t=0，y2=4x22t+1t+11∴x1+x2=，因为At,2t，可得点D的横坐标为-t=，ttt24代入抛物线方程可得，y=±，所以DE=，tt11412t-1∴S△ABF=2×4t×t-1=2t⋅t-1，S△DEF=2××1-t=tt⋅t·114·,S△ABF2t⋅t-12∴==t=4，又t>1，所以t=2.S△DEF2t-1t⋅t故答案为：214.设严格递增的整数数列a1，a2，⋯，a20满足a1=1，a20=40.设f为a1+a2，a2+a3，⋯，a19+a20这19个数中被3整除的项的个数，则f的最大值为，使得f取到最大值的数列an的个数为.答案1825270【分析】第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果.解析第一个空，设某个数除以a余数为b，则称该数模a余b(a，b均为整数，且b<a)，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.而a1=1，a20=40均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以f的最大值为18.第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步，在a1到a20这20个数中删去一个数(后面再加回来)，使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得f的最大值为18.第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.4②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有c21种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19141个数中，由c8种，共有c21c8种.3③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有2c21种，此时加回来的数必定是删去的两端3之一中的1或40，有1种选法，共2c21种.第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为a，它旁边两个数分别为b,c，即排列为b,a,c，在第三步捆绑时，可能捆绑·115·,的组合为ba，然后删去，再补回b；或者为ac，然后删去，再补回c，这两种删去方式结果相同.1413综上，共有c21c8+2c21=25270种.2故答案为：18；25270【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图，在三棱锥a-bcd中，ab⊥平面bcd，平面abc⊥平面abd，ac=ad，ab=bd.(1)证明：bc⊥bd；(2)求二面角a-cd-b的余弦值.答案(1)证明见解析3(2)3【分析】(1)利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可；(2)方法一、利用几何法，取cd中点m，并连接am、bm，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形即可，方法二、构造合适的空间坐标直角系，利用空间向量计算二面角即可.解析(1)依题意，ab⊥面bcd，且bd,bc⊂面bcd，所以ab⊥bc，ab⊥bd，因为面abc⊥面bcd，面abc∩面abd=ab，bd⊂面bcd，且bd⊥ab，所以bd⊥面abc，因为bc⊂面abc，所以bc⊥bd.(2)方法1、取cd中点m，并连接am、bm.因为ac=ad，所以am⊥cd，2222由勾股定理可知bc=ac-ab=ad-ab=bd=ab.因为bc=bd，所以bm⊥cd；则根据二面角定义可知∠amb是二面角a-cd-b的一个平面角，且由图可知∠amb为锐角.·116·,又因为ab⊥面bcd，同理(1)可知ab⊥bm，26设ab=a，可得bm=a，则am=a，22bm3所以cos∠amb==，am33即二面角a-cd-b的余弦值为.3方法2、由(1)可知，ab、bc、bd三者两两相互垂直，故以点b为坐标原点，分别以bc、bd、ba的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.2222由勾股定理可知bc=ac-ab=ad-ab=bd=ab.不妨设ab=a，则a0,0,a,b0,0,0,ca,0,0,d0,a,0，所以ac=a,0,-a,ad=0,a,-a，易得平面bcd的一个法向量可以是n1=0,0,1，设平面acd的一个法向量为n2=x,y,z，n2⋅ac=ax-az=0所以，取z=1⇒x=y=1，n2⋅ad=ay-az=0故可得平面acd的一个法向量可以是n2=1,1,1.设二面角a-cd-b的一个平面角为α，且由图可知α为锐角.n1⋅n213则cosα=cosn1,n2===，n1⋅n2333即二面角a-cd-b的余弦值为.3π16.（15分）记△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=，a=2.3(1)若sinb+sinc=2sina，求△abc的面积；3(2)若sinb-sinc=，求b.4答案(1)33+7(2)2【分析】(1)由已知结合正弦定理得b+c=4，再利用余弦定理得bc=4，从而得解；2π3π3(2)由三角形内角和结合已知可得sinb-sin3-b=4，化简可得：sinb-3=4，再利用sinb=sinb-π+π33求解.解析(1)在△abc中，sinb+sinc=2sina，abc由正弦定理===2r可知：sinasinbsinc·117·,bca可化为：+=2⋅2r2r2r故可得：b+c=2a，代入可得：b+c=422222所以b+c=b+c+2bc=16，故b+c=16-2bc(*)222b+c-a在△abc中，由余弦定理可得：cosa=2bc代入数据和(*)式可得：bc=41所以三角形面积为：s=×sina×bc=32故三角形△abc的面积为3.π2(2)因为a+b+c=π且a=，故b+c=π332π3代入可得：sinb-sin3-b=431133因此sinb-cosb-sinb=sinb-cosb=22224π3π7化简可得：sinb-3=4，则cosb-3=±4，π7情况一：当cosb-3=4时，所以可得：sinb=sinb-π+π3+2133，化简可得：sinb=8a3+7在△abc中，由正弦定理可得：b=⋅sinb=；sina2π7情况二：当cosb-3=-4时，3-21同理可得：sinb=<0，又因为b∈0,π，故sinb>0；83+7综上，b的值为.2π17.（15分）设0<x<.21cos4x-4cos2x+3(1)若tanx=，求；2cos4x+4cos2x+3tanx-x(2)证明：>2；x-sinx(3)若tanx+2sinx-ax>0，求实数a的取值范围.1答案(1)16(2)证明见解析(3)a≤3【分析】(1)由二倍角公式及同角三角函数的商数关系计算即可；(2)先利用导数证：x-sinx>0，再利用导数研究φx=tanx+2sinx-3x的单调性与最值即可；(3)构造函数fx=tanx+2sinx-ax，利用换元法先判定fx的单调性及值域，然后含参讨论结合隐零点判定fx的单调性及值域即可.解析(1)由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可知：2cos4x-4cos2x+32cos2x-4cos2x+2cos2x-12==cos4x+4cos2x+32cos22x+4cos2x+2cos2x+1-2sin2x2122==-tanx=2cos2x16π(2)证明：先证当0<x<时，x-sinx>0.2·118·,π令mx=x-sinx，则mx=1-cosx>0在0<x<时恒成立，2π∴mx=x-sinx在0,2上单调递增，∴mx>m0=0，π即当0<x<时，x-sinx>0.2tanx-x要证>2，只需证明tanx-x>2x-sinx，即证tanx+2sinx-3x>0x-sinxπ令φx=tanx+2sinx-3x，x∈0,2，32cosx-122cosx+112cosx-3cosx+1则φx=+2cosx-3==>0.222cosxcosxcosx131(或2+2cosx-3≥3×2⋅cosx⋅cosx-3=0，当且仅当cosx=1时等号成立，)cosxcosxπ而x∈0,2，则0<cosx<1，∴φx>0，π∴在φx在0,2上单调递增，∴φx>φ0=0，即tanx+2sinx-3x>0πtanx-x∴当0<x<时，>2.2x-sinxπ1(3)令fx=tanx+2sinx-ax，x∈0,，则f0=0，fx=+2cosx-a，2cos2xπ1令t=cosx，则t在x∈0,上单调递减，t∈0,1，fx=gt=+2t-a，2t22π而gt=-+2<0，∴gt在t∈0,1上递减，∴fx在x∈0,上递增t32∴fx的值域为3-a,+∞π(i)当3-a≥0，即a≤3时，fx≥0恒成立，所以fx在x∈0,2递增，∴fx>0，∴a≤3符合题意；(ii)当3-a<0，即a>3时，f0<0，π∴存在x0∈0,2使得fx0=0∴当x∈0,x0时，fx<0，fx递减，此时fx<0，不符题意.综上知，a≤3.18.（17分）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为PX=ak=xk，PY=ak=nnyk，xk>0，yk>0，k=1,2,⋯,n,xk=yk=1．指标D(X‖Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为k=1k=1nxkD(X‖Y)=xkln．设X~B(n,p),0<p<1．ykk=1(1)若y~b(n,q),0<q<1，求d(x‖y)；1(2)若n=2,p(y=k-1)=,k=1,2,3，求d(x‖y)的最小值；3(3)对任意与x有相同可能取值的随机变量y，证明：d(x‖y)≥0，并指出取等号的充要条件p(1-q)1-p答案(1)npln+nlnq(1-p)1-q3(2)ln3-ln22(3)证明见解析【分析】(1)利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解；·119·,(2)利用定义，结合对数的运算法则得到d(x‖y)关于p的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解；1(3)先利用导数证得恒不等式lnx≥1-，从而结合定义即可得证.xkkn-kkkn-k解析(1)不妨设ak=k，则xk=cnp(1-p),yk=cnq(1-q).nkn-kkkn-kp1-p所以d(x‖y)=cnp1-plnkn-kk=0q1-qnnp(1-q)kkn-k1-pkkn-k=ln⋅kcnp(1-p)+nln⋅cnp(1-p)q(1-p)k=01-qk=0p(1-q)1-p=npln+nln.q(1-p)1-q22(2)当n=2时，p(x=2)=p,p(x=1)=2p(1-p),p(x=0)=(1-p)，2222记f(p)=d(x‖y)=pln3p+2p(1-p)ln6p(1-p)+(1-p)ln3(1-p)2222=plnp+2p(1-p)ln2p(1-p)+(1-p)ln(1-p)+ln3，则f(p)=4plnp+2p+(2-4p)[ln2p(1-p)+1]-4(1-p)ln(1-p)-2(1-p)=2[lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2]，11令g(p)=lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2，则g(p)=+-2ln2>0，p1-p112p-1令φp=+-2ln2，则φp=，p1-pp21-p21当0<p<时，φp<0，φp单调递减；21当<p<1时，φp>0，φp单调递增；211所以φp>φ2=4-2ln2>0，则g(p)单调递增，而g2=0，11所以f(p)在0,2为负数，在2,1为正数，11则f(p)在0,2单调递减，在2,1单调递增，3所以D(X‖Y)的最小值为ln3-ln2.211-x(3)令hx=lnx-x+1，则hx=-1=，xx当0<x<1时，hx>0，hx单调递增；当x>1时，hx<0，hx单调递减；所以hx≤h1=0，即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时，等号成立，111则当x>0时，lnx≤x-1，所以ln≤-1，即lnx≥1-，xxxnnnnnxkyk故D(X‖Y)=xklny≥xk1-x=xk-yk=xk-yk=0，k=1kk=1kk=1k=1k=1当且仅当对所有的k,xk=yk时等号成立.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标D(X‖Y)，熟练掌握对数的运算法则即可得解.2y22y2xx+4x19.（17分）已知椭圆C：+=1的左焦点为F，P为曲线E：+=0上的动点，且点P不在x259259轴上，直线FP交C于A，B两点.(1)证明：曲线E为椭圆，并求其离心率；(2)证明：P为线段AB的中点；(3)设过点A，B且与AB垂直的直线与C的另一个交点分别为M，N，求△PMN面积的取值范围.·120·,4答案(1)证明见解析，5(2)证明见解析72(3)0,522x+2y【分析】(1)整理得到+=1，可以看出曲线E为椭圆，并求出离心率；4362529n9(2)设AB的中点为H，利用点差法得到kOHkAB=-25，设Pm,n，得到kOPkAB=2=-25，故P,H重m+4m合，P为线段AB的中点；1(3)设直角梯形ABNM的面积为S，得到S△PMN=S，设直线AB的方程为x=-4+ky，联立椭圆方程，求22221620001+k1+k出两根之和，两根之积，得到AB，并求出AM,BN，表达出S=，得到S∈22225k+925+9k1440,5，得到答案.2y2x+22-4y2x+4x解析(1)曲线E：+=0，整理得+=0，2592592222x+2y4x+2y+=，即+=1，25925436252y2x故曲线E可由+=1向左平移2个单位得到，故为椭圆，436258368c54其中a=2,c=4-=，离心率为==；255a25(2)由题意得F-25-9,0，即F-4,0，229x1+25y1=225设Ax1,y1,Bx2,y2，则22，两式相减得9x2+25y2=2259x1+x2x1-x2=-25y1+y2y1-y2，因为点P不在x轴上，故直线FP的斜率存在且不为0，y1+y2y1-y29故x1≠x2,x1+x2≠0，所以⋅=-，x1+x2x1-x225x1+x2y1+y2设AB的中点为H，则H,，22y1+y2y1+y22y1-y29==kOH,=kl，故kOHkAB=-，x1+x2x1+x2x1-x225222m+4mn设Pm,n，则+=0，259nn则kOP=，又kAB=kFP=，mm+42nnn9则kOPkAB=m⋅m+4=2=-25，m+4m故kOH=kOP，而直线AB不过原点，且H,P在直线AB上，即P,H重合，P为线段AB的中点；(3)由题意得四边形ABNM为直角梯形，设直角梯形ABNM的面积为S，又P为AB的中点，11111所以S△AMP+S△BNP=AM⋅AP+BN⋅BP=AM+BN⋅AP=S，则S△PMN=S，22222·121·,2222设直线AB的方程为x=-4+ky，与9x+25y=225联立得：25+9ky-72ky-81=0，72k-81设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=2,y1y2=2，25+9k25+9k22272k2-81则AB=1+ky1+y2-4y1y2=1+k25+9k2-4⋅25+9k22901+k22901+k=1+k=，2225+9k25+9k2222直线AM方程为y-y1=-kx-x1，联立9x+25y=225得：9x+25y1-kx-x1=225，222222即25k+9x-50ky1+50kx1x+25y1-2ky1x1+kx1-225=0，2250ky1+50kx150ky1+50kx1设Mx3,y3，由图形可得x3>x1，则x1+x3=2，故x3=2-x1，25k+925k+922250ky1+50kx1250ky1-18x1故AM=1+kx3-x1=1+k⋅2-2x1=1+k⋅2，25k+925k+9250ky2-18x2同理可得BN=1+k，225k+9250ky1-18x1250ky2-18x2故AM+BN=1+k+1+k2225k+925k+9250ky1+y2-18x1+x2=1+k，225k+9272k-200又x1+x2=-8+ky1+y2=-8+2=2，25+9k25+9k72k-20050k⋅2-18⋅22故AM+BN=1+k225+9k25+9k=1+k23600k+3600，22225k+925k+925+9k901+k221620001+k221+k2123600k+3600故S=1+k=，225+9k225k2+925+9k225k2+925+9k222由于分母最高次为6次，分子最高次为5次，且k>0恒成立，2故随着k的增大，S趋向于0，144144当k=0时，S=5，故S∈0,5，172则S△PMN=2S∈0,5.【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广：2y2x椭圆+=1与直线相交于A,B两点，弦AB的中点为M，其中原点为O，22ab2b则kAB⋅kOM=-2，a2y2x推广：已知椭圆2+2=1的两顶点分别为A1-a,0,A2a,0，则椭圆上一点P(除A1,A2两点)，满足ab·122·,2bkA1P⋅kA2P=-2；a2y2x双曲线-=1与直线相交于A,B两点，弦AB的中点为M，其中原点为O，22ab2b则kAB⋅kOM=2，a2y2x推广：已知双曲线2-2=1的两顶点分别为A1-a,0,A2a,0，则双曲线上一点P(除A1,A2两点)，满ab2b足kA1P⋅kA2P=2；a·123·,2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=1+i,w=3+2i，则z+w的虚部是()A.-3B.3C.-3iD.3i答案A解析注意到z+w=4+3i，那么z+w=4-3i，其虚部为-3.a2.如果可导曲线y=fx在点x0,fx0的切线方程为x+ey-3=0，其中a∈R，则()A.fx0>0B.fx0=0C.fx0<0D.无法确定答案C131解析切线方程的斜截式为y=-ax+a，斜率-a<0，所以fx0<0.eee3.设锐角α满足tanα∈0,1，则数据sinα,cosα,sinπ-α,cosα+π的极差是()ππA.2sinαB.2cosαC.2sinα-4D.-2sinα-4答案B解析因为tanα∈0,1，并且α是锐角，所以cosα>sinα>0，四个数据分别为sinα,cosα,sinα,-cosα，所以极差为cosα--cosα=2cosα.22x2x24.设焦距相同的椭圆C1:+y=1和双曲线C2:2-y=1(a>0)相交于分别位于第一象限､第二象限的4a22A,B两点，两圆锥曲线的公共左焦点为F，则|FA|-|FB|的值是()A.2B.22C.42D.82答案D2222解析椭圆的半焦距为4-1=3，所以有a=(3)-1=2，所以a=2，设右焦点F，则|FA|-|FB|22=|FA|-FA=|FA|+FAFA-|FA|=2×2×2×2=82.5.已知公比q与首项a1均不为0的等比数列an，则“an单调递增”是“q>1”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案Dn解析考虑a1=-1时，an=-q,an单调递增的充要条件是q<1，所以an单调递增”是“q>1”的既不充分也不必要条件.6.已知三棱锥P-ABC底面△ABC为边长为2的等边三角形，O是底面ABC上一点，三棱锥体积VP-ABC=3.则对∀μ,λ∈R,OP+μOA+λOB的最小值是()3A.1B.3C.3D.3·124·,答案B1π21解析S△ABC=2sin32,VP-ABC=3S△ABCh⇒h=3,OP+μOA+λOB表示P到平面ABC上任意一点的距离，故最小值为h=3.2y2x7.设椭圆+=1的左､右焦点为F1,F2，椭圆上一点P和平面一点F满足PF=4F2P，则F1F的最大2516值与最小值之和是()A.48B.50C.52D.54答案B解析可以设P5cosθ,4sinθ，因为F1-3,0,F23,0，得到F25cosθ-12,20sinθ，所以F1F=222225cosθ-9,20sinθ，那么F1F=(25cosθ-9)+400sinθ=225cosθ-450cosθ+481∈256,1156，所以F1F∈16,34，最小值和最大值之和为16+34=50.fx+fy8.已知fx是定义在0,+∞上单调递增且图像连续不断的函数，且有fx+y=，设x1>1+fxfyx2>1，则下列说法正确的是()fx1+fx2x1+x2fx1+fx2x1+x2A.>f>1B.1>>f2222x1+x2fx1+fx2x1+x2fx1+fx2C.f>>1D.1>f>2222答案Dfx+f02解析fx+0=得到f0fx-1=0，因为fx单调递增，所以fx不恒等于±1，1+fxf02fx故f0=0.因为fx在0,+∞上单调递增，故fx≥f0=0.f2x=2.若存在x0,fx0=1+fxfx+11，则fx+x0==1，则fx恒等于1，1+fx与fx单调递增矛盾，故fx≠1,∀x∈0,+∞.若存在x1,fx1>1，因为fx连续，fx1>1,f0=0<1，故存在x2,fx2=1，与上述第三条结论矛盾，故fx<1,∀x∈0,+∞.对于本题，fx1+x2=fx1+fx2fx1+fx2≥，当且仅当fx1=fx2时取等，因为x1≠x2,fx单调递增，故1+fx1fx2fx1+fx221+2x1+x22f22xx1+x2不取等.fx1+x2=x+x2.容易证明x∈0,1时，gx=2为增函数，gf2>121+x1+f2fx1+fx2x1+x2fx1+fx2x1+x2fx1+fx2g，所以f>.综上所述1>f>.22222二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.对于一个随机试验，设Ω是样本空间，A是随机事件，ω是样本点，则下列说法正确的是()A.A∈ΩB.A⊆ΩC.ω∈ΩD.ω⊆Ω答案BC解析对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本·125·,事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有ω∈Ω和A⊆Ω.10.设全集为U，设A,B是两个集合，定义集合TA,B=A∩∁UB∪B∩∁UA，则下列说法正确的是()A.TA,A=∅B.T∅,A=AC.TA,U=AD.TA,B=TB,A答案ABD解析对TA,A而言，A∩∁UA=∅，所以TA,A=∅；因为∅∩∁UA=∅，且A∩∁U∅=A∩A=A，所以T∅,A=∅∪A=A;A∩∁UU=∅，且U∩∁UA=∁UA，所以TA,U=∁UA;TA,B=B∩∁UA∪A∩∁UB=TB,A.11.已知定义域为0,+∞的函数fx=cosπx+sinπxx，其中x代表不超过x的最大整数.设数列an满足：an是fx在2n,2n+2上最大值，数列xn满足：fxn=an且xn∈2n,2n+2，则下列说法正确的是()A.fx最小值为-2B.fx在2n,2n+2有4n+2个极值点1πC.xn∈2n,2n+4nD.an>cos4n+1答案BCD解析gx≥-1，当且仅当x=2n+1时取等，此时hx>-1，故fx=gx+hx>-2，不取等.x∈2n,2n+1时令x=2n+t,t∈0,1,hx=sin2nπt,gx=cosπt.fx=kkπ2k+1π2ncos2nπt-sinπt.t=,fx=π2n-sin>π>0;t=,fx=nn2n2k+1ππ-2n-sin<-π<0.计算可知fx在2n,2n+1上有2n个极值点，同理可算得2n112n+1,2n+2上有2n+1个极值点.x∈2n+1-4n,2n+1时fx>0,x∈2n+1,2n+1+4n时fx<0，故x=2n+1是一个极值点.综上所述fx在2n,2n+2上有4n+2个极值点.x∈1时，因为cosx+1π1<fx12n,2n+1-4n4n<cosxπ⇔fx+4n，所以fx在2n,2n+14n1最大值仅可能在2n,2n+4n取得；同理fx在2n+1,2n+2上的最大值仅可能在112n+2-4n,2n+2取得.对x∈2n,2n+4n，有fx>f4n+2-x⇔sin2nπx>1sin2n4n+2-xπ⇔sin2nπx>sin-2nπx⇔sin2nx>0成立，故fx最大值在2n,2n+4n取11π1π1得，即xn∈2n,2b+4n⋅f2n+4n=cos4n+1,f2n+4n=-πsin4n<0，故2n+4n不是1π2n,2n+2上的最大值点，an是2n,2n+2上的最大值，故an>f2n+4n=cos4n+1.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是.287答案π.3解析边长为2的正六棱柱与其侧面均相切的球半径3，若该球与其8个面均相切，则正六棱柱的高为224328723.其外接球半径为(3)+2=7，则其体积为V=π(7)=π.33·126·,13.小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是.如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式.答案16.解析在小鱼和A和相对位置确定后，B有四种选择，B的每种选择确定下C有两种选择，C确定的情况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有4×2×2=16种.m14.如果X,Y是离散型随机变量，则X在Y=y事件下的期望满足E(X∣Y=y)=xiPX=xi∣Y=y其中i=1x1,x2,⋯,xm是X所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为p，进行n次试验，求第n次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数X的数学期望是.n答案.22n-2解析设随机变量X,Y分别代表第一､第二次成功对应的试验次数，则PX=xi,Y=n)=p(1-p)，以n-22n-2及PY=n=n-1p(1-p)p=n-1p(1-p)，所以n-1n-1PX=xi,Y=n11PX=xi∣Y=n==，所以E(X∣Y=n)=iP(X=i∣Y=n)=i=PY=nn-1i=1n-1i=11n(n-1)n⋅=.n-122四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)*设数列an,bn满足：a1=2,b1=3，且4an+1-bn=an-3bn+1,4bn+1-2bn=2an-3an+1对n∈N成立.(1)证明：an+bn是等比数列；(2)求an和bn的通项公式.解析(1)移项得到4an+1+3bn+1=an+bn,4bn+1+3an+1=2an+2bn3相加得an+1+bn+1=an+bn7an+1+bn+13所以=an+bn73因为a1+b1=5≠0，所以an+bn是首项为5，公比为的等比数列7n-15⋅3(2)根据(1)的结论，得到an+bn=n-17n-1n-25⋅35⋅3另外有bn+1-an+1=an+bn=n-1，所以bn-an=n-2对n≥2成立77103n-2253n-2所以an=-7⋅7,bn=7⋅7对n≥2成立2,n=1,3,n=1,所以通项公式为an=103n-2和bn=253n-2.-7⋅7,n≥2,7⋅7,n≥2,16.(15分)22在四面体PABC中，M为AB中点，O为PABC外接球的球心，且AC⊥BC,|AP|+|BP|=2,|PC|=1.(1)证明：PO⊥CM；(2)若PO=1，求四面体PCOM体积的最大值.解析(1)因为AC⊥BC，所以M是△ABC的外心，又因为O是四面体的外接球球心，有OM⊥CM.·127·,222222|AM|+|PM|-|AP||BM|+|PM|-|BP|在△PAB中，M为AB中点，△PMA,△PMB互补，所以=，2|AM|⋅|PM|2|BM|⋅|PM|22122所以|PM|+|BM|=|PA|+|PB|=1.222因为M是斜边中点，有|BM|=|CM|22222所以|PM|+|CM|=|PM|+|BM|=1=|PC|根据勾股定理的逆定理，PM⊥CM所以CM⊥平面OPM，又因为OP⊂平面OPM，有CM⊥OP1(2)因为CM⊥平面OPM，有VPCOM=VC-POM=CM⋅S△OPM3222设CM=t，根据PO=1，得到CO=PO=1,OM⊥MC，所以OM=OC|-CM|=1-t，同2理PM=1-t132132作MH⊥OP，根据OM=MP，得到OH=HP=，所以MH=-t，所以S△OMP=-t，242413212321所以VPCOM=6t4-t=6t4-t≤166当CM=t=时等号成立.4【备注】OM和PM的长度用t表示，写出一个得1分，写出两个得3分.17.(15分)122设△ABC的外接圆半径是,A,C均为锐角，且|AC|=|AB|+|BC|.2(1)证明：△ABC不是锐角三角形；222(2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点D，满足对平面上任意一点P，有|PA|-|PB|=|PD|2-|PC|.abc解析(1)记在△ABC中，A,B,C所对的边分别长度为a,b,c.根据正弦定理，有===sinAsinBsinC2R，所以a=sinA,b=sinB,c=sinC.22222222π根据b=c+a，有1≥sinB=sinA+sinC，得到sinC≤1-sinA=cosA=sin2-A2πππ因为A,C都是锐角，根据fx=sinx的单调性得到C≤-A，所以A+C≤，所以B≥，所以222△ABC不是锐角三角形222222(2)因为sinA+sinC=sinB≥sinB，所以a+c-b≥0222a+c-bππ所以cosB=≥0，所以B≥，得到B=2ac222222222设△ABC外接圆圆心为O，则有PA-PB=PD-PC⇔(PO+OA)-(PO+OB)=(PO+OD)-(PO+2OC)得到2PO⋅OA-OB-OC+OD=0对平面上所有P成立，必须有OA-OB-OC+OD=0，根据B是直角和平面几何知识(必须有，否则扣2分)得到D在△ABC外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到D唯一【备注】在外接圆上和唯一性的证明，少一个扣2分.18.(17分)2已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F,F关于原点的对称点是M,⊙M为M为圆心，OM=1为半径的圆.直线l是过⊙M上异于原点的一点A的C的切线，切点为T.(1)求FT的最大值；·128·,FA(2)求的最大值.FT解析(1)根据题意，可以很快求出p=222y1y1设Ax0,y0,T4,y1，根据对称性，不妨设y1>0，则FT=4+1，因为T在曲线C1:y=2x上，C1在T212y1处导数为=，所以AT的方程是yy1=2x+y4y12142y124-12存在A使得AM=1等价于AT到M-1,0的距离不大于1，所以d=≤1，解得y1≤12，所以2y1+42y112FT=+1≤+1=4442y2(2)设过点A的另一条切线与C相切于P4,y2，由(1)同理可得AP:y2y=2x+2x2，又因为A分别在AT,PT上，所以TP:yy0=2x+x02222222222y1y2y1y2+4y1+y2+16先证明|AF|=FT⋅FP，有|AF|=x0-1+y0,FT⋅FP=4+14+1=16.2联立TP和C，得到y1,y2是方程y-2y0y+4x0的两根，根据根与系数的关系，y1y2=4x0,y1+y2=2y0，代入22|AF|TF⋅FPFP得到FT⋅FP=|AF|，所以==22|TF||TF|FT2222FPFTy1+4y2+42211y1-y2y1+y2又因为+=2+2=2+y1-y22-2=2+=2+FTFPy2+4y1+4y2+4y1+416FT⋅FP2222y1-y2y1+y2y0y0-4x0=2+≤316|FA|21-4x022|FA||FT|FA1+52所以2+2≤3，所以≤2，y0=1时等号成立.|FT||FA|FT19.(17分)请在下列题目中任选一题作答，将选择题目的序号(粗体大写英文字母)写在答题卡醒目位置.如果选择多题，则按所选择的第一题计分.(A)．称I⊆Z是Z的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：(1)任意a,b∈I，a+b∈I；(2)任意a∈I和c∈Z，有ca∈I.任取a1,a2,⋯,an∈Z，称包含a1,a2,⋯,an的最小向往集合称为a1,a2,⋯,an的生成向往集合，记为a1,a2,⋯,an.(1)求满足6,8=x的正整数x的值；(2)对两个向往集合I1,I2，定义集合SI1,I2=a+b∣a∈I1,b∈I2,PI1,I2=a1b1+a2b2+⋯+anbn∣a1,a2,⋯,an∈I1,b1,b2,⋯,bn∈I2,n=1,2,⋯.(i)证明：P4,6,3仍然是向往集合，并求正整数x，满足P4,6,3=x；(ii)证明：如果SI1,I2=Z，则I1∩I2=PI1,I2.解析(1)设I=6,8.注意到-1∈Z，所以-6∈I，又8∈I，所以2∈I注意到集合6x+8y∣x,y∈Z⊆I，并且6x+8y∣x,y∈Z是向往集合，根据生成向往集合的最小性，有I=6x+8y∣x,y∈Z·129·,因为2∈I，所以2⊆I，另一方面，容易证明2=2k∣k∈Z，因为I中全都是2的倍数，所以I⊆2，综上所述I=2(2)(i)用和(1)类似的方法可以得到4,6=2，且3=3k∣k∈Z.所以P4,6,3=P2,3=6kk'+6kk'+⋯+6kk'∣k,k,⋯,k,k',k',⋯,k'∈1122nn12n12nZ,n=1,2,⋯}所以P2,3⊆6，又因为生成向往集合的最小性，有P2,3=6下面证明P2,3是向往集合.任取a,b∈P2,3，写出a,b表示成有限和的形式，则a+b也可以写成有限和的形式，容易证明a+b∈P2,3其次，任意取c∈Z，只需要把P2,3中的k,k替换为ck,ck即可，综上所述P2,3是向往集合(ii)因为SI1,I2∈Z，因为1∈Z，所以存在a∈I1,b∈I2，有a+b=1任取x∈I1,y∈I2，有xy∈I1和xy∈I2，所以xy∈I1∩I2进而根据向往集合的性质(1)，有PI1,I2⊆I1∩I2任意取z∈I1∩I2，有z=za+b=za+zb=az+zb，因为z∈I2,a∈I1,z∈I1,b∈I2，有z∈I1I2，所以I1∩I2=PI1,I2(B)．22b对三次函数fx=ax+bx+cx+d,a≠0，如果其存在三个实根x1,x2,x3，则有x1+x2+x3=-,x1x2+x2x3acd+x3x1=,x1x2x3=-.称为三次方程根与系数关系.aa22(1)对三次函数fx=ax+bx+cx+d，设gx=fx，存在x0∈R，满足0=fx0=gx0≠gx0.证2明：存在x1≠x0，使得fx=ax-x1x-x0；(2)称fx是m,M上的广义正弦函数当且仅当fx存在极值点x1,x2∈m,M，使得fx1,fx2=bfm,fM.在平面直角坐标系xOy中，Aa,b是第一象限上一点，设fx=xa-x+,gx=x2x(a-x)-4b.已知gx在0,a上有两根x0<x3.3(i)证明：fx在0,+∞上存在两个极值点的充要条件是a>27b；(ii)求点A组成的点集，满足fx是x0,x3上的广义正弦函数.答案本题为全卷最难一题，为了增加解析的神秘感，以及吸引更多的人观看试卷讲解，这里略去其解析和评分标准，也与2023年8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习数学试题卷一脉相承，相关答案和解析请期待讲评现场.(C)．设有两个集合A,B，如果对任意a∈A，存在唯一的b∈B，满足fa=b，那么称f是一个A→B的函数.设fa是A→B的函数，gb是B→C的函数，那么gfa是A→C的函数，称为g和f的复合，记为g∘f.如果两个A→B的函数f,g对任意a∈A，都有fa=ga，则称f=g.2x(1)对fx=e，分别求一个gx,hx，使得g∘fx=x=f∘hx对全体x≥1恒成立；(2)设集合A,B,C和A→C的函数α以及B→C的函数β.(i)对E=a,b∣a∈A,b∈B,αa=βb，构造E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q；(ii)对E=a,b∣a∈A,b∈B,αa=βb，构造E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q，并且如果存在其它的集合E满足存在E→A的函数p以及E→B的函数q，满足α∘p=β∘q，则存在唯一的E→E的函数ψ满足p∘ψ=p,q∘ψ=q.·130·,解析(1)显然有gx=lnx,hx=lnx对所有x≥1成立(2)(i)考虑pa,b=a以及qa,b=b两个函数对任意a,b∈E，因为αa=βb，所以α∘p=β∘q(ii)我们可以继续使用(i)的构造任意取e∈E，因为α∘p=β∘q，所以αpe=βqe所以pe,qe∈E，因此存在ψe=pe,qe满足条件如果存在两个ψ,ψ，则pe=pψe,qe=qψe根据p,q的定义得到ψe=pe,qe【备注】gx,hx写出一个得2分，写出两个得3分.(D)．1,x∈E,对集合E，定义其特征函数XEx=0,x∉E.考虑集合E1,E2,⋯,En和正实数a1,a2,⋯,an，定义Sa,E(x)=naiXEi(x)为L和式函数.设Ei=mi,Mi，则E1,E2,⋯,En为闭区间列；如果集合E1,E2,⋯,En对任意1≤ii=1<j≤n，有ei∩ej=∅，则称e1,⋯,en是无交集合列，设集合pne=e1∪e2∪⋯∪en.(1)证明：l和式函数的值域为有限集合；(2)设e1,e2,⋯,en为闭区间列，sa,ex是定义在pne上的函数.已知存在唯一的正整数m，各项不同的mm非零实数c1,c2,⋯,cm，和无交集合列f1,f2,⋯,fm使得pmf=pne，并且cixfi(x)=sa,e(x)，称cixfii=1i=1(x)为l和式函数sa,ex的典范形式.设m为sa,ex的典范数.(i)设m1<m1<m2<m2<⋯<mn<mn，证明：m≤n；(ii)给定正整数n，任取正实数a1,a2,⋯,an和闭区间列e1,e2,⋯,en，判断sa,ex的典范数m最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.解析(1)因为表达式中ai恒定，所以sa,ex的取值只和xeix有关则当xe1x,xe2x,⋯,xenx都相同的时候sa,ex相同nn注意到xe1x,xe2x,⋯,xenx最多只有2种取法，因此sa,ex的值域大小不大于2，从而是有限集(2)(i)根据典范形式的唯一性，我们构造正整数m，各项不同的非零实数c1,c2,⋯,cm，和无交集合列f1,f2,m⋯,fm使得pmf=pne，并且cixfi(x)=sa,e(x)，设sa,ex的取值集合为c1,c2,⋯,cm，设fi=i=1x∣sa,ex=ci，则pmf=pne,f是无交集合列且c1,c2,⋯,cm非0(因为sa,ex定义在pne上)根据题意，任意i<j，取xi∈ei,xj∈ej，有xi≤mi<mj≤xj，所以xi<xj，那么ei∩ej=∅，所以e1,e2,⋯,en是无交集合列此时对任意x∈pne，恰好存在一个小区间ei，使得x∈ei，所以sa,ex的取值集合最多有a1,a2,⋯,an这n个数，因为这些数可能相等，所以m≤n.(ii)设minm是m1,m2,⋯,mn的最小值，maxm是m1,m2,⋯,mn的最大值，那么pne⊆minm,maxm，并且ei的端点数目有2n个，至多构成2n-1个区间如果a<x<b，其中a,b分别为ei,ej的端点，且a,b之间没有其他端点，那么要么x∈ei,x∈ej；要么x∉ei,x∉ej所以s最多有2n-1种取值，所以m≤2n-1j,j+1,1≤j≤n-1,2n另一方面，令ei=i,i+n，取fj=n,n+1,j=n,并且取a1,a2,⋯,an=10,10,⋯,10，容易j,j+1,n+1≤j≤2n-1.验证sa,ex恰好有2n-1种取值，所以m最大值为2n-1·131·,湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1.已知a=x∈r∣log2(x-1)<1,b=y∣y=2,x∈a,则a∩b等于()a.⌀b.{x∣2<x<3}c.{x∣1<x<8}d.{x∣1<x<3}答案b2.已知复数z满足|z|⋅z=23-2i,则复数z在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案d3.已知抛物线c的顶点在原点,焦点f在坐标轴上,点f关于其准线的对称点为(6,0),则c的方程为()2222a.y=-8xb.y=-4xc.y=8xd.y=4x答案a4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金160万元,在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg1.1≈0.04,lg2≈0.30)a.2024年b.2025年c.2026年d.2027年答案cn解析假设经过n年后年全年投入的研发资金开始超过200万元,即160⋅1.1>2001-3lg20.1所以n>==2.5,因此超过200万元的年份是2026年.答案选C.lg1.10.045.已知e是单位向量,且|2e-a|=10,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为()πππ5πA.B.C.D.64312答案Ba+2e⋅e解析a+2e在e上的投影向量为e=a⋅e+2e,所以a⋅e=3,因为2e-a=10∴4e2-4e⋅a+a=10∴a=322π所以:a与e夹角的余弦值为,所以夹角为.答案选B.24xx2-86.已知函数f(x)=x(a>0且a≠1)是偶函数,则a=()x⋅a11A.B.C.2D.424·132·,答案Dxxxx-x-xxxxx2-82-82-82-8x-8+2解析因为fx=x(a>0且a≠1)是偶函数,所以x=-x,∴x=axxx⋅ax⋅a-x⋅aa2⋅82xxx2因此:a=2⋅8∴a=16,a=4(舍负),因此答案选D.2237.已知圆C:x+y-2x=0,过圆C外一点P作圆的两条切找,切点分别为A,B,三角形PAB的面积为,12则PC的长为()323A.B.C.3D.233答案B12解析设∠APC=α,S△PAB=PAsin2α211131tanα3直角三角形APC,PA=,所以sin2α=∴⋅=tanα2tan2α12tan2α1+tan2α123π整理可得:tanα+tanα-43=0∴tanα=3,α=3123因此PC==,答案选B(本题带选项验算也可以).sinα3*8.已知数列an是等比数列,则存在正整数k,对于∀t∈N,at>at+k恒成立”是:an为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析取两种特殊情况说明:k=1时显然成立;当k=4时,理由如下因为an是等比数列,设公比为qq≠0,则an≠0,422当∀t∈N,at>at+4时,at>atq,即atq-1q+1<0,若at>0,则-1<q<1注意到,当q<0时,at+1=atq<0,与假设矛盾,舍去,故0<q<1,此时at+1=atq<at,则an为递减数列;若at<0,则q<-1或q>1,,注意到,当q<-1时,at+1=atq>0,与假设矛盾,舍去,故q>1,此时at+1=atq<at,则an为递减数列;综上:当∀t∈n,at>at+4时,an为递减数列,即充分性成立;当an为递减数列时,at>at+1>at+2>at+3>at+4,即∀t∈N,at>at+4成立,即必要性成立;故选:C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1垂直于底面,AA1=5,底π面扇环所对的圆心角为,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,CD=2,则下列说法正确的是2()·133·,310πA.弧AD长度为πB.曲池的体积为23C.曲池的表面积为20+14πD.三棱锥A-CC1D的体积为5答案ACD解析设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,ππ3∴R=3×r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3,所以弧AD的长度为π;曲池的体2221212积为V=4πR-4πr×AA1=10π;121211曲池的表面积为4πR-4πr×2+2πR+2πr×5+2×5×2=20+14π；1三棱锥A-CC1D的体积为×3×5=5.答案选:ACD.33310.设函数f(x)=logax-3ax(a>0且a≠1)在区间2,2上单调递减,则a的取值可以为()234A.B.C.D.3223答案AC333解析当a>1时,y=x-3ax在区间2,2上单调递减,因为函数y=x-3ax在x>0上的单a>1349调递减区间为a,3a,所以a≤,因此≤a≤;2343a≥2333当0<a<1时,y=x-3ax在区间2,2上单调递增,因为函数y=x-3ax在x>0上的单调递0<a<13增区间为0,a,3a,+∞,所以3因此0<a≤3a≤42答案选ac.211.数列an共有11项,前11项和为s11,且满足an+1-an=3an+1-an-2,a1=1,则下列说法正确的是()a.an可以是等差数列b.an可以不是等差数列c.所有符合已知条件的数列an中,s11的取值个数为55d.符合已知条件且满足2a6=a1+a11的数列an的个数为252答案abd·134·,2解析因为an+1-an=3an+1-an-2,a1=1,所以an+1-an=1或an+1-an=2,因此a,b是正确的.相邻两项的差值最小为1,最大为2,所以当an是以1为首项,以1为公差时,s11取最小值为66;当an是以1为首项,以2为公差时,s11取最大值为121;且s11取值一定是正整数,所以s11的取值个数为121-66+1=56,所以c不对.2a6=a1+a11∴a6-a1=a11-a6∴a6-a5+⋯+a2-a1=a11-a10+⋯+a7-a6,所以满足2a6=a1+a11的数列an的个数为001122334455c5c5+c5c5+c5c5+c5c5+c5c5+c5c5=252.答案abd.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，则下列四个结论：(1)若a∥α,a∥β,>b>0)长轴的左右顶点分别为A1,A2,短轴的上下顶点分别为ab3B1,B2,四边形A1B1A2B2面积为4,椭圆C的离心率是.2yB1TPA1OA2xQMB2N(1)求C的方程;(2)过点T(2,1)的直线交C于P,Q两点, 直线B1P,B1Q与直线y=-1的交点分別为M,N, 证明:线段MN的中点为定点.SA1B1A2B2=2ab=4a=2222解析(1)由题意可得a=b+c,解得b=1,c3e==c=3a22x2所以椭圆方程为+y=14(2)由题意可知:直线PQ的斜率存在,设PQ:y=kx-2+1,Px1,y1,Qx2,y2,y=kx-2+1222联立方程x2,消去y得:4k+1x+8k1-2kx+16k-k=0,2+y=14则Δ>0,解得k>0,28k1-2k16k-k可得x1+x2=-2,x1x2=2,4k+14k+1y1-1因为B10,1,则直线B1P:y=x+1,x12x1-2x1-2x2令y=-1,解得x=y-1,即My-1,-1,同理可得My-1,-1,112xkx-2k+xkx-2k2kxx-2kx+x212211212-16k====-42222kx1-2kkx2-2kkx1x2-2kx1+x2+4k4k所以线段MN的中点是定点4,-1.xe19.（17分）函数f(x)=-a图像与x轴的两交点为Ax1,0,Bx2,0x2>x1x(1)令h(x)=f(x)-lnx+x, 若h(x)有两个零点, 求实数a的取值范围；(2)证明:x1x2<1:·139·,3(3)证明:当a≥5时,以AB为直径的圆与直线y=(x+1)恒有公共点．40.252.5(参考数据：e≈1.3,e≈12.2)xx-1e+x解析(1)定义域为x∈0,+∞,hx=2x所以函数hx在0,1上单调递减,1,+∞上单调递增,+hx的最小值为h1=e+1-a,x→0时,hx→+∞;x→+∞,hx→+∞hx有两个零点,只需要h1=e+1-a<0,即a>e+1实数a的取值范围为e+1,+∞x1x2x-xee21(2)因为a==,取对数可得:x1-lnx1=x2-lnx2∴=1.x1x2lnx2-lnx1x2-x1x2x2-x1x2x1x21下证:x1x2<即证明:ln<=-令t=>1,即证:2lnt<t-lnx2-lnx1x1x1x2x1x2x1t21-t+2t-1令gt=2lnt-t+,g1=0,gt=<0tt2所以gt在1,+∞上单调递减,gt<g1=0恒成立.因此x1x2<1得证.3(3)要证:以ab为直径的圆与直线y=x+1恒有公共点43x1+x23+424x2-x1即证:<19242也就是证明:16x1+x2-12x1+x2-12-76x1x2>0由(2)可知x1x2<1,所以2216x1+x2-12x1+x2-12-76x1x2>16x1+x2-12x1+x2-88>0即44x1+x2-11x1+x2+2>011下面证明:x1+x2>成立即可4xex-1因为fx=,x∈-∞,0∪0,+∞,因此fx的单调递增区间为1,+∞,单调递减区间2x为-∞,0,0,1,所以0<x1<1<x2,xx1x2t+1lnt2eelnttlnt令t=,=,x1=,x2=,t>1∴x1+x2=x1x1x2t-1t-1t-11-2lnt-t+t+1lntt令φt=,φt=t-1t-1221-t+2t-1令gt=2lnt-t+,g1=0,gt=<0tt2所以gt在1,+∞上单调递减,gt<g1=0恒成立.因此φt>0恒成立,φt单调递增;当a越大时,t越大,因此x1+x2的值越大10.252.5当a=5时,因为f4=4e-5>0,f2.5=0.4e-5<0,11所以1>x1>0.25,x2>2.5,∴x1+x2>,411所以a≥5是,x1+x2>4·140·,安徽省部分学校2023-2024学年高三下学期春季阶段性检测数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合M=xx-4>0和N=x-3<x<1，则∁rm∩n=()a.(-3,-2)b.(-2,1)c.[-2,1)d.(-∞,1)∪(2,+∞)答案c【分析】求出集合m，根据集合的交补运算求解.2解析m=xx-4>0=(-∞,-2)∪(2,+∞)，所以∁RM=-2,2，所以∁RM∩N=-2,1.故选：C5i2.复数z=在复平面内对应的点位于()1-2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B【分析】根据复数的除法运算求得z得答案.5i5i1+2i5-2+i解析z====-2+i，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象1-2i1-2i1+2i5限.故选：B3.已知非零向量a，b满足a⊥b，设甲：a=b，乙：2a-b=2b+a，则()A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案A【分析】将2a-b=2b+a平方转化为数量积，根据a⊥b可得乙等价于|a|=|b|，即甲、乙互为充要条件.22解析乙:2a-b=2b+a等价于(2a-b)=(2b+a)，2222即4a-4a⋅b+b=4b+4a⋅b+a，22因为a⊥b，所以a⋅b=0，所以乙等价于a=b，即|a|=|b|，所以甲、乙互为充要条件.故选：A4.某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(0<t<1)有关，并-0.14r建立了数学模型e=10-10t⋅2，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的()-2.81.42.85.6a.2倍b.2倍c.2倍d.2倍·141·,答案b【分析】设现在的劳累程度是t1，工作10年时的劳累程度是t2，根据给定信息列出等式计算即得.解析设李老师现在的劳累程度是t1，工作10年时的劳累程度是t2，-0.14×20-0.14×10t11.4依题意，10-10t1⋅2=10-10t2⋅2，所以=2.t2故选：b5.已知数列an中，a1=1，a15=3，且当n>2时，an=an-1-an-2，则a2=()A.-4B.-3C.3D.4答案D【分析】利用an=an-1-an-2，得出数列an为周期数列，且周期为6，从而得到a3=3，即可求出结果.解析因为an=an-1-an-2①，所以an+1=an-an-1②，∗∗①+②得an+1=-an-2(n>2)，即有an+3=-an(n∈N)，所以an+6=-an+3=an(n∈N)，即数列an为周期数列，且周期为6，又a15=a3=3，a1=1，所以a3=a2-a1，得到a2=4，故选：D.6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=13c，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD=3，则△ABC的面积为()333333A.B.C.D.4442答案C221【分析】设∠ADB=θ，在△ACD与△ABD中，由余弦定理求出b,c，根据b=13c求出sinθ=，进而求2得△ABC的面积.2解析设∠ADB=θ，在△ACD中，b=4+3-2×2×3cosπ-θ=7+43cosθ，2在△ABD中，c=1+3-2×3cosθ=4-23cosθ，2b7+43cosθ3所以==13，解得cosθ=，c24-23cosθ21因为θ∈0,π，所以sinθ=，211133所以△ABC的面积为×BD+DC×AD×sinθ=×3×3×=.2224故选：C2π7.已知抛物线C:y=2px(p>0)，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为34W，|FW|=，则p=()3A.1B.2C.3D.4答案B【分析】设Wx0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，代入抛物线方程两式相减可得y1+y2kAB=2p，进而求得5p3p4W,，由|FW|=求得p值.633解析设Wx0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，2y1=2px1,则2两式相减，可得y1+y2y1-y2=2px1-x2，y2=2px2,·142·,y1-y2所以y1+y2=2p，即y1+y2kAB=2p，x1-x23p所以23y0=2p，所以y0=，3p5p代入直线AB:y=3x-，得x0=，2625p3p5pp2p2p4所以W,，所以|FW|=-+==，解得p=2.6362333故选：B18.设a=ln1.01，b=，c=tan0.01，则()101A.a<b<cb.a<c<bc.b<c<ad.b<a<c答案dπ1【分析】通过构造函数f(x)=tanx-x0<x<2，g(x)=x-ln(1+x)(x>0)，h(x)=lnx+x-1(x>1)，利用导数与函数的单调性间的关系，分别求出函数的单调区间，利用单调性即可比较出函数值的大小，从而求出结果.2π11-cosx2π解析令f(x)=tanx-x0<x<，则f(x)=-1==tanx>0在区间0,上恒成2cos2xcos2x2立，π即f(x)=tanx-x在区间0,2上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即tanx>x，11所以c=tan0.01>0.01=>=b，1001011x令g(x)=x-ln(1+x)(x>0)，则g(x)=1-=>0在区间0,+∞上恒成立，1+x1+x即g(x)=x-ln(1+x)在区间0,+∞上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即x>ln(x+1)(x>0)，所以0.01>ln(0.01+1)=ln1.01=a，所以c>a，111x-1令h(x)=lnx+-1(x>1)，则h(x)=-=>0在区间1,+∞上恒成立，xxx2x211即h(x)=lnx+-1在在区间1,+∞上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即lnx>1-，xx11所以a=ln1.01>1-==b，1.01101综上，c>a>b，故选：D.π【点睛】关键点点晴：通过构造函数f(x)=tanx-x0<x<2，g(x)=x-ln(1+x)(x>0)，h(x)=lnx1+-1(x>1)，将比较大小转化成函数值的大小，再对函数进行求导，利用导数与函数单调性间的关x系，求出函数的单调区间，利用单调性即可解决问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.某专业饲料市场研究机构统计得到2023年1-9月和2022年同期的豆粕价格走势图如图所示，则()·143·,A.2023年1-9月的豆粕价格仅有4个月低于2022年同期B.从极差来看，2022年1-9月的豆粕价格比2023年同期波动范围更大C.2023年1-9月的豆粕价格的中位数为2.30D.2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30答案BD【分析】根据给定的折线图，结合极差、中位数、平均数的意义逐项判断即得.解析对于A，2023年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕价格低于2022年同期，A错误；对于B，2022年的极差约为0.6，2023年的极差约为0.4，B正确；对于C，2023年1-9月的豆粕价格的中位数是3月的数据，小于2.30，C错误；对于D，2022年3月、4月、9月的豆粕价格均高于2.30，且与2.30的差不大于0.2，而其余月份豆粕价格均低于2.30，且1月、2月的豆粕价格与2.30的差分别大于0.4，0.2，因此2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30，D正确.故选：BD10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，△A1AB是边长为2的等边三角形，M,N分别是线段A1B，DB1的中点，则()A.A1B⊥B1DB.MN⎳平面ABCD63C.B1C与A1B所成角的余弦值为D.B1D与平面ABCD所成角的正弦值为44答案ABD【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于选项B，通过条件得到MN⎳AD，再利用线面平行的判定定理即可得出结果.解析如图，取AB中点O，CD中点H，连接OA1,OH，因为△A1AB是边长为2的等边三角形，所以A1O⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABB1A1，平面ABCD∩平面ABB1A1=AB，A1O⊂平面ABB1A1，所以A1O⊥平面ABCD，·144·,易知OH⊥AB，故可建立如图所示的空间直角坐系，又棱长均为2，A1O=3，则A(1,0,0),B(-1,0,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),C(-1,2,0)，所以AA1=(-1,0,3)，又BB1=AA1，所以B1(-2,0,3)，对于选项A，因为A1B=(-1,0,-3),B1D=(3,2,-3)，得A1B⋅B1D=-3+3=0，所以A1B⊥B1D，即有A1B⊥B1D，故选项A正确，对于选项B，因为N是线段DB1的中点，又M是AB1与A1B的交点，则M为AB1的中点，所以MN⎳AD，又AD⊂面ABCD，MN⊄面ABCD，所以MN⎳平面ABCD，故选项B正确，对于选项C，因为B1C=(1,2,-3)，A1B=(-1,0,-3)，B1C⋅A1B22设B1C与A1B所成的角为θ，则cosθ=cosB1C,A1B===，B1C⋅A1B2×224故选项C错误，对于选项D，易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，又B1D=(3,2,-3)，设B1D与平面ABCD所成的角为φ，n⋅B1D3则sinφ=cosn,B1D==4，故选项D正确，n⋅B1D故选：ABD.2y2x11.已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是abAF1E上异于A，B的一个动点，若=7-43，则()BF131A.E的离心率为B.直线PA与PB的斜率之积为-22C.满足PF1⋅PF2=0的点P有4个D.|PD|<22b答案ACDAF1【分析】根据=7-43求得离心率，根据a,b关系求得kPA⋅kPB判断B，根据b,c关系判断C，设PBF1(2bcosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)),D(0,b)，计算|PD|的范围判断D.解析对于A，设椭圆E的半焦距为c(c>0)，离心率为e，AF1a-c因为=7-43，所以=7-43，BF1a+c1-e3左边分子分母同时除以a，得=7-43，解得e=，故A正确;1+e2对于B，设Px0,y0x0≠±a,A(-a,0),B(a,0)，22a-b3因为e=2=，所以a=2b,c=3b，a2·145·,22x02b1-22y0y0y0ab1则kPA⋅kPB=x+a⋅x-a=2=2=-2=-4，故B错误;00x0-ax0-aa对于C，因为b<c，所以e的上、下顶点在以f1f2为直径的圆内，故该圆与e有4个交点，因此满足pf1⋅pf2=0的点p有4个，故c正确;2x22对于d,e的方程可写为+y=b，设p(2bcosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)),d(0,b)，4222则|pd|=(2bcosθ)+(bsinθ-b)=b-3sinθ-2sinθ+51216414=b-3sinθ++≤b，当sinθ=-时取等号，则pd≤b<22b，故d正确.33333故选：acd2y2x【点睛】方法点睛：椭圆e:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动22ab2b点，则kPA⋅kPB=-2.a第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．312.若f(x)=x+(a-1)cosx+asinx为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为.答案y=x3【分析】根据条件得到a=1，从而有f(x)=x+sinx，再利用导数的几何意义，即可求出结果.3解析因为f(x)=x+(a-1)cosx+asinx为奇函数，且定义域为R，所以f(0)=a-1=0，得到a=1，333当a=1时，f(x)=x+sinx，f(-x)=(-x)+sin(-x)=-x-sinx=-f(x)，32所以a=1满足意义，故f(x)=x+sinx，所以f(x)=3x+cosx，故f(0)=cos0=1，又f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x，故答案为：y=x.13.某商场搞抽奖活动，将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中，让顾客从中随机抽1副，两个品牌的耳机外包装相同，耳机的颜色都只有黑色和白色，记事件A=“抽到白色耳机”，B=“抽到乙品牌33耳机”，若P(A∣B)=，P(B∣A)=，则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有副.47答案103【分析】根据P(A∣B)=求出乙品牌耳机中白色耳机的数目，通过设出甲品牌的黑色耳机x副，根据P43(B∣A)=表示出(45-x)副白色耳机中15副乙品牌耳机所占的比例，求解方程即得.7解析设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副，则白色耳机有(30-x)副.33因P(A∣B)=，而乙品牌耳机共有20副，故乙品牌耳机中白色耳机有20×=15副，443153于是抽奖箱里共有白色耳机(30-x)+15=(45-x)副，又P(B∣A)=，则=，解得：x=10.745-x7故答案为：10.14.若正四面体ABCD的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB,AD交于点E,F，则空间四边形BCFE的四条边长之和的最小值为.答案4+3/3+4【分析】根据条件求出正四面体ABCD的棱长为2，设AF=λAD(0<λ<1)，利用几何关系得到空间四边·146·,123形BCFE的四条边长之和L=4+2λ-+，即可求出结果.24解析如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD的棱长为2a，所以正方体的边长为a，DH3a易知正方体的外接球直径为体对角线DH的长，又DH=3a，所以正四面体的半径R==，2222依题有4πR=3πa=6π，得到a=2，即正四面体ABCD的棱长为2，因为BD⎳面CEF，面ABD∩面CEF=EF，BD⊂面ABD，所以EF⎳BD，设AF=λAD(0<λ<1)因为AB=AD=BD=2，则AF=AE=2λ，BE=DF=2-2λ，π在△EAF中，因为∠EAF=，所以EF=2λ，3π2π2在△FDC中，∠FDC=，DC=2，则FC=(2-2λ)+4-2×(2-2λ)×2×cos=2λ-λ+1，3322所以空间四边形BCFE的四条边长之和L=2λ+2-2λ+2+2λ-λ+1=4+2λ-λ+1=4+1232λ-+，241又0<λ<1，当λ=时，Lmin=4+3，2故答案为：4+3.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出AF=λAD(0<λ<1)后，利用几何关系得出FC=22λ-λ+1，EF=2λ，BE=2-2λ，从而得出空间四边形BCFE的四条边长之和L=4+1232λ-+，转化成求L的最小值来解决问题.24四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）某大棚种植户通过长期观察统计，发现去年本地市场中黄瓜每天的收购价格X(元/kg)服从正态分布N(4,1)，规定收购价格在(3,6)内的为“合理价格”.(1)从去年随机抽取10天，记这10天中黄瓜的收购价格是“合理价格”的天数为Y，求E(Y)；(2)该大棚种植户为家乡的农产品做了5次直播带货，成交额y(万元)如下表所示：第x次直播带货12345成交额y(万元)912172127若用最小二乘法得到的y关于x的线性回归方程为y=bx+3.7，预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为多少万元.2附：若X~Nμ,σ，则P(μ-σ<x<μ+σ)=0.6827，p(μ-2σ<x<μ+2σ)=0.9545.答案(1)8.186；·147·,(2)35.2万元.【分析】(1)根据给定条件，利用正态分布求出收购价格是“合理价格”的概率，再利用二项分布的期望公式计算即得.(2)根据给定的数表，求出样本点中心，求出回归直线方程，再进行数据估计即可.2解析(1)由x~n(4,1)，得μ=4,σ=1，则收购价格是“合理价格”的概率p(3<x<6)=p(3<x<4)+p(4≤x<6)11=p(μ-σ<x<μ)+p(μ≤x<μ+2σ)=×0.6827+×0.9545=0.8186，22依题意，y~b(10,0.8186)，所以e(y)=10×0.8186=8.186.1+2+3+4+59+12+17+21+27(2)依题意，x==3,y==17.2，55于是17.2=3b+3.7，解得b=4.5，则线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x=7时，y=4.5×7+3.7=35.2，所以预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为35.2万元.16.（15分）如图，等边三角形abc与正方形bcc1b1所在平面垂直，且ab=2，ag⎳bb1，cb1与bc1的交点为d，ad⎳平面gb1c1.(1)求线段ag的长度；(2)求平面bc1g与平面gb1c1夹角的余弦值.答案(1)ag=16(2)4【分析】(1)取线段b1c1的中点h，连接dh,gh，由线面平行性质得ad⎳gh，求得ag的长度；(2)建立空间直角坐标系，求出平面bc1g与平面gb1c1的法向量进而求得夹角的余弦值.解析(1)取线段b1c1的中点h，连接dh,gh，则dh⎳bb1，又ag⎳bb1，所以ag⎳dh.所以a,g,d,h四点共面.由平面adhg∩平面gb1c1=gh,ad⎳平面gb1c1，ad⊂平面adgh，可得ad⎳gh，所以四边形adhg为平行四边形，1故ag=dh=bb1=1.2(2)取bc的中点o，连接ao，oh，在等边三角形abc中ao⊥bc，因为平面abc⊥平面bcc1b1，平面abc∩平面bcc1b1=bc，ao⊂平面abc，所以ao⊥平面bcc1b1，又bc,oh⊂平面bcc1b1，所以ao⊥bc，ao⊥oh，以o为原点，以ob,oh,oa所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，·148·,则b(1,0,0),b1(1,2,0),c1(-1,2,0),g(0,1,3)，所以b1g=(-1,-1,3),b1c1=(-2,0,0),bg=(-1,1,3),bc1=(-2,2,0)，设平面gb1c1的法向量为n=(x,y,z)，n⋅b1g=-x-y+3z=0,3则取n=0,1,3.n⋅b1c1=-2x=0,设平面bc1g的法向量为m=(a,b,c)，m⋅bg=-a+b+3c=0,则m⋅bc=-2a+2b=0,取m=(1,1,0).1设平面bc1g与平面gb1c1的夹角为θ，|n⋅m|16所以cosθ=|cos‹n,m›|===，|n||m|141+×236平面bc1g与平面gb1c1夹角的余弦值.417.（15分）已知等差数列an的前n项和为sn，an≠0，anan+1=2sn，bn是各项均为正数的等比数列，b7+b8=8b4+b5，且b1=2.(1)求an和bn的通项公式；1,n为奇数anan+225(2)设cn=a，数列cn的前n项和为tn，证明：t2n<18.n,n为偶数bnn答案(1)an=n；bn=2(2)证明见解析【分析】(1)根据an与sn的关系求an的通项公式；根据等比数列基本量计算求bn的通项公式；(2)用裂项求和法求奇数项和，用错位相减求和法求偶数项和，证得结论.解析(1)设an的公差为d.因为anan+1=2sn，所以当n≥2时，an-1an=2sn-1，两式相减，得anan+1-an-1=2sn-sn-1=2an，因为an≠0，所以an+1-an-1=2d=2，所以d=1，又a1a2=2s1，得a2=2，所以an=n.b7+b83设bn的公比为q，由条件知=q=8，得q=2，b4+b5n又b1=2，所以bn=2.1,n为奇数n(n+2)(2)根据题意cn=，nn,n为偶数2·149·,111在前2n项中，奇数项之和an=++⋯+1×33×5(2n-1)(2n+1)111111111=21-3+3-5+⋯+2n-1-2n+1=2-4n+2<2,2462n-22n偶数项之和bn=2+4+6+⋯+2n-2+2n，2222212462n-22n4bn=4+6+8+⋯+2n+2n+2，22222311112n212n22n1所以4bn=2+23+25+⋯+22n-1-22n+2=31-4n-4n+1=3-3+2×4n，86n+818所以bn=-×n<，99491825故t2n=an+bn<+=.29182y2x18.（17分）已知双曲线c:-=1(a>0，b>0)的左顶点为A(-2,0)，过点H(4,0)的动直线l交C于P，22abQ两点(均不与A重合)，当l与x轴垂直时，|PQ|=6.(1)求C的方程；(2)若直线AP和AQ分别与直线x=-4交于点M和N，证明：MH⋅NH为定值.2y2x答案(1)C:-=143(2)MH⋅NH为定值63，证明过程见解析【分析】(1)由题意得a=2，并代入x=4求出y=±3b，根据|PQ|=6求出b=3，得到答案；y1(2)直线l的方程x=4+my，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线AP:y=x+2，x1+2-2y1-2y2求出M-4,，同理得到N-4,，结合平面向量数量积公式，代入两根之和，两根之积得到x1+2x2+2MH⋅NH=63.2y2x解析(1)由题意得a=2，故C:-=1，4b2216y令x=4得-=1，解得y=±3b，4b2由于|PQ|=6，故23b=6，解得b=3，2y2x所以C的方程为C:-=1；43(2)直线l交C于P，Q两点(均不与A重合)，故直线l的斜率不为0，2y2x22设直线l方程为x=4+my，联立C:-=1得3m-4y+24my+36=0，43222设Px1,y1,Qx2,y2，则3m-4≠0且Δ=576m-1443m-4>0，23解得m≠±，3-24m36y1+y2=2,y1y2=2，3m-43m-4y1-2y1直线AP:y=x+2，令x=-4得yM=，x1+2x1+2-2y2-2y1-2y2同理可得yN=，故M-4,,N-4,，x2+2x1+2x2+22y12y24y1y2则MH⋅NH=8,⋅8,=64+x1+2x2+2x1+2x2+2·150·,4y1y24y1y2=64+=64+26+my16+my236+6my1+y2+my1y214423m-4=64+=64-1=63.2-24m36m36+6m⋅2+23m-43m-4MH⋅NH为定值.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.x19.（17分）已知函数f(x)=(x+a)e+x-a.(1)若a=1，分析f(x)的单调性；(2)若a<-2，证明：f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.答案(1)f(x)在R上单调递增(2)证明见解析【分析】(1)判断f(x)的符号得f(x)的单调性；(2)分析f(x)的单调性得f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，设x0为函数f(x)在(0,+∞)内的零点，证明-x0也是f(x)的零点即可.xxx解析(1)若a=1，则f(x)=(x+1)e+x-1,f(x)=xe+2e+1.xxx设g(x)=xe+2e+1，则g(x)=(x+3)e，令g(x)=0，得x=-3，当x<-3时，g(x)<0，则g(x)在(-∞,-3)上单调递减，当x>-3时，g(x)>0，则g(x)在(-3,+∞)上单调递增，-3-3-3所以g(x)≥g(-3)=-3e+2e+1=-e+1>0，所以f(x)>0，所以f(x)在R上单调递增.x(2)f(x)=(x+a+1)e+1.x设φ(x)=f(x)，则φ(x)=(x+a+2)e，令φ(x)>0，解得x>-a-2，令φ(x)<0，解得x<-a-2，则φ(x)在(-∞,-a-2)上单调递减，在(-a-2,+∞)上单调递增.-a-2若a<-2，即-a-2>0，则φ(x)min=φ(-a-2)=-e+1<0，又φ(0)=a+2<0，当x→-∞时，φ(x)→1，当x→+∞时，φ(x)→+∞，所以φ(x)在(-∞,0),(0,+∞)内各恰有一个零点，设为x1,x2x1<0<-a-2<x2.当x<x1或x>x2时，φ(x)>0,f(x)单调递增，当x1<x<x2时，φ(x)<0,f(x)单调递减.由于f(0)=0，所以fx1>f(0)=0,fx2<f(0)=0，又当x→-∞时f(x)→-∞，当x→+∞时f(x)→+∞，f(x)的大致图象如下:·151·,设x0为函数f(x)在(0,+∞)内的零点，下面证明-x0也是f(x)的零点，即f-x0=0.x0因为fx0=x0+ae+x0-a=0，x0x0-x0-x0+a-x0+aex0+ae+x0-a所以f-x0=-x0+ae-x0-a=x0=-x0=0.ee综上，f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.【点睛】利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．·152·,甘肃省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a={x∣0<x+1<2},b={x∣x<0或x>2}，则A∩B=()A.{x∣-1<x<0}b.{x∣2<x<3}c.{x∣x<1或x>2}D.{x∣x<0或2<x<3}答案a【分析】求出集合a中元素范围，然后直接求交集即可解析因为a={x∣0<x+1<2}={x∣-1<x<1},b={x∣x<0或x>2}，所以A∩B={x∣-1<x<0}.故选：a.2.sin165°cos525°=()1313a.b.c.-d.-4444答案c【分析】先利用诱导公式大变小角，再利用倍角公式计算.11解析sin165°cos525°=sin180°-15°cos540°-15°=sin15°-cos15°=-sin30°=-.24故选：c.3.已知单位向量a,b满足a+b=2a-b，则a,b夹角的余弦值为()3344a.-b.c.-d.5555答案b【分析】a+b=2a-b两边平方可得答案.3解析a+b=2a-b两边平方得1+2a⋅b+1=41-2a⋅b+1，解得a⋅b=，53又因为a,b单位向量，a⋅b=|a|⋅|b|cos<a,b>=cos<a,b>=，53所以a⋅b夹角的余弦值为.5故选：B.4.已知复数z满足z-3i2-i=5；则z=()A.22B.25C.8D.20答案B【分析】利用复数的运算法则可得z，再利用模的计算公式可得结果.552+i解析由z-3i2-i=5，得z=+3i=+3i=2+i+3i=2+4i，所以z=2-i2-i2+i222+4=25.·153·,故选：B.25.若直线l:y=2x+4与抛物线C:y=2px(p>0)只有1个公共点，则C的焦点F到l的距离为()A.5B.25C.35D.45答案D【分析】联立l与C的方程并消去x，由题意可知Δ=0，则可求出p的值，从而可求出焦点F的坐标，然后利用点到直线的距离公式可求得结果.y=2x+42解析由2，得y-py+4p=0.y=2px因为l与C只有1个公共点，2所以Δ=(-p)-16p=0，结合p>0，解得p=16，2×8-0+4所以F8,0，所以F到l的距离d==45.222+(-1)故选：D.1n6.