山东中学联盟2023-2024学年高三12月全省大联考数学试题

保密★启用前山东中学联盟2021级高三12月全省大联考数学命题学校：菏泽一中审题学校：临沂一中注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.）21.设集合Axx={14<<}，B=={xyln(x−−2x3)}，则AB=（）A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)2i−2.复数z=（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）2i+A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若点A，B，C不共线，则“BA与BC的夹角为钝角”是“BABC+<AC”的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.地震级别常用里氏级M表示，它与地震强度E满足的关系为ME=lg.如中国汶川2008年地震是8.0级，中国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的几倍（参考数值lg2≈0.3）A.3B.6C.8D.95.调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的sin2x衰减.已知一个调和信号的函数为fx()=，它的图象大致为（）xe1−A.B.C.D.316.已知cos(βα−=)，tantanαβ=，则cos2(αβ+=)（）52学科网（北京）股份有限公司 223223A.−B.C.D.−2525252522xy27.已知双曲线−=>10(b)的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线y=20pxp(>)的焦点22b与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线lxy1:4−+=380和lx2:3=−的距离之和的最小值为（）11141621A.B.C.D.55552xxR∈xx−8.已知函数fxe()=，gxx()=+1，对任意1，存在x2∈−+∞(1,)，使fx(12)=gx()成立，则21的最小值为（）111A.−ln2B.1C.−+ln2D.−+2ln2222二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）129.已知+=>>1(ab0,0)，则下列结论正确的是（）abA.ab的最小值为8B.ab+的最小值为322+21141C.+的最大值为2D.+的最小值为22abab2π10.已知函数fxA()=sin(ωϕx+>><)A0,ωϕ0,的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）25A.函数fx()的图象关于−,0对称121B.函数fx()在,1的值域为−2,3473C.函数fx()在,单调递减621D.要得到函数gxA()=cos(ωϕx+)的图象，只需将函数fx()的图象向左平移个单位4学科网（北京）股份有限公司 11.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠=ADC60°，将△ACD沿AC翻折为三棱锥P−ABC，点P为翻折过程中点D的位置，则下列结论正确的是（）A.无论点P在何位置，总有AC⊥PDB.点P存在两个位罣，使得VPABC−=1成立3πC.当PB=6时，边AD旋转所形成的曲面的面积为2D.当PB=2时，M为PB上一点，则AM+CM的最小值为2212.已知函数fx()与gx()的定义域均为R，fx(++1)gx(−=23)，fx(−−−=11)gx()，且g(−=12)，gx(−1)为偶函数，下列结论正确的是（）A.fx()的周期为4B.g(32)=20242024C.∑gk()=4048D.∑fk()=4048k=1k=1三、填空题（每小题5分，共20分）log,2xx>0π13.已知函数fx()=，则ff−=______.−≤sin,xx0414.已知圆C上的点A(2,0)关于直线xy+−=360的对称点仍然在这个圆上，且圆C的圆心在x轴上，则圆C的标准方程是______.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为25，则其外接球的体积为______.学科网（北京）股份有限公司 32*1S16.已知数列{an}满足a1=，an+1=−+∈aann1(nN)，数列的前n项和为n，设xR∈，[x]表示2an不大于x的最大整数.则[S2023]=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）2已知fx()=3sinωωxcosx−>cosωωx(0)的最小正周期为π.2π（1）求f的值；31（2）在△ABC中内角，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ac=3，b=2，fB()=，求c的值.218.