浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期中物理试题（Word版附解析）

2023学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测物理试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分100分，考试时间90分钟。考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。3，非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。4．可能用到的相关参数：重力加速度g取。选择题部分一、选择题I（本题共13小题，每小题3分，共39分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.在微观物理学中，不确定关系告诉我们，如果以表示粒子位置的不确定量，以表示粒子在x方向上动量的不确定量，则，式中h是普朗克常量，其单位是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】根据位置的不确定量的单位为，动量的不确定量的单位为，没有单位，故普朗克常量的单位为。故选B。2.如图所示是滑雪运动员正在下滑的情景，下列说法正确的是（） A.研究运动员的滑雪姿态时，可以将运动员看作质点B.加速滑行时运动员的惯性增大C.雪地所受摩擦力方向与运动员运动方向相同D.运动员下蹲过程中身体重心位置不变【答案】C【解析】【详解】A．研究运动员的滑雪姿态时，运动员的形状大小不能忽略不计，不可以将运动员看作质点，故A错误；B．加速滑行时运动员的质量不变，惯性不变，故B错误；C．雪地对运动员的摩擦力方向与运动员运动方向相反，由牛顿第三定律，则运动员对雪地的摩擦力方向与运动员运动方向相同，故C正确；D．运动员下蹲过程中身体重心位置发生变化，故D错误。故选C。3.生产芯片的工具是紫外光刻机，目前有DUV和EUV两种。DUV光刻机使用的是深紫外线，其波长为。EUV光刻机使用的是极紫外线，其波长是。下列说法正确的是（）A.深紫外线光子能量大于极紫外线光子的能量B.在水中深紫外线的传播速度大于极紫外线的传播速度C.利用同一装置进行双缝干涉实验时极紫外线的条纹间距较大D.极紫外线比深紫外线更容易发生衍射【答案】B【解析】【详解】A．根据题意可知，极紫外线波长小于深紫外线，根据可知，深紫外线光子的能量小于极紫外线光子的能量，故A错误；B．极紫外线波长小于深紫外线，则频率高，所以极紫外线折射率大，根据可知，极紫外线在水中的传播速度小，故B正确；C．利用同一装置进行双缝干涉实验时可知，极紫外线的条纹间距较小，故C错误； D．极紫外线比深紫外线波长短，更不容易发生衍射，故D错误。故选B。4.如图所示，在真空中光滑的水平绝缘桌面上，有带异种电荷的点电荷和。现固定，用绝缘锤将沿桌面击出。关于此后在桌面上的运动，下列说法正确的是（）A.一定是曲线运动B.速度可能不变C.加速度一定变小D.动能和电势能之和一定不变【答案】D【解析】【详解】A．若初速度方向在连线上，则小球做直线运动，故A错误；B．受到电场力作用，速度一定发生变化，故B错误；C．当小球靠近时，根据库伦定律可知所受库伦力变大，结合牛顿第二定律可知所受加速度变大，故C错误；D．根据题意可知只有电场力做功，动能和电势能之和一定不变，故D正确。故选D。5.2023年8月24日，日本政府不顾国际舆论启动了福岛核电站核污染水排海。据悉核污水中多达64种放射性元素，其中影响危害最大的是碳14和碘129。碳14的半衰期约5370年，碘129的半衰期更长，约1570万年。碳14的衰变方程为，下列说法正确的是（）A.上述衰变方程中Y为质子B.Y粒子对应的射线可以穿透几毫米厚的铝板C.的比结合能比碳14的要小D.核污水排入大海中，浓度下降可以导致核废料半衰期变长【答案】B【解析】【详解】A．根据电荷数守恒和质量数守恒可知Y为，为电子，故A错误；B．由A选项可知Y粒子为β射线，可以穿透几毫米厚的铝板，故B正确； C．核反应方程式生成物比反应物稳定，即生成物的比结合能大于反应物的比结合能，则的比结合能比碳14的要大，故C错误；D．半衰期只与原子核本身有关，与其浓度无关以及物理环境，化学环境无关，故D错误。故选B。6.回旋加速器可以用来加速粒子，关于回旋加速器下列说法正确的是（）A.两个D型盒必须由金属制成B.所接电源必须为直流电C.所加电压越大粒子最终获得的动能越大D.只要D型盒半径足够大，粒子可以无限被加速【答案】A【解析】【详解】A．由于置于真空中，结构强度的要求、防止粒子飞出等要求，D型盒必须由金属制成，A正确；B．所接电源必须为交变电流，使粒子每次到达狭缝处都能被加速，B错误；C．