已知x+的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是2x()1735223522A.xB.7xC.xD.7x88答案C【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出n的值，由二项式系数的性质求出答案.r1rn-3rrn-r1r2解析展开式中的第r+1项为Tr+1=Cnx2x=2Cnx，01112所以前三项的系数依次为Cn,Cn,Cn，2401211nn-1依题意，有Cn+Cn=Cn，即1+×=n，4422整理得n-9n+8=0，解得n=1(舍去)或n=8.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，148-3×435422即T5=2C8x=8x.故选：C.π7.函数fx=2cos4-3x的单调递减区间是()A.-π+2kπ,π+2kππ+2kπ,5π+2kπk∈ZB.k∈Z43123123123C.-π+2kπ,π+2kππ+2kπ,π+2kπk∈ZD.k∈Z12312312343答案D【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.ππ解析fx=2cos4-3x=2cos3x-4，ππ由题意y=cos3x-4单调递减，且cos3x-4≥0，πππ2kππ2kπ则2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z，解得+≤x≤+，k∈Z，4212343·154·,所以fxπ2kππ2kπ的单调递减区间是+,+k∈Z.12343故选：D.0.048.已知fx是定义域为R的偶函数，且在-∞,0上单调递减，a=fln1.04,b=f1.04,c=fe，则()A.a<b<cb.a<c<bc.c<b<ad.c<a<b答案ax0.04【分析】构造函数hx=e-x+1，求导确定其单调性，根据单调性确定e,1.04的大小，通过对数函数的性质确定ln1.04,1.04的大小，最后根据fx的单调性得答案.解析因为fx是定义域为r的偶函数，且在-∞,0上单调递减，所以fx在0,+∞上单调递增；ln1.04<lne=1<1.04，即ln1.04<1.04；x令hx=e-x+1，x当x>0时，hx=e-1>0，则hx单调递增，0.040.04所以h0.04=e-0.04+1=e-1.04>h0=0，0.04即e>1.04，0.04所以e>1.04>ln1.04.而fx在0,+∞上单调递增，0.04故有fln1.04<f1.04<fe，即a<b<c.故选：a.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>a3=2+2>4，·155·,23225当n=1时，a2+=++2=>4，D错误.3236故选：BC.10.已知函数fx=x+1x-(x∈R，其中x表示不大于x的最大整数)，则()33A.fx是奇函数B.fx是周期函数C.fx在0,2上单调递增D.fx的值域为0,1答案BD【分析】通过计算∀x∈R,fx+3=fx可判断B；求出x∈0,2和x∈2,3时的fx可判断D；通过举反例来判断AC.解析由题意，x表示不大于x的最大整数，则x+1=x+1，所以∀x∈R,fx+3=x+3+1x+3x+1+1x+1x+1x=3-3=3-3=3+1-3+1x+1x-=fx，则函数fx是以3为周期的函数，33当x∈0,2时，fx=x+1x-=0-0=0，33当x∈2,3时，fx=x+1x-=1-0=1，330,x∈0,2则fx=，1,x∈2,3又fx是以3为周期的函数，则fx的值域为0,1,B和D均正确；f-1=f2=1,f1=0，所以f-1≠-f1，故fx不是奇函数，A错误；当x∈0,2时，fx=0，故fx在0,2上无单调性，C错误.故选：BD.11.已知正四面体ABCD的棱长为4，点P是棱AC上的动点(不包括端点)，过点P作平面β平行于AD､BC，与棱AB､BD､CD交于Q,S,T，则()A.该正四面体可以放在半径为7的球内83B.该正四面体的外接球与以A点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为π3C.四边形PQST为矩形1283D.四棱锥C-PQST体积的最大值为81答案AC【分析】选项A，将正四面体放置到正方体中，通过求正方体的外接球半径得出正四面体外接球半径为6，即可判断出选项A的正误；选项B，根据条件，求出两球相交圆的半径即可判断选项B的正误；选项C，取BC的中点M，连接AM,DM，根据条件可得BC⊥平面ADM，从而得到BC⊥AD，再利用β平行于AD､BC，可得出四边形PQST为平行四边形，即可判断出选项C的正误，选项D，取AD中点N，连接32232MN，交平面PQST于点I，设AP=λAC(0<λ<1)，根据条件得出VC-PQST=λ-2λ+λ，构造函数332fλ=λ-2λ+λ，利用导数与函数的单调性间关系，求出fλ的最值，即可解决问题.解析对于选项A，如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，因为正四面体ABCD的棱长为4，所以正方体的边长为22，DE易知正方体的外接球直径为体对角线DE的长，又DE=26，所以正四面体的外接球半径R==26<7，·156·,所以该正四面体可以放入半径为7的球内，故选项A正确，对于B，由选项A可知四面体外接球的半径R=6，22222+(6)2-(6)2AE+AO-EO630如图，在△AEO中，cos∠EAO===，所以sin∠EAO=，2AE⋅AO2×2×666易知两个球面的交线为圆，设AO与圆面的交点为O2，3030在Rt△EO2A中，EO2=EAsin∠EAO2=2×=，6330230所以两个球面的交线的周长为2π×=π，故选项B错误，33对于选项C，取BC的中点M，连接AM,DM，易知DM⊥BC,AM⊥BC，又DM∩AM=M，DM,AM⊂面ADM，所以BC⊥平面ADM，又AD⊂面ADM，所以BC⊥AD，又AD⎳平面β，平面β∩平面ABD=QS，AD⊂平面ABD，所以AD⎳QS，同理AD⎳PT，所以QS⎳PT，同理可得PQ⎳BC⎳ST，所以四边形PQST为平行四边形，又∠QST是AD与BC所成的角，所以∠QST=90°，故四边形PQST为矩形，所以选项C正确，PQAP对于D，设AP=λAC(0<λ<1)，由选项C知PQ⎳BC，所以=，BCAC又BC=4，得到QP=4λ，同理可得QS=41-λ，取AD中点N，连接MN，交平面PQST于点I.易知MA=MD，所以MN⊥AD，又由选项C知，MN⊥BC，又BC⎳ST，AD⎳QS，QS∩ST=S，QS,ST⊂面PQST，所以MN⊥平面PQST，因为平面PQST与AD,BC都平行，MIPC所以可得==1-λ，又易知MN=22，所以MI=221-λ，MNAC即C到平面PQST的距离为221-λ，132232所以VC-PQST=4λ⋅4-4λ⋅221-λ=λ-2λ+λ，33322令fλ=λ-2λ+λ，则fλ=3λ-4λ+1=3λ-1λ-1，11由fλ>0，得到0<λ<，由fλ<0，得到<λ<1，33·157·,141282所以f(λ)max=f3=27，所以VC-PQSTmax=81，故选项D错误，故选：AC.【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项D，取AD中点N，连接MN，交平面PQST于点I，通过证明MN⊥平面PQST，从而得出C到平面PQST的距离为NI，设AP=λAC(0<λ<1)，再利用几何关系即可得出3223232VC-PQST=λ-2λ+λ，通过构造函数fλ=λ-2λ+λ，将问题转化成求函数的最值，即可解决问3题.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为.6答案/0.2425【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.解析小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有5×5=25种可能，5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有3×2=6种，6故所求概率P=.256故答案为：.252y2x13.已知F1,F2分别是双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，过点F2且垂直x轴的直线与C交于ab2522A,B两点，且tan∠AF1F2=，若圆(x-2)+y=4与C的一条渐近线交于M,N两点，则MN=5.454答案/555【分析】由题意可求出双曲线渐近线，利用直线与圆相交的弦长公式即可求.·158·,解析22设F1-c,0,F2c,0c=a+b，2b2AF2b2ab25解得F2A=,tan∠AF1F2====，aF1F22c2ac5cb解得=5，所以=2，aa所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，由双曲线的对称性，不妨取y=2x，22又(x-2)+y=4的圆心为2,0，半径为r=2，4所以圆心2,0到直线的距离为d=，5221645所以弦长MN=2r-d=24-=.5545故答案为：514.若圆锥SO的母线长为3，则圆锥SO体积的最大值为.答案23π【分析】设底面半径为r，根据圆锥的体积公式将体积用表示体积V，再利用导数求出最大值即可.2解析设底面半径为r，则圆锥的高h=SO=9-r，12122124体积V=πrh=πr9-r=π9-rr.333222令t=r∈0,9,ft=9-tt，则ft=-3t+18t=-3tt-6，当t∈0,6时，ft单调递增，当t∈6,9时，ft单调递减；所以当t=6，即r=6，h=9-6=3时，ft取最大值，V取最大值，12π此时Vmax=πrh=×6×3=23π.33故答案为：23π.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ccosB-cosC=c-bcosC.(1)若A≠2C，证明：△ABC是等腰三角形；(2)若b=2c=4，求a的值.答案(1)证明见解析(2)a=23【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，再利用三角恒等变换公式化简变形可证得结论；·159·,(2)由(1)可得A=2C，则sinA=sin2C=2sinCcosC，再利用正余弦定理化简可求得结果.解析(1)证明：由ccosB-cosC=c-bcosC，及正弦定理，得cosCsinB-sinC+sinCcosB-cosC=0，即sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosC，即sinB+C=sin2C.因为A+C+B=π，所以sinπ-A=sin2C，即sinA=sin2C.因为A∈0,π,2C∈0,2π，所以A=2C或A+2C=π.因为A≠2C，所以A+2C=π，又A+C+B=π，所以B=C.故△ABC是等腰三角形.(2)解：因为b=4,c=2，即b≠c，则B≠C.由(1)可得A=2C.因为sinA=sin2C，所以sinA=2sinCcosC.由正弦定理，得a=2ccosC.222222a+b-ca+b-c因为cosC=，所以a=2c×.2ab2ab因为b=2c=4，2a+16-42所以a=4×，整理得a=12，8a因为a>0，所以a=23.16.（15分）2022年日本17岁男性的平均身高为170.8cm，同样的数据1994年是170.9cm，近30年日本的平均身高不仅没有增长，反而降低了0.1cm.反观中国近30年，男性平均身高增长了约9cm.某课题组从中国随机抽取了400名成年男性，记录他们的身高，将数据分成八组：155,160,160,165,⋯，190,195；同时从日本随机抽取了200名成年男性，记录他们的身高，将数据分成五组：160,165,165,170,⋯,180,185，整理得到如下频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计样本中日本成年男性身高的75%分位数；(2)为了了解身高与蛋白质摄入量之间是否有关联，课题组调查样本中的600人得到如下列联表：蛋白质摄入量身高合计丰富不丰富·160·,低于108175cm不低于100175cm合计600结合频率分布直方图补充上面的列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断成年男性身高与蛋白质摄入量之间是否有关联？22n(ad-bc)附：χ=,n=a+b+c+d.a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.0012.70xα3.8416.6357.87910.8286答案(1)176.25cm(2)列联表见解析，有关联【分析】(1)由频率和为1解得x，利用75%分位数位定义可得答案；(2)由频率分布直方图计算出样本中身高低于175cm的中国成年男性人数、日本成年男性人数可完成表2格，零假设H0：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2×2列联表数据可得χ，依据α=0.001的独立性检验，可得答案.解析(1)由频率分布直方图可知5×0.01+0.07+x+0.04+0.02=1，解得x=0.06.因为0.01+0.07+0.06×5=0.70.75,0.01+0.07+0.06+0.04×5=0.90.75，所以75%分位数位于175,180，设为m，则有0.7+m-175×0.04=0.75，解得m=176.25cm，故日本成年男性身高的75%分位数为176.25cm；(2)由频率分布直方图知，样本中身高低于175cm的中国成年男性人数是0.008+0.016+0.04+0.04×5×400=208(人)，样本中身高低于175cm的日本成年男性人数是0.01+0.07+0.06×5×200=140(人)，故样本中身高低于175cm的共有348人，可得下表：蛋白质摄入量身高合计丰富不丰富低于108240348175cm不低于152100252175cm合计260340600零假设H0：成年男性身高与蛋白质摄入量之间无关联，则由2×2列联表数据可得：22600×(108×100-240×152)χ=≈51.040>x0.001=10.828，348×252×340×260依据α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为成年男性身高与蛋白质摄入量之间有关联.·161·,17.（15分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AB,CC1的中点.(1)请在正方体的表面完整作出过点E,F,D1的截面，并写出作图过程；(不用证明)(2)求点B1到平面EFD1的距离.答案(1)截面，作图过程见解析1029(2)29【分析】(1)根据截面定义及平面的性质作图即可；(2)以D为原点，棱DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，由点到平面的距离的向量公式求得答案.解析(1)连接D1F并延长交DC延长线于点I，连接IE并延长交BC于点H，交DA延长线于点J，连接JD1交AA1于点G，则截面D1GEHF即为所求.(2)如图，以D为原点，棱DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以D10,0,2,E2,1,0,F0,2,1,B12,2,2.D1E=2,1,-2,D1F=0,2,-1,D1B1=2,2,0.设平面D1EF的法向量为m=x,y,z，m⋅D1E=0,2x+y-2z=0,则即m⋅D1F=0,2y-z=0,·162·,取y=2，得平面D1EF的法向量为m=3,2,4.m⋅D1B12×3+2×2+0×41029设点B1到平面EFD1的距离为d，则d==222=29，m3+2+41029故点B1到平面EFD1的距离为.292y2x18.（17分）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e，点A1,e在C上，C的长轴长为4e.22ab(1)求C的方程；(2)已知原点为O，点P在C上，OP的中点为Q，过点Q的直线与C交于点M,N，且线段MN恰好被点Q222平分，判断OM⋅ON-(OM⋅ON)是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.2x2答案(1)+y=123(2)是定值2a224a【分析】(1)由已知得e=2，则可得4b=4a-a，A1,2，再将点A的坐标代入椭圆方程化简，再结合22前面的式可求出a,b，从而可求出椭圆方程；x0=x1+x2(2)方法一：设Px0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2，则可得，代入椭圆方程化简，再结合M,N在C上，y0=y1+y222223222可得x1y2+x2y1-2x1x2y1y2=，然后化简OM⋅ON-(OM⋅ON)即可；方法二：当MN⊥x轴且MN在y222轴右侧时，或当MN⊥x轴且MN在y轴左侧时，可求出M,N的坐标，从而可求出OM⋅ON-(OM⋅2ON)，当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根222与系数的关系，再结合题意表示出点P的坐标，代入椭圆方程化简，再计算OM⋅ON-(OM⋅ON)即可.a解析(1)因为C的长轴长为4e，所以2a=4e,e=，222222ca-ba-ba224由e==2得2=,4b=4a-a，aaa42a1a11把A1,代入C的方程得+=1，即+=1，2a24b2a24-a222242解得a=2，所以4b=4a-a=4，解得b=1，2x2所以C的方程为+y=1.2(2)法一：设Px0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2，由题意可知，点Q既是OP的中点，又是MN的中点，x0x1+x22=2x0=x1+x2所以，即，y0y1+y2y0=y1+y22=22x1+x22因为点P在C上，所以+y1+y2=1，222x12x22整理得+y1++y2+x1x2+2y1y2=1，2222x12x22因为M,N在C上，所以+y1=1,+y2=1，22所以x1x2+2y1y2=-1，2222将x1x2+2y1y2=-1两边平方，得x1x2+4y1y2=1-4x1x2y1y2，·163·,222222222222又x1+2y1x2+2y2=4，展开，得x1x2+4y1y2+2x1y2+2x2y1=4，2222所以1-4x1x2y1y2+2x1y2+2x2y1=4，22223所以x1y2+x2y1-2x1x2y1y2=，22222222又OM⋅ON-(OM⋅ON)=x1+y1x2+y2-x1x2+y1y222223=x1y2+x2y1-2x1x2y1y2=.22223所以OM⋅ON-(OM⋅ON)为定值.2法二(通性通法)：当MN⊥x轴且MN在y轴右侧时，22323显然P2,0,Q2,0,M2,2,N2,-2，222552323则OM⋅ON-(OM⋅ON)=4×4-4-4=2;2223同理，当MN⊥x轴且MN在y轴左侧时，OM⋅ON-(OM⋅ON)=.2当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m.y=kx+m222由22，得2k+1x+4kmx+2m-2=0，x+2y=2222222则Δ=16km-42k+12m-2>0，化简，得2k+1>m.2-4km2m-2设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=2,x1x2=2.2k+12k+1-2kmm设Qx0,y0，则x0=2,y0=kx0+m=2，2k+12k+1-4km2m22-4km22m2所以P,，代入x+2y=2，得+2=2，2k2+12k2+12k2+12k2+12222化简，得4m=2k+1，适合2k+1>m.222222222222OM⋅ON-(OM⋅ON)=x1+y1x2+y2-x1x2+y1y2=x1y2+x2y1-2x1x2y1y2222222=x1y2-x2y1=x1kx2+m-x2kx1+m=mx1-x2=mx1+x2-4x1x222m2-22-4km=m-4×2k2+12k2+12222228m2k+1-m8m4m-m3===.2k2+124m222223综上，OM⋅ON-(OM⋅ON)为定值.2【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线方程，将其代入椭圆方程化简，再利用根与系数关系，结合中点坐标公式，化简OM22⋅ON-(OM⋅ON)，考查计算能力，属于难题.ax+119.（17分）已知函数fx=x+lnxa∈R.e(1)若fx在0,+∞上单调递增，求a的取值范围；22(2)若fx有2个极值点x1,x2x1>x2>0，求证：ax1+x2>2e.·164·,2e答案(1)-∞,4(2)证明见解析【分析】(1)将fx在0,+∞上单调递增转化为fx≥0恒成立问题，通过参变分离求解最值即可；exx1+x2ex1222(2)通过x1,x2是方程2-a=0的两个不同正根将证明ax1+x2>2e转化为x1+x2>1，然后通过2xx1x2e=消参构造函数来求解证明.2x2解析(1)法一：因为fx在0,+∞上单调递增，xax1e所以x>0时fx=-x+≥0，即a≤2，exxxx-2exe设gx=(x>0)，则gx=，23xx所以x∈0,2时gx<0,gx单调递减，x∈2,+∞时gx>0,gx单调递增，2e所以gx≥g2=，422ee所以a≤，即a的取值范围是-∞,；44ax+1法二：因为fx=x+lnx，exax1xe所以fx=-ex+x=exx2-a(x>0)，若a≤0，则fx>0,fx在0,+∞上单调递增；xexx-2e若a>0，令gx=-a，则gx=，23xxx∈0,2时gx<0,gx单调递减；x∈2,+∞时gx>0,gx单调递增，2e所以x=2是gx的极小值点，所以gx≥g2=-a，422ee所以当-a≥0，即0<a≤时，gx≥0,fx≥0,fx在0,+∞上单调递增.442e综上，a的取值范围是-∞,.4xx1x2eee(2)由(1)知x1,x2是方程2-a=0的两个不同正根，所以2-a=2-a=0，xx1x2经验证，x1,x2分别是fx的极小值点，极大值点，x1+x222x1x22ax1+x2=e+e>2e，下面证明x1+x2>1.x1x2x2eex1-x21由=，得e=，222x1x2x2lnx1-lnx21两边取对数，得x1-x2=2lnx1-lnx2，即=，x1-x22x1+1x1+x2x1x2x1则x1+x2=2×ln=2×ln，x1-x2x2x1x2-1x2x1t+1设=t，则t>1，则要证x1+x2>1，即证2×lnt>1，x2t-12即证2lnt-1+>0.t+1·165·,22222t+t+1设ht=2lnt-1+(t>1)，则ht=-=>0，t+1t(t+1)2t(t+1)2所以ht在1,+∞上单调递增，从而ht>h1=0，于是x1+x2>1成立，22故ax1+x2>2e.x1x1【点睛】方法点睛：对于含双变量x1,x2的问题，通常经过变形，产生的结构，然后通过换元令=t，将x2x2式子转化为单变量的的问题，进而构造函数来解决问题.·166·,广东省衡水金卷2024届高三年级2月份大联考数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Z∣x2≤5,B=-3,-2,-1,0,1,1,则A∪B中元素的个数为()2A.4B.5C.6D.72答案D【解析】因为A=x∈Z∣x≤5={x∈Z∣-5≤x≤5}={-2,-1,0,1,2},B={-3,-2,-1,110,2,1,所以A∪B=-3,-2,-1,0,2,1,2中元素的个数为7.故选D.52.已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cosA=,则BC=()65515A.1B.C.D.2332225515答案D【解析】由余弦定理得BC=2+1-2×2×1×=,所以BC=.故选D.63320201918219203.若a-2b=x0a+x1ab+x2ab+⋯+x19ab+x20b,则x19=()191919A.-20B.-20×2C.-2D.20×2191919答案B【解析】x19=C20-2=-20×2,所以B正确.故选B.33ππ4.若sinα=-2,α∈-2,-2,则α=()2π3π5π4πA.-B.-C.-D.-344334π5π3ππ答案A【解析】因为sinα=-2,所以α=2kπ+3或α=2kπ+3k∈Z,因为α∈-2,-2,2π所以α=-.故选A.3225.若定义在R上的函数fx满足fx=-f-x,则下列结论一定正确的为()A.fx的图象关于原点对称B.fx的图象关于y轴对称C.fx的图象关于点1,0对称D.fx的图象关于直线x=1对称222答案A【解析】若∀t∈R,当t>0时,令t=x,因为fx=-f-x,所以ft=-f-t,即f-t=222-ft;当t=0时,令t=x=0,因为fx=-f-x,所以f0=-f-0,即f0=0;当t<0时,令222t=-x,因为fx=-f-x,所以f-t=-ft,综上,∀t∈R,f-t=-ft,所以fx是奇函数,22所以A正确;若fx=x,则fx=-f-x成立,但B、C、D都不成立.故选A.2y2x6.已知点P是曲线Γ:-=1在第一象限内的一点,A为Γ的左顶点,R为PA的中点,F为Γ的右焦44点.若直线OR(O为原点)的斜率为5,则△PAF的面积为()·167·,A.10+5B.10-5C.32+3D.32-3x0-2y022答案A【解析】设Px0,y0,x0>0,y0>0,所以R,,x0-y0=4,因为直线OR的斜率为5,所以22y022=5,化简得,y0=5x0-2,与x0-y0=4联立解得,x0=2或3,其中x0=2舍去,所x0-222--2以P点的坐标为3,5,又F22,0,所以△PAF的面积为×5=10+5.故选A.27.在某电路上有C、D两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换C元件的概率为0.2,需要更换D元件的概率为0.1,则在某次通电后C、D有且只有一个需要更换的条件下,C需要更换的概率是()3193A.B.C.D.1050134答案C【解析】记事件E:在某次通电后C、D有且只有一个需要更换,事件F:C需要更换,则PE=0.2×1-0.1+1-0.2×0.1=0.26,PEF=0.2×1-0.1=0.18,由条件概率公式可得PF∣E=PEF0.189==.故选C.PE0.26138.在各棱长都为2的正四棱锥V-ABCD中,侧棱VA在平面VBC上的射影长度为()2623A.B.C.3D.233答案B【解析】把正四棱锥V-ABCD放人正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,则V是上底面的中心,取A1B1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,CF,由图可知,过A作AG⊥BE,垂足为G,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面ABB1A4,AG⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AG,BC∩BE=B,BC,BE⊂平面EFCB,所以AG⊥平面EFCB,所以侧棱VA在平面VBC上的射影为VG,由已知得,AA1=2,EB=2AB2112222AA1+=3,所以×2×2=×3⋅AG,所以AG=,所以VG=VA-AG=22232222232-3=3.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.若z满足z+z=6,z=z-2i,则()A.z的实部为3B.z的虚部为1z1-3iC.=D.z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为33-i222答案AB【解析】设z=a+bi，因为z+z=6,所以2a=6,所以a=3.z=z-2i⇒a+b=·168·,222z3+i3+i8+6ia+b-2,解得b=1,所以z=3+i,所以A,B正确;====3-i3-i3-i3+i104+3i,所以C错误;因为z对应的向量坐标为3,1,所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为51,所以D错误.故选AB.310.已知a=2,1,b=1,-1,c=x,2,则()A.若x=0,则存在唯一的实数p,q,使得a=pb+qcB.若x=1,则a⊥cC.若x=4,则a⎳c11D.若x=1,则c在b上的投影向量为-2,2答案ACD【解析】A:当x=0时,b=1,-1,c=0,2不共线,所以b,c可以作为一组基向量,由平面向量基本定理得,存在唯一的实数p,q使得a=pb+qc,所以A正确;B:若x=1,则a⋅c=2,1⋅1,21=4≠0,所以a⊥c不成立,所以B错误;C:若x=4,a=2,1,c=4,2,则a=c,所以a⎳c,所以C2c⋅b-111正确;D:若x=1,则c=1,2,所以c在b上的投影向量为2⋅b=2⋅1,-1=-2,2,所以Db正确.故选ACD.211.若过点a,b可作曲线fx=xlnx的n条切线n∈N,则()-322A.若a≤0,则n≤2B.若0<a<e,且b=alna,则n=2-31-322-32c.若n=3,则alna<b<2ae+ed.过e,-6,仅可作y=fx的一条切线222答案abd【解析】设切点x0,x0lnx0,则fx0=2x0lnx0+x0,切线为y-x0lnx0=2x0lnx0+x0x-x0,2222代人a,b整理得2x0lnx0+x0a-x0lnx0-x0-b=0,令gx=2xlnx+xa-xlnx-x-b,gx=-322lnx+3a-2xlnx-3x=2lnx+3⋅a-x,令gx=0得x1=a,x2=e.当a≤0时,gx在-3-3-3-312222-30,e上单调递增,在e,+∞上单调递减,ge=-2a⋅e+⋅e-b,gx至多有2个零点,2-3-3-32222故a正确;当a∈0,e时,gx在0,a,e,+∞上单调递减,在a,e上单调递增,ga=alna-b,-3-3122-32ge=-2ae+⋅e-b,当b=alna时,ga=0,且x→+∞时,gx→-∞,所以n=2,b正确;2-3-31-3-3222-322若n=3,则ga<0<ge,即alna<b<-2ae+e,同理当a>e时,ge<0<ga,即2-31-32-322-2ae+e<b<alna,c错误；(2)a=e时,gx≤0,gx单调递减;又x→0时,gx→-b,x→2+∞时,gx→-∞,则当-b>0时,gx有1个零点,即b<0,D正确.故选ABD.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1,已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6,体积为·169·,1042,则侧面积为．3h221042答案323【解析】设该正四棱台的高、斜高分别为h,h,由已知得,2+6+2×6=,所以3326-2226-22h=22,h=h+=22+=23,所以正四棱台侧面积为S=4×222+6×23=323.故答案为323.2*13.在数列an中,a1=3,且an+1=3an+4n-6n∈N,则an的通项公式为．n*答案an=3-2n-1【解析】因为an+1=3an+4n-6n∈N,an+1+2n=3an+4n-6+2n=n-1nn3an+2n-1,因为a1=3,所以a1+2×1-1=3,所以an+2n-1=3⋅3=3,所以an=3n-2n-1.故答案为an=3-2n-1.2x∠ACB14.若圆C与抛物线Γ:y=在公共点B处有相同的切线,且C与y轴切于Γ的焦点A,则sin=62．23x33答案2【解析】抛物线Γ:y=6的焦点为A0,2,准线l为y=-2,依题意不妨令C在第一象限,3122322Ca,2,则圆C的半径r=a,设Bx0,6x0x0>0),则圆C的方程为x-a+y-2=a,由y=x21210xx,则y=x,所以抛物线在点B处的切线m的斜率k=,因为圆C与抛物线Γ:y=在公63361236x0-2x1103共点B处有相同的切线,所以直线CB与m垂直.所以⋅=-1,则a=x0+x0(1),又x0-a3218212322212322点B在圆C上,所以x0-a+6x0-2=a,则x0-2ax0+6x0-2=0(2),所以x011312324222-22x0+18x0x0+6x0-2=0,整理可得x0+6x0-27=0,解得,x0=3或x0=-9(舍去),所以r=aAB1132121∠ACB213=x0+x0=,yB=x0=,所以AB=2,所以sin===.故答案为2183622AC2233.2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）某小区在2024年的元旦举办了联欢会,现场来了1000位居民.联欢会临近结束时,物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进人摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示,且X∼N45,225.(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五人取整数);·170·,(2)奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%, 摸到二等奖的概率为60%, 每个人摸奖相互独立, 设恰好有n0≤n≤20个人摸到一等奖的概率为Pn,求当Pn取得最大值时n的值.2附:若X∼Nμ,σ,则PX-μ<σ=0.6827,PX-μ<2σ=0.9545.1-0.6827答案解:(1)因为X∼N45,225,所以σ=15,(1分)则PX≥60=PX≥μ+σ==20.15865,(4分)所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1000×0.15865≈159(人).(6分)(2)依题意可nn20-nn+1n+119-nnn20-nPn≥Pn+1C200.4×0.6≥C200.4×0.6得,Pn=C200.4×0.6,(7分)设,所以,(9Pn≥Pn-1Cn0.4n×0.620-n≥Cn-10.4n-1×0.621-n202020-n0.4⋅≤1,n+10.63742分)所以(11分)所以≤n≤,(12分)n为整数,所以n=8,21-n0.455⋅≥1,n0.6所以当Pn取得最大值时n的值为8.16.（15分）如图,在圆雉SO中,若轴截面SAB是正三角形,C为底面圆周上一点,F为线段OA上一点,D(不与S重合)为母线上一点,过D作DE垂直底面于E,连接OE,EF,DF,CF,CD,且∠COF=∠EFO.(1)求证:平面SCO⎳平面DEF;(2)若△EFO为正三角形, 且F为AO的中点, 求平面CDF与平面DEF夹角的余弦值.答案解:(1)因为∠COF=∠EFO,所以EF⎳CO,(1分)因为EF⊄平面SCO,CO⊂平面SCO,所以EF⎳平面SCO,(2分)因为DE垂直底面于E,SO垂直底面于O,所以DE⎳SO,同理DE⎳平面SCO,(3分)因为DE∩EF=E,且EF⎳平面SCO,DE⎳平面SCO,所以平面SCO⎳平面DEF.(2)设圆锥的底面半径为2,因为轴截面SAB是正三角形,所以SO=23,如图,设平面SDEO与底面圆周交于G,因为△EFO为正三角形,且F为AO的中点,所以OF=FE=EO=1,所以E为OG的中点,1所以DE为△SOG的中位线,所以DE=SO=3,2(7分)如图,在底面圆周上取一点H,使得OH⊥OB,以直线OH,OB,OS为x,y,z轴建立空间坐标系,(8分)·171·,3131由已知得,C-3,-1,0,D2,-2,3,E2,-2,0,F0,-1,0,(9分)33设EF的中点为M,则平面DEF的法向量为n1=OM=4,-4,0,(11分)331所以CF=3,0,0,CD=2,2,3.设平面CDF的一个法向量为n2=x,y,z.3x=0,所以331,x+y+3z=0223x=0,令y=2,则z=-,33则n2=0,2,-.3(13分)3n1⋅n22313所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为==.n1n231313×2317.（15分）设函数fx=lnx+ax-1x-2,其中a为实数.(1)当a=1时,求fx的单调区间;59(2)当fx在定义域内有两个不同的极值点x1,x2时,证明:fx1+fx2>+ln.9161答案解:(1)fx的定义域为0,+∞,fx=+x22x-3x+12x-3=,x(2分)1令fx=0,得x=或x=1,2·172·,11x∈0,2∪1,+∞,fx>0;x∈2,1.fx<0,11所以fx的单调递增区间为0,2,1,+∞,单调递减区间为2,1.22ax-3ax+1(2)fx=,x由fx在0,+∞上有两个不同的极值点x1,x22得,2ax-3ax+1=0有两个不同的正根,2a≠03x1+x2=2>08则,解得a>,19x1x2=>02aΔ=9a2-8a>022因为fx1+fx2=lnx1x2+ax1+x2-273ax1+x2+4a=lnx1x2+ax1+x2-2x1x2-3ax1+x2+4a=-ln2a+a-1,4(9分)78设ga=-ln2a+a-1,a>，49717a-4则ga=-=>0,4a4a8故ga在9,+∞上单调递增,(12分)816559又ga>g9=-ln9+9=9+ln16,59故fx1+fx2>+ln.916218.（17分）在直角坐标系xOy中,已知C1-1,0,C21,0,Px,y,4C1P⋅C2P=3x.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴, l与C交于A、B两点, 点Mx0,y0x0,y0≠0为弦AB的中点. 过点M作l的垂线交C于D、E,N为弦DE的中点.①证明:l与ON相交;②已知l与直线ON交于T, 若ON=λNTλ>0,求λ的最大值.答案解:(1)因为C1-1,0,C21,0,Px,y,4C1P2-C2P=3x,2所以4x+1,y⋅x-1,y=3x,(1分)2222x2所以4x-1+y=3x,化简得+y=1,42x2所以P的轨迹C的标准方程为+y=1.(3分)4(2)①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴,所以x0y0≠0.设点Ax1,y1,Bx2,y2,x1+x2y1+y2所以x0=,y0=.22·173·,2x12+y1=14由题意得,,2x224+y2=122x1-x222相减得+y1-y2=0,4x1+x2x1-x2所以+y1+y2y1-y2=0,4y1-y2y1+y2y1-y22y01所以⋅=⋅=-,x1-x2x1+x2x1-x22x041所以kAB⋅kCMI=-.41x0所以kl=kAB=-=-,4kOM4y0(5分)11同理得,kON⋅kDE=-,又kAB⋅kOM=-,4412相乘得,kON⋅kDE⋅kAB⋅kOM=-4,(6分)y0x0因为kDE⋅kAB=-1,kOM=,所以kON=-,x016y0(7分)x0x0因为x0≠0.所以-≠-,所以kl≠kON,4y016y0(8分)所以l与ON相交.(9分)x04y0②l的方程为y-y0=-x-x0,直线DE的方程为y-y0=x-x0,4y0x0x0直线ON的方程为y=-x,16y0222x0+4y0-3x0y0联立得,yT=-12y,yN=22,(11分)0x0+64y0∣ONON1故λ===,NTOT-ONOT-1ON(12分)22x0+4y0-OTyT12y0又==ONy-3x2yN0022x0+64y022221x0+4y0x0+64y0=⋅36x2y20022y0y01+421+6421x0x0=⋅36y202x0221y0x025=256++68≥,36x2y2900(14分)22当且仅当x0=16y0即x0=±4y0时取等号,·174·,2x0=±4y0,x02又4+y0<1,即当且仅当55时取等号,-<y0<55199所以λ=≤,故λ的最大值为.∣ot1616-1on*19.（17分）在无穷数列an中,令tn=a1a2⋯an,若∀n∈n,tn∈an,则称an对前n项之积是封闭的.(1)试判断:任意一个无穷等差数列an对前n项之积是否是封闭的?(2)设an是无穷等比数列,>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b答案D【分析】利用正弦函数的单调性可得a>c，利用导数可证不等式lnx<x-1(x>1)成立，故可判断b<c，故可得三者大小关系.ππ1解析a=sin>sin==c，5621-x设fx=lnx+1-x,x>1，则fx=<0，x故fx在1,+∞上为减函数，故fx<f1=0即lnx<x-1(x>1)，33所以b=ln<-1=c，故a>c>b，22故选：D.π4.已知2sinα=3+23cosα，则sin2α-6=()1737A.-B.-C.D.8848答案A【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.·177·,133π3解析由2sinα=3+23cosα，得2sinα-2cosα=4，即sinα-3=4，ππππ2π321所以sin2α-6=sin2α-3+2=cos2α-3=1-2sinα-3=1-2×4=-8.故选：A2y2x5.已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，点M为F1关于渐近线的对称点．若abMF1=2，且△MF1F2的面积为8，则C的方程为()MF2y222y22y22x2xxA.x-=1B.-y=1C.-=1D.-=14428416答案C【分析】利用点到直线的距离公式、勾股定理结合三角形面积公式可解.解析记F1M与渐近线bx+ay=0相交于点N，由题可知，ON为△MF1F2的中位线，且ON⊥F1M，所以F2M⊥F1M，-bc因为焦点F1-c,0到渐近线bx+ay=0的距离F1N==b，22b+a22所以F1M=2b，F2M=2ON=2F1O-F1N=2a，1则S△F1F2M=2MF1MF2=2ab=8，MF1又=2，即b=2a，MF22ab=822联立解得a=2,b=8，b=2a2y2x所以C的方程为-=1.28故选：C6.如图，正六边形的边长为22，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围为()A.4,5B.5,7C.4,6D.5,8·178·,答案B2【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MA⋅MB=MO-1，再由MO的范围，即可得到结果.解析由题意可得，MA⋅MB=MO+OA⋅MO+OB=MO+OA⋅MO-OA222=MO-OA=MO-1，当OM与正六边形的边垂直时，MOmin=6，当点M运动到正六边形的顶点时，MOmax=22，22所以MO∈6,22，则MO∈6,8，即MA⋅MB=MO-1∈5,7.故选：B7.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队1胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概3率为()1548A.B.C.D.92781243答案D【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢(丙的第一场对手若为甲)分类讨论后可得正确的选项.11解析三队中选一队与丙比赛，丙输，C3×，例如是丙甲，3若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.12若丙全赢(概率是3)时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，112(1)若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是C23，·179·,2如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是，312(2)若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，12(3)若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是3，1乙丁这场比赛只能平，概率是.311121122121218综上，概率为C3×3×3×C2×3×3+3+3×3=35，D正确．故选：D.8.已知函数fx及其导函数fx定义域均为R，记gx=fx+1，且f(2+x)-f(2-x)=4x，g3+x为偶函数，则g7+g17=()A.0B.1C.2D.3答案C【分析】对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.解析因为g3+x为偶函数，gx=fx+1，所以fx+4=f-x+4，对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，得f(2+x)+f(2-x)=4，所以有f(4+x)+f(-x)=4⇒f(4-x)+f(-x)=4⇒f(4+x)+f(x)=4⇒f(8+x)=f(x),所以函数fx的周期为8，在f(2+x)+f(2-x)=4中，令x=0，所以f(2)=2，因此g17=f18=f2=2，因为g3+x为偶函数，所以有g3+x=g3-x⇒g3+x=-g3-x⇒g7=-g-11，f(8+x)=f(x)⇒g7+x=gx-1⇒g7+x=gx-1⇒g7=g-12，由1,2可得：g7=0，所以g7+g17=2，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导，再利用赋值法进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是()A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，⋯，2x10-1的标准差为16答案AD【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得m的值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.·180·,1解析对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，50以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，11则指定的某个个体被抽到的概率为×10==0.2，故A正确；505对于B，∵数据1，2，m，6，7的平均数是4，m=4×5-1-2-6-7=4，212222226这组数据的方差是s=1-4+2-4+4-4+6-4+7-4=，故B错误；5517+19对于C，8个数据50百分为8×50%=4，第50百分位数为=18，故C错误；2222对于D，依题意，Dx=8，则D2x-1=2×Dx=16，所以数据2x1-1,2x2-1,⋯,2x10-1的标准差为16，D正确；故选：AD.x-11-x2210.已知函数fx=e+e+x-2x，若不等式f(2-a)<fx+3对任意的x∈r恒成立，则实数a的取值可能是()1a.-4b.-c.1d.22答案bcd【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.x-11-x2解析因为fx=e+e+x-2x，1-xx-12所以f2-x=e+e+2-x-22-x=fx，即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.22当x>1时，y=x-2x=x-1-1为增函数；x-11-xx-11-x令gx=e+e，则gx=e-e，x-11-xx-11-xx>1时，e>1，e<1，所以g(x)>0，所以gx=e+e为增函数，所以当x>1时，f(x)为增函数.由对称性可知，当x<1时，f(x)为减函数.22因为f(2-a)<fx+3恒成立，所以1-a<x+2恒成立，即1-a<2，解得-1<a<3.故选：bcd.11.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，m是棱a1b1的中点．p是平面cdd1c1上的动点(如图)，则下列说法正确的是()a.若点p在线段c1d上，则bp⎳平面b1d1ab.平面pbd1⊥平面a1c1dc.若∠mbp=∠mbd1，则动点p的轨迹为抛物线d.以△aba1的一边a1b所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥a-bdc1体积·181·,1212的取值范围为-,+612612答案abd【分析】利用面面平行证线面平行可判定a项；利用线面垂直证面面垂直可判定b项；利用平面截圆锥的结论可判定c项；先确定a的轨迹，取ab1,dc1中点分别为n，q，可证平面bdc1⊥平面bnq，利用空间位置关系确定动点a距离底bdc1的最值即可判定d项.解析对于a项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：bd⎳b1d1，bd⊄平面b1d1a，b1d1⊂平面b1d1a，∴bd⎳平面b1d1a，同理可知c1d⎳平面b1d1a，又bd∩dc1,bd、dc1⊂平面bc1d，∴平面bc1d⎳平面b1d1a，又p∈c1d，∴bp⊂平面bc1d，∴bp⎳平面b1d1a，故a正确;对于b项，易知bb1⊥面a1b1c1d1，a1c1⊂面a1b1c1d1，则a1c1⊥b1b，又a1c1⊥b1d1,b1d1∩bb1=b1,b1d1、bb1⊂平面bb1d，∴a1c1⊥平面bb1d，而bd1⊂平面bb1d，∴bd1⊥a1c1，同理bd1⊥dc1，又dc1∩a1c1=c1,dc1、a1c1⊂平面a1c1d，∴bd1⊥平面a1c1d，又∵bd1⊂平面pbd1，∴平面pbd1⊥平面a1c1d，故b正确;对于c项，因为bm为定直线，∠d1bm是定角，d1到bm的距离为定值，所以∠mbp=∠mbd1时，p在以bm为旋转轴，d1到bm的距离为半径的圆锥上，又bm⎳平面cdd1c1，故平面cdd1c1截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即c错误；对于d项，设ab1,dc1中点分别为n，q，2则点a的运动轨迹是平面ab1c1d内以n为圆心，为半径的圆(如图)，2·182·,易知dc1⊥nq,dc1⊥bq,nq∩bq=q,nq、bq⊂平面bnq，∴dc1⊥平面bnq，∵dc1⊂平面bdc1，∴平面bdc1⊥平面bnq，2nb23而sin∠nqb===，bq122123+1+22设nq与圆的交点分别为e，f(点e位于点f，q之间，如上图所示)，易知当点a分别位于点e，f时，点a到平面bdc1的距离分别取到最小值和最大值，223且距离的最小值dmin=1-⋅sin∠nqb=1-⋅，223223距离的最大值dmax=1+⋅sin∠nqb=1+⋅，223123∵△bdc1的面积s=⋅2⋅sin60°=，22132312132312vmin=⋅⋅1-⋅=-,vmax=⋅⋅1+⋅=+32236123223612故选项d正确．综上，正确选项为abd．故选：abd【点睛】本题难点在判定cd选项，c项需要利用平面截圆锥曲线(不过圆锥顶点)来判定即可(当且仅当平面平行于圆锥底面时截圆锥所得图形为圆，慢慢倾斜平面至与圆锥母线平行之前截圆锥得图形均为椭圆，当且仅当平面与圆锥的母线平行时所截图形为抛物线，再倾斜平面直至与圆锥的轴平行时所截图形均为双曲线的一支)；d项需要先确定旋转过程中a的轨迹，再判定a到面bdc1的距离最值.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．x62412.2-(x+y)的展开式中xy的系数为．y答案24【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.6r6-rr∗解析二项式(x+y)的展开式通项公式为tr+1=c6xy,r≤6,r∈n，424245155当r=4时，t5=c6xy=15xy，当r=5时，t6=c6xy=6xy，24245x24因此展开式中含xy的项为2×15xy+6xy⋅-=24xy，故所求系数为24.y故答案为：24.2y2x13.已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤+恒成立，则实数a的取值范围是．x+1y+2答案-∞,42y2x1414【分析】将+变形为x+1+-2+y+2+-4=3++，利用均值不x+1y+2x+1y+2x+1y+2·183·,14等式求+的最小值即可求解.x+1y+2解析因为x+y=6，2y2x+12-2x+1+1y+22-4y+2+4x所以t=+=+x+1y+2x+1y+21414=x+1+-2+y+2+-4=3++，x+1y+2x+1y+214x+1+y+214所以t=3++=3++x+1y+29x+1y+232y+24x+1322=++≥+2×=4，等号成立当且仅当y=4,x=2，99x+19y+2992y2x所以+=4，实数a的取值范围是-∞,4.x+1y+2min2y2x14【点睛】关键点点睛：关键是首先得到+=3++，进一步结合乘“1”法即可顺利x+1y+2x+1y+2得解.14.斐波那契数列(fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(leonardofibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、⋯，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥*2,n∈n),a=a1,a2,⋯,a2024,b⊆a且b≠∅中，则b中所有元素之和为奇数的概率为．20232答案20242-1【分析】记a中所有偶数组成的集合为c，所有奇数组成的集合为d，集合c的子集为e，集合d中含有奇数个元素的子集为f，则所有元素之和为奇数的集合b可看成e∪f，然后可解.解析由斐波那契数列规律可知，集合a=a1,a2,⋯,a2024中的元素有674个偶数，1350个奇数，记a中所有偶数组成的集合为c，所有奇数组成的集合为d，集合c的子集为e，集合d中含有奇数个元素的子集为f，则所有元素之和为奇数的集合b可看成e∪f，67413513491349显然集合e共有2个，集合f共有c1350+c1350+c1350+⋅⋅⋅+c1350=2个，67413492023所以所有元素之和为奇数的集合b共有2×2=2个，202320242又集合a的非空子集共有2-1个，所以b中所有元素之和为奇数的概率为.20242-120232故答案为：20242-1【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合a分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△abc中，已知内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且△abc的面积为3，点d是线段bc上靠近点b的一个三等分点，ad=1．π(1)若∠adc=，求c；322(2)若b+4c=11，求sin∠bac的值．37答案(1)3·184·,43(2)72231【分析】(1)由cd=2bd得s△acd=s△abc==ad⋅cd⋅sin∠adc，再结合余弦定理从而可求解.33221221(2)由cd=2bd利用向量可得ad=ab+ac，并结合b+4c=11得bc⋅cos∠bac=-，再由3321bc⋅sin∠bac=3，从而可求解.2223解析(1)由题可得：cd=2bd，故s△acd=s△abc=3311323又s△acd=ad⋅cd⋅sin∠adc，即×1×cd×=，222384∴cd=，即bd=33222在△abd中，根据余弦定理得ab=bd+ad-2ad⋅bd⋅cos∠adb21641即ab=+1+2×1××9323737∴ab=，即c=，3321(2)∵cd=2bd，∴ad=ab+ac334144c2b24222∴ad=ab+ac+ab⋅ac，即1=++bc⋅cos∠bac999999221又b+4c=11，∴bc⋅cos∠bac=-①21又bc⋅sin∠bac=3②，由①②得：tan∠bac=-43243∴sin∠bac=716.(15分)如图，在三棱锥d-abc中，ab=ad=bd=32,ac=7,bc=cd=5．(1)证明：平面acd⊥平面abc；(2)若e是线段cd上的点，且cd=4ce，求二面角e-ab-c的正切值．答案(1)证明见解析2(2)8【分析】(1)在△acd中求∠cad和边ac的高，进而判断δabc≌δadc，最后证明△acd边ac的高即为面abc的垂线，证明结论即可；(2)先建立空间直角坐标系，分别求出面abe和abc的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值后，利用同角三角函数关系式，求二面角的正切值即可.解析(1)证明：在△acd中，22272+(32)2-52ac+ad-cd2cos∠cad===，2ac⋅ad2×7×322·185·,所以∠cad=45°，过点d作do⊥ac于点o，连接bo，则do=ad⋅sin∠cad=32⋅sin45°=3，因为ab=ad，cd=cb，所以△abc≌△adc，得od=ob=3，222又bd=32，所以ob+od=bd，得od⊥ob，又od⊥ac，od⊥ob，ob∩ac=o，ac⊂平面abc，ob⊂平面abc，所以od⊥平面abc，因为od⊂平面acd，od⊥平面abc，所以平面acd⊥平面abc.(2)由(1)知，oa,ob,od两两垂直，如图以o为原点建立坐标系o-xyz，a(3,0,0)，b(0,3,0)，d(0,0,3)，c(-4,0,0)，3因为cd=4ce，得e-3,0,4，设n=(x,y,z)是平面abe的一个法向量，-3x+3y=0n⋅ab=0则⇒3n⋅ae=0-6x+4z=0令x=1，则y=1，z=8，得n=(1,1,8)，而m=(0,0,1)是平面abc的一个法向量，m⋅n466两个法向量m,n夹角的余弦值为：=33|m|⋅|n|设二面角e-ab-c平面角的大小为θ，466466233结合图形得：cosθ=，sinθ=1-=，33333333sinθ332tanθ===，cosθ4668332所以二面角e-ab-c的正切值为.82y2x17.(15分)已知椭圆e:+=1的左右顶点分别为a、b，点c在e上，点m6,ym,n6,yn分别为直线95ac、bc上的点.(1)求ym⋅yn的值；(2)设直线bm与椭圆e的另一个交点为d，求证：直线cd经过定点.答案(1)-15(2)证明见解析·186·,ymyn【分析】(1)解法一：设c(x1,y1)，根据斜率公式得kam⋅kbn=，然后根据点c在椭圆上化简即可求解；279y13y1解法二：设c(x1,y1)，利用三点共线的向量形式求得ym=，yn=，结合点c在椭圆上化简即可x1+3x1-3求解；2-3ym+13530ym(2)解法一：联立直线ma与椭圆e方程，利用韦达定理得c,，同理得点d的坐标45+y245+y2mm23ym-15-10ym为,，分类讨论求得直线cd的方程，即可求得直线cd经过的定点；5+y25+y2mm解法二：设直线cd的方程为：x=my+n(n≠±3)，c(x1,y1)，d(x2,y2)，53联立直线cd与椭圆e方程，结合韦达定理利用kbc⋅kbd=-求得n=，从而求得直线cd经过的定32点.解析(1)解法一：设c(x1,y1)，由题可知，kac⋅kbc=kam⋅kbn，2ymyny1y1y1又kam⋅kbn=27，由kac⋅kbc=x+3⋅x-3=2，11x1-922x1y1252∵cx1y1在e上，则+=1⇒y1=9-x1，9595∴kac⋅kbc=-，∴ym⋅yn=-15.9解法二：设c(x1,y1)，则ac=x1+3,y1,am=9,ym，29y13y127y1∵a、c、m三点共线，∴ym=x+3，同理：yn=x-3，∴ym⋅yn=2，11x1-922x1y1252又c(x1,y1)在曲线e上，∴+=1⇒y1=9-x1，代入上式得：ym⋅yn=-15.959ym(2)解法一：由题可知，直线ma的方程为：y=(x+3)，9ymy=(x+3)2222联立方程9可得：45+ymx+6ymx+9ym-405=0，5x2+9y2=45222∴δ=36ym-445+ym9ym-405=45>0，229yM-405-3yM+135∵-3x1=2，∴x1=2，45+yM45+yM2yM30yM-3yM+13530yM又y1=9(x1+3)，∴y1=2，∴C2,2，45+yM45+yM45+yM23yM-15-10yM同理可得点D的坐标为,，5+y25+y2MM22-3yM+1353yM-152(i)当直线CD垂直于x轴时，xC=xD，即2=2，∴yM=15，45+yM5+yM33∴xC=xD=，此时直线CD的方程为x=；22(ii)当直线CD不垂直于x轴时，30yM10yM2+2345+yM5+yM20yM+300yMkCD=22=4，-3yM+1353yM-15-3yM+6752-245+yM5+yM3210yM20yM+300yM3yM-15故直线CD的方程为y+=x-，5+y2-3y4+6755+y2MMM·187·,2212yM+303yM-15令y=0，则=x-，5+y2-3y4+6755+y2MMM423yM+60yM+22533整理得x==，此时直线CD经过定点,02y4+40y2+15022MM3综上，直线CD经过定点2,0.yMyM解法二：由kAC=，kBM=得kBM=3kAC，93y1y155又kAC⋅kBC=⋅=-，∴kBC⋅kBD=3kBC⋅kAC=-，x1+3x1-393由题可得直线CD显然不与x轴平行，设直线CD的方程为：x=my+n(n≠±3)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，x=my+n222由22得(5m+9)y+10mny+5n-45=0，5x+9y=4510mny1+y2=-25m+9由Δ>0得2，y⋅y=5n-451225m+9y1y2y1⋅y2又kBC⋅kBD=⋅=x1-3x2-3(my1+n-3)(my2+n-3)y⋅y2125n-45==，222my1y2+mn(y1+y2)-3m(y1+y2)+n-6n+99n-54n+8125n-4553由=-得n=或n=3(舍去)，9n2-54n+813233∴直线CD：x=my+2，∴直线CD经过定点2,0.*18.(17分)设X,Y是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为ai,bj，其中i,j∈N，令pij=*PX=ai,Y=bj，称piji,j∈N是二维离散型随机变量X,Y的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X,Yb1b2b3⋅⋅⋅a1p11p12p13⋅⋅⋅a2p21p22p23⋅⋅⋅a3p31p32p33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅*现有nn∈N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．·188·,(1)当n=2时，求X,Y的联合分布列，并写成分布表的形式；nn(2)设pk=PX=k,Y=m,k∈N且k≤n，求kpk的值．m=0k=0nkkn-k(参考公式：若X~Bn,p，则kCnp1-p=np)k=0答案(1)答案见解析n(2)3【分析】(1)X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，分别计算概率即可；nnk1k2n-kk1k2n-k(2)计算得pk=Cn33，则kpk=kCn33，最后利用二项分布的期望公式即可得k=0k=0到答案.解析(1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，11则PX=0,Y=0==，3291112PX=0,Y=1=C2××=，339111112PX=0,Y=2=2=，PX=1,Y=0=C2××=，39339111211PX=1,Y=1=C2××=，PX=2,Y=0=2=，33939PX=1,Y=2=PX=2,Y=1=PX=2,Y=2=0，故X,Y的联合分布列为X,Y012121099922109912009(2)当k+m>n时，PX=k,Y=m=0，nn-kn-kkm1故pk=PX=k,Y=m=PX=k,Y=m=PCnCn-k⋅3nm=0m=0m=0kn-kkCnmCnn-kk1k2n-k=3nCn-k=3n2=Cn33m=0nnnk1k2n-kn所以kpk=kCn33，由二项分布的期望公式可得kpk=3．k=0k=0k=0219.(17分)已知函数fx=xlnx-a2x+1(a∈R).(1)若a=-1，求fx的图象在x=1处的切线方程；(2)若fx有两个极值点x1，x2(x1<x2).①求a的取值范围；1②求证：3x2-x1>-2.a答案(1)5x-y-2=0·189·,1(2)①0,4；②证明见解析【分析】(1)利用切点和导数几何意义即可求解；(2)①令gx=fx=lnx-4ax+1，由题意可知，gx在0,+∞有两个不相等的实数根，根据gx的单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；11x1-x22x-1②由①分析得x2-x1>-1，=，令hx=lnx-，可得hx在0,1上单调递4a4alnx1-lnx2x+1x1x1增，因为x<1，所以hx<h1，根据不等式性质计算即可得证.222解析(1)若a=-1，则fx=xlnx+2x+1，所以fx=lnx+1+4x，所以f1=1+4=5，又f1=2+1=3，所以fx的图象在x=1处的切线方程为y-3=5x-1，即5x-y-2=0.(2)①由题意知fx=lnx+1-4ax.1令gx=fx=lnx-4ax+1，则gx=-4a.x因为fx有两个极值点x1，x2(x1<x2)，所以gx=0有两个不等正实根x1，x2(x1<x2).若a≤0，gx>0，则gx在0,+∞上单调递增，所以gx在0,+∞上至多有一个零点，不符合题意；11若a>0，令gx=0，解得x=，所以当0<x<时，gx>0，4a4a111当x>4a时，gx<0，所以gx在0,4a上单调递增，在4a,+∞上单调递减.11所以x=时，gx取得极大值，即最大值为g=-ln4a，4a4a11所以g4a=-ln4a>0，解得0<a<4.111-4a11当0<a<4时，g4a>0，又ge=e<0，所以g4a⋅ge<0，11由零点存在性定理知：存在唯一的x1∈e,4a，使得gx1=0.11144又g=ln-4a⋅+1=-2lna-+1，令μx=-2lnx-+1，a2a2a2ax244-2x所以μx=-+=，所以当0<x<2时，μx>0，当x>2时，μx<0，xx2x2所以μx在0,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，4所以μa=-2lna-+1≤μ2=-2ln2-1<0，a111所以g<0，所以g⋅g<0，a24aa211由零点存在性定理知：存在唯一的x2∈4a,a2，使得gx2=0.1所以当0<a<时，gx=0有两个不等正实根x1，x2.41综上，a的取值范围是0,4.111②证明：由①知0<a<，且0<x1<<x2，所以>1，44a4a1因为gx在0,4a上为增函数，及g1=1-4a>0，所以x1<1，11又x2>，所以x2-x1>-1.4a4a因为gx1=0，gx2=0，所以lnx1-4ax1+1=0，lnx2-4ax2+1=0，·190·,1x1-x2所以lnx1-lnx2=4ax1-x2，所以=.4alnx1-lnx22x-1令hx=lnx-(0<x<1)，x+1214x-1所以hx=-=>0，所以hx在0,1上单调递增，xx+12xx+12x1x1因为x1<x2，所以x<1，所以hx<h1=0，22x1x2x-1x-xx+x121212所以ln-<0，所以<，x2x1lnx1-lnx22+1x21x1-x2x1+x21所以=<，所以x1+x2>.4alnx1-lnx222a111所以3x2-x1=x1+x2+2x2-x1>+-2=-2.2a2aa2x-11x1-x2x1+x2【点睛】本题证明的关键在于构造函数hx=lnx-，进而求证=<，再运x+14alnx1-lnx22用不等式性质即可证明.·191·,江西省上进联盟2023-2024学年高三下学期一轮总复习（开学考）验收考试数学试卷第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x|x(x-3)<4,N=y|y<3，则M∩N=()A.∅B.x|-4<x<3c.x|-1<x<3d.x|1<x<3答案c2解析由m=x∣x-3x-4<0={x∣-1<x<4}，则m∩n={x∣-1<x<3}.故选c.542.已知定义在r上的函数fx=x+a+1x-2024的导函数fx为偶函数.则fa=()a.-2025b.-2024c.-1d.2025答案a435解析fx=5x+4a+1x，又fx为偶函数，所以4a+1=0，即a=-1，所以fx=x-2024,fa=f-1=-2025.故选a.23.已知f是抛物线c:x=2y的焦点，点m2,m在抛物线c上，则mf=()35917a.b.c.d.2288答案d2211117解析把x=2y化为标准方程y=x得p=,mf=+2=.故选d.24884.研究表明，地震时释放的能量e(单位：焦耳)与地震里氏震级m之间的关系为lge=4.8+1.5m.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是n，则n的整数部分为()a.3b.4c.5d.6答案c解析设前后两次地震释放的能量分别为e1,e2，由已知得lge1=4.8+1.5×6.2,lge2=4.8+1.5×5.7，∴ee3110.75444444lg=1.5×0.5=0.75,∴n==10=10=1000,5<1000<6,∴5<1000<6,∴n=1000∈e2e25,6.故选c.5.已知一正方体木块abcd-a1b1c1d1的棱长为4，点e在校aa1上，且ae=3.现过d,e,b1三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为()·192·,517a.426b.517c.226d.2答案a解析过d,e,b1三点的截面是以de,b1e为邻边的平行四边形，∵de=5,b1e=17,db1=43，∴17+25-483426426cos∠deb1==-,∴sin∠deb1=,∴截面面积为5×17×=426.故选2×5×17517517517a.b+a6.已知复数z=a+bia,b∈r.且2-i-z=1，则的取值范围为()a+1-3-3-3+3-3-3-3+3a.4,4b.-∞,4∪4,+∞1-31+31-31+3c.4,4d.-∞,4∪4,+∞答案c解析由复数的几何意义可知，2-i-z=1即为z-2+i=1，故复数z在复平面内对应的点za,b22b+ab-1的轨迹是以2,-1为圆心，1为半径的圆c，即圆c:(a-2)+(b+1)=1，如图，=+1，而a+1a+1b-1的几何意义为过圆c上的点与定点a-1,1的直线l的斜率k，直线l的方程为ka-b+k+1=0，a+13k+2-3-3-3+3-3-3由题意可知，圆心c到直线l的距离d≤1，即≤1，解得≤k≤，即k2+1444b-1-3+31-3b+a1+3≤≤，所以≤≤.故选c.a+144a+141ππ7.已知函数fx=sinωx+φ+2ω>0,-2<φ<2，其导函数为fx.且f0⋅f0=0，fx在区间0,2π上恰有4个不同的实数xii=1,2,3,4，使得对任意x都满足fx+f2x1-x)=1，且对任意π角α,fx在区间α,α+2上均不是单调函数.则ω的取值范围是()A.19,252519,2D.25,+∞1212B.2,12C.1212答案B11π解析∵fx=sinωx+φ+2,∴fx=ωcosωx+φ,∴f0⋅f0=sinφ+2ωcosφ=0,∵-2·193·,π1ππ1<φ<2,∴sinφ=-2,φ=-6,∴fx=sinωx-6+2，由fx+f2xi-x=1可得fx的图象关1π11ππ于点xi,2对称，∴sinωxi-6+2=2，即sinωxi-6=0，当x∈0,2π时，ωx-6∈ππππ-6,2ωπ-6，函数y=sinx在-6,+∞上的前5个零点依次为0,π,2π,3π,4π，可得3π<2ωπ-61925πTππ≤4π，解得12<ω≤12，又∵fx在α,α+2上不是单调函数，∴2=ω<2，解得ω>2，综上225<ω≤.故选B.128.142857被称为世界上最神秘的数字，142857×1=142857,142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,142857×5=714285,142857×6=857142，所得结果是这些数字反复出现，若a=0.142857ln1.285714e,b=+1,c=1.285714，则()2A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b答案Dxx解析记fx=e-x-1(x>0)，当x∈0,+∞时，fx>0,fx单调递增，所以fx=e-x-1>x2xf0=0，所以e>x+1(x>0)，因为x+2x+1>1+2x(x>0)，所以x+1>1+2x(x>0)，所以e>0.142857x1+2x(x>0)，所以e>1+2×0.142857，即a>c；由e>x+1(x>0)，易得x>lnx+1(x>1)，ln1.285714所以1.285714>ln1.285714+1=+1，即c>b.综上a>c>b.故选D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知平面向量a,b在由正方形组成的网格中位置如图所示(网格中面积最小的正方形边长为1)，则()A.b=2B.存在实数λ，使得b=λa.1C.a+2b⋅b=7.D.向量b在a方向上的投影向量为-a3答案AC(每选对1个得3分)22解析b=1+1=2，A正确；由图可知，向量a,b不共线，故不存在实数λ，使得b=λa,B错误；设网格中方向向右､向上的单位向量分别为e1,e2，且e1⊥e2，则a=3e1,b=e1+e2，所以a+2b⋅b=5e1+2e2⋅e1+e2=7,C正确；由图可知，向量b在a方向上的投影向量方向向右､模长为1，所以向量b1在a方向上的投影向量为a，D错误.故选AC.310.化学中经常碰到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如六氟化硫(化学式SF6)､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体(如图1)，已知正八面体E-ABCD-F的(如图2)棱长为2，则()·194·,8πA.正八面体E-ABCD-F的内切球表而积为38πB.正八面体E-ABCD-F的外接球体积为3C.若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为2322D.若点Q为棱AF上的动点，则四棱锥E-QBC的体积为定值3答案ACD(每选对一个得2分)11解析设该正八面体内切球的半径为r，由内切球的性质可知正八面体的体积V=8×××2×2×321226628πsin60°⋅r=2××2×2×2-(2)，解得r=，故它的内切球表面积为4π×=，故A正3333确；设该正八面体外接球的半径为R，易知EF为正八面体外接球的直径，2R=22，解得R=2，所以正82π八面体外接球的体积为，故B错误；当P为EB的中点时，AP⊥EB,CP⊥EB，此时AP+CP取得3最小值为23，故C正确；易知AF∥EC，因为AF⊄平面EBC,EC⊂平面EBC，所以AF∥平面EBC，所1122以V三棱锥E-QBC=V三棱锥Q-EBC=V三棱锥A-EBC=V三棱锥E-ABC=3×2×2×2×2=3，故D正确.故选ACD.1n11.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1，且9anan+1=an-4an+1，数列a与数列4anan+1的前n项和分别n为Rn,Tn，则()an+111432A.>B.Tn<c.sn<d.rn≥6n-5nan4339答案bcd(每选对一个得2分)1411解析将9anan+1=an-4an+1两边同时除以anan+1，得9=a-a,∴a+3=4a+3，故数列n+1nn+1n111n1a+3是以a+3=4为首项､4为公比的等比数列，∴a+3=4，即an=4n-3.对于a,∵an=n1n1n>0,∴9anan+1=an4-3ann+11n4111-4an+1>0,∴4an+1<an，即a<4，a错误；对于b,4anan+1=nn+1=34n-3-n+1，n4-34-34-3111111111所以tn=31-42-3+42-3-43-3+⋯+4n-3-4n+1-3=31-4n+1-3<3，b正确；111111对于c,an=n=3≤=n-2n≥2,∴sn≤1+0+1+⋯4-3nn313×413×413×441-4n41-2411-n-1114414431+13×4n-2=1+13×1=1+391-4n-1<1+39=39，故c正确；对于d，rn=4-3+1-42n4n2nn04-3+⋯+4-3=4-1-3n，当n=1时，rn≥6n-5n显然成立，当n≥2时，4=(1+3)≥cn3·195·,22129n-3n+24n49n-3n2+3cn+9cn=，所以rn=4-1-3n≥×-3n=6n-5n，d正确.故选bcd.2332第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3π12.已知等差数列an的前n项和为sn,a3+a10=，则coss12=.82答案212a3+a109π9π2解析s12==6a3+a10=，所以coss12=cos=.244213.“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当a，b，c三位同学围成一个圆时，其中一个排列“abc”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“bca”或“cab”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.(用数字作答)答案120解析a,b,c三位同学围成一个圆，“abc”“bca”或“cab”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任13意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为a3，由此可得六位同学围成一个316圆的排列总数为a6=120.62y2x14.