函数嵌套问题（解析版）
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专题5函数嵌套2x251．已知函数fx()=−−(xx1)e，设关于x的方程f()x−=∈mfx()(mR)有n个不同的实数解，则n的所e有可能的值为()A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6x22xx【解析】解：fxex′=()(2−++1))(xxeexx−−1)=(+−2)，∴当x<−2或x>1时，fx′>()0，当−<<21x时，fx′<()0，∴fx()在(−∞−,2)上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，5fx()的极大值为f(2)−=，fx()的极小值为f（1）=−e．2e作出fx()的函数图象如图所示：2525f()x−=∈mfx()(mR)，∴f()x−mfx()−=0，ee220△=+>m0，e5令fxt()=则，则tt=−．不妨设tt<<0，1212e5（1）若te<−，则0<<t，此时fxt()=无解，fxt()=有三解；12212e5（2）若te=−，则t=，此时fxt()=有一解，fxt()=有两解；12212e5（3）若−<<et0，则t>，此时fxt()=有两解，fxt()=有一解；12212e25综上，f()x−=mfx()有三个不同的实数解．e故选：A．||x22．已知函数fx()=(xR∈)，若关于x的方程f()x−mfx()+−=m10恰好有4个不相等的实数根，则xe,实数m的取值范围为()2e2e12eA．(1,+1)B．(0,)C．(1,+1)D．(,1)2e2ee2exx…0xe,【解析】解：化简可得fx()=，−x,0x<xe1−xxx()xe′−xe2x12−x当x>0时，fx()0…，fx′=()==，xx2x()ee2xe11当0<<x时，fx′>()0，当x>时，fx′<()0，2212112222e故当x=时，函数fx()有极大值f()====；1222ee2ee21xx−e−−xe2−x−+12x当x<0时，fx′=()=<0，fx()为减函数，x2x()e2−xe作出函数fx()对应的图象如图：12e∴函数fx()在(0,+∞)上有一个最大值为f()=；22e设tfx=()，2e当t>时，方程tfx=()有1个解，2e2e当t=时，方程tfx=()有2个解，2e2e当0<<t时，方程tfx=()有3个解，2e当t=0时，方程tfx=()有1个解，当t<0时，方程mfx=()有0个解，22则方程f()x−mfx()+−=m10等价为t−+−=mtm10，2等价为方程t−+−=−mtm1(t1)[t−−=(m1)]0有两个不同的根t=1，或tm=−1，当t=1时，方程tfx=()有1个解，2要使关于x的方程f()x−mfx()+−=m10恰好有4个不相等的实数根，2e则tm=−∈1(0,)，2e,2e2e即01<−<m，解得11<<m+，2e2e2e则m的取值范围是(1,+1)2e故选：a．|x−1|ex,0>23．已知函数fx()=，若方程f()x+bfx()20+=有8个相异实根，则实数b的取值范围(2−−+xxx21,„0)A．(4,2)−−B．(4,22)−−C．(3,2)−−D．(3,22)−−22【解析】解：令fxt()=，则方程f()x+bfx()20+=⇔方程t++=bt20．|x−1|ex,0>如图是函数fx()=，的图象，根据图象可得：2−−+xxx21,„022方程f()x+bfx()20+=有8个相异实根⇔方程t++=bt20．有两个不等实数解t，t12且t，t∈(1,2)．可得122=−>b8021++>b12022202++>b⇒−<<−3b22．<−<b122故选：d．,2−+x2,xx>024．已知函数fx()=，关于x的方程f()2()x−afx+−=a10(a∈R)有四个相异的实数根，则−+<lnx(1),x0a的取值范围是()a．(−∞,0)b．[1，+∞)c．(−∞,0)[2，+∞)d．