【九省联考】河南部分重点高中2024届高三上学期期末联考数学试卷

2024届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=−−{2,1,0,1,2}，B={xx<0}，则AB的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．72．已知i为虚数单位，复数z满足zxii−=+1，则z+=1（）A．2B．1C．5D．2π3．已知单位向量a，b的夹角为，则56ab+=（）3A．9B．91C．10D．3104．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放t时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：yb=⋅210（b为常数），若该种玫瑰花在11凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：102lg2≈0.3）（）A．3分钟B．30分钟C．33分钟D．35分钟5．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为（）A．6B．7C．8D．92p6．已知抛物线Cy:2=pxp(>0)，过点,0且斜率为−1的直线l交C于M，N两点，且2MN=32，则C的准线方程为（）A．x=−1B．x=−2C．x=−3D．x=−4学科网（北京）股份有限公司 n2*7．已知数列{a}是单调递增数列，am=(21−−)n，n∈N，则实数m的取值范围为（）nn3A．(2,+∞)B．(1,2)C．,+∞D．(2,3)28．已知离散型随机变量X的分布列如下，则DX()的最大值为（）X012Paab+ab−128A．B．C．D．1339二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（）A．这五名同学成绩的平均数为78B．这五名同学成绩的中位数为74C．这五名同学成绩的上四分位数为80D．这五名同学成绩的方差为322b+110．已知正实数a，b满足ab+=22，则的可能取值为（）abA．2B．12+C．21−D．411．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(−1,0)，12≤≤AM，点M的轨迹为Ω，则（）A．Ω为中心对称图形B．M到直线xay−+=∈20()aR距离的最大值为5C．若线段OM上的所有点均在Ω中，则OM最大为3πD．使∠=MBO成立的M点有4个4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1−12812．(2−x)的展开式中含的项的系数为______．2x213．已知tanα=，则tan3α=______．214．三个相似的圆锥的体积分别为V，V，V，侧面积分别为S，S，S，且VVV=+，123123123aS=S+S，则实数a的最大值为______．123学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数fxax()=ln(+−1)xxsin．ππ（1）若a=0，求曲线yfx=()在点,f处的切线方程；22（2）若a=1，研究函数fx()在x∈−(1,0]上的单调性和零点个数．16．（15分）2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学40女同学20合计（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．22nad(−bc)附：χ=，其中nabcd=+++．(abcdacbd++++)()()()α0.10.050.012.7063.8416.635xα17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且1AB=CD=1，△PCD为等边三角形，平面PAB平面PCD=直线l．2（1）证明：l∥平面ABCD；π（2）若l与平面PAD的夹角为，求四棱锥P−ABCD的体积．6学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）22xy3已知椭圆C:+=>>1(ab0)的左、右顶点分别为A、B，且AB=4，点1,在椭圆C上．ab222（1）求椭圆C的标准方程；kBF（2）若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线AE与BF的斜率满足=−3，证明：直线kAEEF恒过定点．19．（17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：aaa123bbb=++−−−abcabcabcabcabcabc．123123231312321213132ccc123ijk若abx×=yz，则称ab×为空间向量a与b的叉乘，其中axi=++yjzk（xyz,,∈R），111111111xyz222bxiyjzk=++（xyz,,∈R），{ijk,,}为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以ijk,,的方向222222为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．（1）①若A(1,2,1)，B(0,1,1−)，求OAOB×；②证明：OAOBOBOA×+×=0．1（2）记△AOB的面积为S，证明：S=OAOB×．△AOB△AOB22（3）证明：(OAOB×)的几何意义表示以△AOB为底面、OAOB×为高的三棱锥体积的6倍．