河北省保定市2023-2024学年高三数学上学期10月期中摸底试题（PDF版附答案）

{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} {#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} 2023年高三摸底数学试题参考答案一．选择题：1.D2.C3.C4.A5.C6.B7.C8.B8．解析（仅供参考）－0.5323c＝3＝＜＜b＝sin1＜，322－0.5330.6350.6c＝3＝＜＝log33＜a＝log32(27＜32⇔3＜2⇔3＜2)，3532＋3sin45＋sin60105a＝log32＜＜＝＜sin＜b＝sin1．44223322（或a＝log32＝log38＜log39＝＜＜b＝sin1）．32所以c<a<b二．选择题：9.BC10.ABD11.ACD12.ABD2256三．填空题：13.－14.415.－416.e81四、解答题：17．（10分）解：（1）由已知可得f(x)pq3sinxcosx………………………………1分2sin（x）………………………………2分635411令x＋分别等于，，，2解出x值：，，，填入下表，并画图：62236365411x02π3636f(x)120－201………………………………………4分y21πOπ2ππ4π5π2πx－33333－1－2……………………………………………6分（2）因为fx()2sin（x）6数学试题A第1页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} 所以h(x)f(2x)2sin（2x）…………………………………………7分65因为x,，所以2x,，……………………………………8分636661于是sin(2x),1，……………………………………………………………9分62所以h(x)的值域为1,2.……………………………………………………………10分18．（12分）解：（1）∵aa3，∴da2，211nn(1)2∴Sandan，n112∴Snan1∴SS(n1)anaa，nn1111∴数列Sn是以为首项,以为公差的等差数列.（2）∵aa3，∴da2，∴aa(2n1)，211n1∴a13a1,a15a1,a19a1。2131512又∵a1,a1,a1成等比数列，∴(5a1)(3a1)(9a1)，2351112即aa，所以ad1,2，1112an21，Sn，nn2又Sa2，所以nn215，nn7即（nn5）(3)0，所以n的最小值为6.19．（12分）解：（1）证明：记AC∩BD＝O，连A1O，因为∠A1AB＝∠A1AD，AD＝AB，所以△A1AB≌△A1AD，因此A1B＝A1D，又BO＝DO，故△A1BO≌△A1DO，所以A1O⊥BD，zD1C1在菱形ABCD中BD⊥AC，A1B1所以BD⊥平面A1AC．（方法一）y（2）解：因为∠BA1D＝90，O是BD的中点，DC故有AO＝BO，所以△ABO≌△AAO，11O因此∠AOA＝∠AOB＝90，ABx11故A1O⊥AC，数学试题A第2页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} 由此A1O⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,1)，→→设平面BA1C的一个法向量为n＝(x,y,z)，而BC＝(－1,3,0)，A1C＝(0,3,－1)，→n·BC＝－x＋3y＝0，由令x＝－3得n＝(－3,－1,－3)，→n·A1C＝3y－z＝0，显然平面C1A1C的一个法向量可以是m＝(1,0,0)，设平面A1BC与平面A1ACC1夹角为θ，m·n－321则cosθ＝|cos＜m，n＞|＝||＝||＝．|m||n|7721所以平面A1BC与平面A1ACC1夹角的余弦值为7（方法二）（2）解：因为∠BA1D＝90，O是BD、AC的中点，故有A1O＝BO，所以△ABO≌△AA1O，因此∠A1OA＝∠A1OB＝90，故A1O⊥AC，由此A1C＝A1A＝2，D1C1又因BD⊥平面A1ACC1，A1B1过点O作OE⊥A1C于点E，连接BE，E因此BE⊥A1C，所以∠BEO就是平面A1BC与平面A1ACC1所成二面角D的平面角即平面A1BC与平面A1ACC1的夹角，CO在△A1OC中，A1O＝1，OC＝3，A1C＝2，AB3因此OE＝，27在△A1BC中，A1B＝2，BC＝2，A1C＝2，因此BE＝，2321cos∠BEO＝＝．7721所以平面A1BC与平面A1ACC1夹角的余弦值为.720．（12分）解：（1）当a＝－1时，f(x)＝x＋ln(x＋1)，………………………………………1分11f′(x)＝＋，……………………………………………………………………2分2xx＋111故f′(1)＝＋＝1，……………………………………………………………………3分22而f(1)＝1＋ln2，………………………………………………………………………4分所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1＋ln2)＝x－1，即y＝x＋ln2．