山东省枣庄市2023届高三数学下学期第二次模拟考试试题（Word版附解析）

枣庄市2023届高三模拟考试数学试题2023.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为，故选：B2.已知集合，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】先求出，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】，则集合是集合的真子集， 所以，，，，故ABD错误，A正确.故选：C.3.指数函数图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．故选：A．4.党的十八大以来的十年，是砥砺奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年．在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升．国内生产总值（GDP）从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位．下表是2022年我国大陆31省市区GDP数据．2022年中国大陆31省市区GDP排名省份GDP（单位：亿元）排名省份GDP（单位：亿元）1广东省129118.617辽宁省2897.5.12江苏省122875.618云南省28954.2 3山东省87435.119广西壮族自治区26300.94浙江省77715.420山西省25642.65河南省61345.121内蒙古自治区23158.76四川省56749.822贵州省20164.67湖北省53734.923新疆维吾尔自治区17741.38福建省53109.924天津市16311.39湖南省48670.425黑龙江省15901.010安徽省45045.026吉林省13070.211上海市44652.827甘肃省11201.612河北省42370.428海南省6818.213北京市41610.929宁夏回族自治区5069.614陕西省32772.730青海省3610.115江西省32074.731西藏自治区2132.616重庆市29129.0则由各省市区GDP组成的这组数据的第75百分位数为（）（单位：亿元）A.16311.3B.17741.3C.48670.4D.53109.9【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.【详解】解：因为，所以，第75百分位数为从小到大排序后的第24个数，所以，由表中数据可知，第24个数为福建省的数据，即为53109.9.故选：D 5.已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是（）A.B.C.存在不全为0的实数，，使D.若，则【答案】D【解析】【分析】由平面向量数量的定义、共线向量定理可判断A，B，C；由可得，两边同时平方可得，同理可得，由向量的模长公式可求出可判断D正确.【详解】对于A，由可得，因为所以，故，共线，，共线，故A不正确；对于B，若，则，则，由向量共线定理可知，，共线，故B不正确；对于C，存在不全为0的实数，，使，由向量共线定理可得，共线，不满足，是不共线的向量，故C不正确；对于D，由可得，两边同时平方，则，，则同理可得，所以，故D正确.故选：D.6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：，， ．A.455B.2718C.6346D.9545【答案】B【解析】【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.【详解】由题意可知，，则数学成绩位于[80，88]的人数约为.故选：B7.如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示 因为是的中点，是的中点，所以,因为平面,平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面 平面. 又平面,线段扫过的图形是,由,得,,,,所以,即为直角，所以线段长度的取值范围是：.故选：A.8.已知，，曲线上存在点，使得，则a的范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出的范围，根据题意由可得只需证明，即函数在有解，令，利用导数可得的单调性，再利用单调性可得答案.【详解】因为，所以，由题意上存在一点使得，即，只需证明，显然为增函数，假设，则不满足，同理不满足，所以，那么函数即函数在有解，即，可得，从而，令， 则，令，即，解得（舍去），时，时，所以在单调递增，所以，，，所以的取值范围为，即的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：由得函数在有解，构造函数令，利用函数的单调性可得答案，本题考查了学生的思维能力、运算能力.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线：，：，则（）A.的长轴长为B.的渐近线方程为C.与的离心率互为倒数D.与的焦点相同【答案】BC【解析】【分析】将曲线，化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．【详解】曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为，故曲线的长轴长，故A错误； 曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，所以，离心率为，的渐近线方程为，即，故B正确；，所以与的离心率互为倒数，故C正确；的焦点在轴上，的焦点在轴上，焦点位置不同，故D错误．故选：BC.10.已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（）A.B.当戓6时，取得最小值为30C.数列的前10项和为50D.当时，与数列共有671项互为相反数．【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.【详解】解：因为等差数列，且，公差，所以，，所以，，所以选项A正确； 因为，根据二次函数的对称性及开口向下可知：取得最大值为，故选项B错误；记的前10项和为，因为，当时，解得，当时，解得，所以，因，所以，所以，故选项C正确；记，因为，，所以，所以当时，，由，，可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数，由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，即，即，且为偶数，所以，且为偶数，故这样的有670个，故选项D错误.故选：AC11.已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（）A.T可能取B.在上至少有3个零点 C.直线可能是曲线的一个对称轴D.若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．【详解】由图可知，，即，而，所以，又，所以，即，，所以．对A，若，则，，显然，无整数解，错误；对B，由可得，，因为，所以，故有解，即在上至少有3个零点，正确；对C，若直线可能是曲线的一个对称轴，则，即，，又，，所以，，符合，正确；对D，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，，解得：，而，，所以，当时，符合，正确．故选：BCD．12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，若有三个零点，则b的取值范围为 B.若满足，则C.若过点可作出曲线的三条切线，则D.若存在极值点，且，其中，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；对于C，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；对于D，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.