学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案21．B【解析】由题意可得AB=−−{2,1}，故AB的真子集的个数为213−=．故选B．21i++(1i)2．A【解析】因为zzii−=+1，则−−=+z(1i1i)，所以z=−=−=−i，故1i−(1i)(1i)−+22z+=−=11i1+−(1)=2．故选A．2π223．B【解析】由题意得5ab+6=25a+60ab⋅+36b=+×××616011cos=91．故35ab+=691，故选B．tt1111104．C【解析】由题意得=2b，则b=，令=⋅210，即210=10，解得t=≈33．故选C．1020220lg22πr1=,5．D【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，则由题意可得2解得πR42π(rR+=)6π,r=1,122，则Vh=π(1+×+122)=21π，解得h=9．故选D．R=2,3p6．D【解析】设Mxy(,)，Nxy(,)，直线ly:=−−x，11222pyx=−−,p22联立2得x−+=30px，42y=2,pxp则∆>0，xxp+=3，又l经过C的焦点,0，122则MN=++=+=xxp3pp32，解得p=8，故C的准线方程为x=−4．故选D．12n2*7．C【解析】由题意可得am=(2−−1)n，由于数列{a}为单调递增数列，即∀∈nN，nnn+12nn221n+aam−=(2−−+−1)(n1)m(2−−=⋅−−>1)nm22n10，整理得m>，令nn+1n221n+232112nn++−n*3b=，则bb−=−=<0，n∈N，易得数列{b}单调递减，故b=是数nnnn+1nnn++11n1222223列{b}的最大项，则m的取值范围为,+∞，故选C．n2学科网（北京）股份有限公司 18．C【解析】PX(=0)+=PX(1)+=PX(231)=a=，故a=，3121211易得0≤+≤b，0≤−≤b，则−≤≤b，33333311122222故EXabab()=++−=−221b，DX()=−+++−+=−−(1b)bbb(1b)bb，又因为33331128b∈−,，所以DX()∈,．故选C．33996872768084++++9．CD【解析】A选项，这五名同学成绩的平均数为=76，A错误；5B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错误；C选项，575%×=3.75，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C正确；122222D选项，五名同学成绩的方差为(6876)−+−+−+−+−=(7276)(7676)(8076)(8476)32，D5正确．故选CD．222bbb+++11111b+10．BD【解析】由题意可得===−1，22ab(22)−−−bb2(bb)2bbbtt+112令bt+=1，则12<<t，22=2==，且t+∈22,3)，故bb−(tt−−−11)()−+−tt322t3−+tt2b+1b+1−2∈322,++∞)，所以∈1+2,+∞)．故选BD．bbab11．ABC【解析】由题可得AM∈[1,2]，故点M在以A为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），Ω为内径为1，外径为2的圆环，A正确；直线xay−+=20过定点(2,0)−，故M到直线xay−+=20的距离最大时为M与点(2,0)−的距离，则d=+=325，B正确；当OM恰与圆max22(xy−+=1)1相切时，OM最大，此时直线OM与y轴重合，故OM=3，C正确；maxπ∠=MBO，则直线BM：yx=−+(1)或yx=+1，直线yx=+1与直线yx=−+(1)有无数点在Ω4上，故符合的M点有无数个，故D错误．故选ABC．1r−−128rrr8−212．1120【解析】(2−x)的展开式的通项为Tx=C2(1)−，故令r=4可得含项的系数为r+182x444C××−=2(1)1120．8学科网（北京）股份有限公司 5222tanα13．−【解析】由tanα=，可得tan2α==22，2221tan−αtanαα+tan252故tan3α=+=tan(αα2)=−．1tan−⋅ααtan22314．2【解析】设三个圆锥的高分别为hhh,,．母线与轴线的夹角为θ，12312π23333则Vhh=π(tan)θθ⋅=tan⋅h，由VVV=+，得hhh=+，12312333222同理由aS=S+S可得ah=h+h，12312332h31+36223hah1()hh23+332则==a，则a=．63322h()hh+3123h31+h23222(1+x)61xx(+)⋅−(1x)令fx()=，x∈(0,+∞)，得fx′()=，令fx′()>0，解得x∈(0,1)；令2333(1+x)(1+x)fx′()<0，解得x∈(1,+∞)，故fx()在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以fx()=f(12)=，max33故a≤2，故a=2．max15．解：（1）当a=0时，fx()=−xxsin，πππ则fx′()=−−sinxxxcos，则f=−，f′=−1，222ππ所以曲线yfx=()在点,f处的切线方程为yx=−．221（2）当a=1时，fx()=ln(x+−1)xxsin，则fx′()=−−sinxxxcos，x+11当x∈−(1,0]时，>0，−≥sinx0，−≥xxcos0，则fx′()>0，x+1故fx()在x∈−(1,0]上单调递增．