在D型盒区域由洛伦兹力作为向心力，当轨道半径等于D型盒半径时可知最大速度为粒子获得的最大动能与所加电压无关，C错误；D．粒子在D型盒中不能被无限加速，当速度接近光速时，由相对论知识可知，粒子质量发生变化，使粒子运动周期发生变化，无法与交变电流同步，D错误。故选A。7.如图所示的电路，线圈的电阻忽略不计，闭合开关S，待电路达到稳定状态后断开开关S，LC电路中将 产生电磁振荡，如果规定线圈中的电流方向从a到b为正，断开开关的时刻，则电感线圈中电流i随时间t变化的图像为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】因线圈电阻为零，电路稳定时，线圈两端电压为零，电容器不带电；断开开关后，t=0时刻线圈中电流最大，方向由b到a，则为负方向，则电感线圈中电流i随时间t变化图像为D。故选D。8.如图所示，理想变压器的原、副线圈的匝数比为，在副线圈的回路中分别接有电阻R和电容C，。原线圈P、Q两端接在峰值电压为的正弦交流电源上，图中交流电压表、交流电流表均为理想电表。下列说法正确的是（）A.电压表的示数为B.电容C的耐压值小于C.R消耗的功率为D.电流表的示数为【答案】C【解析】【详解】AC．原线圈电压的有效值为 根据可得副线圈两端电压的有效值为R消耗的功率为电压表为副线圈两端电压的有效值为，故C正确，A错误；B．副线圈两端电压的峰值为可知电容C的耐压值大于，故B错误；D．流过电阻的电流由于电容器通交流，所以流过副线圈的电流根据可知流过原线圈的电流故D错误。故选C。9.秋分这天太阳光几乎直射赤道。现有一人造卫星在赤道上空距离地面高度为R处绕地球做圆周运动。己知地球的半径为R，地球的质量为M，引力常量为G。则秋分这天在卫星运动的一个周期内，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】由题意可知该人造卫星的轨道半径为根据万有引力提供向心力可得解得由几何关系得人造卫星太阳能电池板接收不到太阳光的范围如下图所示由几何知识可得故一个周期内卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为故选A。10.把一个小球放在竖立的弹簧上，并把小球向下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高点C（图乙），经过图中B位置时弹簧正好处于原长状态。弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，重力加速度为g。下列关于小球从A至C的运动过程中加速度大小a、速度大小v、动能和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】A．当小球所受弹簧的弹力等于小球的重力前，根据牛顿第二定律可得随着小球上升加速度逐渐减小，当到达平衡位置后到过程中，小球加速向下，根据牛顿第二定律可得可知小球的加速度大小逐渐增大，在B位置继续向上，弹簧弹力为零，小球的加速度始终为重力加速度不变，故A正确；B．根据A选项分析可知小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，后做加速度不变的减速运动，故B错误；C．无论加速阶段还是减速阶段，小球的位移和时间都不是线性关系，且力也不是恒力，所以图像不可能是线性关系，故C错误；D．小球在到达B位置前，弹簧弹力最小球做正功，小球的机械能增大，到达B位置继续向上，小球只受重力，机械能守恒，即保持不变，故D错误。 故选A。11.半导体薄膜压敏传感器所受压力越大其电阻越小，利用这一特性设计成苹果大小自动分拣装置如图所示，装置可选出单果质量大于一定标准的苹果。为固定转动轴，苹果通过托盘秤时作用在杠杆上从而使压敏传感器受到压力，为可变电阻。当放大电路的输入电压大于某一个值时，电磁铁工作将衔铁吸下并保持此状态一小段时间，苹果进入通道2，否则苹果将进入通道1。下列说法正确的是（）A.选出的质量大的苹果将进入通道1B.若将的电阻调大，将挑选出质量更大的苹果C.若电源内阻变大，将挑选出质量更大的苹果D.若电源电动势变大，将挑选出质量更大的苹果【答案】C【解析】【详解】A．质量大的苹果对压敏传感器的压力大，压敏传感器的阻值小，电路中的电流大，则电阻的电压大，即放大电路的输入电压大于某一个值，电磁铁工作将衔铁吸下，苹果将进入通道2，故A错误；B．将的电阻调大，则电阻的电压变大，则质量较小的苹果更容易使放大电路的输入电压大于某一个值，从而进入通道2，即将挑选出质量更小的苹果，故B错误；C．电源内阻变大，则电阻的电压变小，要达到某一临界值，则需要减小压敏传感器的阻值，增大电路中的电流，从而使电阻的电压达到临界值，则需要增大对压敏传感器的压力，即将挑选出质量更大的苹果，故C正确；D．