(−∞，0)∪(1，+∞)2−+x2,xx>0【解析】解：函数fx()=的图象如图：−+<lnx(1),x02方程f()2()x−afx+−=a10(a∈r)有四个相异的实数根，必须fx()由两个解，一个fx()1>，一个fx()(0∈，1)，或者fx()(0∈，1)，另一个fx()0„，22f()2()x−afx+−=a10(a∈R)，可得fxa()=±aa−+1，22当a>1时，aaa+−+>11，aaa−−+∈1(0,1)．满足题意．22当a=1时，aaa+−+=12，aaa−−+=10，不满足题意．考察选项可知，D正确；故选：D．,33xxx−,0„25．已知函数fx()=xlnx+1，若关于x的方程f()x−mfx()10−=恰好有6个不相等的实根，则+>,0xxex实数m的取值范围是()11A．(2−，+1)B．(2−，0)(∪0，+1)ee321e+321e+C．(,−)D．(−，0)(∪0，)222ee+2ee+32【解析】解：当x„0时，fx()3=xx−，则fx′()=−=−+33x3(1x)(1x)，令fx′()0=得：x=−1，∴当x∈−∞−(,1)时，fx′()0<，fx()单调递减；当x∈−(1,0)时，fx′()0>，fx()单调递增，且f(1)−=−2，f(0)=0，xlnx+11−−xlnx当x>0时，fx()=+，则fx′()=+，显然f′（1）=0，xx2exex1∴当x∈(0,1)时，fx′()0>，fx()单调递增；当x∈(1,+∞)时，fx′()0<，fx()单调递减，且f（1）=+1，e故函数fx()的大致图象如图所示：，22令tfx=()，则关于x的方程f()x−mfx()10−=化为关于t的方程t−−=mt10，22△=+>m40，∴方程t−−=mt10有两个不相等的实根，设为t，t，12由韦达定理得：ttm+=，tt=−<10，不妨设t>0，t<0，1212122关于x的方程f()x−mfx()10−=恰好有6个不相等的实根，1∴由函数fx()的图象可知：01<<+t，−<<20t，12e,g(2)−>02设gt()=−−tmt1，则g(0)<0，1g(1+>)0e321e+解得：−<<m，22ee+故选：c．|x−1|2−1,x…0226．已知函数fx()=，若关于x的方程fx()(−+m1)()2fx+=m0有五个不同实根，则m的2xxx++<21,0值是()11a．0或b．c．0d．不存在22【解析】解：画出函数fx()的图象，如图所示：,，当fx()1=时，有三个根，222把fx()1=代入方程fx()(−+m1)()2fx+=m0得，1(−++mm1)2=0，1解得：m=0或，2222当m=0时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0为fxfx()−=()0，所以fx()0=或1，所以有五个根，1222311当m=时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0为fx()−fx()+=0，所以fx()1=或，所以有7个根，2222舍去，22综上所求，m=0时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0有五个不同实根，故选：c．2(xx+2),„027．已知函数fx()=，方程f()x−=afx()0（其中a∈(0,2))的实根个数为p，所有这些实根|xx−>2|,0的和为q，则p、q的值分别为()A．6，4B．4，6C．4，0D．6，02【解析】解：f()x−=afx()0，∴=fx()0或fxa()=．作出fx()的函数图象如图所示：,由图象可知fx()0=有两解，fxa()=有四解．∴=p6．由图象可知fx()0=的两解为x=−2，x=2，fxa()=的四个解中，较小的两个关于直线x=−2对称，较大的两个关于直线x=2对称，∴=q0．故选：D．228．