四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高三一模数学（理）试题（二）（Word版附解析）

三台中学高2021级高三上期数学（理科）一诊模拟试题（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.【详解】由解得，所以，所以，故选:C.2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，，故C错误，对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确，故选：D 3.已知等差数列，其前n项和满足，则（）A.4B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.【详解】是等差数列，其前n项为，，，.故选：A.4.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是 （℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：，.A.3.048分钟B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，，，，代入公式得：（分钟），故选：C.6.已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出为真命题时的范围，进而根据中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p为真，则，若为真，则，由于为真命题，为假，则中一真一假若真假，则满足：； 若真假，则满足：，此时无解，综上故选：A7.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D.即可得到答案.【详解】对于，定义域为关于原点对称.因为，所以是偶函数，排除B.当时，，排除C； 当时，，，；排除D.故选：A.8.已知函数在处取得极小值10，则的值为（）A.－1B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】题意说明，，由此可求得的比值．然后代入检验1是极小值点．【详解】，由题意，解得或，若，，不是极值点，舍去．时，，时，，或时，，是极大值点，是极小值点，满足题意．∴．故选：C．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值．掌握导数与单调性的关键是解题关键．有已知极值求出参数时需要进行检验，检验该参数值时题中极值点是否满足．9.计算（）A.1B.﹣1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值 【详解】故选：B10.若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为，则有，∵，∴，，（当且仅当时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内零点个数为（） A.14B.13C.12D.11【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且，在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图，由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，观察图象知，函数的图象在内有12个交点，所以函数在内有12个零点，C正确.故选：C12.函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.【详解】设，，所以函数在上为增函数．由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以，即故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若实数满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小值，故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14已知向量，且，则___________．【答案】##【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算，得到，再利用模的坐标公式求． 【详解】已知向量，，，，，解得，，．故答案为：．15.设函数，则使得的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】因为，则，所以，即为偶函数，当时，单调递增，根据偶函数的对称性可知在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由可得，两边同时平方可得，，解得，所以的取值范围是．故答案为：．16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17设函数．（1）求函数的单调递增区间及对称中心；（2）当时，，求的值．【答案】（1）单调递增区间是；，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算．【小问1详解】由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是；令，，解得：，，此时函数值为，所以对称中心为，．【小问2详解】 ∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．18.在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，因为，，成等差数列，所以即， 因为，，所以，解得或（舍去），所以，，由可得，解得，所以；【小问2详解】因为，所以，所以19.在中，角的对边分别为，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以； 【小问2详解】解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为20.已知函数，其中a是正数．（1）讨论的单调性；（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【小问1详解】因为，所以．①当时，，在上严格递增；②当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；③当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；【小问2详解】由（1）可知①当时，，在上严格递增，此时在上的最大值为； ②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值只有可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时；③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时，由①②③得，，∴满足条件的a的取值范围是．21.已知函数（为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成恒成立，再通过参变分离转化成最小值问题.【小问1详解】 有两个零点，关于的方程有两个相异实根，，有两个零点即有两个相异实根.令，则，得，得在单调递增，在单调递减，，又当时，，当时，，当时，有两个零点时，实数的取值范围为；【小问2详解】，所以原命题等价于对一切恒成立，对一切恒成立，令，令，则 上单增，又，使，即①，当时，，即在递减当时，，即在递增，由①知，，函数在单调递增，即实数的取值范围为.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.（二）选考题：共10分．考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框．22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.【答案】（1）（），；（2）.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程消参，即可得直线的普通方程，要注意；将曲线的极坐标方程两边同乘，再将，代入，即可得曲线的直角坐标方程；（2）先将直线的直角坐标方程化为极坐标方程，再将（）代入直线和曲线的极坐标方程中，可得点，对应的极径，利用计算，即可求解.【详解】（1）由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为（）.由得，将，代入上式，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知直线的普通方程为（），化为极坐标方程得（），当（）时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23.已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为m，正实数a，b满足，试求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简函数，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用绝对值三角不等式求出最小值，再利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】（1）依题意得，因为，所以，或，或，解得，或，或.所以，即不等式的解集为.（2），当且仅当，即时取等号.则，，因为，，所以， 当且仅当，且，即，时取等号，所以的最小值为.