数学一轮复习专题11.4 随机事件的概率与古典概型 （新教材新高考）（练）教师版

专题11.4随机事件的概率与古典概型练基础1．（2021·全国·高一课时练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9【答案】D【分析】直接利用频率的公式求解.【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，所以此人中靶的频率是.故选：D2．（2021·全国·高一课时练习）已知A与是互斥事件，且，，则等于（）A．0.1B．0.3C．0.4D．0.8【答案】D【分析】根据互斥事件概率的加法关系即可求解．【详解】由题：A，B是互斥事件,所以，且，,则．故选：D3.（2019·全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．4．（2021·广东顺德·高二期中）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（）A．72%B．74%C．75%D．76%【答案】B【分析】根据题意可直接计算.【详解】该同学这两场投篮的命中率为.故选：B.5．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二月考）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可.【详解】甲不输棋的设为事件A，甲胜乙设为事件B，甲乙下成平局设为事件C，则事件A是事件B与事件C的和，显然B、C互斥，所以，而，，所以，所以甲胜的概率是0.3故选:B6.【多选题】（2021·广东·仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（）A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水【答案】BCD【分析】根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错. 【详解】由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，故选：BCD.7．（2021·全国·高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5g之间的概率为_______.【答案】0.25【分析】找到质量在497.5～501.5g之间的袋数由频率可得答案.【详解】质量在497.5～501.5g之间的有498，501，500，501，499共5袋，所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5g之间的概率为0.25.故答案为：0.25.8．（2021·全国·高一课时练习）从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率为0.22，质量不小于2.50g的概率为0.20，则质量在2.45~2.50g范围内的概率为___________.【答案】0.58【分析】利用概率的性质计算出所求概率.【详解】依题意质量在2.45~2.50g范围内的概率为.故答案为：9．（2021·全国·高一课时练习）操作1：将粒黑芝麻与粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.操作2：将粒黑芝麻与粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合而成，你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？ 【答案】答案见解析【分析】利用频率估计概率的思想可得出结论.【详解】通过两次操作，我们会有所发现，比如：操作1中，黑芝麻的频率为，操作2中，黑芝麻的频率为，在搅拌均匀的前提下，由此可想到可将这袋芝麻搅拌均匀后从中取出一杯，将此杯中黑芝麻的频率作为黑芝麻所占的百分比的估计.10.（2021·北京丰台·高二期中）从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可（1）试验的样本空间；（2）设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，．因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此．所以抽到的两个球都是黑球的概率为 练提升TIDHNEG1．（2021·北京丰台·高二期中）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分别求出从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球和抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是.故选：B.2．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）A．至少一次中靶B．至多一次中靶C．至多两次中靶D．两次都中靶【答案】D【分析】事件A和B互斥而不对立所需要的条件是且，一一验证A、B、C、D四个选项，选出答案.【详解】设“只有一次中靶”为事件A设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，，显然，不互斥，A选项错误；设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不互斥，B选项错误；设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不互斥，C选项错误；设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，故选项D正确. 故选：D3．（2021·全国·高三月考（文））2019年版高中数学人教版教材一共有5本.分别是《必修第一册》《必修第二册》《选择性必修第一册》《选择性必修第二册》《选择性必修第三册》，在一次数学新教材培训会议上，主持人刚好带了全套5本新教材，现从中随机抽出了3本送给在场的培训学员，则恰有1本选择性必修的新教材被抽到的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】应用组合数计算随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的抽取方法，再应用古典概型的概率求法求出概率即可.【详解】由题设，随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的概率为.故选：B4．（2021·广西南宁·高三月考（文））哥尼斯堡“七桥问题”是著名的古典数学问题，它描述的是:在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A直接相连的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合古典概型公式和组合公式直接求解.【详解】由题可知，若从7条线路中选2条，则有种方法，若选出的两条线都与相连，则共有种方法，则这两条线都与A直接相连的概率为.故选：D 5．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】甲获得冠军有两种情况,第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军,第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，求出两种情况下的概率，相加即可.【详解】在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军有两种情况，第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军，第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，故甲获得冠军的概率为.故选：B.6.（2021·广东·仲元中学高一期末）数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有种涂法，能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，故他能得分的概率为．故选：A. 7.（2021·上海市松江二中高二月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________．【答案】【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为故答案为：8．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（1）写出试验的样本空间；（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）列举法把所有情况写出来，用集合表示，就是试验的样本空间；（2）有古典概率的公式进行计算（1）试验的样本空间为：（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”所以，，所以 9．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高二月考）从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；（3）求所选3人中至少有一名女生的概率【答案】（1）答案见解析（2）（3）【分析】（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为10．（2021·陕西·西安中学高二月考（理））福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男､女同学的人数；（2）经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；（3）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由.【答案】 （1）男､女同学的人数分别为3，1（2）（3）B同学的实验更稳定，理由见解析【分析】（1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的两名同学的基本事件数，再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（3）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可.（1）解：因为每个同学被抽到的概率为，课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1；（2）解：把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中有一名女同学的有3种，所以，选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为；（3）解：，，∴，，∴B同学的实验更稳定.练真题TIDHNEG1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】 应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D2．（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.3．（2020·全国高考真题（文））设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为.故选：A4.（2019·江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】.【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.5.（2020·江苏省高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.6．（2017·山东高考真题（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：,共个，则所求事件的概率为：.（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个，包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，所以所求事件的概率为：.