吉林省吉林市第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（创新班Word版附解析）

吉林一中2023级高一上学期第一次教学质量检测（9月份）数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）1.若集合，，则中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.32.命题：是命题：的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.已知角终边与单位圆的交于点，则(　　)A.B.C.D.4.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A.B.C.D.5.下列命题中正确是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.函数的零点有2个C.用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1D.函数在上只有一个零点，且该零点在区间上6.已知幂函数在上单调递增，不等式的解 集为（）A.B.C.D.7.关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是（）A.②③B.②④C.①③D.③④8.若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2二、多选题（共4小题，每小题5分，少选得2分，多选得0分，共20分．）9.下列选项中判断错误的是（）A.若，则B.的最小值为2C.如果，那么D.若，则10.设函数，当为上增函数时，实数a的值可能是（）A.－1B.－2C.－3D.－411.已知函数下列叙述正确的是（）A.B.零点有3个C.的解集为或D.若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是12.已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是（）A.，使 B.，使C.，有D.，有三、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13.已知集合，若，则实数的值为__________.14.函数的单调递增区间是______．15.定义域为的函数满足条件：①，，恒有；②；③，则不等式解集是___________.16.已知函数上满足，则______，则函数为______函数．（从奇偶性角度作答）17.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为______．18.已知函数，若对任意的正数a，b，满足，则的最小值为_____四、解答题（共5小题，第19题10分，第23题14分，其余各题12分，共60分．）19.计算下列各式.（1）（2）.20.在①是充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若______，求实数的取值范围. 21.已知函数.（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；（2）当时，解不等式.22.已知函数，，其中且．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．23.设函数是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数n的取值范围；（3）设，当m为何值时，关于x的方程有实根． 吉林一中2023级高一上学期第一次教学质量检测（9月份）数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）1.若集合，，则中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】分析】根据题意，分别求得集合，，根据集合的交集运算，求得，即可求解.详解】由集合，，所以，所以中元素的个数为2个.故选：C.2.命题：是命题：的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.【详解】，所以，反之.故是的必要不充分条件.故选：B3.已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　) A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键．4.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，该扇形玉雕壁画面积（）．故选：D．5.下列命题中正确的是（） A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.函数的零点有2个C.用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1D.函数在上只有一个零点，且该零点在区间上【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定判断A，根据指数函数和二次函数的图象判断B，根据二分法的性质判断C，根据零点存在性定理及函数单调性判断D.【详解】选项A：命题“，都有”的否定是“，使得”，选项A错误；选项B：函数的零点的个数即与图象交点的个数，根据图象可知函数的零点有3个，选项B错误；选项C：因为区间的长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，所以至少需要次二分后，才能使精确度达到，选项C错误；选项D：由对数函数和反比例函数的单调性可知在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知函数在上只有一个零点，且该零点在区间 上，选项D正确；故选：D6.已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，又幂函数在上单调递增，所以，此时在R上单调递增，因为，所以，解得或，所以不等式的解集为，故选：B.7.关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是（）A.②③B.②④C.①③D.③④【答案】B【解析】【分析】分类讨论，特别是时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调性，并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及的值，判断③，由函数的单调性，奇偶性判断④． 【详解】时，，时，是减函数，时，是增函数，无最值，①错；的定义域是，，是偶函数，时，，时，，时，直线与的图象在第一象限内一定有交点，由偶函数的对称性，时，直线与的图象在第二象限内一定有交点，所以方程一定有解，②正确；是偶函数，且，所以时，函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，③错；是偶函数，时，，时，是增函数，是最小值，所以在上，的最小值是，④正确．故选：B．【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质可得结论．8.若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2【答案】A【解析】 【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知，由整理得①，即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，令，则或，则①转化为，即，根据对勾函数的性质可知是方程的一个根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、多选题（共4小题，每小题5分，少选得2分，多选得0分，共20分．）9.下列选项中判断错误的是（）A.若，则B.的最小值为2C.如果，那么D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质结合基本不等式的使用条件求解. 【详解】根据幂函数在上单调递增，所以时，即，A正确；当时，，故B错误；因为，所以，，所以，故C正确；当时，，此时，故D错误，故选:BD.10.设函数，当为上增函数时，实数a的值可能是（）A.－1B.－2C.－3D.－4【答案】BCD【解析】【分析】等价于函数，分别递增，且函数在处的函数值小于等于函数在处的函数值.据此可得答案.【详解】由题，函数对称轴为，要使其在上递增，则；要使在上递增，则；要使为上增函数，则函数在处的函数值小于等于函数在处的函数值.则.综上，.故选：BCD11.已知函数下列叙述正确的是（）A. B.的零点有3个C.的解集为或D.若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.【详解】A选项，，A选项正确.B选项，当时，方程的，无实数根；当时，由解得，所以的零点有个，B选项错误.C选项，当时，由得，解得；当时，由得，所以的解集为或，C选项正确.D选项，画出的图象如下图所示，不妨设，则，，由解得，所以，所以，D选项正确.