已知函数gx()=++ax(1)(lnx1)的图象在点(1e−，ge(−1))处的切线与直线xy++=610垂直3(e=2.71828…是自然对数的底数），函数fx()满足xfx()+−−=gx(1)x0，若关于x的方程21f()x−bfx()+=c0(b，cR∈，且c<0)在区间[,]e上恰有3个不同的实数解，则实数b的取值范围是(e)112A．(1,+2]B．[+−2,e2]22ee22112C．[ee−+2,]D．(2,+e]22ee【解析】解：函数gx()=++ax(1)(lnx1)的导数为gx′=()alnx(++1)a，22可得gx()图象在点(1e−，ge(−1))处的切线斜率为3a，由切线与直线xy++=610垂直，可得36a=，解得a=2，gx()=++2(x1)(lnx1)，3xfx()+−−=gx(1)x0，,2可得fx()=x−2lnx，22(xx−+1)(1)导数为fx′=−=()2x，2xx当x>1时，fx′>()0，fx()递增；当01<<x时，fx′<()0，fx()递减．即有x=1处fx()取得最小值1．1则fx()在[，e]的图象如右：e2若关于x的方程f()x−bfx()+=c0(b，cr∈，且c<0)1在区间[,]e上恰有3个不同的实数解，e2可令tfx=()，则t−+=btc0，（1）2可得t的范围是[1，e−2]，2方程（1）判别式为bc−>40，必有两不同的实数解，设为t，t，ttb+=，12121可得t=1，12<+t„，122e1即1<−b12„+，2e1解得23<+b„，①2e12又22+<te„−，21e112<+t„，22e112则3+<+=ttbe„+，②2212ee21由①②求并可得2<+be„，2e故选：d．,x29．已知函数fx()=，x∈−+∞(1,)，若关于x的方程fxmfx()+|()|2++=m30有三个不同的实数解，x+1则m的取值范围是()334344a．(−，0)b．(−，−)c．(−，−]d．(−，0)223233−1【解析】解：fx()1=+，yfx=|()|，x∈−+∞(1,)的图象如下：x+122设|()|fxt=，则|()|fx+mfx|()|2++=m30有三个不同的实数解，即为t+++=mt230m有两个根，23233①t=0时，代入t+++=mt230m得m=−，即tt−=0，另一根为只有一个交点，舍去222②一个在(0,1)上，一个在[1，+∞)上时，2设ht()=+++tmt2m3hm(0)=+>23034，解得−<−m„．h(1)=+++1mm230„23故选：C．2x210．已知函数fx()=，若关于x的方程[()]fx+mfxm()+−=10恰有3个不同的实数解，则实数m的取xe值范围是(),144A．(0,2)B．(1−,2)C．{1−,1}D．(1−,1)22eee22x2xx−【解析】解：函数fx()=的导数为fx′=()，xxee当02<<x时，fx′>()0，fx()递增；当x>2或x<0时，fx′<()0，fx()递减，可得fx()在x=0处取得极小值0，4在x=2处取得极大值<1，2e作出yfx=()的图象，设tfx=()，2关于x的方程fxm()+fxm()+−=10，2即为t++−=mtm10，解得t=−1或tm=−1，当t=−1时，fx()=−1无实根；4由题意可得当tm=−∈1(0,)，2e4解得1−=m或m=1，2e4所以m∈−(1，1)2e故选：D．x211．已知函数fx()=−1，若关于x的方程[()]fx+mfxm()+−=10恰有3个不同的实数解，则实数m的xe取值集合是()1A．(−∞，2)∪(2，+∞)B．(2−,+∞)e,11C．(2−,2)D．2−ee1−x1−x【解析】解：由题意fx′=()．令fx′=()=0，解得x=1；xxee且x>1时，fx′<()0，x<1时，fx′>()0，所以fx()在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，1在x=1处取极大值=−1．efx()大致图象如下：22令tfx=()，则[()]fx+mfxm()+−=10可化为t++−=mtm10．2假设m=2，则tt++=210．解得t=−1，即fx()=−1．