2024年普通高等学校招生“梯期杯”统一考试数学试题

T7UNION绝密★启⽤前2024年普通⾼等学校招⽣“梯期杯”统⼀考试数学⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题分，共540分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⺫要求的。π1.集合M=x≤|sin(πx)≤1，N={y|y=x2−2x}，则M∩N={2}ππA.[−1,]B.[−1,0)C.[−1,0]D.[0,]222.若直线y=(a−4)x+a与圆x2+y2=16相切，则a=46868A.4B.C.4或D.1515153.已知向量a=(2,−3)，b=(1,−1)，若与的夹ab⾓为，则αsin2α=5555A.B.−C.D.−262613134.若函数f(x)=sin2x−sinx+ax单调递增，则的取值范围为a3333A.[−3,+∞)B.[−,+∞)C.[,+∞)D.[3,+∞)16165.如图，概念型超⾳速客机“T7号”平⾏于地⾯进⾏超低空飞⾏，在冲破⾳障的⼀瞬间形成了⾳爆云（飞⾏器超⾼速飞⾏时形成的形状像是⼀个以物体为中⼼轴、向四周均匀扩散的圆锥状云团），该圆锥状云团的底⾯⊙O与地⾯垂直，⾼为H⽶，⾳爆云与地⾯接触位置形成的曲线为，的离EE⼼率为，上距离飞机尾部最近的点到eE⾳爆云底⾯的距离为，则h“T7号”的飞⾏⾼度为e2−1e2+12−1(H−h)D.e2+1(H−h)A.(H−h)B.(H−h)C.eee试卷第页（共112页） T7UNION6.⼀个旅⾏团计划前往某个国家旅游，该国有A,B,C,D,E,F,G,H共8个景点供游客选择。团队决定按照以下要求进⾏安排：⾸先选择3个不同的景点作为主要景点，然后在剩下的景点中选择2个不同的作为备选景点。其中A、B景点不能作为主要景点，C景点不能作为备选景点，则不同安排的⽅式共有A.80种B.90种C.160种D.180种7.定义：[x]表⽰不超过x的最⼤整数，例如[1.2]=1，[−3.1]=−4，已知数列{an}满⾜a1=1，an=log2(n+1)，数列{bn}=[an]的前n项和为Sn，若Sn≤2024，则n的最⼤值为A.254B.314C.320D.51018.设锐⾓△ABC的⾯积为S，若2S=b2，则tanB+tanAtanC的最⼩值为991625A.3B.C.D.499⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⺫要求。全部选对的5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.已知复数z为⽅程z2+2z+2=0的⼀个根，则z的可能取值有A.1−iB.−1+iC.1+iD.−1−i10.已知随机事件A、B满⾜P(A|B)=P(A|B)，则P(AB)<P(AB)的充分条件是A.P(B|A)<P(A|B)B.P(AB)<P(AB)C.P(A|B)>P(A|B)D.P(A|B)<P(A)11.平⾏六⾯体ABCD−A1B1C1D1中，外接球半径为4，点P满⾜C1P=λPD1，则A.AC1=BD1B.DP+B1P>8C.若λ=1，则DP⋅B1P的最⼤值为32D.若λ=2，则sin∠B1PD>sin∠A1PD12.已知数列{an}满⾜an+1=an+sinan，则下列说法中错误的是A.数列{an}为递增数列B.对∀m∈N*，都有am+1≥am≥am−1C.若正整数m满⾜am+1+am−1<2am，则am+2+am<2am+1kD.当a1≠π（k∈Z）时，存在a1与正整数m使得am+1+am−1=2am2试卷第2页（共12页） T7UNION三、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。13.⼀个数字序列的每⼀项都是前两项的和，若该序列的第⼀项是1，第⼆项是3，则该序列的第五项为________.14.若函数f(x)=|x2+2ax−a|在区间[−1,1]上的最⼤值为6，则a=________.15.甲、⼄、丙三⼈按照“甲最先扔、⼄之后扔、丙最后扔”的顺序依次轮流扔骰⼦。