已知双曲线c:2-2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过点F2且斜率为1的直线l与C的右ab支交于A,B两点，若△F1AB的内心恰好在它的一条高线上，则C的离心率为.-2+14答案2解析三角形的内心必在该三角形的角平分线上，又内心在一条高线上，则这条高线与该三角形的一条2x角平分线重合，于是可知该三角形为等腰三角形.设F2c,0，故直线l为y=x-c，代入C的方程可得2a2222(x-c)2222222-ac+b2-2=1，即b-ax+2acx-ac+b=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，故x1x2=22>0，故bbb-a2222-a<0即c-2a<0，所以e-2<0，结合e>1可得1<e<2，不妨设点b在x轴的下方，点a在x轴的上方，设af2=m,bf2=n，由双曲线定义可得af1=2a+m,bf1=2a+n，①当af1=ab时，mπ+2a=m+n，即2a=n，故bf1=4a,bf2=2a，因为直线l的斜率为1，所以倾斜角为，即∠bf2f1=4π222222，在△bf2f1中，由余弦定理可得bf1=bf2+f1f2-2bf2⋅f1f2⋅cos∠bf2f1，即16a=4a+4c-2×422222+142a⋅2c⋅，所以c-2ac-3a=0，所以e-2e-3=0，解得e=>2，舍去；②当BF1=22πAB时，n+2a=m+n，即2a=m，故AF1=4a,AF2=2a，因为直线l的斜率为1，所以倾斜角为，即43π∠AF2F1=，在△AF2F1中，42222222由余弦定理可得AF1=AF2+F1F2-2AF2⋅F1F2⋅cos∠AF2F1，即16a=4a+4c+2×2a⋅2c⋅，所2222-2+14-2+14以c+2ac-3a=0，所以e+2e-3=0，解得e=，因为-2=22-32+14-18+14-2+1422+14-47-2+14=<0,==4-7>1，所以1<22242<2，满足题意；③当BF1=AF1时，直线l垂直于x轴，与题意矛盾，故舍去.综上，C的离心率为·196·,-2+14.2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3cosAacosCccosA15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且-=.32b2b(1)求A；222(2)若a+c-b=ac，点D在边AB上，BD=2AD,CD=13.求△ABC的面积.3cosAacosCccosA解析解：(1)由-=，32b2b得2bcosA-3acosC=3ccosA.由正弦定理得2sinBcosA=3sinAcosC+3sinCcosA=3sinA+C=3sinB，3∵0<b<π,∴sinb≠0,∴cosa=，2π∵0<a<π,∴a=.6222a+c-b1(2)由余弦定理，得cosb==，2ac2π又0<b<π,∴b=.3π∴c=π-a-b=,∴b=3a，221∵bd=2ad,∴cd=ca+cb，33242124212132∴cd=ca+cb=b+a=a=13，99999∴a=3,b=33，1193∴△abc的面积s=ab=×3×33=.22216.(15分)2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市m社区年龄在[20,70)的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示年龄a(单位：周岁)20,3030,4040,5050,6060,70频数3081996030持喜爱态度2465753012(1)求该样本中市民年龄的平均数；(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)(2)从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率：(3)为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种：方案一：按年龄a进行分类奖励，当a<30时，奖励10元：当30≤a<50时，奖励30元：当a≥50时，奖励40元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为了23·197·,将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案1解析解：(1)样本中市民年龄的平均数为x=×30×25+81×35+99×45+60×55+30×65300=44.3.(2)设事件a表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件b表示抽中的此人年龄在50周岁以下.24+65+75+30+1220624+65+75164则由频数分布表可知pa==,pab==，300300300300pab16482所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为pb∣a===.pa206103(3)对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为x元，则x的所有可能取值为10,30,40，133其对应的概率分别为,,，10510133故ex=10×+30×+40×=31.10510对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为y元，则y的所有可能取值为10,20,30,40,60.1111111可得py=10=×=;py=20=××=；236233181211122py=30=×=;py=40=×2××=，23323391222py=60=××=，233911122所以ey=10×+20×+30×+40×+60×=35，618399因为ex<ey，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二.17.(15分)已知等边△abc的边长为4，e,f,h分别是边ab,bc,ac的中点(如图1)，现以ef为折痕把△bef折起，使点b到达点b的位置，且hb=3(如图2).(1)证明：ac⊥hb；3bm(2)在线段bh上是否存在点m，使得m到平面bef的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请4mh说明理由.解析(1)证明：∵e,f分别是边ab,bc的中点，∴ef∥ac，连接bh交ef于o，连接bo，由折叠可知，ef⊥ob,ef⊥oh,oh∩ob=o,∴ef⊥平面obh，∴ac⊥平面obh,∵hb⊂平面obh,∴ac⊥hb.(2)解：∵等边△abc的边长为4,∴hb=23,∴ob=oh=3，3+3-91∵hb=3,∴cos∠boh==-,∴∠boh=120°，2×3×32以o为坐标原点，of,ob所在直线为x,y轴，过o作垂直于平面abc的直线·198·,为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，33则b0,,,h0,-3,0,e-1,0,0,f1,0,0，2233∴ob=0,,,oh=0,-3,0，22设om=λob+1-λoh33=λ0,,+1-λ0,-3,022333=0,2λ-3,2λ0≤λ≤1，33在平面bef中，ef=2,0,0,ob=0,,，22不妨设平面bef的法向量m=x,y,z，33m⋅ob=y+z=0,则22令y=-3，得x=0,z=1，m⋅ef=2x=0,所以平面bef的一个法向量为m=0,-3,1，om⋅m-3λ+33∴点m到平面bef的距离为==，24m13bm解得λ=或λ=(舍去)，∴m为hb的中点，∴=1，22mhbm∴满足条件的点m存在，且=1.mh2y2x18.(17分)已知椭圆c:+=1的右焦点为f，过n2,0的直线l与c交于a,b两点.63(1)若点m为c上一动点，求mf+mn的最大值与最小值；(2)若an=2nb，求l的斜率；(3)在x轴上是否存在定点q，使得qa⋅qb为定值？若存在，求出定点q的坐标；若不存在，请说明理由.解析解：(1)设c的左焦点为f，则f-3,0,f3,0，mf+mn=26+mn-mf≤26+fn=26+3+2，当且仅当点m与c的左顶点重合时取等号，即mf+mn的最大值为26+3+2，mf+mn=26-mf-mn≥26-fn=26-3-2，当且仅当点m与c的右顶点重合时取等号.即mf+mn的最小值为26-3-2.(2)设ax1,y1,bx2,y2，则由an=2nb，x1=6-2x2得2-x1,-y1=2x2-2,y2，所以，y1=-2y2·199·,2223-x24y2+=1,33又a,b在c上，所以22x2+y2=1,639x2=,4930解得即b,±.y=±30,482830±-0830故直线l的斜率为kbn==±.92-24(3)假设满足条件的点存在，设qm,0,ax1,y1,bx2,y2，2则qa⋅qb=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-mx1+x2+m+y1y2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，2y2x2222把y=kx-2代入+=1，得2k+1x-8kx+8k-6=0，63228k8k-6所以x1+x2=2,x1x2=2，2k+12k+14222δ=64k-42k+18k-6=82k+3>0，2222228k-616k8k+4-2ky1y2=kx1-2⋅kx2-2=kx1x2-2x1+x2+4=k2k2+1-2k2+1+2k2+1=2k2+1，8k2-68mk22m2k2+m22k22k2m2-4m+3+m2-6所以QA⋅QB=-+-=为定值，222222k+12k+12k+12k+12k+1229所以m-4m+3=m-6，解得m=，4915∴存在定点Q4,0，使得QA⋅QB为定值-16；15当直线l的斜率不存在时，易得A2,1,B2,-1满足QA⋅QB为定值-.(16分)169综上，存在定点Q4,0，使得QA⋅QB为定值.a19.(17分)已知函数gx=1-2lnx-2(a>0)，且gx的极值点为x0.x(1)求x0；2(2)证明：2gx0+2≤；a11(3)若函数gx有两个不同的零点x1,x2，证明：2+2>2gx0+2.x1x22a-2x-a-2x-ax+a解析(1)解：由gx=1-2lnx-，则gx==，233xxx所以当x∈0,a时，gx>0,gx单调递增，当x∈a,+∞时，gx<0,gx单调递减，所以x=a为gx的极大值点，即x0=a.(2)证明：由题意ga=-lna(a>0)，21要证2gx0+2≤，只需证+lna-1≥0，aa111x-1令hx=lnx+-1(x>0)，则hx=-=，xxx2x2当x∈0,1时，hx<0,hx单调递减；当x∈1,+∞时，hx>0,hx单调递增，·200·,12所以hx≥h1=0，即lnx+-1≥0，所以2gx0+2≤.xa(3)证明：因为x1,x2是gx的两个不同的零点，aa所以gx1=1-2lnx1-2=0,gx2=1-2lnx2-2=0，x1x2222x2-x1两式相减并整理得=.a22x2x1x2lnx12设x2>x1>0，由(2)知2gx0+2≤，a2x2222-11111x2-x1x2x1所以要证2+2>2gx0+2，只需证2+2>x，即证lnx>2.x1x2x1x2x2x2ln21x212x2+11x1x22t-1设=t∈1,+∞，下面就只需证lnt>(t>1)，x21t+12t2-12t-114t设St=lnt-(t>1)，则St=-=>0，t2+1tt2+12tt2+12所以St在1,+∞上单调递增，从而St>S1=0，2t-111所以lnt>2(t>1)成立，从而2+2>2gx0+2.t+1x1x2·201·,重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是()A.①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B.①用简单随机抽样，②用简单随机抽样C.①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D.①用分层随机抽样，②用分层随机抽样答案C【分析】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可.解析①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；故选：C.2.下列函数既是奇函数，又在0,+∞上单调递增的函数是()1x-x3A.y=x+B.y=2+2C.y=lnxD.y=xx答案D【分析】根据奇函数的判定方法及函数在0,+∞上单调递增，逐项求解即可判断.111解析对A：令fx=x+x，定义域为-∞,0∪0,+∞，f-x=-x-x=-x+x=-fx，11所以fx为奇函数，又因为f3=3+3=f3，所以fx在0,+∞上不是增函数，故A错误；x-x-xx对B：令gx=2+2，定义域为R，g-x=2+2=gx，所以gx为偶函数，故B错误；对C：令hx=lnx，定义域为0,+∞，所以hx不是奇函数，故C错误；33对D：令mx=x，定义域为R，m-x=-x=-mx，所以mx为奇函数，3由幂函数性质可知mx=x在0,+∞上单调递增，故D正确.故选：D.3.已知an是公比为2的等比数列，若a1+a3=25，则a5=()A.100B.80C.50D.40答案B24【分析】由题意q=2,a1+a3=a11+q=5a1=25，解得a1，然后由a5=a1q即可得解.2解析设an的公比为q，则q=2,a1+a3=a11+q=5a1=25，4所以a1=5，所以a5=a1q=5×16=80.故选：B.5π5π4.若sin12+α=13，则cos2α-6=()·202·,1195011950A.-B.-C.D.169169169169答案A【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.5π25π52119解析cos2α+6=1-2sinα+12=1-2×13=169，π5π5π119cos2α-6=cos2α+6-π=-cos2α+6=-169.故选：A225.已知圆C:x+2x+y-1=0，直线mx+ny-1=0与圆C交于A，B两点.若△ABC为直角三角形，则()22A.mn=0B.m-n=0C.m+n=0D.m-3n=0答案A22【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB=2r-d进行求解即可.22解析因为圆C:x+2x+y-1=0，圆心为C-1,0，半径为r=2，即CA=CB=222因为△ABC为直角三角形，所以AB=CB+CA=2,-m-nm+n设圆心C-1,0到直线mx+ny-1=0的距离为d，d==2222m+nm+n22m+n由弦长公式AB=2r-d得d=1，所以=1，化简得mn=0.22m+n故选：A.i5136.已知数列an满足a1=i，an+1=i+，若ak=+i，则正整数k的值是()an810A.8B.12C.16D.20答案B【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可.解析解：由题意结合递推关系式可得：1336a1=i,a2=1+i,a3=+i,a4=+i，225524313265353111a5=+i,a6=+i,a7=+i,a8=+i，3351041418585111231771604801000513a9=+i,a10=+i,a11=+i,a12=+i，178178123123769769810208043293336931001208345918843a13=+i,a14=+i,a15=+i,a16=+i，3329332953353316021602734868014195938918640686494094846372714473a17=+i,a18=+i,a19=+i,a20=+i.67147221298335279150593727596511131故选：B.2y2x7.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上且不在x轴上，点Q在直线aba2FPFO11x=上，若PQ=2F1O，F1Q=λ+(λ>0)，则椭圆的离心率为()cF1PF1O133-15-1A.B.C.D.2222答案D【分析】由题意首先根据已知条件得出四边形PF1F2Q为菱形，且将P,Q的坐标表示出来，利用PF2⊥QF1，·203·,得出kPF2⋅kQF1=-1进一步将其化为关于离心率的齐次式即可求解.解析因为PQ=2F1O，所以PQ∥x轴，22aa则P点横坐标为-2c，Q点横坐标为，cca22c-2c2222所以yP=yQ=b-b⋅2，aF1PF1O因为F1Q=λ+(λ>0)，F1PF1O则点Q在∠PF1O角平分线上，所以四边形PF1F2Q为菱形，yPyQ则PF2⊥QF1，所以kPF2⋅kQF1=-1，即2⋅2=-1，aa-2c-c+ccca22c-2ca2a222所以b-b=--2c-c+c，a2cc2224224将b=a-c代入整理得，a-3ac+c=0，4223±5则e-3e+1=0，解得e=，25-1因为0<e<1，所以e=.2故选：d.【点睛】关键点睛：画出图形通过数形结合，表示出p,q的坐标，利用菱形的几何性质即可顺利求解.8.对于一个古典概型的样本空间ω和事件a，b，c，d，其中n(ω)=60，n(a)=30，n(b)=10，n(c)=20，n(d)=30，n(a∪b)=40，n(a∩c)=10，n(a∪d)=60，则()a.a与b不互斥b.a与d互斥但不对立c.c与d互斥d.a与c相互独立答案d【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据p(a∩c),p(a)p(c)的关系判断事件是否独立.解析由n(a)=30，n(b)=10，n(a∪b)=40，即n(a∪b)=n(a)+n(b)，故a、b互斥，a错误；由n(a∪d)=n(a)+n(d)=n(ω)=60，a、d互斥且对立，b错误；又n(c)=20，n(a∩c)=10，则n(d∩c)=10，c与d不互斥，c错误；n(a)1n(c)1n(a∩c)1由p(a)==，p(c)==，p(a∩c)==，n(ω)2n(ω)3n(ω)6所以p(a∩c)=p(a)p(c)，即a与c相互独立，d正确.故选：d·204·,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0)，若p:ω≤2，且p是q的必要条件，则q可能为()πA.fx的最小正周期为πB.x=是fx图象的一条对称轴4C.fx在0,ππ,π上单调递增D.fx在上没有零点442答案AC【分析】将各项作为条件q，应用正弦型函数的性质求参数，再由必要性定义判断是否满足题设即可.2π解析A：q为fx的最小正周期为π，则ω==2，此时p是q的必要条件，符合；TππωππB：q为x=4是fx图象的一条对称轴，则f4=sin4+4=±1，ωπππ所以+=+kπ,k∈Z且ω>0，则ω=1+4k,k∈N，此时p不是q的必要条件，不符合；442C：q为fx在0,ππ∈π,ωπ+π上单调递增，则t=ωx+有y=sint递增，44444ωπππ所以+≤⇒ω≤1，即0<ω≤1，此时p是q的必要条件，符合；442D：q为fx在π,ππ∈ωπ+π,ωπ+π上没有零点，则t=ωx+有y=sint没有零点，4244424ωππ+>kπω>4k-14437所以⇒3且ω>0，则0<ω<或3<ω<，此时p不是q的必要ωπ+π<(k+1)πω<2k+22224条件，不符合；故选：AC10.设奇函数fx与偶函数gx的定义域均为R，且在区间I上都是单调增函数，则()A.fx+gx不具有奇偶性，且在区间I上是单调增函数B.fx-gx不具有奇偶性，且在区间I上的单调性不能确定C.fxgx是奇函数，且在区间I上是单调增函数D.fgx是偶函数，且在区间I上的单调性不能确定答案ABD【分析】根据fx，gx的单调性和奇偶性逐项判断即可.解析fx，gx在区间I上都是单调增函数，fx+gx单调增，fx-gx单调性没有办法确定，C错.因为fx为奇函数，gx为偶函数，所以fx±gx不具有奇偶性，A，B正确.fg-x=fgx，所以fgx为偶函数，令h(x)=fgx，设任意x1<x2∈i，则gx1<gx2，而gx1,gx2所在区间无法确定，故h(x2)-h(x1)=fgx2-fgx1的正负无法判断，所以单调性不能确定，d正确.故选：abd.111.对于任意两个正数u，vu<v，记曲线y=与直线x=u，x=v，x轴围成的曲边梯形的面积为lu,v，x并约定lu,u=0和lu,v=-lv,u，德国数学家莱布尼茨(leibniz)最早发现l1,x=lnx.关于lu,v，下列说法正确的是()·205·,1150100a.l6,3=l4,8b.l4,3=100l2,3vuuuc.2lu,v<-d.lu,v>v-uuv答案ABC【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，根据曲边梯形与梯形面积大小判断C，取特殊值判断D.解析由题意L(1,x)=-L(x,1)=lnx，所以L(x,1)=-lnx，当u>1时，L(u,v)=L(1,v)-L(1,u)=lnv-lnu；当v<1时，L(u,v)=L(u,1)-L(v,1)=L(1,v)-L(1,u)=lnv-lnu；当u<1<v时，l(u,v)=l(u,1)+l(1,v)=l(1,v)-l(1,u)=lnv-lnu；当v=1或u=1时，l(u,v)=lnv-lnu也成立；综上所述：l(u,v)=lnv-lnu.1111对于选项a：l6,3=ln3-ln6=ln2，l4,8=ln8-ln4=ln2，11所以l6,3=l4,8，故a正确；5010010050100100对于选项b：l4,3=ln3-ln4=ln3-ln2=100(ln3-ln2)，50100且l(2,3)=ln3-ln2，所以l4,3=100l2,3，故b正确；对于选项c：如图，221111v-u1vu因为s阴影<s梯形，所以l(u,v)=lnv-lnu<2(v-u)v+u=2uv=2u-v，vu即2lu,v<-，故c正确.uvuu对于选项d：取u=1,v=2，则lu,v=l(1,2)=ln2<2-1=1，故d错误；故选：abc.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用lu,v的定义，分类讨论求得l(u,v)=lnv-lnu，从而得解.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若命题∃x∈r，-x²-2mx+2m-3≥0为真命题，则m的取值范围为.答案-∞,-3∪1,+∞【分析】利用二次函数性质求解可得.22解析由题意，不等式-x-2mx+2m-3≥0有解，即不等式x+2mx-2m+3≤0有解，2设fx=x+2mx-2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式fx≤0有解，则函数fx图象与x轴有交点，22则δ=4m-4-2m+3≥0，化简得m+2m-3≥0，解得m≤-3或m≥1．故答案为：-∞,-3∪1,+∞·206·,13.在多面体pabcq中，pa=pb=pc=ab=ac=bc=2，qa=qb=qc且qa，qb，qc两两垂直，则该多面体的外接球半径为，内切球半径为．66-2答案22【分析】先根据题意可得出该多面体pabcq可看作是棱长为2的正方体一部分；再求出正方体外接球的半径即可求出该多面体的外接球半径；最后利用分割法求几何体的体积，列出关系式v=多面体pabcq1v三棱锥p-abc+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq，即可求解出该多面体的内切球半径.解析由ab=ac=bc=2，qa=qb=qc且qa，qb，qc两两垂直可得：qa=qb=qc=ab×sin45°=2，又因为pa=pb=pc=2，所以该多面体pabcq可看作是棱长为2的正方体一部分，如图所示：则该多面体的外接球半径与棱长为2正方体外接球的半径相同，故外接球的半径为122262+2+2=.22设△abc的中心为o，连接ao,po，内切球半径为r.由pa=pb=pc=ab=ac=bc=2及正方体的性质，可得：po⊥平面abc.223由ab=ac=bc=2可得：ao=×ab×sin60°=.33222232261由pa=pb=pc=2可得：po=pa-ao=2-3=，s△pab=s△pac=s△pbc=×2×2321126122×sin60°=3，v三棱锥p-abc=3×po×s△abc=3×3×2×2×2×sin60°=3.·207·,1由qa=qb=qc=2且qa，qb，qc两两垂直可得:s△qab=s△qac=s△qbc=×2×2=1，2112v三棱锥a-qbc=3×qa×s△qbc=3×2×1=3.1因为v多面体pabcq=v三棱锥p-abc+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq，22211所以+=×r×s△pab+s△pac+s△pbc+s△qab+s△qac+s△qbc，即2=×r×33+3，解得33336-2r=.266-2故答案为：；.22【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题和内切球问题.根据题意找出该多面体pabcq与正方体之间的关系是求外接球半径的关键；利用分割法求几何体的体积，列出关系式v多面体pabcq=v三棱锥p-abc1+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq是求解该多面体的内切球半径的关键.2112π14.已知x1,x2为方程x-tanβ-x+3=0的两个实数根，且α,β∈0,2，x1=3x2，则tanα的tanα+β最大值为.答案1222x1=2x1x2=1142【分析】由根与系数的关系及已知3可求得2，由x1+x2=-=,化x1=3x2x2=3tanβtanα+β3简为关于tanβ的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.2112解析因为x1,x2为方程x--x+=0的两个实数根，x1=3x2，tanβtanα+β3xx=2x1=2x1=-212所以3，解得2，或2，x1=3x2x2=3x2=-3x1=-21111若2，则-<0即<，x2=-tanβtanα+βtanβtanα+β3π因为α,β∈0,2，故α+β∈0,π，π11若α+β>，则tanα+β<0，<不成立，2tanβtanα+βπ11若0<α+β<，则tanα+β>tanβ，故>，2tanβtanα+βx1=211故<也不成立，故2，tanβtanα+βx2=3114211-tanαtanβ42所以x1+x2=-=，则-=，tanβtanα+β3tanβtanα+tanβ342则tanα+tanβ-1-tanαtanβtanβ=tanα+tanβ⋅tanβ，3化简可得42242tanα-tanβ-tanαtanβ+tanα=0，由方程有解，可知：33322422Δ=tanα-4tanαtanα-≥0，即tanα-122tanα≤0.93解得：0≤tanα≤122，则tanα的最大值为122.·208·,故答案为：122.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球(小球除颜色不同，其余完全相同)，某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球(与盒中小球除颜色不同，其余完全相同)放入盒中，然后继续进行下一轮试验.(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验(若第三轮不成功，也停止试验)，记甲进行的试验轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；*(2)若规定试验者乙至多可进行nn∈N轮试验(若第n轮不成功，也停止试验)，记乙在第n*1kk∈N,k≤n轮使得试验成功的概率为Pk，则乙能试验成功的概率为P(n)=Pk，证明：Pn<.3k=149答案(1)分布列见解析，18(2)证明见解析【分析】(1)由条件确定的X取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；(2)由(1)中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.解析(1)由题意得，X的可能取值为1,2,3，1在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，3121∴PX=1=3=9，1依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，PX=2=411211-9×4=18，5易知PX=3=1-PX=1+PX=2=，6∴X的分布列为：X123115P918611549∴X的数学期望EX=1×+2×+3×=.9186181111(2)证明：当k≥2时，不难知道Pk=1-321-42⋯1-(k+1)2⋅(k+2)2，1111∵1-1-⋯1-⋅3242(k+1)2(k+2)22×43×5k×k+2121=⋅⋯⋅=×，3242(k+1)2(k+2)23k+1k+221211∴Pk=3×=3k+1-k+2k≥2，k+1k+211211由(1)可知P1=9，又P1=9=31+1-1+2，21211*∴Pk=3×=3k+1-k+2k∈N，k+1k+2·209·,n2111111∴P(n)=Pk=32-3+3-4+⋯+n+1-n+2k=1121=-<.33(n+2)31即Pn<.31111【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是得到Pk=1-321-42⋯1-(k+1)2⋅(k+2)2，再利用裂项求和即可证明出不等式.16.（15分）如图，AB是半球O的直径，AB=4,M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON=60°．(1)证明：PB⊥平面PAM：(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．答案(1)证明见解析10(2)51【分析】(1)连接OM,MN,BM，可证Q为BM的中点且PQ=BM，可得PB⊥PM，又PB⊥PA，由线面2垂直的判定可证；(2)以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.解析(1)连接OM,MN,BM，因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，所以有∠MON=∠NOB=60°，又因为OM=ON=OB=2，所以△MON,△NOB都为正三角形，所以MN=NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON=60°,OP=ON，所以三角形OPN为正三角形，1所以PQ=3=BM，所以PB⊥PM，2因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥PA，因为PM∩PA=P，PM,PA⊂平面PAM，·210·,所以PB⊥平面PAM．(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由(1)知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，如图所示，则O0,-1,0,M3,0,0,B-3,0,0,N0,1,0,P0,0,3，所以PM=3,0,-3，OP=0,1,3，OB=-3,1,0，设平面PAB的一个法向量为m=x,y,z，m⋅OP=0y+3z=0则，所以-3x+y=0，m⋅OB=0取x=1，则m=1,3,-1，设直线PM与平面PAB的所成角为θ，3+310所以sinθ=cosPM,m=6×5=5，10故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为．52π17.（15分）设a∈R，函数fx=sinx-cosx-a，x∈2,π.(1)讨论函数fx的零点个数；1(2)若函数fx有两个零点x1，x2，试证明：≤tanx1tanx2-3.1-tanx1tanx2答案(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用分离参数法分类讨论函数fx的零点个数；3π(2)利用根与系数关系和三角函数单调性证明π<x1+x2<，即cosx1+x2<0，令λ=1-tanx1tanx2<220，则将原命题转化为证明λ+2λ+1≥0，显然成立，进而原命题成立得证.2解析(1)fx=-cosx-cosx-a+1，2令fx=0，即cosx+cosx=-a+1，π21当x∈2,π时，令t=cosx∈-1,0，所以t+t∈-4,0，2则fx=0即t+t=-a+1，152所以当-a+1≥0或-a+1<-时，即a≤1或a>时，t+t=-a+1无解；44152当-a+1=-时，即a=时，t+t=-a+1仅有一解；44·211·,152当-<-a+1<0即1<a<时，t+t=-a+1有两解，44555综上，a≤1或a>时，fx无零点；a=时，fx有一个零点；1<a<时，fx有两个零点.444(2)若fx有两个零点x1，x2，2令t1=cosx1，t2=cosx2，则t1，t2为t+t=a+1两解，22则t1+t2=-1，则cosx1+cosx2=-1，则cosx1+2cosx1cosx2+cosx2=1，π由x1,x2∈2,π可得cosx1<0，cosx2<0，则2cosx1cosx2>0，222223π所以cosx1+cosx2<1，所以cosx1<sinx2=cos2-x2，π3ππ由x2∈2,π可得2-x2∈2,π，3π3π所以cos2-x2<0，则cosx1>cos2-x2，π3π由y=cosx在2,π递减，可得x1<2-x2，3π所以π<x1+x2<，所以cosx1+x2<02cosx1cosx2-sinx1sinx2cosx1+x2令λ=1-tanx1tanx2，则λ==<0cosx1cosx2cosx1cosx21要证≤tanx1tanx2-3成立，1-tanx1tanx21即证：≤1-λ-3=-λ-2；λ222即证：λ+2λ+1≥0，因为λ+2λ+1=λ+1≥0显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．218.（17分）已知抛物线：y=2x，直线l:y=x-4，且点b,d在抛物线上．(1)若点a,c在直线l上，且a,b,c,d四点构成菱形abcd，求直线bd的方程；(2)若点a为抛物线和直线l的交点(位于x轴下方)，点c在直线l上，且a,b,c,d四点构成矩形abcd，求直线bd的斜率．答案(1)x+y-2=01(2)3【分析】(1)设出直线bd的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及菱形的几何性质来求得直线bd的方程.(2)先求得a点的坐标，设出直线bd的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及矩形的几何性质求得直线bd的斜率.或设出b,d以及bd中点的坐标，根据矩形的几何性质求得直线bd的斜率.解析(1)由题意知ac⊥bd，设直线bd:x=-y+m．x=-y+m2联立2得y+2y-2m=0，y=2x·212·,则yb+yd=-2,ybyd=-2m，xb+xd=-yb+yd+2m=2m+2，则bd的中点m+1,-1在直线y=x-4上，2代入可解得m=2，y+2y-4=0,δ=20>0，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线BD的方程为x=-y+2，即x+y-2=0．(2)当直线AB,AD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．y=x-4x=2x=8由y2=2x得y=-2或y=4(舍去)，故A2,-2．方法一：当直线AB,AD的斜率存在且不为0时，设直线AB:x-2=ty+2．x-2=ty+22联立2得y-2ty-4t-4=0，所以yA+yB=2t．y=2x2242所以B2t+4t+2,2t+2．同理得D-+2,-+2．t2tt由BD的中点在直线y=x-4上，122412得2t+4t+2+-+2-4=2t+2-+2，2t2t2t211即t++t--4=0．t2t12令t-=p，则p+p-2=0，解得p=-2或p=1．t22t+2--t+211当p=1时，直线BD的斜率kBD===；224t-1+232t+4t+2-t2-t+2t当p=-2时，直线BD的斜率不存在．1所以直线BD的斜率为．3方法二：设Bx1,y1,Dx2,y2，线段BD的中点Ma,a-4，则x1+x2=2a,y1+y2=2a-4．y1+2y2+2y1+2y2+2由AB⊥AD，得⋅=-1，即⋅=-1．x1-2x2-2y2y212-2-222所以y1y2-2y1+y2+8=0．122212又y1y2=y1+y2-y1+y2=4a-4-2x1+x222122=4a-4-4a=2a-18a+32，22故y1y2-2y1+y2+8=0可转化为2a-18a+32-4a-4+8=0，2即a-11a+28=0．解得a=7或a=4．y2-y1y2-y121所以直线BD的斜率kBD=x-x=22=y+y=a-4．21y2y121-221当a=4时，斜率不存在；当a=7时，斜率kBD=．3·213·,1所以直线BD的斜率为．3【点睛】关键点点睛：垂直关系的转化，包括了菱形的几何性质、矩形的几何性质，菱形的对角线相互垂直，矩形的邻边相互垂直，利用垂直关系转化已知条件，列出等量关系式，从而对问题进行求解.19.（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链x-xccce+eex+e-x线”方程y=，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数coshx=，类似地我们可以22x-xe-e定义双曲正弦函数sinhx=.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.2(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.(只写出即可，不要求证明)；(2)∀x∈[-1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0恒成立，求实数m的取值范围；(3)若x∈π,3π，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.42答案(1)2sinhxcoshx；(2)m≥-1；(3)cosh(sinx)>sinh(cosx).【分析】(1)利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.(2)根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.(3)作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.2x-2x(ex-e-x)(ex+e-x)e-e解析(1)sinh2x===2sinhxcoshx.222x-2xx-xe+ee+e(2)依题意，∀x∈[-1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0⇔+m⋅≥0，22x-1x-x1函数u=e在[-1,1]上单调递增，u∈[e,e]，令t=e+e=u+，u1-1-1显然函数t=u+在[e,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增，t∈[2,e+e]，u22x-2xx-x22t-2mt又e+e=(e+e)-2=t-2，于是∀x∈[-1,1]，cosh2x+mcoshx≥0⇔+≥0，22-122-1因此∀t∈[2,e+e]，m≥-t，显然函数y=-t在[2,e+e]上单调递减，tt当t=2时，ymax=-1，从而m≥-1，所以实数m的取值范围是m≥-1.(3)∀x∈π,3π，cosh(sinx)>sinh(cosx).42sinx-sinxcosx-cosx依题意，x∈π,3πe+e-e-e，cosh(sinx)-sinh(cosx)=42221sinxcosx-sinx-cosx=(e-e+e+e)，2·214·,当x∈π,5ππ∈[0,π]，sinx-cosx=2sinx-π≥0，即sinx≥cosx，44时，x-44sinxcosx-sinx-cosx于是e-e≥0，而e+e>0，因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，5π3πcosx-cosx当x∈4,2时，cosx≤0，则-cosx≥cosx，e≤e，cosx-cosxsinx-sinx即e-e≤0，而e+e>0，因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，于是∀x∈π,3π，cosh(sinx)-sinh(cosx)>0，所以cosh(sinx)>sinh(cosx).42【点睛】结论点睛：函数y=fx的定义区间为D，①若∀x∈D，总有m<f(x)成立，则m<f(x)min；②若∀x∈d，总有m>f(x)成立，则m>f(x)max；③若∃x∈D，使得m<f(x)成立，则m<f(x)max；④若∃x∈d，使得m>f(x)成立，则m>f(x)min.·215·,湖南省名校教育联盟2024届高三下学期入学摸底考试数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。11.设复数z满足=-i，则z=()1-z12A.B.C.1D.222答案D【分析】根据题意，得到z=1-i，结合复数模的计算公式，即可求解.1解析由复数=-i，解得z=1-i，所以|z=2.1-z故选：D．1x2.已知集合A=xlog1x≥1，B=yy=2,x≥2，则A∩B=()2A.0,111,11,+∞4B.0,2C.42D.2答案A【分析】由题意解对数不等式结合指数函数值域、交集的概念即可得解.11解析由log1x≥1，得0<x≤2，所以a=x0<x≤221x1又因为b=yy=2,x≥2=y0<y≤4，所以a∩b=b.故选：a．3.下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是()a.这10个月的月销售量的中位数为28b.这10个月的月销售量的平均数为31c.这10个月的月销售量的第75百分位数为34.5d.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差答案b【分析】根据中位数，平均数，百分位数定义计算判断a,b,c选项，根据波动性判断d选项即可.·216·,解析将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的中位28+3数为=29，a错误；225+26+27+⋯+37+40这10个月的月销售量的平均数为=31，b正确;10根据百分位数的定义可知10×75%=7.5，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，c错误；由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，d错误.故选:b．4.设正四面体abcd的棱长为1，e为cd的中点，f，g分别是棱ac,bc上的点，且满足af=2cg=λ，gf⎳平面abe，则λ的值是()1123a.b.c.d.3234答案c【分析】由题意得gf⎳ab，进一步cf=cg，由此可列出出关于λ的方程求解.解析由gf⎳平面abe，平面abc∩平面abe=ab，gf⊂平面abc，得gf⎳ab，λ因为ac=bc，于是cf=cg=，2λ2则cf=ac-af=1-λ==cg，解得λ=.23故选：c．5.已知正项等比数列an(其公比q∈0,1)的前n项积为tn，设甲：a1a11=a7，乙：tn有最大值t5，则甲是乙的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a【分析】根据题意，求得a5=1，得到t5=t4，反之tn有最大值t5，列出不等式组，得到a5不一定为1，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.解析因为an是正项等比数列，且a1a11=a7，可得a1a11=a5a7=a7，又因为a7>0，所以a5=1，因为q∈(0,1)，所以Tn有最大值T5=T4；T5≥T6a6≤1若Tn有最大值T5，则，因为Tn>0，所以，所以不一定有a5=1.T5≥T41≤a5故选：A．π1π6.若cos6-α=3，则sin2α+6=()·217·,424277A.B.-C.D.-9999答案D【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.π1解析因为cos6-α=3，πππ2π127则sin2α+6=cos3-2α=cos26-α=2cos6-α-1=2×3-1=-9.故选：D．27.已知抛物线C：x=4y的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B两点，若D为C的准线上一点，且|AF|=|AD|=3，则△ABD的面积为()151592A.B.C.D.92422答案C【分析】根据抛物线的定义，得到直线AD与抛物线的准线垂直，再由AF=3，得到点A，D的坐标，再由1A，F，B三点共线得到点B的坐标，再由S△ABD=|AD||xA-xB|求解．2解析解：如图所示：不妨设点AxA,yA在第一象限，由题设及抛物线定义知，直线AD与抛物线的准线垂直．因为AF=3，所以yA+1=3,xA=22，即A22,2,D22,-1，又焦点F(1，0)，1由A，F，B三点共线可得xB=-2，B-2,2，1192故S△ABD=|AD||xA-xB|=×3×32=．222故选：C．f(x1)-f(x2)8.已知函数f(x)=xlnx-x，若∀x1>0,x2>0，且x1≠x2，恒有tx1tx2<1，则正实数t的取值范围为e-e()1,+∞C.0,e1A.[e,+∞)B.eD.0,e答案Btx1tx2tx【分析】设0<x1<x2，将不等式转化为f(x1)-e>f(x2)-e恒成立，构造函数gx=fx-e，通过其lnx单调性将问题转化为t≥成立，继续构造函数求最值即可.x解析不妨设0<x1<x2，又t>0，则tx1<tx2，tx1tx2tx1tx2所以f(x1)-f(x2)>e-e，即f(x1)-e>f(x2)-e恒成立，txtx故gx=fx-e单调递减，则gx=lnx-te≤0恒成立，txtxtxtx即xlnx≤txe=elne．当x∈0,1时，xlnx≤0<txe成立，符合题意；·218·,当x∈1,+∞时，设hx=xlnx，则hx=lnx+1>0，故hx单调递增，txtxlnx由he≥hx得e≥x恒成立，即t≥成立．xlnx1-lnx设Hx=，Hx=，xx2则x∈0,e时，Hx>0，当x∈e,+∞时，Hx<0，即Hx在0,e单调递增，在e,+∞单调递减，11Hx≤he=，所以t≥.ee故选：B．txtxtx【点睛】关键点点睛：通过tx=lne将不等式转化为xlnx≤elne，进而可以构造函数来解决问题，常见的xlnx变形有x=lne,x=e.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是()A.B.C.D.答案ACD【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.解析当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A；但无论如何都不能截得B．故选：ACD310.如图，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且AB=，过点A任作一条直线与222圆O:x+y=1相交于M，N两点，则()25225A.圆C的方程为x-1+y-4=16B.圆C与圆O的相交弦所在直线方程为4x+5y+4=0|MA||NB|5C.+=|MB||NA|2|MA||NB|3D.-=|MB||NA|2·219·,答案AC【分析】根据点在圆上待定系数法求解判断A选项,根据两圆作差判断B选项,应用两点间距离公式计算判断C,D选项.222解析由圆C与x轴相切于点T(1，0)，可设圆C的方程为(x-1)+(y-b)=b，22325225225所以b=1+4=4，所以圆C的方程为(x-1)+y-4=16，故A正确；圆C与圆O的方程相减得4x+5y-4=0，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；2125x+y--y|PA|241设Px,y为圆O上任意一点，则===，|PB|x2+(y-2)25-4y2|MA||NA|1|MA||NB|3|NB||MA|5所以==，所以-=-，+=，|MB||NB|2|MB||NA|2|NA||MB|2故C正确，D错误，故选:AC．11.已知函数f(x)=cos(ωx-φ)(ω>0)在-π,ππ=f4π=-f-π，则ω的取值可36上单调，且f633能为()37912A.B.C.D.5557答案ACDπ4π【分析】根据fx的单调性、对称性求得T的范围以及fx的一个零点，根据f6=f3以及图象进行分类讨论，由此求得ω的可能取值.解析因为fxπ,ππ=-f-π，在-36上单调，f63Tπππ所以2≥6--3=2⇒T≥π，ππ-+36πππ4π因为2=-12，所以f-12=0，又f6=f3，4π如下图依次讨论x=对应为点C,A,D,E四种情况，34ππTπ3若3--3=2=ω，则ω=5，满足T≥π；4ππ2π12若-=T=，则ω=，满足T≥π；36ω74ππ+363π3ππ33π9由2=4，若4--12=4T=2ω，则ω=5，满足T≥π；4ππ4π24若-=2T=，则ω=，不满足T≥π，其它情况均不符合.36ω7故选：ACD【点睛】方法点睛：三角函数fx=Asinωx+φ或gx=Acosωx+φ，如果函数在某个区间上单调，则这个区间的长度不大于半周期.形如fx1=fx2的条件，可以考虑对称性或周期性.形如fx1=-fx2的条件，可以考虑对称性(零点).·220·,第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有种．答案14【分析】先分类，考虑乙是第1名和不是第1名两种情况讨论，再由特殊元素优先分步计数.3解析直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有A3=6种排法；112当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有A2⋅A2⋅A2=8种排法，所以这4个人名次排列共有14种．432间接法：这4个人名次排列的可能情况共有A4-2A3+A2=14种．故答案为：14an13.若数列an满足a1=8，an+1=an+n，则的最小值是．n7答案/3.52an【分析】利用累加法求得an，利用基本不等式求得的最小值.n解析由已知a2-a1=1，a3-a2=2，⋯，an-an-1=n-1，n≥2，所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+⋯+(an-an-1)2n-n+16=8+1+2+⋯+(n-1)=,n≥2，2a2nn-n+16n817又a1=8也满足上式，所以==+-≥，当且仅当n=4时取等号，n2n2n22an7所以的最小值是．n27故答案为：22y2x14.已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ:+=1(a>b>0)上，其中A，B分别为Γ的左顶点和上顶点，22ab若以B为顶角的等腰△ABC恰好有3个，则直线AB的斜率的取值范围为．3答案0,322【分析】根据已知条件，△ABC的第三个顶点C在以B为圆心，以AB=a+b为半径的圆上,结合题意2y22x2222c2将问题转化为椭圆+=1与圆x(y-b)=a+b有四个公共点，联立方程可得-y=2by，结合222abb32bb3已知条件确定y=->-b，进而求得0<<取值范围为即可.c2a3·221·,解析22由题意知△ABC的第三个顶点C在以B为圆心，以AB=a+b为半径的圆上，要使以B为顶角的等腰△ABC恰好有3个，2y2x2222则需要满足椭圆+=1与圆x(y-b)=a+b有四个公共点；22ab2y2x232+2=1c22b由ab，得-2y=2by，所以y=0或y=-2；x2+y-b2=a2+b2bc当y=0时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当C位于右顶点处满足条件；332b2b当y=-2时，要满足椭圆与圆有两个不同交点C2,C3，需要y=-2>-b，cc222222b3即2b<c=a-b，即a>3b，且a>0，b>0，解得0<<，a3b-0b因为A-a,0，B0,b，所以kAB==，0--aa3所以直线AB的斜率的取值范围为0,．33故答案为：0,32y2x2222【点睛】关键点点睛：根据已知条件，将问题转化为求椭圆+=1与圆x(y-b)=a+b有四个公共22ab点去解决.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。C15.（13分）在△ABC中，已知3tan=2sin(A+B)．2(1)求角C的大小；(2)若AB=3AD，CD=2AD，试判断△ABC的形状并说明理由．π答案(1)C=3(2)直角三角形，理由见解析C3【分析】(1)已知等式，由同角三角函数的商数关系和诱导公式倍角公式化简得cos=，可求角C的22大小；πππ(2)设∠ACD=θ0<θ<3，则B=∠BCD=3-θ，A=3+θ，△ACD中，由正弦定理得sinA=π3132sinθ，由sin3+θ=2cosθ+2sinθ=2sinθ，化简得tanθ=3，ππ得θ=，A=．62·222·,C3sinC2CC解析(1)因为3tan=2sin(A+B)，所以=2sin(π-C)=2sinC=4sincos，2C22cos2CπCC由0<c<π，有0<<，则sin≠0,cos>0，2222C3Cππ所以cos=，得=，故C=．22263(2)由AB=3AD,CD=2AD，可知CD=BD=2AD．πππ设∠ACD=θ0<θ<3，则B=∠BCD=3-θ，A=3+θ．在△ACD中，CD=2AD，由正弦定理得sinA=2sinθ，π313即sin3+θ=2cosθ+2sinθ=2sinθ，化简得3cosθ=3sinθ，即tanθ=3，πππ因为0<θ<，所以θ=，所以sinA=1，A=．362故△ABC是直角三角形．16.（15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，D，E分别为AB，BB1的中点，若AE⊥A1C，平面ABC⊥平面AA1B1B．(1)求证：CD⊥平面AA1B1B；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，求直线AE与平面A1BC所成角的正弦值．答案(1)证明见解析25(2)．5【分析】(1)根据面面空间垂直性质定理及线面垂直判定定理证明即可；(2)空间向量法求解线面角即可.解析(1)因为D，E分别为AB，BB1的中点，AA1B1B是正方形，所以AE⊥A1D，因为AE⊥A1C，A1D∩A1C=A1，A1D⊂平面A1CD,A1C⊂平面A1CD,所以AE⊥平面A1CD，故AE⊥CD．因为平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，且AA1⊥AB,AA1⊂平面AA1B1B，所以AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC,故AA1⊥CD．因为AA1∩AE=A，AA1⊂平面AA1B1B，AE⊂平面AA1B1B,所以CD⊥平面AA1B1B．(2)由三棱柱ABC-A1B1C1中的体积为4可得CD=2．以DA所在直线为x轴，过D作AB的垂线为y轴，DC所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，·223·,则A(1，0，0)，B(-1，0，0)，C(0，0，2)，A11,2,0，E(-1，1，0)，AE=-2,1,0,BA1=2,2,0,BC=1,0,2．设平面A1BC的法向量为m=x,y,z，m⋅BA1=02x+2y=0,由得取m=2,-2,-1．m⋅BC=0x+2z=0.m⋅AE25设直线AE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ==5．m⋅AE25故直线AE平面A1BC所成角的正弦值为．517.（15分）某电视台综艺节目邀请甲、乙两位好友参加了“心有灵犀、竟猜谜语”活动：即从5个谜语中随机抽取3个，让甲负责比划，乙负责猜谜语．已知甲会比划其中3个谜语，这3个谜语乙猜对的概率都为2，另外2个不会比划的谜语乙无法猜对．3(1)求甲、乙配合猜对1个谜语的概率；(2)设甲、乙配合猜对谜语个数为X，求X的分布列和数学期望．22答案(1)456(2)分布列见解析，5【分析】(1)根据抽中甲会比划的谜语的个数进行分类讨论，根据概率计算公式求得正确答案.(2)X的可能取值为0,1,2,3，由此根据概率计算公式求得分布列，并求得数学期望.解析(1)设“抽中甲会比划的谜语的个数为ii=1,2,3”为事件Ai，“乙猜对的谜语的个数为jj=0,1,2,3”为事件Bj，“甲乙配合猜对1个谜语”为事件C．甲乙配合猜对1个谜语，则PC=PA3B1+PA2B1+PA1B1302112C3C21212C3C2121C3C2222=3⋅C3×3×3+3⋅C2×3×3+3×3=45，C5C5C522所以甲乙配合对1个谜语的概率为．45(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，302112C3C213C3C212C3C2123P(X=0)=P(A3B0)+P(A2B0)+P(A1B0)=3×3+3×3+3×3=135，C5C5C522P(X=1)=P(C)=P(A3B1)+P(A2B1)+P(A1B1)=，453021C3C22221C3C22214P(X=2)=P(A3B2)+P(A2B2)=3⋅C3×3×3+3×3=45，C5C530C3C2234P(X=3)=P(A3B3)=3×3=135．C5·224·,所以X的分布列为X01232322144P135454513523221446数学期望EX=×0+×1+×2+×3=．13545451355218.（17分）设动点Mx,y与定点F22,0的距离和它到定直线l:x=的距离之比等于2，记点M的轨2迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设F1(-2,0)过点F2的直线与C的右支相交于A，B两点，I是△F1AB内一点，且满足|F1B|⋅IA+|BA|⋅IF1+|AF1|⋅IB=0，试判断点I是否在直线l上，并说明理由．22答案(1)x-y=1(2)点I在直线l上，理由见解析22x-2+y【分析】(1)根据题意，列出方程=2，化简即可得到曲线C的方程；2x-2(2)由F1Bx1-x,y1-y+BA-2-x,-y+AF1x2-x,y2-y=0,0，求得x=F1Bx1+F1Ax2-2AB，分AB⊥x和AB与x轴不垂直，两种情况讨论，设直线AB:y=kx-2，联立F1B+AB+AF12方程组求得F1A=1+2x1，进而求得x=，即可求解.22解析(1)由动点M(x,y)与定点F22,0的距离和它到定直线l:x=的距离之比等于2，222x-2+y22可得=2，化简得x-y=1，2x-222故所求曲线C的方程为x-y=1．(2)点I在直线l上．因为F1-2,0，设点I,A,B的坐标分别是x,y,x1,y1,x2,y2，由题设得F1Bx1-x,y1-y+BA-2-x,-y+AF1x2-x,y2-y=0,0，F1Bx1+F1Ax2-2AB解得x=，F1B+AB+AF1当AB⊥x轴时，x1=x2=2，F1B=F1A=3,AB=2，62-222代入有x==，所以点I在直线l上，82当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=kx-2，因为曲线C的渐近线的斜率为±1，且直线AB与曲线C的右支相交于两点，所以k>1，y=kx-22222联立方程组22，整理得1-kx+22kx-2k+1=0，x-y=122-22k-2k-1此时Δ>0，可得x1+x2=2,x1x2=2，1-k1-k2222则F1A=x1+2+y1=x1+2+x1-1=1+2x1，同理F1B=1+2x2,AB=-1+2x1+-1+2x2=-2+2x1+x2．·225·,22-22k8k于是F1B+AB+AF1=22x1+x2=22⋅2=2，1-kk-1F1Bx1+F1Ax2-2AB=1+2x2x1+1+2x1x2-2-2+2x1+x2=x1+x2+22x1x2+22-2x1+x2=22x1x2-x1+x2+22-2k2+1222222k2k+1-k42k=22⋅++22=22++1=，1-k21-k2k2-1k2-1k2-1242k2k-12所以x==，所以点I在直线l上．8k222k-1.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量k)；②利用条件找到k过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系，得到关于k与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.219.（17分）已知函数f(x)=x-1-axlnx,a∈R．(1)若fx是单调递增函数，求a的取值范围；7(2)若fx存在三个零点x1,x2,x3，且x1+x2+x3<，求a的取值范围．2答案(1)0,23(2)2,2ln2．【分析】(1)依题意fx≥0,x∈0,+∞恒成立，分a<0、a=0、a>0三种情况讨论，当a>0时求出fxmin，由fxmin≥0求出参数的取值范围；1(2)由f1=0可得1为函数fx的一个零点，若tt≠1是函数fx的零点，推出也是函数fx的ta2零点，结合(1)可得a>2，从而得到存在x0∈2,4a，使得fx0=0，即可得到fx的单调性，结合零点存在性定理得到fx在x0,+∞上存在唯一零点，即可得到fx有三个零点，不妨设x1<x2<x3，由7x1+x2+x3<，得到1<x3<2，从而得到0=fx3<f2=3-2aln2，即可求出参数的取值范围．2解析(1)由题设知fx=2x-alnx+1≥0,x∈0,+∞恒成立．若a<0，当x>0且x→0，fx→-∞，不符合题意；若a=0，则fx=2x>0，满足题意；aa若a>0，令mx=fx=2x-alnx+1,x∈0,+∞，则mx=2-，令mx=0，得x=．x2aa当x∈0,2时mx<0，则mx即fx单调递减，x∈2,+∞时mx>0，则mx即fx单调递增，·226·,aa故fx的最小值为f2=-aln2．aa由题设知f2=-aln2≥0，即0<a≤2．综上可知a的取值范围是0,2．(2)因为f1=0，所以1是函数fx的一个零点．2若tt≠1是函数fx的零点，即t-1-atlnt=0，211a11+atlnt-t1则f=-1-ln==0，即是函数fx的零点，tt2ttt2t故函数fx在1,+∞和0,1上各有一个零点，且它们互为倒数．由(1)可知，当0≤a≤2时，fx在0,+∞上单调递增，不符合题意；当a<0，x∈1,+∞时，fx=2x-a1+lnx>0，fx单调递增，因此fx>f1=0，即fx在1,+∞上不存在零点，此时fx也只有一个零点1，不符合题意；11-x令hx=lnx-x+1，则hx=-1=，所以当0<x<1时hx>0，当x>1时hx<0，xx所以hx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以hxmax=h1=0，即lnx-x+1≤0恒成立，当且仅当x=1时取等号，即lnx≤x-1恒成立，当且仅当x=1时取等号，aa当a>2时，由(1)可知x∈0,2时，fx单调递减，x∈2,+∞时，fx单调递增，aa且f2=-aln2<0，f1=2-a<0，222f4a=8a-a1+ln4a=a8a-1-2ln2a>a8a-1-2(2a-1=a4a+1>0，a2因此存在x0∈2,4a，使得fx0=0，当x∈1,x0时fx<0，fx单调递减，当x∈x0,+∞时fx0>0，fx单调递增，因此fx0<f1=0，243243433f4a=16a-1-4aln4a=16a-1-8aln2a>16a-1-8a2a-1=8a-1>0，因此，fx在x0,+∞上存在唯一零点，此时fx有三个零点x1,x2,x3，设x1<x2<x3，则0<x1<1=x2<x3，x1⋅x3=1．715又因为x1+x2+x3<，所以x3+<，从而1<x3<2．2x323因为fx在x0,+∞上单调递增，所以0=fx3<f2=3-2aln2，解得a<．2ln23综上可知a的取值范围是2,2ln2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．·227·,广东省、福建省、甘肃省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a=-1,0,1,2,b={xx-1>1，则A∩B=()A.0B.-1C.-1,0,1D.-1,0,1,2答案B【分析】解不等式得到B=-∞,0∪2,+∞，利用交集的概念求出答案.解析x-1>1，解得x-1>1或x-1<-1，解得x>2或x<0，故B=-∞,0∪2,+∞，又A=-1,0,1,2，故A∩B=-1.故选：B2.3+2i2-2i=()A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i答案D【分析】根据复数的运算求解即可.2解析3+2i2-2i=6-6i+4i-4i=10-2i.故选：Dx3.已知f2=x，则f3=()A.8B.9C.log23D.log32答案C【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案.x解析令2=3，可得x=log23，则f3=log23.故选：C4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是()农村居民消费水平×农村人口数+城镇居民消费水平×城镇人口数(居民消费水平：)农村人口数+城镇人口数·228·,A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多答案D【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念y12188进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为x，城镇人口数为y，则可列出方程，得到=>x65713，故D正确.2解析A选项，2019年的居民消费水平为27504元，2020年的居民消费水平为27439元，2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；B选项，2019年的城镇居民消费水平为34900元，2020年的城镇居民消费水平为34043元，2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,31718，由于5×60%=3，故2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，27504+31013即=29258.5元，C错误.219530x+38289yD选项，设2022年我国农村人口数为x，城镇人口数为y，则31718=，x+yy121883化简得=>，x65712所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.故选：Dπππ5.已知sinα-4+cosα-4=sinα，则tanα-4=()2A.0B.1C.-1D.2答案Cππ【分析】根据辅助角公式得到sinα-4+cosα-4=2sinα，从而得到2sinα=sinα，求出sinα=0，故α=kπ,k∈Z，结合诱导公式求出答案.ππππ解析因为sinα-4+cosα-4=2sinα-4+4=2sinα，所以2sinα=sinα，则sinα=0，即α=kπ,k∈Z，ππ所以tanα-4=tankπ-4=-1.故选：C6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面ABCD中，AB=AD=10cm，CD=15cm，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为()·229·,ππππA.B.C.D.3246答案B【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为α，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+10，再根据弧长公式即可得解.解析由题意图1中小扇形的弧长为10π，大扇形的弧长为15π，设扇形的圆心角为α，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+10，r=20αr=10π所以αr+10=15π，解得α=π，2π所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.2故选：B.7.过原点O的直线l:y=kx与圆M:x22-6x+y-6y+16=0交于A,B两点，且OA=AB，则k=()1A.1B.2C.D.22答案A【分析】设圆心M到直线l:y=kx的距离为d，且AB的中点为C，根据题意得到OC=3AC，结合圆的性质和弦长公式，列出方程，求得d=0，利用斜率公式，即可求解.2222解析由圆M:x-6x+y-6y+16=0，即圆(x-3)+(y-3)=2，圆心为M3,3，设圆心M到直线l:y=kx的距离为d，且AB的中点为C，因为OA=AB，所以OC=3AC，22222又因为OM=3+3=32，所以OC=|OM|-d=18-d，222因为AC=2-d，所以18-d=32-d，解得d=0，3-0所以直线l经过圆心M3,3，所以k==1.3-0故选：A.π8.已知函数fx=sinωx+φ(ω>0)，若任意φ∈R,fx在0,2上有零点，则ω的取值范围为()·230·,A.0,+∞B.1,+∞C.2,+∞D.3,+∞答案Cπω【分析】令t=ωx+φ，转化为sint=0在φ,2+φ上有解，结合三角函数的性质，即可求解.ππω解析由x∈0,2，可得ωx+φ∈φ,2+φ，π令t=ωx+φ，因为任意φ∈R,fx在0,2上有零点，πω则sint=0在φ,2+φ上有解，又因为sint=0在a,b内有解的最短区间长度为b-a=π，πω所以+φ-φ>π，解得ω>2.2故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。2y2x9.已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，直线y=b与双曲线Cab的渐近线交于点A,B(A在第二象限，B在第一象限)，下列结论正确的是()A.BF1⊥BF2B.BF2∥AOC.若△OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为4D.若△OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为8答案AC【分析】根据OB=c=OF1=OF2即可判断A,根据两直线的斜率即可判断B，根据面积关系，结合不等式即可求解CD.b解析由于双曲线的渐近线方程为y=±x，所以Ba,b，A-a,b,a故OB=c=OF1=OF2，点B在以O为圆心，OF1为半径的圆上，所以BF1⊥BF2，A正确.bbF2c,0，直线BF2的斜率为-，直线AO的斜率为-,c-aabb由于-与-不一定相等，所以直线BF2与直线AO不一定平行，B错误.c-aa1△OAB的面积为⋅2a⋅b=ab=2，双曲线C的焦距为2222c=2a+b≥22ab=24=4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以双曲线C的焦距的最小值为4,C正确，D错误.故选：AC·231·,10.如图，三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,⋯排列而成，按照此规律，下列结论正确的是()A.数阵中前7行所有数的和为1190B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101C.数阵中第10行的第1个数是137D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146答案ACD【分析】设等差数列2,5,8,11,14,⋯的通项公式为bn=3n-1，根据等差数列求和公式判断A，令bn=101求出n，即可判断B，记每一行的第1个数组成数列an，则an-an-1=3×n-1，利用累加法求出an的通项，即可判断C、D.解析设等差数列2,5,8,11,14,⋯的通项公式为bn=3n-1.数阵中前7行共1+2+3+⋯+7=28个数，28×27×3所以数阵中前7行所有数的和为2×28+=1190，故A正确.2令bn=3n-1=101，解得n=34，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，故B错误.记每一行的第1个数组成数列an，则a1=2,a2-a1=3,a3-a2=6=3×2,a4-a3=9=3×3,⋯,an-an-1=3×n-1，3nn-1累加得an-a1=3×1+2+3+⋯+n-1=，223n-3n+4所以an=，则a10=137，故C正确.2数阵中第10行从左至右的第4个数是137+4-1×3=146，故D正确.故选：ACD11.已知定义在R上的函数fx满足fx×fx-fx-y=fxy，当x∈-∞,0∪0,+∞，时，fx≠0.下列结论正确的是()11A.f2=2B.f10=1C.fx是奇函数D.fx在R上单调递增答案ACD【分析】利用赋值法得到fx=-f-x，由此判断出fx的奇偶性.利用赋值法求得f0,f1，进而求1得f10,f2，根据函数单调性的定义，计算fx1-fx2的符号来判断函数fx的单调性.解析令x=y=0，可得f0=0.2令x=y=1，可得f1=f1.因为当x>0时，fx≠0，所以f1=1.22令x=y，可得fx=fx≥0.2因为x≥0，所以当x≥0时，fx≥0.又因为当x>0时，fx≠0，所以当x>0时，fx>0.令y=1，可得fx×fx-fx-1=fx，①所以fx-fx-1=1,fx+1-fx=1，两式相加可得fx+1-fx-1=2.令y=-1，可得fx×fx-fx+1=f-x.②①-②可得fx×fx+1-fx-1=fx-f-x，化简可得fx=-f-x，所以fx是奇函数，C正确.由fx-fx-1=1，可得：·232·,f2=f1+1=2,f3=f2+1=3,f4=f3+1=4,⋯,f10=10，B错误.11f-f-=1fx+1-fx=12211由可得11解得f2=2，A正确.fx=-f-xf=-f-22fx1x1-x2令x=x1,y=x1-x2，可得fx1-fx2=.fx1令0<x2<x1，则x1-x2>0,x1x1-x2>0.因为当x>0时，fx>0，所以fx1>0,fx1x1-x2>0，fx1x1-x2所以fx1-fx2=>0，即fx1>fx2，fx1所以fx在0,+∞上单调递增.因为fx为奇函数，所以fx在R上单调递增，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数x1,x2，且x1<x2，然后通过计算fx1-fx2的符号，如果fx1-fx2<0，则fx在给定区间内单调递增；如果fx1-fx2>0，则fx在给定区间内单调递减.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．2p12.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，点P4,a在抛物线C上，且PF=3，则p=.答案4pp【分析】根据弦长公式得到PF=+=3，计算得到答案.42ppp解析点P4,a在抛物线C上，PF=4+2=3，解得p=4.故答案为：4.13.甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的3概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为，本次比赛甲获胜5的概率为.1281答案/0.48/0.64825125【分析】空1：根据独立事件的乘法公式求解本次比赛到第3局才分出胜负的概率；空2：利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲获胜的概率即可.322312解析到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为×+×=.555525339若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为×=，552532323336②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为××+××=.55555512593681故甲获胜的概率为+=.251251251281故答案为：，2512514.如图，将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1斜立在平面α上，顶点C1在平面α内，AC1⊥平面α,AA1=2AB=6.点P在平面α内，且PC1=3.若将该正四棱柱绕AC1旋转，PC的最大值为.·233·,答案51【分析】过点C作CE⊥AC1，垂足为E，连接AC，过点C作CC⊥平面α，垂足为C，当C,C1,P三点共线，且CP=CC1+C1P时，PC取得最大值，进而可得出答案.解析过点C作CE⊥AC1，垂足为E，连接AC，因为AC1⊥平面α，所以CE⎳平面α，22所以点C到平面α的距离为C1E.AC=32,AC1=AC+CC1=36，AC⋅CC122CE==23,C1E=CC1-CE=26，AC1过点C作CC⊥平面α，垂足为C，当C,C1,P三点共线，且CP=CC1+C1P时，PC取得最大值，2222最大值为C1E+CC1+C1P=C1E+CE+C1P=51.