根据fx()图象，很明显此时只有一个解，故m=2不符合题意，由此排除B选项；2假设m=3，则tt++=320，解得t=−2，t=−1．12即fx()=−2，或fx()=−1．根据fx()图象，很明显此时方程只有两个解，故m=3不符合题意，由此排除A选项．12111假设m=−2时，则tt+−+−=(2)10，解得t=−1，t=−1．12eeee1即fx()=−1或fx()=−1，e根据fx()的图象，很明显此时方程只有两个根，1故m=−2不符合题意，由此排除De故选：C．,||xfxx(),„012．已知函数fx()=+1，gx()=，且g（1）=0，则关于x的方程ggxt(())10−−=实||x2ex−+>2,0xax根个数的判断正确的是()A．当t<−2时，方程ggxt(())10−−=没有相异实根1B．当−+<<10t或t=−2时，方程ggxt(())10−−=有1个相异实根e1C．当11<<+t时，方程ggxt(())10−−=有2个相异实根e11D．当−<<−+11t或01<t„或t=+1时，方程ggxt(())10−−=有4个相异实根ee||xx−x【解析】解：当x„0时，fx()=+=1+=−+1xe1，||xx−ee因为g（1）=0，所以12−+=a0，所以a=1，x−+xe1,x„0所以gx()=，2xxx−+>21,0图象如图所示：x当x„0时，−x…0，e>0，x则−+xe11…，当且仅当x=0时等号成立，gx()在(−∞−,1)上是增加的，在(1,0)−上是减少的；当x>0时，fx()在(0,1)上是减少的，在(1,+∞)上是增加的，故gxg()…(1)−=0恒成立．故gx()在(−∞−,1)上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,+∞)上是增加的．令mgxt=()−，则gm()10−=，解得：m=0或m=2，当m=0即gxt()−=0时，gxt()=，当t<−2时，gx()<−2，无解，当m=2即gxt()−=2时，gx()2=+t，,当t<−2时，gx()0<，无解，故方程ggxt(())10−−=没有相异实根，故A正确；当t=−2时，由A可知：gx()0=，解得x=1，11当−+<<10t时，2+∈+t(1,2)，ee1由上可知fx()在x=−1时取得极大值为g(1)−=+1，e结合图象可知，此时yt=+2与gx()有且仅有一个交点，故B正确；1当11<<+t时，gxt()=或gx()2=+t，e若gxt()=，结合图象可知gx()与yt=有三个不同的交点，1若gx()2=+t，2+∈t(3,3+)，e此时gx()与yt=有一个交点，故方程ggxt(())10−−=有4个相异实根，故C错误；11当−<<−+11t时，gx()=+∈2t(1,1+)，ee由C可知此时有三个不等实根，当01<t„时，gxt()=或gx()2=+t，当gxt()=时，由图可知有两个不等实根，当gx()2=+t时，由图可知有一个实根，1当t=+1时，gxt()=或gx()2=+t，e当gxt()=时，由图可知有两个不等实根，当gx()2=+t时，由图可知有一个实根，故此时方程ggxt(())10−−=共有9个不等实根，故d错误．故选：ab．,lnxx,1…13．已知函数fx()=x，则函数gx()=ffx(()1)+的零点是1，若hx()=ffx(()1)++m有两个1,1−<x2零点x，x，则xx+的最小值是．1212lnxx,1…【解析】解：gx()=ffx(()1)+，fx()=x，1,1−<x2当x…1时，lnx…0，fx()11+…，则ffx(()1)+=lnlnx(+1)，xx当x<1时，1−+>11，则ffx(()1)+=ln(2−)．22lnlnx(+1),x…1∴gx()=ffx(()1)+=x，ln(2−<),x12x<1x…1令gx()0=，则或x，lnlnx(+=1)0ln(2−=)02解得x=1．