若第⼀个扔出3的⼈获胜，则丙获胜的概率为________.x2y216.已知双曲线C:−=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点P在C的右a2b2⽀上，且恒有2∠PAF2=∠PF2A，过点P的直线l1平分∠F1PF2，过O（O为坐标原点）作l2平⾏于l1交|F1F2|直线PF1于点N，=________.|NP|四、解答题：本题共6⼩题，共70分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）当代⾼中⽣因课程压⼒⼤，需要⾯对繁重的学习任务，应对社交压⼒和家庭期望，这些压⼒导致他们出现焦虑、抑郁、失眠等⼼理问题，长期的课程压⼒和⼼理压⼒会导致⾼中⽣的⾝体机能逐渐减弱，下图为某校对在校某⼀班的学⽣视⼒和体能的调查报表：视⼒分布体能视⼒极差较差正常较好极差1011较差021b体能分布正常28101较好0a154由于部分数据的丢失，仅知道该班共计40位学⽣，且学⽣体能在正常及以上的概率为.5（1）求a，b的值；（2）从40名学⽣中抽取3名学⽣；（i）求⾄少有⼀名学⽣视⼒或体能较好的概率；（ii）若这3名学⽣中视⼒或体能正常及以上的学⽣⼈数为ξ，求随机变量ξ的数学期望.试卷第3页（共12页） T7UNION18.（12分）π记△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，A=，AC与⊙O相切于点C，B在⊙O上，AB的延6长线与⊙O交于D点.（1）若⊙O的半径为1，BD=3，求b；（2）若c=2，当b最⼤时，求∠BOC.19.（12分）已知数列的各项均为正数且，2=na2.{an}a1=22an+1an+(n+2)ann+1（1）求an；（2）求数列na的前n项和S.{2n}n20.（12分）在棱台ABC−A1B1C1中，△AA1C1为边长为1的正三⾓形，且AB⊥AA1，点P、Q分别为A1C1、B1C1的中点，点M满⾜MB=B1M.A（1）求⼆⾯⾓A1−AB−C1的正弦值的最⼤值；（2）若AC=2AB1，求平⾯AB1C1与平⾯PQM夹⾓的取值范围.BCA1·PB1·C1Q试卷第4页（共12页） T7UNION21.（12分）抛物线E:y=−x2+m与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点D，点B在E上，且点B在x轴上⽅.（1）若m=1，点B在A与D之间运动，求AB+BD的最⼤值；π（2）若点C在抛物线上且在x轴上⽅，∠BAD+2∠CAD=，过B作AC的垂线交E于点M，证明：2A，B，M，C不可能四点共圆.22.（12分）已知函数f(x)=(a−x)eax+x+a有且仅有两个零点x,x（x<x）.1212（1）求a的取值范围；ex1（2）设g(x)=，若g(x1)+g(x2)≥，求b的取值范围.2(1+x)1+bx1x2试卷第5页（共12页） T7UNION2024年普通⾼等学校招⽣“梯期杯”统⼀考试数学试题参考答案选择题题号123456789101112答案ACCCCCBCBDBCABDABC填空题题号131415167525答案11或−43391427+a17.（1）依题：=，∴a=5，又40=a+b+33，∴b=2.540C337925（2）（i）记事件A为“⾄少有⼀名视⼒或体能较好的学⽣”，则P(A)=1−=.C349440C3⋅C01337（ii）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，∴P(ξ=0)==，C3988040C2⋅C1111C1⋅C2999C3⋅C0777337337337P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，C39880C34940C3988404040∴ξ的分布列为：ξ01231111999777P9880988049409881111999777111∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.98809880494098840试卷第6页（共12页） T7UNIONOB2+BD2−OD2318.