又因为f(00)=，所以fx()在x∈−(1,0]上的零点个数为1．16．解：（1）完善2×2列联表如下：学科网（北京）股份有限公司 对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学401050女同学302050合计703010022100(40201030)××−×100则χ==≈<4.7626.635，50503070×××21故根据小概率值α=0.01的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关．70（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为=0.7，100设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以随机变量XB~(30,0.7)，故EX()=×=300.721，DX()=××−300.7(10.7)=6.3．17．解：（1）证明：由题可知AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD．又AB⊂平面PAB，平面PAB平面PCD=l，∴l∥AB．又l⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴l∥平面ABCD．（2）以D为原点，平面ABCD内垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，13设等腰梯形ABCD的高为aa(>0)，则D(0,0,0)，Aa,,0，Ba,,0，C(0,2,0)，22P(0,1,3)，1nDA⋅=0,ax+=y0,设n=(xyz,,)为平面PAD的法向量，则即2nDP⋅=0,yz+=30,13令y=−1得n=,1,−为平面PAD的一个法向量．23a学科网（北京）股份有限公司 又l∥AB，则可得直线l的一个平行向量m=(0,1,0)，设θ为l与平面PAD的夹角，116由sinθ=cosnm,==，解得a=．n×12811632∴V=××××+=3(12)．PABCD−3281618．解：（1）由题意可得AB=42=a，则a=2，313又点1,在C上，所以+=1，解得b=1，244b22x2故椭圆C的标准方程为+=y1．4（2）证明：由（1）可得，A(−2,0)，B(2,0)，易知直线AE与直线BF的斜率一定存在且不为0，设直线AE的方程为ytx=+≠(2)(t0)，直线BF的方程为y=−−32tx()．=+ytx(2,)2222由x2得(4t+1)x+16tx+16t−=40，2+=y1,422216t−4−+82t4t−+824tt所以xxAE=2，故xE=2，则yE=2，故E22,．41t+41t+41t+4141tt++=−y3tx(−2,)22222144t−4由x2得(36t+1)x−144tx+144t−=40，所以xxBF=，236t2+1+=y1,42272t−212t72tt−212故xF=2，则yF=2，故F22,．36t+136t+136tt++1361若直线EF过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF所过定点必在x轴上，设定点为Px(,0)．04tt122241tt++361则kk===，PEPF2228−−tt722−−xx220041tt++3614tt12即=，222228−−txt00(4+1)72t−−2xt(36+1)学科网（北京）股份有限公司 2222所以624−txt−3(4+=1)72t−−2xt(36+1)，002化简可得(xt−412)(−=1)0，故x=4，即直线EF过定点(4,0)．0019．解：（1）①因为A(1,2,1)，B(0,1,1−)，ijk则OAOB×=12120=++−−−−−=−−=−−i(1)k0j(1)i3ijk(3,1,1)．011−②证明：设Axyz(,,)，Bxyz(,,)，111222则OAOB×=++−−−=−yzizxjxykxykxjyzi(,,)yzyzzx−−zxxyzxy，121212212121122112211221将x与x互换，y与y互换，z与z互换，212121可得OBOA×=−()yzyzzx,,−zxxy−xy，211221122112故OAOBOBOA×+×=(0,0,0)=0．222()OAOB⋅2OAOB−⋅()OAOB2（2）证明：因为sin∠=−∠=−AOB1cosAOB1=，22OAOBOAOB11222故S=OAOB⋅∠=sinAOBOAOB−⋅(OAOB)，△AOB221故要证S=OAOB×，△AOB2222只需证OAOB×=OAOB−⋅()OAOB，2222即证OAOB×=OAOB−⋅()OAOB．由（1）OA=(,,)xyz，OB=(xyz,,)，OAOB×=−(yzyzzx,,−zxxy−xy)，1112221221122112212222故OAOB×=−+−+−(yzyz)(zxzx)(xyxy)，1221122112212222222222又OA=++xyz，OB=++xyz，(OAOB⋅=++)(xxyyzz)，1112221212122222则OAOB×=OAOB−⋅()OAOB成立，1故S=OAOB×．△AOB21（3）证明：由（2）S=OAOB×，△AOB2学科网（北京）股份有限公司 212得()OAOB×=×=×⋅×=⋅×OAOBOAOB2OAOBS2OAOB，△AOB212故()OAOB×=S⋅×OAOB×6，△AOB32故()OAOB×的几何意义表示以△AOB为底面、OAOB×为高的三棱锥体积的6倍．学科网（北京）股份有限公司