湖北省武 2024届高三上学期12月月考数学试卷（Word版附答案）

湖北省武昌实验中学高三年级12月月考数学试卷命题教师：考试时间：2023年12月12日下午15:00—17:00一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则（）A.B.C.D.2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则＝（）A．B．C．D．3．已知椭圆的离心率为，则（）A．2B．C．D．4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A．B．C．D．5．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则直线l的斜率为（）A．B．1C．D．26．是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（）A.B.C.D.7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时， ．若，则的值是（）A.B.C.2D.128．已知函数的一个对称中心为，现将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在上单调递减，则可取值为（）A．B.C．2D．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知事件A，B满足，，则（）A．若，则B．若A与B互斥，则C．若，则A与B相互独立D．若A与B相互独立，则10．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是（）A．M，N，A1，B四点共面B．C．过点A1，B，N的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形D．过MN作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A.B.C.是数列中的最大项D.12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（   ） A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中的常数项为．14．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为__________．15．已知曲线y＝lnx与y＝ax2（a＞0）有公共切线，则实数a的取值范围为_________．16．a,b,c分别是内角A,B,C的对边，，，则面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，（），函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域．18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.DPCBA（1）证明：；（2）若，，求点到平面的距离． 19．已知数列中，，设为前n项和，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为．经计算，，．（1）求；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩　不合格的人数为，求的分布列；（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．附：若～，则，，．21．已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若有两个不同的零点且，求实数的取值范围. 22．已知是椭圆上关于原点对称的两点，且，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P、N，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．高三年级12月月考数学参考答案一．单选题1-8.ADCDBBBD二．多选题9.BD10.BCD11.BC12.ACD三．填空题13.【答案】-16014．【答案】15．【答案】16.【答案】．四．解答题17.(1)由已知.---------3分当时，，令，解得：， ∴函数的单调递增区间为；---------5分(2)由（1）知，令，得，所以，.当最小时，不妨取，，即，，则.因为，则，故.---------8分因为，所以，，所以函数在上的值域为---------10分18.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，由，，，可得，所以，又，所以，所以，即为中点，在等腰中，可得，在等腰中，，又，所以平面，又平面，所以．（2）方法一：（对角线交点建系法）由（1）可得，，又，，所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，，如图，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系． 可得，，，，，（或）又，（或，）设平面的法向量，可得，不妨令，可得，所以，故点到平面的距离为．方法二：（等体积转化法）设点到平面的距离为，可得，由（1）可得，，又，，所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，，，作中点，连接，由于，所以，，所以，所以，所以于是，代入可得，所以点到平面的距离为．19.(1)数列中，，为前n项和，当时，，，当时，①， ②，由②-①得：，，即，当时，，---------3分递推可得：，…，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时，符合上式，所以；---------6分(2)由（1）可知，，所以：，---9分所以；所以数列的前n项和.---------12分20.【解析】（1）．（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3．因为，，，．所以的分布列为 0123（3）因为，，所以，．因为，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为～，所以．21．【答案】(1)(2)【详解】（1）的定义域为.令，得，令，则，令，可得，当时，；当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，所以.（2），两式相减，得.令，则，故，记，则，构造函数，，所以在上递减，由于， 所以当时，，所以，所以函数在区间上单调递减，故，即，而，在区间上单调递减，故，即.22.解：（1）设，易知，由，得，化简得，故椭圆的标准方程为.……4′(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，设，则.设直线PN的方程为，由，得，恒成立.……6′又，，……10′要使其值为定值，则， 故当，即时，综上，存在这样的稳定点,即椭圆的焦点为稳定点.……12′