（本小题满分12分）已知数列{an}是等差数列，其前n和为Sn，aa23+=10，S10=110，数列{bn}的前n项和为Tn满足321Tb=+.nn（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）把数列{an}和数列{bn}中的相同项按从小到大的顺序组成新数列{cn}，Mn是数列{cn}的前n项和，求M.n19.（本小题满分12分）x设函数fx()=−−e1ax（1）当a=1时，求曲线fx()在x=1处的切线方程.（2）讨论函数fx()在区间[0,1]上零点的个数.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，1其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=222AB=BC=，PF=FD.2（1）证明：PB∥平面ACF；学科网（北京）股份有限公司 30（2）在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH6的长度；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）22已知圆Cxy:++22x−=100，点P是圆C上的动点，点F(2,0)是圆C内一点，线段PF的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆C上运动时点Q的轨迹为E.（1）求E的方程；222（2）设M，N是曲线E上的两点，直线MN与曲线xybx+=(>0)相切.证明：当MN=3时，M，N，F三点共线。22.（本小题满分12分）2lnax已知函数fxx()=+，a∈R.x1（1）当a=−时，求函数fx()的极值；2（2）若fx()有两个极值点x1，x2，证明：fx(1)+>+fx(2)4(xx12)学科网（北京）股份有限公司 山东中学联盟2021级高三12月全省大联考数学答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1-5：ВАBCB6-8：DDC二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.ABD10.BCD11.AC12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.122401013.−14.(xy−+=6)1615.π16.123四、解答题：本题共6小题，共70分.217.（10分）解：（1）fx()=3sinωωxcosx−cosωx311π1=sin2ωωxx−cos2−=sin2ωx−−222622π由函数fx()的最小正周期为π.即=π，得ω=1，2ωπ12πfx()=sin2x−−，f=−16231π（2）由fB()=得，sin2B−=1，26π角B为三角形ABC的内角，∴=B.32221acb+−ac=3，b=2，cosB=，由余弦定理cosB=，22ac2221(32cc)+−()214=2∴=c得，即c=，223××cc7718.（12分）解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则aaad23+=+=21310，Sad10=+=10145110解得d=2，a1=2，∴=+−=+−=aandn1(1)2212(n)n.因为321Tbnn=+①学科网（北京）股份有限公司 所以当n≥2时321Tbnn−−11=+②①－②可得，bbnn=−2−1当n=1时，b1=1.∴数列{bn}是1为首项，−2为公比的等比数列。n−1所以b=−(2)nan=n−1即n2，bn=−(2)（2）由（1）知道数列{an}和数列{bn}的相同项即为数列{bn}的所有大于等于3的奇数项，24681012c=242nn=即是：2，2，2，2，2，2，…，即n，414(−n)44n+1−所以T==.n14−3xx19.（12分）解：（1）因为fxex()=−−1，所以fxe′()=−1，则fe′(11)=−，fe(12)=−所以，切线方程为ye−−=−−(211)(ex)()即yex=−−(11)x（2）由（1）知，fx′()=e−a.①当a≤1时，fx()在区间[0,1]上单调递增且f(00)=，所以fx()在区间[0,1]上有一个零点.②当a≥e时，fx()在区间[0,1]上单调递减且f(00)=，所以fx()在区间[0,1]上有一个零点.③当1e<<a时，fx()在区间[0,lna]上单调递减，在(ln,1a]上单调递增，而fa(1e1)=−−.当e−−≥a10，即1<≤−ae1时，fx()在区间[0,1]上有两个零点.当e−−<a10，即e1−<<ae时，fx()在区间[0,1]上有一个零点.综上可知，当a≤1或a>−e1时，fx()在[0,1]上有一个零点，当1<≤−ae1时，fx()在区间[0,1]上有两个零点.20.