电源电动势变大，则电阻的电压变大，则质量较小的苹果更容易使放大电路的输入电压大于某一个值，从而进入通道2，即将挑选出质量更小的苹果，故D错误。故选C。 12.如图所示，在某均匀介质中存在两个点波源和，它们沿z方向振动，垂直纸面向外为z轴正方向。其中位于处，其振动方程为；位于处，其振动方程为。已知波速为，下列说法正确的是（）A.波源的相位比波源的相位落后B.处质点的振幅为C.处为振动减弱处D.时刻波源和的加速度方向相同【答案】C【解析】【详解】A．根据振动方向可知波源的相位比波源的相位超前=故A错误；B．P处质点到两波源的距离差为0，由于两波源的相位差，所以振幅为0，故B错误；C．由振动图像可知周期为Q处质点到两波源的距离差为波源的振动传到Q处所需时间差为 =结合两波源的相位差，可知处为振动减弱处，故C正确；D．时刻波源和的位移相反，则加速度方向相反，故D错误；故选C。13.光线照射到棱镜毛糙面上的反射光线和折射光线射向四面八方，不能成像。如图所示，折射率为2的等腰直角三棱镜的底面和侧面是平整的光学面，而侧面和其它面是毛糙的。将该棱镜的底面压在一幅用特殊颜料画的可发光的水彩画上，观察者通过光学面观察水彩画，则画被棱镜底面压住部分可被观察到的比例为（已知）（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】因为，由，可得可知在临界角为时，此时光线的射入或射出达到临界值，则根据几何关系，可得光路图 此时，设画被棱镜底面压住部分的面积为，则可得画被棱镜底面压住部分可被观察到的比例为故选D。二、选择题Ⅱ（本题共2小题，每小题3分，共6分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）14.下列说法正确的是（）A.在液体表面层，分子间作用力表现为斥力B.一切与热现象有关的宏观自然过程都不可逆C.玻尔理论可以成功解释氦原子的光谱现象D.电磁波在真空中传播时，它的电场强度E、磁感应强度B、波的传播方向两两垂直【答案】BD【解析】【详解】A．在液体表面层，分子间距离较大，分子间作用力表现为引力，因此可以产生液体表面张力，故A错误；B．根据热力学第二定律可知，一切与热现象有关的宏观自然过程都具有方向性，是不可逆的，故B正确；C．玻尔理论只能成功解释氢原子的光谱现象，故C错误；D．电磁波是横波，每一处的电场强度和磁场强度总是相互垂直的，且与波的传播方向垂直，故D正确。故选BD。15.某同学设计了一种利用光电效应原理工作的电池，如图所示。K、A电极分别加工成球形和透明导电的球壳。现用波长为的单色光照射K电极，K电极发射光电子的最大动能为，电子电荷量为e。忽略光电子重力及之间的相互作用，己知光速为c，普朗克常量为h。下列说法正确的是（） A.入射光子的动量B.K电极的逸出功C.A、K之间的最大电压D.若仅增大入射光强度，A、K之间电压将增大【答案】BC【解析】【详解】A．入射光子的动量故A错误；B．K电极发射光电子的最大动能为，则解得故B正确；C．电子聚集在A电极后，使A极带负电，因此会在球内部建立一个从K指向A反向电场，阻碍电子继续往A聚集。当A、K之间达到最大电势差U，最大动能为Ek的电子都无法到达A极。根据动能定理A、K之间的最大电压故C正确；D．根据 可知，若仅增大入射光强度，最大初动能不变，A、K之间电压将不变，故D错误。故选BC。非选择题部分三、非选择题（本题共5小题，共55分）实验题16.（1）甲同学利用图所示的实验装置进行“探究物体加速度与力、质量的关系”实验，该实验用到了控制变量法，下列实验也用到了该方法的是__________（多选）A．探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系B．探究两个互成角度的力的合成规律C．用双缝干涉实验测量光的波长D．研究导体电阻与长度、横截面积及材料的定量关系（2）乙同学用图的实验装置进行“验证机械能守恒定律”实验。气垫导轨上B处安装了一个光电门，滑块从A处由静止释放，验证从A到B过程中滑块和钩码的机械能守恒。①关于乙同学实验，下列操作中不必要的是__________。A．将气垫导轨调至水平B．使细线与气垫导轨平行C．钩码质量远小于滑块和遮光条的总质量D．使A位置与B间的距离适当大些②乙同学在实验中测量出了滑块和遮光条的质量M、钩码质量m、A与B间的距离L、遮光条的宽度为d（）和遮光条通过光电门的时间为t，己知当地重力加速度为g，为验证机械能守恒需要验证的表达式是__________。③甲同学参考乙同学做法，利用图1装置，想通过垫高轨道一端补偿阻力后验证小车和槽码的机械能是否守恒，他的做法__________（“可行”或“不可行”）。 【答案】①.ACD②.C③.④.不可行【解析】【详解】（1）[1]A．探究向心力大小与半径、角速度、质量关系用到了控制变量法，故A正确；B．探究两个互成角度的力的合成规律用到了等效替代法，故B错误；C．