浙江省嘉兴市2024届高三数学上学期9月基础测试试题（Word版附解析）

2023年高三基础测试数学试题卷（2023.9）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数为纯虚数，则实数的值是（）A.-1B.1C.0或-1D.0或13.已知向量，，，则（）A.14B.-14C.50D.-504.已知函数为奇函数，则的值是（）A.0B.-12C.12D.105.如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为的小正方形，保留一组不相2邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为.以此类推，操作次，若，则的最小值是（）A.9B.10C.11D.12 6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（）A.B.C.D.8.已知函数的定义域为，且，，则的值是（）A.9B.10C.11D.12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列结论中，正确的是（）A.数据0，1，2，3的极差与中位数之积为3B.数据20，20，21，22，22，23，24的第80百分位数为23C.若随机变量服从正态分布，，则D.在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好10.下列函数中，以为最小正周期的函数是（）A.B.C.D.11.设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（） A.B.C.D.12.如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点.将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（）A.B.C.点的轨迹的长度为D.直线与平面所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中的系数是__________.（用数字作答）14.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的体积是___________.15.已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点.若，则直线的斜率__________.16.关于的方程的两根为，函数，若对于任意的，都有，则的最小值是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是，的中点，点是线段上一点，且平面.（1）求证：点是线段的中点；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.（1）若边上的高等于1，求；（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.21.（12分）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费.盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率.几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参 数，记作.几何分布有如下性质：分布列为，，期望.现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的.（1）现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒.①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望；（2）若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元.小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由.22.（12分）已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上?若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由. 2023年高三基础测试数学参考答案（2023.9）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。CACDCBBD8.答案D【解析】方法一：中令，则，再令，则，即①，所以，即②，联立①②，解得，又符合上式，所以，从而，故选D.方法二：中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.BCD10.AC11.ABD12.BCD11.答案ABD【解析】如下图所示，设切点为，，对于A，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，从而， 从而，故BD正确，C错误，故选ABD.12.答案BCD【解析】对于A选项，由题意可知，为与平面所成的线面角，故由线面角最小可知，故A错误；对于B选项，由题意可知，即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正确；对于C选项，如下图所示，易知点的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长度为，故C正确；对于D选项，如下图所示，设，在中，，在中，，所以，设直线与平面所成角为，则， 当且仅当时取等号，故D正确.综上，故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.3514.15.216.-715.答案2【解析】方法一：由题意，，设直线：，其中，联立消去得，，设，，则，，又，则，即，而，，则，即，即，所以，解得，所以，故填：2.方法二：如下图，由题意，，点在准线上，设，，在准线上的射影分别是，，，则，所以轴，设，，：，联立消去得，所以，所以，故填：2. 16.答案-7【解析】由题意，，故只需考虑即可，令，，则，易知在递减，又，，所以存在唯一，在递增，递减，故只需，即，所以，即的最小值是-7，故填：-7.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）【解析】（1）因为①，所以②，②-①，则，化简可得，，所以数列是3为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由题意，所以，即.18.（12分） 【解析】（1）方法一：证明：过点作，且，，则，，，共面，由平面，平面平面，所以，又，所以是平行四边形，所以且，又点是的中点，所以，又，所以点是线段的中点.方法二：取的中点，连，，，所以平面，又平面，∴平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又点是中点，所以点是线段的中点.（也可取其他线段中点证明）方法三：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，， 易得平面的一个法向量，又平面，所以，所以，从而点是线段中点.（2）如图，取中点，中点，连接，，过点作，且，连接，因为，是的中点，所以，又直三棱柱，所以，所以平面，又，所以平面，所以就是所求二面角的平面角，又，，，所以，即二面角的余弦值为.（2）另解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，则，.设平面的一个法向量是，则即取令，所以，取平面的一个法向量为，则，所以二面角的平面角的余弦值为.19.（12分）【解析】（1）由正弦定理，，所以，，方法一：，则，所以，又由余弦定理，，所以，所以.方法二：如下图所示，作，是垂足，易知在线段上，在中，，在中，，，所以. （2）由正弦定理，，所以，又因为锐角，所以解得，所以，所以，所以.即面积的取值范围是.20.【解析】（1）定义域为，，情形一：：在递增；情形二：：在递减，递增；（2）若：则，符合题意；若：则，不合题意，舍；另解：若：当时，，不合题意，舍；若：则由（1）可知，只需，令，所以，所以在递增，递减，当时，，即当时符合题意； 当时，注意到，故只需，即，综上所述，的取值范围是.21.（12分）【解析】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以；②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以；（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为18×4=72元，设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始，到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量，则，其中，而，所以，所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为，所以应该去乙店购买非盲盒文具.22.（12分）【解析】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，从而解得，即的标准方程为；（2）情形一：，中没有一点为，且直线的斜率存在，设：，，，易得边，上的两条高线分别为：， ：，联立，，消去，可得，联立，，，所以，，又，所以，从而，又由，消去可得，化简得，即点在定曲线上，情形二：，中有一点即，设，不妨，设，则解得此时点在曲线上；情形三：直线的斜率不存在时，由对称性可知垂心在轴上，设，，则，所以，从而：，令，则，