故答案为：51.【点睛】关键点点睛：过点C作CC⊥平面α，垂足为C，由C,C1,P三点共线，且CP=CC1+C1P时，PC取得最大值，是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知正项等比数列an满足a1+a2=6,a1a3=a1.(1)求an的通项公式；Mn+mn(2)记an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn(规定：M1=m1=a1)，令bn=，求数列bn的前n2项和Sn.n答案(1)an=2n(2)Sn=2+n-1【分析】(1)设等比数列an的公比为q，根据题意，列出方程组，求得a1,q的值，进而求得an的通项公式；Mn+mnn-1(2)由数列an是递增数列，得到bn==2+1，结合等比数列的求和公式，即可求解.2解析(1)解：设等比数列an的公比为q，其中q>0，a1+a1q=6因为a1+a2=6,a1a3=a1，可得23，解得a1=q=2或q=-3(舍去)，a1⋅a1q=a1qn所以an的通项公式为an=2.(2)解：由an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，·234·,n因为an是递增数列，所以Mn=2,mn=2，M+mnnnn2+2n-11-2n可得bn===2+1，所以Sn=-n=2+n-1.221-216.（15分）将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.(1)求数字2填在第2个空格中的概率；(2)记数字2填在第x个空格中的概率为Px，求Px的最大值.1答案(1)161749(2)3201【分析】(1)由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；(2)由题意可得2≤x≤98，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.解析(1)由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，13C971所有可能的情况有C99种，故数字2填在第2个空格中的概率为3=.C991617(2)由题意可得2≤x≤98，且x∈N+，1填在第x个空格的前x-1格中1格，3填在第x个空格的后99-x格中1格.11Cx-1C99-xx-199-x故Px==.33C99C9924949当x=50时，Px取得最大值，最大值为=C332019917.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥AC,BD⊥PC,PA=AB.(1)证明：PA⊥平面ABCD.(2)若PC=4PE,∠ABC=60°，求二面角A-BD-E的余弦值.答案(1)证明见解析10(2)10【分析】(1)由BD⊥AC且BD⊥PC，证得BD⊥平面PAC，得BD⊥PA，又PA⊥AC，可证得PA⊥平面ABCD.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.·235·,解析(1)证明：记AC∩BD=O，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又BD⊥PC，PC,AC⊂平面PAC，AC∩PC=C，所以BD⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA.又PA⊥AC，AC,BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，所以PA⊥平面ABCD.(2)以O为坐标原点，分别以OC,OD的方向为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=4，PA=AB，PC=4PE，∠ABC=60°，则C2,0,0,B0,-23,0,D0,23,0,A-2,0,0,P-2,0,4,E-1,0,3，BD=0,43,0，BE=-1,23,3，m⋅BD=43y=0.设平面BDE的一个法向量为m=x,y,z，则m⋅BE=-x+23y+3z=0,令x=3，有y=0,z=1，得m=3,0,1.平面ABD的一个法向量为n=0,0,1.n⋅m110cosn,m===10，nm1010易得二面角A-BD-E为锐角，故二面角A-BD-E的余弦值为.102y2x118.（17分）已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为F1,0，且离心率为a2b22(1)求椭圆C的方程；32225(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，证明:圆x-4+y=16恒与以弦AB为直径的圆相切.2y2x答案(1)+=143(2)证明见解析【分析】(1)结合题意，利用离心率及焦点等知识计算即可；1(2)设出直线l，借助韦达定理、弦长、距离等知识验证两圆的圆心距为两圆的半径差，即证明AB-25MN=成立即可.4c1解析(1)由题意得椭圆C的半焦距c=1，且e==，所以a=2.a22y2222x又因为b=a-c=3，所以椭圆C的方程为+=1.43(2)当直线l的斜率为0时，直线l的方程为x=022此时AB为椭圆C的长轴，以弦AB为直径的圆的方程为x+y=4，该圆的半径为2.32225553圆x-4+y=16的半径为4，两圆的圆心距为2-4=4.·236·,32225满足圆x-4+y=16恒与以弦AB为直径的圆相切.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点为Mx0,y0，x=ty+1,联立22得3t2+4y2+6ty-9=0，xy+=1,436t9所以y1+y2=-2,y1y2=-2，3t+43t+4y1+y23t4y0=2=-2,x0=ty0+1=2.3t+43t+4212t+122AB=1+ty1+y2-4y1y2=2.3t+4322253记圆x-4+y=16的圆心为N4,0，4323t29t2+4MN=3t2+4-4+-3t2+4=43t2+4.6t2+1253t2+419t+45AB-MN=-==.23t2+443t2+443t2+4432225满足圆x-4+y=16恒与以弦AB为直径的圆相切.32225综上，圆x-4+y=16恒与以弦AB为直径的圆相切.15【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将两圆内切问题转化为AB-MN=是否成立,设出直24线，借助韦达定理、弦长等知识即可证明.19.（17分）已知函数fx=2x-a.(1)若曲线y=fx在点a,fa处的切线过点4,2，求a的值；x-1(2)若fx≤ae恒成立，求a的取值范围.答案(1)4(2)1,+∞11【分析】(1)求得fx=，得到fa=a且fa=，求得切线方程，将点4,2代入切线方2x-aa程，即可求解；22x-222x-222x-222x-2(2)转化为ae≥2x-a，令gx=ae-2x+a，求得gx=2ae-1，令hx=ae-1，求得ahx是增函数，得到x=1-lna，再令ua=1-lna-，求得ua是减函数，结合u1>0,u2<0，2a得到存在a0∈1,2，使得1-lna>，再分a∈a0,+∞和a∈0,a0，两种情况讨论，得到g(x)min=22lna+a-1，令va=2lna+a-1，所以va是增函数，进而结合g(x)min>0，即可求解.·237·,1解析(1)解：由函数fx=2x-a，可得fx=，2x-a1则fa=a且fa=，a1曲线y=fx在点a,fa处的切线方程为y-a=x-a.a1因为该直线过点4,2，所以2-a=4-a，解得a=4.ax-1a(2)解：因为fx=2x-a≤ae，所以a>0，且x>，222x-2两边平方可得ae≥2x-a，22x-2a22x-2令函数gx=ae-2x+ax>2，可得gx=2ae-1，22x-222x-2令函数hx=ae-1，可得hx=2ae>0，所以hx是增函数，22x-2令gx=2ae-1=0，可得x=1-lna，a下面比较1-lna与的大小：2aa+2令函数ua=1-lna-，ua=-<0，ua是减函数，22a1因为u1=>0,u2=-ln2<0，2a所以存在a0∈1,2，使得当a∈0,a0时，ua>0，即1-lna>，2a若a∈a0,+∞，可得ua≤0，即1-lna≤.2a若a∈0,a0，当x∈2,1-lna时，hx<0，即gx<0；当x∈1-lna,+∞时，hx>0，即gx>0，a所以gx在2,1-lna上单调递减，在1-lna,+∞上单调递增，2-2lna且g(x)min=g1-lna=ae-21-lna+a=2lna+a-1，2令函数va=2lna+a-1,va=+1>0，所以va是增函数，a由题意可得g(x)min=2lna+a-1≥0，又因为v1=0，所以1≤a<a0，a当a∈a0,+∞时，g(x)min=g2>0，符合题意.综上可得，实数a的取值范围为1,+∞.·238·,山东省齐鲁名校联盟2024届高三下学期开学质量检测数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx-1<3,B=x5≤x≤12，则A∩B=()A.5,10B.1,12C.5,10D.1,12答案C【分析】解不等式得到A=x1≤x<10，根据交集的概念求出答案.解析A=xx-1<3=x1≤x<10，故A∩B=x5≤x<10=5,10.故选：C2.已知复数z=-1+i,z-az=-6+bia,b∈R，则b=()A.-5B.-4C.-3D.-1答案B【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.解析-1+i-a-1-i=-6+bi，故a-1+1+ai=-6+bi，a-1=-6a=-5所以，解得.1+a=bb=-4故选：B2y2x3.“3<m<11”是“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()11-mm-3a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b2y2x【分析】首先求出“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，从而即可判断.11-mm-32y2x解析方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆等价于m-3>11-m>0，解得7<m<11，11-mm-32y2x所以“3<m<11”是“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.11-mm-3故选：b.4.已知圆台的母线长为237，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为()a.184πb.188πc.192πd.196π答案d【分析】根据轴截面，求出圆台的高，利用圆台的体积公式直接求出圆台体积.解析如图：做圆台的轴截面·239·,由已知条件：oc=3，o1b=5，在rt△chb中，hb=2，bc=237，∠chb=90°，22所以ch=bc-bh=4×37-4=12，πh2212π所以圆台的体积为：v=r+r+rr=9+25+3×5=196π.33故选：d1-0.55.已知a=log37,b=log936,c=2，则()a.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a答案B【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法求解即可.解析因为a=log37=log949>log936=b，1-0.5332c=2=2<2=log99=log927<b，所以a>b>c.故选：B.2π12sin2θ-cosθ6.已知θ∈,π,tan2θ=，则=()25cos2θ+4sin2θ161116A.-B.-C.D.317731答案Aπ3【分析】由正切二倍角公式及θ∈2,π，求出tanθ=-2，结合二倍角公式和齐次化化弦为切，代入求值即可.2tanθ12解析tan2θ==，1-tan2θ5223故10tanθ=12-12tanθ，解得tanθ=或tanθ=-，32π3因为θ∈2,π，所以tanθ<0，故tanθ=-2，222sin2θ-cosθ2sinθcosθ-cosθ2sinθcosθ-cosθ==222222cos2θ+4sinθcosθ-sinθ+4sinθcosθ+3sinθ32×--12tanθ-12-416====-.1+3tan2θ3227311+3×-1+24故选：A7.已知向量a,b,c满足a=b=2，a-b=2，2a-c=3，则c-b的最大值为()A.3B.23C.33D.43答案C·240·,【分析】利用向量运算的几何意义，数形结合求最大值.解析因为a=b=a-b=2，所以可以构造如图正△OAB：使得：OA=a，OB=b，延长OA到D，使得OD=2a，以D为圆心，3为半径作圆，因为2a-c=3，所以OC的终点C在这个圆上.所以c-b=OC-OB=BC所以BC≤BD+DC，22而BD=AD+AB-2AB·ADcos120°=23，CD=3.所以c-b≤33.故选：C238.已知函数f(x)=mx-xlnx存在极小值点x0，且f(x0)<-e，则实数m的取值范围为()1212A.0,B.0,C.0,D.0,e2e2e3e3答案D【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出f(x0)3<-e的解集，再利用导数求出m的范围.2解析函数f(x)=mx-xlnx的定义域为(0,+∞)，求导得f(x)=2mx-1-lnx，当m≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(1)=2m-1<0，2m-12m-12m-1f(e)=2me-1-(2m-1)=2m(e-1)>0，则存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=0，当x∈(0,x1)时，f(x)>0，f(x)递增，当x∈(x1,+∞)时，f(x)<0，f(x)递减，函数f(x)在x=x1取得极大值，无极小值，不符合题意；1当m>0时，令g(x)=f(x)=2mx-1-lnx，求导得g(x)=2m-，显然g(x)在(0,+∞)上单调递增，x11当x∈0,2m时，g(x)<0，函数f(x)递减，当x∈2m,+∞时，g(x)>0，函数f(x)递增，1于是f(x)min=f2m=ln2m，1当2m≥1，即m≥时，f(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)无极值，22211m2mm2m当0<m<2时，f2m<0，而fe=e-1-lne=e-lnm>0，1存在x2∈0,2m，使得f(x2)=0，当x∈(0,x2)时，f(x)>0，函数f(x)递增，·241·,1当x∈x2,2m时，f(x)<0，函数f(x)递减，函数f(x)在x=x2取得极大值，122122又f=-1+2lnm，令h(x)=-1+2lnx,0<x<，求导得h(x)=-+<0，m2mx2x2x111函数h(x)在0,上单调递减，h(x)>h=3-2ln2>0，则f>0，22m211存在x3∈2m,+∞，使得f(x3)=0，当x∈2m,x3时，f(x)<0，函数f(x)递减，当x∈(x3,+∞)时，f(x)>0，函数f(x)递增，函数f(x)在x=x3取得极小值，因此x3=x0，1+lnx02x0-x0lnx03由f(x0)=0，得mx0=，f(x0)=mx0-x0lnx0=<-e，22-33即有x0-x0lnx0+2e<0，令φ(x)=x-xlnx+2e,x>1，求导得φ(x)=-lnx<0，333函数φ(x)在(1,+∞)上单调递减，而φ(e)=0，即有φ(x0)<φ(e)，于是x0>e，1+lnx01+lnx3-lnx3显然m=，令u(x)=,x>e，求导得u(x)=<0，即函数u(x)在(e,+∞)上单调递2x02x2x2减322212因此u(x)<u(e)=，即m<，又<，则0<m<，e3e3e32e32所以实数m的取值范围为0,.e3故选：d【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0,ω>0,-2<φ<2的部分图象如图所示，则()·242·,πA.φ=4kπ3πB.fx图象的对称中心为2+8,0,k∈ZC.fxπ在,π上的值域为-22,225πD.将fx的图象向左平移个单位长度后得gx=-22sin2x的图象8答案BC【分析】由函数的图象确定函数的解析式，逐一判断各选项的准确性.解析根据函数的图象，可设：fxπ=22cosωx-8，ωπ2ωππ由f0=2得：cos=⇒=2kπ±⇒ω=16k±2，k∈Z.8284Tπ2ππ又>⇒=T>⇒0<ω<4.48ω2所以ω=2.π所以fx=22cos2x-4.π所以φ=-，A错误；4ππkπ3πkπ3π由2x-4=kπ+2⇒x=2+8，k∈Z，得函数的对称中心为：2+8,0，k∈Z，故B对；π3ππ7ππ2π由2≤x≤π⇒4≤2x-4≤4⇒-1≤cos2x-4≤2⇒-22≤22cos2x-4≤2，即fxπ在,π上的值域为-22,2，故C对；2将fx5π个单位后得：y=22cos2x+5π-π的图象向左平移884=22cos2x+π=-22cos2x，故D错；故选：BC11.在四棱锥S-ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P为棱SB上一点，则下列结论正确的是()A.点C到平面SAD的距离为33B.若SP=PB，则过点A,D,P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为2C.四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π3D.直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为3答案ACD【分析】对于A，首先证明AD⊥面SDC，由此即可进一步通过解三角形验算；对于B，准确画出截面，得截·243·,面四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，由此即可验算；对于C，得出r=2，其2CD2中r为△SCD外接圆半径，结合R=r+可得外接球半径，进而即可验算；对于D，由直线AP与2平面SCD所成角为∠APD，即可判断.解析如图，对于A，因为AD⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC⊂面SDC，所以AD⊥面SDC，所以点A到平面SDC的距离为AD=BC=1，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，3所以点C到平面SAD的距离为×2=3，故A正确；2对于B，因为SP=PB，所以点P为棱SB的中点，取SC中点为Q，连接PQ,DQ，可得平面APQD即平面α截此四棱锥所得截面，且由于Q是SC的中点，点P为棱SB的中点，11所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位线，则PQ=BC=，PQ⎳BC，22又因为四边形ABCD是矩形，则BC⎳AD，所以PQ/AD，因为AD⊥面SDC，AD⊄面SDC，QC⊂面SDC，所以四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，因为SD=CD=2，在等腰三角形SCD中，QD⊥BC，且QD平分∠ADC，11则QD=CD⋅cos∠SDC=2×=1，22113则平面α截此四棱锥所得截面的面积为2×1+2×1=4，故B错误；对于C，又因为∠SDC=120°,SD=CD=2，所以SC=2cos30°+2cos30°=23，SC23所以2r===4，即r=2，其中r为△SCD外接圆半径，sin∠SDC32因为AD⊥面SDC，2CD221217所以四棱锥S-ABCD外接球的半径为R=r+=2+=，222所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为17π，故C正确；对于D，因为AD⊥面SDC，所以直线AP与平面SCD所成角为∠APD，3所以当点P与点B重合时，∠APD最大，积tan∠APDmax=，故D正确.3故选：ACD.【点睛】关键点点睛：C选项的关键是得到r=2，其中r为△SCD外接圆半径，由此即可顺利得解.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列an中，a3a4a5=-8,a9=64，则a5=．·244·,答案4【分析】由等比数列性质、基本量的计算依次得a4=-2，q=-2，由此即可求解.35a964解析由题意a3a4a5=a4=-8,a9=64，所以a4=-2，q===-32，所以公比q=-2，a4-2所以a5=-2a4=4.故答案为：4.13.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为4%，乙生产线的次品率为7%，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．19答案0.95/20【分析】由全概率公式即可求解.21解析由题意取到合格品的概率为p=×1-4%+×1-7%=0.95.2+12+1故答案为：0.95.214.已知抛物线y=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点A,B在直线l上的射影4分别为A1,B1两点，以线段A1B1为直径的圆C与y轴交于M,N两点，且MN=AB，则直线AB的斜率5为．答案±2【分析】设AB:x=my+1,Ax1,y1,Bx2y2，联立方程利用韦达定理求AB和圆C的圆心和半径，根据垂径定理求MN，结合题意列式求解即可.2解析由题意可知：F1,0,l:x=-1，且直线AB与抛物线y=4x必相交，设AB:x=my+1,Ax1,y1,Bx2y2，则A1-1,y1,B1-1,y2，x=my+12联立方程2，消去x可得y-4my-4=0，y=4x22则y1+y2=4m,y1y2=-4，可得y1-y2=16m+16=4m+1，2212可知AB=1+my1-y2=4m+1，圆C的圆心C-1,2m，半径r=y1-y2=2m+1，222可得MN=2r-1=24m+3，424221211因为MN=AB，即24m+3=×4m+1，解得m=或m=-(舍去)，5541611即m=±，所以直线AB的斜率为=±2.2m故答案为：±2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；·245·,(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2(或y1+y2、y1y2)的形式；(5)代入韦达定理求解.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）记数列an的前n项和为Sn，已知a1=3,nan+1=2Sn+3n．(1)证明：an+2+an=2an+1；bn1(2)若a=n+1，求数列bn的前n项和Tn．n3答案(1)证明见解析n+1(2)Tn=1-n3【分析】(1)根据题意结合an,Sn之间的关系可得an+2+an=2an+1n≥2，并检验n=1；2n-1(2)由(1)结合等差数列通项公式可得bn=n，利用错位相减法法求和.3解析(1)因为nan+1=2Sn+3n，当n≥2时，n-1an=2Sn-1+3n-1，两式相减，得nan+1-n+1an=3①，则n+1an+2-n+2an+1=3②，②-①得n+1an+2+n+1an=2n+2an+1，所以an+2+an=2an+1n≥2．当n=1时，a2=2S1+3=2a1+3=9，当n=2时，2a3=2S2+6=24+6=30,a3=15．所以a3+a1=2a2，所以an+2+an=2an+1．(2)由(1)可知：an是首项为3，公差为6的等差数列，an2n-1可得an=3+6n-1=6n-3，bn=n+1=n，331352n-1则Tn=3+2+3+⋯+n，33311352n-13Tn=2+3+4+⋯+n+1，33332122222n-1两式相减可得3Tn=3+2+3+4+⋯+n-n+13333321191-3n-12n-11112n-122n+2=+-=+1--=-，313n+1333n-13n+133n+11-3n+1所以Tn=1-n．316.（15分）如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，D,E分別是梭BC,AA1的中点．·246·,(1)在棱BB1上找一点F，使得平面DEF⎳平面A1B1C，并证明你的结论；(2)若AA1=3,△ABC是边长为2的等边三角形，A1D=AD,BC⊥DE，求二面角B1-A1C-C1的正弦值．答案(1)F为棱B1B的中点，证明见解析891(2)91【分析】(1)F为棱B1B的中点，根据面面平行的判定定理证明即可.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面A1B1C和平面A1C1C法向量后结合平方关系可求二面角的正弦值.解析(1)存在F为棱B1B的中点，使平面DEF⎳平面A1B1C．证明如下：如图，连接EF,DF．因为E,F分别是棱AA1,BB1的中点，所以A1B1⎳EF，因为EF⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以EF⎳平面A1B1C．因为D,F分别是棱BC,BB1的中点，所以DF⎳B1C，因为DF⊄平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C，所以DF⎳平面A1B1C．因为EF∩DF=F，EF,DF⊂面DEF，所以平面DEF⎳平面A1B1C，得证，．(2)取AD的中点O，连接OA1．由△ABC为等边三角形，D为棱BC的中点，可得AD⊥BC，因为BC⊥DE,AD∩DE=D，AD,DE⊂面ADE，所以BC⊥平面ADE，又A1O⊂平面ADE，所以BC⊥A1O．因为AA1=3,A1D=AD=3，所以△AA1D为等边三角形，所以A1O⊥AD．又AD∩BC=D，所以A1O⊥平面ABC．以O为坐标原点，过点O作CB的平行线作为x轴，以OD,OA1所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，3333则A0,-2,0,B1,2,0,C-1,2,0,A10,0,2，3333所以A1B1=AB=1,3,0,A1C=-1,,-,AA1=0,,,A1C1=AC=-1,3,0．2222设平面A1B1C的法向量为n=x1,y1,z1，n⋅A1B1=x1+3y1=0,则33取n=-3,1,3．n⋅A1C=-x1+2y1-2z1=0,设平面A1C1C的法向量为m=x2,y2,z2，33m⋅A1C=-x2+2y2-2z2=0,3则取m=3,1,-．3m⋅A1C1=-x2+3y2=0,·247·,n⋅m-3+1-133所以cos‹n,m›===-，n191⋅m3+1+3×3+1+327891则二面角B1-A1C-C1的正弦值为1-=．919117.（15分）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量y(单位：万人)，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年)．c+dx(1)根据散点图判断y=blnx+a与y=e(a,b,c,d均为常数)哪一个适合作为y关于x的回归方程类型；(给出结论即可，不必说明理由)(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；(3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：66∑6∑i=12yw∑xi-xi=1x-xi=1ixi-xyi-ywi-w5.151.5517.520.953.85612.442.54其中w=wi,wi=lnyi,e≈11.47,e≈12.68．6i=1参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2,⋯,un,vn，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计n∑ui-uvi-vi=1分别为：β=n,α=v-βu．2∑ui-ui=1c+dx答案(1)选择y=e更合适．0.22x+0.78(2)y=e，12.68万人(3)分布列见解析，2【分析】(1)观察散点图结合增长速度情况即可求解；(2)两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程；(3)X的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望.·248·,c+dx解析(1)根据散点图可知，选择y=e更合适．c+dx(2)因为y=e，所以两边同时取常用对数，得lny=c+dx．设w=lny，则w=c+dx，先求w关于x的线性回归方程．1+2+3+4+5+6因为x==3.5，66xi-xwi-wi=13.85d===0.22，617.52xi-xi=1c=w-0.22x=1.55-0.22×3.5=0.78，0.22x+0.78所以y=e．2.54把x=8代入上式，得y=e≈12.68，故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人．(3)这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以X的所有可能取值为1，2，3．132231C3C31C3C33C3C31PX=1==,PX=2==,PX=3==，C45C45C45666所以X的分布列为X123131P5554×3所以EX==2．62y2x518.（17分）已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的离心率为2，左、右顶点分别为A1,A2，点B0,1，且ab△A1BA2的面积为2．(1)求C的方程；(2)若过点B的直线l与C的左、右两支分别交于M,N两点，直线A1M,A2N交于点P，直线l与x轴交于点Q,O为坐标原点，证明：OP⋅OQ为定值．2x2答案(1)-y=14(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件，可确定a，b的值，写出双曲线的标准方程.(2)设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，利用一元二次方程根与系数的关系，确定x1+x2，x1x2，再分别表示直线A1M，A2N的方程，求出交点P的坐标以及l与x轴的交点Q的坐标，探索OP·OQ的值.22a+b5解析(1)由题意知离心率为=，a21因为△A1BA2的面积为2，所以×2a×1=2，得a=2，224+b5所以=，b=1，222x2故C的方程为-y=1．4(2)如图：·249·,由题意知A1-2,0,A22,0，设直线l:y=kx+1，因为l与C的左、右两支分别相交，与x轴也有交点，111C的渐近线方程为y=±x，所以-<k<且k≠0．222y=kx+1,22由22得4k-1x+8kx+8=0，x-4y=4,-8k8设mx1,y1,nx2,y2，则x1+x2=2，x1x2=2.4k-14k-1y1y2则直线a1m的方程为y=x+2，直线a2n的方程为y=x-2，x1+2x2-2x+2y2x1+2将直线a1m和a2n的方程联立，可得=，x-2y1x2-222222(x+2)y2x1+22x12x2所以2=22，又因为y1=4-1,y2=4-1，(x-2)y1x2-22x22(x+2)24-1x1+2x+2x+2xx+2x+x+4211212所以===22(x-2)x12x1-2x2-2x1x2-2x1+x2+44-1x2-2816k2-2+424k-14k-18-16k+16k-42k-12===．816k8+16k+16k2-42k+12+2+44k-14k-1112k-1因为-<k<且k≠0，所以<0，222k+1x1+2x+2y2x1+2易知y1y2>0，<0，所以=<0，x2-2x-2y1x2-2x+22k-1综上，=，解得x=-4k．x-22k+1所以P-4k,yP．1在y=kx+1中，令y=0，得Q-k,0，1所以OP⋅OQ=-4k×-k=4．【点睛】关键点点睛：本题中因为Q点在x轴上，其纵坐标为0，也就是OQ的纵坐标为0，所以OP的纵坐标不用求，这样可以省下很多的计算量.2-x19.（17分）已知函数fx=mx-x+1e．(1)当m≥0时，求fx的单调区间；xx(2)若函数gx=e+fxe-2恰有两个零点，求实数m的取值范围．答案(1)答案见解析11(2)-∞,-2∪-2,0．111【分析】(1)求定义域，求导后因式分解，分m=0，0<m<，m=和m>，求出单调区间；222·250·,x2(2)gx=e+mx-x-1，二次求导，分m≥0，m<0，结合特殊点的函数值和隐零点，得到实数m的取值范围.2-x解析(1)fx=mx-x+1e定义域为0,+∞，2-x-x-xfx=-mx+x-1e+2mx-1e=-mx-1x-2e．①当m=0时，令fx>0，得x>2，令fx<0，得x<2，所以fx在-∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增；111②当0<m<时，令fx>0，得2<x<，令fx<0，得x<2或x>，2mm11所以fx在区间2,m上单调递增，在区间-∞,2和m,+∞上单调递减；1③当m=时，fx≤0,fx在R上单调递减；2111④当m>时，令fx>0，得<x<2，令fx<0，得x<或x>2，2mm11所以fx在区间m,2上单调递增，在区间-∞,m和2,+∞上单调递减；综上，当m=0时，fx的单调递增区间为2,+∞，单调递减区间为-∞,2；111当0<m<2时，fx的单调递增区间为2,m，单调递减区间为-∞,2和m,+∞；1当m=时，fx的单调递减区间为r，无递增区间；2111当m>2时，fx的单调递增区间为m,2，单调递减区间为-∞,m和2,+∞.xxx2x(2)由题意知gx=e+fxe-2=e+mx-x-1，则gx=e+2mx-1．xx令hx=e+2mx-1，则hx=e+2m．若m≥0，则hx>0恒成立，hx在R上单调递增．因为h0=0，所以当x∈-∞,0时，gx=hx<0,gx单调递减，当x∈0,+∞时，gx=hx>0,gx单调递增，则g(x)min=g0=0，即gx有且仅有一个零点，不符合题意．若m<0，则由hx=0，解得x=ln-2m，当x∈-∞,ln-2m时，hx<0,hx单调递减，当x∈ln-2m,+∞时，hx>0,hx单调递增，则h(x)min=hln-2m=-2m+2mln-2m-1．令φx=-2x+2xln-2x-1，则φx=-2+2ln-2x+2=2ln-2x，1当x∈-∞,-2时，φx>0,φx单调递增，1当x∈-2,0时，φx<0,φx单调递减，1则φ(x)max=φ-2=0．1若m=-，则gx=hx≥0恒成立，gx在R上单调递增，不可能有两个零点，2不符合题意．1若m<-，则ln-2m>0,hln-2m<0，2显然当x→+∞时，hx→+∞，故∃x0∈ln-2m,+∞，使得hx0=0．又h0=0，所以当x∈-∞,0和x0,+∞时，gx=hx>0,gx单调递增，当x∈0,x0时，gx=hx<0,gx单调递减，因为g0=0，当x→+∞时，gx→+∞，所以∃x1∈x0,+∞，使得gx1=0，则gx恰有两个零点，符合题意．·251·,1若-<m<0，则ln-2m<0,hln-2m<0，显然当x→-∞时，hx→+∞，2故∃x2∈-∞,ln-2m，使得hx2=0．又h0=0，所以当x∈-∞,x2和0,+∞时，gx=hx>0,gx单调递增，当x∈x2,0时，gx=hx<0,gx单调递减，因为g0=0，当x→-∞时，gx→-∞，所以∃x3∈-∞,x2，使得gx3=0，则gx恰有两个零点，符合题意．11综上所述，m的取值范围为-∞,-2∪-2,0．【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.·252·,浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学联考数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R,A=x∣x≥0,B={x∣-1<x<1}，则{x∣-1<x<0}=()a.a∪bb.∁ua∩bc.a∩∁ubd.∁ua∩b答案b22.已知复数z满足z=，则z⋅z=()1-ia.-2b.2ic.2d.2答案dcosθ-sinθπ3.已知cosθ+sinθ=2，则tanθ-4=()11a.-2b.2c.-d.22答案a4.柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录.如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm，下底直径20cm，高为30cm，则该米斗的容积大概为()a.9升b.15升c.19升d.21升答案b5.有一组数据：1,1,2,2,3,3,4,4,4,4，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是()a.平均数b.众数c.中位数d.极差答案a6.已知a>1,b>0，若a+log2a=b+log2b，则()22A.a>2bB.a<2bC.a>bD.a<b答案d·253·,7.已知正项数列an满足a2=3a1,sn为an的前n项和，则“an是等差数列”是“sn为等差数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件答案cπ8.已知平面向量a,b满足a=1,b,a+b=，则a-b的最大值为()6a.2b.2+1c.3+1d.3答案c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0,b>0)的左､右焦点，P是圆x+y=c与C的渐近线的一ab个交点，若2∠PF1F2=∠PF2F1，则双曲线C的离心率为.·254·,答案2xlnx,x>0,14.已知函数fx=1若函数gx=ffx-afx+1有唯一零点，则实数a的取值范围是-x,x<0,x.5答案a=-或-1≤a<14四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a=2bcosC.(1)判断△ABC的形状；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC周长的最大值.解析(1)因为a=2bcosC，所以sinA=2sinBcosC，所以sinB+C=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sinB-C=0，因为B-C∈-π,π，所以B=C；所以△ABC为等腰三角形；(2)由题意可知a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC=2sinB，所以△ABC的周长为：a+b+c=2sinA+4sinB=2sinπ-2B+4sinB=2sin2B+4sinB，π设fB=2sin2B+4sinB,B∈0,2，2则fB=4cos2B+4cosB=8cosB+4cosB-4=4cosB+12cosB-1，π1所以当B∈0,3时，cosB>2,fB>0,fB单调递增；ππ1当B∈3,2时，cosB<2,fB<0,fB单调递减；π所以当B=时，fB取到最大值33，3所以周长的最大值为33.16.（15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4，将△RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD.(1)若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；2(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为，求线段3BE的长.解析(1)取PB中点N，连接AN,MN，·255·,1则MN∥BC，且MN=BC，2因为A,D分别为RB,RC的中点，1所以AD∥BC，且AD=BC，2所以AD∥MN且AD=MN，所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM∥AN，又AN⊂平面PAB,DM⊄平面PAB，所以DM∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又PA⊥AD，所以AB,AD,AP两两垂直.如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴建系，设BE=t，则P0,0,2,D0,2,0,E2,t,0，所以PD=0,2,-2,DE=2,t-2,0，设n=x,y,z为平面PDE的法向量，则n⋅PD=02y-2z=0，即2x+t-2y=0，n⋅DE=0令y=2得n=2-t,2,2.易知平面ABED的法向量为m=0,0,1，设平面PDE与平面ABED的夹角为θ，22则cosθ=cosn,m==，(2-t)2+4+43解得t=1或t=3，故BE=1或3.17.（15分）甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3.(1)若p1=p2=p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望；(2)若p1+p3>1，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.解析(1)由题意可知，X的取值可能为4,6,8.Px=4=0.5×0.5×2=0.5;Px=6=0.5×0.5×0.5×2=0.25;Px=8=0.5×0.5×0.5×2=0.25;所以三人总积分X的分布列为·256·,X468P0.50.250.25所以EX=0.5×4+0.25×6+0.25×8=5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：PA=p31-p1+p3p11-p2p3+1-p3p21-p1p3;PB=1-p1p3+1-p11-p3p21-p1+p11-p2p31-p1;PC=p21-p1p3+1-p2p31-p1=p31-p1;显然PB>PC;PA-PB=p3p11-p2p3+1-p3p21-p1p3-1-p11-p3p21-p1-p11-p2p31-p1=p1+p3-1p11-p2p3+p1+p3-11-p3p21-p1=p1+p3-1p11-p2p3+1-p3p21-p1>0所以PA>PB；故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.218.（17分）已知过点1,0的直线与抛物线E:y=2px(p>0)交于A,B两点，O为坐标原点，当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2.(1)求抛物线E的方程；(2)若O为△ABC的重心，直线AC,BC分别交y轴于点M,N，记△MCN,△AOB的面积分别为S1,S2，求S1的取值范围.S21解析(1)由题意可知，S△AOB=×1×22p=2，2所以p=1，2所以抛物线E的方程为y=2x(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，因为O为△ABC的重心，所以x1+x2+x3=0,S△AOB=S△AOC=S△BOC；S△MOCMC-x3S△NOCNC-x3因为==,==，S△AOCACx1-x3S△BOCBCx2-x3且S△MOC+S△NOC=S1,S△AOC=S△BOC=S2；22S1-x3-x3x1+x2x1+x23x1+x23x1+x2所以=+=+==；S2x1-x3x2-x32x1+x2x1+2x22x+xx+2x2x+x2+xx1212121222设AB:x=ty+1，与y=2x联立得：y-2ty-2=0，所以y1y2=-2，2y1y2所以x1x2==1，则x1+x2≥2x1x2=2；4S1343所以S=1∈3,2；22+2x1+x2S143所以S的取值范围为3,2219.（17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A=1,2,⋯,n,n∈N+的函数称为n次置换.满足对任意i∈A,fi=i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作Sn.对于fi∈Sn，我们可用·257·,12⋯n1223列表法表示此置换：fi=，记fi=fi,ffi=fi,ffi=fi,f1f2⋯fnk-1k⋯,ffi=fi,i∈A,k∈N+.12343(1)若fi∈S4,fi=，计算fi；4213k(2)证明：对任意fi∈S4，存在k∈N+，使得fi为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.1234123423解析(1)由题意可知fi=,fi=；32411234(2)【解法一】12341①若fi=，则fi为恒等置换；12341234②若存在两个不同的i，使得fi=i，不妨设i=1,2，则fi=.1243123422所以fi=，即fi为恒等置换；123412341234③若存在唯一的i，使得fi=i，不妨设i=2，则fi=或fi=.3241421312343当fi=时，由(1)可知fi为恒等置换；421312343同理可知，当fi=时，fi也是恒等置换；3241④若对任意的i,fi≠i，123412341234则情形一：fi=或fi=或fi=；2143341243211234123412341234情形二：fi=或fi=或fi=或fi=234124133142342112341234或fi=或fi=；412343122对于情形一：fi为恒等置换；4对于情形二：fi为恒等置换；k综上，对任意fi∈S4，存在k∈N+，使得fi为恒等置换；【解法二】1234对于任意i∈1,2,3,4，都有fi,fi,fi,fi∈1,2,3,4，1234k所以fi,fi,fi,fi中，至少有一个满足fi=i，k即使得fi=i的k的取值可能为1,2,3,4.k当i分别取1,2,3,4时，记使得fi=i的k值分别为k1,k2,k3,k4，只需取k为k1,k2,k3,k4的最小公倍数即可.k所以对任意fi∈S4，存在k∈N+，使得fi为恒等置换；(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对1,2,⋯,52作一次如下置换：·258·,12345⋯52k,i=2k-1,fi=，即fi=1272283⋯5226+k,i=2k,其中k=1,2,⋯,26.注意到各编号在置换中的如下变化：fffffffffffffffff1→1,2→27→14→33→17→9→5→3→2,4→28→40→46→49→25→13→7→4ffffffffffffffff6→29→15→8→30→41→21→11→,10→31→16→34→43→22→37→19→10，ffffffffff12→32→42→47→24→38→45→23→12,18→35→18，fffffffff20→36→44→48→50→51→26→39→20,52→52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.·259·,湖南省、贵州省2023-2024学年高三下学期2月开学金太阳联考数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a∈R,若1+i2-ai为纯虚数,则a=()A.-1B.2C.-2D.1答案C2+a=0,解析因为1+i2-ai=2+a+2-ai,所以解得a=-2.2-a≠0,2.已知集合A=x∣xx-2>0,B={x∈Z∣1<x≤4},则a∩b=()a.{2,3}b.{3,4}c.{0,1}d.{1,2}答案b解析a=-∞,0∪2,+∞,b={2,3,4},则a∩b={3,4}.223.若直线l:y=kx+1与圆o:x+y=1只有一个公共点,则k=()a.0b.1c.-1d.2答案a解析由题意可得直线l与圆o相切,又因为直线l过定点a0,1,点a在圆o上,所以直线l与直线oa垂直,因为直线oa的斜率不存在,所以k=0.4.已知向量a=x,1,b=4,x,则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C2解析若a⎳b,则x=4,解得x=±2.若向量a与b的夹角为锐角,则a⋅b>0且cos⟨a,b⟩≠1,所以4x+x>0且x≠2,解得x∈0,2∪2,+∞.故“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.5.有一组样本数据由5个连续的正整数x1,x2,⋯,x5组成,其中x1是最小值,x5是最大值,若在原数据的基础上增加两个数据x1-1,x5+1,组成一组新的样本数据x1-1,x1,x2,⋯,x5,x5+1,则()A.新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数B.新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数C.新样本数据的方差等于原样本数据的方差D.新样本数据的方差大于原样本数据的方差答案D解析新样本数据的平均数等于原样本数据的平均数,A,B错误.数据的波动越大,方差越大,C错误,D正确.·260·,6.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表O示为v=klog3,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为0.5m/s时耗氧量的单位数100为300,则一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为()A.100B.900C.1200D.8100答案D130011O1O解析由题意可得=klog3,解得k=,所以v=log3.令2=log3,解得O=21002210021008100.7.现准备给一半径为6cm的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒,要使制成的包装盒能装下该球体玩具,且该包装盒的下底面是半径为4cm的圆,则制成的包装盒的容积最小为()3333A.532πcmB.399πcmC.266πcmD.133πcm答案A解析要使制成的包装盒的容积最小,则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切.作该圆台型包装盒的轴截面,且AG⊥BC,EF⊥BC.222222易知AB=BF+AE,BG=BF-AE.因为AB=AG+BG,所以BF+4=12+BF-4,解得BF122122=9.此时该包装盒的容积V=π⋅EF⋅BF+BF⋅AE+AE=×π×12×9+9×4+4=333532πcm.xx-ae8.已知函数fx=的定义域为0,4,若fx是单调函数,且fx有零点,则a的取值范围是x+1A.0,4B.(0,3]C.0,2D.(0,e]答案B解析因为fx有零点,所以方程fx=0有解,即x-a=0在0,4上有解,所以a∈0,4.f2x+1-ax+1x2x=e.因为fx是单调函数,所以函数gx=x+1-ax+1≥0在0,4上恒2x+122成立或gx=x+1-ax+1≤0在0,4上恒成立.因为g0=1>0,所以gx=x+1-ax+1≤0在0,4上不可能恒成立.21函数gx=x+1-ax+1≥0在0,4上恒成立,即x++1-a≥0在0,4上恒成立.x1因为x++1-a≥3-a(当且仅当x=1时,等号成立),所以3-a≥0,解得a≤3.x综上,a的取值范围是(0,3].二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对·261·,的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知数列an的前n项和为Sn,a2=1,am+n=aman,下列结论正确的是()A.a2024=1B.a2023=1C.若S2024=2024,则a1=1D.若S2023=-1,则a1=-1答案ACD2解析令m=n=1,则a2=a1,解得a1=±1.令n=2,则am+2=ama2=am,所以a2024=a2=1,a2023=a1=±1,A正确,B错误.若S2024=2024,则a1=1,若S2023=-1,则a1=-1,C,D均正确.sinxcosx10.已知函数fx=,则下列结论正确的是()sinx+cosxπ3πA.fx的图象关于直线x=2对称B.fx的图象关于点4,0中心对称π3π2C.fx的最小正周期是2πD.fx在-4,4上有最大值,且最大值为4答案BCDππ解析由sinx+cosx=2sinx+4≠0,解得x≠-4+kπ,k∈Z,所以fx的定义域为2ππt-1x∈Rx≠-4+kπ,k∈Z.令sinx+cosx=2sinx+4=t,则sinxcosx=2,令函数gt=2t-1112t=2t-t.π3πππππ当-4<x<4时,sinx+cosx=2sinx+4>0,且函数y=2sinx+4在-4,4π3π上单调递增,在4,4上单调递减.πππ3π又因为gt在0,+∞上单调递增,所以fx在-4,4上单调递增,在4,4上单调递减,π所以fx的图象不关于直线x=对称,A错误.2π3ππ2fx在-4,4上有最大值,且最大值为f4=4,D正确.sinxcosx2sin2xfx==,sinx+cosxπ2sinx+43π3π3π3π3π2sin24+x2sin24-x2sin2+2xf4+x+f4-x=3ππ+3ππ=2sinπ+x+2sin+x+2sin-x+44443π2sin2-2x2-cos2x-cos2x3π2sinπ-x=2-sinx+sinx=0,所以fx的图象关于点4,0中心对称,B正确.3π5π5π7ππ7π由对称性可得fx在4,4上单调递减,在4,4上单调递增,所以fx在-4,4上不具有周期性.sinx+2πcosx+2πsinxcosx又因为fx+2π===fx,所以fx的最小正周期为2π,Csinx+2π+cosx+2πsinx+cosx正确.211.已知O为坐标原点,P,Q为抛物线C:x=2pyp>0上两点,F为C的焦点,若F到准线的距离为2,则下列结论正确的是()A.若M1,3,则△PMF周长的最小值为2+5·262·,1B.若直线PQ过点F,则直线OP,OQ的斜率之积为-4QNC.若N0,-1,则的取值范围是1,2QF9πD.若△POF的外接圆与准线l相切,则该外接圆的面积为4答案BCD2解析由题意可知,p=2,所以x=4y,F0,1.作PB⊥l,垂足为B,△PMF的周长为PF+PM+MF=PB+PM+MF≥4+MF=4+5,A错误.y=kx+1,2若直线PQ过点F,可设直线PQ的方程为y=kx+1,由得x-4kx-4=0.设2x=4y,2Px1,y1,Qx2,y2,则x1+x2=4k,x1x2=-4,则y1y2=kx1+1kx2+1=kx1x2+kx1+x2+1=1,所以y1y21直线OP,OQ的斜率之积为⋅=-,B正确.x1x24222QNx2+y2+14y2+y2+11QN若N0,-1,则==,令t=y2+1≥1,0<≤1,所以=QFy2+1y2+1tQF22t+4t-4t+4t-4112QN=2=-4-+2,可得∈1,2,C正确.若△POF的外接圆与ttt2QF0+11准线l相切,设△POF的圆心为D,则DF=DO,所以圆心D的纵坐标y==,则其半径22139πr=+1=,面积为,D正确.224第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙等7名同学随机站成一排,则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有种答案120025解析先确定甲的位置,再确定乙的位置及其他同学的位置,则有5 A2A5=1200种不同的排列方式.2y2x13.已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右支上有一点A,点A关于坐标原点对称的点为B,F为双曲22abπ线C的左焦点,且满足AF⊥BF,当∠BAF=时,双曲线C的离心率为12答案2解析如图,设F为双曲线C的右焦点,连接AF,BF.由AF⊥BF及双曲线的对称性得四边形πAFBF是矩形,AB=FF=2c,则AF=AB⋅cos∠BAF=2ccos,AF=BF=AB⋅sin∠BAF=2c⋅12πππsin12,由双曲线定义得AF-AF=2ccos12-sin12=2c・ππc2cos12+4=2a,即2c=2a,所以离心率e=a=2.14.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=2,PB=7,AB=3,M为棱AB上靠近点B的·263·,三等分点,且CM为∠ACB的角平分线,则二面角P-AC-B的平面角的正切值的最小值为．答案23解析如图1,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点Q作QH⊥AC,垂足为H,连接PH.因为平面PAB⊥平面ABC,所以PQ⊥平面ABC,PQ⊥HQ,PQ⊥AC.因为QH⊥AC,所以AC⊥平面PQH,AC⊥PH,所以∠PHQ为二面角P-AC-B的平面角.222AP+AB-PB1在△PAB中,cos∠PAB==,2AP⋅AB2所以∠PAB=60°,图1则PQ=AP⋅sin∠PAB=3,AQ=AP⋅cos∠PAB=1.PQ3在△ABC中,HQ=AQ⋅sin∠BAC=sin∠BAC,所以tan∠PHQ==.QHsin∠BAC如图2,在平面ABC内,过点C作CN⊥CM交直线AB于点N,所以点C在以MN为直径的圆上运动.设MN的中点为O,连接OC.因为∠CAN=∠NMC-∠ACM,∠BCO=∠MCO-A∠MCB,所OBOCOC-1以∠CAN=∠BCO.因为∠AOC=∠COB,所以△AOC∼△COB,所以=,即=OCOAOCOC,解得OC=2,OA=4.OC+2图2当直线AC与圆O相切时,∠BAC最大,因此tan∠PHQ最小.OC1sin∠BACmax==,tan∠PHQmin=23.故二面角P-AC-B的平面角的正切值的最小值为OA223.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知公差不为0的等差数列an满足a1+a2=a3+2,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求an的通项公式;·264·,1(2)记an的前n项和为Sn,cn=,求数列cn的前n项和Tn.Sn+2解析(1)设等差数列an的公差为d,a1+a1+d=a1+2d+2,由题意可得2分2a1+2d=a1a1+6d,解得d=2或d=0(舍去),a1=4,所以an=2n+2.2(2)根据等差数列的前n项和公式可得Sn=n+3n,11111所以cn==2==-,Sn+2n+3n+2n+1n+2n+1n+21111111111n所以Tn=-+-+-+⋯+-=-=.233445n+1n+22n+22n+22y2x116.（15分）已知椭圆C:+=1a>b>0的右顶点为A2,0,离心率为.a2b22(1)求椭圆C的方程;122(2)过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,若AB=,求直线l的方程.7解析(1)由题意可得,a=2.c122因为e==,所以c=1,b=a-c=3.a22y2x故椭圆C的方程为+=1.43(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2.2y2x+=1,2222联立43得4k+3x-16kx+16k-12=0,y=kx-2,2216k-128k-6-12k易知Δ>0.设Bx2,y2,则2x2=2,所以x2=2,y2=2.4k+34k+34k+312228k2-62-12k21222222因为AB=x2-2+y2=7,所以4k2+3-2+4k2+3=7,22即k-132k+31=0,解得k=±1,所以直线l的方程为y=±x-2,即x±y-2=0.717.（15分）如图,在三棱锥F-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,FA=FC=,直线BF与平面2ABC所成的角为30°.(1)证明:BF⊥平面ACF.(2)求AF与平面BCF所成角的正弦值.解析(1)证明:取AC的中点E,连接EF,EB,过点F作FG⊥EB,垂足为点G.1分因为△ABC是等边三角形,FA=FC,所以AC⊥BE,AC⊥EF.因为BE∩EF=E,所以AC⊥平面BEF,所以AC⊥FG.因为AC∩EB=E,所以FG⊥平面ABC,·265·,1所以∠FBE为直线BF与平面ABC所成的角,则∠FBE=30°,3分则AE=AC=1,BE=3,EF2223=AF-AE=.2222323在△BEF中,EF=BE+BF-2BE⋅BFcos∠FBE,即=3+BF-23BFcos30°,解得BF=.⋯542222222分因为AF+BF=AB,CF+BF=BC,所以AF⊥BF,CF⊥BF.因为AF∩CF=F,所以BF⊥平面ACF.7分(2)解:以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1,0,0,C-1,0,0,B0,3,0,33F0,,,443333所以AF=-1,,,CF=1,,,CB=1,3,0.设平面BCF的法向量为n=x,y,z,444433n⋅CF=x+y+z=0,则44取y=3,则n=-3,3,3n⋅CB=x+3y=0,39n⋅AF3+4+443所以cos⟨n,AF⟩===.nAF9+3+9×1+3+971616π43设AF与平面BCF所成的角为θ0≤θ≤2,则sinθ=cos⟨n,AF⟩=7,43所以AF与平面BCF所成角的正弦值为.718.（17分）某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤,其均有止咳润肺的功效.某同学2每天中午都会在两种汤中选择一种,已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为,若前一天选择冰糖雪31梨汤,后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为,而前一天选择苹果百合汤,后一天继续选择苹果百合汤31的概率为,如此往复.2(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.3(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为Pn, 证明:Pn-7为等比数列.(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.解析(1)解:设A1表示第一天中午选择冰糖雪梨汤,A2表示第二天中午选择冰糖雪梨汤,则A1表示第一天中午选择苹果百合汤.21111根据题意得PA1=,PA1=,PA2∣A1=,PA2∣A1=1-=.⋯⋯⋯2分PA2=3332221117PA1PA2∣A1+PA1PA2∣A1=×+×=.5分(2)证明:设An表示第n天中午选择333218111冰榶雪梨汤,则Pn=PAn,PAn=1-Pn,根据题意得PAn+1∣An=,PAn+1∣An=1-=.322·266·,1111由全概率公式得PAn+1=PAnPAn+1∣An+PAnPAn+1∣An=Pn+1-Pn=-Pn+,即32621111111Pn+1=-Pn+.8分不妨设Pn+1+λ=-Pn+λ,即Pn+1=-Pn-λ-λ,所以-λ-λ=,解得6266662331335351λ=-7,则Pn+1-7=-6Pn-7,又P1-7=21≠0,所以Pn-7是以21为首项,-6为公比351n-1的等比数列.12分(3)解:由(2)得,Pn=7+21×-6.由题意,只需Pn>1-Pn,即Pn>1351n-111n-132n=1,2,⋯,10,则7+21×-6>2,即-6>10n=1,2,⋯,10.14分显然n必为奇数,偶数不成立.1n-11n-13123当n=1,3,5,7,9时,有-6=6>10.15分当n=1时,显然成立.当n=3时,6-10<0,所以当n=3时不成立.1n-1因为y=6单调递减,所以n=5,7,9也不成立.综上,该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.x19.（17分）已知函数fx=2e+ax.(1)讨论fx的单调性;(2)若方程fx=m有两个不相等的根x1,x2,且0<x1<x2,fx的导函数为fx,证明:fx1x2<0.x解析(1)解:fx=2e+a.当a≥0时,fx>0在R上恒成立,即fx在R上单调递增.aa当a<0时,由fx>0,得x>ln-2,由fx<0,得x<ln-2,aa所以fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减.综上,当a≥0时,fx在r上单调递增;aa当a<0时,fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减.⋯4分(2)证明:由(1)得,当a≥0时,fx=m至多有一个根,不符合题意.aaa当a<0时,fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减,且fln-2=0.aa不妨设0<x1<ln-2<x2,要证明fx1x2<0,即证x1x2<ln-2.x1+x2a又x1x2<2,所以只需要证明x1+x2<2ln-2.a2-xax2ln-2-xaxae令函数hx=fx-f2ln-2-x=2e+ax-2e-2aln-2+ax=2e-2+2ax-aa2aln-2,0<x<ln-2.2-x2-xxaexaehx=2e++2a≥22e⋅+2a=0,22a所以hx在0,ln-2上单调递增,aa所以hx<hln-2=0,即fx<f2ln-2-x,a所以fx1<f2ln-2-x1.a又因为fx1=fx2,所以fx2<f2ln-2-x1.aaaa因为x2>ln-2,2ln-2-x1>ln-2,而fx在ln-2,+∞上单调递增,·267·,aa所以x2<2ln-2-x1,即x1+x2<2ln-2,故fx1x2<0.·268·,河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(V)数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。20241.已知复数z满足1-2i⋅z=i(i为虚数单位)，则z=()1+2i1-2i1+2i2i-1A.B.C.-D.5555答案B202411+2i1-2i解析由1-2i⋅z=i，得z==，所以z=，故选B，1-2i552.已知a,b为平面向量，其中|a|=1,|b|=2,a⋅b=1，则b-2a=()A.1B.2C.23D.4答案B222解析由|a|=1,|b|=2,a⋅b=1可知b-2a=|b-2a|=b-4a⋅b+4a=4-4+4=2，故选B.3.德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A､B互为正交集合.规定空集是任何集合的正交集合.若全集U=2x∣1<log2x+1≤3,x∈n,a=x∣x-7x+10<0,x∈n，则集合a关于集合u的正交集合b的个数为()a.8b.16c.32d.64答案b解析集合a､b互为正交集合说明集合a､b没有公共元素，由已知可得u=2,3,4,5,6,7,a=3,4，4集合b满足b⊆∁ua，故集合b有2=16种可能，故选b.4.某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量､课程内容､学生感受､家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：时长x(分钟)1012141519评分y60m751.2m+590根据散点图分析得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为y=3.2x+29.8，则m=()a.61b.63c.65d.67答案c解析由已知得x=14,y=46+0.44m，将点x,y代入回归方程，即46+0.44m=3.2×14+29.8，解得m=65，故选c.π5.已知函数fx=3cosωx+φ(ω>0)满足对于任意x∈R都有fx≤f3.若函数fx在区间·269·,ππ8,2上有且仅有一个零点，则ω的最大值为()2115A.3B.C.D.544答案Aππππ解析由题意可知函数fx的图象关于直线x=3对称，且3∈8,2，设fx的最小正周期为T，ππππTππππ5π则函数fx在区间8,2上有且仅有一个零点当且仅当2-3≤4<3-8，即6≤2ω<24，12所以<ω≤3，所以ω的最大值为3.故选A.513236.已知a､b均为正实数，且满足+=2，则+的最小值为()ab2a-12b-3A.2B.22C.23D.26答案B13236a+4b-9解析由+=2，得3a+b=2ab，所以+==ab2a-12b-32a-12b-36a+4b-96a+4b-911314b18a4ab-6a-2b+33，又6a+4b=26a+4ba+b=218+a+b≥9+62，当4b18a=,ab且仅当即13+=2,ab1+2a=,223=时取等号.所以+≥22，故选B.32+22a-12b-3b=47.陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录.陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠.其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm，高为1.63cm的圆柱，下部为上底半径为2.2cm，下底半径为0.21cm，高为0.78cm的圆台.若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为()A.2.21cmB.2.22cmC.2.23cmD.22cm答案A解析由题意可知当本质件几何体内接于球形原料时，所用原料的半径最小，此时取几何体的轴截面，得到如图所示的图形.则O1O2=1.63+0.78=2.41=OO1+OO2,O1F=2.2cm,O2D=0.21cm，设外，222222O1F+OO1=R2.2+x=R,①接球半径为R,OO1=xcm因为222，所以222由①-②得x=0.21O2D+OO2=R0.21+(2.41-x)=R,②代入①得R=2.21cm，故选A.·270·,22228.已知圆C1:x+y=4上有一动点P，圆C2:(x-2)+(y-3)=1上有一动点Q，直线l:x-y+3=0上有一动点M，直线PM与圆C1相切，直线QM与圆C2相切，则PM+QM的最小值为()A.4B.5C.26D.14+2答案D2解析由已知得C10,0,C22,3，设直线l::x-y+3=0上动点Mx0,x0+3，则PM=C1M-4=222222x0+6x0+5,QM=C2M-1=2x0-4x0+3，则PM+QM=2x0+6x0+5+2x0-4x0+3=252332122222x0+3x0++x0-2x0+=2x0++0-+x0-1+0+.设22222312A-2,2,B1,-2,Nx0,0，则PM+QM=2AN+BN≥2AB=14+2，当且仅当A､B､N三点共线时取等号，故选D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。π539.已知α,β∈0,2,cosα+β=13,sinα-β=5，则()12463tanα33A.sinα+β=B.cosα-β=-C.sin2α=D.=13565tanβ7答案ACDππππ解析因为0<α<,0<β<，所以0<α+β<π,-<α-β<，22225212因为cosα+β=，所以sinα+β=1-cosα+β=，故A正确；1313324因为sinα-β=，所以cosα-β=1-sinα-β=，故B错误；5512453sin2α=sinα+β+α-β=sinα+βcosα-β+cosα+βsinα-β=×+×=13513563，故65C正确；123sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=，①sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=，②1359921①+②得2sinαcosβ=，②-①得2sinβcosα=，6565992sinαcosβ6533tanα33上述两式相除即可得==，则=，故D正确.故选ACD.2sinβcosα217tanβ76510.双曲抛物面又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学､建筑学､美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑·271·,2x动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为2a2y-=2z(a>0,b>0)，则下列说法正确的是()2bA.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B.用法向量为1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线答案AB2y2x解析平行于xOy平面的面中z为常数，不妨设为z0z0≠0，得2-2=2z0，故所得轨迹是双曲线，Aab2222bx0正确；法向量为1,0,0的平面中x为常数，不妨设为x0，则y=-2bz+2，为抛物线方程，故B正确；a2222ay0垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为y0，则x=2az+2，为抛物线方程，故C不正确；设平面上的b点坐标为Ax,y,z，因为平面过原点且法向量为n=1,1,0，由OA⋅n=0，得x+y=0，故y=-x，代入马112鞍面标准方程，得-x=2z，当a=b时，方程为z=0，不是抛物线.故D不正确.故选AB.a2b23211.已知函数fx是定义在R上的连续可导函数，且满足①f2-x-fx=2x-6x+12x-8；②fx为3奇函数，令gx=fx+x，则下列说法正确的是()A.gx的图象关于x=1对称B.f1=-332C.f2024=2024D.f2023=-3×2023答案ABD33解析由gx=fx+x，则g2-x=f2-x+(2-x)，所以g2-x-gx=f2-x-3432fx+(2-x)-x=f2-x-fx-2x+6x-12x+8=0.所以g2-x=gx.所以gx的图象关于x=1对称.又因为fx是奇函数.故gx为奇函数.所以gx为周期为4的周期函数.对于A.由上面分析得gx的图象关于x=1对称.A正确：对于B.因为gx的图象关于x=1对称.故g21=0.因为gx=fx+3x.故f1=g1-3=-3.B正确：对于C.g2024=g0=0=f202433+2024，故f2024=-2024.C错误.对于D.因为gx为周期为4的奇函数.故gx为周期为4的偶函22数，g2023=g-1=g1=0=f2023+3×2023，故f2023=-3×2023，D正确.故选ABD.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．422612.已知(x+2)2x+3x=a0+a1x+a2x+⋯+a6x，则a4=.·272·,答案724r4-rr1332222解析(x+2)的展开式的通项为Tr+1=C4x⋅2，则T2=C4x⋅2=8x,T2=C4x⋅2=24x，则a4=24×2+8×3=72.2y2x13.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，点P为第一象限内椭圆上一点，△F1PF2的ab内心为I1,3，且∠F1PI=30°，则椭圆的离心率为.35-1答案11解析设内切圆I与x轴､PF1､PF2分别切于点A､B､C，故点A的坐标为1,0，则由切线长定理可知AF1=F1B=c+1,BP=CP,AF2=CF2=c-1，且内切圆半径r=3.在Rt△BPI中，∠F1PI=30°,BI=r=3，故BP=CP=3，所以PF1=c+4,PF2=c+2,△F1PF2的周长为4c+6.由等面积法可11132知PF1+PF2+F1F2⋅r=PF1⋅PF2⋅sin60°.即4c+6⋅3=c+4c+2，整理得c2224-2c-4=0，解得c=1+5或c=1-5(合).由椭圆的定义得PF1+PF2=2a=2c+6.所以a=c+c1+535-13=4+5.所以e===.a4+51121114.已知数列an满足a1=2，且an+1=an+4an+2，则an=；令bn=+，若bn的前n项和an+3an+1+1为Sn，则Sn=.2n11答案2-2(2分)-n+1(3分)322-1222解析由an+1=an+4an+2，可得an+1+2=an+4an+4，即an+1+2=an+2.两边取以4为底的对数得log4an+1+2=2log4an+2，则数列log4an+2是以1为首项，2为公比的等比数列.所以log4an+2=n-12n-12n2212.所以an=4-2=2-2.由an+1=an+4an+2，得an+1+1=an+4an+3=an+1an+3，则=an+1+11111211111=-，得=-，故bn=+=-an+1an+32an+1an+3an+1+1an+1an+3an+3an+1+1an+111111.所以Sn=-=-n+1.an+1+1a1+1an+1+1322-1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。m115.（13分）已知函数fx=lnx+-(m>0).x22(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；1(2)若fx≥恒成立，求实数m的取值范围.2212mx-2m解析(1)fx=-=(x>0)，xx3x3当m=1时.f1=-1，11f1=1-=.221所以曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-x-1.23即x+y-=0.2212mx-2m(2)由(1)得fx=-=(x>0).xx4x4因为m>0.所以由fx=0，得x=2m，所以当x∈0,2m时，fx<0,fx单调递诚；当x∈2m,+∞时.fx>0,fx单调递增.