故函数gx()=ffx(()1)+的零点是1；由上可知，ffx(()1)+=lnfx(()1)+，hx()=ffx(()1)++m有两个零点x，x，即lnfx(()1)+=−m有两根，12,−m−m也就是fx()1+=e，fxe()=−1有两根x，x，不妨设xx<，1212−mx1−m当x…1时，lnx=e−1，当x<1时，11−=−e，22−m1令te=−>1，则2tx1lnx=t，xe=，1−=t，xt=−22，2212t1∴xxe+=+−22t，t>，122t1设ϕ()te=+−22t，t>，2t1则ϕ′=−()te2，可得当t∈(，lnt)时，ϕ′<()0t，2当t∈(,)lnt+∞时，ϕ′>()0t，则ϕ()t的最小值为ϕ(2)ln=−422ln．∴+xx的最小值是422−ln．12故答案为：1；422−ln．lnxx,1…14．已知函数fx()=x，若Fx()=ffx(()1)++m有两个零点x，x，则xx的取值范围12121,1−<x2(,)−∞e．【解析】解：当x…1时，fx()=lnx…0，则fx()11+…，∴ffx(()1)+=lnfx(()1)+，x13当x<1时，fx()1=−>，则fx()1+>，222∴ffx(()1)+=lnfx(()1)+，综上可知，Fxffx()=(()1)++=mlnfx(()1)++m，−m−m令Fx()0=，得fx()1+=e，依题意，fxe()=−1有两个根x，x，不妨设xx<，1212−mx1−m当x…1时，lnx=e−1，当x<1时，11−=−e，22−m1tx1令te=−>1，则lnxtxe==−==−,,1tx,22t，22122t1∴xx=−>e(22),tt，122t1t设gt()=−>e(22),tt，则gt′=−<()2te0，2,1∴gt()在(,)+∞上单调递减，21∴gt()<=g()e，2∴xx的取值范围为(,)−∞e．12故答案为：(,)−∞e．ex,2x„xe2215．已知函数fx()=（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程fx()3|()|2−afx+=a0恰48x−>,2x5x124有5个相异的实根，则实数a的取值范围为{}[，)．2e5eex−【解析】解：当x„2时，令fx′=()=0，解得x=1，xe所以当x„1时，fx′>()0，则fx()单调递增，当12剟x时，fx′<()0，则fx()单调递减，4848x−4当x>2时，fx()==−单调递增，且fx()[0∈，)5xx555作出函数fx()的图象如图：2（1）当a=0时，方程整理得fx()0=，只有2个根，不满足条件；22（2）若a>0，则当fx()0<时，方程整理得fx()3()2+afx+=a[()2][()fx+afxa+=]0，则fx()=−<2a0，fx()=−<a0，此时各有1解，22故当fx()0>时，方程整理得fx()3()2−afx+=a[()2][()]0fx−afxa−=，1221efx()2=a有1解同时fxa()=有2解，即需21a=，a=，因为f（2）==>，故此时满足题22ee2意；,或fx()2=a有2解同时fxa()=有1解，则需a=0，由（1）可知不成立；或fx()2=a有3解同时fxa()=有0解，根据图象不存在此种情况，21a>24或fx()2=a有0解同时fxa()=有3解，则24，解得„a<，„a<e5e524故a∈[，)e5（3）若a<0，显然当fx()0>时，fx()2=a和fxa()=均无解，当fx()0<时，fx()=−2a和fx()=−a无解，不符合题意．124综上：a的范围是{}[，)2e5124故答案为{}[，)2e52a3xx++<1,016．已知函数fx()=x，若关于x的方程fxfx()+−=()0恰有四个不同的解，则实数a的取2lnx−>6,xx0值范围是(2,0)−．2a3xx++<1,0【解析】解：已知定义在(−∞，0)∪(0，+∞)上的函数fx()=x，2lnx−>6,xx0若fxfx()+−=()0在定义域上有四个不同的解2a2a等价于yx=++31关于原点对称的函数yx=−+−31与函数fx()=−>2lnx6(xx0)的图象有两个交点，xx2a联立可得2lnx−+63xx−+=10有两个解，x23即a=−++263xlnxxxx，x>0，23可设gx()2=−++xlnx6x3xx，x>0，2gx′=+−+()32lnx12x9x，22gx′′()=+18x−122…18x−12=0，可得gx′()在(0,+∞)递增，xx由g′（1）=0，可得01<<x时，gx′<()0，gx()递减；x>1时，gx′>()0，gx()递增，即gx()在x=1处取得极小值且为−2，2a作出ygx=()的图象，可得−<<20a时，2lnx−+63xx−+=10有两个解，x故答案为：(2,0)−．