…………………………………………………………………………5分数学试题A第3页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} （2）函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，221ax＋1－2ax(x－a)＋1－af′(x)＝－＝＝，……………………………7分2xx＋12x(x＋1)2x(x＋1)①当a≤0时，x∈(0，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，…………………………………………………………8分②当0＜a≤1时，x∈(0，＋∞)，f′(x)≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，……………………………………………9分2222③当a＞1时，令f′(x)＝0得x1＝(a－a－1)，x2＝(a＋a－1)，当0≤x<x1，或x>x2时，f′(x)＞0，……………………10分当x1<x<x2时，f′(x)＜0，……………………………………………11分因此，f(x)在[0，x1)和(x2，＋∞)单调递增，在(x1，x2)内单调递减．……12分21．（12分）解：（1）在△BCD中，因为AB，AB2003米，6所以BC=200米，…………………1分CDBC又由正弦定理可得：，…………………………………………2分sinBsinCDBCD20012即22，所以CD=1002米………………………………………………………3分（2）设CDA，5………………………………………………………4分66510000sin()所以16SADDCsin平方米…………………………………5分ADC2sin在ADC中，由正弦定理可得ACADCD，sinsinACDsinA5200sin()100所以AD6米，CD=米………………………………………………6分sinsin又S100003平方米ABC5sin()所以S10000[36]平方米……………………………………………7分BCDsin设三项费用之和为1005f()=200SADC+100SBCD+10000,sin6651sin()cos1=106（361）=106（332)………………………………9分sinsin2sin数学试题A第4页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} 12222（cos-sin）cos+sin（方法一）f()=6332222210[]22cossin22=633311………………………………………………………10分10[tan]2442tan2633311(元)…………………………………11分10[2tan]200000032442tan2311tan2当且仅当4tan42，即tan3得时等号成立.……………………12分22311cos1cos（方法二）令t2求导t2………………………………………10分2sinsin12t0,解得cos,即(,)单调递减，263125t0,解得cos,即(,)单调递减增，2362当时，f()有小值，……………………………………………………………11分32带入计算f()20000003（元）32所以当CDA时，政府的总投资最少为23百万元．…………………………12分322．（12分）n＋1（1）解：由已知当n≥2时，An－1＝3an－1，Bn－1＝2－bn－1，n＋2n＋1所以an＝An－An－1＝3an－3an－1，n＋1n＋1nn－1543故有当n≥2时，an＝an－1＝•••••…•••••a1＝n(n＋1)，n－1n－1n－2n－3321而当n＝1时，a1＝2满足an＝n(n＋1)，bn＝Bn－Bn－1＝2－bn－2＋bn－1＝bn－1－bn，1bn＝bn－12b1＝B1＝2－b1即b1＝1，11所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝n－1．221因此an＝n(n＋1)，bn＝n－1．2（2）证明：①（方法一）数学试题A第5页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#} 由（1）知c1＝2＝a1•b1，c2＝a2•b1＋(a1＋a2)b2，c3＝a3(b1＋b2)＋(a1＋a2＋a3)b3，c4＝a4(b1＋b2＋b3)＋(a1＋a2＋a3＋a4)b4，……cn＝an(b1＋b2＋…＋bn－1)＋(a1＋a2＋…＋an)bn(n≥2)所以Sn＝(a1＋a2＋…＋an)•(b1＋b2＋…＋bn)（方法二）当n＝1时，S1＝c1＝2＝a1•b1，等式成立，假设当n＝k时，等式成立，即Sk＝(a1＋a2＋…＋ak)•(b1＋b2＋…＋bk)，当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ck＋1＝(a1＋a2＋…＋ak)•(b1＋b2＋…＋bk)＋ak＋1(b1＋b2＋…＋bk)＋(a1＋a2＋…＋an＋ak＋1)bk＋1＝(a1＋a2＋…＋an＋ak＋1)(b1＋b2＋…＋bk)＋(a1＋a2＋…＋an＋ak＋1)bk＋1＝(a1＋a2＋…＋an＋ak＋1)(b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1)，等式成立所以Sn＝(a1＋a2＋…＋an)•(b1＋b2＋…＋bn)②由①得：Sn＝(a1＋a2＋…＋an)•(b1＋b2＋…＋bn)11＝(1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1))•(1＋＋…＋n－1)221＝(1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1))•2(1－n)2＜2(1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1))n＋n＋12n＋1因为n×(n＋1)＜＝，22352n＋1故有Sn＜2(＋＋…＋)＝3＋5＋…＋2n＋1＝n(n＋2)．222数学试题A第6页（共6页）{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}