浙江省金华市十校2024届高三数学上学期一模（期中）试题（Word版附解析）

金华十校2023年11月高三数学模拟试题考试时间：120分钟；总分：150分班级姓名学号成绩一、单选题1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别求两个集合，再求交集【详解】，解得：，，，，.故选：B2.复数满足，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】，故选A.3.如图，正方形中，是的中点，若，则（）A.B.1C.D.2 【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，用坐标分别表示出，，，由已知，求解出和，再计算即可.【详解】由题意，以为轴，以为轴建立直角坐标系，如图所示，设正方形边长为，则，，，，，所以，，，，又，所以，解得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，恰当的建立直角坐标系将向量形式转化为坐标形式，属于基础题.4.已知，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据分析出函数单调递增，列不等式组即可得解.【详解】依题意，对任意，不妨取所以，所以f(x)是在R上的增函数，于是有，解得.故选：C．5.已知分别为椭圆的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得即，化简即可求出答案.【详解】解：∵∴，即∴∴，∴.故选：A.6.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A.B.C.D.6【答案】B【解析】【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，由于,所以,由二倍角公式可得，故选:B7.已知数列满足，则是为等差数列的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】举反例结合等差数列的定义可判断充分性不成立，根据等差数列的通项关系可确定必要性成立，即可得结论.【详解】解：例如，满足，但是，不符合等差数列的定义，故推不出为等差数列；若为等差数列，设公差为，所以，则.所以是为等差数列的必要条件但不是充分条件.故选：B. 8.已知，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据待求式的结构，求解即可．【详解】解：因为=-.，；，，所以，故．故选：D.二、多选题9.已知样本数据，，，和样本数据，，，满足，则（）A.，，，的平均数小于，，，的平均数 B.，，，的中位数小于，，，的中位数C.，，，的标准差不大于，，，的标准差D.，，，的极差不大于，，，的极差【答案】CD【解析】【分析】根据数据的平均数、中位数，以及标准差和极差的定义和计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数据的平均数为，数据的平均数为，因为，可得，所以不一定小于，所以A不正确；设数据的中位数为，数据的中位数为，因为，可得，则不一定小于，所以B不正确；设数据的方差为，数据的平均数为，因，可得，又因为，所以，可得，所以C正确；数据的极差为，数据的平均数为，因为，可得，所以D正确.故选：CD.10.从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（）（参考数据：）A.若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍B.若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍 C.若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了D.若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了【答案】ACD【解析】【分析】计算可判断A；计算可判断B；计算的值可判断C；计算可判断D.【详解】对于，若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，即，则增加一倍，所以正确；对于，若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，即，所以B错误；对于C，若不改变带宽，而将信噪比从255提升至1023，则，所以C增加了，所以C正确；对于D，若不改变带宽，而将信噪比从999提升至4999，则，所以D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A：∵为偶函数，则，两边求导可得，∴为奇函数，则，令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，，则可得，两式相加可得：，∴关于点成中心对称，则，D成立，又∵，则可得，，则可得，∴以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.12.已知球的半径为1（单位：），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（）A.棱长为的正方体B.底面边长为的正方形，高为的长方体C.底面边长为，高为的正三棱锥 D.底面边长为，高为的正三棱锥【答案】ACD【解析】【分析】若球的半径为1，该球能够整体放入下列几何体容器，则几何体的内切球半径大于1，对于A，正方体的内切球直径为正方体的棱长即为2，可判断A正确；对于B，长方体的最短棱长为，即为球够整体放入的最大直径，可判断B错误；对于C，先求得正三棱锥的内切球半径，即可判断；对于D，根据选项C比选项D的正三棱锥高小，可判断D的内切球半径大于C，即可判断.【详解】球的半径为，则直径为，对于A，棱长为的正方体内切球直径为，A正确；对于B，长方体高为，高小于球直径，B错误；对于C，如图所示，设正三棱锥为，设为三棱锥的内切球的球心，为正三角形的中心，所以为正三棱锥高，，设是的中点，正三棱锥的底面边长为，所以，，因为为正三棱锥的高，所以，由正棱锥的性质可知：，，，内切球半径为，， 得，C正确；对于D，和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小，即比较和的大小，由于，故选项D正确故选：ACD三、填空题13.甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是_______．【答案】120【解析】【分析】分人都在至层的某一层人独自出电梯；人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，两种情况讨论即可求解．【详解】由题意，人都在至层的某一层人独自出电梯，共有种；人中有人在同一层出电梯，另人在另外一层出电梯，共有种；故甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是种．故答案为：12014.已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为________.【答案】【解析】【分析】由已知求出圆锥的高，进而求出截去的小圆锥的高，利用大圆锥体积减去小圆锥体积求圆台体积即可.【详解】设圆锥母线长为，则，故圆锥的高为，由圆台的上底面半径为1，故截去的小圆锥的高为， 所以圆台体积为.故答案为：15.已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先利用三角恒等变换将化简，再结合的图像和性质得解.【详解】，，，设，，有三个极值点和三个零点，由的性质可得，，.故答案为：.16.双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为_____________.【答案】【解析】【分析】利用等边三角形的性质,然后结合双曲线的定义求解； 【详解】由双曲线的定义可得，所以取的中点，连接,又因为为等边三角形，则,在直角三角形中，,即，解得：，即，故答案为：.四、解答题17.已知a，b，c分别为说角△ABC三个内角A，B，C的对边，满足（1）求A；（2）若b=2，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.（2）利用正弦定理可得，再利用三角形的面积公式可得，根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子化为，结合的取值范围即可求解.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得， 由余弦定理可得又，（2）由已知及正弦定理得，由得是锐角三角形，得得，所以面积的取值范围是【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）可先证平面，从而得到平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量后结合题设中的面面角可求，从而可得的长.【小问1详解】平面，平面，，为矩形，，又，平面，平面，平面，，，为线段的中点，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，， 设，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，平面与平面所成的锐二面角为，，解得，，即，当时，平面与平面所成的锐二面角为.19.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．（1）求的值，并探究数列的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．【答案】（1）， （2）第二次，证明见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据，即可对分奇偶性求解【小问1详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，．因为，，，所以，所以，所以，又因为，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．【小问2详解】证明：当n为奇数时，，当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，所以，．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．20.如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形． （1）求抛物线的方程；（2）求矩形的面积．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点是，由求解；（2）设，，根据四边形是矩形，可得，且，进而得到，然后结合抛物线的定义，求解.【小问1详解】因为抛物线的焦点是，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】设，，因为四边形FAPB是矩形，所以，且，即，，且．所以，，且．所以． 解得，，由抛物线的定义得：，所以矩形的面积为：，．所以矩形的面积为8．21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）【解析】【分析】（1）求导得到，根据，由，求解；（2）将时，恒有成立，转化为对任意恒成立，令，利用导数法求解.【小问1详解】解：，当时，，由，得，由，得，故时，的单调递增区间是，单调递减区间是；【小问2详解】因为当时，恒有成立， 即对任意恒成立，令，当时，在上单调递减，，满足题意，当时，在上单调递增，当时，，当时，在上单调递增，，故.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，法一；令，由求解；法二转化为恒成立，由求解.22.已知等差数列的公差为正数，，前项和为，数列为等比数列，，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）令，求数列的前项的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组即可求出通项公式；（2）利用错位相减和分组求和进行求和.【小问1详解】设的公差为，的公比为，因为且，所以，所以，所以，；【小问2详解】 因为，所以；所以记所以所以所以.