四川省双流棠湖中学2023-2024学年高三数学（文）上学期10月月考试题（Word版附解析）

棠湖中学高2021级高三10月考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由题意，集合，所以，故选B.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由二次函数，分式函数，指数函数，对数函数的函数特征分别讨论单调区间可求解．【详解】选项A是开口向下，对称轴为x=0的二次函数，所以在是单调递减，不符．选项B为分式函数，定义域为，所以只有两个减区间，也不符，选项C是底数属于(0,1)的指数函数，所以在R上单调递减，不符．选项D是定义在上以10为底的对数函数，所以在上单调递增，符合，故选：D.3.下面四个条件中，使成立的充要的条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】结合立方差公式以及充要条件的概念即可求出结果.【详解】因为因为，所以，可得；反之也成立，因为，则，但不一定有，故是的充分不必要条件；而是的既不充分也不必要条件；因为所以是的既不充分也不必要条件；因此ABC不符合题意，故选：D.4.古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）A.半圆柱和四棱台B.球的和四棱台C.半圆柱和四棱柱D.球的和四棱柱【答案】D【解析】【分析】 根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体上面是球的，下面是放倒的四棱柱.故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.5.已知，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】，，.故选：A.6.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（）A. B.C.D【答案】A【解析】【分析】由函数的部分图像得到或，并分别讨论或时的解析式【详解】解：设该曲线对应的函数解析式为，由图可知，或，，则，当时，，由，解得，因为，所以，所以；当时，，由，解得，因为，所以，所以；故选：A7.方程的两根为，，且，则A.B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理求出与的值，由两角和的正切公式求得，从而可得结果. 【详解】∵方程的两根为，，且，∴，，再结合，故，，∴，故．又，∴，故选B．【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据图象变换求解出的解析式，然后结合正弦函数的单调增区间以及的周期的范围，列出关于的不等式组并求解出的取值范围.【详解】将函数的图象经过变化后得到的图象，令()，即()，∵在上是增函数，∴，又，∴，令时，解得，当且时，不符合题意， 故选：B.【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数（或）的单调区间求解参数范围的步骤：（1）根据函数以及单调性列出关于的不等式；（2）将单调区间的端点值代入关于的不等式中，同时注意到单调区间的长度不会超过半个周期；（3）由（1）（2）列出关于参数的所有不等式，由此求解出参数范围.9.已知，则以下四个数中最大的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值分别计算各个选项判断即可.【详解】令,,故最大的是.故选:A.10.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】时，所以，单调递增，是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由得，即，解得． 11.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.【详解】，，，设，且，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，且，所以，即.故选：B12.在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合题意，利用三角形相似得到，取线段PE的中点F，连接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.【详解】如图，因为P-ABC为正三棱锥，所以，． 取线段PE的中点F，连接DF，AF，因为D为PB的中点，所以，．因为AD⊥BE，所以．在中，，由勾股定理，得．设，PA=x，在中，由余弦定理的推论，得①．同理，在中，由余弦定理的推论，得②．联立①②，解得，．在中，由余弦定理，得，所以．取的中心，连接，，则平面ABC，三棱锥P-ABC的外接球球心O在上，连接OA，设外接球半径为R．在中，OA=R，，所以，所以，所以，即，解得，所以所求外接球的表面积为． 故选：C．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知是虚数单位，则复数的实部为______.【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法计算即得解.【详解】解：，所以复数的实部为0.故答案为：014.若，满足，则的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，， 令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线：，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最小，，所以的最小值是1.故答案为：115.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】不等式存在性问题，转化成求最值，解不等式即可.【详解】因为在单调递减，所以当x=2时，f(x)取最小值2a+2若，使成立，只需f(x)min<0即可，即，得，满足.所以实数的取值范围.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集．16.关于函数有如下四个结论：①对任意，都有极值；②曲线的切线斜率不可能小于；③对任意，曲线都有两条切线与直线平行；④存在，使得曲线只有一条切线与直线平行．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】举反例否定①；求得导函数的取值范围判断②；取特例否定③；取特例证明④.