故选：ACD12.已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是（）A.，使 B.，使C.，有D.，有【答案】ABCD【解析】【分析】由原方程可得，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD，【详解】对于A，由得，令，则分别在和上单调递增，令，则分别在和上单调递增，当时，的值域为当时，的值域为，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A正确；对于B，令，则方程可化为，由换底公式可得，显然关于的方程在上有解，所以，使，B正确；对于C，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以.又，令，则在上单调递增，因为，所以，从而可得，所以．综上所述可得，C正确； 对于D，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以.又，令，则在上单调递增，因为，所以，从而，所以．综上所述可得，所以D正确．故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.三、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13.已知集合，若，则实数的值为__________.【答案】或【解析】【分析】因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为，则或或，当时，，，符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，，符合题意；综上所述：或，故答案为：或14.函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域即或，令则在上单调递增，需求函数的单调递增区间，则由复合函数单调性判断方法“同增异减”，可知需求单调递增区间，即，因此函数的单调递增区间是.故答案为：.15.定义域为的函数满足条件：①，，恒有；②；③，则不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.【详解】①，，，恒有，所以在上单调递增；②，，所以是偶函数；所以在上递减；③，；不等式可转化为或，所以不等式的解集是.故答案为： 【点睛】16.已知函数上满足，则______，则函数为______函数．（从奇偶性角度作答）【答案】①.1②.奇【解析】【分析】根据及对数的运算即可求出，从而得到函数解析式，再根据解析式求出其定义域，并判断是否关于原点对称，再根据函数解析式得出，进而结合奇偶性的定义即可判断其奇偶性．【详解】由，即，解得，则，所以得定义域为，解得或，关于原点对称，又，所以函数为奇函数．故答案为：1；奇．17.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】【解析】【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解即可.【详解】由题意可知，恒成立，当时，恒成立，当时，，解得，综上，故答案为：18.已知函数，若对任意的正数a，b，满足，则的最小值为_____【答案】12【解析】【分析】易得是奇函数且为减函数，再由得到，然后利用基本不等式求解.【详解】解：因为，所以函数的定义域为因为，所以为奇函数.又，所以，因为在上递增，所以，在上递增，所以在上递减，又在上递增， 所以上递减，又为奇函数，且，所以在R上递减，所以，即，所以因为当且仅当，时，等号成立，所以故答案为：12四、解答题（共5小题，第19题10分，第23题14分，其余各题12分，共60分．）19.计算下列各式.（1）（2）.【答案】（1）110（2）3【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则进行求解；（2）利用对数的运算法则进行求解.【小问1详解】原式=.【小问2详解】原式.20.在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，集合.（1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合，由此求得.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】，所以.当时，，所以.【小问2详解】由（1）得，选①，是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得.选②，，则，解得.选③，，则或，解得或.21.已知函数.（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；（2）当时，解不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】 分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时，，求解不等式组即可得解；（2）分，和三种情况解不等式.【小问1详解】①，即时，解集不是空集，舍去，②时，即时，，即，∴，解得，∴的取值范围是；【小问2详解】∵化简得：，①时，即时，解集为，②时，即时，，，解集为或，③时，即时，解集为，∵，∴，∴，∴解集为.综上，时，解集为或；时，解集为； 时，解集为22.已知函数，，其中且．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）代入，分为以及两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；（2）求出.根据，分离参数可得.换元求出，即可得出或，即可求出的范围.【小问1详解】当时，不等式可化为，当时，得，解得；当时，得，解得.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【小问2详解】由题意可得，函数.令，因为，所以，则有， 故.令，则.因为在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，有最小值，又，，所以当时，有最大值所以，即.又，所以或.即或，解得的取值范围为.【点睛】关键点点睛：已知函数在区间上有零点，求参数范围.推出，可分离参数得出，然后只需求出函数在上的值域，即可得出参数范围.23.设函数是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数n的取值范围；（3）设，当m为何值时，关于x的方程有实根．【答案】（1）2（2）（3）答案见详解【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义即可求出的值；（2）结合（1）可得的解析式，从而可得的解析式，进而可将原不等式可转化为 在上恒成立，再求的最小值即可；（3）利用换元法令，得到，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数即可．【小问1详解】由函数是定义域在R上的偶函数，则对于，都有，即，即对于，都有，得．【小问2详解】结合（1）可得，则，令，由在R上单调递增，在R上单调递减，所以在上单调递增，得，则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，所以即可，又，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，所以的最小值为，即，所以实数n的取值范围为．【小问3详解】令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以，则，令，则，由对勾函数的图象和性质可得，当时，关于的方程有1个解；当时，关于的方程有2个解，则原问题转化为关于的方程的根的个数，令，则表示开口向上的抛物线，又，当，即时，无解，当时，由解得，关于的方程有1个解；当时，则，又的对称轴，所以有唯一解，且，即其关于的方程有2个解；当时，有两不等实根，，因为的对称轴，且，所以有1个正数解，即关于的方程有2个解；当时，有两不等实根，，因为的对称轴，所以当，即时，有两不相等的正数解，此时关于的方程有4个解； 当，即时，有一个零解，一个正数解，此时关于的方程有3个解；当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解；综上所述，当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当或时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程有4个根．【点睛】思路点睛：本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式，第（3）问注意换元后关于的方程需有非负根，可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情况，降低计算难度．