用双缝干涉实验测量光的波长用到了控制变量法，故C正确；D．研究导体电阻与长度、横截面积及材料的定量关系用到了控制变量法，故D正确。故选ACD。（2）①[2]A．为了减小实验误差，应将气垫导轨调至水平，故A必要，不符合题意；B．为使细线的拉力等于滑块的合外力，应使细线与气垫导轨平行，故B必要，不符合题意；C．实验中不需要满足钩码重力等于绳子的拉力，则不需要使钩码质量远小于滑块和遮光条的总质量，故C不必要，符合题意；D．为便于数据处理，应使A位置与B间的距离适当大些，故D必要，不符合题意。故选C。②[3]滑块通过光电门的瞬时速度则系统动能的增加量系统重力势能的减小量则系统机械能守恒满足的表达为③[4]想通过垫高轨道一端补偿阻力后,系统存在摩擦力做功，机械不守恒，他的做法不可行。17.如图1所示是“用传感器探究气体等温变化的规律”的实验装置，研究对象是注射器中的空气柱。移动活塞，多次记录注射器上的体积刻度V和压强传感器读数p，并将数据标在坐标系上，如图2。实验中，连接注射器与压强传感器之间的塑料管内的气体体积不可忽略，由上述实验结果可知______（保留2位有效数字）。 【答案】2.0##1.9【解析】【详解】[1]题中气体等温变化，根据玻意耳定律可得解得可知的大小就是图像的纵轴截距的绝对值。舍弃图2中明显偏离的数据点，并连接得到图像，如下图所示由图可得纵轴截距的绝对值为，根据单位换算可知18.（1）丙同学在用多用电表欧姆挡正确测量了一个铭牌为“”白炽灯泡的冷态电阻后，将挡 位旋至“”挡准备测量“”量程电压表内阻，他__________（填“需要”或“不需要”）进行欧姆调零。在正确操作下多用电表的指针偏转如图所示，则电压表的内阻为_________，实验中欧姆表的“+”接线孔应与电压表__________（填“正”或“负”）接线柱相连。（2）该同学认为，欧姆表可等效为一个电源，如果将上题电压表和个电阻箱并联，可以测出欧姆表“×100挡时的电动势和内阻，电路连线如图6所示。实验中进行了两次测量，电阻箱接入电阻分别为和时，电压表对应的读数分别为、。考虑电压表的内阻对实验的影响，可计算出欧姆表“”挡的内阻_________。（3）该同学查询相关资料后发现第（2）问中实验测量结果误差比较大，误差比较大的原因是______________________________（请至少写出一条原因）。【答案】①.需要②.3000③.负④.⑤.用欧姆表测量出的电压表内阻不精确，导致误差较大。【解析】【详解】（1）[1]使用欧姆表测电阻时，每次换档位都需要进行欧姆调零，故本次也需要欧姆调零；[2]欧姆表的读数为[3]电流从欧姆表的负接线柱流出，再从电压表的正接线柱流进电压表，然后从电压表的负接线柱流出，再从欧姆表的正接线柱流进欧姆表；故欧姆表的“+”接线孔应与电压表的负接线柱相连；（2）[4]在闭合电路中，有 联立求解，可得（3）[5]用欧姆表测量出的电压表内阻不精确，导致误差较大。19.如图所示，绝热的活塞把n摩尔某气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内。气缸固定在大气中，大气压强为，气缸内的电热丝可以以恒定热功率对气缸内气体缓慢加热。初始时，气体的体积为、温度为、压强为。现分别进行两次独立的实验操作，操作1：固定活塞，电热丝工作一段时间，达热平衡后气体的温度为；操作2：活塞可在气缸内无摩擦地滑动，电热丝工作一段时间，达热平衡后气体的温度也为。己知1摩尔该气体温度升高时其内能的增量为已知恒量k，可认为电热丝产生的热量全部被气体吸收，题中温度单位为开尔文，结果均用题中字母表示。求：（1）操作1结束后气缸内气体的压强；（2）操作2过程中外界对气体做功；（3）两次电热丝工作时间和之比。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】（1）由查理定律得 （2）根据盖吕萨克定理得（3）第一次第二次故20.某课外兴趣小组想设计一游戏装置，其目的是让均质木板Q获得一定的速度，“穿越”水平面上长度为的粗糙区域CD（其余部分均光滑），并获得一定的动能。如图所示，半径的光滑圆轨道P固定于水平地面上，轨道末端水平且与木板Q等高。木板Q左端与轨道P的右端接触（不粘连），木板Q右端离C点足够远。将滑块在轨道P上从离轨道底端高处由静止释放，并冲上木板Q。若两者最终不能相对静止，则游戏失败；若两者能相对静止，当两者相对静止时，立即取下滑块（不改变木板Q的速度）。木板Q的右端运动到C点时，对木板施加水平向右、大小为的恒力F。己知木板Q长度，质量。木板Q与CD部分间的动摩擦因数为，滑块与木板Q上表面的动摩擦因数为。现有三种不同质量的滑块（可视为质点）甲、乙、丙，质量分别为，，，不计空气阻力的影响。求：（1）若释放的是滑块乙，该滑块对轨道P的压力最大值；（2）若释放的是滑块乙，该滑块在木板Q上相对木板运动的距离；（3）若要使游戏成功，且木板Q的左端通过D点时木板Q的动能最大，应选择哪块滑块？