【详解】对于A，，当时，，，令，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时取得极大值，当时取得极小值，有三个零点，，解得，故选项A正确；对于B，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，解得，故选项B错误；对于C，，设切点为，则切线的斜率 化简，得由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，记，令，解得或，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，，，当，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；存在极值点，由得令，，于是，所以，化简得：，，，于是，.故选项D正确； 故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足圆与相交的一个a值为____________．【答案】（答案不唯一，只要在区间即可）【解析】【分析】根据两圆相交可求得圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，即可得的范围，从而可的答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为两圆相交，所以，即，解得或，所以满足圆与相交的一个a值可以为.故答案为：.（答案不唯一，只要在区间即可）14.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________．【答案】8【解析】【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，，即.，当且仅当时，取等号.即的最大值为. 故答案为：15.一个袋子中有100个大小相同球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________．【答案】17.8##【解析】【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设则令 故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.816.已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．【答案】【解析】【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，于是，解得，设点，不妨令直线的斜率分别为，于是，，同理，直线的斜率，而点， 直线BC的方程为，即.故答案为：【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求a．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由结合正弦定理边化角公式得出A；（2）由面积公式得出，再由余弦定理得出.【小问1详解】由得，又，所以．由正弦定理得，又，所以，即．又A为△ABC的内角，所以． 【小问2详解】由得，，解得．又根据余弦定理得，所以．18.已知数列的首项，且满足．（1）证明：为等比数列；（2）已知，为的前n项和，求．【答案】（1）证明见解析（2）1048【解析】【分析】（1）由结合定义证明即可；（2）由（1）得出，再讨论n为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出．【小问1详解】由可得．又，所以是以为公比，1为首项的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，即．当n为奇数时，；当n为偶数时，．所以． 19.在四棱棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．M为线段PD上一点（M不与D重合），且．（1）证明：M为PD的中点；（2）若平面BAM与平面CAM夹角的余弦值为，求AB．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，从而，再证明AM⊥平面PCD，从而得到，根据可得到M为PD的中点.（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量的方法求解即可.【小问1详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．因为，，平面PAD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为平面PAD，所以．又AM⊥MC，，平面PCD，平面PCD，所以AM⊥平面PCD．又平面PCD，所以．又因为，所以M为PD的中点．【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，．设平面BAM的法向量，因为，，所以，令，则．设平面CAM的法向量为，因为，，所以，令，得．设平面BAM与平面CAM夹角为，则，解得，即．20.某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；（2）记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.【小问1详解】设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．则，，所以．【小问2详解】方法一:“选取的两人中女生人数为i”记为事件，，则，，．由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则，，；，，；，，．；； ；；，所以X的分布列为X2030405060P所以．方法二：根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，一名男生参加活动可获得分数的期望为．设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，则，，．所以Y的分布列为Y012P则有，所以．【点睛】 难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。21.已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）由焦点坐标和渐近线方程求出可得答案；（2）假设存在满足题意，设，，设直线AB方程为与双曲线方程联立，方法一：由得出，代入韦达定理可得答案；方法二：利用两点间的距离求出、，过A，B两点向x轴做垂线得，代入韦达定理化简可得答案．小问1详解】由题意知，解得，故双曲线C的方程为：；【小问2详解】假设存在满足题意，设，，由题意知，直线AB不与x轴重合，设直线AB：，联立， 得，则，，且，．方法一：因为，所以PF是∠APB的角平分线，则，即，则，整理得，故，化简得：（*），所以当时，（*）式总成立，此时，故存在满足题意．方法二：，同理．过A，B两点向x轴做垂线，易得，所以，即．化简得，又因为，，整理得， 故，化简得：（*），所以当时，（*）式总成立，此时，故存在满足题意．22.已知函数．（1）当时，求证：；（2）当时，函数的零点从小到大依次排列，记为证明：（i）；（ii）.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，讨论单调性，求最值即可证明；（2）（i）根据（1）得函数零点区间，变形为，，构造函数，求导，利用单调性即可证明；（ii）利用导数研究函数的单调性，找到零点区间即可求得零点范围即可证明.【小问1详解】，则，令，则，当时，，故在上单调递增， 又，故在上单调递减，在上单调递增，又，所以；当时，，，故，又，所以在时恒成立；综上，当时，．【小问2详解】（i）由（1）知在内无零点，则，由知，，，令，，，所以在上单调递减，又，所以，即．（ii）当时，，在上单调递减，，；所以，使得，当当时，单调递增；当时，单调递减；记，则，令得，故函数在上单调递增，令得，故函数在上单调递减，所以，故，又，所以在有且只有一个零点，记为；当，时，，故，在无零点；当，时，， 故在上单调递增；当，，，故在上单调递减；又，，；所以，使得；故当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，，所以在，，各有一个零点，在，上的两个零点分别为，，所以，又，，所以；综上.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.