,xx+1,„0217．已知函数fx()=，若关于x的方程f()x−=afx()0恰有5个不同的实数解，则a的取2xxx−+>21,0值范围是(0,1)．【解析】解：作fx()的图象如下，，2fxafxfxfxa()−()=()(())0−=，∴=fx()0或fxa()=；fx()0=有两个不同的解，故fxa()=有三个不同的解，故a∈(0,1)；故答案为：(0,1)．18．已知函数fxxx()=−−+|1|3x3．（1）求函数fx()的零点；2（2）若关于x的方程f()x−mfx()+=n0(m、nR∈)恰有5个不同的实数解，求实数m的取值范围．,2−−+<xxx23,(1)【解析】解：（1）由题得fxxx()=|−−+=1|3x3，2xxx−+43,(…1)①当x<1时，令fx()0=，得x=−3或x=1（舍)；②当x…1时，令fx()0=，得x=1或x=3，∴函数fx()的零点是−3，1，3；2−−+<xxx23,(1)（2）作出函数fxxx()=|−−+=1|3x3的大致图象，如图：2xxx−+43,(…1)2令tfx=()，若关于x的方程f()x−mfx()+=n0恰有5个不同的实数解，2解法一：则函数gt()=−+tmtn的零点分布情况如下：g(1)−=010++=mn①当t=−1，t∈−(1,4)时，则g(4)>0，得164−+>mn0，故m∈−(2,3)；12bm−<−14<−<<142a2g(4)=0164−+=mn0②当t=4，t∈−(1,4)时，则g(1)−>0，得10++>mn，故m∈(3,8)．12bm−<−14<−<<142a2综上所述，实数m的取值范围为m∈−(2，3)∪(3，8)；2解法二：则方程t−+=mtn0的根的情况如下：2①当t=−1，t∈−(1,4)时，由t=−1得10++=mn，则方程t−−+=mt(m1)0，即(t+−−=1)(tm1)0，故121tm=+∈−1(1,4)，所以m∈−(2,3)；22②当t=4，t∈−(1,4)时，由t=4得164−+=mn0，则方程t−+−=mt4(m4)0，即(t−−+=4)(tm4)0，121故tm=−∈−4(1,4)，所以m∈(3,8)．2,综上所述，实数m的取值范围为m∈−(2，3)∪(3，8)．ππ2π19．已知函数fx()=sin(x−−)2cosx+∈1,xR．468（1）求函数fx()的最小正周期及单调递增区间；24（2）若关于x的方程4f()x−mfx()+=10在x∈,4内有实数解，求实数m的取值范围．3【解析】解：（1）ππ2ππππππ33ππππfx()=sin(x−−)2cosx+=1sincos−cosxsin−cosx=sinx−cosx=3sin(x−…)（3分）46846464242443∴函数fx()的最小正周期为8．…（4分）ππππ210令22kππ−−+剟xk，kZ∈，求得88k−+剟xk，kz∈，故函数的单调递增区间为243233210[8kk−+,8]，kZ∈…（6分）334ππ2（2）设tfx=()，x∈(，4)，∴x−∈(0,π)，∴∈fx()(0，3]，34332∴方程4t−+=mt10在t∈(0，3]内有实数解，即当t∈(0，3]时方程有实数解．…（10分）1144tt+=…当且仅当时取等号，∴m…4，…（8分）故实数m的取值范围是[4，+∞)．…（12分）t220．已知函数gx()对一切实数x，yR∈都有gxygy()()(22+−=+−xxy)成立，且g（1）=0，gx()hx()=+++gx(1)bxcb(，cR∈)，fx()=．x（Ⅰ）求g(0)的值和gx()的解析式；（Ⅱ）记函数hx()在[1−，1上的最大值为M，最小值为m．