（1）记OC交BD于M，当M在线段CO上时，cos∠OBD==，2OB⋅BD2ππππππ∴∠OBD=，又∠CMA=−∠A=，∴∠MOB=−=，623366OB11∴MO=MB==，∴MC=r−OM=1−，∴b=3MC=3−1；333OB11当M在线段CO延长线上时，OM==，CM=CO+OM=+1，333AC=3CM=3+1；综上：b=3±1.（2）由⼏何关系得：AC2=AB⋅AD，即b2=2AD，当b取最⼤值时，AD取最⼤值，即A、B、ππD、O共线时，∠COB=−∠COA=.2319.（1）∵2aa+(n+2)a2=na2，∴(a+a)[na−(n+2)a]=0，∵a,a>0，n+1nnn+1nn+1n+1nnn+1an+1n+2∴=，annanan−1an−2a4a3a2n+1nn−1543∴⋅⋅…⋅⋅=⋅⋅⋯⋅⋅，an−1an−2an−3a3a2a1n−1n−2n−3321an(n+1)n∴=，又a1=2，∴an=n(n+1).a12（2）令b=2na=n(n+1)⋅2n，则nnS=a⋅21+a⋅22+a⋅23+⋯+a⋅2n−2+a⋅2n−1+a⋅2n，n123n−2n−1n2S=a⋅22+a⋅23+a⋅24+⋯+a⋅2n−1+a⋅2n+a⋅2n+1，n123n−2n−1n作差得−S=2a−a⋅2n+1+(a−a)⋅22+(a−a)⋅23+⋯+(a−a)⋅2n−1+(a−a)⋅2n,n1n2132n−1n−2nn−1令d=(a−a)⋅2n=n⋅2n+1，设d前n项和为T，则n−1nn−1nnT=2⋅23+3⋅24+4⋅26+⋯+(n−2)2n+n⋅2n+1，n−1⋅2T=2⋅24+3⋅25+4⋅26+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2，n−1两式作差得−T=2⋅23+24+25+⋯+2n+2n+1−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2，n−1∴T=(n−1)⋅2n+2=d+d+⋯+d，n−112n−1∴−S=2a−a⋅2n+1+(n−1)⋅2n+2=(−n2+n−2)⋅2n+1+4，n1n∴S=(n2−n+2)⋅2n+1−4.n试卷第7页（共12页） T7UNION20.（1）作AH⊥AB且H⊂⾯ABC，作AG⊥⾯ABC且G在⾯ABC上⽅，以(AH.AB.AG)为⼀组基底建⽴空间直⾓坐标系，又M为BB1中点，PQ=λA1B1，QM=μBC1，设A(0,0,0)，B(0,b,0)，x2+y2=|AA|2=1A1(x,0,z)，∴1，由棱台A1B1C1−ABC：△A1B1C1∼△ABC，{z≠0A1B1A1C1A1B1设===k（k∈(0,1)∪(1,+∞)），∴B1(x,kb,z)，设C1(m,n,z)，ABACABm−xnm2+z2+n2=|AC|2=1122|2∴C(,,0)，∴，又x+y=|AA1=1，kk{(m−x)2+n2=|AC|2=11111∴m2=x2+−1，n2=1−，z2=1−x2，∴n2≥0，z2>0，∴x2∈[,1)，4x24x24又AA1=(x,0,z)，AB=(0,b,0)，AC1=(m,n,z)，设⾯ABA1的法向量为d1，⾯ABC1的法向量为d1⋅AA1=0d2⋅AB=0d1=(z,0,−x)d2，由，，取，d1⋅AB=0d2⋅AC1=0d2=(−z,0,m)记⼆⾯⾓A1−AB−C1为α，cosα=cos<d1,d2>，21−x2+x2−1z+mx2∴cos<d1,d2>===x，z2+x2z2+m214x23∴sinα=1−cos2α=1−x2≤.211（2）AC2=(m2−2mx+n2+x2)=，AB2=x2+k2b2+z2=1+k2b2，k2k211111∴=4+4k2b2，−4>0，∴k∈(0,)，kb=−1+，记为t=−1+，k2k224k24k2依题意：AB1=(x,t,z)，B1C1=(m−x,n−t,0)，PQ//AB，AB=(0,b,0)，QM//BC1，BC1=(m,n−b,z)，设⾯AB1C1与⾯PQM的法向量为d