安徽省黄山市“八校联盟”2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

黄山市“八校联盟”2022~2023学年度第一学期期中考试高二数学试卷考生注意：1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.1.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（）A.2B.6C.4D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程可得，再由椭圆定义即可求得结果.【详解】根据椭圆方程为可知，椭圆焦点在轴上，且，即，由椭圆定义可知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.故选：B2.直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直线方程为斜截式即得．【详解】直线的一般式为，其斜率为．故选：B．3.古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长 的乘积，则椭圆的面积为（）A.30B.120C.D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求出，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积.【详解】因为，，所以椭圆的面积为．故选：C4.在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（）A.1B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可.【详解】因为，所以，即．因为M平面ABC上一点，所以，所以．故选：A.5.直线被圆截得的弦长为（）A.2B.C.4D.【答案】C【解析】【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.【详解】圆，所以圆心，半径，所以弦心距为，所以弦长为， 故选：C6.如图所示，在几何体ABCDEF中，，，，，，平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质可得，又，建立如图空间坐标坐标系，利用向量法即可求出空间中的线线角.【详解】由题意知，因为平面，平面，所以，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，．所以，，所以，故异面直线EF与AB所成的角为．故选：A. 7.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.【详解】入射光线所在的直线方程为，即，联立方程组解得即入射点的坐标为．设P关于直线对称的点为，则解得即．因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在的直线方程为，即．故选：D8.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）AB.2C.D.3【答案】A【解析】【分析】设直线：，半圆：，则问题转化为原点到直线的距离 大于或等于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.【详解】解：设直线：，半圆：，则表示半圆弧上任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于．由，解得，即实数的最大值是．故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆，则（）A.的焦点坐标为B.的长轴长为8C.的短轴长为6D.的一个顶点为【答案】BC【解析】【分析】根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则，对于A中，由椭圆的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，由椭圆的长轴长为，所以B正确；对于C中，由椭圆的短轴长为，所以C正确；对于D中，顶点坐标和，所以D错误.故选：BC.10.如图，在正三棱柱中，若，则（） A.三棱锥的体积为B.三棱锥的体积为C.点C到直线的距离为D.点C到直线的距离为【答案】AC【解析】【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出在上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD.【详解】三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确；取AC的中点O，则，，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，所以，， 所以在上的投影的长度为，故点C到直线的距离，故C正确，D错误.故选：AC.11.已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点B.对任意λ，直线l与圆C相交C.若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为D.对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1【答案】AB【解析】【分析】对A：根据直线过定点运算求解；对B：先判断定点与圆C的位置关系，进而确定直线l与圆C的位置关系；对C：先求圆心到直线l的距离，再根据垂径定理结合基本不等式求弦长的取值范围；对D：根据圆心到直线l的距离的取值范围，分析判断.【详解】对A：整理直线l的方程，得，令，解得，可知l过定点，故A正确；对B：将代入圆C的方程，得到，可知点在圆C内，所以对任意λ，直线l与圆C相交，故B正确；对C：圆C：的圆心，半径，因为圆心到直线l的距离，所以，∵，则，当且仅当，即时等号成立， ∴，则，所以的最大值为4，故C不正确；对D：因为圆心与点之间的距离为，则圆心到直线l的距离，当时，即，则圆C上有2个点到直线的距离为1；当时，即，则圆C上有3个点到直线的距离为1；当时，即，则圆C上有4个点到直线的距离为1；故D不正确.故选：AB.12.已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）A.的周长为4aB.若直线OP斜率为，AB的斜率为，则C.若，则e的最小值为D.若，则e的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设，，利用点差法和中点坐标公式可得，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得，结合选项计算即可判断CD.【详解】A:根据椭圆的定义，的周长为，故A正确；B:设，，则， 所以，，由得，所以，即，故B不正确；C:，因为，所以，由，得，故C正确；D:由，得，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆的焦距为6，且短轴的一个顶点为，则椭圆的标准方程为________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得椭圆焦点在轴上，且，即可得出答案.【详解】由焦距为6可知，即可得，又短轴的一个顶点为，即可得，所以可得，且焦点在轴上；因此可得椭圆的标准方程为.故答案为：14.已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是______．【答案】2##3##4【解析】 【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m的值.【详解】解：由题意在圆：与圆：中，圆的圆心为，圆的圆心为，圆的半径为3，圆的半径为，∴两圆圆心的距离为．∴，解得，∴整数m的取值可能是2，3，4．故答案为：2或3或4.15.已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为________．【答案】【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，结合辅助角公式，即可求得最大值.【详解】因为椭圆，所以可设椭圆上一点，则点到直线的距离，则当时，故答案为;16.在长方体中，，，，则______；点C到平面的距离为______． 【答案】①.②.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解出答案.【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，所以，，，，．因为，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以,令，得．因为，所以点C到平面的距离．故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线，直线．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】17. 18.或【解析】【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况；（2），，若，则，由此求参数即可.【小问1详解】因为，所以，整理得：，即：，解得：或，当时，，，即，符合题意；当时，，即，，即，此时与重合，不符合题意.所以.【小问2详解】因为，所以，整理得：，即：，解得：或，所以或.18.已知圆C：．（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；（2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得 切线长的最小值．【小问1详解】若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，所以切线l的方程为，即．综上，切线l的方程为或．【小问2详解】圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，因为，所以当最小时，有最小值．当时，最小，最小值为，所以的最小值为．19.已知为椭圆上一动点，的上，下焦点分别为，，定点．（1）求的最大值；（2）若直线与交于两点，且的中点为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，求得，得到，结合椭圆的定义，得到，即可求解；（2）设，利用点差法求得直线的斜率为，得到的直线方程，联立方程 组求得，结合弦长公式和点到直线的距离公式，利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，连接，由椭圆得的定义，可得，又由椭圆，可得，则，所以，因为，可得，又因为，则，当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为.【小问2详解】解：如图所示，设，因为点为的中点，可得，又由，两式相减，可得，可得，即直线的斜率为，所以的方程为，即，联立方程组，整理得，所以， 则，又由焦点到直线的距离为，所以的面积为.20.在长方体中，底面ABCD是边长为2正方形，，M，N分别是AD，的中点．（1）证明：MN与平面BCN不垂直．（2）求MN与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐标系，利用向量证明与平面内的一条直线不垂直即可；（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法进行求解.【小问1详解】解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系，则，，，，，．（1）证明：因为，，所以，但，所以MN与平面BCN不垂直．【小问2详解】设平面的法向量为，因为，，所以令，得．设MN与平面所成的角为θ，则，故MN与平面所成角的正弦值为．21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M为PD的中点．（1）证明：平面PBC．（2）求平面PBC与平面PCD的夹角．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】(1)取PC的中点为N，连接MN，NB，利用中位线证明且，所以四边形MNBA为平行四边形，得到，再利用线面平行得判定即可证明；(2)过A作，垂足为H，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取PC的中点为N，连接MN，NB，则且．因为且，所以且，所以四边形MNBA为平行四边形，所以．又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．【小问2详解】过A作，垂足为H，则．如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．设平面PBC的法向量为，因为，，所以令，得． 设平面PCD的法向量为，因为，，所以令，得．设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则，所以平面PBC与平面PCD的夹角为．22.已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．（1）求椭圆W的方程；（2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.【小问1详解】由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，解得，所以，所以．因为椭圆W的离心率，所以． 因为，所以，，故椭圆W的方程为．【小问2详解】由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，联立方程组消去x并整理得，所以，，所以．因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d，所以．由，解得，所以，故直线AC的方程为，即或．