若Mm−„4，当b>0时，求b的最大值；x2k（Ⅲ）若关于x的方程fk(|2−+1|)−=30有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．x|2−1|【解析】解：（Ⅰ）令x=1，y=0得g（1）−=g(0)−1，g（1）=0，∴=g(0)1，令y=0得gxg()−=−(0)xx(2)，2即gxx()=−+21x．2（Ⅱ）hx()=+++=++gx(1)bxcxbxc．b①当−<−1，即b>2时，Mmh−=（1）−−=>hb(1)24，与题设矛盾2,bbb2②当−−<10„时，即02<b„时，mmh−=（1）−−=+h()(1)„4恒成立，222综上可知当02<b„时，b的最大值为2．x（3）当x=0时，210−=则x=0不是方程的根，x2k方程fk(|2−+1|)−=30可化为：x|2−1|xx2x|2−−+1|(23)|2kk−++=1|(12)0，|2−≠1|0，x令|2−=1|t，则方程化为2t−+(23)kt++=(12)k0，(t>0)，x2k方程fk(|2−+1|)−−=310有三个不同的实数解，x|2−1|x∴由t=|2−1|的图象知，2t−+(23)kt++=(12)k0，(t>0)，有两个根t、t，12且01<<<tt或01<<t，t=1．12122记ht()=−+t(23)kt++(12)k，hk(0)=+>210则，此时k>0，hk(1)=−<0hk(0)=+>210或hk(1)=−=0，此时k无解，32k+01<<2综上实数k的取值范围是(0,+∞)．</tt或01<<t，t=1．12122记ht()=−+t(23)kt++(12)k，hk(0)=+></b„时，mmh−=（1）−−=+h()(1)„4恒成立，222综上可知当02<b„时，b的最大值为2．x（3）当x=0时，210−=则x=0不是方程的根，x2k方程fk(|2−+1|)−=30可化为：x|2−1|xx2x|2−−+1|(23)|2kk−++=1|(12)0，|2−≠1|0，x令|2−=1|t，则方程化为2t−+(23)kt++=(12)k0，(t></xxx23,(1)【解析】解：（1）由题得fxxx()=|−−+=1|3x3，2xxx−+43,(…1)①当x<1时，令fx()0=，得x=−3或x=1（舍)；②当x…1时，令fx()0=，得x=1或x=3，∴函数fx()的零点是−3，1，3；2−−+<xxx23,(1)（2）作出函数fxxx()=|−−+=1|3x3的大致图象，如图：2xxx−+43,(…1)2令tfx=()，若关于x的方程f()x−mfx()+=n0恰有5个不同的实数解，2解法一：则函数gt()=−+tmtn的零点分布情况如下：g(1)−=010++=mn①当t=−1，t∈−(1,4)时，则g(4)></x时，gx′<()0，gx()递减；x></e5e524故a∈[，)e5（3）若a<0，显然当fx()0></a0，此时各有1解，22故当fx()0></x2(,)−∞e．【解析】解：当x…1时，fx()=lnx…0，则fx()11+…，∴ffx(()1)+=lnfx(()1)+，x13当x<1时，fx()1=−></t„时，gxt()=或gx()2=+t，当gxt()=时，由图可知有两个不等实根，当gx()2=+t时，由图可知有一个实根，1当t=+1时，gxt()=或gx()2=+t，e当gxt()=时，由图可知有两个不等实根，当gx()2=+t时，由图可知有一个实根，故此时方程ggxt(())10−−=共有9个不等实根，故d错误．故选：ab．,lnxx,1…13．已知函数fx()=x，则函数gx()=ffx(()1)+的零点是1，若hx()=ffx(()1)++m有两个1,1−<x2零点x，x，则xx+的最小值是．