·273·,所以f(x)min=f2m=ln2m.10分11由fx≥，得f(x)min=ln2m≥，22e解得m≥.2e所以实数m的取估范围为2,+∞.2y2x16.（15分）已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上22ab任意一点M到F的距离的最小值为2+3.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线l:y=kx+1交C于A､B两点，O为坐标原点，若OA⋅OB=10，求直线l的斜率k的值.2y2xb解析(1)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x，故右焦点Fc,0到直线ya2b2abbc=x的距离为=b.所以b=1.aa2+b2由题意知a+c=2+3.22b=1,c-a=1,c-a=2-3c=2,故⇒⇒⇒a+c=2+3a+c=2+3c+a=2+3a=32x2因此双曲线C:-y=1.3(2)设Ax1,y1,Bx2,y2.y=kx+1将了线l与双曲线C的方程联立得x2，2-y=1322消去y整理得3k-1x+6kx+6=0，23k-1≠0,222122解得k<，且k≠，△=36k-243k-1>0,3363k2+5∴OA⋅OB=x1x2+1=2+1=2=10.3k-13k-125解得k=，满足题意.95所以k=±.317.（15分）已知在多面体PQABCD中，平面PADQ⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，四边形PADQ为矩形，其中M和N分别为AD和AP的中点，AB=7,BC=5,AD=DC=2.(1)证明：平面BMN⊥平面QDC；5(2)若二面角N-BM-C的余弦值为-，求直线BQ与平面BMN所成角的正弦值.5解析(1)证明：∵四边形PADQ为矩形，∴DQ⊥AD，又∵平面PADQ⊥平面ABCD.平面PADQ∩平面ABCD=AD,∴DQ⊥平面ABCD,∴DQ⊥BM.·274·,在BC边上取点E，使CE=AD=2，连接AE，又∵AD∥CE,∴四边形AECD为平行四边形.∴AE=2.222AE+BE-AB4+9-71在△ABE中，BE=BC-CE=3，由余弦定理知.cos∠AEB===，故∠AEB2AE⋅BE2×2×32=60°.过点A作AF⊥BC于F，在Rt△AEF中.AF=AE⋅sin∠AEB=3,EF=AE.cos∠AEB=1.故BF=BE-EF=2.以AF､AD､AP所在组线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以B3,-2,0，M0,1,0,D0,2⋅0,C3,3,0,∴BM=-3,3,0,DC=3,1,0,∴BM⋅DC=-3×3+3×1+0=0,∴BM⊥CD.又∵CD∩DQ=D.∴BM⊥平面QDC，又∵BM⊂平面BMN，∴平面BMN⊥平面QDC.(2)平面BMC的一个法向量为m=0,0,1，设N0,0,h(h>0)，则MN=0,-1,h，设平面BMN的法向量为n=x,y,z.n⋅BM=0,-3x+3y=0则即-y+hz=0.取z=1.则x=3h⋅y=h.n⋅MN=0.∴平面BMN的一个法向量为n=3h,h,1.设二面角N-BM-C的平面角为α.m⋅n15则cosα=cosm,n==22=5，解得h=1.m⋅n3h+h+1∴平面BMN的一个法向量为n=3⋅1⋅1，∴Q0.2,2,∴BQ=-3,4.2.设BQ与平面BMN所成角为θ.n⋅BQ3115则sinθ=cosn⋅BQ==115.n⋅BQ18.（17分）现有红､绿､蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球.所有球的大小､形状､质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第k+1次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去.记第n次取出的球是红球的概率为Pn，(1)求第3次取出的球是蓝球的概率；(2)求Pn的解析式解析(1)设第n次取出的球是绿球､蓝球的概率分别为an､bn.·275·,111显然P1=,a1=,b1=.244111311151115则P2=P1+a1+b1=,a2=P1+a1+b1=,b2=P1+a1+b1=.2448424164421611121故b3=P2+a2+b2=.44264(2)由上述规律可知111Pn=Pn-1+an-1+bn-1①244111an=4Pn-1+2an-1+4bn-1②b=1P+1a+1b.③nn-1n-1n-14421将②-③得an-bn=an-1-bn-1.41∵a1=b1=,∴an=bn.411代入①得Pn=Pn-1+an-1，221-Pn又∵Pn+an+bn=1,∴Pn+2an=1,∴an=，211∴Pn=Pn-1+.44111∴Pn-3=4Pn-1-3，11又∵P1-=，36111∴数列Pn-3是首项为6，公比为4的等比数列，111n-1∴Pn-3=6⋅4，11n-11∴Pn=6⋅4+3.19.（17分）设a,b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡bmodm.33(1)求证：2+1≡65mod7；p-1(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则n≡1modp，这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题：13①证明：对于任意整数x都有x-x≡0mod546；973②求方程x+x-x-x≡0mod35的正整数解的个数.331111111111101解析(1)证明：因为2=8=(7+1)=C117+C117+⋯+C117+1，33所以2被7除所得的余数为1，33所以2+1被7除所得的余数为2，又65被7除所得的余数为2.33所以2+1≡65mod7.13(2)①证明：由费马小定理得x-x≡0mod13，13126266又x-x=xx-1=xx-1=xx+1x-1，13所以x-x≡0mod7，1313同理：x-x≡0mod2,x-x≡0mod3，因为2,3,7,13都为素数.2×3×7×13=546，·276·,13所以x-x≡0mod546.9732627②易得x+x-x-x=xx+1x-1=x+1x-x，7由费马小定理知道对于任意正整数x都有x-x≡0mod7，973即x+x-x-x≡0mod7.973262242542x+x-x-x=xx+1x-1=xx+1x-1x+x+1=x-xx+x+1，5由费马小定理知道对于任意正整数x都有x-x≡0mod5，973即x+x-x-x≡0mod5.973因为5和7互为质数.所以对于任意的正整数x都有x+x-x-x≡0mod35.973于是方程x+x-x-x≡0mod35的正整数解的个数为35.·277·,安徽省1号卷A10联盟2024届高三开年考数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(m,2),b=(1,-4)，若a⎳b，则实数m的值为()1A.-B.-2C.-1D.82答案A【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.1解析由向量a=(m,2),b=(1,-4)，因为a⎳b，可得-4m-2=0，解得m=-.2故选：A.32.复数z=i+在复平面内对应的点位于()31-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四像限答案D【分析】利用复数的四则运算化简复数z，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.3331-i31解析z=i+=i+=i+=-i，1-i31+i22231则在复平面内对应的点为2,-2，位于第四象限.故选：D．x3.已知直线l与曲线fx=e+sinx在点0,f0处的切线垂直，则直线l的斜率为()1A.-1B.1C.-D.22答案Cx【分析】可得fx=e+cosx，得到f0=2，进而求得直线l的斜率，得到答案.xx解析由函数fx=e+sinx，可得fx=e+cosx，1则f0=2，所以直线l的斜率为-.2故选：C．n+1a84.已知正项数列an满足an+1=an，则=()2na41111A.B.C.D.16842答案Ban【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解.nan+11anan1a8a414解析依题意，n+1=2⋅n，则数列n是以2为公比的等比数列，因此8=4⋅2，a81所以=.a48·278·,故选：B25.已知抛物线C:x=2py(p>0)的准线为y=-2，点P,Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为-2,4，则直线PQ的方程为()A.x+2y-6=0B.x+3y-10=0C.2x+y=0D.2x+3y-8=0答案A2【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x=8y，再利用点差法，即可求解.2p2解析由抛物线C:x=2py的准线为y=-2，可得-=-2，可得p=4，所以x=8y，22x1=8y1设Px1,y1,Qx2,y2，可得2，且x1+x2=-4，x2=8y222两式相减，可得x2-x1=(x2-x1)(x2+x1)=8(y2-y1)，y2-y1x2+x111可得kPQ===-，所以直线PQ的方程为y-4=-x+2，x2-x1822即x+2y-6=0.故选：A．6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是()A.240B.420C.540D.900答案C【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为1:2:3或1:1:4或2:2:2，结合排列、组合数的计算公式，即可求解.123解析若三个景点安排的人数之比为1:2:3，则有C6C5A3=360种安排方法；11C6C53若三个景点安排的人数之比为1:1:4，则有2⋅A3=90种安排方法；A222C6C43若三个景点安排的人数之比为2:2:2，则有3⋅A3=90种安排方法，A3故不同的安排方法种数是360+90+90=540．故选：C．7.如图，AB为圆锥SO底面圆的一条直径，点C为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO的侧面展开，所得的平面图形中△ABC为直角三角形，若SA=4，则圆锥SO的表面积为()32π16πA.B.C.8πD.12π99答案B·279·,2π【分析】根据题意，得到BC⊥SA，由SC=CA，求得∠ASA=，结合圆锥的侧面积公式和圆的面积公3式，即可求解.解析如图所示，作出展开图，可得∠CAB,∠CBA为锐角，故BC⊥SA，2π由SC=CA，可得BS=BA，即△ASB为等边三角形，所以∠ASA=，34×2π2则圆锥的侧面积为1×2π×16=16π，底面积π×3=16π，2332π916π所以圆锥SO的表面积为.9故选：B．8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设Ax1,y1,Bx2,y2，则A,B两点间的曼22哈顿距离dA,B=x1-x2+y1-y2，已知M4,6，点N在圆C:x+y+6x+4y=0上运动，若点P满足d(M,P)=2，则PN的最大值为()172A.73+13B.+13C.145+13D.149+132答案D【分析】求得圆心C，半径r=13，设P(x0,y0)，则x0-4+y0-6=2，可得点P的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.2222解析如图所示，由圆C:x+y+6x+4y=0，可得(x+3)+(y+2)=13，则圆心C(-3,-2)，半径r=13，设P(x0,y0)，则x0-4+y0-6=2，可得点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A(4,8),B(6,6)，则AC=149,BC=145，则PN≤AC+r=149+13，所以PN的最大值为149+13.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。1π9.已知函数fx=2sin3x-4，则()9πA.直线x=为fx图象的一条对称轴4·280·,3πB.点-4,0为fx图象的一个对称中心3πC.将fx的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称4D.fx在π,3π上单调递增答案AC【分析】由正弦函数的对称轴，对称中心，平移，单调性性质逐一判断选项即可.9π19ππ解析A：f4=2sin3×4-4=2，故A正确；3π13ππB：f-4=2sin-3×4-4=-2，故B错误；C：将函数fx3π3π13ππ的图象向右平移4个单位长度后，得到fx-4=2sin3x-4-4=x-2cos，偶函数，故C正确；3D：因为x∈π,3π1x-π∈π,3π，所以，则函数fx在π,3π上先增后减，故D错误．34124故选：AC．10.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M在棱DD1上，记平面BC1M截正方体所得的截面图形为Ω，则()A.平面A1BC⊥平面B1C1DB.不存在点M，使得直线CM⎳平面BA1C1C.B1M+CM的最小值为24+22D.Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大答案ACD【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选项,根据导数结合函数单调性判断D选项.解析由于正方体的对角面相互垂直，故A正确；当点M与D1重合时，直线CM⎳平面BA1C1，故B错误；22将四边形DCC1D1翻折至与四边形BB1D1D共面，则B1M+CM≥B1C=22+2+2=24+22，故C正确；当DM=0时，Ω为△BC1D，且△BC1D的周长为62．当DM=2时，Ω为四边形ABC1D1，且四边形ABC1D1的周长为4+42．当0<dm<2时，如图，过点m作mn⎳ad1，易得mn⎳bc1，所以ω为四边形mnbc1，2设dm=x，四边形mnbc1的周长为l，则lx=22+22-x+4+2x，2x-4所以lx=+2，令lx>0，解得0<x<4，2x-2+4所以lx在0,2上单调递增，所以ω的周长随着线段dm长度的增大而增大，故d正确．故选:acd．11.已知函数fx,gx的定义域均为r，其中fx的图象关于点1,1中心对称，gx的图象关于直线x·281·,=2对称，fx-g2+x=4,g2=3，则()2024a.f-x+fx=0b.f2024=7c.g2024=-1d.f(k)=2024k=1答案bd【分析】根据题意，结合函数的性质，所以fx=f-x，可判定a错误；再由函数fx是以4为周期的周期函数，得到f2024=f0，可判定b正确；结合g2024=f2022-4，结合周期性，可判定c错误；求得f1+f2+f3+f4=4，进而可判定d正确.解析由题意知fx-4=g2+x,g2+x=g(2-x)，所以fx-4=f(-x)-4，所以fx=f-x，所以a错误；又由f0=4+g2=7，因为fx关于点1,1中心对称，所以f1=1,fx+2+f-x=2，所以fx+4+f-x-2=2，又因为fx+2=f-x-2，所以fx+4=f-x=fx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，所以f2024=f0=7，所以b正确；由g2024=f2022-4=f2-4=2-f0-4=2-7-4=-9，所以c错误；因为f1=1,f2=2-f0=2-7=-5,f3=f-1=f1=1,f4=f0=7，2024所以f1+f2+f3+f4=4，所以∑fk=2024，所以d正确.k=1故选：bd.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合m=x∈n∣x+2x-3<0,n=-2,-1,0,1,2，则m∩n=．答案0,1,2【分析】列举法表示m，由交集的定义求m∩n.解析因为m=x∈n∣x+2x-3<0=x∈n-2<x<3=0,1,2，又n=-2,-1,0,1,2，所以m∩n=0,1,2．故答案为：0,1,2π13.在△abc中，ac=4，且sinb=2sinasinc，则△abc的面积为；若c=，则b=．4π答案4 90="">b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C交于M,N两点，若ab3S△MNF2=7S△MF1F2，且∠F2F1N=∠F2NF1，则C的离心率为．5答案735a+3c【分析】作F2E⊥MN，分别求得MF1=(a-c)，ME=(a-c)，MF2=，在直角△MF2E中，222利用勾股定理，列出关于离心率e的方程，结合离心率的定义，即可求解.解析如图所示，作F2E⊥MN，垂足为E，因为∠F2F1N=∠F2NF1，所以F1F2=F2N=2c，点E为F1N的中点，所以F1N=2a-2c,F1E=a-c，MF13因为3S△MNF2=7S△MF1F2，所以=7，MN333所以MF1=NF1=⋅2(a-c)=(a-c)，44235所以ME=MF1+F1E=(a-c)+(a-c)=(a-c)，223a+3c所以MF2=2a-MF1=2a-(a-c)=，225222a+3c2在直角△MF2E中，由勾股定理可得2(a-c)+(2c)-(a-c)=2，222整理得到5a-12ac+7c=0，即7e-12e+5=0，5因为e∈(0,1)，解得e=.75故答案为：.7四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示．购车意愿性别合计愿意购置该款汽车不愿购置该款汽车男性10020120女性503080合计15050200(1)请根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关；(2)用频率估计概率，随机抽取两名车迷作深度访谈，记其中愿意购置该款汽车的人数为X，求X的分布·283·,列与期望．22n(ad-bc)参考公式：χ=，其中n=a+b+c+d．a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.0012.70xα3.8416.6357.87910.8286答案(1)认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．3(2)分布列见解析，数学期望为．22【分析】(1)由题中公式计算χ，得出结果；3(2)由题意得到二项分布X∼B2,4，求出相应的概率，列出分布列，用公式求出数学期望即可.解析(1)零假设为H0：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关．22200×100×30-50×20根据表中数据可得χ=≈11.111>10.828，120×80×150×50根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关．1503(2)由题意得，随机抽取到1名愿意购置该款汽车的车迷的概率为=，20043故X∼B2,4，03211333所以PX=0=C21-4=16,PX=1=C2×4×1-4=8，2329PX=2=C24=16，故X的分布列为X012139P16816139333EX=0×+1×+2×=.(或EX=2×=)1681624216.（15分）如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，点O是AC的中点，点P在棱SD上(异于端点)．(1)若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC；5(2)若二面角S-AC-P的余弦值为，求线段SP的长．5答案(1)证明见解析22(2)3·284·,【分析】(1)由线面垂直证明面面垂直，先证明SD⊥平面PAC，即可得出平面SAD⊥平面PAC.(2)分别以OB,OC,OS为x轴､y轴､z轴正方向建系，设SP=λSD,0<λ<1，则SP=-λ,0,-λ进而表示出AP=-λ,1,1-λ，求出平面PAC的一个法向量为n=1-λ,0,λ，再利用二面角S-AC-P的余52弦值为求出λ=，最后得出结果.53解析(1)由题意得，正四棱锥所有棱长均为2，因为P是SD的中点，所以CP⊥SD,AP⊥SD，因为AP∩CP=P，且AP,CP⊂平面PAC，所以SD⊥平面PAC，又因为SD⊂平面SAD，所以平面SAD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易知OB,OC,OS两两垂直，分别以OB,OC,OS为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A0,-1,0,C0,1,0,S0,0,1,D-1,0,0，所以AC=0,2,0,SD=-1,0,-1．设SP=λSD,0<λ<1，则SP=-λ,0,-λ，所以P-λ,0,1-λ，所以AP=-λ,1,1-λ．n⋅AP=-λx+y+1-λz=0设平面PAC的法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=2y=0，令z=λ，则x=1-λ，所以平面PAC的一个法向量为n=1-λ,0,λ．易知平面SAC的法向量为OB=1,0,0，设二面角S-AC-P的平面角为θ，OB⋅n1-λ5则cosθ=cosOB,n==22=5，OBn1-λ+λ×122即3λ-8λ+4=0，解得λ=或λ=2(不合题意，舍去)，3222此时SP=SD=．332y2x17.（15分）已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，点A-6,2在C上，且ab△AF1F2的面积为6．(1)求双曲线C的方程；11(2)记点A在x轴上的射影为点B，过点B的直线l与C交于M,N两点．探究：+是否为定22BMBN值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2x2答案(1)-y=12·285·,11(2)+=1，为定值．22BMBN1【分析】(1)根据△AF1F2的面积为6，表示为⋅2c⋅2=6，结合双曲线方程，即可得到答案；2(2)首先设直线l的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示BM和BN，并利用韦达定理表示，即可化简求解.解析(1)设双曲线的焦距为2c(c>0)，1⋅2c⋅2=62222由题意得，a+b=c，622-2=1aba=22x2解得b=1，故双曲线C的方程为-y=1．2c=3(2)由题意得，B-6,0，2211112+6+2-6当直线MN的斜率为零时，则+=+=22222BM|BN|2+66-22-616==1．16当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为x=my-6，点Mx1,y1,Nx2,y2，2x2-y=122联立2，整理得m-2y-26my+4=0，x=my-62m-2≠0则Δ=24m2-16m2-2>0，解得m≠2且m≠-2，26m4所以y1+y2=2,y1y2=2，m-2m-22211111y1+y2所以+=+=⋅222222222BMBN1+my11+my21+my1y226m241y+y2-2yy12-2⋅2116m2+161212m-2m-2=⋅=⋅=⋅=1．1+m2y2y21+m2421+m21612m2-211综上，+=1，为定值．22BMBNk+118.（17分）已知函数fx=xlnx-λx，其中k,λ∈R．(1)若k=-1，讨论fx在1,4上的单调性；·286·,fx1-fx2(2)若存在正数k，使得∀x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2时，<0，求λ的取值范围．x1-x2答案(1)答案见解析.1(2)e,+∞1-λx1【分析】(1)求导fx=，讨论λ的正负及与1和4的大小关系判断单调性；xλ(2)先转化为fx≤0，构造新函数得Fx≤0，求导分类讨论判断Fx单调性，当λ>0分离参数求得范围.11-λx解析(1)由题意得，fx=lnx-λx,x∈1,4,fx=-λ=．xx若λ≤0，则fx>0，此时fx在1,4上单调递增；1若0<λ≤，则fx≥0，此时fx在1,4上单调递增；4若λ≥1，则fx≤0，此时fx在1,4上单调递减；若1<λ<1，则当x∈1,1时，fx1,44λ>0，当x∈λ时，fx<0，故fx11在1,λ上单调递增，在λ,4上单调递减．1综上所述，当λ≤时，fx在1,4上单调递增；41<λ<1时，fx11当4在1,λ上单调递增，在λ,4上单调递减；当λ≥1时，fx在1,4上单调递减．(2)由题意得，∃k∈0,+∞，使得函数fx在0,+∞上单调递减，kk+11kfx=k+1xlnx-λx+xx-λ=xk+1lnx-λk+2x+1．令Fx=k+1lnx-λk+2x+1，问题即转化为：∃k∈0,+∞,∀x∈0,+∞,Fx≤0．k+1①当λ≤0时，Fx=-λk+2>0，且单调递增，x易知x→+∞,Fx→+∞，不合题意，舍去．k+1②当λ>0时，因为Fx=-λk+2，xk+1k+1∴Fx在0,上单调递增，在,+∞上单调递减，λk+2λk+2k+1k+1∴Fxmax=F=k+1ln-k≤0．λk+2λk+2k+1k即∃k∈0,+∞，使得lnλ≥ln-．k+2k+1k+1k1令Gk=ln-=lnk+1-lnk+2+-1，k+2k+1k+1111-1故Gk=--=<0，k+1k+2k+12k+2k+1211∴Gk在0,+∞上单调递减，且当k→+∞时，Gk=ln1-k+2+k+1-1→-1，1∴lnλ>-1,∴λ>．e1综上所述，实数λ的取值范围为e,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性及恒成立问题，注意第二问双变量k,x的处理，先看做x的恒成立问题，再对k有解.·287·,19.（17分）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1,a2,⋯,an，它们的算术平均不小于它们的几a1+a2+⋯+ann何平均，即≥a1a2⋯an，当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立．若无穷正项数列an同n时满足下列两个性质：①∃M>0,an<m；②an为单调数列，则称数列an具有性质p．4(1)若an=n+2，求数列an的最小项；nn1(2)若bn=n，记sn=bn，判断数列sn是否具有性质p，并说明理由；2-1i=11n(3)若cn=1+n，求证：数列cn具有性质p．答案(1)最小项为a2=3(2)数列sn具有性质p，理由见解析．(3)证明见解析nn4【分析】(1)利用an=++2，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；22n11(2)变形bn≤n-1，再利用等比数列求和证明性质①，利用bn=n>0,证明②；22-1(3)结合二项式定理及n元基本不等式求解.nn43n4nn4解析(1)∵an=2+2+2≥32⋅2⋅2=3，当且仅当2=2，即n=2时，等号成立，nnn4∴数列an的最小项为a2=2+2=3．2(2)数列Sn具有性质P．111∵bn=n=n-1n-1≤n-1，2-12+2-121i=1i=111111-2n1∴Sn=∑nbi≤∑ni-1=1+1+2+⋯+n-1=1=21-2n<2,，22221-2∴数列Sn满足条件①．1∵bn=n>0,∴Sn<sn+1,∴sn为单调递增数列，∴数列sn满足条件②．2-1综上，数列sn具有性质p．(3)先证数列cn满足条件①：1n0112131n1cn=1+n=cn+cn⋅n+cn⋅2+cn⋅3+⋯+cn⋅nn．nnk1nn-1n-2⋯n-k+1nn-1n-2n-k+11当k≥2时，cn⋅k=k=n⋅n⋅n⋯n⋅k!nn⋅k!1111≤≤=-,k!kk-1k-1k1n111111则cn=1+n=1+1+1-2+2-3+⋯+n-1-n=3-n<3，∴数列sn满足条件①．再证数列cn满足条件②：1n111cn=1+n=1+n⋅1+n⋯1+n×11+1+1+1+⋯+1+1+1n+1nnn1<(1+>1，等号取不到)n+1n·288·,n+1+1⋅nn+1n1n+1=n+1=1+n+1=cn+1,∴cn为单调递增数列，∴数列cn满足条件②．综上，数列cn具有性质P.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.·289·,黑龙江省“六校联盟”2023-2024学年高三下学期联合性适应测试数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P=1,2，Q=2,3，若M=xx∈P,x∉Q，则M=()A.1B.2C.1,3D.1,2,3答案A【分析】根据集合M的定义可得集合M.解析因为集合P=1,2，Q=2,3，则M=xx∈P,x∉Q=1.故选：A.2.在正项等比数列an中，Sn为其前n项和，若S10=10，S20=30，则S30的值为()A.50B.70C.90D.110答案B【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.解析由等比数列的片段和性质得S10，S20-S10，S30-S20成等比数列2所以S20-S10=S10S30-S202所以30-10=10S30-30，解得S30=70.故选：B.ππ3.已知α∈0,2，且cosα-4=3cos2α，则sin2α=()5115A.-B.-C.D.6666答案D2【分析】由两角差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可得出cosα-sinα的值，再利用cosα-sinα=1-sin2α可求得sin2α的值.π解析因为α∈0,2，则sinα>0，cosα>0，所以，sinα+cosα>0，π222由cosα-4=3cos2α可得2cosα+sinα=3cosα-sinα=3cosα+sinαcosα-sinα，6所以，cosα-sinα=，626215所以，cosα-sinα=1-2sinαcosα=1-sin2α==，故sin2α=.666故选：D.4.已知a、b为单位向量，且a-2b=a+b，则a、b的夹角为()ππ2π5πA.B.C.D.6336答案B·290·,【分析】设a、b的夹角为θ，则0≤θ≤π，利用平面向量数量积的运算性质可得出cosθ的值，即可得出角θ的值.解析设a、b的夹角为θ，则0≤θ≤π，由已知可得a=b=1，a-2b=a+b，222222所以，a-2b=a+b，即a-4a⋅b+4b=a+2a⋅b+b，2222即a-4a⋅bcosθ+4b=a+2a⋅bcosθ+b，即5-4cosθ=2+2cosθ，1π解得cosθ=，故θ=，23故选：B.25.已知F为抛物线C:y=2pxp>0的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B两点，若FA⋅FB=2，则p=()A.1B.2C.3D.4答案A【分析】写出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算求解即可.pp解析由已知得F2,0，则过F且斜率为1的直线为y=x-2，设Ax1,y1,Bx2,y2，p2y=x-2p联立2，消去y得x-3px+=0，y2=2px42p222则x1+x2=3p,x1x2=，Δ=9p-p=8p>0，4222pppppppFA⋅FB=x1+x2+=x1x2+x1+x2+=+×3p+=2，2224424解得p=1.故选：A.6.“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离(简称欧氏距离)”是指平面上两点的直线距离，如图a所表示的就是曼哈顿距离，b所表示的就是欧氏距离，若Ax1,y1、Bx2,y2，则两点的曼哈22顿距离DA,B=x1-x2+y1-y2，而两点的欧氏距离为dA,B=x1-x2+y1-y2，设点O0,0，在平面内满足dM,O≤1的点组成的图形面积记为S1，DM,O≤1的点组成的图形面积记为S2，则S1-S2=()A.0B.π-2C.π-1D.4-π答案B【分析】设点Mx,y，分析dM,O=1，DM,O=1所表示的图形，求出S1、S2，即可得解.2222解析设点Mx,y，则dM,O=x+y≤1，可得x+y≤1，·291·,222方程x+y=1表示以原点为圆心，半径为1的圆，则S1=π×1=π，DM,O=x+y≤1，对于方程x+y=1，当x≥0、y≥0时，则有x+y=1；当x≤0、y≥0时，则有-x+y=1，即x-y=-1；当x≤0、y≤0时，则有-x-y=1，即x+y=-1；当x≥0、y≤0时，则有x-y=1.作出方程x+y=1表示的图形如下图所示：2所以，方程x+y=1表示的图形是边长为2的正方形，则S2=2=2，故S1-S2=π-2.故选：B.2023202420257.已知a=2022，b=2023，c=2024，则()A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a答案Clnx2【分析】构造函数fx=，其中x>e，利用导数分析函数fx的单调性，再由函数fx的单调性x+1结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.11x+1-lnx1+-lnxlnx2xx解析构造函数fx=，其中x>e，则fx==<0，x+1x+12x+121112令gx=1+-lnx，则gx=--<0对任意的x>e恒成立，xx2x11+-lnx2211x当x>e时，gx<ge=1+2-2=2-1<0，即fx=2<0，eex+12所以，函数fx在e,+∞上单调递减，2023ln2022ln2023因为lna=ln2022==f2022，lnb==f2023，20232024ln2024lnc==f2024，20252又因为fx在e,+∞上单调递减，则f2022>f2023>f2024，即lna>lnb>lnc，故a>b>c.故选：C.8.以正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为()1123A.B.C.D.58292929答案B·292·,【分析】找出各面都不是直角三角形的三棱锥，并求出全部三棱锥的个数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.解析如下图所示：三棱锥C1-A1BD各面都是等边三角形，这样的三棱锥还有三棱锥A-CB1D1，共2个，从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，从8个顶点中任取三点不共线，若取4个点，若这四点共面，则四点所在的面是正方体的侧面或底面，或者是正方体的对角面，如面AA1C1C，对角面的个数为6个，所以，从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，4不同的三棱锥的个数为C8-12=70-12=58，21因此，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为=.5829故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。π9.已知直线x=是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，则()8π3πA.fx+8是偶函数B.x=8是f(x)图象的一条对称轴C.f(x)在π,ππ时，函数f(x)取得最小值上单调递减D.当x=822答案ACπππ【分析】根据x=8为图象的对称轴，求出φ=4，从而得到fx+8=cos2x，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在π,ππ求出上单调递减；代入x=822ππ2sin2×2+4=-2，D错误.π解析因为直线x=是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，8ππ所以2×+φ=kπ+，k∈Z，82ππ又0<φ<π，所以φ=4，所以fx=sin2x+4．ππfx+8=sin2x+2=cos2x，是偶函数，故A正确；ππkππ令2x+=kπ+(k∈Z)，解得:x=+(k∈Z)，4228kππ3π所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z)，而x=不能满足上式，故B错误；288·293·,当x∈π,ππ∈π,5π时，2x+，此时函数f(x)单调递减，故C正确；82424ππππ2显然函数f(x)的最小值为-1，当x=2时，f2=sin2×2+4=-2，故D错误．故选：AC．10.已知A2,0、B4,1，点Mx,y为曲线C上动点，则下列结论正确的是()2A.若C为抛物线y=8x，则MA+MBmin=2+172y2xB.若C为椭圆+=1，则MA+MBmin=10-37252122yC.若C为双曲线x-=1，则MA+MBmin=37-2322153D.若C为圆x+y=1，则MA+MB=2min2答案BCD【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项.解析对于A选项，如下图所示：2抛物线y=8x的焦点为A2,0，准线方程为x=-2，设点M在直线x=-2上的射影点为E，由抛物线的定义可得ME=MA，所以，MA+MB=ME+MB，由图可知，当E、M、B三点共线时，MA+MB=ME+MB取最小值，且其最小值为点B到直线x=-2的距离，即MA+MBmin=6，A错；对于B选项，如下图所示：2y2x22对于椭圆+=1，a=5，b=21，则c=a-b=25-21=2，25212y2x则点A为椭圆+=1的右焦点，取D-2,0为该椭圆的左焦点，2521由椭圆的定义可得MA=2a-MD=10-MD，2所以，MA+MB=10+MB-MD≥10-BD=10-4+2+1=10-37，当且仅当M为射线DB与椭圆的交点时，MA+MB取最小值10-37，B对；·294·,22y22对于C选项，对于双曲线x-=1，a=1，b=3，则c=a+b=1+3=2，322y所以，点A2,0为双曲线x-=1的右焦点，322y取D-2,0为双曲线x-=1的右焦点，如下图所示：3当点M在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得MD-MA=2a=2，则MA=MD-2，所以，MA+MB=MD+MB-2≥BD-2=37-2，当且仅当M为线段BD与双曲线右支的交点时，等号成立；当点M在双曲线的左支时，由双曲线定义可得MA-MD=2a=2，则MA=MD+2，所以，MA+MB=MD+MB+2≥BD+2=37+2，当且仅当M为线段BD与双曲线左支的交点时，等号成立.综上所述，MA+MBmin=37-2，C对；1对于D选项，记点H2,0，对于点Mx,y，易知-1≤x≤1，-1≤y≤1，22222222MA=x-2+y=x-4x+4+y=x-4x+1+y+3x+y2222122=4x-4x+1+4y=2x-1+2y=2x-+y=2MH，2如下图所示：112253所以，MA+MB=MH+MB≥HB=4-+1=，222当且仅当M为线段HB与圆的交点时，等号成立，153即MA+MB=，D对.2min2故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：(1)求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；(2)圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解；(3)在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.11.容器中有A、B、C3种颜色的小球，若相同颜色的两颗小球发生碰撞，则变成一颗B球；不同颜色的两颗小球发生碰撞，会变成另外小球．例如，一颗A球和一颗B球发生碰撞则变成一颗C球，现有A球10颗，B球8颗，C球9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗球．则下列结论正确的是()A.一定经过了26次碰撞B.最后一颗球可能是A球C.最后一颗球可能是B球D.最后一颗球可能是C球·295·,答案ABD【分析】分析每一次碰撞球数量的变化规律，根据规律求解.解析(1)若最后剩下的可能是A球.10颗A球两两碰撞，形成5颗B球；9颗C球中的8个两两碰撞，形成4颗B球；所有的17颗B球两两碰撞，剩下一颗B球；这个B球与剩下的一颗C球碰撞形成A球.(2)最后剩下的可能是C球.10颗A球中的9颗与9颗C球两两碰撞，形成9颗B球；所有的17颗B球两两碰撞，最后剩一颗B球；这个B球与剩下的一颗A球碰撞形成C球.(3)最后剩下的不可能是B球.A、B、C三种球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一颗B球，减少两颗A球：(B多1个，A、C共减少两个)；B与B碰撞，会产生一颗B球，减少两颗B球(B少1个，A、C总数不变)；C与C碰撞，会产生一颗B球，减少两颗C球(B多1个，A、C共减少两个)；A与B碰撞，会产生一颗C球，减少A、B各一颗球(B少1个，A、C总数不变)；A与C碰撞，会产生一颗B球，减少A、C各一颗球(B多1个，A、C共减少两个)；B与C碰撞，会产生一颗A球，减少B、C各一颗球(B少1个，A、C总数不变)，可以发现如下规律：(1)从B球的角度看：每碰撞一次，B球的数量增多一个或减少一个.题目中共有27颗球，经过26次碰撞剩一颗球，整个过程变化了偶数次，由于开始B球共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B球个数必为偶数，不可能是1个，所以最后剩下的不可能是B球.(2)从A、C球的角度看：每次碰撞之后，A、C球总数或者不变、或者减少两个.题目中A、C球之和为19个，无论碰撞多少次，A、C球都没了是不可能的，所以剩下的最后一颗球一定是A或C.故ABD正确，C错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，读懂题意是解题的关键.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．312.复数1+2i的实部与虚部的和为．答案-133【分析】求出复数1+2i代数形式即可.323解析1+2i=1+6i+3×2i+2i=-11-2i，所以其实部为-11，虚部为-2，实部与虚部的和为-11-2=-13.故答案为：-13.13.某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人．为了获得该校全体学生的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，经计算得到男生样本的·296·,均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30．根据以上数据，估计该校全体学生身高的均值为；估计该校全体学生身高的方差为．答案16740【分析】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，准确计算，即可求解.解析由题意，某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人，400200可得总体的均值为x=×170+×161=167，6006002122总体的方差为s={400×[18+(170-167)]+200×[30+(161-167)]}=40.600故答案为：167；40.14.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.161答案/533【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.2解析因为V球=4πR=64π，所以正三棱锥外接球半径R=4，如图所示，设外接球圆心为O，过PO向底面作垂线垂足为D，OD=a(0≤a<4)，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC与P在圆心的异侧，因为P-ABC是正三棱锥，所以D是△ABC的中心，222所以OP=OA=4,AD=OA-OD=16-a，2π2又因为∠ADB=，所以AB=BC=AC=3×16-a，3，所以，32令f(a)=-a-4a+16a+64,(0≤a<4)，24f(a)=-3a-8a+16=-(3a-4)(a+4)=0解得a=-4或，344当a∈0,3，f(a)>0；当a∈3,4，f(a)<0，44所以f(a)在0,3递增，在3,4递减，4416故当a=时，正三棱锥的体积VP-ABC最大，此时正三棱锥的高为a+OP=+4=，33316故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.316故答案为：3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。·297·,15.（13分）已知在锐角三角形△ABC中，边a，b，c对应角A,B,C，向量m=2cosA,3，n=πsinA-3,cos2A，且m与n垂直，c=2．(1)求角A；(2)求a+b的取值范围．π答案(1)6(2)1+3,23【分析】(1)通过m⋅n=0，利用三角恒等变形公式计算即可；(2)利用正弦定理，将a+b用角C表示出来，然后利用C的范围求a+b的取值范围．解析(1)因为m与n垂直，ππ所以m⋅n=2cosA,3⋅sinA-3,cos2A=2cosAsinA-3+3cos2A=0，132即2cosA2sinA-2cosA+3cos2A=cosAsinA-3cosA+3cos2A=0，13即sin2A-1+cos2A+3cos2A=0，22133即sin2A+cos2A=，222π3πππ4π即sin2A+3=2，又0<a<2，所以3<2a+3<3，π2ππ所以2a+=，即a=；336abc(2)由正弦定理==得sinasinbsincππcsinacsinb2sin6+2sin6+c1+cosc+3sinca+b=+==sincsincsincsinc2cc2coscos1+cosc221=+3=+3=+3=+3，sinccccc2sincossintan2222ππ0<π-c-<62根据三角形△abc是锐角三角形得，0<c<π2πππcπ3c解得<c<，则<<，所以<tan<1，326243211所以1<<3，则1+3<+3<23，cctantan22则a+b的取值范围为1+3,23.2an+1,n=2k-1∗16.（15分）已知数列an的前n项和为sn，满足a1=1，an+1=k∈n．3an+2,n=2k∗(1)若数列bn满足bn=a2n-1n∈n，求bn的通项公式；(2)求数列an的通项公式，并求s2n．n-1答案(1)bn=2⋅6-1n-12n2⋅6-1,n=2k-1∗66-1(2)an=k∈n，s2n=-2nn-154⋅62,n=2k·298·,【分析】(1)根据数列an的递推公式推导出数列bn+1为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列bn的通项公式；∗∗(2)求出数列a2n的通项公式，分n为奇数、偶数两种情况讨论，设n=2k-1k∈n、n=2kk∈n，可得出数列an的通项公式，分别求出s奇、s偶，相加可得s2n.2an+1,n=2k-1∗解析(1)解：因为数列an满足a1=1，an+1=k∈n，3an+2,n=2k则bn+1=a2n+1=3a2n+2=32a2n-1+1+2=6a2n-1+5=6bn+5，因为b1+1=a1+1=2≠0，且bn+1+1=6bn+1，所以，数列bn+1是首项为2，公比为6的等比数列，n-1n-1所以，bn+1=2⋅6，则bn=2⋅6-1.n-1(2)解：由(1)可得a2n-1=2⋅6-1，n-1n-1所以，a2n=2a2n-1+1=22⋅6-1+1=4⋅6-1，∗n+1当n为奇数时，设n=2k-1k∈n，则k=，2n+1-1n-1k-222则an=a2k-1=2⋅6-1=2⋅6-1=2⋅6-1；nn-1∗k-12当n为偶数时，设n=2kk∈n，则k=，则an=a2k=4⋅6-1=4⋅6-1.2n-122⋅6-1,n=2k-1∗综上所述，an=k∈n.n-14⋅62,n=2k01n-101n-1因为s奇=2⋅6-1+2⋅6-1+⋯2⋅6-1=26+6+⋯+6-nnn21-626-1=-n=-n，1-6501n-101n-1s偶=4⋅6-1+4⋅6-1+⋯+4⋅6-1=46+6+⋯+6-nnn41-646-1=-n=-n，1-65n66-1所以，s2n=s奇+s偶=-2n.517.（15分）已知：斜三棱柱abc-a1b1c1中，bb1⊥ac，aa1与面abc所成角正切值为2，aa1=5，ab=2bc=ac=22，点e为棱a1c1的中点，且点e向平面abc所作投影在△abc内．2(1)求证：ac⊥eb；af(2)f为棱aa1上一点，且二面角a-bc-f为30°，求的值．aa1答案(1)证明见解析af86-4(2)=aa123·299·,【分析】(1)取线段ac的中点m，连接em、bm，证明出ac⊥平面bem，利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)过点e在平面bb1em内作eo⊥bm，垂足为点o，证明出eo⊥平面abc，可知直线aa1与平面abc所成的角为∠emo，根据已知条件求出oe、oa的长，然后以点o为坐标原点，ca、ob、oe的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设af=λaa1，其中0≤λ≤1，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，即可得出结论.解析(1)证明：取线段ac的中点m，连接em、bm，在斜三棱柱abc-a1b1c1中，aa1⎳cc1且aa1=cc1，则四边形aa1c1c为平行四边形，所以，ac⎳a1c1且ac=a1c1，因为e、m分别为a1c1、ac的中点，所以，四边形aa1em为平行四边形，所以，em⎳aa1，又因为aa1⎳bb1，则em⎳bb1，因为ac⊥bb1，则ac⊥em，因为ab=bc，m为ac的中点，则bm⊥ac，因为em∩bm=m，em、bm⊂平面bem，所以，ac⊥平面bem，因为eb⊂平面bem，所以，eb⊥ac.(2)解：由(1)可知，ac⊥平面embb1，过点e在平面bb1em内作eo⊥bm，垂足为点o，因为ac⊥平面bb1em，eo⊂平面bb1em，则eo⊥ac，又因为eo⊥bm，bm∩ac=m，bm、ac⊂平面abc，则eo⊥平面abc，所以，直线aa1与平面abc所成的角为∠emo，eo所以，tan∠emo==2，则eo=2om，om22因为em=eo+om=5om=5，可得om=1，eo=2，2因为ab=bc=ac=22，则ab=bc=22，ac=4，2222所以，ab+bc=ac，则ab⊥bc，1因为m为ac的中点，所以，mb=ac=2，2以点o为坐标原点，ox、ob、oe的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则a2,-1,0、b0,1,0、m0,-1,0、c-2,-1,0、e0,0,2，me=0,1,2，则oa1=oa+aa1=oa+me=2,-1,0+0,1,2=2,0,2，即点a12,0,2，同理可得点b10,2,2、c1-2,0,2，设af=λaa1=λ0,1,2=0,λ,2λ，其中0≤λ≤1，则cf=ca+af=4,0,0+0,λ,2λ=4,λ,2λ，且cb=2,2,0，设平面bcf的法向量为m=x,y,z，·300·,m⋅cb=2x+2y=0则m⋅cf=4x+λy+2λz=0，取x=2λ，则y=-2λ，z=λ-4，所以，平面bcf的一个法向量为m=2λ,-2λ,λ-4，易知平面abc的一个法向量为，因为二面角a-bc-f为30°，m⋅nλ-432则cosm,n==222=2，整理可得23λ+8λ-16=0，m⋅n4λ+4λ+λ-486-4af86-4因为0≤λ≤1，解得λ=，即=.23aa1232y2x118.（17分）已知椭圆c：+=1a>b>0过点2,0，且离心率为，过右焦点F的直线交椭圆C于a2b22M、N两点，直线l:x=4交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l于S、T两点，H为l上除点P的任一点．(1)求椭圆C的方程；2(2)求S△MPN-4S△MPS⋅S△NPT的值；kHM+kHN(3)设直线HM、HN、HF的斜率分别为kHM、kHN、kHF，求的值．kHF2y2x答案(1)+=143(2)0(3)2【分析】(1)由已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；(2)分析可知，直线MN不与x轴重合，设直线MN的方程为x=my+1，设点Mx1,y1、Nx2,y2，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得结果；kHM+kHN(3)设点H4,t，其中t≠0，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值.kHF4=1a2a=2解析(1)解：由已知可得c=1，解得b=3，a2c=1a=b2+c22y2x因此，椭圆C的方程为+=1.43(2)解：易知点P4,0、F1,0，若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则△MPN不存在，不合乎题意，设直线MN的方程为x=my+1，设点Mx1,y1、Nx2,y2，·301·,x=my+122联立22可得3m+4y+6my-9=0，3x+4y=12222Δ=36m+364+3m=144m+1>0，6m9由韦达定理可得y1+y2=-2，y1y2=-2，3m+43m+421211所以，S△MPN-4S△MPS⋅S△NPT=2⋅3⋅y1-y2-4⋅2⋅y14-x1⋅2⋅y24-x292=y1+y2-4y1y2+y1y23-my13-my24922=y1+y2-4y1y2+y1y2my1y2-3my1+y2+9423m⋅-6m2936m3699m=+9--43m2+423m2+4-3m2+43m2+43m2+42222936m+36-27m-36-18m+9m==0.223m+4y1-ty2-t+kHM+kHNx1-4x2-43y1-ty2-t(3)解：设点H4,t，其中t≠0，则==+kHFttmy1-3my2-333y1-tmy2-3+y2-tmy1-3=⋅tmy1-3my2-332my1y2-mt+3y1+y2+6t=⋅tm2yy-3my+y+9121222m⋅-9-6m⋅mt+36t3m+42-2+233m+43m+43m+4=⋅t-9m23m⋅-6m9⋅3m2+42-2+23m+43m+43m+42272m2+13-18m+18m+6mt+24t+18tm=⋅==2.t-9m2+18m2+36+27m236m2+1【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．x19.（17分）设函数fx=e，gx=lnx.x(1)已知e≥kx≥lnx对任意x∈0,+∞恒成立，求实数k的取值范围；(2)已知直线l与曲线fx、gx分别切于点x1,fx1、x2,gx2，其中x1>0-2-1①求证：e<x2<e；x②已知λx2-x+1e+x≤0对任意x∈x1,+∞恒成立，求λ的取值范围．答案(1)1,ee(2)①证明见解析；②-∞,1.xlnxelnx【分析】(1)利用参变量分离法可得出≤k≤，其中x>0，利用导数分别求出函数ux=的最xxxxe大值、函数vx=的最小值，即可得出实数k的取值范围；xx11e=xx1(2)①利用导数的几何意义可得出直线l两种不同的方程，可得出2，整理可得出eex11-x=lnx-112·302·,x-x1x1-1-x1-1=0，构造函数hx=x-1e-x-1，其中x>0，求出x1的取值范围，再由x2=e可证得结论成立；xxx②由λx2-x+1e+x≤0可得λx2≤x-1-x，设Fx=x-1-x，其中x≥x1，利用导数求出函数ee-x1Fx的最小值，即可得λx2≤Fxmin，结合x2=e可得出实数λ的取值范围.xlnxe解析(1)解：由已知可得≤k≤，其中x>0，xxlnx1-lnx设ux=，其中x>0，则ux=，xx2当0<x<e时，ux>0，即ux在0,e上单调递增，当x>e时，ux<0，即ux在e,+∞上单调递减，1所以，k≥uxmax=ue=；exexx-1e令vx=，其中x>0，则vx=，xx2当0<x<1时，vx<0，即函数vx在0,1上单调递减，当x>1时，vx>0，即函数vx在1,+∞上单调递增，所以，k≤vxmin=v1=e，综上所述，实数k的取值范围是1,e.exx1(2)证明：①因为fx=e，gx=lnx，则fx=e，gx=，xx1x1x1x1所以，直线l可表示为y-e=ex-x1，即y=ex+e1-x1，11直线l的方程也可表示为y-lnx2=x-x1，即y=x+lnx2-1，x2x2x11e=-xx1故有2，所以，x2=e，ex11-x=lnx-112x1x1所以，e1-x1=-x1-1，即ex1-1-x1-1=0，xx设hx=x-1e-x-1，其中x>0，则hx=xe-1，xx令px=xe-1，其中x>0，则px=x+1e>0对任意的x>0恒成立，x所以，函数hx=xe-1在0,+∞上单调递增，又因为h0=-1<0，h1=e-1>0，所以，存在x0∈0,1，使得hx0=0，当x∈0,x0时，hx<0，即函数hx在0,x0上单调递减，当x∈x0,+∞时，hx>0，即函数hx在x0,+∞上单调递增，因为h0=-2<0，则hx0<h0<0，h1=-2<0，所以，函数hx在0,1上无零点，2因为h2=e-3>0，所以，存在x1∈1,2，使得hx1=0，-x1-2-1所以，1<x1<2，则x2=e∈e,e；-x1x1②由①可知，x2=e，当x≥x1>1时，ex1-1=x1+1，xx由λx2-x+1e+x≤0可得λx2≤x-1-x，exx1-xe+x-1设Fx=x-1-x，其中x≥x1，则Fx=1-x=x>0对任意的x≥x1恒成立，eee所以，函数Fx在x1,+∞上单调递增，x1x1ex1-1-x11所以，Fxmin=Fx1=x1-1-x1=x1=x1，eee-x1所以，λx2≤e=x2，解得λ≤1，故实数λ的取值范围是-∞,1.·303·,【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)∀x∈D，m≤fx⇔m≤fxmin；(2)∀x∈D，m≥fx⇔m≥fxmax；(3)∃x∈D，m≤fx⇔m≤fxmax；(4)∃x∈D，m≥fx⇔m≥fxmin.·304·,安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试(2月)数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x-11.已知全集U=R，集合M=xx+3<0，N=y∈Ry=x+1，则M∩N等于()A.-1,1B.0,1C.-3,0D.-3,-1答案B【分析】首先解分式不等式求出集合M，再求出集合N，最后根据交集的定义计算可得.x-1解析由<0，即x-1x+3<0，解得-3<x<1，x+3x-1所以m=xx+3<0=x-3<x<1，又n=y∈ry=x+1=yy≥0，所以m∩n=x|0≤x<1.故选：b2.若1-iz=2i，则z-2i=()a.0b.1c.2d.2答案c【分析】首先根据复数的除法运算公式，化解复数z，再结合复数的运算和模的公式，即可求解.2i2i1+i解析z===-1+i，1-i1-i1+i则z-2i=-1-i，z-2i=1+1=2.故选：c633.(1-ax)的展开式中x的系数为160，则a=()a.2b.-2c.4d.-4答案b3【分析】写出展开式的通项，再令r=3，即可求出展开式中x的系数，从而得解.6rr解析二项式(1-ax)展开式的通项为tr+1=c6-ax(其中0≤r≤6且r∈n)，43433令r=3可得t4=c6-ax=c6-a⋅x，43所以c6-a=160，解得a=-2.故选：b4.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是a.甲地：总体均值为3，中位数为4b.乙地：总体均值为1，总体方差大于0c.丙地：中位数为2，众数为3d.丁地：总体均值为2，总体方差为3·305·,答案d解析试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数(第天)人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差2y2x5.椭圆+=1经过点2,3，则其离心率e=()22aa-41233a.b.c.d.2223答案a2【分析】将点代入椭圆方程得a=16，即可得椭圆方程，由题意离心率公式求解即可.2y2x49解析将2,3代入+=1可得+=1，2222aa-4aa-44222化简可得a-17a+16=0，解得a=16或a=1(舍去)，2y2x故椭圆方程为+=1，1612所以a=4,b=23，故c=2，c1故e==，a2故选：aπ6.若函数fx=sinωx-3ω>0在区间0,π恰存三个零点，两个极值点，则ω的取值范围是()A.7,1711,7C.11,17D.7,2036B.636636答案Aππ5π【分析】由x的取值范围求出ωx-，再结合题意及正弦函数的性质得到2π<ωπ-≤，解得即可.332πππ解析当x∈0,π，则ωx-3∈-3,ωπ-3，ω>0，π5π717依题意可得2π<ωπ-≤，解得<ω≤，3236717即ω的取值范围是3,6.故选：A7.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为()·306·,A.12πB.24πC.36πD.48π答案D46【分析】先求出正四面体P-ABC的外接球半径,再求出OO1=PO-PO1=，再结合外接球知识求出3该八面体的外接球半径,结合球的表面积计算即可.解析如图：设O为正四面体P-ABC的外接球球心，O1为△A1B1C1的中心,H为△ABC的中心,M为BC的中点，因为正四面体P-ABC棱长为8，易得PH⊥平面ABC，383易得AH=×8=，PH⊥平面ABC，AH⊂平面BCD，33283286则PH⊥AH,PH=8-=，33由正四面体外接球球心为O，则O在PH，则OP=OA=R为外接球半径，2228328622由AH+OH=BO得3+3-R=R，解得R=26，即PO=26,22223223226在正四面体P-A1B1C1中，易得A1O1=2-1=，PO1=2-=，所以OO1=PO333346-PO1=，322则该八面体的外接球半径A1O=OO1+A1O1=23,2所以该球形容器表面积的最小值为4π23=48π，故选：D.22x8.已知函数f(x)=ae-xlnx+xlna(a>0)，若方程fx=0有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,11,11,1ecC.eD.e答案A·307·,22lnx2xxa2x【分析】先将方程fx=0改写成2xe=lne；再构造函数g(x)=xe，利用导数判断其单调性，得出2a2x2x=ln，即x-lnx=-lna，将方程fx=0有两个不同的实数解转化为函数ωx=x-lnx与y=2a-lna的图象有两个不同的交点；最后利用导数研究函数ωx=x-lnx的值域，列出不等式，求解即可.解析由题目条件可得：x>0.2222lnx22x22xx2xxx2xxa2令fx=0，可得：ae-xlnx+xlna=0，则ae=xln，即2xe=ln，2xe=lne.aa2a2a22xxxx令g(x)=xe，则g2x=gln；g(x)=e+xe.a2因为x>0，所以g(x)>0，x则函数g(x)=xe在区间0,+∞上单调递增，2x所以2x=ln，即x-lnx=-lna.2a所以方程fx=0有两个不同的实数解等价于方程x-lnx=-lna有两个实数解，即函数ωx=x-lnx与y=-lna的图象有两个不同的交点.1x-1因为ωx=1-=，xx令ωx>0，得x>1；令ωx<0，得0<x<1.所以函数ωx=x-lnx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增.则ωxmin=1.又因为当x→0时，ωx→+∞；当x→+∞时，ωx→+∞.1所以-lna>1，解得：a<.e又因为a>0，1所以0<a<.e故选：a.【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程与函数思想、利用导数确定判断函数的单调性及最值等.解题关22lnx2xxa2x键在于将方程fx=0改写成2xe=lne；构造函数g(x)=xe，利用导数判断其单调性，得出2x=2a2xln，将方程根的问题转化为函数图象交点问题.2a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>0，且S11-S7S11-S8<0，则()A.a9+a10>0B.S7<s11<s8c.当n=10时，sn取最大值d.当sn<0时，n的最小值为19答案abd【分析】对a，根据等差数列的基本性质，结合a1>0分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分17别判断S11-S7,S11-S8的正负即可；对C，由a9>0,a10<0判断即可；对D，根据a9>0,a10<0可得-d<2n-1a1<-9d，再分析Sn<0时满足a1<-d判断即可.2解析对A，S11-S7S11-S8<0则a8+a9+a10+a11a9+a10+a11<0，·308·,由等差数列性质可得2a9+a10×3a10<0，即a9+a10a10<0.因为a1>0，若公差d>0，则a9,a10>0，不满足，故d<0，则a9>a10.则a9+a10>0,a10<0，故A正确；对B，由A，a9+a10>0,a10<0，故a9>0,a10<0.则S11-S7=a8+a9+a10+a11=2a9+a10>0，则S11>S7，又S11-S8=a9+a10+a11=3a10<0，故S11<s8，故b正确；对c，由a9>0,a10<0可得a1,a2...a9>0,a10,a11,a12...<0，故当n=9时，Sn取最大值，故C错误；17对D，由a9+a10=2a1+17d>0，a10=a1+9d<0，可得-d<a1<-9d.2nn-1dn-1故当sn=na1+<0时，需要满足a1<-d，故n的最小值为19，故d正确.22故选：abd2210.已知直线l:a+2x-a+1y-1=0与圆c:x+y=4交于点a,b，点p1,1,ab中点为q，则()a.ab的最小值为22b.ab的最大值为4c.pa⋅pb为定值d.存在定点m，使得mq为定值答案acd【分析】利用直线过定点p1,1进行逐项分析，对于a，根据cp和直线l垂直时，ab取最小值求解即可；对于b，验证直线l能否过圆心即可；对于c，联立直线和圆的方程，将pa⋅pb表示出来求解即可；对于d，利用cq⊥pq，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.解析直线l:a+2x-a+1y-1=0，即ax-y+2x-y-1=0，22故直线过定点p1,1,且圆c:x+y=4的圆心为0,0，半径为2,22∵1+1<4，故p1,1在圆c内，对于a，当cp和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=cp=2，2此时ab最小，ab=24-d=22，故a正确；对于b，当ab=4时，ab为圆的直径，此时直线过圆心，∵a+2×0-a+1×0-1=0方程无解，故直线不可能过圆心，故b错误；对于c，设ax1,y1,bx2,y2，则pa⋅pb=x1-1x2-1+y1-1y2-1=x1x2-x1+x2+y1y2-y1+y2+2，22当直线l斜率不存在时，l:x=1，联立圆c:x+y=4得，y=±3，此时pa⋅pb=1-3-2+2=-222当直线l斜率存在时，设直线y-1=kx-1，联立圆c:x+y=4，222222得x+kx-1+1=4，即k+1x+2k-2kx+k-2k-3=0，22k-2kx1+x2=-2k+1∴2，xx=k-2k-3122k+1222y1+y2=kx1+x2+2-2k，y1y2=kx1-1+1×kx2-1+1=kx1x2+k-kx1+x2+1-k,222∴pa⋅pb=x1x2-x1+x2+y1y2-y1+y2+2=k+1x1x2-k+1x1+x2+k+1,222带入得：pa⋅pb=k-2k-3+2k-2k+k+1=-2，故pa⋅pb为定值-2，故c正确；对于d，ab中点为q，故cq⊥ab,且p1,1在ab上，所以cq⊥pq,故△pqc是直角三角形，1112当m为pc中点2,2时，mq=2pc=2为定值，故d正确.·309·,故选：acd11.已知函数fx,gx的定义域均为r，f1-x+g1+x=2，gx-fx-2=2，g4-x-fx=2，2且当x∈0,1时．fx=x+1，则()2024a.g2024=2b.g(i)=0i=1c.函数fx关于直线x=3对称d.方程fx+2024=x有且只在2个实根答案ac【分析】根据条件，构造方程，通过解方程组求出函数fx和函数gx的性质，然后利用函数性质来判断各个选项的正误.f1-x+g1+x=2fx+g2-x=2解析对于a：由，可得，所以g(2-x)+g(4-x)=4g4-x-fx=2g4-x-fx=2所以g[2-(2-x)]+g[4-(2-x)]=4，即g(x)+g(x+2)=4所以g(x+2)+g(x+4)=4，得g(x)=g(x+4)，故gx为周期函数，且周期为4，f1-x+g1+x=2fx+g2-x=2又，可得，故g(2-x)+g(x+2)=4，gx-fx-2=2gx+2-fx=2令x=0可得g2=2，令g(x)+g(x+2)=4中的x=0可得g0=2所以g2024=g0=2，a正确；2对于b：因为当x∈0,1时，fx=x+1，所以f1=2，由f1-x+g1+x=2得f1+g1=2，所以g1=0由g4-x-fx=2得g3-f1=2，所以g3=4，又g4=g0=2，2024所以∑g(i)=506g1+g2+g3+g4=506×0+2+4+2=4048，b错误；i=1f1-x+g1+x=2f2-x+gx=2对于c：由，可得，g4-x-fx=2gx-f4-x=2故f(2-x)+f(4-x)=0，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，f1-x+g1+x=2f1-x+g1+x=2由，可得，gx-fx-2=2g1+x-fx-1=2故f(1-x)+f(x-1)=0，即f(x)=-f(-x)，所以f(x+2)=-f(x)=f-x2故f(x)为奇函数，关于x=1对称，且周期为4，又当x∈0,1时．fx=x+1，作出f(x)的图象如下：由图可知函数fx关于直线x=3对称，c正确；对于d：方程fx+2024=x，即fx=x，由图可知，函数fx的图象和y=x的图象有3个交点，即方程fx+2024=x有3个实根，d错误.·310·,故选：ac.【点睛】方法点睛：对于抽象函数构成的函数关系，我们可以通过构造方程组来研究函数的性质，就像解方程组一样，想求什么就消去什么就行了.另外，对于方程根的个数问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．212.抛物线c:y=8x的焦点为f，过f的直线l与曲线c交于a,b两点，点a的横坐标为6,则ab=．322答案 10332="">0，x2+6=，解得x2=，33232所以AB=1+36-3=3.32故答案为：.313.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心地为正方形ABCD各边的中点(如图)，若P在BC上，且AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为．·311·,3+2答案2【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ，θ∈π,2π,又A-1,2,B-1,0,C1,0,D1,2,，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.解析如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ，θ∈π,2π又A-1,2,B-1,0,C1,0,D1,2,，则AP=cosθ+1,sinθ-2,AD=2,0,AB=0,-2，∵AP=λAD+μAE，即cosθ+1,sinθ-2=λ0,-2+μ2,0cosθ+1=2μ∴，sinθ-2=-2λcosθ+1μ=2解得，λ=2-sinθ22-sinθcosθ+111πλ+μ=2+2=2cosθ-sinθ+3=22cosθ+4+3,因为θ∈π,2ππ∈5π,9π，则θ+，444ππ所以当θ+4=2π时，cosθ+4取得最大值1，3+2则λ+μ的最大值为.23+2故答案为：.214.设S0是以定点P0为球心半径为r的球面，π0是一个固定平面，P0到π0的距离为a,a>r．设SM是以点M为球心的球面，它与S0外切并与π0相切．令A为满足上述条件的球心M构成的集合．设平面π与π0平行且在π上有A中的点．设d∑是平面π与π0之间的距离．则d∑的最小值为．a-r答案2【分析】过P0作π0的垂线，交π0于O，建立空间直角坐标系，使得P0的坐标为0,0,a，且Mx,y,z∈A，再22x+ya-r根据球相切的性质化简可得z=+，进而可得最小值.2a+r2解析过P0作π0的垂线，交π0于O.以O为原点，π0为xOy面建立空间直角坐标系使得P0的坐标为0,0,a.则平面π与π0之间的距离为z.22222222x+y+a-rMx,y,z∈A当且仅当x+y+z-a=z+r，即z=，2a+r·312·,22x+ya-r故z=+.2a+r2a-r因此，当x=y=0时z取最小值.2a-r故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。πa+b15.（13分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分別为a,b,c，sinB+6=2c.(1)求角C；(2)若a+b=23,c=6，求角C的平分线CD的长度.π答案(1)3(2)1【分析】(1)利用两角和正弦公式及正弦定理化简得3sinC-cosC=1，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解；(2)利用余弦定理求得ab=2，根据面积相等建立方程求解即可.πa+bπ解析(1)由sinB+6=2c得a+b=2csinB+6=3csinB+ccosB.由正弦定理得sinA+sinB=3sinBsinC+sinCcosB，得sinB+C+sinB=3sinBsinC+sinCcosB，得cosCsinB+sinB=3sinCsinB.π1π因为sinB≠0，所以3sinC-cosC=1，即sinC-6=2，又0<c<π，所以c=3.2222(2)由余弦定理得(6)=a+b-2abcosc=(a+b)-3ab，可得ab=2，1π1π1π又s△abc=s△cbd+s△cad，所以absin=a⋅cd⋅sin+b⋅cd⋅sin，2326261311113ab3×2即ab=a⋅cd⋅+b⋅cd⋅，所以cd===1.222222a+b2316.（15分）如图，四棱锥e-abcd的底面abcd是菱形，点f,g分别在棱cd,be上，bg=2ge,cf=2fd,ea=ed=ad=bd=2．(1)证明：fg⎳平面ade；(2)若二面角e-ad-b大小为120°，求fg与平面bce所成角的正弦值．·313·,答案(1)证明见解析21(2)14【分析】(1)取棱ae上一点h，使得ah=2hf，连接gh,hd，再证明四边形ghdf为平行四边形，从而根据fg∥dh证明即可；(2)取ad中点o，连接oe,ob，作ek⊥ob，垂足为k，根据几何关系证明og⊥平面abd，再分别以为oa,ob,og为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz，根据二面角与线面角的向量求法求解即可.解析(1)取棱ae上一点h，使得ah=2he，连接gh,hd，∵ah=2he,bg=2ge，11∴gh⎳ab，且gh=cd=ab，33∵cf=2fd，1∴fd⎳ab，且fd=ab，3∴gh⎳fd，且gh=fd，故四边形ghdf为平行四边形，∴fg⎳dh.又∵fg⊄平面ade,dh⊂平面ade，∴fg⎳平面ade.(2)取ad中点o，连接oe,ob，作ek⊥ob，垂足为k，∵菱形abcd中，ad=bd=2，∴△abd为等边三角形，∵oe⊥ad,ob⊥ad,oe∩ob=o，∴∠boe是二面角e-ad-b的平面角，即∠eok=180°-∠boe=60°，且ad⊥平面obe，3∴ok=oecos60°=，即ob=2ok，2又∵bg=2ge,∴og⎳ek，又∵ek⊂平面obe，∴ek⊥ad，又∵ek⊥ob,ad∩ob=o，ad,ob⊂平面abd，∴ek⊥平面abd，∴og⊥平面abd.分别以为oa,ob,og为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz，则点a1,0,0,b0,3,0,d-1,0,0,g0,0,1，·314·,所以bg=0,-3,1,bc=ad=-2,0,0，1143fg=fd+do+og=3cd+do+og=3ba+do+og=3,-3,1，设n⊥平面bcg,n=x,y,z，记fg与平面bce所成角大小为θ，n⋅bc=-2x=0由n⋅bg=-3y+z=0，取n=0,1,3，4,-3,1⋅0,1,3fg⋅n3321sinθ===14，fgn27×2321综上，fg与平面bce所成角的正弦值为．14x1+x17.（15分）(1)已知x>0，证明：1+x<e<(1+x)；nnnn*(2)证明：(n-k)<n∈n．e-1k=1答案(1)证明见解析；(2)证明见解析xx【分析】(1)构造fx=e-1-x，gx=ln1+x-，分别求导分析单调性，结合fx>f0=0，1+xgx>g0=0证明即可；xkkn-k(2)结合第(1)问，e≥1+x对任意的x∈R恒成立，再令x=-nk=1,2,⋯,n，得到1-n≤e，再累加求和证明即可.xx解析(1)证明：令fx=e-1-x,∀x>0,fx=e-1>0x则fx在0,+∞单调递增，所以fx>f0=0即e>1+x；x11x令gx=ln1+x-,∀x>0,gx=-=>01+x1+x(1+x)2(1+x)2x则gx在0,+∞单调递增，所以gx>g0=0即ln1+x>1+x1+xx1+x所以1+xln1+x>x,ln(1+x)>x，所以e<(1+x)x1+x综上，1+x<e<(1+x)；x(2)结合第(1)问，e≥1+x对任意的x∈r恒成立，k-kkn令x=-k=1,2,⋯,n，则e≥1-≥0，nnkn-k1n-12n-2nn-n1-n≤e即1-n≤e,1-n≤e,⋯,1-n≤e-1-n1n2nnn-1-2-ne1-e11-+1-+⋯+1-≤e+e+⋯+e=<．