3，d4，d3⋅AB1=0d4⋅PQ=d4⋅AB=0∴，∴，d3⋅B1C1=0d4⋅BC1=d4⋅OM=0取d3=(z(t−n),z(m−x),xn−tm)，d4=(−z,0,m)，设⾯AB1C1与⾯PQM的夹⾓为β，t1|−n|4x222132|cosβ|=|cos<d3,d4>|=，又n=1−∈[0,)，∴3−4n∈(0,3],4x241t23||−tn+2x4x24试卷第8页（共12页） T7UNION|(1−n2)t−1n|221cosβ=，记s=|(1−n)t−n|，(1−n2)t2−tn(1−n2)+3(1−n2)24s2s2n3cos2β=∈[,1)，当t=时，k=0，当|n|→时，cosβ→1，23−4n2s2+32(1−n2)2s+44π∴|cosβ|∈[0,1)，sinβ∈[0,1)，∴β∈(0,].221.（1）A(−1,0)，D(1,0)，设B(x,1−x2)，其中x∈(−1,1)，000|AB|+|BD|=(x+1)2+(x2−1)2+(x−1)+(x2−1)20000设f(x)=(x+1)2+(x2−1)2+(x−1)2+(x2−1)2,x∈(−1,1)，易得f(x)=f(−x)，有f(x)<2.(x+1)2+(x−1)2+2(x2−1)2=2⋅2x4−2x2+4，当且仅当x=0取等，令t=x2,t∈(0,1),g(t)=2t2−2t+4，则g(t)<g(0)=g(1)=4，f(x)<2⋅g(0)=22，那么|AB|+|BD|的最⼤值为22.（2）A(−m,0)，D(m,0)，设B(x,m−x2)，C(x,m−x2)，M(x,m−x2)，112233∴kAB=m−x1，kAC=m−x2，kMC=−x2−x3，∵AC⊥BM，∴kACkMB=−1，πk2−1AC∴(x2+x3)(m−x2)=1，∵∠BAD+2∠CAD=，∴kAB=，22kAC∴2(m−x)(m−x)=x2−2mx+m−1，又∴(x+x)(m−x)=11222232∴x2+xx+mx−mx−xx−m=0，∴x−m=x+x，此时k=k，2231312123ABMCkAB−kAC若A，B，M，C共圆，根据圆周⾓定理∠BAC=∠BMC，由倒⾓公式tan∠BAC=，1+kABkACkMB−kMCkMC−kACtan∠BMC=，因为kAB=kMC，kMB⋅kAC=−1，∴tan∠BAC=，1+kMBkMC1+kMCkAC1+kMCkACkAB−kACtan∠BMC=，又∠BAC=∠BMC，∴tan∠BAC==1，kMC−kAC1+kABkACπππ∴∠BAC=，又∠BAD+2∠CAD=，∠CAD=，∠BAC=∠CAD⽭盾，∴A，B，M，424C不可能四点共圆.试卷第9页（共12页） T7UNION22.（1）a=0，f(x)=0，f(x)有⽆数个零点；a≠0时，f(x)=(a−x)eax+x+a，2f′(x)=(−ax+a2+1)eax+1，f′′(x)=a(a2−2−ax)eax，f′′(x)=0，则x=a−，00a∴a>0时，f′(x)在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减；a<0时，f′(x)在(−∞,x0)上单1调递增，在(x,+∞)上单调递减；又f′(x)=eax0+1>0，∴a>0时，若x<−，00a则f′(x)>a2eax+1>0，若x>a，则f′(x)<1−eax<0，∴∃x∈(x,a)使得f′(x)=0，10mf(x)在(−∞,x)上单调递增，在(x,+∞)上单调递减；f(a)=2a>0，令A(x)=ex−x−1，mmA′(x)=ex−1，当x≥0时，A′(x)≥0，A(x)单调递增，当x<0时，A′(x)<0，A(x)单调递减，∴ex≥x+1，f(a+2)=−2(ea(a+2)−a−1)<−2(a2+a)<0，∴∃x∈(a,a+2)，221f(−a)=2ae−a>0，f(−a−2)=2[(a+1)e−a(a+2)−1]<2(−1)<0，a+11∴∃x∈(−a−2,−a)，∴f(x)有两个零点；∴a<0时，若x>−，则f′(x)>a2eax+1>0，1a若x<a，则f′(x)<1−eax<0，∴∃x∈(a,x)使得f′(x)=0，f