1212lnxx,1…【解析】解：gx()=ffx(()1)+，fx()=x，1,1−<x2当x…1时，lnx…0，fx()11+…，则ffx(()1)+=lnlnx(+1)，xx当x<1时，1−+></t„或t=+1时，方程ggxt(())10−−=有4个相异实根ee||xx−x【解析】解：当x„0时，fx()=+=1+=−+1xe1，||xx−ee因为g（1）=0，所以12−+=a0，所以a=1，x−+xe1,x„0所以gx()=，2xxx−+></x时，fx′></te„−，21e112<+t„，22e112则3+<+=ttbe„+，②2212ee21由①②求并可得2<+be„，2e故选：d．,x29．已知函数fx()=，x∈−+∞(1,)，若关于x的方程fxmfx()+|()|2++=m30有三个不同的实数解，x+1则m的取值范围是()334344a．(−，0)b．(−，−)c．(−，−]d．(−，0)223233−1【解析】解：fx()1=+，yfx=|()|，x∈−+∞(1,)的图象如下：x+122设|()|fxt=，则|()|fx+mfx|()|2++=m30有三个不同的实数解，即为t+++=mt230m有两个根，23233①t=0时，代入t+++=mt230m得m=−，即tt−=0，另一根为只有一个交点，舍去222②一个在(0,1)上，一个在[1，+∞)上时，2设ht()=+++tmt2m3hm(0)=+></x时，fx′<()0，fx()递减．即有x=1处fx()取得最小值1．1则fx()在[，e]的图象如右：e2若关于x的方程f()x−bfx()+=c0(b，cr∈，且c<0)1在区间[,]e上恰有3个不同的实数解，e2可令tfx=()，则t−+=btc0，（1）2可得t的范围是[1，e−2]，2方程（1）判别式为bc−></m，22ee+故选：c．|x−1|2−1,x…0226．已知函数fx()=，若关于x的方程fx()(−+m1)()2fx+=m0有五个不同实根，则m的2xxx++<21,0值是()11a．0或b．c．0d．不存在22【解析】解：画出函数fx()的图象，如图所示：,，当fx()1=时，有三个根，222把fx()1=代入方程fx()(−+m1)()2fx+=m0得，1(−++mm1)2=0，1解得：m=0或，2222当m=0时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0为fxfx()−=()0，所以fx()0=或1，所以有五个根，1222311当m=时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0为fx()−fx()+=0，所以fx()1=或，所以有7个根，2222舍去，22综上所求，m=0时，方程fx()(−+m1)()2fx+=m0有五个不同实根，故选：c．2(xx+2),„027．已知函数fx()=，方程f()x−=afx()0（其中a∈(0,2))的实根个数为p，所有这些实根|xx−></lnx(1),x02方程f()2()x−afx+−=a10(a∈r)有四个相异的实数根，必须fx()由两个解，一个fx()1></lnx(1),x0a的取值范围是()a．(−∞,0)b．[1，+∞)c．(−∞,0)[2，+∞)d．(−∞，0)∪(1，+∞)2−+x2,xx></b122故选：d．,2−+x2,xx></t时，方程tfx=()有3个解，2e当t=0时，方程tfx=()有1个解，当t<0时，方程mfx=()有0个解，22则方程f()x−mfx()+−=m10等价为t−+−=mtm10，2等价为方程t−+−=−mtm1(t1)[t−−=(m1)]0有两个不同的根t=1，或tm=−1，当t=1时，方程tfx=()有1个解，2要使关于x的方程f()x−mfx()+−=m10恰好有4个不相等的实数根，2e则tm=−∈1(0,)，2e,2e2e即01<−<m，解得11<<m+，2e2e2e则m的取值范围是(1,+1)2e故选：a．|x−1|ex,0></x时，fx′></t，此时fxt()=无解，fxt()=有三解；12212e5（2）若te=−，则t=，此时fxt()=有一解，fxt()=有两解；12212e5（3）若−<<et0，则t>
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