最大动能是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）应选择滑块丙，最大动能是10J。【解析】【详解】（1）若释放的是滑块乙，该滑块对轨道P的压力最大值为滑块下落至轨道P最低点的时候，根据动能定理可得解得根据牛顿第二定律可得解得（2）滑块乙冲上木板Q后，对滑块乙和木板Q分别进行受力分析，可得，解得，在滑块乙和木板Q共速后，先一起运动，再移动至C点后再分析，设滑块乙冲上木板Q后至共速所经历的时间为，可得解得可得此时滑块和木板Q的速度为则此时可得滑块乙在木板Q上相对木板运动的距离为 （3）可知选择不同的滑块，下落至轨道P最低端时，速度大小均为根据（2）的方法可分别计算滑块甲和滑块丙在木板Q上相对木板运动的距离为，可知，滑块甲已经冲出木板Q，不可选用，同时分别可得滑块冲上木板Q与木板Q共速后的速度大小为，，随后取下滑块，为使木板Q的左端通过D点时木板Q的动能最大，应选择滑块丙，设最终木板Q的最大速度为，根据动能定理可得解得21.电梯磁悬浮技术的原理是基于电磁原理和磁力驱动的技术使电梯悬浮和运行，从而实现高效、安全和舒适的电梯运输。某种磁悬浮电梯通过空间周期性磁场的运动而获得推进动力，其简化原理如图所示：在竖直面上相距为b的两根绝缘平行直导轨间，有等距离分布的方向相反的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为B，每个磁场分布区间的长度都是a，相间排列。当这些磁场在竖直方向分别以速度、、向上匀速平动时，跨在两导轨间的宽为b、长为a的金属框MNPQ（固定在电梯轿厢上）在磁场力作用下分别会悬停、向上运动、向下运动，金属框的总电阻为R。为最大限度减少电磁对人体及环境的影响，利用屏蔽材料过滤多余的磁感线，使得磁场只能作用在金属框所在区域。假设电梯负载不变（质量未知），忽略电梯运行时的其它阻力、金属框的电感。求：（1）电梯悬停时，线框中的电流大小；（2）金属框、电梯轿厢及电梯负载的总质量M；（3）轿厢向上能达到的最大速度；（4）在电梯悬停、向上匀速运动、向下匀速运动时，外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量分别为，求。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【详解】（1）磁场以匀速运动时线框处于静止状态，线框中的电流大小为（2）由平衡关系得得金属框、电梯轿厢及电梯负载的总质量为（3）当磁场以运动时，线框向上运动，当线框的加速度为零时，轿厢向上能达到最大速度，则得（4）电梯悬停时，外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于线框的焦耳热，则 电梯向上匀速运动时，外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于线框的焦耳热与重力势能增加量之和同里（3）电梯向下匀速运动的速度为电梯向下匀速运动时，外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于线框的焦耳热与重力势能减少量之差则22.为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为（，）的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从（，0）射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求：（1）该未知粒子的比荷；（2）匀强电场电场强度E的大小及左边界的值；（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（，）（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 【答案】（1）；（2），；（3），【解析】【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得又联立解得粒子的比荷为（2）粒子的轨迹如图所示粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，则有 联立解得匀强电场电场强度大小为由几何关系可得解得（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运动轨迹如图所示由可得即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有取一小段时间，对粒子在方向上列动量定理（如图） 两边同时对过程求和可得即其中则有结合可得故有