四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

内江六中2023-2024学年（上）高2026届期中考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个挽项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合M满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求集合，进而逐项分析判断.【详解】由题意可得：，因为，则，所以，，，，故B正确，ACD错误故选：B.2.下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】对于A：根据根式的性质分析判断；对于B：根据分数指数幂的运算分析判断；对于C：根据指数函数单调性分析判断；对于D：根据幂函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：因为在上单调递减，且，所以，故C正确；对于选项D：因为在上单调递增，且， 所以，故D错误；故选：BC.3.“”是“，”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据恒成立问题求参，再结合充分必要的定义判断即可。【详解】,可得单调递减，单调递增，,所以,所以.不能推出,可以得出，是的必要不充分条件.故选：B.4.下列命题中，真命题是（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】若且，则不一定成立，例如，故A错误；若，则不一定成立，例如，故B错误；若，则，所以，故C正确；若，，则不一定成立，例如，故D错误；故选：C5.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A.第4秒B.第5秒C.第3.5秒D.第3秒【答案】A【解析】【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.【详解】由题意，，则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.故选：A.6.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知 过原点可排除B，进而可得正确选项.【详解】因为二次函数开口向下，所以，所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C因为过点，所以，所以，所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；故选：D.7.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得.【详解】由题意可知：在上恒成立，整理得在上恒成立，因为在上单调递减，则在上单调递减，且，可得，又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，可得在上单调递减，则，可得，综上所述：a的取值范围是.故选：C.8.已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；①若时，函数区间上单调递减，则，即，那么，当时，，，由题意可得，则有，解得，此时，；②当时，且当时，，则，，成立，此时；③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，由题意可得，则有，解得，此时.综上所述，.故选B.【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分地对的得2分，有选错的得0分.）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据偶函数排除选项C；根据单调性判断选项A、B、D.【详解】对于选项A，是偶函数，且当时，函数可化为，增函数，故A正确；对于选项B，是偶函数，且在上单调递增，故B正确；对于选项C，即不是奇函数也不是偶函数，故C错误；对于选项D，是偶函数，当时函数可化为，在上是增函数，故D正确.故选：ABD10.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（）.A.，B.，C.，D.，【答案】AB【解析】【分析】根据同象函数的定义，结合各函数的定义域与值域判断即可.【详解】，，则.对A，，，则，满足同象函数的定义，故A正确；对B，，，则，满足同象函数的定义，故B正确； 对C，，，则，不满足同象函数的定义，故C错误；对D，，，则，不满足同象函数的定义，故D错误；故选：AB11.已知正数满足，则（）A.的最大值为B.的最小值为9C.的最小值为D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】运用基本不等式逐一判断即可.【详解】A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最大值为，因此本选项不正确；B：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；C：因为正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最小值，因此本选项不正确；D：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为因此本选项正确，故选：BD 12.已知的定义域为R且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且≠，都有，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.C.的图象关于对称D.【答案】ABC【解析】【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．【详解】为奇函数，为偶函数，所以的图象关于点对称且关于直线对称，所以，，，，所以是周期函数，4是它的一个周期．，，B正确；，是偶函数，A正确；因此的图象也关于点对称，C正确；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，，，∴，故D错．故选：ABC．第Ⅱ卷非选择题（满分90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，，则的值为______．【答案】150【解析】【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可.【详解】因为，，所以，故答案为：150．14.若函数是上的偶函数，且当时，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由偶函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数是上的偶函数，则，由当时，，则，所以.故答案为：15.已知一元二次不等式的解集为，则得最大值为________．【答案】【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.【详解】的解集为，故为方程的两个根，且，（当且仅当时等号成立）.故答案为：. 16.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】利用赋值法、构造函数法证得是奇函数，根据函数单调性的定义证得在上单调递减，由此化简不等式并求得其解集.【详解】依题意，，有，令，得，令，得，令，得，构造函数，则为奇函数，则，任取，则，由于，所以，所以，所以，所以在上单调递减，则在上单调递减.由得，，，由得，则，所以， 解得，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.四、解答题（本愿共，6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知全集，，.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据分式的性质、一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集和补集的定义进行求解即可.【小问1详解】，即，又因为，所以；【小问2详解】因为，，所以，所以或. 18.已知是定义在上的奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若，试用单调性的定义证明函数在上单调递减．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知结合，求出，再验证作答.（2）由（1）的结论求出函数的解析式，再利用单调函数的定义推理论证作答.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，则，而，解得，此时，，即函数是奇函数，所以，.【小问2详解】由（1）知，而，则，，，因为，则，有，即，因此，所以函数在上单调递减.19.已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值，并确定的解析式；（2）令，求在的值域. 【答案】（1）的值为，函数的解析式为（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解；（2）由（1），得，令利用换元法得到，，再根据二次函数的性质即可求解.【小问1详解】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.【小问2详解】由（1）知，，所以，令，则，，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，，， 所以函数在的值域为.20.今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.（1）写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）（2）当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.【解析】【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.【小问1详解】由题意知，当时，，所以，当时，；当时，，所以；小问2详解】当时，函数在上是增函数，在上是减函数，所以当时，有最大值，最大值为1500； 当时，由基本不等式，得，当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.21.已知函数且在上的最大值与最小值之差为.（1）求实数a的值；（2），若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数单调性运算求解；（2）根据题意可得：是奇函数且为增函数，利用函数的单调性和奇偶性解不等式.【小问1详解】①当时，上单调递增，则，所以，解得或（舍去）；②当时，上单调递减则，所以，解得或（舍去）；综上所述：或.【小问2详解】因为，由（1）可知：，则，可知：的定义域为，因为，则为奇函数，又因为在上单调递增，则在上单调递增， 综上所述：在R上是奇函数且为增函数，因为，可得，则，解得或，所以不等式的解集为.22.己知偶函数.（1）求实数k的值；（2）若且对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；（3）设，若方程有且只有一个解，求p的取值范围.【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，代入，即可求解；（2）首先求函数，再代入不等式，并通过换元，转化为，恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解；（3）首先方程整理为，再换元，转化为方程在上只有1个解，即可求的取值范围.【小问1详解】因为函数为偶函数，则，有，，得恒成立，得；【小问2详解】由（1）知，，，得或，即， 不等式，为，即，恒成立，设，当时，，设，，因为，所以，，则，则，即所以函数在上单调递增，所以，即，恒成立，则恒成立，即，设，，设，则，因为，所以，，则，所以，所以在上单调递增，当时的最小值为，所以，实数的最大值为；【小问3详解】由（1）知，，令，则，整理为， 设，则，可得，整理为，原题转化为关于的方程在上只有1个实数根，则有，当时，即时，方程为，得，符合题意，当时，即时，方程的根为或，由题意可得或，得或，综上可得的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查函数解析式，性质，不等式恒成立，以及函数零点问题，第三问的关键是变形等式，转化为在上只有一根，后面的问题迎刃而解.