四川省 高新校区2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

成都七中高新校区高2022级高二上期学科素养测试数学试卷总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线的一个方向向量是（）A．（1，－2）B．（2，－1）C．（1，2）D．（2，1）2．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件Ａ为“是一等品”，Ｂ为“是合格品”，Ｃ为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A．B．C．D．3．一组样本数据为：19、23，12，14，14、17，10，12，13，14，27，则这组数的众数和中位数分别为（）A．14，14B．12，14C．14，15.5D．12，1554．若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A．B．C．D．5．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A．等于B．和EF的长度有关C．和点Q的位置有关D．等于6．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（） A．B．C．D．7．投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B对立C．事件A与事件B相互独立D．8．在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上10．已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（）A．点A到直线BE的距离是B．点O到平面的距离为C．平面与平面间的距离为D．点P到直线AB的距离为11．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（） A．B．PB与平面ABCD所成角为C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为12．在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．对任意点M，N，都有MN与AD异面B．存在点M，N，使得MN与BC垂直C．对任意点M，存在点N，使得与，共面D．对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．点P（1，－2，5）到xOy平面的距离______．14．为已知过点和点的直线为，：，：，若，，则的值为______．15．在正方体中，点P是上的动点，Q是平面内的一点，且满足，则二面角余弦值的取值范围是______．16．已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱锥中，底面ABCD，，，，．（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．18．（12分）已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）．（1）若点D在线段AB（包括端点）上移动时，求直线CD的斜率的取值范围．（2）求函数，的值域．19．（12分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°．（1）证明：．（2）求与AC所成角的余弦值．20．（12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的２名教师来自同一学校的概率．21．（12分）从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等级ABCDE人数比例15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间．（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；22．（12分）如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点．（1）求证：平面PAC；（2）若，，．①求二面角所成平面角的正弦值．②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO与平面BCP所成角为30°？成都七中高新校区高2022级高二上期学科素养测试参考答案选择题：1－8．BCACADCB9．AD10．BC11．ABC12．ACD填空题：13．514．－1015．16．或第16题解答：在等腰梯形ABCD中，易得，取BC中点，则是梯形ABCD外接圆圆心，而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA，于是，而，即有，四边形为矩形，．因此球的半径，过点的球的最小截面圆所在平面必垂直于OM，而此截面圆的半径为，则，连接，在中，，在中，，，即有，解得或，所以或．故答案为：或解答题：17．（1）证明略（2）18．（1）或（2）19．（1）设，，，，，，得证．（2），，，，，20．（1）不妨设甲校男女教师分别为a，b，A，乙校男女教师分别为c，B，C，则样本空间，基本事件为9，同性别为4，所以．（2）不妨设甲校男女教师分别为a，b，A，乙校男女教师分别为c，B，C，从报名的6名教师中任选2名，则 基本事件共有15个，其中来自同一所学校的事件包含基本事件共6个，所以．21．（1）如，可得平均数分（2）成绩A等级占比为15%，估计等级A的原始分区间的最低分为，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为（3）由，解得，该学生的等级分为91分．22．解析：（1）如图，取AB的中点D，易证平面平面PAC．又平面ODE，所以平面PAC．（2）以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，可求平面AEC的法向量为，平面AEB的法向量为．所以．设二面角的大小为．则．（3），设，（），则可求得平面BCE的法向量，， 因为，所以，故有：解得（负根舍去），