（12分）解：（1）连接BD交AC于M，BMBC1BC∥AD，∴==，MDAD2学科网（北京）股份有限公司 1PF1PF=FD，∴=，2FD2BMPF∴=，∴PB∥FM，MDFD又FM⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，∴PB∥平面ACF.30（2）设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为，62306即CH与平面ACF所成角的正弦值为1−=，66设PH=λλPB(01≤≤)，取AD中点O，连接OC，OP，PA=PD，∴⊥POAD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，PO⊂侧面PAD，∴⊥PO底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AD=222AB=BC=，∴⊥COAD，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，12则C(1,0,0)，A(0,1,0−)，F0,,，P(0,0,1)，B(1,1,0−)，3342则AC=(1,1,0)，AF=0,,，33设平面ACF的一个法向量为n=(xyz,,)，nAC⋅=+=xy0则42，令y=1，则x=−1，z=−2，nAF⋅=+=yz033∴平面ACF的一个法向量为n=−−(1,1,2)，又PB=−−(1,1,1)，∴PH=λ(1,1,1−−=−−)(λλλ,,)，学科网（北京）股份有限公司 又CP=−(1,0,1)，∴CH=+CPPH=−−−+(λ1,λλ,1)，设CH与平面ACF所成角θ，nCH⋅1−−+−λλλ226则sinθ=cosnCH,===，nCH2226611×−++−(λλλ)()21整理得3λλ−+=410，解得λ=1或λ=，3222当λ=1时，PH==++=PB1113，113当λ=时，PH=PB=，333303故在线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为，PH=3或PH=.63222221.（12分）解：（1）由xy++22x−=100，得(xy+2)+=12，故C(−2,0)，半径QC=23由题意知，QP=QF∴+=+=>QCQFQCQP2322∴对Q的轨迹是以C、F为焦点的椭圆.22xy设椭圆方程为+=>>10(ab)22ab则a=3，c=2，b=12x2所以椭圆方程为+=y1；322（2）由（1）得，曲线为xyx+=>10()，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，由对称性可设直线MNy:=kxmkm+<,0()22mxyx+=>1022由直线MN与曲线()相切可得=1，所以mk=+1，2k+1学科网（北京）股份有限公司 y=kxm+222联立x2可得(13+k)x+6kmx+3m−=30，2+=y1326km33m−所以xx12+=−2，xx12⋅=2，13+k13+k2222226km3m−3224k所以MN=+⋅+−⋅=+1k(x12x)41xx12k−22−⋅4=+⋅1k2=3，13++kk1313+k2化简得2310(k−=)，所以k=±1，k=1k=−1所以或，所以直线MNy:2=−x或yx=−+2，m=−2m=2所以直线MN过点F(2,0)，所以M，N，F三点共线.21lnxxx+ln−122.（12分）解：（1）当a=−时，函数fxx()=−(x>⇒0)fx′()=2，2xx2易知gxx()=+−lnx1在定义域上单调递增，且g(10)=，所以当x∈(0,1)时，gx()<⇒00fx′()<，即此时fx()单调递减，当x∈(1,+∞)时，gx()>⇒00fx′()>，即此时fx()单调递增，故fx()在x=1时取得极小值，f(11)=；22lnaxx−+2lnaxa2（2）由fxx()=+⇒fx′()=，2xx2令fx′()=0，即x−2lnaxa+=20，x，x是方程2由题意可知12x−2lnaxa+=20的两个根，2x−2lnaxa+=20则11，2x−2lnax+=2a022欲证fx(1)+>+fx(2)4(xx12)fx(12)+fx()由于x1>0，x2>0，只需证>4，xx+12学科网（北京）股份有限公司 222lnax2lnaxx++2ax2a1212xxxx++++++1212xxxx2a即证，1212==24+>xx++xxxx121212即证axx>12，2222xa−令hxx()=−2lnaxax+2(>⇒0)hx′()=，x若a≤0，hx′()>⇒0hx()定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去；则a>0，可知在xa∈(0,)时，hx′()<⇒0hx()单调递减，在xa∈(,+∞)时，hx′()>⇒0hx()单调递增，3要符合题意则需ha()=3aaa−ln<⇒∈0a(e,+∞)，又x→0时，hx()>0，x→+∞时，hx()>0此时不妨令0<<<xax，12a构造函数Hxhxh()=()−(0<<xa)x2a22−a2222xa2−xa2(xa−)⇒=Hx′()+=≥0，xaxx23xa即Hx()在定义域内单调递增，即HxHa()<()=0⇒<hxh()，xa所以hx()=hx()<h，12x1a因为0<<<xax，所以>a，12x1a且在xa∈(,+∞)时，hx()单调递增，故x2<⇒<xx12a，得证.x1学科网（北京）股份有限公司