nnn1-e-1e-11n2nnn1即1-n+1-n+⋯+1-n<e-1，nnnn-1n-2n-n1n+n+⋯+n<，nnne-1nnnn*所以(n-k)<n∈n．e-1k=1【点睛】方法点睛：xx(1)构造函数fx=e-1-x，gx=ln1+x-，求导分析单调性，并结合f0=g0=0证明1+xx1+x常用不等式1+x<e<(1+x)；(2)有累加形式证明的不等式，通常根据前问的结论，代入特殊值可得不等式，最后累加求和进行证明.18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北·315·,区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据α=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别合计南区北区男331043女38745合计7117881(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天212在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅331111的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．2442(ⅰ)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；*(ⅱ)求第nn∈n天他去甲餐厅用餐的概率pn．22n(ad-bc)附：χ=,n=a+b+c+d；a+bc+da+cb+d0.10α0.0500.0250.01002.70xα3.8415.0246.6356答案(1)没有关联1,n=134(2)(ⅰ)；(ⅱ)pn=8411n+1--,n≥2992【分析】(1)根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解，(2)根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解(ⅰ)，根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解(ⅱ).2288×(33×7-10×38)解析(1)依据表中数据，χ=≈0.837<2.706=x0.1，43×45×71×17依据α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为h0成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．(2)设ai=“第i天去甲餐厅用餐”，bi=“第i天去乙餐厅用餐”，ci=“第i天去丙餐厅用餐”，则ai、bi、ci两两独立，i=1,2,⋯,n．11111根据题意得pa1=pb1=,pc1=,pai+1ai=,pai+1bi=,pai+1ci=，42232112pbi+1ai=,pbi+1ci=,pci+1bi=．223(ⅰ)由b2=b2a1+b2c1，结合全概率公式，得11113pb2=pb2a1+b2c1=pa1pb2a1+pc1pb2c1=×+×=，42228·316·,3因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．8*(ⅱ)记第nn∈n天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为pn,qn,rn，11则p1=q1=,r1=，由全概率公式，得42pn=pan=panan-1+anbn-1+ancn-1=panan-1+panbn-1+pancn-1=pan-1panan-1+pbn-1panbn-1+pcn-1pancn-1111故pn=pn-1+qn-1+rn-1n≥2①23211同理qn=pn-1+rn-1n≥2②222rn=qn-1n≥2③3pn+qn+rn=1>0，解得k<2，且k≠±322k1-k-(1-k)-3x1+x2=2,x1x2=2，①3-k3-ky1由A1,0，得直线AD:y=x-1，x1-1y1y1令x=2，解得y=，即P2,，x1-1x1-1y2同理可得Q2,，x2-1y1y2kx1-1+1kx2-1+1则+=+x1-1x2-1x1-1x2-1·318·,kx1+1-kx2-1+kx2+1-kx1-1=x1-1x2-12kx1x2+1-2kx1+x2-21-k=x1x2-x1+x2+12-(1-k)-32k1-k2k⋅2+1-2k⋅2-21-k3-k3-k=2-(1-k)-32k1-k2-2+13-k3-k22-2k(1-k)-6k+2k1-k1-2k-21-k3-k=22-(1-k)-3-2k1-k+3-k-6==6，-1所以PQ的中点为定点2,3.【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.·319·,浙江省新阵地教育联盟2024届高三下学期第三次联考(开学考试)数学试题第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足1+2iz=4+3i，则z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i答案A【分析】由复数的概念与运算求解．4+3i4+3i1-2i解析由1+2iz=4+3i，得z===2-i，∴z的虚部是-1，1+2i1+2i1-2i故选：A112.设集合A=yy=log2x,x>2，B=yy=2x,x>0，则()A.A∩B=-1,1B.A∪B=BC.A∩∁RB=1,+∞D.A∩B=B答案D【分析】先由对数运算和指数运算求解集合A，B，然后根据集合的运算，即可求解.11解析因为x>，所以log2x>log2=-1，所以集合A=yy>-1，22x1因为x>0，所以2>1，即0<x<1，所以集合b=y0<y<1，2所以a∪b=yy>-1∪y0<y<1=yy>-1=A，因为∁RB={yy≤0或y≥1}，所以A∩∁RB=yy>-1∩{yy≤0或y≥1}={y-1<y≤0或y≥1}，所以a∩b=yy>-1∩y0<y<1=y0<y<1=b.故选：d.23.已知fx=3x+1x-a3x-1+log3x+1-x是奇函数，则常数a=()a.-2b.-1c.0d.1答案c【分析】根据奇函数的性质求解即可.2解析因为fx=3x+1x-a3x-1+log3x+1-x是奇函数，且定义域为x∈r，所以f0=a+log31=0，解得a=0，2此时fx=x3x+13x-1+log3x+1-x，22fx+f-x=x3x+13x-1+log3x+1-x+-x-3x+1-3x-1+log3x+1+x=0，即fx=-f-x，满足奇函数定义，·320·,故选：c4.在正方体abcd-a1b1c1d1中，e,f分别为ab,bc的中点，则()a.平面b1ef∥平面a1c1db.平面b1ef⊥平面bc1dc.平面b1ef∥平面a1cc1d.平面b1ef⊥平面b1dd1答案d【分析】建系，分别求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可.解析如图，以d为原点，da,dc,dd1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则b12,2,2,e2,1,0,f1,2,0,b2,2,0,a12,0,2,a2,0,0,c0,2,0,c10,2,2,d0,0,2，则ef=-1,1,0,eb1=0,1,2,db=2,2,0,da1=2,0,2，aa1=0,0,2,ac=-2,-2,0,dc1=0,2,2，m⋅ef=-x1+y1=0设平面b1ef的法向量为m=x1,y1,z1，则，m⋅eb1=y1+2z1=0令z1=-1，则m=2,2,-1，同理可得平面a1c1d的法向量为n1=1,1,-1，平面a1cc1的法向量为n2=1,1,0，平面b1dd1的法向量n3=1,-1,0，平面bc1d的法向量为n4=1,-1,1，2-1对a，因为≠，则可知m=2,2,-1与n1=1,1,-1不平行，故a错误；1-1对b，因为m⋅n4=-1≠0，则m=2,2,-1与n4=1,-1,1不垂直，故b错误；10对c，因为≠，所以m=2,2,-1与n2=1,1,0不平行，故c错误；2-1对d，因为m⋅n3=1,-1,0⋅2,2,-1=0，m=2,2,-1与n3=1,-1,0垂直，故d正确；故选：d.5.袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为p1,p2，则()a.p1=p2b.p1<p2c.p1>p2D.p1>p2或p1<p2答案a【分析】利用古典概型的概率公式求出p1,p2后可得正确的选项.解析设a为“甲摸到红球”，b为“乙摸到红球”，而乙两人摸到红球可分为甲摸到红球后乙摸到红球、甲摸到蓝球后乙摸到红球，3则p1=pa=，7而p2=pb=pba+pba=pb|apa+pb|apa·321·,3243183=×+×==，7676427故p1=p2，故选：a.226.在平行四边形abcd中，点e是ab的中点，点f,g分别满足af=ad,bg=bc，设ab=a,ad=33b，若ef⊥eg，则()33a.|b|=|a|b.b=ac.|b|=|a|d.|b|=2|a|42答案a【分析】先利用平面向量基底法用a,b表示ef,eg，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解.22解析因为点e是ab的中点，af=ad,bg=bc，332112所以ef=af-ae=ad-ab=-a+b，32231212eg=eb+bg=ab+bc=a+b；2323因为ef⊥eg，12121242所以ef⋅eg=-2a+3b⋅2a+3b=-4a+9b1242=-×a+×b=0，493则b=a，故a正确.4故选：a.7.已知正项等差数列an的前n项和为sn，则“2a1+a2=a3”是“sn为等差数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案c【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.解析设等差数列的公式为d，若2a1+a2=a3，则3a1+d=a1+2d，故d=2a1>0，nn-1nn-12故Sn=na1+d=na1+×2a1=a1n，22故Sn=a1n，故Sn-Sn-1=a1即Sn为等差数列，故“2a1+a2=a3”是“Sn为等差数列”的充分条件.若Sn为等差数列，设其公差为d1，则Sn=a1+n-1d1，2故Sn=a1-d1+nd1，22故an=Sn-Sn-1=a1-d1+nd1-a1-2d1+nd1=d12a1-3d1+2nd1，其中n≥2.因为an为等差数列，故a1也应该符合上式，故a1=d12a1-d1，·322·,22故d1=a1，故Sn=na1，故a2=2a1-a1=3a1，22a3=3a1-2a1=5a1，故2a1+a2=5a1=a3，故“2a1+a2=a3”是“Sn为等差数列”的必要条件.综上，“2a1+a2=a3”是“Sn为等差数列”的充要条件，故选：C.2y2x8.双曲线2-2=1(a,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点，点F1关于∠F1PF2平分线ab1的对称点也在此双曲线上，且cos∠F1PF2=，则双曲线的离心率为()92121A.B.C.2D.343答案B【分析】如图，由题意可知PF1=PQ且P,F2,Q三点共线，设PF1=m,PF2=n，根据双曲线的定义求得QF1=4a，m=3a，n=a，在△PF1Q、△F1PF2中分别利用余弦定理计算即可求解.解析如图，设F1关于∠F1PF2平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段F1Q的垂直平分线，所以PF1=PQ，且P,F2,Q三点共线，设PF1=m,PF2=n，则PQ=m，m-n=2a⇒QF2=PQ-n=m-n=2a，所以QF1=2a+QF2=4a，222222PF1+PQ-QF1m+m-(4a)在△PF1Q中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==2，2PF1PQ2m2221m+m-(4a)1又cos∠F1PF2=，所以2=，解得m=3a，所以n=a，92m9PF2+PF2-FF222212129a+a-4c1在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==2=9，2PF1PF22⋅3a22c21整理，得3c=7a，由e>1，解得e==.a321即双曲线的离心率为.3故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则()·323·,π1A.异面直线AE与DF所成角大小为B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值为338πC.此八面体一定存在外接球D.此八面体的内切球表面积为3答案ACD【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由|OE|=|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项.解析连接AC、BD交于点O，连接OE、OF，因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，又因为八面体的每个面都是正三角形，所以E、O、F三点共线，且EF⊥面ABCD，所以以O为原点，分别以OB、OC、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，则O(0,0,0)，A(0,-2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(-2,0,0)，E(0,0,2)，F(0,0,-2)，对于A项，AE=(0,2,2)，DF=(2,0,2)，设异面直线AE与DF所成角为θ，AE⋅DF21则cosθ=cosAE,DF===，AEDF2×22ππ所以θ=，即异面直线AE与DF所成角大小为，故A项正确；33对于B项，BE=(-2,0,2)，BA=(-2,-2,0)，BC=(-2,2,0)，设面ABE的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，n⋅BE=0-2x1+2z1=0则⇒，取x1=1，则y1=-1，z1=1，则n=(1,-1,1)，n⋅BA=0-2x1-2y1=0设面BEC的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，n⋅BE=0-2x2+2z2=0则⇒，取x2=1，则y2=1，z2=1，则m=(1,1,1)，n⋅BC=0-2x2+2y2=0·324·,n⋅m1-1+11所以cosn,m===，n3×33m又因为面ABE与BEC所成的二面角的平面角为钝角，1所以二面角A-EB-C的平面角的余弦值为-，故B项错误；3对于C项，因为|OE|=|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=2，所以O为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，故C项正确；对于D项，设内切球的半径为r，1182则八面体的体积为V=2VE-ABCD=2×SABCD⋅EO=2××2×2×2=，3331112π83又八面体的体积为V=8VE-ABO=8VO-ABE=8×SEAB⋅r=8×××2×sin×r=r，3323383826所以r=，解得r=，3332628π所以内切球的表面积为4πr=4π×=，故D项正确.33故选：ACD.π5π10.函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<2相邻两个最高点之间的距离为π,12,0为f(x)的对称中心，π将函数f(x)的图象向左平移后得到函数y=g(x)的图象，则()125πA.g(x)在0,12上存在极值点1π4πB.方程g(x)=2x-3所有根的和为3πC.若g(x+m)为偶函数，则正数m的最小值为12D.若gλx在π,π上无零点，则正数λ的取值范围为0,4162323∪5,3答案AC【分析】根据给定条件，求出函数f(x)及g(x)的解析式，结合余弦函数的图象、性质逐项分析判断得解.2π5π5ππ解析依题意，ω=π，解得ω=2，由f12=0，得2×12+φ=kπ+2,k∈Z，而|φ|<π，则k=0,φ=-π，f(x)=2cos2x-π，g(x)=2cos2x+π-ππ，233123=2cos2x-65πππ2ππ对于A，当x∈0,12时，2x-6∈-6,3，显然当2x-6=0时，函数g(x)取得极大值，A正确；ππ1ππ对于B，由g3=0，得函数y=g(x)的图象关于点3,0对称，直线y=2x-3过点3,0，1ππ因此直线y=2x-3与y=g(x)的图象交点关于点3,0对称，共有2n+1,n∈N个交点，1π2n+12n+14π即方程g(x)=2x-3共有2n+1个根，所有根的和为3π，不存在n使得3π=3，B错误；ππ对于C，函数g(x+m)=2cos2x+2m-6是偶函数，则2m-6=k1π,k1∈Z，k1πππm=+,k1∈Z，因此当k1=0时，正数m取得最小值，C正确；21212λπππππλππλπ对于D，函数g2x=2cosλx-6，当x∈3,2时，λx-6∈3-6,2-6，由gλx在π,π上无零点，得πλ-π,πλ-π⊆kπ-π,kπ+π232362622,k∈Z，·325·,πλππ4-≥kπ-λ≥3k-12k+>3k-13623则,k∈Z，解得4,k∈Z，显然,k∈Z，πλ-π≤kπ+πλ≤2k+32k+4>02623即-2<k<7,k∈z，于是k∈{0,1,2}，所以正数λ的取值范围为0,41016333∪2,3∪5,3，d错误.故选：acπ11.在平面直角坐标系中，如果将函数y=fx的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<α≤,α为弧度)后，所2得曲线仍然是某个函数的图象，则称fx为“α旋转函数”，则()πa.∀α∈0,2，函数y=x都为“α旋转函数”πb.若函数fx=sinx,x∈0,π为“α旋转函数”，则α∈0,42πc.若函数gx=ax-为“旋转函数”，则a=1x42xπd.当m≤-2e或m≥1时，函数hx=mxe+1不是“旋转函数”4答案bcd1【分析】对a，举例说明即可；对bcd，设将x=c旋转-α后得出方程y=-tanαx-c，则只需y=xtanα+tt∈r与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可.π解析对a：当y=x旋转时与y轴重合，此时1个x对应多个y值，故a错误；41对b：将x=c旋转-α后所得直线为y=-tanαx-c，则只需y=x+tt∈r与原函数仅有一个交tanα点；1令px=sinx-kx-t，k=，当k∈1,+∞时，px只有一个零点，所以tanα∈0,1，即α∈tanαπ0,4，故b正确；22对c：令gx=x+t，当ax-=x+t在定义域内仅有唯一解时，即a-1x-tx-2=0，x当a=1时，-tx-2=0仅有一个解，故满足题意；22当a≠1时，a-1x-tx-2=0的判别式δ=b-4a-1，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不满足题意；故a=1，故c正确；πxxx对d：若hx是“旋转函数”，当mxe+1=x+t仅有唯一解时，即t=mxe-x+1，令mx=mxe-x+41，xxxxxmx=me+mxe-1=mx+1e-1，令qx=mx+1e-1，则qx=mx+2e当m=0时，方程为1=x+t，得x=t-1，仅有唯一解，符合题意；当m>0时，当x<-2，qx<0，当x>-2，qx>0，所以mx在-∞,-2上单调递减，在-2,+∞上单调递增，1111mm又因为x→-∞时，mx→-1<0，mm=mm+1e-1=me>0，所以可得mx先减后增，不符合题意；当m<0时，当x<-2，qx>0，当x>-2，qx<0，所以mx在-∞,-2上单调递增，在-2,+∞上单调递减，-2-22所以当x=-2时，mx有极大值也是最大值mx=-me-1≤0，即m≥-e，则m∈-e,0；2π综上得存在m∈-e,0时，hx是“旋转函数”，故D正确.4故选：BCD.·326·,【点睛】方法点睛：(1)导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；(2)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；(3)证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.有甲乙两生从“物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术”七门科目中选三门作为高考选考科目，学生甲物理和化学两门必选，并在另外的五门中任选一门；学生乙必选政治学科，但一定不选物理､化学，则甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有种.(用数字作答)答案18【分析】分学生甲选择政治和不选择政治讨论，结合计数原理求解即可.解析若学生甲在另外五门中选择政治，由于学生乙一定不选物理、化学，2所以无论学生乙如何选，甲乙两人一定有且只有一门选科相同，此时有C4=6种；1若学生甲在另外五门中不选择政治，此时甲有C4=4种选法，11甲乙两人有且只有一门选科相同，则乙有C1C3=3种选法，此时共有4×3=12种选法；综上，甲乙两人有且只有一门选科相同的选科方法总数有12+6=18种，故答案为：182213.P是圆C:x+(y-2)=1上一动点，A2,0,Q为AP的中点，O为坐标原点，则OQ的最大值为.1答案2+2【分析】写出圆C的参数方程，进而可得点Q坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可.解析如图所示，22x=cosθ因为圆C：x+(y-2)=1的参数方程为，y=2+sinθ2+cosθ2+sinθ所以设点P(cosθ,2+sinθ)，则AP的中点Q2,2，2+cosθ22+sinθ29+4(sinθ+cosθ)1π所以|OQ|=+==9+42sinθ+，22424π122+11当sinθ+4=1时，|OQ|取得最大值为29+42=2=2+2.1故答案为：2+.2·327·,1n14.已知函数fx满足fx=f1-x,fx为fx的导函数，gx=fx+3,x∈R.若an=g2024，则数列an的前2023项和为.2023答案32【分析】由fx=f1-x，可得fx=-f1-x，从而得gx+g1-x=，然后利用倒序相加法从3而可求解.解析由题意知fx=f1-x，所以fx=-f1-x，即fx+f1-x=0，122又因为gx=fx+，所以gx+g1-x=fx+f1-x+=，3331232023所以a1+a2+a3+⋯+a2023=g2024+g2024+g2024+⋯+g2024①，2023202220211a1+a2+a3+⋯+a2023=g2024+g2024+g2024+⋯+g2024②，22023×32023将①②两式相加可得：a1+a2+a3+⋯+a2023==.232023故答案为：.3【点睛】关键点点睛：本题主要是对fx=f1-x求导后得fx=-f1-x，主要能够找到gx+2g1-x=的关系，再根据倒序相加法从而可求解.3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动.(1)完成如下列联表(单位：人)，并判断能否有99.5%的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联.课间进行体育活动情况性别合计不经常经常男女合计(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列与数学期望.22n(ad-bc)附：χ=，其中n=a+b+c+d.a+bc+da+cb+dα0.1000.0500.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案(1)列联表见解析，有关联；3(2)分布列见解析，EX=.4·328·,2【分析】(1)根据已知补全2×2列联表，根据独立性检验，计算χ的值，与x0.005对比即可得出答案；1(2)根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量X的41所有可能取值为0，1，2，3，且X∼B3,4，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可.解析(1)补全2×2列联表如下：课间进行体育活动情况性别合计不经常经常男8040120女10020120合计18060240提出零假设H0：学生课间经常进行体育活动与性别相互独立，即课间是否经常进行体育活动与性别无关，22240×(80×20-40×100)80依题意，χ==≈8.889>7.879=x0.005，120×120×180×609根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即有99.5%的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联；601(2)由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为=，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间24041经常进行体育活动的概率为，41而随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则由题意得X∼B3,4，k1k13-k所以PX=k=C341-4，k=0，1，2，3，0101327PX=0=C3×4×1-4=64，1111227PX=1=C3×4×1-4=64，212119PX=2=C3×4×1-4=64，313101PX=3=C3×4×1-4=64，X的分布列如下：X0123272791P6464646413所以X的数学期望EX=3×=.4416.（15分）记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足2sinC=3sinA-B.(1)证明：tanA=5tanB；52(2)若△ABC的面积为c，求tanC；12答案(1)证明见解析3(2)tanC=2·329·,【分析】(1)根据两角和、差的正弦公式化简后可证tanA=5tanB.5(2)根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得tanAtanB=tanA+tanB，结合6(1)中结果可求tanC.解析(1)由2sinC=3sinA-B得2sinA+B=3sinA-B，则2sinAcosB+2cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB，得sinAcosB=5cosAsinB，若cosA=0，则cosB=0，则A,B均为直角，与题设矛盾，故cosA≠0，故cosB≠0，故cosAcosB≠0，故tanA=5tanB.152(2)S△ABC=absinC=c，2125255所以sinAsinBsinC=sinC，则sinAsinB=sinC=sinA+B，66655sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，665从而tanAtanB=tanA+tanB，6又tanA=5tanB，从而tanB=1，tanA=5，tanA+tanB3所以tanC=-tanA+B=-=.1-tanAtanB217.（15分）在三棱锥D-ABC中，AC=3,DC=22,∠DCA=45°,CB⊥AB,BC=BD=6.(1)证明：平面ADC⊥平面ABC；33(2)点E为棱DC上，若BC与平面EAB所成角的正弦值为，求DE的长；11答案(1)证明见解析(2)DE=2【分析】(1)如图过D作DH⊥AC，由相似三角形的判定定理与性质求得BH=2，根据勾股定理的逆定理可得DH⊥BH，结合面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系O-xyz，设DE=λDC(0≤λ≤1)，根据空间向量的线性运算表示出DE、AE的坐标，利用空间向量法求线面角建立关于λ的方程，解之即可求解.解析(1)过D作DH⊥AC，垂足为H，由AC=3,DC=22,∠DCA=45°，22得DH=CH=2，∵CB⊥AB，得AB=AC-BC=3，ACBCACAB由=，得△ABC~△BHC，所以=，BCHCBCBH即AC⋅BH=AB⋅BC，所以BH=2；222在△BDH中，BH+DH=DB，所以DH⊥BH，又DH⊥AC,AC∩BH=H,AC,BH⊂平面ABC，所以DH⊥平面ABC,DH⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC；(2)如图以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，HD为z轴建立空间直角坐标系O-xyz；·330·,得A0,-1,0,B2,0,0,C0,2,0,D0,0,2，设DE=λDC,0≤λ≤1,∴DE=0,2λ,-2λ，AE=AD+λDE=0,1,2+0,2λ,-2λ=0,1+2λ,2-2λ,AB=2,1,0，设平面ABE的一个法向量为m=x,y,z，m⋅AB=02x+y=01+2λ则⇒，令x=1，则y=-2,z=，m⋅AE=01+2λy+2-2λz=02(1-λ)1+2λ则m=1,-2,,BC=-2,2,0，21-λBC⋅m-32设直线BC与平面EAB所成角为θ，则sinθ=cosBC,m===BC⋅m1+2λ26⋅3+21-λ33，111+2λ21+2λ1∴=8,=22,∵0≤λ≤1,∴λ=，21-λ21-λ2所以DE=2；2y2x118.（17分）已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为，左顶点为C，过右焦点F作直线与a2b22椭圆分别交于A,B两点(异于左右顶点)，连接AC,CB.(1)证明：AC与AF不可能垂直；222(2)求|AB|+|BC|+|CA|的最小值；答案(1)证明见解析999(2)32【分析】(1)求出椭圆方程，设出点A坐标，结合AC⋅AF=0求解即可.222(2)设直线AB方程，联立直线AB方程与椭圆方程，结合韦达定理可表示|AB|+|BC|+|CA|，运用换元法1进而将问题转化为求关于的二次函数的最小值.m2a=4c=1解析(1)由题意知，e=c=1⇒a=2，a22y2222x又因为b=a-c=3，所以椭圆方程为+=1，则F1,0,C-2,0，4322x1y1证明：设Ax1,y1，-2<x1<2，则+=1①，43如图所示，·331·,假设ac⊥af，即ac⊥af，所以ac⋅af=0，又ac=(-2-x1,-y1)，af=(1-x1,-y1)，22所以x1+y1+x1-2=0②，2由①②消去y1得到x1+4x1+4=0⇒x1=-2，与题设矛盾，所以ac与af不可能垂直.(2)如图所示，设ab方程为：x=ty+1，x=ty+1由22，得3t2+4y2+6ty-9=0，xy+=143-6t-9设ax1,y1,bx2,y2，则y1+y2=2,y1y2=2，3t+43t+42121+t222121+t2所以ab=y1+y2-4y1y2⋅1+t=21+t=2，3t+43t+4ac|2+222222222bc=x1+2+y1+x2+2+y2=ty1+3+y1+ty2+3+y242222222-18t+18t+72=t+1y1+y2+6ty1+y2+18=t+1y1+y2-2t+1y1y2+6ty1+y2+18=22+3t+418，22所以ab|+bc|42121+t2242187t4+17t2+122-18t+18t+72126t+306t+216+|ca=+18+=+18=+18，3t2+423t2+43t2+423t2+422设m=3t+4,m≥4，22222(7m-5m+16)121则ab|+bc|+|ca=m2+18=216m-5m+7+18152423423999=216m-32+64+18≥32+18=32，32242222999即当m=，即t=,t=±5时，|ab|+|bc|+|ca|取得最小值为.55532222999故|ab|+|bc|+|ca|的最小值为.3219.（17分）已知函数fx=cosx+λln1+x，且曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率为1.(1)求fx的表达式；·332·,(2)若fx≤ax+1恒成立，求a的值.2n1*(3)求证：∑fsink-1<ln2,n∈n.k=n+1答案(1)fx=cosx+ln1+x(2)a=1(3)证明见解析【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)设hx=fx-ax-1(x>-1)，则h0=0，根据极值点的定义可求得a=1；进而利用导数证明当a=1时hx≤0对任意x∈-1,+∞恒成立即可；2n111111(3)由(2)可得fsink-1≤sink，进而fsink-1≤sinn+1+sinn+2+⋯+sin2n.利用导k=n+1π数证明不等式sinx<x,x∈0,2、lnx<x-1,0<x<1，结合放缩法和裂项相消法计算即可证明.λ解析(1)fx=-sinx+，则f0=λ=1，1+x∴fx=cosx+ln1+x；(2)设hx=fx-ax-1=cosx+ln1+x-ax-1,x>-1.由条件知hx≤0恒成立，因为h0=0，又hx的图像在定义域上是连续不间断的，所以x=0是hx的一个极大值点，则h0=0.1又hx=-sinx+-a，所以h0=1-a=0，得a=1；1+x下证当a=1时，hx≤0对任意x∈-1,+∞恒成立，1-x令φx=ln1+x-x，则φx=-1=，1+x1+x由φx>0⇒-1<x<0,φx<0⇒x>0，知函数φx在-1,0单调递增，在0,+∞上单调递减，∴φx≤φ0=0，即ln1+x-x≤0，而cosx-1≤0，所以当x∈0,+∞时，hx=cosx-1+ln1+x-x≤0.综上，若fx≤ax+1恒成立，则a=1.11(3)由(2)可知fx≤x+1,∴fsink-1≤sink.2n111111∴fsink-1=fsinn+1-1+fsinn+2-1+⋯+fsin2n-1≤sinn+1+sinn+2+k=n+11⋯+sin，2nπ先证sinx<x,x∈0,2，π令tx=sinx-x,x∈0,2,tx=cosx-1<0，ππ则tx在0,2上单调递减，tx<t0=0，即sinx<x,x∈0,2111111所以sin+sin+⋯+sin<++⋯+n+1n+22nn+1n+22n1n+1再证<ln，先证lnx<x-1,0<x<1，n+1n11-x令u(x)=lnx-x+1(0<x<1)，则u(x)=-1=，xx当0<x<1时，u(x)>0，函数u(x)单调递增，且u(1)=0，则u(x)<u(1)=0，·333·,n1n+1即lnx<x-1,0<x<1，令x=即得<ln.n+1n+1nn+111又ln=lnn+1-lnn，得<lnn+1-lnn,⋯⋯,<ln2n-ln2n-1nn+1n+n111所以++⋯+<ln(n+1)-ln(n)+ln(n+2)-ln(n+1)+⋯+ln2n-ln(2n-1)=n+1n+22nln2n-lnn=ln2，2n1综上，fsink-1≤ln2.k=n+1【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如fx≥gx的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令fx=fx-gx，利用导数求得函数fx的单调性与最小值，只需fxmin≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a≥φx或a≤φx恒成立，即a≥φxmax或a≤φxmin恒成立，只需利用导数求得函数φx的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y=fx的图象在y=gx的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.·334·,河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a=xx2-1≤0,b=x1≥1，则a∩b=()4xa.0,112b.0,2c.0,1d.0,1答案b解析a=-1,1122,b=0,1，所以a∩b=0,2．故选b．a3-2i2.复数z=a∈r在复平面内对应的点在()2ia.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案ca3-2ia-13a-1解析z==-2-i，因为2>0，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限．故选C．2i223.命题“∀x<-1,log2x>0”的否定为()22A.∀x<-1,log2x≤0B.∀x≥-1,log2x>022C.∃x≥-1,log2x>0D.∃x<-1,log2x≤0答案D22解析全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“∀x<-1,log2x>0”的否定为“∃x<-1,log2x≤0”．故选D．2y2x4.若双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为3，则双曲线的左焦点F到一条渐近线的距22ab离为()A.2B.22C.1D.2答案Ac222解析设双曲线的焦距为2c，由题，a=1,e==3，得c=3，故b=c-a=2，所以F-3,0，不妨a2×-3取渐近线y=2x，则左焦点F到渐近线y=2x的距离为=2．故选A．2+15.已知上底面半径为2，下底面半径为22的圆台存在内切球(与上、下底面及侧面都相切的球)，则该圆台的体积为()146π56πA.146πB.56πC.D.33答案D22解析由题可得圆台的母线长为32，所以高h=(32)-(22-2)=4，所以该圆台的体积V=·335·,156π×4×2π+8π+2π×8π=，故选D．33lnnlnmlnn6.已知实数m,n满足1>m>n>0，设a=m,b=n,c=n，则()A.a=b>cB.a>b>cC.c>a>bD.c>a=b答案Dxlnmlnnlnn解析因为1>m>n>0，所以lnm>lnn，又y=n为减函数，所以n<n，即b<c，又lna=lnm=lnmlnm⋅lnn,lnb=lnn=lnm⋅lnn，故a=b，所以c>a=b，故选D．2π7.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=,AD=4,AB=2BD，且△ADC的面积为43，则sin∠ABD3=()15-315+35-35+3A.B.C.D.8844答案A113解析S△ADC=×AD×AC×sin∠DAC=×4×AC×=43，解得AC=4，所以△ADC为等腰三222π5πABBD2BD角形，∠ADC=，故∠ADB=⋅△ABD中，由正弦定理得=，即=66sin∠ADBsin∠BAD12BD15π15，得sin∠BAD=．因为∠ADB=，所以∠BAD为锐角，故cos∠BAD=，故sin∠ABDsin∠BAD464π1315-3=sin∠ADC-∠BAD=sin6-∠BAD=2cos∠BAD-2sin∠BAD=8．故选A．222n2m8.已知等差数列an的前n项和为Sn，若m≠n，且a1+am=,a1+an=，则Sm+n=()mn222222A.(m+n)B.-(m+n)C.m-nD.n-m答案Bma1+am2na1+an2mm-12nn-1解析由题，=n=Sm,=m=Sn，所以a1m+d=n①，a1n+d2222222m-n-m+n22m+n-1=m②，两式作差得a1m-n+d=n-m，化简得a1+d=-m+n，即a122m+nm+n-122m+n+d=-(m+n)，所以Sm+n=-(m+n)，故选B．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是()A.若随机变量X∼B2,0.2，则PX=2=0.2B.若经验回归方程y=bx+a中的b>0，则变量x与y正相关2111C.若随机变量ξ∼N0,σ，且Pξ<-2=p，则P0<ξ<2=2-pD.若事件A与B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥答案BC22解析P(X=2)=C2(0.2)=0.04，A错误；若经验回归方程y=bx+a中斜率b>0，则变量x与y正相111关，B正确；易得正态曲线关于直线x=0对称，故P(x>0)=2，又Pξ>2=Pξ<-2=p，所以·336·,11P0<ξ<2=2-p，C正确；掷一枚骰子，设事件A:出现的点数为1，事件B:出现的点数为2，则A与B互斥，但A与B不互斥，D错误．故选BC．2x10.已知函数fx=2sinxcos，则以下结论正确的是()2π3πA.π为fx的一个周期B.fx在-2,2上有2个零点πC.fx在x=-处取得极小值D.对∀x1,x2∈R,fx2-fx1≤33答案BC2x+π2x解析fx+π=2sinx+πcos2=-2sinxsin2≠fx，A错误；令fx=0，得sinx=0或xπ3ππ3πcos2=0，当x∈-2,2时，解得x=0或x=π，故fx在-2,2上有2个零点，B正确；fx=2x212sinxcos=sinx+sinxcosx,fx=2cosx+cosx-1，令fx=0，得cosx=-1或cosx=，且当x∈22ππ-π,-3时，fx<0,fx单调递减，当x∈-3,0时，fx>0,fx单调递增，所以fx在x=ππ33-3处取得极小值，C正确；可知fx的极大值为f2kπ+3=4,k∈Z，这个极大值即为函数的最π33大值，fx的极小值为f2kπ-3=-4,k∈Z，这个极小值即为函数的最小值，故∀x1,x2∈R,33fx2-fx1≤，D错误．故选BC．21311.已知定义在R上的函数y=f2x+2为奇函数，且对∀x∈R，都有fx+2=f2-x，定义在R上的函数fx为fx的导函数，则以下结论一定正确的是()7113A.fx+2为奇函数B.f2=f2C.f2=-f2D.fx为偶函数答案ACD解析因为f2x+2为奇函数，所以f-2x+2=-f2x+2，所以f-x+2=-fx+2，故13fx+2为奇函数，A正确；又fx+2=f2-x，故fx+1=f1-x，所以fx=f2-x=71-fx+2，故fx+4=fx，所以fx是以4为周期的周期函数，所以f2=f-2，且不能确定111f2=f-2一定成立，故B错误；因为fx+1=f1-x，所以fx+1=-f1-x，所以f23=-f2，C正确；因为f-x+2=-fx+2，所以f-x+2=fx+2，故f-x=fx+4，又fx=fx+4，所以f-x=fx，所以fx为偶函数，D正确，故选ACD．第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．112.小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口43遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的41概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为．41答案4解析记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则PBA·337·,3131113=4,PBA=4，又PA=4,PA=4，所以PB=PAPBA+PAPBA=4×4+4×11=．44π13.已知α,β∈0,2，若P=sinαsin2β+cosαcosβ，则P的最大值为．5答案422cosβ1解析P=sin2β+cosβsinα+φ，其中tanφ==，所以sinα+φ的最大值为1，设t=sin2β2sinβ22422555sin2β+cosβ=-4cosβ+5cosβ，当cosβ=时，t取得最大值，所以P的最大值为．844214.已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P(异于坐标原点O)，与x轴交于点Q，若PF=2,FQ=1，则p=；向量FP与PQ的夹角为．5π答案1；6p22t2xxt解析由题得F0,，设Pt,，由x=2py得y=，求导得y=，所以直线l的斜率k=，则直22p2ppp22p2p2ttttt线l的方程为y-2p=px-t，易得Q2,0，所以PF=2p+2=2,FQ=4+4=1，解得p33FP⋅PQ=1,t=±3．当t=3时，FP=3,1,PQ=-,-，则cosFP,PQ==22FPPQ35π5-FP,PQ∈0,π，故向量FP与PQ的夹角为，当t=-3时，同理可得夹角为π．(第一空2266分，第二空3分)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。115.(13分)已知函数fx=ax+x．e(1)讨论fx的单调性；(2)若直线y=1与曲线y=fx相切，求a的值．1解析(1)fx的定义域为R,fx=a-x，e当a≤0时，fx<0,fx单调递减；当a>0时，令fx=0，得x=-lna，当x∈-∞,-lna时，fx<0,fx单调递减；当x∈-lna,+∞时，fx>0,fx单调递增．综上，当a≤0时，fx在R上单调递减；当a>0时，fx在-∞,-lna上单调递减；在-lna,+∞上单调递增．11(2)由题，fx=a-x，设切点为x0,fx0，则fx0=a-x0=0，ee易知a>0，故x0=-lna．1又fx0=1，即ax0+x0=1，将x0=-lna代入，得a-alna-1=0．e设hx=x-xlnx-1(x>0)，则hx=-lnx．当x∈0,1时hx>0,hx单调递增；当x∈1,+∞时hx<0,hx单调递减．所以hx≤h1=0，所以a=1．·338·,π16.(15分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=AC=2A1B1=2AA1=42，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC3π=．2(1)证明：A1A⊥B1C1；(2)求直线BB1与平面A1ACC1所成角的正弦值．解析(1)证明：取BC中点D，连接A1B,A1C,A1D,AD．因为AB=AC，所以AD⊥BC．π因为∠A1AB=∠A1AC=,AB=AC，且A1A是公共边，所以△A1AB≌△A1ACSAS，3所以A1B=A1C，所以A1D⊥BC．因为AD∩A1D=D,AD,A1D⊂平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD．又因为A1A⊂平面A1AD，所以A1A⊥BC．又BC∥B1C1，所以A1A⊥B1C1(2)解：如图，过点A1作AD的垂线，垂足为O，过点O作OF垂直于AB，垂足为F，连接A1F．不难得出，πAB⊥A1O,OF∩A1O=O，则AB⊥平面A1OF．又A1F⊂平面A1OF，则AB⊥A1F．由∠A1AF=,3π∠BAC=，可得AF=OF=2,AO=A1O=2,OD=2,BD=4．2过点O作BC的平行线，交AB于点E，由(1)得OE,OD,OA1三条直线两两垂直，分别以OE,OD,OA1为x，y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,-2,0,C-4,2,0,A10,0,2,B4,2,0,B12,2,2，AA1=0,2,2,AC=-4,4,0,BB1=BA+AA1+A1B1=-2,0,2．设平面A1ACC1的一个法向量为m=x,y,z，m⋅AA1=0,2y+2z=0,则即m⋅AC=0,-4x+4y=0.令x=1，得y=1,z=-1，所以m=1,1,-1．又直线BB1的一个方向向量n=-2,0,2，·339·,m⋅n-46所以cosm,n===-3，m⋅n3×226所以直线BB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为．317.(15分)某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，⋯，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．(1)随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；*(2)假设每张彩票售价为aa∈N元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a的最小值．3211112C3+C3C5+C2C2+1+C3C413解析(1)获得三等奖的概率P3=3=；C10401221C2C5+C2C55获得二等奖的概率P2=3=；C1024111111C1C2C2+C1C1C41获得一等奖的概率P1=3=．C101579所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率P=P1+P2+P3=．120(2)一张彩票的奖金ξ的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：ξ05105021351P540241521351169所以ξ的期望Eξ=0×+5×+10×+50×=．540241524169若盈利，需a>Eξ=，24*因为a∈N，故a的最小值为8．2y2x18.(17分)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线OA与椭圆交于另43一点B，直线AF与椭圆交于另一点D(点B、D不重合)．3(1)设直线AD,BD的斜率分别为kAD,kBD，证明：kAD⋅kBD=-；4(2)点P为直线x=4上一点，记PA,PF,PD的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+2k2+k3=4，求点P的坐标．解析(1)证明：设Dx0,y0,Ax1,y1，则B-x1,-y1，22y0-y1y0+y1y0-y1则kAD⋅kBD=x-x×x+x=22．0101x0-x12222x1y1x0y0又+=1,+=1，43432222x0-x1y0-y1两式作差得：+=0，4322y0-y13即=-，x2-x24013所以kAD⋅kBD=-，得证．4·340·,(2)解：由题，A不与长轴两端点重合，设P4,m,m≠0，直线AF:x=ty+1，22与椭圆方程联立，并消去x得3t+4y+6ty-9=0．-6t-9设Ax1,y1,Dx2,y2，则y1+y2=2,y1y2=2，3t+43t+4m-0m所以k2==，4-13m-y1m-y24-x2m-y1+4-x1m-y2k1+k3=+=．4-x14-x24-x14-x2又x1=ty1+1,x2=ty2+1，代入上式化简得3+tm×6t18t6m-3+tmy+y+2tyy6m+2-2212123t+43t+42mt+2m2mk1+k3=2=22=2=3，9-3ty1+y2+ty1y29+18t-9t3t+3223t+43t+44m所以k1+2k2+k3==4．故m=3，3所以点P的坐标为4,3．*19.(17分)在数列an中，若存在常数t，使得an+1=a1a2a3⋯an+tn∈N恒成立，则称数列an为“Ht数列”．1(1)若cn=1+，试判断数列cn是否为“Ht数列”，请说明理由；nn2(2)若数列an为“Ht数列”，且a1=2，数列bn为等比数列，且ai=an+1+log2bn-t，求数列bn的i=1通项公式；(3)若正项数列an为“Ht数列”，且a1>1,t>0，证明：lnan<an-1．解析(1)解：数列cn不是“ht数列”．理由如下：1n+1n+2因为cn=1+=，所以cn+1=．nnn+1234n+1又c1c2⋯cn=×××⋯×=n+1，123nn+21所以cn+1-c1c2⋯cn=-n+1=-n，n+1n+11因为-n不是常数，所以数列cn不是“ht数列”．n+1nn22(2)解：因为数列an为“ht数列”，由ai=an+1+log2bn-t，得ai=a1a2⋯an+log2bn，i=1i=1n+122bn+1所以ai=a1a2⋯anan+1+log2bn+1，两式作差得：an+1=an+1-1a1a2⋯an+log2．bni=1又数列an为“ht数列”，故an+1-t=a1a2⋯an．设数列bn的公比为q，2所以an+1=an+1-1an+1-t+log2q，*即t+1an+1-t+log2q=0对∀n∈n成立，t+1=0,则得t=-1,q=2．t+log2q=0,2又a1=2,a1=a1+log2b1，得b1=4，n-1n+1所以bn=4×2=2，n+1所以数列bn的通项公式为bn=2．11-x(3)证明：设函数fx=lnx-x+1，则fx=-1=，xx·341·,当x∈1,+∞时，fx<0，则fx在1,+∞上单调递减，且fx<f1=0．*因为数列an为“ht数列”，则an+1-a1a2⋯an=tn∈n．因为a1>1,t>0，则a2=a1+t>a1>1，故a3=a1a2+t>a1a2>1，*以此类推，可得对∀n∈N,an>1，所以fan<f1=0，即lnan-an+1<0，所以lnan<an-1．得证．·342·,江西省名校教研联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合m=xx<2,n=-1,0,1,2，则m∩n=()a.-1,2b.0,1,2c.-1,1d.-1,0,1答案d解析因为m={x∣-2<x<2}，所以m∩n=-1,0,1.2-i22.已知z=，则z+z=()ia.-4+6ib.-2+2ic.-4+2id.-2+6i答案a2-i22解析z==-1-2i，故z+z=(-1-2i)-1+2i=1+4i-4-1+2i=-4+6i.i2y2x3.已知椭圆c:+=1(a>b>0)的焦距为2，且ab=6，则C的离心率为()22ab1123A.B.C.D.2323答案D2222c3解析根据题意有半焦距c=1，故a=b+c=b+1，且ab=6，故a=3,C的离心率e==.a34.乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是40mm，其表面积约为()2222A.3000mmB.4000mmC.5000mmD.6000mm答案C22解析标准乒乓球的半径R=20mm，故表面积S=4πR≈5000mm.325.已知函数fx=x-ax+x+1没有极值点，则a的取值范围是()A.-3,3B.-3,3C.-∞,-3D.3,+∞答案B2解析fx=3x-2ax+1，若fx没有极值点，则方程fx=0至多只有一个解，2即Δ=4a-12≤0，故a的取值范围是-3,3.2cosβ6.已知α,β∈0,π，且sinα=,cosα=sinβtanβ，则()sinβππA.α=βB.α+β=πC.α-β=D.β-α=22答案A2cosβ22解析由sinα=，可得cosβ=sinαsinβ，由cosα=sinβtanβ，可得cosαcosβ=sinβ，故cosαcosβ+sinβ·343·,22sinαsinβ=cosα-β=sinβ+cosβ=1，故当α,β∈0,π时，α=β.6ii7.已知一组样本数据x1,x2,⋯,x6的方差为10，且(-1)xi=-1.5.设yi=xi+(-1)(i=1,2,⋯,6)，则样本数i=1据y1,y2,⋯,y6的方差为()A.9.5B.10.5C.9.75D.10.25答案B612解析设样本数据x1,x2,⋯,x6的平均数为x，则xi-x=10，设样本数据y1,y2,⋯,y6的平均数为y，6i=166i121i2因为yi=xi+(-1)i=1,2,⋯,6，所以y=x，所以yi-y=xi+(-1)-x=10+66i=1i=1661i1i(-1)xi-x+1=11+(-1)xi=10.5.33i=1i=18.甲､乙､丙三名同学报名参加数学､物理､化学､生物兴趣小组.-已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有()A.45种B.81种C.90种D.162种答案C解析方法1：根据题意可知有2个兴趣小组各有2个人报名，有2个兴趣小组各有1个人报名，则共有2C4种；若有2个同学所报名的2个兴趣小组完全相同，则剩下的1个同学所报名参加的2个兴趣小组都2只有1个人报名，则有C3种；若三人中只有一人所报名的2个兴趣小组各有2人报名，则另两人每人各报1222名一个有2人报名的兴趣小组和一个仅有1人报名的兴趣小组，则有C3⋅A2⋅A2=12种，故一共有C42122C3+C3⋅A2⋅A2=90种.222方法2：甲乙完全相同的报名参加方式有C4C2=6种，甲､乙只有一个兴趣小组相同的报名参加方式有C411122C2C2C2=48种，甲､乙完全不同的报名参加方式有C4C4=36种，所以他们不同的报名参加方式共有6+48+36=90种.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。π9.已知函数fx=2cosx-6+1，则()A.fx的最小正周期是2πB.fx的值域是-1,3ππC.y=fx的图像关于点3,1对称D.y=fx的图像关于直线x=6对称答案ABD(选对部分得3分)ππ解析fx=2cosx-6+1，故fx的最小正周期是2π，值域为-1,3,A,B正确；因为f3≠1，πππ故fx不关于点3,1对称，C错误；因为x=6是fx的极大值点，故fx关于直线x=6对称，D正确.2y2x10.已知点A4,1,F1,F2分别为双曲线C:-=1的左､右焦点，P为C的右支上一点，则()27A.PA+PF1<62B.PA+PF2≥32C.PA-PF1≤-2D.PA-PF2>-2·344·,答案BCD(选对部分得3分)解析当P的横坐标为无穷大时，PA+PF1也为无穷大，故A错误；由双曲线的定义可知PF1-PF2=2a=22，故PA+PF2=PA+PF1-22≥AF1-22=32，故B正确；PA-PF1=PA-7PF2-22≤AF2-22=-2，故C正确；C的一条渐近线的斜率为，大于直线AF2的斜率，所以2当P在x轴上方时，A,P,F2不可能共线，故由三角形三边关系可知PA-PF2>-AF2=-2，故D正确.11.在△ABC中，AB=AC=5,BC=50，边AB,AC在平面α上的射影长分别为3，4，则边BC在α上的射影长可能为()A.7B.6C.1D.0答案AC(选对部分得3分)解析不妨设点A在α上，因为AB=AC=5，且边AB,AC在平面α上的射影长分别为3，4，所以点B,C22到α的距离分别为4，3.当B,C在α同一侧时，BC在α上的射影长为(50)-(4-3)=7；当B,C在α22不同侧时，BC在α上的射影长为(50)-(4+3)=1.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量a=k,2,b=1,1，若b⊥b-a，则k=，a+b=.答案0，10(第一空3分，第二空2分)解析因为向量a=k,2,b=1,1，所以b-a=1-k,-1，当b⊥b-a时，b⋅b-a=0，即1-k22-1=0，故k=0，所以a+b=1,3,a+b=1+3=10.13.记Sn为等差数列an的前n项和，若a2=3,S5=25，则S7=.答案49解析因为S5=5a3=25，则a3=5，又因为a2=3，故a4=2a3-a2=7，所以S7=7a4=49.x2a14.已知a>0且a≠1，函数fx=x-x在0,+∞的最大值为-3，则fx在-∞,0的最小值为a-1.x-xx2a2a2a2答案方法1：因为fx+f-x=x+-x=x+x=2，所以y=fx的图像关于点a-1a-1a-11-a0,1对称，故若fx在0,+∞的最大值为-3，则fx在-∞,0的最小值为5.x2a2解析方法2：由条件得，当x>0时，x-x≤-3，且等号成立，即2+x-x≤-3，a-1a-1-x22a2∴ax-1-x≤-5,∴f-x=a-x-1+x=-ax-1-x≥5，且等号成立，∴fx在-∞,0的最小值为5.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2b=c.(1)若cosB=sinC，求tan2B；·345·,3(2)若cosA=,a=2，求△ABC的面积.4解析(1)因为2b=c，由正弦定理可得：2sinB=sinC，因为cosB=sinC，所以2sinB=cosB，sinB1故tanB==.cosB22tanB4所以tan2B==.1-tan2B3222(2)由余弦定理可知a=b+c-2bccosA，2222即2=b+4b-3b=2b，故b=1,c=2.27又sinA=1-cosA=，41177所以S△ABC=bcsinA=×1×2×=.224416.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E,F分别为PB,PC的中点，G为线段AC上一点，且CG=3AG.(1)证明：EG∥平面BDF；(2)若PD⊥平面ABCD，且AD=2PD，求二面角B-EG-D的正弦值.解析(1)记O为AC,BD的交点，连接CE交BF于点K，连接OK，因为E,F分别为PB,PC的中点，则K为△BCP的重心，故CK=2EK.CKOC又因为四边形ABCD是正方形，故O为AC的中点，且由于3AG=CG，故OC=2OG，==2，EKOG所以OK∥EG.又因为OK⊂平面BDF，且EG⊄平面BDF,所以EG∥平面BDF.(2)以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设AD=4,DP=2，则G3,1,0,B4,4,0,E2,2,1，所以GB=1,3,0,DG=3,1,0,GE=-1,1,1，·346·,平面BEG与平面DEG的法向量分别为m=x1,y1,z1,n=x2,y2,z2，则x1+3y1=03x2+y2=0,，-x1+y1+z1=0-x2+y2+z2=0不妨取x1=3,x2=1，则m=3,-1,4,n=1,-3,4，m⋅n3+3+1611所以cosm,n===13，m⋅n9+1+16×1+9+1611243所以二面角B-EG-D的正弦值为1-=.131317.(15分)已知某客运轮渡最大载客质量为4000kg，且乘客的体重(单位：kg)服从正态分布N60,100.(1)记X为任意两名乘客中体重超过70kg的人数，求X的分布列及数学期望(所有结果均精确到0.001)；nXi-nμ2i=1(2)设随机变量Xii=1,2,⋯,n相互独立，且服从正态分布Nμ,σ，记ξ=，则当n≥20时，nσ可认为ξ服从标准正态分布N0,1.若保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%，求最多可运载多少名乘客.2附：若随机变量η服从正态分布Nμ,σ，则P(μ-σ<η<μ+σ)=0.6826；若ξ服从标准正态分布22N0,1，则P(ξ<2)=0.977；0.1587≈0.0252，0.8413≈0.7078，0.1587×0.8413≈0.1335.解析(1)设乘客的体重为η，则η∼N60,100，其中μ=60,σ=10，因为P(μ-σ<η<μ+σ)=0.6826，即P(50<η<70)=0.6826，故P(η>70)=1-0.6826÷2=0.1587，02所以PX=0=C2×0.8413≈0.708，1PX=1=C2×0.1587×0.8413≈0.267，02PX=2=C2×0.1587≈0.025，所以X的分布列为：X012P0.7080.2670.025方法1：所以EX≈0×0.708+1×0.267+2×0.025=0.317.方法2：因为X∼B2,0.1587，故EX=np≈0.317.注：考生把≈写成=，不影响得分.2(2)设Xi为第ii=1,2,⋯位乘客的体重，则Xi∼Nμ,σ，其中μ=60,σ=10，nnXi-60ni=14000-60n≥0.977.所以PXi≤4000=P≤i=110n10nnXi-60ni=14000-60n因为~N(0,1).故有≥2，10n10n得3n+n-200≤0，即n-83n+25≤0，故n≤8,n≤64，所以若保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%，最多可运载64名乘客.218.(17分)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,△PQR各顶点均在C上，且PF+QF+RF=0.(1)证明：F是△PQR的重心；·347·,(2)△PQR能否是等边三角形？并说明理由；21(3)若P,Q均在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△PQR面积.3解析(1)设线段PQ的中点为M，由PF+QF+RF=0可知FP+FQ=2FM=RF，设QR的中点为N，同理可知2FN=PF，所以△PQR两条中线RM,PN相交于F，故F是△PQR的重心.(2)方法1：根据题意有F1,0.设Px1,y1,Qx2,y2,Rx3,y3，则PF=1-x1,-y1,QF=1-x2,-y2,RF=1-x3,-y3，由PF+QF+RF=0可得，x1+x2+x3=3，且y1+y2+y3=0.又由抛物线的几何性质可知PF=x1+1,QF=x2+1,RF=x3+1.若△PQR是等边三角形，则由(1)可知PF=QF=RF.由PF=QF，得x1=x2，又因为P,Q不重合，故可知y1=-y2≠0，3所以y3=-y1+y2=0,x3=0,x1=x2=.25故PF=QF=x1+1=,R0,0,RF=1，这与PF=QF=RF矛盾.2综上，△PQR不可能是等边三角形.方法2：根据题意有F1,0.设Px1,y1,Qx2,y2,Rx3,y3，由抛物线的几何性质可知PF=x1+1,QF=x2+1，RF=x3+1.若△PQR是等边三角形，则由(1)可知PF=QF=RF.222所以x1+1=x2+1=x3+1，故x1=x2=x3,y1=y2=y3，因此y1,y2,y2中至少两个相等，P,Q,R中至少有两个点重合，这与P,Q,R互不重合矛盾，故△PQR不可能是等边三角形.21(3)方法1：设直线PQ的方程为y=kx+b，其中k=，且因为P,Q在第一象限，3222易知b>0，与C的方程联立有kx+2kb-2x+b=0，其中Δ>0，可知kb<1，22-kb2b结合(2)中所设点坐标可知x1+x2=2,x1x2=2.kk23k+2kb-4由(2)可知x3=3-x1+x2=2，k2且y3=-y1-y2=-2x1-2x2，代入y3=4x3有：42-kb2bx1+x2+2x1x2=x3=3-x1+x2，故2+k-3=0，k228-3k18-3k21整理化简有kb==,b==，222k142k+b241+k1-kbk+bPQ=1+kx1-x2=2，点F到直线PQ的距离d=2=2，k1+k1+kdPQ2k+b1-kb1742所以S△PQF=2=2=98.k5142由(1)可知2FM=RF，故RM=3FM,S△PQR=3S△PQF=.982122方法2：由条件可设PQ的方程为y=x+b.把此方程与y=4x联立，化简得7x+221b-12x+323b=0.2221∴Δ=(221b-12)-4×7×3b=483-21b>0,∴b<.712-221b9+221b根据(2)有x1+x2=,∴x3=3-x1+x2=，77·348·,21421421y1+y2=x1+x2+2b=,∴y3=-y1+y2=-.377221由y3=4x3解得b=.14122121∴x3=，直线PQ的方程为y=x+.731421230Δ3062∴PQ=1+x1-x2=⋅=×.3373731721点R到直线PQ的距离d=×，301415142所以△PQR的面积为PQ⋅d=.29819.(17分)x-ba已知函数fx=2ae-lnx-1.(1)若a=-log2e,b=0，求fx的极值；(2)若a,b∈0,1，设x1=1,xn+1=fxn.证明：(i)xn<xn+1；4b-1(ii)xn-xn+2<n-1.a21x解析(1)方法1：当a=-log2e,b=0时，fx=-ln2⋅2-lnx-1，1x-11所以fx=2-x，且f1=f2=0.1x-11x-111设gx=xfx=x2-1，则gx=1-xln22,gln2=0，其中1<ln2<2，11当0<x<时，gx>0,gx单调递增，当x>时，gx<0,gx单调递减，ln2ln2gx又因为g1=g2=0，故当0<x<1时，fx=<0,fx单调递减，当1<x<2时，xgxgxfx=>0,fx单调递增，当x>2时，fx=<0,fx单调递减.xx1故x=1是fx的极小值点，fx的极小值为f1=--1=-log2e-1，ln211x=2是fx的极大值点，fx的极大值为f2=--ln2-1=-log2e-ln2-1.2ln2221x方法2：当a=-log2e,b=0时，fx=-ln2⋅2-lnx-1，x1x-112x-2所以fx=2-x=x.x⋅2xx设gx=2x-2，则gx=2-2ln2在0,+∞单调递减.由于g1=21-ln2>0，g2=21-ln4<0，故存在唯一x0∈1,2，使得gx0=0.当0<x<x0时，gx>0,gx单调递增；当x>x0时，gx<0,gx单调递减.因为g1=g2=f1=f2=0，所以当0<x<1或x>2时，gx<0,fx<0,fx单调递减；当1<x<2时，gx>0,fx>0,fx单调递增.1故x=1是fx的极小值点，fx的极小值为f1=--1=-log2e-1，ln211x=2是fx的极大值点，fx的极大值为f2=--ln2-1=-log2e-ln2-1.2ln22x-ba(2)(i)设φx=fx-λx=2e-lnx-1-λx，x-b1a则当a>0时，φx=2e--λ在0,+∞单调递增.x·349·,1-b1-1aa令λ=1，当x∈1,+∞时，因为a,b∈0,1，故φx≥φ1=2e-2>2e-2>0,φx单调递增，1-b1-1aa故当x∈1,+∞时，φx≥φ1=2ae-2>2ae-1.11x-11x-1设hx=xe-1，则hx=1-xe，当0<x<1时，hx<0,hx单调递减，故当λ=1时，φx≥φ1>2ha>2h1=0.所以x1=1,x2-x1=φx1>0,x2>x1=1;x3-x2=φx2>0,x3>x2>1;⋯;xn+1-xn=φxn>0，xn+1>xn>*1n=2,3,⋯，故对于任意n∈N,xn<xn+1.1-11-11xxx(ii)由(i)可知hx=xe-1≥0，当x>0时，e≥x-1+1，故e≥x+1，当x=0时取等.故当x1-b122a∈1,+∞时，φx≥φ1=2e-1-λ>2a-b+1-1-λ=a-2b+1-λ，令λ=a-2b+1，则φx>0,φx在1,+∞单调递增.由(i)可知1≤xn<xn+1，故φxn<φxn+1，即xn+1-λxn<xn+2-λxn+1.1-bn-1an-1所以xn+2-xn+1>λxn+1-xn,xn+1-xn≥x2-x1λ=2ae-1λ.1-b1an-1因为e-1>aa-b+1-1=a1-b，故xn+1-xn>2a1-bλ.n-11n-1所以xn+2-xn=xn+2-xn+1+xn+1-xn>2a1-bλ+1λ=4a1-ba-b+1λ，121n-11且由a,b∈0,1可知，4a1-b-b+1>41-b>0,λ=-2b+1>,λ≥.aaaan-1n-14b-1综上，有xn-xn+2<4b-1λ≤n-1.a·350·</xn+1，故φxn<φxn+1，即xn+1-λxn<xn+2-λxn+1.1-bn-1an-1所以xn+2-xn+1></xn+1.1-11-11xxx(ii)由(i)可知hx=xe-1≥0，当x></x<1时，hx<0,hx单调递减，故当λ=1时，φx≥φ1></x<2时，gx></x<1或x></x<x0时，gx></x<1时，fx=<0,fx单调递减，当1<x<2时，xgxgxfx=></xn+1；4b-1(ii)xn-xn+2<n-1.a21x解析(1)方法1：当a=-log2e,b=0时，fx=-ln2⋅2-lnx-1，1x-11所以fx=2-x，且f1=f2=0.1x-11x-111设gx=xfx=x2-1，则gx=1-xln22,gln2=0，其中1<ln2<2，11当0<x<时，gx></f1=0，即lnan-an+1<0，所以lnan<an-1．得证．·342·,江西省名校教研联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试卷第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合m=xx<2,n=-1,0,1,2，则m∩n=()a.-1,2b.0,1,2c.-1,1d.-1,0,1答案d解析因为m={x∣-2<x<2}，所以m∩n=-1,0,1.2-i22.已知z=，则z+z=()ia.-4+6ib.-2+2ic.-4+2id.-2+6i答案a2-i22解析z==-1-2i，故z+z=(-1-2i)-1+2i=1+4i-4-1+2i=-4+6i.i2y2x3.已知椭圆c:+=1(a></an-1．解析(1)解：数列cn不是“ht数列”．理由如下：1n+1n+2因为cn=1+=，所以cn+1=．nnn+1234n+1又c1c2⋯cn=×××⋯×=n+1，123nn+21所以cn+1-c1c2⋯cn=-n+1=-n，n+1n+11因为-n不是常数，所以数列cn不是“ht数列”．n+1nn22(2)解：因为数列an为“ht数列”，由ai=an+1+log2bn-t，得ai=a1a2⋯an+log2bn，i=1i=1n+122bn+1所以ai=a1a2⋯anan+1+log2bn+1，两式作差得：an+1=an+1-1a1a2⋯an+log2．bni=1又数列an为“ht数列”，故an+1-t=a1a2⋯an．设数列bn的公比为q，2所以an+1=an+1-1an+1-t+log2q，*即t+1an+1-t+log2q=0对∀n∈n成立，t+1=0,则得t=-1,q=2．t+log2q=0,2又a1=2,a1=a1+log2b1，得b1=4，n-1n+1所以bn=4×2=2，n+1所以数列bn的通项公式为bn=2．11-x(3)证明：设函数fx=lnx-x+1，则fx=-1=，xx·341·,当x∈1,+∞时，fx<0，则fx在1,+∞上单调递减，且fx<f1=0．*因为数列an为“ht数列”，则an+1-a1a2⋯an=tn∈n．因为a1></n，即b<c，又lna=lnm=lnmlnm⋅lnn,lnb=lnn=lnm⋅lnn，故a=b，所以c></u(1)=0，·333·,n1n+1即lnx<x-1,0<x<1，令x=即得<ln.n+1n+1nn+111又ln=lnn+1-lnn，得<lnn+1-lnn,⋯⋯,<ln2n-ln2n-1nn+1n+n111所以++⋯+<ln(n+1)-ln(n)+ln(n+2)-ln(n+1)+⋯+ln2n-ln(2n-1)=n+1n+22nln2n-lnn=ln2，2n1综上，fsink-1≤ln2.k=n+1【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如fx≥gx的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令fx=fx-gx，利用导数求得函数fx的单调性与最小值，只需fxmin≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a≥φx或a≤φx恒成立，即a≥φxmax或a≤φxmin恒成立，只需利用导数求得函数φx的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y=fx的图象在y=gx的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.·334·,河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a=xx2-1≤0,b=x1≥1，则a∩b=()4xa.0,112b.0,2c.0,1d.0,1答案b解析a=-1,1122,b=0,1，所以a∩b=0,2．故选b．a3-2i2.复数z=a∈r在复平面内对应的点在()2ia.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案ca3-2ia-13a-1解析z==-2-i，因为2></x,x∈0,2，π令tx=sinx-x,x∈0,2,tx=cosx-1<0，ππ则tx在0,2上单调递减，tx<t0=0，即sinx<x,x∈0,2111111所以sin+sin+⋯+sin<++⋯+n+1n+22nn+1n+22n1n+1再证<ln，先证lnx<x-1,0<x<1，n+1n11-x令u(x)=lnx-x+1(0<x<1)，则u(x)=-1=，xx当0<x<1时，u(x)></x<0,φx<0⇒x></x,x∈0,2、lnx<x-1,0<x<1，结合放缩法和裂项相消法计算即可证明.λ解析(1)fx=-sinx+，则f0=λ=1，1+x∴fx=cosx+ln1+x；(2)设hx=fx-ax-1=cosx+ln1+x-ax-1,x></x1<2，则+=1①，43如图所示，·331·,假设ac⊥af，即ac⊥af，所以ac⋅af=0，又ac=(-2-x1,-y1)，af=(1-x1,-y1)，22所以x1+y1+x1-2=0②，2由①②消去y1得到x1+4x1+4=0⇒x1=-2，与题设矛盾，所以ac与af不可能垂直.(2)如图所示，设ab方程为：x=ty+1，x=ty+1由22，得3t2+4y2+6ty-9=0，xy+=143-6t-9设ax1,y1,bx2,y2，则y1+y2=2,y1y2=2，3t+43t+42121+t222121+t2所以ab=y1+y2-4y1y2⋅1+t=21+t=2，3t+43t+4ac|2+222222222bc=x1+2+y1+x2+2+y2=ty1+3+y1+ty2+3+y242222222-18t+18t+72=t+1y1+y2+6ty1+y2+18=t+1y1+y2-2t+1y1y2+6ty1+y2+18=22+3t+418，22所以ab|+bc|42121+t2242187t4+17t2+122-18t+18t+72126t+306t+216+|ca=+18+=+18=+18，3t2+423t2+43t2+423t2+422设m=3t+4,m≥4，22222(7m-5m+16)121则ab|+bc|+|ca=m2+18=216m-5m+7+18152423423999=216m-32+64+18≥32+18=32，32242222999即当m=，即t=,t=±5时，|ab|+|bc|+|ca|取得最小值为.55532222999故|ab|+|bc|+|ca|的最小值为.3219.