(x)在(−∞,x)上单调递增，n0nn在(xn,+∞)上单调递减，f(0)=2a<0，f(a−2)>0，f(2−a)>0，∴∃x1∈(a−2,0),x2∈(0,2−a)，∴f(x)有两个零点；综上：a∈(−∞,0)∪(0,+∞).ax1−ax1x1−a（2）考虑证：x1+x2=0，∵(a−x1)e+x1+a=0，e=，x1+a∴[a−(−x)]ea(−x1)+a−x=0，x=x⋅(−1)，x+x=0，1121121∴g(x)+g(−x)−≥0，∵x≠−1，∴(a+1)e−a+a−1≠0，111−bx21a+1aa+1令h(a)=+a−1，h′(a)=1−>1−≥0，∴h(a)在(−∞,+∞)上单调递增，eaeaeaexe−x1∵h(0)=0，且a≠0，∴h(a)≠0，x1≠−1，原式即+−≥0（x<02(1+x)2(1−x)1−bx2ax1x1+a22x1+a且x≠−1）；又e=（x1−a>0），即F(x1)=ax1−ln()=0，x1−ax1−ax1+ax1−ax1−a考虑证若ax1−ln()=0，则−ax1−ln()=0：即ax1+ln()=0，与x1−ax1+ax1+ax1+aax1−ln()=0等价，得证；x1−a2∴只需a>0：x<−a（x2−a2>0），F′(x)=a(+1)>0，F′(x)在(−∞,−a)上单调递111x2−a211增，又a⾜够⼤时，x1可取到⾜够⼩，故只需分析x1上界的存在性（x1<c或x1≤c），试卷第10页（共12页） T7UNIONc+ac+aac−ln()≥0对∀a成⽴，记为H(a)=ac−ln()，c−ac−a2cc2−a2−2cc则H(0)=0，H′(a)=c−=c()=(c2−a2−2)，<0，(c+a)(c−a)c2−a2c2−a2c2−a2若c2−2≤0，则H′(a)≥0，∴H(a)≥H(0)=0，符合题意，∴c2≤2，∴c=−2，min若c2−2>0，则a∈(0,c2−2)，∴H′(a)<0，∃x∈(0,c2−2)使得H(x)<0⽭盾，bba−2∴c≥−2⇒x1≤−2，又x1=−2时，记G(a)=−2a−ln()，−a−22222a2G′(a)=−2−=−2(1+)=−≥0，且G(0)=0，即a=0，a2−2a2−2a2−211又a≠0，∴x<−2；若b>0，则1−bx2≤0，分离参数得b≥()，即b≥；1x2max211下证：b≥符合题意，1−bx2≤1−x2<0，22exe−x1exe−x(1−x)ex+(1+x)e−x+−>+=，2(1+x)2(1−x)1−bx22(1+x)2(1−x)2(1−x2)记上式为②式，由上可得：N(x)=(1−x)ex+(1+x)e−x=φ(x)+2，在x∈(−∞,0)上单调递增；且N(x)<N(−2)=(1+2)e−2+(1−2)e2=e−2[(1+2)−(2−1)e22]<0；11−x2<1−2<0，∴②>0，∴b≥符合题意；2(1−bx2)[(1−x)ex+(1+x)e−x]−2(1−x2)]若b≤0，不等式即≥0，2(1−x2)(1−bx2)即2(x2−1)+(1−bx2)(1−x)ex+(1−bx2)(1+x)e−x≤0对∀x<−2成⽴，11记为A(x)=t(b)≤0，由A(−2)≤0得：b≤+=b0<0，21+2+(1−2)e2e2t′(b)=−x2N(x)>0，A′(x)=4x+x(bx2−2bx−2b−1)e−x+x(bx2+2bx−2b−1)ex，A′(x)记P(x)=，P′(x)=ex(bx2+4bx−1)+e−x(−bx2+4bx+1)，x又x<−2，∴e−x>ex，−bx2+4bx>0，bx>0，∴e−x(−bx2+4bx+1)>ex|bx2+4bx−1|，∴P′(x)>0，∴P(x)<P(−2)<0，∴P′(x)=xP(x)>0，∴P(x)<P(−2)=0；111综上：b∈(−∞,+]∪[.1)∪(1,+∞).21+22+(1−2)e2e2试卷第11页（共12页） T7UNION题号试题难度1★2★3★4★5★6★★7★★8★★★★9★10★★11★★★12★★★★13★14★★★15★★★16★★17★18★★★19★★★20★★★★★21★★★★22★★★★★试卷第12页（共12页）