【详解】对①：当时，，为增函数，无极值.所以①错误;对②：，所以②正确．对③：当时，，设切点，由，可得或则切点为或则所求切线方程为或这两条切线中与平行，与重合.即当时，曲线只有一条切线与直线平行，且这条切线的切点的横坐标为，所以③错误；对④：由③可知，④正确．故答案为：②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.如图，在△ABC中，∠ACB＝，BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△APC的面积为．（1）求PA长；（2）求cos∠APB的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，求得的值，利用面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长；（2）在三角形中，用正弦定理求得的值，再利用诱导公式求得的值.【详解】（1）由题设∠PCA＝，PC＝，AC·PC·sin＝，得AC＝3．（或由题设AC·BC＝，得AC＝3．）在△PAC中，由余弦定理得PA＝＝．（2）在△APC中，由正弦定理得，得sin∠APC＝．于是cos∠APB＝cos(－∠APC)＝－sin∠APC＝．【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.题目的突破口在于三角形为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出角度和边长，再结合正弦定理和余弦定理适用的条件，即可求得题目所求.属于中档题. 18.已知函数，且．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（3）由（2）中的结论判断即可.【小问1详解】解：当时，由题设知.因为，所以.所以在处的切线方程为.【小问2详解】解：因为，所以.当时，定义域.且故的单调递减区间为，，，当时，定义域为，当变化时，，的变化情况如下表： 单调递减极小值单调递增极大值单调递减故的单调递减区间为，，单调递增区间为．综上所述，当时，的单调递减区间为，，，当时，故的单调递减区间为，，单调递增区间为．【小问3详解】解：由（2）可知要使函数有最值，则，使得函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且当时，当时，所以在处取得极小值即最小值，在处取得极大值即最大值.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．（1）求证：；（2）若为边中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）当为中点时，；证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可证得结论；（2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面 ，由线面垂直的性质可证得结论.【小问1详解】连接，四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.【小问2详解】当为中点时，，证明如下：分别为中点，，又平面，平面，平面；分别为中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，由（1）知：平面，平面，平面，.20.已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）递增区间为（）；对称中心的坐标为（）（2）存在；，【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得，又，代入化简可得，。【小问1详解】解：，由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得．所以，由（），得（），所以的递增区间为（），由（），得（）；所以图象的对称中心的坐标为（）．【小问2详解】解：存在．因为，，所以， 所以．又，，所以，即，即，即，即，所以，由为锐角，得，所以，，从而．故存在，符合题意．21.已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）记，若在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用的导数判断函数的单调性，求出的最小值，令即可求出的取值范围；（2）有两个零点等价于有两个根，分离参数得，则与有两个交点，即可求出的取值范围.【详解】（1），令，解得，，当时，显然成立，当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，综上，实数的取值范围为；（2）显然不是零点，由得，令，则，令，解得，当和时，，单调递减，当时，，单调递增，又时，不成立，∴只需，∴实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查含有参数得不等式恒成立问题中参数得取值范围，以及根据函数零点个数求参数范围，此类问题需要利用导数讨论函数得单调性，求函数得最值，属于综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点的坐标为，证明：直线关于轴对称．【答案】（1）；；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系式把曲线的参数方程化成普通方程，利用直角坐标方程与极坐标方程互化公式，结合两角和的余弦公式把直线的极坐标方程，化成直角坐标方程；（2）通过解方程组求出两点坐标，根据直线斜率公式进行证明即可.【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）可得曲线的普通方程为．直线的极坐标方程可变形为：，于是，其直角坐标方程为．（2）由方程组消元，有．由此可知，点的坐标分别为直线的斜率分别为所以， 于是，直线关于轴对称．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.【答案】（1）不等式的解集为，（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出，即可得到，然后，用基本不等式即可证明.【详解】（1）等价于或或解得或或所以不等式的解集为（2）因为当时等号成立，所以的最小值为3，即所以所以当且仅当时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.