（17分）已知函数fx=cosx+λln1+x，且曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率为1.(1)求fx的表达式；·332·,(2)若fx≤ax+1恒成立，求a的值.2n1*(3)求证：∑fsink-1<ln2,n∈n.k=n+1答案(1)fx=cosx+ln1+x(2)a=1(3)证明见解析【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)设hx=fx-ax-1(x></k<7,k∈z，于是k∈{0,1,2}，所以正数λ的取值范围为0,41016333∪2,3∪5,3，d错误.故选：acπ11.在平面直角坐标系中，如果将函数y=fx的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<α≤,α为弧度)后，所2得曲线仍然是某个函数的图象，则称fx为“α旋转函数”，则()πa.∀α∈0,2，函数y=x都为“α旋转函数”πb.若函数fx=sinx,x∈0,π为“α旋转函数”，则α∈0,42πc.若函数gx=ax-为“旋转函数”，则a=1x42xπd.当m≤-2e或m≥1时，函数hx=mxe+1不是“旋转函数”4答案bcd1【分析】对a，举例说明即可；对bcd，设将x=c旋转-α后得出方程y=-tanαx-c，则只需y=xtanα+tt∈r与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可.π解析对a：当y=x旋转时与y轴重合，此时1个x对应多个y值，故a错误；41对b：将x=c旋转-α后所得直线为y=-tanαx-c，则只需y=x+tt∈r与原函数仅有一个交tanα点；1令px=sinx-kx-t，k=，当k∈1,+∞时，px只有一个零点，所以tanα∈0,1，即α∈tanαπ0,4，故b正确；22对c：令gx=x+t，当ax-=x+t在定义域内仅有唯一解时，即a-1x-tx-2=0，x当a=1时，-tx-2=0仅有一个解，故满足题意；22当a≠1时，a-1x-tx-2=0的判别式δ=b-4a-1，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不满足题意；故a=1，故c正确；πxxx对d：若hx是“旋转函数”，当mxe+1=x+t仅有唯一解时，即t=mxe-x+1，令mx=mxe-x+41，xxxxxmx=me+mxe-1=mx+1e-1，令qx=mx+1e-1，则qx=mx+2e当m=0时，方程为1=x+t，得x=t-1，仅有唯一解，符合题意；当m></p2答案a【分析】利用古典概型的概率公式求出p1,p2后可得正确的选项.解析设a为“甲摸到红球”，b为“乙摸到红球”，而乙两人摸到红球可分为甲摸到红球后乙摸到红球、甲摸到蓝球后乙摸到红球，3则p1=pa=，7而p2=pb=pba+pba=pb|apa+pb|apa·321·,3243183=×+×==，7676427故p1=p2，故选：a.226.在平行四边形abcd中，点e是ab的中点，点f,g分别满足af=ad,bg=bc，设ab=a,ad=33b，若ef⊥eg，则()33a.|b|=|a|b.b=ac.|b|=|a|d.|b|=2|a|42答案a【分析】先利用平面向量基底法用a,b表示ef,eg，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解.22解析因为点e是ab的中点，af=ad,bg=bc，332112所以ef=af-ae=ad-ab=-a+b，32231212eg=eb+bg=ab+bc=a+b；2323因为ef⊥eg，12121242所以ef⋅eg=-2a+3b⋅2a+3b=-4a+9b1242=-×a+×b=0，493则b=a，故a正确.4故选：a.7.已知正项等差数列an的前n项和为sn，则“2a1+a2=a3”是“sn为等差数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案c【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.解析设等差数列的公式为d，若2a1+a2=a3，则3a1+d=a1+2d，故d=2a1></y<1=y0<y<1=b.故选：d.23.已知fx=3x+1x-a3x-1+log3x+1-x是奇函数，则常数a=()a.-2b.-1c.0d.1答案c【分析】根据奇函数的性质求解即可.2解析因为fx=3x+1x-a3x-1+log3x+1-x是奇函数，且定义域为x∈r，所以f0=a+log31=0，解得a=0，2此时fx=x3x+13x-1+log3x+1-x，22fx+f-x=x3x+13x-1+log3x+1-x+-x-3x+1-3x-1+log3x+1+x=0，即fx=-f-x，满足奇函数定义，·320·,故选：c4.在正方体abcd-a1b1c1d1中，e,f分别为ab,bc的中点，则()a.平面b1ef∥平面a1c1db.平面b1ef⊥平面bc1dc.平面b1ef∥平面a1cc1d.平面b1ef⊥平面b1dd1答案d【分析】建系，分别求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可.解析如图，以d为原点，da,dc,dd1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则b12,2,2,e2,1,0,f1,2,0,b2,2,0,a12,0,2,a2,0,0,c0,2,0,c10,2,2,d0,0,2，则ef=-1,1,0,eb1=0,1,2,db=2,2,0,da1=2,0,2，aa1=0,0,2,ac=-2,-2,0,dc1=0,2,2，m⋅ef=-x1+y1=0设平面b1ef的法向量为m=x1,y1,z1，则，m⋅eb1=y1+2z1=0令z1=-1，则m=2,2,-1，同理可得平面a1c1d的法向量为n1=1,1,-1，平面a1cc1的法向量为n2=1,1,0，平面b1dd1的法向量n3=1,-1,0，平面bc1d的法向量为n4=1,-1,1，2-1对a，因为≠，则可知m=2,2,-1与n1=1,1,-1不平行，故a错误；1-1对b，因为m⋅n4=-1≠0，则m=2,2,-1与n4=1,-1,1不垂直，故b错误；10对c，因为≠，所以m=2,2,-1与n2=1,1,0不平行，故c错误；2-1对d，因为m⋅n3=1,-1,0⋅2,2,-1=0，m=2,2,-1与n3=1,-1,0垂直，故d正确；故选：d.5.袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为p1,p2，则()a.p1=p2b.p1<p2c.p1></y≤0或y≥1}，所以a∩b=yy></y<1=yy></x<1，所以集合b=y0<y<1，2所以a∪b=yy></e<(1+x)；x(2)结合第(1)问，e≥1+x对任意的x∈r恒成立，k-kkn令x=-k=1,2,⋯,n，则e≥1-≥0，nnkn-k1n-12n-2nn-n1-n≤e即1-n≤e,1-n≤e,⋯,1-n≤e-1-n1n2nnn-1-2-ne1-e11-+1-+⋯+1-≤e+e+⋯+e=<．nnn1-e-1e-11n2nnn1即1-n+1-n+⋯+1-n<e-1，nnnn-1n-2n-n1n+n+⋯+n<，nnne-1nnnn*所以(n-k)<n∈n．e-1k=1【点睛】方法点睛：xx(1)构造函数fx=e-1-x，gx=ln1+x-，求导分析单调性，并结合f0=g0=0证明1+xx1+x常用不等式1+x<e<(1+x)；(2)有累加形式证明的不等式，通常根据前问的结论，代入特殊值可得不等式，最后累加求和进行证明.18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北·315·,区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据α=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别合计南区北区男331043女38745合计7117881(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天212在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅331111的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．2442(ⅰ)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；*(ⅱ)求第nn∈n天他去甲餐厅用餐的概率pn．22n(ad-bc)附：χ=,n=a+b+c+d；a+bc+da+cb+d0.10α0.0500.0250.01002.70xα3.8415.0246.6356答案(1)没有关联1,n=134(2)(ⅰ)；(ⅱ)pn=8411n+1--,n≥2992【分析】(1)根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解，(2)根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解(ⅰ)，根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解(ⅱ).2288×(33×7-10×38)解析(1)依据表中数据，χ=≈0.837<2.706=x0.1，43×45×71×17依据α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断h0不成立，因此可以认为h0成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．(2)设ai=“第i天去甲餐厅用餐”，bi=“第i天去乙餐厅用餐”，ci=“第i天去丙餐厅用餐”，则ai、bi、ci两两独立，i=1,2,⋯,n．11111根据题意得pa1=pb1=,pc1=,pai+1ai=,pai+1bi=,pai+1ci=，42232112pbi+1ai=,pbi+1ci=,pci+1bi=．223(ⅰ)由b2=b2a1+b2c1，结合全概率公式，得11113pb2=pb2a1+b2c1=pa1pb2a1+pc1pb2c1=×+×=，42228·316·,3因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．8*(ⅱ)记第nn∈n天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为pn,qn,rn，11则p1=q1=,r1=，由全概率公式，得42pn=pan=panan-1+anbn-1+ancn-1=panan-1+panbn-1+pancn-1=pan-1panan-1+pbn-1panbn-1+pcn-1pancn-1111故pn=pn-1+qn-1+rn-1n≥2①23211同理qn=pn-1+rn-1n≥2②222rn=qn-1n≥2③3pn+qn+rn=1></e<(1+x)；nnnn*(2)证明：(n-k)<n∈n．e-1k=1答案(1)证明见解析；(2)证明见解析xx【分析】(1)构造fx=e-1-x，gx=ln1+x-，分别求导分析单调性，结合fx></c<π，所以c=3.2222(2)由余弦定理得(6)=a+b-2abcosc=(a+b)-3ab，可得ab=2，1π1π1π又s△abc=s△cbd+s△cad，所以absin=a⋅cd⋅sin+b⋅cd⋅sin，2326261311113ab3×2即ab=a⋅cd⋅+b⋅cd⋅，所以cd===1.222222a+b2316.（15分）如图，四棱锥e-abcd的底面abcd是菱形，点f,g分别在棱cd,be上，bg=2ge,cf=2fd,ea=ed=ad=bd=2．(1)证明：fg⎳平面ade；(2)若二面角e-ad-b大小为120°，求fg与平面bce所成角的正弦值．·313·,答案(1)证明见解析21(2)14【分析】(1)取棱ae上一点h，使得ah=2hf，连接gh,hd，再证明四边形ghdf为平行四边形，从而根据fg∥dh证明即可；(2)取ad中点o，连接oe,ob，作ek⊥ob，垂足为k，根据几何关系证明og⊥平面abd，再分别以为oa,ob,og为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz，根据二面角与线面角的向量求法求解即可.解析(1)取棱ae上一点h，使得ah=2he，连接gh,hd，∵ah=2he,bg=2ge，11∴gh⎳ab，且gh=cd=ab，33∵cf=2fd，1∴fd⎳ab，且fd=ab，3∴gh⎳fd，且gh=fd，故四边形ghdf为平行四边形，∴fg⎳dh.又∵fg⊄平面ade,dh⊂平面ade，∴fg⎳平面ade.(2)取ad中点o，连接oe,ob，作ek⊥ob，垂足为k，∵菱形abcd中，ad=bd=2，∴△abd为等边三角形，∵oe⊥ad,ob⊥ad,oe∩ob=o，∴∠boe是二面角e-ad-b的平面角，即∠eok=180°-∠boe=60°，且ad⊥平面obe，3∴ok=oecos60°=，即ob=2ok，2又∵bg=2ge,∴og⎳ek，又∵ek⊂平面obe，∴ek⊥ad，又∵ek⊥ob,ad∩ob=o，ad,ob⊂平面abd，∴ek⊥平面abd，∴og⊥平面abd.分别以为oa,ob,og为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz，则点a1,0,0,b0,3,0,d-1,0,0,g0,0,1，·314·,所以bg=0,-3,1,bc=ad=-2,0,0，1143fg=fd+do+og=3cd+do+og=3ba+do+og=3,-3,1，设n⊥平面bcg,n=x,y,z，记fg与平面bce所成角大小为θ，n⋅bc=-2x=0由n⋅bg=-3y+z=0，取n=0,1,3，4,-3,1⋅0,1,3fg⋅n3321sinθ===14，fgn27×2321综上，fg与平面bce所成角的正弦值为．14x1+x17.（15分）(1)已知x></a1<-9d.2nn-1dn-1故当sn=na1+<0时，需要满足a1<-d，故n的最小值为19，故d正确.22故选：abd2210.已知直线l:a+2x-a+1y-1=0与圆c:x+y=4交于点a,b，点p1,1,ab中点为q，则()a.ab的最小值为22b.ab的最大值为4c.pa⋅pb为定值d.存在定点m，使得mq为定值答案acd【分析】利用直线过定点p1,1进行逐项分析，对于a，根据cp和直线l垂直时，ab取最小值求解即可；对于b，验证直线l能否过圆心即可；对于c，联立直线和圆的方程，将pa⋅pb表示出来求解即可；对于d，利用cq⊥pq，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.解析直线l:a+2x-a+1y-1=0，即ax-y+2x-y-1=0，22故直线过定点p1,1,且圆c:x+y=4的圆心为0,0，半径为2,22∵1+1<4，故p1,1在圆c内，对于a，当cp和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=cp=2，2此时ab最小，ab=24-d=22，故a正确；对于b，当ab=4时，ab为圆的直径，此时直线过圆心，∵a+2×0-a+1×0-1=0方程无解，故直线不可能过圆心，故b错误；对于c，设ax1,y1,bx2,y2，则pa⋅pb=x1-1x2-1+y1-1y2-1=x1x2-x1+x2+y1y2-y1+y2+2，22当直线l斜率不存在时，l:x=1，联立圆c:x+y=4得，y=±3，此时pa⋅pb=1-3-2+2=-222当直线l斜率存在时，设直线y-1=kx-1，联立圆c:x+y=4，222222得x+kx-1+1=4，即k+1x+2k-2kx+k-2k-3=0，22k-2kx1+x2=-2k+1∴2，xx=k-2k-3122k+1222y1+y2=kx1+x2+2-2k，y1y2=kx1-1+1×kx2-1+1=kx1x2+k-kx1+x2+1-k,222∴pa⋅pb=x1x2-x1+x2+y1y2-y1+y2+2=k+1x1x2-k+1x1+x2+k+1,222带入得：pa⋅pb=k-2k-3+2k-2k+k+1=-2，故pa⋅pb为定值-2，故c正确；对于d，ab中点为q，故cq⊥ab,且p1,1在ab上，所以cq⊥pq,故△pqc是直角三角形，1112当m为pc中点2,2时，mq=2pc=2为定值，故d正确.·309·,故选：acd11.已知函数fx,gx的定义域均为r，f1-x+g1+x=2，gx-fx-2=2，g4-x-fx=2，2且当x∈0,1时．fx=x+1，则()2024a.g2024=2b.g(i)=0i=1c.函数fx关于直线x=3对称d.方程fx+2024=x有且只在2个实根答案ac【分析】根据条件，构造方程，通过解方程组求出函数fx和函数gx的性质，然后利用函数性质来判断各个选项的正误.f1-x+g1+x=2fx+g2-x=2解析对于a：由，可得，所以g(2-x)+g(4-x)=4g4-x-fx=2g4-x-fx=2所以g[2-(2-x)]+g[4-(2-x)]=4，即g(x)+g(x+2)=4所以g(x+2)+g(x+4)=4，得g(x)=g(x+4)，故gx为周期函数，且周期为4，f1-x+g1+x=2fx+g2-x=2又，可得，故g(2-x)+g(x+2)=4，gx-fx-2=2gx+2-fx=2令x=0可得g2=2，令g(x)+g(x+2)=4中的x=0可得g0=2所以g2024=g0=2，a正确；2对于b：因为当x∈0,1时，fx=x+1，所以f1=2，由f1-x+g1+x=2得f1+g1=2，所以g1=0由g4-x-fx=2得g3-f1=2，所以g3=4，又g4=g0=2，2024所以∑g(i)=506g1+g2+g3+g4=506×0+2+4+2=4048，b错误；i=1f1-x+g1+x=2f2-x+gx=2对于c：由，可得，g4-x-fx=2gx-f4-x=2故f(2-x)+f(4-x)=0，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，f1-x+g1+x=2f1-x+g1+x=2由，可得，gx-fx-2=2g1+x-fx-1=2故f(1-x)+f(x-1)=0，即f(x)=-f(-x)，所以f(x+2)=-f(x)=f-x2故f(x)为奇函数，关于x=1对称，且周期为4，又当x∈0,1时．fx=x+1，作出f(x)的图象如下：由图可知函数fx关于直线x=3对称，c正确；对于d：方程fx+2024=x，即fx=x，由图可知，函数fx的图象和y=x的图象有3个交点，即方程fx+2024=x有3个实根，d错误.·310·,故选：ac.【点睛】方法点睛：对于抽象函数构成的函数关系，我们可以通过构造方程组来研究函数的性质，就像解方程组一样，想求什么就消去什么就行了.另外，对于方程根的个数问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．212.抛物线c:y=8x的焦点为f，过f的直线l与曲线c交于a,b两点，点a的横坐标为6,则ab=．322答案></s8，故b正确；对c，由a9></s11<s8c.当n=10时，sn取最大值d.当sn<0时，n的最小值为19答案abd【分析】对a，根据等差数列的基本性质，结合a1></a<.e故选：a.【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程与函数思想、利用导数确定判断函数的单调性及最值等.解题关22lnx2xxa2x键在于将方程fx=0改写成2xe=lne；构造函数g(x)=xe，利用导数判断其单调性，得出2x=2a2xln，将方程根的问题转化为函数图象交点问题.2a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></x<1.所以函数ωx=x-lnx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增.则ωxmin=1.又因为当x→0时，ωx→+∞；当x→+∞时，ωx→+∞.1所以-lna></x<1，x+3x-1所以m=xx+3<0=x-3<x<1，又n=y∈ry=x+1=yy≥0，所以m∩n=x|0≤x<1.故选：b2.若1-iz=2i，则z-2i=()a.0b.1c.2d.2答案c【分析】首先根据复数的除法运算公式，化解复数z，再结合复数的运算和模的公式，即可求解.2i2i1+i解析z===-1+i，1-i1-i1+i则z-2i=-1-i，z-2i=1+1=2.故选：c633.(1-ax)的展开式中x的系数为160，则a=()a.2b.-2c.4d.-4答案b3【分析】写出展开式的通项，再令r=3，即可求出展开式中x的系数，从而得解.6rr解析二项式(1-ax)展开式的通项为tr+1=c6-ax(其中0≤r≤6且r∈n)，43433令r=3可得t4=c6-ax=c6-a⋅x，43所以c6-a=160，解得a=-2.故选：b4.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是a.甲地：总体均值为3，中位数为4b.乙地：总体均值为1，总体方差大于0c.丙地：中位数为2，众数为3d.丁地：总体均值为2，总体方差为3·305·,答案d解析试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数(第天)人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差2y2x5.椭圆+=1经过点2,3，则其离心率e=()22aa-41233a.b.c.d.2223答案a2【分析】将点代入椭圆方程得a=16，即可得椭圆方程，由题意离心率公式求解即可.2y2x49解析将2,3代入+=1可得+=1，2222aa-4aa-44222化简可得a-17a+16=0，解得a=16或a=1(舍去)，2y2x故椭圆方程为+=1，1612所以a=4,b=23，故c=2，c1故e==，a2故选：aπ6.若函数fx=sinωx-3ω></x1<2，则x2=e∈e,e；-x1x1②由①可知，x2=e，当x≥x1></h0<0，h1=-2<0，所以，函数hx在0,1上无零点，2因为h2=e-3></x<1时，vx<0，即函数vx在0,1上单调递减，当x></x<e时，ux></x2<e；x②已知λx2-x+1e+x≤0对任意x∈x1,+∞恒成立，求λ的取值范围．答案(1)1,ee(2)①证明见解析；②-∞,1.xlnxelnx【分析】(1)利用参变量分离法可得出≤k≤，其中x></a<2，所以3<2a+3<3，π2ππ所以2a+=，即a=；336abc(2)由正弦定理==得sinasinbsincππcsinacsinb2sin6+2sin6+c1+cosc+3sinca+b=+==sincsincsincsinc2cc2coscos1+cosc221=+3=+3=+3=+3，sinccccc2sincossintan2222ππ0<π-c-<62根据三角形△abc是锐角三角形得，0<c<π2πππcπ3c解得<c<，则<<，所以<tan<1，326243211所以1<<3，则1+3<+3<23，cctantan22则a+b的取值范围为1+3,23.2an+1,n=2k-1∗16.（15分）已知数列an的前n项和为sn，满足a1=1，an+1=k∈n．3an+2,n=2k∗(1)若数列bn满足bn=a2n-1n∈n，求bn的通项公式；(2)求数列an的通项公式，并求s2n．n-1答案(1)bn=2⋅6-1n-12n2⋅6-1,n=2k-1∗66-1(2)an=k∈n，s2n=-2nn-154⋅62,n=2k·298·,【分析】(1)根据数列an的递推公式推导出数列bn+1为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列bn的通项公式；∗∗(2)求出数列a2n的通项公式，分n为奇数、偶数两种情况讨论，设n=2k-1k∈n、n=2kk∈n，可得出数列an的通项公式，分别求出s奇、s偶，相加可得s2n.2an+1,n=2k-1∗解析(1)解：因为数列an满足a1=1，an+1=k∈n，3an+2,n=2k则bn+1=a2n+1=3a2n+2=32a2n-1+1+2=6a2n-1+5=6bn+5，因为b1+1=a1+1=2≠0，且bn+1+1=6bn+1，所以，数列bn+1是首项为2，公比为6的等比数列，n-1n-1所以，bn+1=2⋅6，则bn=2⋅6-1.n-1(2)解：由(1)可得a2n-1=2⋅6-1，n-1n-1所以，a2n=2a2n-1+1=22⋅6-1+1=4⋅6-1，∗n+1当n为奇数时，设n=2k-1k∈n，则k=，2n+1-1n-1k-222则an=a2k-1=2⋅6-1=2⋅6-1=2⋅6-1；nn-1∗k-12当n为偶数时，设n=2kk∈n，则k=，则an=a2k=4⋅6-1=4⋅6-1.2n-122⋅6-1,n=2k-1∗综上所述，an=k∈n.n-14⋅62,n=2k01n-101n-1因为s奇=2⋅6-1+2⋅6-1+⋯2⋅6-1=26+6+⋯+6-nnn21-626-1=-n=-n，1-6501n-101n-1s偶=4⋅6-1+4⋅6-1+⋯+4⋅6-1=46+6+⋯+6-nnn41-646-1=-n=-n，1-65n66-1所以，s2n=s奇+s偶=-2n.517.（15分）已知：斜三棱柱abc-a1b1c1中，bb1⊥ac，aa1与面abc所成角正切值为2，aa1=5，ab=2bc=ac=22，点e为棱a1c1的中点，且点e向平面abc所作投影在△abc内．2(1)求证：ac⊥eb；af(2)f为棱aa1上一点，且二面角a-bc-f为30°，求的值．aa1答案(1)证明见解析af86-4(2)=aa123·299·,【分析】(1)取线段ac的中点m，连接em、bm，证明出ac⊥平面bem，利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)过点e在平面bb1em内作eo⊥bm，垂足为点o，证明出eo⊥平面abc，可知直线aa1与平面abc所成的角为∠emo，根据已知条件求出oe、oa的长，然后以点o为坐标原点，ca、ob、oe的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设af=λaa1，其中0≤λ≤1，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，即可得出结论.解析(1)证明：取线段ac的中点m，连接em、bm，在斜三棱柱abc-a1b1c1中，aa1⎳cc1且aa1=cc1，则四边形aa1c1c为平行四边形，所以，ac⎳a1c1且ac=a1c1，因为e、m分别为a1c1、ac的中点，所以，四边形aa1em为平行四边形，所以，em⎳aa1，又因为aa1⎳bb1，则em⎳bb1，因为ac⊥bb1，则ac⊥em，因为ab=bc，m为ac的中点，则bm⊥ac，因为em∩bm=m，em、bm⊂平面bem，所以，ac⊥平面bem，因为eb⊂平面bem，所以，eb⊥ac.(2)解：由(1)可知，ac⊥平面embb1，过点e在平面bb1em内作eo⊥bm，垂足为点o，因为ac⊥平面bb1em，eo⊂平面bb1em，则eo⊥ac，又因为eo⊥bm，bm∩ac=m，bm、ac⊂平面abc，则eo⊥平面abc，所以，直线aa1与平面abc所成的角为∠emo，eo所以，tan∠emo==2，则eo=2om，om22因为em=eo+om=5om=5，可得om=1，eo=2，2因为ab=bc=ac=22，则ab=bc=22，ac=4，2222所以，ab+bc=ac，则ab⊥bc，1因为m为ac的中点，所以，mb=ac=2，2以点o为坐标原点，ox、ob、oe的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则a2,-1,0、b0,1,0、m0,-1,0、c-2,-1,0、e0,0,2，me=0,1,2，则oa1=oa+aa1=oa+me=2,-1,0+0,1,2=2,0,2，即点a12,0,2，同理可得点b10,2,2、c1-2,0,2，设af=λaa1=λ0,1,2=0,λ,2λ，其中0≤λ≤1，则cf=ca+af=4,0,0+0,λ,2λ=4,λ,2λ，且cb=2,2,0，设平面bcf的法向量为m=x,y,z，·300·,m⋅cb=2x+2y=0则m⋅cf=4x+λy+2λz=0，取x=2λ，则y=-2λ，z=λ-4，所以，平面bcf的一个法向量为m=2λ,-2λ,λ-4，易知平面abc的一个法向量为，因为二面角a-bc-f为30°，m⋅nλ-432则cosm,n==222=2，整理可得23λ+8λ-16=0，m⋅n4λ+4λ+λ-486-4af86-4因为0≤λ≤1，解得λ=，即=.23aa1232y2x118.（17分）已知椭圆c：+=1a></ge=1+2-2=2-1<0，即fx=2<0，eex+12所以，函数fx在e,+∞上单调递减，2023ln2022ln2023因为lna=ln2022==f2022，lnb==f2023，20232024ln2024lnc==f2024，20252又因为fx在e,+∞上单调递减，则f2022></sn+1,∴sn为单调递增数列，∴数列sn满足条件②．2-1综上，数列sn具有性质p．(3)先证数列cn满足条件①：1n0112131n1cn=1+n=cn+cn⋅n+cn⋅2+cn⋅3+⋯+cn⋅nn．nnk1nn-1n-2⋯n-k+1nn-1n-2n-k+11当k≥2时，cn⋅k=k=n⋅n⋅n⋯n⋅k!nn⋅k!1111≤≤=-,k!kk-1k-1k1n111111则cn=1+n=1+1+1-2+2-3+⋯+n-1-n=3-n<3，∴数列sn满足条件①．再证数列cn满足条件②：1n111cn=1+n=1+n⋅1+n⋯1+n×11+1+1+1+⋯+1+1+1n+1nnn1<(1+></m；②an为单调数列，则称数列an具有性质p．4(1)若an=n+2，求数列an的最小项；nn1(2)若bn=n，记sn=bn，判断数列sn是否具有性质p，并说明理由；2-1i=11n(3)若cn=1+n，求证：数列cn具有性质p．答案(1)最小项为a2=3(2)数列sn具有性质p，理由见解析．(3)证明见解析nn4【分析】(1)利用an=++2，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；22n11(2)变形bn≤n-1，再利用等比数列求和证明性质①，利用bn=n></x<4，2x-2+4所以lx在0,2上单调递增，所以ω的周长随着线段dm长度的增大而增大，故d正确．故选:acd．11.已知函数fx,gx的定义域均为r，其中fx的图象关于点1,1中心对称，gx的图象关于直线x·281·,=2对称，fx-g2+x=4,g2=3，则()2024a.f-x+fx=0b.f2024=7c.g2024=-1d.f(k)=2024k=1答案bd【分析】根据题意，结合函数的性质，所以fx=f-x，可判定a错误；再由函数fx是以4为周期的周期函数，得到f2024=f0，可判定b正确；结合g2024=f2022-4，结合周期性，可判定c错误；求得f1+f2+f3+f4=4，进而可判定d正确.解析由题意知fx-4=g2+x,g2+x=g(2-x)，所以fx-4=f(-x)-4，所以fx=f-x，所以a错误；又由f0=4+g2=7，因为fx关于点1,1中心对称，所以f1=1,fx+2+f-x=2，所以fx+4+f-x-2=2，又因为fx+2=f-x-2，所以fx+4=f-x=fx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，所以f2024=f0=7，所以b正确；由g2024=f2022-4=f2-4=2-f0-4=2-7-4=-9，所以c错误；因为f1=1,f2=2-f0=2-7=-5,f3=f-1=f1=1,f4=f0=7，2024所以f1+f2+f3+f4=4，所以∑fk=2024，所以d正确.k=1故选：bd.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合m=x∈n∣x+2x-3<0,n=-2,-1,0,1,2，则m∩n=．答案0,1,2【分析】列举法表示m，由交集的定义求m∩n.解析因为m=x∈n∣x+2x-3<0=x∈n-2<x<3=0,1,2，又n=-2,-1,0,1,2，所以m∩n=0,1,2．故答案为：0,1,2π13.在△abc中，ac=4，且sinb=2sinasinc，则△abc的面积为；若c=，则b=．4π答案4></dm<2时，如图，过点m作mn⎳ad1，易得mn⎳bc1，所以ω为四边形mnbc1，2设dm=x，四边形mnbc1的周长为l，则lx=22+22-x+4+2x，2x-4所以lx=+2，令lx></log2x+1≤3,x∈n,a=x∣x-7x+10<0,x∈n，则集合a关于集合u的正交集合b的个数为()a.8b.16c.32d.64答案b解析集合a､b互为正交集合说明集合a､b没有公共元素，由已知可得u=2,3,4,5,6,7,a=3,4，4集合b满足b⊆∁ua，故集合b有2=16种可能，故选b.4.某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量､课程内容､学生感受､家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：时长x(分钟)1012141519评分y60m751.2m+590根据散点图分析得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为y=3.2x+29.8，则m=()a.61b.63c.65d.67答案c解析由已知得x=14,y=46+0.44m，将点x,y代入回归方程，即46+0.44m=3.2×14+29.8，解得m=65，故选c.π5.已知函数fx=3cosωx+φ(ω></ln-2,aa所以fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减.综上,当a≥0时,fx在r上单调递增;aa当a<0时,fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减.⋯4分(2)证明:由(1)得,当a≥0时,fx=m至多有一个根,不符合题意.aaa当a<0时,fx在ln-2,+∞上单调递增,在-∞,ln-2上单调递减,且fln-2=0.aa不妨设0<x1<ln-2<x2,要证明fx1x2<0,即证x1x2<ln-2.x1+x2a又x1x2<2,所以只需要证明x1+x2<2ln-2.a2-xax2ln-2-xaxae令函数hx=fx-f2ln-2-x=2e+ax-2e-2aln-2+ax=2e-2+2ax-aa2aln-2,0<x<ln-2.2-x2-xxaexaehx=2e++2a≥22e⋅+2a=0,22a所以hx在0,ln-2上单调递增,aa所以hx<hln-2=0,即fx<f2ln-2-x,a所以fx1<f2ln-2-x1.a又因为fx1=fx2,所以fx2<f2ln-2-x1.aaaa因为x2></x1<x2,fx的导函数为fx,证明:fx1x2<0.x解析(1)解:fx=2e+a.当a≥0时,fx></x<4时,sinx+cosx=2sinx+4></x≤4},则a∩b=()a.{2,3}b.{3,4}c.{0,1}d.{1,2}答案b解析a=-∞,0∪2,+∞,b={2,3,4},则a∩b={3,4}.223.若直线l:y=kx+1与圆o:x+y=1只有一个公共点,则k=()a.0b.1c.-1d.2答案a解析由题意可得直线l与圆o相切,又因为直线l过定点a0,1,点a在圆o上,所以直线l与直线oa垂直,因为直线oa的斜率不存在,所以k=0.4.已知向量a=x,1,b=4,x,则“x></b答案d·253·,7.已知正项数列an满足a2=3a1,sn为an的前n项和，则“an是等差数列”是“sn为等差数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件答案cπ8.已知平面向量a,b满足a=1,b,a+b=，则a-b的最大值为()6a.2b.2+1c.3+1d.3答案c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></x<1}，则{x∣-1<x<0}=()a.a∪bb.∁ua∩bc.a∩∁ubd.∁ua∩b答案b22.已知复数z满足z=，则z⋅z=()1-ia.-2b.2ic.2d.2答案dcosθ-sinθπ3.已知cosθ+sinθ=2，则tanθ-4=()11a.-2b.2c.-d.22答案a4.柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录.如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm，下底直径20cm，高为30cm，则该米斗的容积大概为()a.9升b.15升c.19升d.21升答案b5.有一组数据：1,1,2,2,3,3,4,4,4,4，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是()a.平均数b.众数c.中位数d.极差答案a6.已知a></m<0，则ln-2m<0,hln-2m<0，显然当x→-∞时，hx→+∞，2故∃x2∈-∞,ln-2m，使得hx2=0．又h0=0，所以当x∈-∞,x2和0,+∞时，gx=hx></m<2时，fx的单调递增区间为2,m，单调递减区间为-∞,2和m,+∞；1当m=时，fx的单调递减区间为r，无递增区间；2111当m></x<2，令fx<0，得x<或x></x<，令fx<0，得x<2或x></m<时，令fx></m<，m=和m></k<且k≠0．222y=kx+1,22由22得4k-1x+8kx+8=0，x-4y=4,-8k8设mx1,y1,nx2,y2，则x1+x2=2，x1x2=2.4k-14k-1y1y2则直线a1m的方程为y=x+2，直线a2n的方程为y=x-2，x1+2x2-2x+2y2x1+2将直线a1m和a2n的方程联立，可得=，x-2y1x2-222222(x+2)y2x1+22x12x2所以2=22，又因为y1=4-1,y2=4-1，(x-2)y1x2-22x22(x+2)24-1x1+2x+2x+2xx+2x+x+4211212所以===22(x-2)x12x1-2x2-2x1x2-2x1+x2+44-1x2-2816k2-2+424k-14k-18-16k+16k-42k-12===．816k8+16k+16k2-42k+12+2+44k-14k-1112k-1因为-<k<且k≠0，所以<0，222k+1x1+2x+2y2x1+2易知y1y2></u(e)=，即m<，又<，则0<m<，e3e3e32e32所以实数m的取值范围为0,.e3故选：d【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></x<，求导得h(x)=-+<0，m2mx2x2x111函数h(x)在0,上单调递减，h(x)></m<2时，f2m<0，而fe=e-1-lne=e-lnm></b，所以a></m<11，11-mm-32y2x所以“3<m<11”是“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.11-mm-3故选：b.4.已知圆台的母线长为237，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为()a.184πb.188πc.192πd.196π答案d【分析】根据轴截面，求出圆台的高，利用圆台的体积公式直接求出圆台体积.解析如图：做圆台的轴截面·239·,由已知条件：oc=3，o1b=5，在rt△chb中，hb=2，bc=237，∠chb=90°，22所以ch=bc-bh=4×37-4=12，πh2212π所以圆台的体积为：v=r+r+rr=9+25+3×5=196π.33故选：d1-0.55.已知a=log37,b=log936,c=2，则()a.a></m<11”是“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()11-mm-3a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b2y2x【分析】首先求出“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，从而即可判断.11-mm-32y2x解析方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆等价于m-3></a0，a当a∈a0,+∞时，g(x)min=g2></x2，然后通过计算fx1-fx2的符号，如果fx1-fx2<0，则fx在给定区间内单调递增；如果fx1-fx2></x2<x1，则x1-x2></x2<x3，则0<x1<1=x2<x3，x1⋅x3=1．715又因为x1+x2+x3<，所以x3+<，从而1<x3<2．2x323因为fx在x0,+∞上单调递增，所以0=fx3<f2=3-2aln2，解得a<．2ln23综上可知a的取值范围是2,2ln2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．·227·,广东省、福建省、甘肃省2023-2024学年高三下学期开学考试金太阳联考数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a=-1,0,1,2,b={xx-1></f1=0，243243433f4a=16a-1-4aln4a=16a-1-8aln2a></x<1时hx></a≤2．综上可知a的取值范围是0,2．(2)因为f1=0，所以1是函数fx的一个零点．2若tt≠1是函数fx的零点，即t-1-atlnt=0，211a11+atlnt-t1则f=-1-ln==0，即是函数fx的零点，tt2ttt2t故函数fx在1,+∞和0,1上各有一个零点，且它们互为倒数．由(1)可知，当0≤a≤2时，fx在0,+∞上单调递增，不符合题意；当a<0，x∈1,+∞时，fx=2x-a1+lnx></x2<x3，由7x1+x2+x3<，得到1<x3<2，从而得到0=fx3<f2=3-2aln2，即可求出参数的取值范围．2解析(1)由题设知fx=2x-alnx+1≥0,x∈0,+∞恒成立．若a<0，当x></c<π，有0<<，则sin≠0,cos></c=a-b，即a></txe成立，符合题意；·218·,当x∈1,+∞时，设hx=xlnx，则hx=lnx+1></tx2，tx1tx2tx1tx2所以f(x1)-f(x2)></x1<x2，又t></x1<x2，将不等式转化为f(x1)-e></x≤2，所以a=x0<x≤221x1又因为b=yy=2,x≥2=y0<y≤4，所以a∩b=b.故选：a．3.下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是()a.这10个月的月销售量的中位数为28b.这10个月的月销售量的平均数为31c.这10个月的月销售量的第75百分位数为34.5d.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差答案b【分析】根据中位数，平均数，百分位数定义计算判断a,b,c选项，根据波动性判断d选项即可.·216·,解析将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的中位28+3数为=29，a错误；225+26+27+⋯+37+40这10个月的月销售量的平均数为=31，b正确;10根据百分位数的定义可知10×75%=7.5，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，c错误；由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，d错误.故选:b．4.设正四面体abcd的棱长为1，e为cd的中点，f，g分别是棱ac,bc上的点，且满足af=2cg=λ，gf⎳平面abe，则λ的值是()1123a.b.c.d.3234答案c【分析】由题意得gf⎳ab，进一步cf=cg，由此可列出出关于λ的方程求解.解析由gf⎳平面abe，平面abc∩平面abe=ab，gf⊂平面abc，得gf⎳ab，λ因为ac=bc，于是cf=cg=，2λ2则cf=ac-af=1-λ==cg，解得λ=.23故选：c．5.已知正项等比数列an(其公比q∈0,1)的前n项积为tn，设甲：a1a11=a7，乙：tn有最大值t5，则甲是乙的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a【分析】根据题意，求得a5=1，得到t5=t4，反之tn有最大值t5，列出不等式组，得到a5不一定为1，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.解析因为an是正项等比数列，且a1a11=a7，可得a1a11=a5a7=a7，又因为a7></f(x)成立，则m<f(x)max；④若∃x∈d，使得m></f(x)成立，则m<f(x)min；②若∀x∈d，总有m></x1+x2<，所以cosx1+x2<02cosx1cosx2-sinx1sinx2cosx1+x2令λ=1-tanx1tanx2，则λ==<0cosx1cosx2cosx1cosx21要证≤tanx1tanx2-3成立，1-tanx1tanx21即证：≤1-λ-3=-λ-2；λ222即证：λ+2λ+1≥0，因为λ+2λ+1=λ+1≥0显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．218.（17分）已知抛物线：y=2x，直线l:y=x-4，且点b,d在抛物线上．(1)若点a,c在直线l上，且a,b,c,d四点构成菱形abcd，求直线bd的方程；(2)若点a为抛物线和直线l的交点(位于x轴下方)，点c在直线l上，且a,b,c,d四点构成矩形abcd，求直线bd的斜率．答案(1)x+y-2=01(2)3【分析】(1)设出直线bd的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及菱形的几何性质来求得直线bd的方程.(2)先求得a点的坐标，设出直线bd的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及矩形的几何性质求得直线bd的斜率.或设出b,d以及bd中点的坐标，根据矩形的几何性质求得直线bd的斜率.解析(1)由题意知ac⊥bd，设直线bd:x=-y+m．x=-y+m2联立2得y+2y-2m=0，y=2x·212·,则yb+yd=-2,ybyd=-2m，xb+xd=-yb+yd+2m=2m+2，则bd的中点m+1,-1在直线y=x-4上，2代入可解得m=2，y+2y-4=0,δ=20></sinx2=cos2-x2，π3ππ由x2∈2,π可得2-x2∈2,π，3π3π所以cos2-x2<0，则cosx1></a<时，fx有两个零点.444(2)若fx有两个零点x1，x2，2令t1=cosx1，t2=cosx2，则t1，t2为t+t=a+1两解，22则t1+t2=-1，则cosx1+cosx2=-1，则cosx1+2cosx1cosx2+cosx2=1，π由x1,x2∈2,π可得cosx1<0，cosx2<0，则2cosx1cosx2></a<时，t+t=-a+1有两解，44555综上，a≤1或a></x1+x2<，即cosx1+x2<0，令λ=1-tanx1tanx2<220，则将原命题转化为证明λ+2λ+1≥0，显然成立，进而原命题成立得证.2解析(1)fx=-cosx-cosx-a+1，2令fx=0，即cosx+cosx=-a+1，π21当x∈2,π时，令t=cosx∈-1,0，所以t+t∈-4,0，2则fx=0即t+t=-a+1，152所以当-a+1≥0或-a+1<-时，即a≤1或a></v时，l(u,v)=l(u,1)+l(1,v)=l(1,v)-l(1,u)=lnv-lnu；当v=1或u=1时，l(u,v)=lnv-lnu也成立；综上所述：l(u,v)=lnv-lnu.1111对于选项a：l6,3=ln3-ln6=ln2，l4,8=ln8-ln4=ln2，11所以l6,3=l4,8，故a正确；5010010050100100对于选项b：l4,3=ln3-ln4=ln3-ln2=100(ln3-ln2)，50100且l(2,3)=ln3-ln2，所以l4,3=100l2,3，故b正确；对于选项c：如图，221111v-u1vu因为s阴影<s梯形，所以l(u,v)=lnv-lnu<2(v-u)v+u=2uv=2u-v，vu即2lu,v<-，故c正确.uvuu对于选项d：取u=1,v=2，则lu,v=l(1,2)=ln2<2-1=1，故d错误；故选：abc.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用lu,v的定义，分类讨论求得l(u,v)=lnv-lnu，从而得解.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若命题∃x∈r，-x²-2mx+2m-3≥0为真命题，则m的取值范围为.答案-∞,-3∪1,+∞【分析】利用二次函数性质求解可得.22解析由题意，不等式-x-2mx+2m-3≥0有解，即不等式x+2mx-2m+3≤0有解，2设fx=x+2mx-2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式fx≤0有解，则函数fx图象与x轴有交点，22则δ=4m-4-2m+3≥0，化简得m+2m-3≥0，解得m≤-3或m≥1．故答案为：-∞,-3∪1,+∞·206·,13.在多面体pabcq中，pa=pb=pc=ab=ac=bc=2，qa=qb=qc且qa，qb，qc两两垂直，则该多面体的外接球半径为，内切球半径为．66-2答案22【分析】先根据题意可得出该多面体pabcq可看作是棱长为2的正方体一部分；再求出正方体外接球的半径即可求出该多面体的外接球半径；最后利用分割法求几何体的体积，列出关系式v=多面体pabcq1v三棱锥p-abc+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq，即可求解出该多面体的内切球半径.解析由ab=ac=bc=2，qa=qb=qc且qa，qb，qc两两垂直可得：qa=qb=qc=ab×sin45°=2，又因为pa=pb=pc=2，所以该多面体pabcq可看作是棱长为2的正方体一部分，如图所示：则该多面体的外接球半径与棱长为2正方体外接球的半径相同，故外接球的半径为122262+2+2=.22设△abc的中心为o，连接ao,po，内切球半径为r.由pa=pb=pc=ab=ac=bc=2及正方体的性质，可得：po⊥平面abc.223由ab=ac=bc=2可得：ao=×ab×sin60°=.33222232261由pa=pb=pc=2可得：po=pa-ao=2-3=，s△pab=s△pac=s△pbc=×2×2321126122×sin60°=3，v三棱锥p-abc=3×po×s△abc=3×3×2×2×2×sin60°=3.·207·,1由qa=qb=qc=2且qa，qb，qc两两垂直可得:s△qab=s△qac=s△qbc=×2×2=1，2112v三棱锥a-qbc=3×qa×s△qbc=3×2×1=3.1因为v多面体pabcq=v三棱锥p-abc+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq，22211所以+=×r×s△pab+s△pac+s△pbc+s△qab+s△qac+s△qbc，即2=×r×33+3，解得33336-2r=.266-2故答案为：；.22【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题和内切球问题.根据题意找出该多面体pabcq与正方体之间的关系是求外接球半径的关键；利用分割法求几何体的体积，列出关系式v多面体pabcq=v三棱锥p-abc1+v三棱锥a-qbc=3×r×s多面体pabcq是求解该多面体的内切球半径的关键.2112π14.已知x1,x2为方程x-tanβ-x+3=0的两个实数根，且α,β∈0,2，x1=3x2，则tanα的tanα+β最大值为.答案1222x1=2x1x2=1142【分析】由根与系数的关系及已知3可求得2，由x1+x2=-=,化x1=3x2x2=3tanβtanα+β3简为关于tanβ的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.2112解析因为x1,x2为方程x--x+=0的两个实数根，x1=3x2，tanβtanα+β3xx=2x1=2x1=-212所以3，解得2，或2，x1=3x2x2=3x2=-3x1=-21111若2，则-<0即<，x2=-tanβtanα+βtanβtanα+β3π因为α,β∈0,2，故α+β∈0,π，π11若α+β></x2∈i，则gx1<gx2，而gx1,gx2所在区间无法确定，故h(x2)-h(x1)=fgx2-fgx1的正负无法判断，所以单调性不能确定，d正确.故选：abd.111.对于任意两个正数u，vu<v，记曲线y=与直线x=u，x=v，x轴围成的曲边梯形的面积为lu,v，x并约定lu,u=0和lu,v=-lv,u，德国数学家莱布尼茨(leibniz)最早发现l1,x=lnx.关于lu,v，下列说法正确的是()·205·,1150100a.l6,3=l4,8b.l4,3=100l2,3vuuuc.2lu,v<-d.lu,v></e<1，所以e=.2故选：d.【点睛】关键点睛：画出图形通过数形结合，表示出p,q的坐标，利用菱形的几何性质即可顺利求解.8.对于一个古典概型的样本空间ω和事件a，b，c，d，其中n(ω)=60，n(a)=30，n(b)=10，n(c)=20，n(d)=30，n(a∪b)=40，n(a∩c)=10，n(a∪d)=60，则()a.a与b不互斥b.a与d互斥但不对立c.c与d互斥d.a与c相互独立答案d【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据p(a∩c),p(a)p(c)的关系判断事件是否独立.解析由n(a)=30，n(b)=10，n(a∪b)=40，即n(a∪b)=n(a)+n(b)，故a、b互斥，a错误；由n(a∪d)=n(a)+n(d)=n(ω)=60，a、d互斥且对立，b错误；又n(c)=20，n(a∩c)=10，则n(d∩c)=10，c与d不互斥，c错误；n(a)1n(c)1n(a∩c)1由p(a)==，p(c)==，p(a∩c)==，n(ω)2n(ω)3n(ω)6所以p(a∩c)=p(a)p(c)，即a与c相互独立，d正确.故选：d·204·,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></b<π,∴sinb≠0,∴cosa=，2π∵0<a<π,∴a=.6222a+c-b1(2)由余弦定理，得cosb==，2ac2π又0<b<π,∴b=.3π∴c=π-a-b=,∴b=3a，221∵bd=2ad,∴cd=ca+cb，33242124212132∴cd=ca+cb=b+a=a=13，99999∴a=3,b=33，1193∴△abc的面积s=ab=×3×33=.22216.(15分)2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市m社区年龄在[20,70)的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示年龄a(单位：周岁)20,3030,4040,5050,6060,70频数3081996030持喜爱态度2465753012(1)求该样本中市民年龄的平均数；(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)(2)从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率：(3)为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种：方案一：按年龄a进行分类奖励，当a<30时，奖励10元：当30≤a<50时，奖励30元：当a≥50时，奖励40元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为了23·197·,将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案1解析解：(1)样本中市民年龄的平均数为x=×30×25+81×35+99×45+60×55+30×65300=44.3.(2)设事件a表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件b表示抽中的此人年龄在50周岁以下.24+65+75+30+1220624+65+75164则由频数分布表可知pa==,pab==，300300300300pab16482所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为pb∣a===.pa206103(3)对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为x元，则x的所有可能取值为10,30,40，133其对应的概率分别为,,，10510133故ex=10×+30×+40×=31.10510对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为y元，则y的所有可能取值为10,20,30,40,60.1111111可得py=10=×=;py=20=××=；236233181211122py=30=×=;py=40=×2××=，23323391222py=60=××=，233911122所以ey=10×+20×+30×+40×+60×=35，618399因为ex<ey，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二.17.(15分)已知等边△abc的边长为4，e,f,h分别是边ab,bc,ac的中点(如图1)，现以ef为折痕把△bef折起，使点b到达点b的位置，且hb=3(如图2).(1)证明：ac⊥hb；3bm(2)在线段bh上是否存在点m，使得m到平面bef的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请4mh说明理由.解析(1)证明：∵e,f分别是边ab,bc的中点，∴ef∥ac，连接bh交ef于o，连接bo，由折叠可知，ef⊥ob,ef⊥oh,oh∩ob=o,∴ef⊥平面obh，∴ac⊥平面obh,∵hb⊂平面obh,∴ac⊥hb.(2)解：∵等边△abc的边长为4,∴hb=23,∴ob=oh=3，3+3-91∵hb=3,∴cos∠boh==-,∴∠boh=120°，2×3×32以o为坐标原点，of,ob所在直线为x,y轴，过o作垂直于平面abc的直线·198·,为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，33则b0,,,h0,-3,0,e-1,0,0,f1,0,0，2233∴ob=0,,,oh=0,-3,0，22设om=λob+1-λoh33=λ0,,+1-λ0,-3,022333=0,2λ-3,2λ0≤λ≤1，33在平面bef中，ef=2,0,0,ob=0,,，22不妨设平面bef的法向量m=x,y,z，33m⋅ob=y+z=0,则22令y=-3，得x=0,z=1，m⋅ef=2x=0,所以平面bef的一个法向量为m=0,-3,1，om⋅m-3λ+33∴点m到平面bef的距离为==，24m13bm解得λ=或λ=(舍去)，∴m为hb的中点，∴=1，22mhbm∴满足条件的点m存在，且=1.mh2y2x18.(17分)已知椭圆c:+=1的右焦点为f，过n2,0的直线l与c交于a,b两点.63(1)若点m为c上一动点，求mf+mn的最大值与最小值；(2)若an=2nb，求l的斜率；(3)在x轴上是否存在定点q，使得qa⋅qb为定值？若存在，求出定点q的坐标；若不存在，请说明理由.解析解：(1)设c的左焦点为f，则f-3,0,f3,0，mf+mn=26+mn-mf≤26+fn=26+3+2，当且仅当点m与c的左顶点重合时取等号，即mf+mn的最大值为26+3+2，mf+mn=26-mf-mn≥26-fn=26-3-2，当且仅当点m与c的右顶点重合时取等号.即mf+mn的最小值为26-3-2.(2)设ax1,y1,bx2,y2，则由an=2nb，x1=6-2x2得2-x1,-y1=2x2-2,y2，所以，y1=-2y2·199·,2223-x24y2+=1,33又a,b在c上，所以22x2+y2=1,639x2=,4930解得即b,±.y=±30,482830±-0830故直线l的斜率为kbn==±.92-24(3)假设满足条件的点存在，设qm,0,ax1,y1,bx2,y2，2则qa⋅qb=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-mx1+x2+m+y1y2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，2y2x2222把y=kx-2代入+=1，得2k+1x-8kx+8k-6=0，63228k8k-6所以x1+x2=2,x1x2=2，2k+12k+14222δ=64k-42k+18k-6=82k+3></e<2，不妨设点b在x轴的下方，点a在x轴的上方，设af2=m,bf2=n，由双曲线定义可得af1=2a+m,bf1=2a+n，①当af1=ab时，mπ+2a=m+n，即2a=n，故bf1=4a,bf2=2a，因为直线l的斜率为1，所以倾斜角为，即∠bf2f1=4π222222，在△bf2f1中，由余弦定理可得bf1=bf2+f1f2-2bf2⋅f1f2⋅cos∠bf2f1，即16a=4a+4c-2×422222+142a⋅2c⋅，所以c-2ac-3a=0，所以e-2e-3=0，解得e=></an，即a<4，a错误；对于b,4anan+1=nn+1=34n-3-n+1，n4-34-34-3111111111所以tn=31-42-3+42-3-43-3+⋯+4n-3-4n+1-3=31-4n+1-3<3，b正确；111111对于c,an=n=3≤=n-2n≥2,∴sn≤1+0+1+⋯4-3nn313×413×413×441-4n41-2411-n-1114414431+13×4n-2=1+13×1=1+391-4n-1<1+39=39，故c正确；对于d，rn=4-3+1-42n4n2nn04-3+⋯+4-3=4-1-3n，当n=1时，rn≥6n-5n显然成立，当n≥2时，4=(1+3)≥cn3·195·,22129n-3n+24n49n-3n2+3cn+9cn=，所以rn=4-1-3n≥×-3n=6n-5n，d正确.故选bcd.2332第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3π12.已知等差数列an的前n项和为sn,a3+a10=，则coss12=.82答案212a3+a109π9π2解析s12==6a3+a10=，所以coss12=cos=.244213.“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当a，b，c三位同学围成一个圆时，其中一个排列“abc”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“bca”或“cab”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.(用数字作答)答案120解析a,b,c三位同学围成一个圆，“abc”“bca”或“cab”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任13意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为a3，由此可得六位同学围成一个316圆的排列总数为a6=120.62y2x14.已知双曲线c:2-2=1(a></c.sn<d.rn≥6n-5nan4339答案bcd(每选对一个得2分)1411解析将9anan+1=an-4an+1两边同时除以anan+1，得9=a-a,∴a+3=4a+3，故数列n+1nn+1n111n1a+3是以a+3=4为首项､4为公比的等比数列，∴a+3=4，即an=4n-3.对于a,∵an=n1n1n></x<3c.x|-1<x<3d.x|1<x<3答案c2解析由m=x∣x-3x-4<0={x∣-1<x<4}，则m∩n={x∣-1<x<3}.故选c.542.已知定义在r上的函数fx=x+a+1x-2024的导函数fx为偶函数.则fa=()a.-2025b.-2024c.-1d.2025答案a435解析fx=5x+4a+1x，又fx为偶函数，所以4a+1=0，即a=-1，所以fx=x-2024,fa=f-1=-2025.故选a.23.已知f是抛物线c:x=2y的焦点，点m2,m在抛物线c上，则mf=()35917a.b.c.d.2288答案d2211117解析把x=2y化为标准方程y=x得p=,mf=+2=.故选d.24884.研究表明，地震时释放的能量e(单位：焦耳)与地震里氏震级m之间的关系为lge=4.8+1.5m.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是n，则n的整数部分为()a.3b.4c.5d.6答案c解析设前后两次地震释放的能量分别为e1,e2，由已知得lge1=4.8+1.5×6.2,lge2=4.8+1.5×5.7，∴ee3110.75444444lg=1.5×0.5=0.75,∴n==10=10=1000,5<1000<6,∴5<1000<6,∴n=1000∈e2e25,6.故选c.5.已知一正方体木块abcd-a1b1c1d1的棱长为4，点e在校aa1上，且ae=3.现过d,e,b1三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为()·192·,517a.426b.517c.226d.2答案a解析过d,e,b1三点的截面是以de,b1e为邻边的平行四边形，∵de=5,b1e=17,db1=43，∴17+25-483426426cos∠deb1==-,∴sin∠deb1=,∴截面面积为5×17×=426.故选2×5×17517517517a.b+a6.已知复数z=a+bia,b∈r.且2-i-z=1，则的取值范围为()a+1-3-3-3+3-3-3-3+3a.4,4b.-∞,4∪4,+∞1-31+31-31+3c.4,4d.-∞,4∪4,+∞答案c解析由复数的几何意义可知，2-i-z=1即为z-2+i=1，故复数z在复平面内对应的点za,b22b+ab-1的轨迹是以2,-1为圆心，1为半径的圆c，即圆c:(a-2)+(b+1)=1，如图，=+1，而a+1a+1b-1的几何意义为过圆c上的点与定点a-1,1的直线l的斜率k，直线l的方程为ka-b+k+1=0，a+13k+2-3-3-3+3-3-3由题意可知，圆心c到直线l的距离d≤1，即≤1，解得≤k≤，即k2+1444b-1-3+31-3b+a1+3≤≤，所以≤≤.故选c.a+144a+141ππ7.已知函数fx=sinωx+φ+2ω></x2，所以x<1，所以hx<h1=0，22x1x2x-1x-xx+x121212所以ln-<0，所以<，x2x1lnx1-lnx22+1x21x1-x2x1+x21所以=<，所以x1+x2></x<1)，x+1214x-1所以hx=-=></a<时，gx=0有两个不等正实根x1，x2.41综上，a的取值范围是0,4.111②证明：由①知0<a<，且0<x1<<x2，所以></x<2时，μx></a<4.111-4a11当0<a<4时，g4a></x<时，gx></h1，根据不等式性质计算即可得证.222解析(1)若a=-1，则fx=xlnx+2x+1，所以fx=lnx+1+4x，所以f1=1+4=5，又f1=2+1=3，所以fx的图象在x=1处的切线方程为y-3=5x-1，即5x-y-2=0.(2)①由题意知fx=lnx+1-4ax.1令gx=fx=lnx-4ax+1，则gx=-4a.x因为fx有两个极值点x1，x2(x1<x2)，所以gx=0有两个不等正实根x1，x2(x1<x2).若a≤0，gx></x2).①求a的取值范围；1②求证：3x2-x1></fx+3恒成立，所以1-a<x+2恒成立，即1-a<2，解得-1<a<3.故选：bcd.11.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，m是棱a1b1的中点．p是平面cdd1c1上的动点(如图)，则下列说法正确的是()a.若点p在线段c1d上，则bp⎳平面b1d1ab.平面pbd1⊥平面a1c1dc.若∠mbp=∠mbd1，则动点p的轨迹为抛物线d.以△aba1的一边a1b所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥a-bdc1体积·181·,1212的取值范围为-,+612612答案abd【分析】利用面面平行证线面平行可判定a项；利用线面垂直证面面垂直可判定b项；利用平面截圆锥的结论可判定c项；先确定a的轨迹，取ab1,dc1中点分别为n，q，可证平面bdc1⊥平面bnq，利用空间位置关系确定动点a距离底bdc1的最值即可判定d项.解析对于a项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：bd⎳b1d1，bd⊄平面b1d1a，b1d1⊂平面b1d1a，∴bd⎳平面b1d1a，同理可知c1d⎳平面b1d1a，又bd∩dc1,bd、dc1⊂平面bc1d，∴平面bc1d⎳平面b1d1a，又p∈c1d，∴bp⊂平面bc1d，∴bp⎳平面b1d1a，故a正确;对于b项，易知bb1⊥面a1b1c1d1，a1c1⊂面a1b1c1d1，则a1c1⊥b1b，又a1c1⊥b1d1,b1d1∩bb1=b1,b1d1、bb1⊂平面bb1d，∴a1c1⊥平面bb1d，而bd1⊂平面bb1d，∴bd1⊥a1c1，同理bd1⊥dc1，又dc1∩a1c1=c1,dc1、a1c1⊂平面a1c1d，∴bd1⊥平面a1c1d，又∵bd1⊂平面pbd1，∴平面pbd1⊥平面a1c1d，故b正确;对于c项，因为bm为定直线，∠d1bm是定角，d1到bm的距离为定值，所以∠mbp=∠mbd1时，p在以bm为旋转轴，d1到bm的距离为半径的圆锥上，又bm⎳平面cdd1c1，故平面cdd1c1截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即c错误；对于d项，设ab1,dc1中点分别为n，q，2则点a的运动轨迹是平面ab1c1d内以n为圆心，为半径的圆(如图)，2·182·,易知dc1⊥nq,dc1⊥bq,nq∩bq=q,nq、bq⊂平面bnq，∴dc1⊥平面bnq，∵dc1⊂平面bdc1，∴平面bdc1⊥平面bnq，2nb23而sin∠nqb===，bq122123+1+22设nq与圆的交点分别为e，f(点e位于点f，q之间，如上图所示)，易知当点a分别位于点e，f时，点a到平面bdc1的距离分别取到最小值和最大值，223且距离的最小值dmin=1-⋅sin∠nqb=1-⋅，223223距离的最大值dmax=1+⋅sin∠nqb=1+⋅，223123∵△bdc1的面积s=⋅2⋅sin60°=，22132312132312vmin=⋅⋅1-⋅=-,vmax=⋅⋅1+⋅=+32236123223612故选项d正确．综上，正确选项为abd．故选：abd【点睛】本题难点在判定cd选项，c项需要利用平面截圆锥曲线(不过圆锥顶点)来判定即可(当且仅当平面平行于圆锥底面时截圆锥所得图形为圆，慢慢倾斜平面至与圆锥母线平行之前截圆锥得图形均为椭圆，当且仅当平面与圆锥的母线平行时所截图形为抛物线，再倾斜平面直至与圆锥的轴平行时所截图形均为双曲线的一支)；d项需要先确定旋转过程中a的轨迹，再判定a到面bdc1的距离最值.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．x62412.2-(x+y)的展开式中xy的系数为．y答案24【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.6r6-rr∗解析二项式(x+y)的展开式通项公式为tr+1=c6xy,r≤6,r∈n，424245155当r=4时，t5=c6xy=15xy，当r=5时，t6=c6xy=6xy，24245x24因此展开式中含xy的项为2×15xy+6xy⋅-=24xy，故所求系数为24.y故答案为：24.2y2x13.已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤+恒成立，则实数a的取值范围是．x+1y+2答案-∞,42y2x1414【分析】将+变形为x+1+-2+y+2+-4=3++，利用均值不x+1y+2x+1y+2x+1y+2·183·,14等式求+的最小值即可求解.x+1y+2解析因为x+y=6，2y2x+12-2x+1+1y+22-4y+2+4x所以t=+=+x+1y+2x+1y+21414=x+1+-2+y+2+-4=3++，x+1y+2x+1y+214x+1+y+214所以t=3++=3++x+1y+29x+1y+232y+24x+1322=++≥+2×=4，等号成立当且仅当y=4,x=2，99x+19y+2992y2x所以+=4，实数a的取值范围是-∞,4.x+1y+2min2y2x14【点睛】关键点点睛：关键是首先得到+=3++，进一步结合乘“1”法即可顺利x+1y+2x+1y+2得解.14.斐波那契数列(fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(leonardofibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、⋯，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥*2,n∈n),a=a1,a2,⋯,a2024,b⊆a且b≠∅中，则b中所有元素之和为奇数的概率为．20232答案20242-1【分析】记a中所有偶数组成的集合为c，所有奇数组成的集合为d，集合c的子集为e，集合d中含有奇数个元素的子集为f，则所有元素之和为奇数的集合b可看成e∪f，然后可解.解析由斐波那契数列规律可知，集合a=a1,a2,⋯,a2024中的元素有674个偶数，1350个奇数，记a中所有偶数组成的集合为c，所有奇数组成的集合为d，集合c的子集为e，集合d中含有奇数个元素的子集为f，则所有元素之和为奇数的集合b可看成e∪f，67413513491349显然集合e共有2个，集合f共有c1350+c1350+c1350+⋅⋅⋅+c1350=2个，67413492023所以所有元素之和为奇数的集合b共有2×2=2个，202320242又集合a的非空子集共有2-1个，所以b中所有元素之和为奇数的概率为.20242-120232故答案为：20242-1【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合a分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△abc中，已知内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且△abc的面积为3，点d是线段bc上靠近点b的一个三等分点，ad=1．π(1)若∠adc=，求c；322(2)若b+4c=11，求sin∠bac的值．37答案(1)3·184·,43(2)72231【分析】(1)由cd=2bd得s△acd=s△abc==ad⋅cd⋅sin∠adc，再结合余弦定理从而可求解.33221221(2)由cd=2bd利用向量可得ad=ab+ac，并结合b+4c=11得bc⋅cos∠bac=-，再由3321bc⋅sin∠bac=3，从而可求解.2223解析(1)由题可得：cd=2bd，故s△acd=s△abc=3311323又s△acd=ad⋅cd⋅sin∠adc，即×1×cd×=，222384∴cd=，即bd=33222在△abd中，根据余弦定理得ab=bd+ad-2ad⋅bd⋅cos∠adb21641即ab=+1+2×1××9323737∴ab=，即c=，3321(2)∵cd=2bd，∴ad=ab+ac334144c2b24222∴ad=ab+ac+ab⋅ac，即1=++bc⋅cos∠bac999999221又b+4c=11，∴bc⋅cos∠bac=-①21又bc⋅sin∠bac=3②，由①②得：tan∠bac=-43243∴sin∠bac=716.(15分)如图，在三棱锥d-abc中，ab=ad=bd=32,ac=7,bc=cd=5．(1)证明：平面acd⊥平面abc；(2)若e是线段cd上的点，且cd=4ce，求二面角e-ab-c的正切值．答案(1)证明见解析2(2)8【分析】(1)在△acd中求∠cad和边ac的高，进而判断δabc≌δadc，最后证明△acd边ac的高即为面abc的垂线，证明结论即可；(2)先建立空间直角坐标系，分别求出面abe和abc的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值后，利用同角三角函数关系式，求二面角的正切值即可.解析(1)证明：在△acd中，22272+(32)2-52ac+ad-cd2cos∠cad===，2ac⋅ad2×7×322·185·,所以∠cad=45°，过点d作do⊥ac于点o，连接bo，则do=ad⋅sin∠cad=32⋅sin45°=3，因为ab=ad，cd=cb，所以△abc≌△adc，得od=ob=3，222又bd=32，所以ob+od=bd，得od⊥ob，又od⊥ac，od⊥ob，ob∩ac=o，ac⊂平面abc，ob⊂平面abc，所以od⊥平面abc，因为od⊂平面acd，od⊥平面abc，所以平面acd⊥平面abc.