山东省 2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

高三年级10月份阶段性测试数学试题考试时间：120分钟2023.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则的真子集个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可求得集合，由集合的元素个数可求得结果.【详解】由得：，又，，共个元素，的真子集个数为个.故选：C.2.已知向量，，则（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量，，所以，又，所以，所以，-20- 所以.故选：B.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.【详解】，故选：C4.如果不等式的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法，结合题意进行求解即可.【详解】，因为不等式的正整数解是1，2，3，所以，故选：C5.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃-20- 圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据）A.64个月B.40个月C.52个月D.48个月【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得以及，根据题目要求列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，，两式相除得，则，由两边取以为底的对数得，由，得，两边取以为底的对数得个月.故选：B6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（）A.30B.C.D.41【答案】B【解析】【分析】由题意数列是以首先为，公差为的等差数列，由此可以求出数列的通项公式以及前n项和为，进而结合基本不等式即可求解.【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，-20- 被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，数列的第一个公共项为，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，所以数列的通项公式为，由等差数列前项公式得，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.7.方程（x，，）解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组【答案】C【解析】【分析】将方程整理为，构造函数，利用导数研究函数的单调性得到的图象，然后结合且求解即可.-20- 【详解】由题意得，即，即，令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，上单调递减，图象如下所示：因为，，所以当时成立，又，，所以或，即或，所以方程的解的组数为2组.故选：C.8.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到-20- ,结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为,由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以,所以当时，，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算公式，准确化简是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列结论正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“，有”的否定是“，使”D.“是方程的实数根”的充要条件是“”【答案】ABD【解析】【分析】根据充分条件与必要条件，逐一检验，可得答案.【详解】对于A，由不等式，则或，所以，但，-20- 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于B，由，则且；当，时，则，显然，，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，“，有”的否定是“，使”，故C错误；对于D，根据方程实数根的定义，故D正确.故选：ABD10.设是R上的奇函数，且，当时，，则（）A.B.的图象关于点对称C.的周期为4D.在上有7个零点【答案】BC【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于C，因为，则，所以的一个周期为4，故C正确；对于B，因为是上的奇函数，则，即图象关于对称，因为关于点对称，所以的图象关于点对称，又的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确；对于D，由是上的奇函数，关于对称，周期为4，又当时，，令，得，从而作出在上的大致图象，-20- 注意到，，所以在上有8个零点，故D错误.故选：BC.11.已知函数的图像过点和，的最小正周期为T，则（）A.T可能取B.在上至少有3个零点C.若函数的图像在上的最高点和最低点共有4个，则D.直线可能是曲线的一条对称轴【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．【详解】由图可知，，即，而，所以，又，所以，即，，所以．对A，若，则，，显然，无整数解，A错误；-20- 对B，由可得，，因为，所以，故有解，即在上至少有3个零点，B正确；对C，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，解得：，而，，所以，当时，符合，C正确．对D，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，即，，又，，所以，，符合，D正确；故选：BCD．12.已知集合，，集合，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列，为数列的前n项和，则（）A.B.或2C.D.若存在使，则n的最小值为26【答案】ABC【解析】【分析】由集合A和集合B中元素的特征，判断集合C中元素特征和顺序，验证各选项中结论.【详解】对于选项A，由题意的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9，，故A正确；对于选项B，集合A为奇数集，集合B中的元素都是偶数，按照从小到大排列，若连续的两个数是奇数，则，-20- 若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则，故B正确；对于选项C，令，∵比小1，∴的前k项中，来自集合A的有个，来自集合B的有n个，∴，即，故C正确；对于选项D，的前26项包括A集合的1，3，5，…，41共21个，B集合的2，4，8，16，32共5个，∴，∵，，，不符合条件，故D错误．故选:ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果.【详解】由得：，，，，.故答案为：14.已知正实数a，b满足，则的最小值为______．【答案】【解析】-20- 【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为正实数a，b满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.15.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.【详解】由，得，令，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，取最大值，最大值为0；又，，如下图，-20- 令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：.16.在中，点是上的点，平分，面积是面积的3倍，且，则实数的取值范围为______；若的面积为1，当最短时，______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，求得，结合，求得，进而求得，得到，再由的面积为，求得可得，根据由余弦定理得，令，化简得到，结合基本不等式，得到时，取得最小值，进而求得，即可求得的值.【详解】设的三个角对的边分别为，因为且平分，可得，可得，由三角形的内角平分线定理，可得，又由，则-20- ，因为，可得，所以，则，所以，由的面积为，可得，可得，又由余弦定理得，令，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，此时，则，所以，可得，即当最短时，.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，.-20- （1）求向量与的夹角的余弦值；（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【小问1详解】，，，则；【小问2详解】，，与同向的单位向量.∴在上的投影向量，.18.已知集合，．（1）是否存在正实数a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，试说明理由；（2）若命题p：，命题q：且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）存在；（2）或【解析】【分析】（1）化简集合A，根据集合相等列方程即可求解，（2）根据充分不必要条件转化为真子集的关系，即可对分类讨论求解.【小问1详解】∵，∴，-20- 若使，则，解得，故存在使集合A，B相等．【小问2详解】依题意，有，，故是的真子集，由得，当时，，不满足题意；当时，，则或，解得，当时，，则，解得，所以实数a的取值范围是或．19.数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可；（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.【小问1详解】-20- ∵，，则，∴，两式相除得：，当时，，∴，即，当时，，∴，即，综上所述，的通项公式为：；【小问2详解】由题设及（1）可知：，20.已知函数，．（1）若为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数m的取值范围；（3）定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界．若函数在-20- 上是以为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.【小问1详解】因为为奇函数，所以对定义域内的x，有恒成立，即，即，解得，经检验，不合题意，故；【小问2详解】由（1）得，令，则，由，所以，当时，，当时，，所以值域为，又因为函数存在零点，等价于方程有解，所以实数m取值范围是；【小问3详解】-20- 由已知，在上恒成立，即在上恒成立，令，由，所以，得，即在上恒成立，记，，易得在上单调递增，所以，由于，当且仅当时取等号，故，因此实数a的取值范围是．21.如图，四边形ABCD中，已知，.（1）若ABC的面积为，求ABC的周长；（2）若，，，求∠BDC的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，结合余弦定理可得，由ABC的面积为可得，后由余弦定理可得AC即可得周长；（2）由（1）结合，，可设，则，后由正弦定理可得，即可得答案.【小问1详解】由余弦定理，在中，.-20- 又，，则.又ABC的面积为，则.则，则ABC的周长为.【小问2详解】由（1）可知，又，，四边形内角和为，则.设，则.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，则，则.则.22.已知函数，且．（1）求实数a的取值范围；（2）已知，证明：．【答案】（1）-20- （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数最小值，通过最小值，即可得出答案；（2）利用小问（1）构造函数，利用累加法，即可得出答案.【小问1详解】，由解得，故在区间上单调递增，由解得，故在区间上单调递减，故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．【小问2详解】由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，令，则，所以，，，令，则，所以，函数在上单调递增，故时，，即．所以，，所以．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是借助得出，结合累加求和可证结论.-20-