浙江省宁波三锋教研联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则实数x的值为（）A．1B．－2C．－1D．53．椭圆上一点M到左焦点距离为2，则其到右焦点的距离为（）A．8B．4C．7D．64．若圆：与圆：相切，则（）A．9B．10C．11D．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（）学科网（北京）股份有限公司 第5题图A．B．C．D．6．如图，棱长为1的正方体，中M，N点，分别是线段，的中点，记E是线段的中点，则点E到面的距离为（）第6题图A．B．C．D．7．已知，，动点P满足，则点P的轨迹与圆相交的弦长等于（）A．B．C．D．8．棱长为2的菱形ABCD中，，将沿对角线BD翻折，使A到P的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积的最大值为B．C．存在某个位置，使得D．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．圆M：，则下列说法正确的是（）A．点在圆内B．圆M关于直线对称学科网（北京）股份有限公司 C．圆M的半径为2D．直线与圆M相切10．以下四个命题正确的有（）A．直线与直线的距离为B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为C．点到直线的距离为D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件11．下列说法正确的是（）A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为12．离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）学科网（北京）股份有限公司 A．轴且B．C．四边形的内切圆过D．非选择题部分三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知空间中三点，，，则的面积为______．14．已知椭圆C：，则椭圆的短轴长为______．15．已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是______．16．已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C．则曲线C上的点O到点的大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且（1）求直线的方程（2）直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程18．（本小题12分）如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（本小题12分）圆C过点和，圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程（2）直线l经过点，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程学科网（北京）股份有限公司 20．（本小题12分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的方程（2）斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E是棱PC的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值22．（本小题12分）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．（1）若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；（2）如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20学科网（北京）股份有限公司 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．BD10．ACD11．BCD12．CD三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．14．15．416．3四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（1）直线：（2）联立方程，得交点坐标为设直线：，直线过点∴∴直线：18．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，学科网（北京）股份有限公司 设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．解法二：设正方体的棱长为，则，，，，由余弦定理知，，∴，∴，设点到平面的距离为h，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．19．（1）AB的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C的标准方程是（2）若直线l的斜率不存在，直线l：，弦长，成立若直线l的斜率存在，设直线l：，圆心C到直线l的距离为1得，，，则直线l：∴直线l：或20．（1），∴椭圆C的方程为学科网（北京）股份有限公司 （2）设，，直线l：联立方程，得∵直线l交椭圆C于A，B两点∴，得，∴弦长又点O到直线l的距离∴当，即时取得等号∴21．解：（1）取CD中点F，连接BF，EF∵∴，则而ED是的平分线，则，从而，则，BF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PADE，F分别是PC，CD的中点，则，EF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD，又∴平面平面PAD∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD，得面PAD则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系学科网（北京）股份有限公司 ，，，设平面PAB的一个法向量为，则，得，令，则同理平面的PCD一个法向量，设平面PAB与平面PCD的夹角为α则∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为22．（1）若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB的斜率存在，设直线AB：，由，得∴直线AB的方程为或（2）设直线RS：，，记，，联立方程，得∴，，∴，∴学科网（北京）股份有限公司 ∵，都是锐角∴的定值．学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司