(2)由(1)知，oa,ob,od两两垂直，如图以o为原点建立坐标系o-xyz，a(3,0,0)，b(0,3,0)，d(0,0,3)，c(-4,0,0)，3因为cd=4ce，得e-3,0,4，设n=(x,y,z)是平面abe的一个法向量，-3x+3y=0n⋅ab=0则⇒3n⋅ae=0-6x+4z=0令x=1，则y=1，z=8，得n=(1,1,8)，而m=(0,0,1)是平面abc的一个法向量，m⋅n466两个法向量m,n夹角的余弦值为：=33|m|⋅|n|设二面角e-ab-c平面角的大小为θ，466466233结合图形得：cosθ=，sinθ=1-=，33333333sinθ332tanθ===，cosθ4668332所以二面角e-ab-c的正切值为.82y2x17.(15分)已知椭圆e:+=1的左右顶点分别为a、b，点c在e上，点m6,ym,n6,yn分别为直线95ac、bc上的点.(1)求ym⋅yn的值；(2)设直线bm与椭圆e的另一个交点为d，求证：直线cd经过定点.答案(1)-15(2)证明见解析·186·,ymyn【分析】(1)解法一：设c(x1,y1)，根据斜率公式得kam⋅kbn=，然后根据点c在椭圆上化简即可求解；279y13y1解法二：设c(x1,y1)，利用三点共线的向量形式求得ym=，yn=，结合点c在椭圆上化简即可x1+3x1-3求解；2-3ym+13530ym(2)解法一：联立直线ma与椭圆e方程，利用韦达定理得c,，同理得点d的坐标45+y245+y2mm23ym-15-10ym为,，分类讨论求得直线cd的方程，即可求得直线cd经过的定点；5+y25+y2mm解法二：设直线cd的方程为：x=my+n(n≠±3)，c(x1,y1)，d(x2,y2)，53联立直线cd与椭圆e方程，结合韦达定理利用kbc⋅kbd=-求得n=，从而求得直线cd经过的定32点.解析(1)解法一：设c(x1,y1)，由题可知，kac⋅kbc=kam⋅kbn，2ymyny1y1y1又kam⋅kbn=27，由kac⋅kbc=x+3⋅x-3=2，11x1-922x1y1252∵cx1y1在e上，则+=1⇒y1=9-x1，9595∴kac⋅kbc=-，∴ym⋅yn=-15.9解法二：设c(x1,y1)，则ac=x1+3,y1,am=9,ym，29y13y127y1∵a、c、m三点共线，∴ym=x+3，同理：yn=x-3，∴ym⋅yn=2，11x1-922x1y1252又c(x1,y1)在曲线e上，∴+=1⇒y1=9-x1，代入上式得：ym⋅yn=-15.959ym(2)解法一：由题可知，直线ma的方程为：y=(x+3)，9ymy=(x+3)2222联立方程9可得：45+ymx+6ymx+9ym-405=0，5x2+9y2=45222∴δ=36ym-445+ym9ym-405=45></fx+3对任意的x∈r恒成立，则实数a的取值可能是()1a.-4b.-c.1d.22答案bcd【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.x-11-x2解析因为fx=e+e+x-2x，1-xx-12所以f2-x=e+e+2-x-22-x=fx，即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.22当x></f1=0即lnx<x-1(x></c，故可得三者大小关系.ππ1解析a=sin></x-1(x></y0<55199所以λ=≤,故λ的最大值为.∣ot1616-1on*19.（17分）在无穷数列an中,令tn=a1a2⋯an,若∀n∈n,tn∈an,则称an对前n项之积是封闭的.(1)试判断:任意一个无穷等差数列an对前n项之积是否是封闭的?(2)设an是无穷等比数列,></ga,即2-31-32-322-2ae+e<b<alna,c错误；(2)a=e时,gx≤0,gx单调递减;又x→0时,gx→-b,x→2+∞时,gx→-∞,则当-b></a<e,且b=alna,则n=2-31-322-32c.若n=3,则alna<b<2ae+ed.过e,-6,仅可作y=fx的一条切线222答案abd【解析】设切点x0,x0lnx0,则fx0=2x0lnx0+x0,切线为y-x0lnx0=2x0lnx0+x0x-x0,2222代人a,b整理得2x0lnx0+x0a-x0lnx0-x0-b=0,令gx=2xlnx+xa-xlnx-x-b,gx=-322lnx+3a-2xlnx-3x=2lnx+3⋅a-x,令gx=0得x1=a,x2=e.当a≤0时,gx在-3-3-3-312222-30,e上单调递增,在e,+∞上单调递减,ge=-2a⋅e+⋅e-b,gx至多有2个零点,2-3-3-32222故a正确;当a∈0,e时,gx在0,a,e,+∞上单调递减,在a,e上单调递增,ga=alna-b,-3-3122-32ge=-2ae+⋅e-b,当b=alna时,ga=0,且x→+∞时,gx→-∞,所以n=2,b正确;2-3-31-3-3222-322若n=3,则ga<0<ge,即alna<b<-2ae+e,同理当a></a≤时，gx≥0,fx≥0,fx在0,+∞上单调递增.442e综上，a的取值范围是-∞,.4xx1x2eee(2)由(1)知x1,x2是方程2-a=0的两个不同正根，所以2-a=2-a=0，xx1x2经验证，x1,x2分别是fx的极小值点，极大值点，x1+x222x1x22ax1+x2=e+e></f1.04<fe，即a<b<c.故选：a.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></b<cb.a<c<bc.c<b<ad.c<a<b答案ax0.04【分析】构造函数hx=e-x+1，求导确定其单调性，根据单调性确定e,1.04的大小，通过对数函数的性质确定ln1.04,1.04的大小，最后根据fx的单调性得答案.解析因为fx是定义域为r的偶函数，且在-∞,0上单调递减，所以fx在0,+∞上单调递增；ln1.04<lne=1<1.04，即ln1.04<1.04；x令hx=e-x+1，x当x></a,b></x<0}.故选：a.2.sin165°cos525°=()1313a.b.c.-d.-4444答案c【分析】先利用诱导公式大变小角，再利用倍角公式计算.11解析sin165°cos525°=sin180°-15°cos540°-15°=sin15°-cos15°=-sin30°=-.24故选：c.3.已知单位向量a,b满足a+b=2a-b，则a,b夹角的余弦值为()3344a.-b.c.-d.5555答案b【分析】a+b=2a-b两边平方可得答案.3解析a+b=2a-b两边平方得1+2a⋅b+1=41-2a⋅b+1，解得a⋅b=，53又因为a,b单位向量，a⋅b=|a|⋅|b|cos<a,b></x<3}答案a【分析】求出集合a中元素范围，然后直接求交集即可解析因为a={x∣0<x+1<2}={x∣-1<x<1},b={x∣x<0或x></x<0}b.{x∣2<x<3}c.{x∣x<1或x></f(0)=0，又当x→-∞时f(x)→-∞，当x→+∞时f(x)→+∞，f(x)的大致图象如下:·151·,设x0为函数f(x)在(0,+∞)内的零点，下面证明-x0也是f(x)的零点，即f-x0=0.x0因为fx0=x0+ae+x0-a=0，x0x0-x0-x0+a-x0+aex0+ae+x0-a所以f-x0=-x0+ae-x0-a=x0=-x0=0.ee综上，f(x)在(-∞,0)，(0,+∞)内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.【点睛】利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．·152·,甘肃省九师联盟2024届高三下学期2月开学考试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合a={x∣0<x+1<2},b={x∣x<0或x></x<x2时，φ(x)<0,f(x)单调递减.由于f(0)=0，所以fx1></x2.当x<x1或x></x<μ+σ)=0.6827，p(μ-2σ<x<μ+2σ)=0.9545.答案(1)8.186；·147·,(2)35.2万元.【分析】(1)根据给定条件，利用正态分布求出收购价格是“合理价格”的概率，再利用二项分布的期望公式计算即得.(2)根据给定的数表，求出样本点中心，求出回归直线方程，再进行数据估计即可.2解析(1)由x~n(4,1)，得μ=4,σ=1，则收购价格是“合理价格”的概率p(3<x<6)=p(3<x<4)+p(4≤x<6)11=p(μ-σ<x<μ)+p(μ≤x<μ+2σ)=×0.6827+×0.9545=0.8186，22依题意，y~b(10,0.8186)，所以e(y)=10×0.8186=8.186.1+2+3+4+59+12+17+21+27(2)依题意，x==3,y==17.2，55于是17.2=3b+3.7，解得b=4.5，则线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x=7时，y=4.5×7+3.7=35.2，所以预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为35.2万元.16.（15分）如图，等边三角形abc与正方形bcc1b1所在平面垂直，且ab=2，ag⎳bb1，cb1与bc1的交点为d，ad⎳平面gb1c1.(1)求线段ag的长度；(2)求平面bc1g与平面gb1c1夹角的余弦值.答案(1)ag=16(2)4【分析】(1)取线段b1c1的中点h，连接dh,gh，由线面平行性质得ad⎳gh，求得ag的长度；(2)建立空间直角坐标系，求出平面bc1g与平面gb1c1的法向量进而求得夹角的余弦值.解析(1)取线段b1c1的中点h，连接dh,gh，则dh⎳bb1，又ag⎳bb1，所以ag⎳dh.所以a,g,d,h四点共面.由平面adhg∩平面gb1c1=gh,ad⎳平面gb1c1，ad⊂平面adgh，可得ad⎳gh，所以四边形adhg为平行四边形，1故ag=dh=bb1=1.2(2)取bc的中点o，连接ao，oh，在等边三角形abc中ao⊥bc，因为平面abc⊥平面bcc1b1，平面abc∩平面bcc1b1=bc，ao⊂平面abc，所以ao⊥平面bcc1b1，又bc,oh⊂平面bcc1b1，所以ao⊥bc，ao⊥oh，以o为原点，以ob,oh,oa所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，·148·,则b(1,0,0),b1(1,2,0),c1(-1,2,0),g(0,1,3)，所以b1g=(-1,-1,3),b1c1=(-2,0,0),bg=(-1,1,3),bc1=(-2,2,0)，设平面gb1c1的法向量为n=(x,y,z)，n⋅b1g=-x-y+3z=0,3则取n=0,1,3.n⋅b1c1=-2x=0,设平面bc1g的法向量为m=(a,b,c)，m⋅bg=-a+b+3c=0,则m⋅bc=-2a+2b=0,取m=(1,1,0).1设平面bc1g与平面gb1c1的夹角为θ，|n⋅m|16所以cosθ=|cos‹n,m›|===，|n||m|141+×236平面bc1g与平面gb1c1夹角的余弦值.417.（15分）已知等差数列an的前n项和为sn，an≠0，anan+1=2sn，bn是各项均为正数的等比数列，b7+b8=8b4+b5，且b1=2.(1)求an和bn的通项公式；1,n为奇数anan+225(2)设cn=a，数列cn的前n项和为tn，证明：t2n<18.n,n为偶数bnn答案(1)an=n；bn=2(2)证明见解析【分析】(1)根据an与sn的关系求an的通项公式；根据等比数列基本量计算求bn的通项公式；(2)用裂项求和法求奇数项和，用错位相减求和法求偶数项和，证得结论.解析(1)设an的公差为d.因为anan+1=2sn，所以当n≥2时，an-1an=2sn-1，两式相减，得anan+1-an-1=2sn-sn-1=2an，因为an≠0，所以an+1-an-1=2d=2，所以d=1，又a1a2=2s1，得a2=2，所以an=n.b7+b83设bn的公比为q，由条件知=q=8，得q=2，b4+b5n又b1=2，所以bn=2.1,n为奇数n(n+2)(2)根据题意cn=，nn,n为偶数2·149·,111在前2n项中，奇数项之和an=++⋯+1×33×5(2n-1)(2n+1)111111111=21-3+3-5+⋯+2n-1-2n+1=2-4n+2<2,2462n-22n偶数项之和bn=2+4+6+⋯+2n-2+2n，2222212462n-22n4bn=4+6+8+⋯+2n+2n+2，22222311112n212n22n1所以4bn=2+23+25+⋯+22n-1-22n+2=31-4n-4n+1=3-3+2×4n，86n+818所以bn=-×n<，99491825故t2n=an+bn<+=.29182y2x18.（17分）已知双曲线c:-=1(a></c，所以e的上、下顶点在以f1f2为直径的圆内，故该圆与e有4个交点，因此满足pf1⋅pf2=0的点p有4个，故c正确;2x22对于d,e的方程可写为+y=b，设p(2bcosθ,bsinθ)(θ∈[0,2π)),d(0,b)，4222则|pd|=(2bcosθ)+(bsinθ-b)=b-3sinθ-2sinθ+51216414=b-3sinθ++≤b，当sinθ=-时取等号，则pd≤b<22b，故d正确.33333故选：acd2y2x【点睛】方法点睛：椭圆e:+=1(a></x<2，g(x)=x-ln(1+x)(x></x<，则f(x)=-1==tanx></b<cb.a<c<bc.b<c<ad.b<a<c答案dπ1【分析】通过构造函数f(x)=tanx-x0<x<2，g(x)=x-ln(1+x)(x></t<1)有关，并-0.14r建立了数学模型e=10-10t⋅2，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的()-2.81.42.85.6a.2倍b.2倍c.2倍d.2倍·141·,答案b【分析】设现在的劳累程度是t1，工作10年时的劳累程度是t2，根据给定信息列出等式计算即得.解析设李老师现在的劳累程度是t1，工作10年时的劳累程度是t2，-0.14×20-0.14×10t11.4依题意，10-10t1⋅2=10-10t2⋅2，所以=2.t2故选：b5.已知数列an中，a1=1，a15=3，且当n></x<1，则∁rm∩n=()a.(-3,-2)b.(-2,1)c.[-2,1)d.(-∞,1)∪(2,+∞)答案c【分析】求出集合m，根据集合的交补运算求解.2解析m=xx-4></g1=0恒成立.因此φt></x1<1<x2,xx1x2t+1lnt2eelnttlnt令t=,=,x1=,x2=,t></t-lnx2-lnx1x1x1x2x1x2x1t21-t+2t-1令gt=2lnt-t+,g1=0,gt=<0tt2所以gt在1,+∞上单调递减,gt<g1=0恒成立.因此x1x2<1得证.3(3)要证:以ab为直径的圆与直线y=x+1恒有公共点43x1+x23+424x2-x1即证:<19242也就是证明:16x1+x2-12x1+x2-12-76x1x2></a<13增区间为0,a,3a,+∞,所以3因此0<a≤3a≤42答案选ac.211.数列an共有11项,前11项和为s11,且满足an+1-an=3an+1-an-2,a1=1,则下列说法正确的是()a.an可以是等差数列b.an可以不是等差数列c.所有符合已知条件的数列an中,s11的取值个数为55d.符合已知条件且满足2a6=a1+a11的数列an的个数为252答案abd·134·,2解析因为an+1-an=3an+1-an-2,a1=1,所以an+1-an=1或an+1-an=2,因此a,b是正确的.相邻两项的差值最小为1,最大为2,所以当an是以1为首项,以1为公差时,s11取最小值为66;当an是以1为首项,以2为公差时,s11取最大值为121;且s11取值一定是正整数,所以s11的取值个数为121-66+1=56,所以c不对.2a6=a1+a11∴a6-a1=a11-a6∴a6-a5+⋯+a2-a1=a11-a10+⋯+a7-a6,所以满足2a6=a1+a11的数列an的个数为001122334455c5c5+c5c5+c5c5+c5c5+c5c5+c5c5=252.答案abd.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，则下列四个结论：(1)若a∥α,a∥β,></a<1时,y=x-3ax在区间2,2上单调递增,因为函数y=x-3ax在x></at,则an为递减数列;综上:当∀t∈n,at></q<1注意到,当q<0时,at+1=atq<0,与假设矛盾,舍去,故0<q<1,此时at+1=atq<at,则an为递减数列;若at<0,则q<-1或q></j≤n，有ei∩ej=∅，则称e1,⋯,en是无交集合列，设集合pne=e1∪e2∪⋯∪en.(1)证明：l和式函数的值域为有限集合；(2)设e1,e2,⋯,en为闭区间列，sa,ex是定义在pne上的函数.已知存在唯一的正整数m，各项不同的mm非零实数c1,c2,⋯,cm，和无交集合列f1,f2,⋯,fm使得pmf=pne，并且cixfi(x)=sa,e(x)，称cixfii=1i=1(x)为l和式函数sa,ex的典范形式.设m为sa,ex的典范数.(i)设m1<m1<m2<m2<⋯<mn<mn，证明：m≤n；(ii)给定正整数n，任取正实数a1,a2,⋯,an和闭区间列e1,e2,⋯,en，判断sa,ex的典范数m最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.解析(1)因为表达式中ai恒定，所以sa,ex的取值只和xeix有关则当xe1x,xe2x,⋯,xenx都相同的时候sa,ex相同nn注意到xe1x,xe2x,⋯,xenx最多只有2种取法，因此sa,ex的值域大小不大于2，从而是有限集(2)(i)根据典范形式的唯一性，我们构造正整数m，各项不同的非零实数c1,c2,⋯,cm，和无交集合列f1,f2,m⋯,fm使得pmf=pne，并且cixfi(x)=sa,e(x)，设sa,ex的取值集合为c1,c2,⋯,cm，设fi=i=1x∣sa,ex=ci，则pmf=pne,f是无交集合列且c1,c2,⋯,cm非0(因为sa,ex定义在pne上)根据题意，任意i<j，取xi∈ei,xj∈ej，有xi≤mi<mj≤xj，所以xi<xj，那么ei∩ej=∅，所以e1,e2,⋯,en是无交集合列此时对任意x∈pne，恰好存在一个小区间ei，使得x∈ei，所以sa,ex的取值集合最多有a1,a2,⋯,an这n个数，因为这些数可能相等，所以m≤n.(ii)设minm是m1,m2,⋯,mn的最小值，maxm是m1,m2,⋯,mn的最大值，那么pne⊆minm,maxm，并且ei的端点数目有2n个，至多构成2n-1个区间如果a<x<b，其中a,b分别为ei,ej的端点，且a,b之间没有其他端点，那么要么x∈ei,x∈ej；要么x∉ei,x∉ej所以s最多有2n-1种取值，所以m≤2n-1j,j+1,1≤j≤n-1,2n另一方面，令ei=i,i+n，取fj=n,n+1,j=n,并且取a1,a2,⋯,an=10,10,⋯,10，容易j,j+1,n+1≤j≤2n-1.验证sa,ex恰好有2n-1种取值，所以m最大值为2n-1·131·,湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1.已知a=x∈r∣log2(x-1)<1,b=y∣y=2,x∈a,则a∩b等于()a.⌀b.{x∣2<x<3}c.{x∣1<x<8}d.{x∣1<x<3}答案b2.已知复数z满足|z|⋅z=23-2i,则复数z在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案d3.已知抛物线c的顶点在原点,焦点f在坐标轴上,点f关于其准线的对称点为(6,0),则c的方程为()2222a.y=-8xb.y=-4xc.y=8xd.y=4x答案a4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金160万元,在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg1.1≈0.04,lg2≈0.30)a.2024年b.2025年c.2026年d.2027年答案cn解析假设经过n年后年全年投入的研发资金开始超过200万元,即160⋅1.1></x3.3(i)证明：fx在0,+∞上存在两个极值点的充要条件是a></fx12n,2n+1-4n4n<cosxπ⇔fx+4n，所以fx在2n,2n+14n1最大值仅可能在2n,2n+4n取得；同理fx在2n+1,2n+2上的最大值仅可能在112n+2-4n,2n+2取得.对x∈2n,2n+4n，有fx></x<1时，hx></p<时，φp<0，φp单调递减；21当<p<1时，φp></p<1．ykk=1(1)若y~b(n,q),0<q<1，求d(x‖y)；1(2)若n=2,p(y=k-1)=,k=1,2,3，求d(x‖y)的最小值；3(3)对任意与x有相同可能取值的随机变量y，证明：d(x‖y)≥0，并指出取等号的充要条件p(1-q)1-p答案(1)npln+nlnq(1-p)1-q3(2)ln3-ln22(3)证明见解析【分析】(1)利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解；·119·,(2)利用定义，结合对数的运算法则得到d(x‖y)关于p的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解；1(3)先利用导数证得恒不等式lnx≥1-，从而结合定义即可得证.xkkn-kkkn-k解析(1)不妨设ak=k，则xk=cnp(1-p),yk=cnq(1-q).nkn-kkkn-kp1-p所以d(x‖y)=cnp1-plnkn-kk=0q1-qnnp(1-q)kkn-k1-pkkn-k=ln⋅kcnp(1-p)+nln⋅cnp(1-p)q(1-p)k=01-qk=0p(1-q)1-p=npln+nln.q(1-p)1-q22(2)当n=2时，p(x=2)=p,p(x=1)=2p(1-p),p(x=0)=(1-p)，2222记f(p)=d(x‖y)=pln3p+2p(1-p)ln6p(1-p)+(1-p)ln3(1-p)2222=plnp+2p(1-p)ln2p(1-p)+(1-p)ln(1-p)+ln3，则f(p)=4plnp+2p+(2-4p)[ln2p(1-p)+1]-4(1-p)ln(1-p)-2(1-p)=2[lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2]，11令g(p)=lnp-ln(1-p)+(1-2p)ln2，则g(p)=+-2ln2></x<时，></cosx<1，∴φx></x<时，x-sinx></x<时恒成立，2π∴mx=x-sinx在0,2上单调递增，∴mx></x<时，x-sinx></x<.21cos4x-4cos2x+3(1)若tanx=，求；2cos4x+4cos2x+3tanx-x(2)证明：></a)，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.而a1=1，a20=40均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以f的最大值为18.第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步，在a1到a20这20个数中删去一个数(后面再加回来)，使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得f的最大值为18.第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.4②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有c21种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19141个数中，由c8种，共有c21c8种.3③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有2c21种，此时加回来的数必定是删去的两端3之一中的1或40，有1种选法，共2c21种.第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为a，它旁边两个数分别为b,c，即排列为b,a,c，在第三步捆绑时，可能捆绑·115·,的组合为ba，然后删去，再补回b；或者为ac，然后删去，再补回c，这两种删去方式结果相同.1413综上，共有c21c8+2c21=25270种.2故答案为：18；25270【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图，在三棱锥a-bcd中，ab⊥平面bcd，平面abc⊥平面abd，ac=ad，ab=bd.(1)证明：bc⊥bd；(2)求二面角a-cd-b的余弦值.答案(1)证明见解析3(2)3【分析】(1)利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可；(2)方法一、利用几何法，取cd中点m，并连接am、bm，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形即可，方法二、构造合适的空间坐标直角系，利用空间向量计算二面角即可.解析(1)依题意，ab⊥面bcd，且bd,bc⊂面bcd，所以ab⊥bc，ab⊥bd，因为面abc⊥面bcd，面abc∩面abd=ab，bd⊂面bcd，且bd⊥ab，所以bd⊥面abc，因为bc⊂面abc，所以bc⊥bd.(2)方法1、取cd中点m，并连接am、bm.因为ac=ad，所以am⊥cd，2222由勾股定理可知bc=ac-ab=ad-ab=bd=ab.因为bc=bd，所以bm⊥cd；则根据二面角定义可知∠amb是二面角a-cd-b的一个平面角，且由图可知∠amb为锐角.·116·,又因为ab⊥面bcd，同理(1)可知ab⊥bm，26设ab=a，可得bm=a，则am=a，22bm3所以cos∠amb==，am33即二面角a-cd-b的余弦值为.3方法2、由(1)可知，ab、bc、bd三者两两相互垂直，故以点b为坐标原点，分别以bc、bd、ba的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.2222由勾股定理可知bc=ac-ab=ad-ab=bd=ab.不妨设ab=a，则a0,0,a,b0,0,0,ca,0,0,d0,a,0，所以ac=a,0,-a,ad=0,a,-a，易得平面bcd的一个法向量可以是n1=0,0,1，设平面acd的一个法向量为n2=x,y,z，n2⋅ac=ax-az=0所以，取z=1⇒x=y=1，n2⋅ad=ay-az=0故可得平面acd的一个法向量可以是n2=1,1,1.设二面角a-cd-b的一个平面角为α，且由图可知α为锐角.n1⋅n213则cosα=cosn1,n2===，n1⋅n2333即二面角a-cd-b的余弦值为.3π16.（15分）记△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=，a=2.3(1)若sinb+sinc=2sina，求△abc的面积；3(2)若sinb-sinc=，求b.4答案(1)33+7(2)2【分析】(1)由已知结合正弦定理得b+c=4，再利用余弦定理得bc=4，从而得解；2π3π3(2)由三角形内角和结合已知可得sinb-sin3-b=4，化简可得：sinb-3=4，再利用sinb=sinb-π+π33求解.解析(1)在△abc中，sinb+sinc=2sina，abc由正弦定理===2r可知：sinasinbsinc·117·,bca可化为：+=2⋅2r2r2r故可得：b+c=2a，代入可得：b+c=422222所以b+c=b+c+2bc=16，故b+c=16-2bc(*)222b+c-a在△abc中，由余弦定理可得：cosa=2bc代入数据和(*)式可得：bc=41所以三角形面积为：s=×sina×bc=32故三角形△abc的面积为3.π2(2)因为a+b+c=π且a=，故b+c=π332π3代入可得：sinb-sin3-b=431133因此sinb-cosb-sinb=sinb-cosb=22224π3π7化简可得：sinb-3=4，则cosb-3=±4，π7情况一：当cosb-3=4时，所以可得：sinb=sinb-π+π3+2133，化简可得：sinb=8a3+7在△abc中，由正弦定理可得：b=⋅sinb=；sina2π7情况二：当cosb-3=-4时，3-21同理可得：sinb=<0，又因为b∈0,π，故sinb></x<0，aa11所以函数fx在a,0上单调递减，在-∞,a上单调递增，11当a=-1时，fa=aln-a+a=-1，故c选项符合，d选项不可能.故选：d.6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为()·109·,a.36b.32c.28d.24答案c【分析】设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱1abh=322台的高为h，可得出，求出ah的值，即可求得该正四棱台的体积.12bh=13解析设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱台的高为h，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，1abh=322222222则，可得abh=ah⋅bh=ah×3=36，可得ah=12，12bh=132所以，该正四棱台的体积为v=ah+4×3+4×1=12+16=28.故选：c.227.在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x-3+y=1，且圆c与x轴交于m,n两点，设直线l的方程为y=kxk></x<，aa11所以函数fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增，11当a=1时，fa=alna+a=1，故b选项符合；1alnx+,x></x<4.故选：a2.若1-2iz-3-2i=2+i，则z=()a.-3+3ib.-3-3ic.3+3id.3-3i答案d【分析】化简已知条件求出复数z，从而可求出其共轭复数z解析由1-2iz-3-2i=2+i，2+i得z=+3+2i1-2i(2+i)(1+2i)=+3+2i(1-2i)(1+2i)22+4i+i+2i=+3+2i5=3+3i，所以z=3-3i，故选：d2y2x3.已知直线ax+y=0是双曲线-=1(a></x0，从而先确定a的取值范围，1-x02再求fa的取值范围．·106·,浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合m=x∣x-3x-4<0,n={x∣y=ln(x-1)}，则m∩n=()a.(1,4)b.[1,4)c.(-1,4)d.[-1,4)答案a【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.2解析m=x∣x-3x-4<0=x∣-1<x<4，n={x∣y=ln(x-1)}={x∣x></g2=2，1所以a∈-2,0，1下面证明当a∈-2,0时，符合题意：22x0ax0a1-x0由fx0=f1-x可得lnx0-x=ln1-x-2，000x021-x0a1-x01-x01化简得ln+-a=0，设t==-1∈1,+∞，x0x2x0x0022则lnt+at-a=0,t∈1,+∞，设gt=lnt+at-a,t∈1,+∞，211+2at则gt=+2at=，tt11所以当t∈1,-2a时，gt></x0，1-x02x2-xx1设g(x)=,x∈0,，则g(x)=></x0<，则x0-=></x<-a时，f(x)<0，f(x)单调递减，·105·,当x></x<1时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x></x0<，满足fx0=f，求fa的取值范围．21-x0答案(1)fx的极小值为1，无极大值；(2)2-2ln2,+∞.【分析】(1)利用导数研究函数单调性，从而求极值；2x01(2)利用函数fx的导数可知a<0，且1-x<-a<x0，从而a∈-2,0，再求范围即可.0111x-1解析(1)当a=-1时，fx=lnx+,x></f0=0，即<2sin，故c正确；2n+11+xnyn-n·99·,3n1设cn2,n，此时2mnan=mncn，13故而|mnan|+|mnpn|=|mncn|+|mnpn|≥|cnpn|=n+1，等号成立当且仅当mn在cnpn上，故d正确.22故选：bcd.【点睛】关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得kn,xn,yn关于n的表达式，由此即可顺利求解.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．sn+1sn12.设sn是数列an的前n项和，-=1，a3=5，则a2024=．n+1n答案4047sn【分析】由题意可知n是公差为1的等差数列，由sn与an的关系求出其通项公式可解.sn+1snsn解析因为n+1-n=1，所以n是公差为1的等差数列，sn2所以=a1+n-1，则sn=n-n+na1，n所以s3=3a1+6，s2=2a1+2，又a3=s3-s2=a1+4=5，2可得a1=1，且sn=n，22所以a2024=s2024-s2023=2024-2023=4047.故答案为：4047π13.设函数fx=sinωx+3(ω></fπ<f3d.π<4答案aclnx【分析】a选项，对函数fx=求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；x·98·,lnxb选项，令函数fx==0，求得零点；c选项，根据a选项得到的单调性来比较大小即可；d选项，x根据单调性可知f4<fπ，代入即可比较大小.1-lnx解析fx的定义域为0,+∞，且fx=.令fx=0，得x=e.∴fx在0,e上单调递增，2x1在e,+∞上单调递减，因此fx在x=e处取得极大值fe=,a正确.e令fx=0，解得x=1，故函数fx有且仅有一个零点，b错误.由fx在e,+∞上单调递减，得f4<fπ<f3，则c正确.ln4lnππ4π4因为f4<fπ，即<，所以ln4<lnπ，则4<π,d错误.4π故选：ac.222*11.已知mn是圆on:x+y-2nx-2ny+n=0n∈n上任意一点，过点pn-1,n向圆on引斜率为knkn></x<2}.故选：d1-i2.已知i为虚数单位，1-2i=()51052a.b.c.d.5525答案b【分析】由复数的除法和模的定义求解.1-i1-i1+2i3+i10解析1-2i==5=5.1-2i1+2i故选：b3.已知a，b为单位向量，若a-b=3，则a，b的夹角为()ππ2π5πa.b.c.d.6336答案c【分析】利用两边平方的方法化简已知条件，从而求得a，b的夹角.解析设a，b的夹角为θ，221由a-b=3两边平方得a-2a⋅b+b=3,a⋅b=-，21a⋅b=a⋅b⋅cosθ=cosθ=-，22π由于0≤θ≤π，所以θ=.3故选：c2y2x4.设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线-=1(a></x<2，即a={x1<x<2，而b=xx></x2，则0<x1<1<x2，22故2fx1-fx2=2x1-ax1+2lnx1-x2-ax2+2lnx222=2x1-2ax1+4lnx1-x2+ax2-2lnx222=2x1-4x1+x2x1+4lnx1-x2+2x1+x2x2-2lnx22222=-2x1-4+4lnx1+x2+2-2lnx2=-2+x2-6lnx2-2，x24222462x-6x+4令gx=x--6lnx-2,x></x2，22a-a-16a+a-16则x∈0,4或x∈4,+∞时，f(x)></x1<1<x2以及两极值点x1,x2的关系式，求出2fx1-fx2的表达式，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，求出其最小值，即可证明不等式.2解析(1)由题意知函数fx=x-ax+2lnx的定义域为(0,+∞)，222x-ax+2fx=2x-a+=，xx2令f(x)=0,∴2x-ax+2=0，2当δ=a-16≤0，即-4≤a≤4时，f(x)≥0，等号仅在个别点处取得，此时fx在(0,+∞)上单调递增；2当δ=a-16></x2，证明：2fx1-fx2≥-1-3ln2．答案(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出函数的导数，分类讨论δ≤0和δ></x<时，fx<0，当<x<时，fx></x<时，fx></x≤2，所以∁a∪ba∩b=xx≤1或x></x<2c.x1≤x<2d.x1<x≤2答案a【分析】由题可知图中的阴影部分表示∁a∪ba∩b，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.解析由题可知图中的阴影部分表示∁a∪ba∩b，2b=xx-x></e,ln2e-x<22所以2lnx-1></x3<2e,构造函数hx=tx-t2e-x,e<x<2e1-2lnx1-2ln2e-xhx=2+2x2e-x221-2lnx2e-x+x1-2ln2e-x=22x2e-x22设mx=1-2lnx2e-x+x1-2ln2e-x,-22e-x222xmx=+-21-2lnx2e-x+2x1-2ln2e-xx2e-x-22e-x222x3-22e-x32x3-2e-x32x因为+==x2e-xx2e-xx2e-x33又因为2e></x3,x11x∈0,e,tx是单调递增的,x2∈0,e,tx2=lna></x<x，ax1=ex2,ax2=ex2,ax3=ex2,易知其中x<0,0<x<x,123123123x1x22222因为x1<x2,a<a,所以ex1<ex2,x1<x2,-x1<x2,故可知x1+x2></lna<,e2e即得1<a<e.x22)因为fx=a-ex,a></a<1时,gx增区间为-∞,lna,gx减区间为0，+∞,lna，0,x2(2)1)因为fx=a-ex,a></x<,x<0lnalna11当0<a<1时,lna<0,解gx></a<e；2)证明见解析【分析】(1)先求gx的导函数,再分类讨论即可.(2)1)根据fx存在三个零点x1,x2,x3，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.fxx2xxxaxlna⋅x-1a-exaalna⋅x-a解析(1)gx=+ex=+ex=,gx==,xxxx2x2x2因为a></x2<x3，求证：x1+3x2+x3></t2k，求实数λ的取值范围．答案(1)证明见解析(2)-1,21【分析】(1)由题意得sn=nan+qn，再结合an=sn-sn-1n≥2得到an+1-2an+an-1=0，从而得到数列2an是等差数列；nn(2)由题意得an+1=2an，从而得数列an是等比数列，进一步可求得bn=-12-1，再分别求得t2k,t2k-1，利用数列的增减性可求得实数λ的取值范围．11解析(1)当p=r=0,k=时，sn=nan+qn，22当n≥2时，a1na+qn-1n-1n=sn-sn-1=2n2an-1+qn-1，整理得n-2an-n-1an-1+2q=0，则n-1an+1-nan+2q=0，两式相减，得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，·75·,因为n≥2，所以an+1-2an+an-1=0，所以数列an是等差数列．(2)当k=q=0,p=2时，sn=2an+r，令n=1，得a1=s1=2a1+r，则a1=-r≠0，因为sn+1-2an+1=sn-2an，所以an+1=2an，因为a1=-r≠0，所以an≠0，所以数列an是首项为-r，公比为2的等比数列，n-r1-2nn+1snnn所以sn==1-2r，所以bn=-1=-12-1．1-2r2k-12k2k-1因为b2k-1+b2k=-2-1+2-1=2，k32k-121-42k所以t2k=2+2+⋯+2==4-1，1-432k2k1k则t2k-1=t2k-b2k=4-1-2-1=-4-1，33所以t2k是递增数列，t2k-1是递减数列，所以t2kmin=t2=2,t2k-1max=t1=-1，所以-1<λ<2，即实数λ的取值范围为-1,2．x218.（17分）已知函数fx=a-ex,a></n-2023，故正确；故选：acd11.已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β=2sinα+βcosα-β.设△abc的内角a，b，c满足sin2a1+sina-b+c=sinc-a-b+.面积s满足1≤s≤2.记a，b，c分别为a，b，c所对的边，则下2列式子一定成立的是()·69·,1aa.sinasinbsinc=b.2≤≤22c.8≤abc≤162d.bcb+c></n-2023，2与假设矛盾，故假设不成立，∗所以若an无上界，则存在k∈n，当n></n-2023答案acdan【分析】ab选项，由an有上界判断；c.根据an无上界，且为正项递增数列，可得→0判断；d.用an+k反证法判断.解析a.若an有上界，则an一定存在最小的上界，故正确；b.若an有上界，则an一定存在最小的上界，故错误；c.若an无上界，又an为正项递增数列，则n→+∞时，an→+∞，an+k→+∞，anan1则→0，所以<，故正确；an+kan+k2023d.假设对任意n></b，239600600则a<c<b，d正确.故选：d【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：2n352n+1xxxn+1xxnx2n+2e=1+x++⋯++ox，sinx=x-+-⋯+-1+ox，2!n!3!5!2n+1!2462nxxxnx2ncosx=1-+-+⋯+-1+ox，2!4!6!2n!23n+1xxnxn+1ln1+x=x-+-⋯+-1+ox，23n+112nnnnn-122=1+x+x+⋯+x+ox，1+x=1+nx+x+ox1-x2!二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></s<s△aob，111所以oa⋅cd<θ<oa⋅ab，即sinθ<θ<tanθ，222ba故tan0.1></b，得到结论.1解析a=cos0.1></b<cb.c<b<ac.c<a<bd.a<c<b答案dπ238801599【分析】先根据sinθ<θ<tanθ，θ∈0,2，得到b></tanα≤．所以444·63·,2tanα的最大值是.4故选：c4.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计logo的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的logo，那么该同学所选的函数最有可能是()a.fx=x-sinxb.fx=sinx-xcosx213c.fx=x-d.fx=sinx+x2x答案b【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.解析a：f(x)=1-cosx≥0，即f(x)在定义域上递增，不符合；b：f(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx，在(-2π,-π)上f(x)<0，在(-π,π)上f(x)></x2<x3，则x1∈a,m,x2=1,x3∈n,a2,fx1=fx2=fx3=0，当x∈0,x1∪x2,x3时，f(x)></x<，则h(x)=<0在0,上恒成立，故h(x)在0,x2x222·61·,11521上单调递减，故h(x)></m<1<n．a当x∈(0,m)∪(n,+∞)时，g(x)<0，当x∈(m,n)时，g(x)></n)，则m+21n=></a<时，证明：f(x)恰有三个不同的极值点x1,x2,x3，且x1x2x3=1．2参考数据：取ln2=0.7．22解析(1)由a=2，得f(x)=(x+2)lnx-x-x，则f(x)=lnx+-2x，x则f(1)=-2,f(1)=0，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=0．2aa-ax+x-a(2)证明：f(x)=lnx+-ax，令g(x)=lnx+-ax，则g(x)=．xxx2122因为0<a<，所以1-4a></r=c．d不正确．329411.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为r，且f(x-1)-f(1-x)=2x-2,f(x)的图象关于点(1,0)对称，则()a.f(0)=1b.y=f(x)-x为偶函数c.f(x)的图象关于点(1,0)对称d.f(2024)=-2023答案abd解析由f(x-1)-f(1-x)=2x-2，可得f(x)-f(-x)=2x，则f(x)+f(-x)=2，令x=0，得f(0)=1．a正确．令g(x)=f(x)-x，则g(-x)=f(-x)+x=f(x)-x=g(x)，故y=f(x)-x为偶函数．b正确．假设f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(x-1)+f(1-x)=0，则f(x-1)-f(1-x)=0，即f(x)-f(-x)=0，则f(x)=1，这与f(x)的图象关于点(1,0)对称矛盾，假设不成立．c不正确．因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(1+x)+f(1-x)=0，令h(x)=f(1+x)-f(1-x)，则，则为常数)，则，从而，即，由，得-2023．d正确．第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a,b满足|3a+b|=5，则a⋅(a+2b)=答案622252解析因为|3a+b|=5，所以(3a+b)=25，所以9a+6a⋅b+b=25，则a⋅b=，故a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=6.13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体abcdef中，h是棱bc的中点，则异面直线hf与ac所成角的余弦值是·57·,abhecdf3答案6解析取棱ab的中点g，连接hg，fg.因为h，g分别是棱bc，ab的中点，所以hg⎳ac，则∠fhg是异面直线hf与ac所成的角或补角.设ab=2，则hg=1,fg=5,hf=3.在△ghf中，由余弦定222hg+fh-fg33理可得cos∠fhg==-，则异面直线hf与ac所成角的余弦值是.2hg⋅fh6614.将1,2,3,⋯,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则a<b<c的填法共有种．(用数字作答)第1行第2行第3行答案6048012解析第3行，c=9，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有c3a8种情况.第2行，取剩下612个数中最大的数为b，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有c3a5种情况，第1行，剩下3个312123数任意排列，则有a3种情况，故共有c3a3c3a4a3=60480种填法。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且tana+tanc+tanatanc=1．(1)求角b的大小；(2)若b=4，求△abc面积的最大值．解析(1)因为tana+tanc+tanatanc=1，所以tana+tanc=1-tanatanc,·58·,tana+tanc所以=1，所以tan(a+c)=1．1-tanatancπ因为0<a+c<π，所以a+c=．43π因为a+b+c=π，所以b=．422222(2)由余弦定理可得b=a+c-2accosb，即a+c+2ac=16．22因为a+c≥2ac，当且仅当a=c时，等号成立，所以2ac+2ac≤16，解得ac≤16-82，12则△abc的面积s=acsinb=ac≤42-4．2416.（15分）某学校组织知识竞赛，题库中试题分a，b两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从a，b两种2试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1311题，则第2题选择同一种试题作答的概率为．已知学生甲答对a种试题的概率均为，答对b种试题422的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．3(1)求学生甲2题均选择b种试题作答的概率；(2)若学生甲第1题选择a种试题作答，记学生甲答对的试题数为x，求x的分布列与期望．12解析(1)若学生甲第1题选择b种试题作答并且答对，则第2题选择b种试题作答的概率p1=×2322×=，391若学生甲第1题选择b种试题作答并且答错，则第2题选择b种试题作答的概率p2=2(2)由题可知，x的取值可能为0，1，2，1111313且p(x=0)=××+××=，2422431612111111113277p(x=1)=××+××+××+××=．2322332422431441211125p(x=2)=××+××=，23223318故x的分布列为x0123775p16144183775157则e(x)=0×+1×+2×=．161441814417.（15分）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为棱bb1,ab的中点，f在棱cc1上，且ef⎳平面adc1．cf(1)求的值；cc1(2)若aa1=ab，求平面a1ef与平面c1ef夹角的余弦值．·59·,解析(1)取a1b1的中点g，连接eg交ad于点h，连接c1g,c1h．易证eh⎳bb1，则eh⎳c1f．因为ef⎳平面adc1，且平面adc1∩平面gefc1=c1h，所以ef⎳c1h，则四边形ehc1f为平行四边形，故eh=c1f111因为e为棱ab的中点．所以eh=bd=bb1=cc1,24413cf3所以c1f=cc1，所以cf=cc1，即=,44c14(2)过点a作ac的垂线am，从而有am,ac,aa1两两垂直，故以a为坐标原点，am,ac,aa1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设ab=4，则a1(0,0,4),e(3,1,0),f(0,4,3),c1(0,4,4)，设平面a1ef的法向量为m=x1,y1,z1，m⋅a1e=3x1+y1-4z1=0,则令x1=53，得m=(53,1,4)．m⋅ef=-3x1+3y1+3z1=0,易证ab⊥平面efc1，则平面efc1的一个法向量为ab=(23,2,0)．设平面aef与平面c1ef的夹角为θ，|ab⋅m|30+2423则cosθ=|cos‹ab,m›|===，|ab||m|4×9223423即平面a1ef与平面c1ef夹角的余弦值为．232y2x318.（17分）已知椭圆c:+=1(a></t<1，由g(t)<0，得-2≤t<-1或1<t≤2，则g(t)在[-2,-1)和(1,2]上单调递减，在(-1，1)上单调递增．因为g(-2)=-2,g(-1)=-2,g(1)=2,g(2)=2，所以-2≤g(t)≤2，即f(x)的值域为[-2,2]．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></x<4}，则a≤2．3.“α是第二象限角”是“sinαtanα<0”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析若α是第二象限角，则sinα></a<e时，由a=x0e<e，得0<x0<1，又fx在x0,+∞上单调递增，-1-1-1aaa所以fx0<f1=0.取x=e，则0<e<1，所以0<1-e<1.1x1当x∈0,1时，lnx<x-1，所以ln1-x<-x，所以x<-ln1-x=ln，所以e<.1-x1-x111-11-a-a-aea1-a1又因为0<e<1，fe=e-1e-a×-a></x<1时，φx<0，φx在0,1上单调递减，所以φxmin=φ1=0；当x></f1=0，lna1而flna=lna-1e-alnlna=alna-1-lnlna，令φx=x-1-lnx，则φx=1-=xx-1.x当x></x<μ+σ≈0.683，pμ-2σ<x<μ+2σ≈0.954，pμ-3σ<x<μ+3σ≈0.997.答案(1)16116(2)15【分析】(1)由正态分布的性质可求得px≥72，由此可估计进入面试的人数．(2)由已知得y的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得y取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案.解析(1)因为x服从正态分布n60,144，所以μ=60，σ=12，72=μ+σ，1-0.683所以px≥72≈=0.1585.2进入面试的人数z~b100,0.1585，ez=100×0.1585≈16.因此，进入面试的人数大约为16.(2)由题意可知，y的可能取值为0，2，4，6，8，10，2421则py=0=1-3×1-5=75；2422py=2=3×1-5=75；21448py=4=1-3×c2×5×1-5=75；·48·,214416py=6=3×c2×5×1-5=75；24216py=8=1-3×5=75；24232py=10=3×5=75.128161632580116所以ey=0×+2×+4×+6×+8×+10×==.757575757575751516.（15分）如图，在△abc中，ab=bc=2，d为△abc外一点，ad=2cd=4，记∠bad=α，∠bcd=β.(1)求2cosα-cosβ的值；22(2)若△abd的面积为s1，△bcd的面积为s2，求s1+s2的最大值.3答案(1)231(2)2【分析】(1)利用余弦定理，进行转换即可；32231(2)根据题意，由(1)知2cosα-cosβ=，求出s1+s2取得最大值，最大值为.22222解析(1)在△abd中，由余弦定理，得bd=ab+ad-2ab⋅adcosα=20-16cosα，222在△bcd中，由余弦定理，得bd=bc+cd-2bc⋅cdcosβ=8-8cosβ，所以20-16cosα=8-8cosβ，所以82cosα-cosβ=12，3即2cosα-cosβ=.211(2)由题意知s1=ab⋅adsin∠bad=4sinα，s2=bc⋅cdsin∠bcd=2sinβ，22222222所以s1+s2=16sinα+4sinβ=161-cosα+41-cosβ22=20-16cosα-4cosβ，3由(1)知2cosα-cosβ=，231所以cosβ=2cosα-2，cosα∈4,1，222322所以s1+s2=20-16cosα-42cosα-2=-32cosα+24cosα+113231=-32cosα-8+2，312231所以当cosα=8∈4,1时，s1+s2取得最大值，最大值为2.17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(chú)甍(méng)者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形abcd为矩形，四边形abfe、cdef为两个全等的等腰梯形，ef⎳ab，ab=4，ef=ad=2，p是线段ad上一点.·49·,2(1)若点p是线段ad上靠近点a的三等分点，q为线段cf上一点，且fq=fc，证明：pf⎳平面5bdq；3239(2)若e到平面abcd的距离为，pf与平面bcf所成角的正弦值为，求ap的长.213答案(1)证明见解析33(2)ap=1-，或ap=1+.22【分析】(1)连接cp交bd于点h，通过比例线段证明pf⎳hq，可得pf⎳平面bdq；(2)建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点p的位置即可.解析(1)证明：连接cp交bd于点h，连接hq，2phpdpd2因为ad⎳bc，且pd=ad，所以===，3hcbcad32fq2因为fq=fc，所以=，5qc3fqph所以=，所以pf⎳hq，qchc因为hq⊂平面bdq，pf⊄平面bdq，所以pf⎳平面bdq；(2)分别取ad,bc的中点i,j，连接ei,ij,fj，则ij⎳ab，且ij=ab，因为四边形abfe与四边形cdef为全等的等腰梯形，所以ea=ed=fb=fc，11四边形eijf为等腰梯形，且ef⎳ij，ef=ab=ij，22ei⊥ad，fj⊥bc，又ad⎳bc，所以fj⊥ad，因为ei,fj⊂平面eijf，且ei,fj为两条相交直线，所以ad⊥平面eijf，ad⊂平面abcd，所以平面abcd⊥平面eijf.平面abcd∩平面eijf=ij,过e在平面eijf内作ij的垂线，垂足为m，则em⊥平面abcd，31em=，im=ij-ef=1.22过m作mk⎳ad，易得mk,mj,me两两垂直，以m为坐标原点，mk,mj,me所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，·50·,3则f0,2,2，b1,3,0，c-1,3,0，333设pa,-1,0(-1≤a≤1)，所以pf=-a,3,2，fb=1,1,-2，fc=-1,1,-2.3n⋅fb=x+y-z=02设平面bcf的一个法向量n=x,y,z，则3，n⋅fc=-x+y-z=02令z=2，解得x=0，y=3，所以n=0,3,2，设pf与平面bcf所成角的大小为θ，则pf⋅n12239sinθ=cospf,n===13，pf⋅na2+45×1343解得a=±，且满足题意，233所以ap=1-，或ap=1+.222y2x18.（17分）已知椭圆c：2+2=1(a></f2，或g2<f2.g3≥f3g3<f32k<ln4342由第一个不等式组，得3k<2ln4-2ln2，即ln≤k<ln2，4334k≥3ln4-3ln32k≥ln4由第二个不等式组，得3k<2ln4-2ln2，该不等式组无解.4k<3ln4-3ln3342综上所述，ln≤k<ln2.433故选：a.【点睛】方法点睛：先对式子进行变形，等号一边为一次函数(通常过定点)，另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></f1g1≥f1当k></xln4-xlnx，令gx=kx+1，fx=xln4-xlnx，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．解析原不等式等价于kx+1<xln4-xlnx，设gx=kx+1，fx=xln4-xlnx，44则fx=ln4-1+lnx=ln-1，令fx=0，得x=，xe4当0<x<时，f'x></x<5，所以b=x2<x<5=2,5，所以∁ra∩b=2,4.故选：b3.如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线ab与cd所成角的大小为()ππππa.b.c.d.6432答案d【分析】将正方体的表面展开图还原为正方体，证明ab⊥平面dce，即可证明ab⊥cd，即可得答案.解析将正方体的表面展开图还原为正方体，ab与cd在正方体中的位置如图所示，·40·,由于de⊥平面acbe,ab⊂平面acbe，故de⊥ab，又ab⊥ec，且de∩ec=e,de,ec⊂平面dce，故ab⊥平面dce，cd⊂平面dce，所以ab⊥cd，π故直线ab与cd所成角的大小为.2故选：d.4π4.已知向量a=log23,sin3，b=log38,m，若a⊥b，则m=()a.-23b.-3c.23d.32答案c【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.4π解析因为a⊥b，所以a⋅b=0，即log23×log38+msin=0，33所以log28-m=0，所以m=23.2故选：c.5.下表统计了2017年~2022年我国的新生儿数量(单位：万人).年份201720182019202020212022年份代码x123456新生儿数量y17231523146512001062956经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且y=-156.66x+a，据此预测2023年新生6儿数量约为()(精确到0.1)(参考数据：yi=7929)i=1a.773.2万b.791.1万c.800.2万d.821.1万答案a【分析】先求出x，y，a，得回归直线方程，再代入x=7可得结果.7929解析由题意得x=3.5，y==1321.5，6所以a=y+156.66×3.5=1321.5+548.31=1869.81，y=-156.66x+1869.81，当x=7时，y=-156.66×7+1869.81=773.19≈773.2.故选：a.6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以a1，a2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以b表示从乙箱中取出的是·41·,白球，则下列结论错误的是()5113a.a1，a2互斥b.pba1=c.pa2b=d.pb=7721答案c【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.解析因为每次只取一球，故a1，a2是互斥的事件，故a正确；1254由题意得pa1=，pa2=，pba1=，pba2=，3377152413pb=pa1b+pa2b=×+×=，故b，d均正确；373721248因为pa2b=×=，故c错误.3721故选：c.7.阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反2y2x射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线c：-=1(a></x<4=-1,4.由x-25-x></x2≤2，1当x1-x2<时，fx1-fx2<2x1-x2<1；211当≤x1-x2<1时，因为f1=f2，-1<x1-x2≤-22fx1-fx2=fx1-f1+f2-fx2≤fx1-f1+f2-fx21<2x1-1+22-x2=2x1-x2+1≤2-2+1=1，综上所述，∀x1，x2∈1,2，fx1-fx2<1.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥fx恒成立a≥fxmax或a≤fx恒成立a≤fxmin；②数形结合(y=fx的图象在y=gx上方即可)；③讨论最值fxmax≤0或fxmin≥0恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.·39·,江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测试数学试题第i卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知复数z满足z+1=0，则z+1=()a.3b.2c.2d.1答案c【分析】求出z，再求z+1可得答案.2解析因为z+1=0，所以z=±i，22所以z+1=1±i=1+±1=2.故选：c.22.已知集合a=xx-3x-4≥0，b=xx-25-x></gxminxexe1+x-2-lnx-xgx=，令ux=-2-lnx-x，ux在1,e单调递减，2xxe所以ux≤u1=-3<0，gx<0，故gx在1,e单调递减，4+egxmin=ge=e+1，ex+lnx-1x+lnx-1由fx≥-2可转化为a≥x，令hx=x，只需a≥hxmaxxexe1+x2-lnx-xhx=，令mx=2-lnx-x，mx在1,e单调递减，2xxe且m1=1></x2≤2，2<x1+x2<4，所以2<<3，222x1x2x1+x2+2fx1-fx2=2+x1-2+x2=x1-x22<3x1-x2，2x所以fx=+x是1,2上的“3类函数”.2x(2)因为fx=axe-x-lnx-1，由题意知，对于任意不同的x1,x2∈1,e，都有fx1-fx2<2x1-x2，不妨设x1<x2，则-2x2-x1<fx1-fx2<2x2-x1，故fx1+2x1<fx2+2x2且fx1-2x1></kx1-x2，则称fx为a,b上的“k类函数”.2x(1)若fx=+x，判断fx是否为1,2上的“3类函数”；22xx(2)若fx=ax-1e--xlnx为1,e上的“2类函数”，求实数a的取值范围；2(3)若fx为1,2上的“2类函数”，且f1=f2，证明：∀x1，x2∈1,2，fx1-fx2<1.2x答案(1)fx=+x是1,2上的“3类函数”，理由见详解.214+e(2)≤a≤2e+1ee(3)证明过程见详解.【分析】(1)由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明fx1-fx2<3x1-x2即可；x(2)由已知条件转化为对于任意x∈1,e，都有-2<fx<2，fx=axe-x-lnx-1，只需a<x+lnx+3x+lnx-1x且a></x，则fan<an，即an+1<an，故an为单调递减数列，故a正确，显然a2023></g(0)=0，也可得e-x-1></a202411c.an+1></bd.loga2<logb2ab答案ab【分析】对a：由不等式性质计算即可得；对b：结合指数函数的单调性即可得；对c、d：举出反例即可得.ab11解析对a：由a></b.2></fx=x-x≤x-x<x-x<x≤1，即0<fx<1，可排e+ee+ee+ee除a、b.故选:c.π3πππ6.若α∈4,4，6tan4+α+4cos4-α=5cos2α，则sin2α=()241271a.b.c.d.2525255答案c【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.πππππ解析令t=4+α，t∈2,π，得α=t-4，则6tant+4cos2-t=5cos2t-2，即6tant+4sint=5sin2t=10sintcost，整理得5cost+3cost-1=0，且cost<0，3π27那么cost=-5，则sin2α=sin2t-2=-cos2t=1-2cost=25.故选：c.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是()·29·,1111a.b.c.d.5432答案a【分析】先求出10个数中任取3个数，至多有1个阴数的总基本事件个数，再列举出取出的3个数之和是5的倍数的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.解析如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为1,3,5,7,9，阴数为2,4,6,8,10若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，312基本事件总数为n=c5+c5c5=60，取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括2,1,7,2,3,5,4,1,5,4,7,9,6,1,3,6,5,9,8,3,9,8,5,7,10,1,9,10,3,7，1,5,9,3,5,7共有12个，121取出的3个数之和是5的倍数的概率是p==.605故选：a.48.已知圆柱的底面半径为1，高为2，ab，cd分别为上、下底面圆的直径，四面体abcd的体积为，则直3线ac与bd所成角的余弦值为()5321a.b.c.d.3333答案d【分析】建立空间直角坐标系，假定a,b的坐标，结合已知解出c,d的坐标，利用线线角的向量求法求解即可.解析如图，找底面圆心o，作og与底面垂直，oe⎳ab，om⊥oe，故以o为原点，建立空间直角坐标系，规定a(0,-1,2)，b(0,1,2)，设c(x,y,0)，d(-x,-y,0)，22易知底面圆方程为x+y=1，则ab=(0,2,0)，ac=(x,y+1,-2)，2y+22x+4故cos∠cab=，sin∠cab=，22222x+4+(y+1)x+4+(y+1)21x+4222故sabc=×2××x+4+(y+1)=x+4，2x2+4+(y+1)2·30·,设d到面abc的距离为d，设面abc的法向量n=(x0,y0,z0)，故有2y0=0，xx0+(y+1)y0-2z0=0，解得x02=，y0=0，z0=1，x2-2-244故n=x,0,1，由点到平面的距离公式得d==，已知四面体abcd的体积为3，441+21+2xx4124故得=×x+4×，解得x=1(负根舍去)，易得y=0，故c(1,0,0)，d(-1,0,0)，3341+2x-2+41ac=(1,1,-2)，bd=(-1,-1,-2)，设直线ac与bd所成角为θ，故有cosθ==.6×63故选：d二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,></x≤1.故选：d.42.已知复数z=，其中i为虚数单位，则z=()1-ia.2+2ib.2-2ic.-2-2id.-2+2i答案b【分析】利用复数的除法运算化简，找到共轭复数即可.441+i解析结合题意：z===2+2i，所以z=2-2i.1-i1-i1+i故选：b.3.已知向量a=1,1，b=m,2，且a⊥a-b，则b=()a.2b.3c.4d.22答案a【分析】由a⊥a-b求出m=0，从而可求解.解析由a=1,1，b=m,2，所以a-b=1-m,-1，因为a⊥a-b，所以a·a-b=1-m-1=0，得m=0，22所以b=0+2=2，故a正确.故选：a.x4.曲线fx=e+ax在点0,1处的切线与直线y=2x平行，则a=()a.-2b.-1c.1d.2答案cx【分析】确定曲线fx=e+ax在点0,1处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.x解析因为曲线fx=e+ax在点0,1处的切线与直线y=2x平行，x故曲线fx=e+ax在点0,1处的切线的斜率为2，x0因为fx=e+a，所以f0=e+a=1+a=2，·28·,所以a=1，故选：c.sinx-sinxxe-e5.函数fx=x-x的图象大致为()e+ea.b.c.d.答案c【分析】确定函数的奇偶性排除d选项，再由x∈(0,π)函数值的取值范围排除a、b选项后可得正确结论．-xesin-x-e-sin-x-sinxsinxsinx-sinx-xe-exe-e解析由已知f-x=-xx=x-x=x-x=fx，fx为偶函数，e+ee+ee+e排除d；sinx-sinx-1xe-exe-eexex当x∈0,π时，0<sinx≤1，0<fx=x-x≤x-x<x-x<x，e+ee+ee+eexx令g(x)=e-ex，g(x)=e-e，g(x)=0时，x=1，当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,π)时，g(x)></x≤1答案dx【分析】解出集合b=xy=lg2-1，利用交集计算即可.xx解析由y=lg2-1可知：2-1></f1a,bf2></p<1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记x为试验结束时所进行的试验次数，x的数学期望为ex．1(1)证明：ex<；p(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2，每次试验的成本为a(a></x<a，令fx<0时，得x></x<1，x1-x当fx=<0，解得：x></a<π0<nb<ππ显然0<b<π，即0<b<π，则0<b<，0<c<π0<π-b-nb<πn+1π令f(x)=sinnx-nsinx，0<x<,n≥2，f(x)=ncosnx-ncosx=n(cosnx-cosx)<0，n+1π因此函数f(x)在0,n+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sinnb<nsinb，从而sina<nsinb，a对，c错.故选：ad【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.第ii卷(非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a,b满足2a+b=3，则a-b=.答案31【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得a⋅b=-，再由运算律求a-b即可.2221解析因为2a+b=3，所以4a+4a⋅b+b=3，所以a⋅b=-，2222则(a-b)=a-2a⋅b+b=3，故a-b=3.故答案为：313.定义两个点集s、t之间的距离集为ds,t=pqp∈s,q∈t，其中pq表示两点p、q之间的距2离，已知k、t∈r，s=x,yy=kx+t,x∈r，t=x,yy=4x+1,x∈r，若ds,t=1,+∞，则t的值为.·19·,答案-522【分析】集合t表示双曲线y-4x=1上支的点，集合s表示直线y=kx+t上的点，ds,t=1,+∞，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1，计算得到答案.22222解析y=4x+1，即y-4x=1，y≥0，故集合t表示双曲线y-4x=1上支的点，集合s表示直线y=kx+t上的点，ds,t=1,+∞，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即t<0，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为y=±2x，不妨取2x+y=0，则y=-2x+t，即2x+y-t=0，t平行线的距离d==1，故t=-5或t=5(舍去).1+4故答案为：-5.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为1是解题的关键.2314.已知c:y=x，过点p1,0倾斜角为60°的直线l交c于a、b两点(a在第一象限内)，过点a作ad⊥22πx轴，垂足为d，现将c所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得∠x上平面-x下平面=，则几何体3pabd外接球的表面积为．答案13π【分析】翻折前，将直线l的方程与抛物线的方程联立，求出点a、b的坐标，然后以以原坐标原点o为原点，原纵轴的负半轴所在直线为x轴，直线op所在直线为y轴，过点o且垂直于平面opb的直线作z轴建立空间直角坐标系，设球心为ga,b,c，根据球心的性质可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.解析翻折前，设点ax1,y1、bx2,y2，则y1></nsinbb.对任意的n≥2，都有tana<ntanbc.存在n，使sina></x<1时，gx></x<x0时，fx></a<0时，fx在0,+∞上无零点；当a=-8时，fx在0,+∞上有1个零点；当a<-8时，fx在0,+∞有2个不同的零点；22(2)证明：由(1)分析知，当a></a<0时，fx在0,+∞上无零点；21②a+8a=0，即a=-8时，fx在0,+∞上有1个零点；42③a+8a></sinα==≤，当且仅当t=，即λ71015234522×2-+422×7-+ttt772=时取等号，514综上得0≤sinα≤，414所以sinα的取值范围是0,.4【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.18.（17分）已知函数fx=lnx-axx-1.(1)当a<0时，探究fx零点的个数；2+a3(2)当a></p≤时，|ap|有最小值8p-2p，即ap有最小值8p-2p=2，238解得p=2±2，由于2+2></f0=0，与fx≥0矛盾；②当a></an<1，n∈n*)的离心率en=2，则an=()1n1n1n1na.1-4b.1-2c.1-2d.1-4答案a·2·,【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.2y2x解析椭圆cn可化为：+=1.11an1-1can1n1n因为0<an<1，所以离心率en=a==2，解得：an=1-4.1an故选：a8.已知等差数列an(公差不为0)和等差数列bn的前n项和分别为sn、tn，如果关于x的实系数方程221003x-s1003x+t1003=0有实数解，那么以下1003个方程x-aix+bi=0i=1,2,⋯1003中，有实数解的方程至少有()个.a.499b.500c.501d.502答案d22【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到a502-4b502≥0，要想无实根，需满足ai-4bi<0，结合根的判别式与基本不等式得到δ1<0,δ1003<0至多一个成立，同理可证：δ2<0,δ1002<0至多一个成立，⋯δ501<0,δ503<0至多一个成立，且δ502≥0，从而得到结论.21003a1+a1003解析由题意得：s1003-4×1003t1003≥0，其中s1003==1003a502，21003b1+b10032t1003==1003b502，代入上式得：a502-4b502≥0，222要方程x-aix+bi=0i=1,2,3,⋯,1003无实数解，则ai-4bi<0，显然第502个方程有解.22设方程x-a1x+b1=0与方程x-a1003x+b1003=0的判别式分别为δ1,δ1003，2222则δ1+δ1003=a1-4b1+a1003-4b1003=a1+a1003-4b1+b100322a1+a10032a5022≥-4×2b502=-8b502=2a502-4b502≥0，22等号成立的条件是a1=a1003，所以δ1<0,δ1003<0至多一个成立，同理可证：δ2<0,δ1002<0至多一个成立，⋯δ501<0,δ503<0至多一个成立，且δ502≥0，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，故选：d.【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,>
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