河北省保定市部分高中2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

2022级高二上学期10月考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知直线l1:a-1x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行，则a等于（    ）A．3或—2B．—2C．3D．22．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（）A．52B．72C．3D．53．已知等差数列an中，a1+a7+a13=4π，则tana2+a12的值为（    ）A．-3B．3C．-33D．334．已知F1、F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2=60°，S△F1PF2=3ac，则双曲线的离心率为（  ）A．1+52B．3+12C．3D．25．实数x,y满足x2+y2+2x=0,则y-1x-1的取值范围是（    ）A．0,43B．-∞,0∪43,+∞C．-1,13D．(-∞,-1]∪13,+∞6．在空间四边形OABC中，E,F分别是OA,BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP，设OA=a，OB=b，OC=c，则下列等式不成立的是（    ）A．OF=12b+12cB．EP=-16a+16b+16cC．FP=-13a+13b+13cD．OP=13a+16b+16c7．已知抛物线y2=45x,F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A=π4，则双曲线的标准方程为（    ） A．x210-y2=1B．x2-y216=1C．x2-y24=1D．x24-y2=18．已知过椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0左焦点F且与长轴垂直的弦长为32，过点P(2,1)且斜率为-1的直线与C相交于A,B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（    ）A．6B．22+3C．23+3D．32+3二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．直线3x+y+1=0的倾斜角为120°B．经过点P(2,1)，且在x,y轴上截距互为相反数的直线方程为x-y-1=0C．直线l:mx+y+2-m=0恒过定点(1,-2)D．直线l1:ax+2ay+1=0,l2:(a-1)x-(a+1)y-4=0，l1⊥l2，则a=-3或010．已知双曲线C:x29-y216=1的焦点分别为F1,F2，则下列结论正确的是（    ）A．渐近线方程为3x±4y=0B．双曲线C与椭圆x225+y29=1的离心率互为倒数C．若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为28D．若从双曲线C的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为611．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（    ）A．AD1//PQB．A1D⊥PQC．直线B1Q与AD1所成角的余弦值为31010D．Q到平面AB1P的距离为62 12．已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线y2=4x上一动点，Q是⊙C:x-42+y-12=1上一动点，则下列说法正确的有（    ）A．PF的最小值为1B．QF的最小值为10C．PF+PQ的最小值为4D．PF+PQ的最小值为10+1三、填空题13．圆心在直线x-y-4=0上，且过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为.14．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ0<λ<4，则点G到平面D1EF的距离为．15．已知抛物C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若PF=3FQ，则P到准线l的距离为.16．已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，E上两点A,B满足3AF2=2F2B,AF1=2AF2，则E的离心率为．四、解答题17．已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0．求(1)m取何值时两圆外切？(2)当m=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．18．记Sn为数列an的前n项和，已知Sn=2an-2n+1.(1)证明：数列an2n是等差数列；(2)设k为实数，且对任意n∈N*，总有k>Sn-2an，求k的最小值. 19．四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；(2)证明：OE//平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD．PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC//AD，BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点（Ⅰ）求证：DM//平面PAB．（Ⅱ）是否存在点E，使得二面角P-DE-B的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．21．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为-45.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知椭圆C的左､右顶点分别为A,B，且AB=6，点M是C上任意一点（与A,B不重合），直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q,O为坐标原点，求OP⋅OQ.22．