浙江省温州市新力量联盟2023-2024学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2023学年第一学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：B.2.已知R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，则，则成立．而当且时，满足，但不成立；“”是“”的充分不必要条件． 故选：．3.已知函数，若，则的所有可能值为（）A.B.，C.，D.，，【答案】C【解析】【分析】分与两种情况，解方程，求出答案.【详解】若，则，解得，若，则，解得或1（舍去），故的所有可能值为，.故选：C4.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（）A.在上为增函数B.方程的实根为C.的值域为D.为偶函数【答案】D【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.【详解】设，代入点可得，所以，所以，因为，所以，即函数的定义域为，对于A：因为，所以在上为减函数，错误；对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误；对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误；对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确.故选：D5.若正数，满足，则最小值为（）A.27B.81C.6D.9【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值.【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以.故选：B6.若不等式的解集为，则函数的零点为（）A.和B.和C.2和D.和【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D. 7.已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数在处取到最小值计算即可.【详解】因为时，，所以要使是最小值，则，又当时，，当且仅当时取等号，所以，又因为，所以.故答案为：C8.实数，，满足且，则下列关系成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.【详解】由可得，则，由可得，利用完全平方可得所以，，，综上，故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数大小，考查了推理与运算能力，属于难题.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列命题为真命题的为（）A.B.当时，，C.成立的充要条件是D.设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】对于A，通过配方判断，对于B，由根的判别式判断，对于C，举例判断，对于D，由充分条件和必要条件的定义判断.【详解】对于A，因为，所以恒成立，所以A正确；对于B，当时，方程的判别式，所以，成立，所以B正确；对于C，若，则，所以成立的充要条件是是错误的；对于D，当，时，，而当时，成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.故选：ABD.10.已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最大值为，故A正确，对于B：，，，，由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，即的最小值为，故B正确，对于C：，，，，当且仅当，即，时，等号成立，显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，对于D，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为，故D正确，故选：ABD．11.下列说法正确的是（）A.函数的值域是，则函数的值域为B.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个C.若，则D.函数的定义域是，则函数的定义域为【答案】CD 【解析】【分析】根据函数图象的变换判断A，根据既奇又偶函数的性质判断B，根据交集和并集运算性质判断C，根据抽象函数的定义域的求法判断D.【详解】对于A：函数的图象是由的图象向左平移一个单位而得到，又函数的值域是，则函数的值域为，错误；对于B：设，，是关于原点对称的区间，则既是奇函数又是偶函数，由于区间有无数个，所以函数有无数个，则既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，错误；对于C：因为，所以，则有，正确；对于D：因为函数的定义域是，所以，解得，所以函数的定义域为，正确；故选：CD12.数学上，高斯符号（）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，，，，已知函数，则下列说法不正确的是（）A.的值域为B.在为减函数C.方程无实根D.方程仅有一个实根【答案】AB【解析】【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象逐项判断即可.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则， 绘制函数图象如图所示，对于A，由图可知，在上的值域为，不正确；对于B，当时，的每段函数都是单调递减，但是在不是减函数，不正确；对于C，由选项A知，在上的值域为，所以方程无实根，正确；对于D，当时，即，解得，当时，即，解得，结合函数图象知，方程仅有一个实根，正确.故选：AB非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式求解可得.【详解】由题可知，所以，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：14.已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．【答案】－6 【解析】【分析】先利用题意能得到和，解得和，代入中，再代入，再结合二次函数的性质求最小值【详解】因为函数是定义在上的偶函数，故，即，则解得，所以，，所以，，则，故答案为：-615.股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是______元.【答案】1470.15【解析】【分析】根据题意列出关系式：，计算即可求解.【详解】依题意可知，四天后的价格为．故答案为：1470.1516.设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，，若在上单调递增，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题可求，，又由在上单调递增可知在 也单增，结合为奇函数，可判断在上单增，再由通过拼凑法得，可转化为，即可求解【详解】由，，故在上为奇函数，由在上单调递增在也单增，故在上单增，，即，，解得故答案为：【点睛】本题考查由奇偶性和增减性解不等式，能够通过对应表达式推导出为奇函数，并能判断为增函数是解题关键，解题过程不易考虑到这两步转化，属于难题四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17.（1）计算；（2）若实数满足，求值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）利用完全平方公式及指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）. （2）将两边平方，可得，解得.18.已知函数.（1）证明：在上为增函数；（2）求在上值域.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）考查函数在上的单调性，利用单调性即可求得值域.【小问1详解】任取且，则，因为且，所以，故，即，所以在上为增函数.【小问2详解】任取且，则，因为且， 所以，故，即，所以在上为减函数，又由（1）知，在上为增函数，所以，又，所以在上的值域为19.在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合.（1）当时，求；（2）若_______，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知，分，计算；选②可知Ü，分，计算即可；选③，分，计算.【小问1详解】当时，集合，所以；【小问2详解】若选择①，则，当时，解得当时，又，，所以，解得， 所以实数a的取值范围是.若选择②，““是“”的充分不必要条件，则Ü，当时，解得当时，又Ü，，或解得，所以实数a的取值范围是.若选择③，，当时，解得当又则解得所以实数a的取值范围是.20.设函数.（1）若函数为奇函数，求方程的实根；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函数概念得，把方程化为求解即可；（2）设，函数的最大值问题化为的最大值问题，然后分类讨论求得最小值，列方程求解即可.【小问1详解】因为函数为奇函数，所以即，所以，因为，所以，即， 所以，则方程即，化简得，解得或（舍去），所以，所以方程的实根为.【小问2详解】，设，由得，令，则，，函数的对称轴为，当即时，，所以；当即时，，所以，不合题意舍去；综上，实数的值为.21.美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为，，（2）9千万元【解析】【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金 （千万元）的函数关系式为，对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用，所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元22.若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求的解析式；求函数在内的“和谐区间”；若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.【答案】；；存在，.【解析】【分析】利用函数奇偶性的性质写出的解析式；根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”；设为的一个“和谐区间”，则，即，同号，结合分类讨论得出结果. 【详解】解：为上的奇函数，又当时，，当时，；；设，在上单调递减，，即，是方程的两个不相等的正根.在内的“和谐区间”为.设为的一个“和谐区间”，则，，同号.当时，同理可求在内的“和谐区间”为.依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.由方程，即在内恰有一根，令，则，解得；由方程，即在内恰有一根，令，则，解得. 综上所述，实数的取值集合为.【点睛】本题考查函数的性质，考查分类讨论思想，方程的应用，难度大，属于难题.