专题3.1 函数的概念及表示法-（教师版含解析）（讲）【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测

专题3.1函数的概念及表示法【考纲要求】1．理解函数的概念；了解函数的三种表示方法。2．掌握分段函数的含义．【考向预测】1.判断两个函数是否同一函数2.求一次函数、二次函数的解析式3.常见函数的定义域的求法4.分段函数及应用【知识清单】1.函数的概念及表示函数两集合设A，B是两个非空数集A，B如果按照某种确定的对应关系f，对应关系使对于集合A中的任意一个数x，f：A→B在集合B中有唯一的数f(x)和它对应称对应f：A→B为从集合A到集名称合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A2.函数(1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．(3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．3.分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．考点一函数的概念及表示 例1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是()【解析】由函数的定义知A，B，C是函数，故选D．例2．下列各组函数是同一函数的是()x2A．y＝1，y＝B．y＝x－2·x＋2，y＝x－4x3C．y＝|x|，y＝(x)2D．y＝x，y＝x3【解析】A，B，C中的两函数的定义域均不相同，故选D．【规律方法】判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．【变式探究】1．下列图形中，可以作为y关于x的函数图象的是()【解析】A、B、C均存在取一个x值有两个y值与之对应，不是函数．只有D中，对定义域内的任意x都有且只有一个y值与之对应，故选D．2.下面各组函数中是同一函数的是()A．y＝－2x3与y＝x－2xB．y＝x2与y＝|C．y＝x＋1·x－1与y＝（x＋1）（x－1）D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1【解析】本题考查函数的定义及三要素．选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D 中，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选D．考点二求函数的定义域例求下列函数的定义域：x＋20(1)y＝；|x|－xx2－1(2)f(x)＝－4－x．x－1x＋2≠0x≠－2【解析】(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x＜0，且|x|－x≠0|x|≠xx≠－2．故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．4－x≥0x≤4(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即．x－1≠0x≠1故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．[归纳提升]求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1【变式探究】1.函数y＝的定义域是()x＋1A．[－1，＋∞)B．[－1,0]C．(－1，＋∞)D．(－1,0)1【解析】要使函数y＝有意义，应满足x＋1＞0，x＋11∴x＞－1，∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．x＋1故选：C12．函数f(x)＝x＋1＋的定义域为()2－xA．[－1,2)∪(2，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－1,2)D．[－1，＋∞) x＋1≥0，【解析】由解得x≥－1且x≠2．故选A．2－x≠0，考点三求函数的解析式例1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为()A．f(x)＝－xB．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x＋1a＋b＝0，【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有b＝1，所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1．例2.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为____．【分析】已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．【解析】设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，c＝1，a＝1，由题意得a＋b＋c＝2，解得b＝0，故f(x)＝x2＋1．4a＋2b＋c＝5，c＝1，例3.已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为____．【分析】已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式．【解析】(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3．【变式探究】1.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的解析式为___．【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，a2＝4，a＝2，a＝－2，于是有解得或ab＋b＝6，b＝2b＝－6，所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6．2.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，2a＝2，a＝1，∴∴∴f(x)＝x2－2x－1．2b＝－4，b＝－2，2a＋2c＝0，c＝－1，3.已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为____． 【解析】(换元法)令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．考点四分段函数x2x≥0，例1．若f(x)＝则f[f(－2)]＝()－xx＜0．A．2B．3C．4D．5【解析】∵－2＜0，∴f(－2)＝－(－2)＝2，又2＞0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4．x＋2，x≤0，例2．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝____．x2，0＜x≤3，【解析】当x≤0时，令x＋2＝3，x＝1不符合题意；当0＜x≤3时，令x2＝3，x＝3或－3(舍去)．x＋4x＜0【变式探究】1．(2020·江苏徐州高一期中测试)已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为___．x－4x＞0x＋4x＜0【解析】∵f(x)＝，∴f(－3)＝1，x－4x＞0∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3．x＋2x≤－12.已知函数f(x)＝x2－1＜x＜2．2xx≥2(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；(2)若f(a)＝10，求a的值．【分析】分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值．【解析】(1)f(－4)＝－4＋2＝－2，f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0．(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；当－1＜a＜2时，a2＝10，可得a＝±10，不符合题意；当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；综上可知，a＝5．[归纳提升]求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．