四川省宜宾市叙州区第一中学2024届高三上学期一诊模拟数学试题（文）试题（Word版附解析）

叙州区一中高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接由复数的减法运算求解即可.【详解】.故选：D.2.已知集合，，若，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.【详解】已知，，且，所以.故实数的取值范围为，故选B.【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.3.给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据常见函数的单调性即可求解. 【详解】和在上是增函数，和在上是减函数，故选：C4.若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（）A.B.C.或D.或与相交【答案】D【解析】【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.【详解】由可得或与相交，比如在正方体中，平面平面，平面平面，则平面平面，又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，故选：D5.求值（）A.8B.9C.10D.1【答案】B【解析】【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可. 【详解】因为，，所以，故选：B.6.设函数的导数为，且，则（）A.0B.4C.D.2【答案】C【解析】【分析】可先求函数的导数，令求出即可.【详解】由，令得，解得.故选：C.7.将函数的图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（）A.B.的图象关于对称C.D.的图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，可得，所以A不正确； 由，所以的图象关于对称，所以B正确；由，所以C不正确；令，可得，可得不是函数的对称轴，所以D不正确.故选：B.8.已知，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化切代入求值．【详解】由得，．故选：D．9.已知函数在处有极值，则等于（）A.B.16C.或16D.16或18【答案】A【解析】【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.详解】，若函数在处有极值8， 则且，即，解得：或，当时，，此时不是极值点，故舍去，当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故，故选：A10.若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为A.B.C.D.不确定【答案】C【解析】【分析】求导后，讨论函数的单调性，结合零点存在性定理即可判断.【详解】因为函数，所以，若，则，此时函数单调递增，不满足条件；若，由，可验证是函数的两个极值点，若函数恰有两个不同的零点，则或，因为，所以，即，解得故选：C． 11.在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为.A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.12.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数和一次函数的单调性，根据 的取值范围，判断函数的单调性，或者，通过求导的方式，判断单调性，进而求出最值.【详解】，，∴.当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.故选：A.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则____________．【答案】【解析】【分析】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可.【详解】当时，的值与无关，且，故，设将代入，解得，故故答案为：14.若，，则的值为__________．【答案】【解析】【详解】分析：解方程，求出 ，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简得到关于的表达式，代入求值即可.详解：由，，得到，由得，又即答案为.点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.15.函数，若，则________．【答案】3【解析】【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，∴，所以．故答案为：3.16.在中，，角平分线交BC于D，则_________．【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知，且是第二象限角.（1）求的值； （2）求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意结合同角三角函数基本关系可得.则.（2）化简三角函数式可得，结合(1)的结论可知三角函数式的值为.【详解】（1）∵是第二象限角，∴，∴..（2）∵，∴.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；（2）根据（1）得，利用三角形面积公式得，再利用余弦定理即可.【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理，设，则，带入，化简得，因为， 所以；（2）由（1）可知，，，又，所以，解得.在△ABC中，由余弦定理，即，解得.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.19.已知函数在处取得极大值.（1）求的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）最大值是，最小值是【解析】【分析】（1）根据得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到；（2）先求出上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值.【小问1详解】，则，由题意知，即，解得，此时，时是变号零点.于是符合题意【小问2详解】由（1）知，，， 令，得到，则递增；令，得到，则递减，于是在上只有极小值，又，故在区间上的最大值是，最小值是20.如图（1）示，在梯形中，，，且，如图（2）沿将四边形折起，使得平面与平面垂直，为的中点．（1）求证：面（2）求证：；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据线线平行即可求证；（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而由线线垂直证明线面垂直即可求证；（3）根据等体积法即可求解.【小问1详解】∵，，又∵平面，且平面，∴平面； 【小问2详解】∵平面平面，由已知条件可知，，平面平面，平面，平面，∴平面平面．取的中点，连接、，在中，∵，为的中点，∴．在中，∵又∵平面平面平面，又∵平面,平面，又∵平面【小问3详解】由（2）平面平面,设点到平面的距离为，由得，故点到平面的距离为.21.已知函数（1）求f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个零点的极值点为t，是否存在a使得？若存在，求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(0,)上单减，(,+∞)上单增；（2）见解析 【解析】【分析】（1）求出，由得增区间，由得减区间；（2）由于存在两个零点，且有一个极值点，因此时，从而可得，接着由极值点与的大小分类讨论.【详解】(1)，所以在(0,)上单减，(,+∞)上单增；(2)由题意知:时，且，，①当时，所以所以,该方程无解、②当时，在(0,1)上单减，上单增，只有唯一-零点,故不成立③当时:,则有令，所以单增，又，所以，不符合题意综上所述，不存在满足条件的.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，研究函数的零点．难点在于分类讨论，在研究函数存在两个零点问题时，要根据极值点与已知零点1的大小关系分类讨论，从而确定较大的零点是哪一个，是否满足.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆.（1）求圆的极坐标方程；（2）若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点为圆上任意一点，利用中三角函数可建立关系，即可得解；（2）由三等分点确定极角，代入圆的极坐标方程求解即可.【小问1详解】设点为圆上任意一点，则，在中，.∴圆的极坐标方程为.【小问2详解】圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别，代入圆的极坐标方程中，∴圆左上半圆弧的三等分点分别为[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数.（1）若不等式恒成立,求的取值范围;（2）当时,求不等式的解集.【答案】（1）或（2）.【解析】【分析】（1）利用不等式的性质得，所以不等式恒成立,可以转化为，解绝对值不等式即可得到的取值范围；（2）先把函数写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.【小问1详解】由于， 所以，解得或．【小问2详解】，原不等式等价于，或，或，