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为233，且焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的方程；(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值. 数学答案1C2B3A4A5A6C7C8D9AC10CD11ABD12AC13．x-32+y+12=1614．45515.516．5517.(1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+y-62=61-mm<61，则圆心分别为M1,3,N5,6，半径分别为11和61-m，当两圆外切时，满足(5-1)2+(6-3)2=11+61-m⇒m=25+1011；（2）当m=45时，有61-m=4，则4-11<(5-1)2+(6-3)2<4+11，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：x2+y2-2x-6y-1-x2+y2-10x-12y+45=0，即4x+3y-23=0，圆心M1,3到直线4x+3y-23=0的距离d=4+9-2342+32=2，所以公共弦长l=211-4=27．18．(1)（1）数列an的前n项和Sn=2(an-2n+1)，则Sn+1=2(an+1-2n+1+1)，于是an+1=Sn+1-Sn=2(an+1-2n+1+1)-2(an-2n+1)=2an+1-2an-2n+1，即an+1=2an+2n+1，因此an+12n+1=an2n+1，而a1=S1=2(a1-1)，解得a1=2，所以数列an2n是首项a12=1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知an2n=1+(n-1)×1=n，即an=n⋅2n，于是Sn-2=2(an-2n)=(n-1)2n+1，因此Sn-2an=(n-1)2n+1n⋅2n=2-2n，而恒有2-2n<2成立，所以不等式k>2-2n恒成立时，k≥2，即k的最小值为2.19.(1）由题意，PO,OC,OB两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，   菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以BD=2OB=2,在Rt△AOB中OA=AB2-OB2=3，因为PO⊥底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBO=60°，所以PO=OB⋅tan60°=3，则点A、B、D、P的坐标分别是A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)，E是PB的中点，则E(12,0,32)，于是DE=(32,0,32)，AP=(0,3,3).设DE,AP的夹角为θ，则有cosθ=3294+343+3=24.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为24；（2）连接OE，∵E,O分别是PB,BD的中点，∴EO//PD，∵EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EO//平面PAD.因为AP=(0,3,3)，AD→=(-1,3,0),设平面PAD的法向量n→=(x,y,z)，则n⋅AD=-x+3y=0n⋅AP=3y+3z=0，令x=3，则y=1,z=-1，所以n→=(3,1,-1)，又DE=(32,0,32)，则点E到平面PAD的距离d=|DE⋅n→||n→|=|332-32|3+1+1=35=155.20．（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,4,0) 点M为PC中点，故M(1,2,1)故DM=(1,0,1)，又AP=(0,0,2)，AB=(2,0,0)所以DM=12AP+12AB所以DM，AP，AB为共面向量，DM⊄平面PAB，所以DM//平面PAB．（Ⅱ）设E(2,a,0)，0<a<4依题意可知平面BDE的法向量为AP=(0,0,2)，DP=(0,-2,2)，DE=(2,a-2,0)设平面PDE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DP=-2y+2z=0n⋅DE=2x+(a-2)y=0，令z=1，则n=2-a2,1,1．因为二面角P-DE-B的余弦值为23，所以cosAP,n=AP⋅nAP⋅n=23，即22×2-a22+1+1=23，解得a=1或a=3．所以存在点E符合题意，当BE=1或BE=3时，二面角P-DE-B的余弦值为23．21．（1）根据题意可得椭圆C的上顶点的坐标为0,b，左､右焦点的坐标分别为-c,0,c,0，由题意可知bc⋅-bc=-45，即b2=45c2，又a2=b2+c2，所以a2=95c2，即c2a2=59,ca=53， 可得椭圆C的离心率e=53.（2）由AB=6，得2a=6，即a=3,c=5,b=2，所以椭圆C的方程为x29+y24=1.如图所示：  设Mx0,y0，则x029+y024=1，即y02=36-4x029，又A-3,0,B3,0，则直线MA的方程为y=y0x0+3x+3，直线MB的方程为y=y0x0-3x-3；因为直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q，可得P5,8y0x0+3,Q5,2y0x0-3，所以OP⋅OQ=5,8y0x0+3⋅5,2y0x0-3=25+16y02x02-9=25+1636-4x029x02-9=25-649=1619.即OP⋅OQ=1619.22．（1）设双曲线C的一个焦点为Fc,0，一条渐近线的方程为bx-ay=0，所以焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b=1.因为e=ca=233，所以a=3，c=2，所以双曲线C的方程为x23-y2=1.（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±3，又渐近线方程为：y=±33x，此时PQ=2，S△OPQ=12×3×2=3. 当直线l的斜率存在时，不妨设直线l：y=kx+m，且斜率k≠±33，联立方程组y=kx+m,x23-y2=1,得1-3k2x2-6mkx-3m2-3=0，由Δ=36m2k2+41-3k23m2+3=0，得3k2=m2+1，联立方程组y=kx+m,y=33x,得x=-3m3k-1.不妨设直线l与y=33x的交点为P，则xP=-3m3k-1.同理可求xQ=-3m3k+1，所以PQ=1+k2×xP-xQ=23mk2+11-3k2.因为原点O到直线l的距离d=mk2+1，