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浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题(Word版附解析)
浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题(Word版附解析)
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海盐第二高级中学2022-2023学年第二学期期中考试数学学科试题一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断ABC选项,利用求导法则可判断D选项.【详解】,,,.ABC均错,D对.故选:D.2.若二项式的展开式中所有二项式系数之和为32,则含项的系数是()A.80B.-80C.40D.-40【答案】A【解析】【分析】根据题意,可得,然后结合二项式的通项公式即可得到结果.【详解】由题知,解得,则为,通项公式为,所以二项式的展开式中含项的系数为.故选:A.3.邮递员把两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则不同的投入方法共有( )A.6种B.8种C.9种D.10种【答案】C【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法,第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法,根据分步乘法计数原理可知,共有种不同的投法.故选:C4.已知甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作,每名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作,则乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】使用间接法,若求乙、丙不在同一个比赛项目服务的安排方法,在所有的安排方法中排除乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法.【详解】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作,有种安排方法;而乙、丙在同一个比赛项目服务,有种安排方法,所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为.故选:C.5.若为第二象限角,则()A.-2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用同角三角函数的基本关系可求得结果.详解】由,得,代入,得或,因为为第二象限角,所以, 所以,所以.故选:B.6.已知直线是曲线的切线,则()A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,求出函数的导数,再利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数,求导得,令直线与曲线相切的切点为,于是且,所以.故选:B7.十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,一个是黄金分割,如果把勾股定理比作黄金矿的话,黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”,那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示,(黄金分割比),则()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】构造,根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简,即可得出答案.【详解】如图:过D作于E,则.,所以,.故选:D.8.已知,,,则(参考数据:)()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由,考虑构造函数,利用导数研究函数的单调性,利用单调性比较大小即可.【详解】因为,,考虑构造函数,则,当时,,函数在上单调递增, 当时,,函数在上单调递减,因为,所以,即,所以,所以,即,又,所以,故,故选:B.【点睛】关键点点睛:本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式,考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列四个命题中为真命题的是()A.若随机变量服从二项分布,则B.若随机变量服从正态分布,且,则C.已知一组数据的方差是3,则的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,其线性回归方程为,若样本点的中心为,则实数的值是4【答案】AC【解析】【分析】由二项分布的期望公式判断A;由正态分布的性质判断B;由方差的性质判断C;由回归方程必过样本中心点求解可判断D.【详解】对于A,由于,则,故A正确;对于B,,故,故B错误; 对于C,的方差是3,则的方差不变,故C正确;对于D,回归方程必过样本中心点,则,解得,故D错误.故选:AC.10.一个袋子中有编号分别为的4个球,除编号外没有其它差异.每次摸球后放回,从中任意摸球两次,每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件,“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件,“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件,则下列说法正确的是()AB.事件与事件相互独立C.D.事件与事件互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】对于选项A,由古典概型的概率公式得,所以该选项正确;对于选项B,由题得,事件与事件不相互独立,所以该选项错误;对于选项C,,所以该选项正确;对于选项D,举例说明事件与事件不是对立事件,所以该选项错误.【详解】对于选项A,两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有,共5个,由古典概型的概率公式得,所以该选项正确;对于选项B,由题得,,所以,事件与事件不相互独立,所以该选项错误;对于选项C,,所以该选项正确;对于选项D,如果第一次摸到编号为1的球,第二次摸到编号为4的球,则事件A和B都没有发生,所以事件与事件不是对立事件,所以该选项错误.故选:AC11.已知函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ()A.函数的解析式为B.函数在上单调递减C.该图象向右平移个单位可得的图象D.函数关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求函数的解析式,再结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断.【详解】由图可得:,可得,且,解得,所以,因为的图象过点,即,可得,则,可得,且,则,所以,故A正确; 因为,则,且在上不单调,所以函数在上不单调,故B错误;该图象向右平移个单位可得,所以该图象向右平移个单位可得的图象,故C正确;因为,所以函数关于点对称,故D正确;故选:ACD.12.已知函数,其中实数,则下列结论正确的是( )A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时,的范围是C.当时,点是曲线的对称中心D.当时,过点可以作曲线的3条切线【答案】ABD【解析】【分析】对求导得到的单调性,判断的极值点个数判断A,要使有且仅有3个零点,由单调性可得只需,判断B,当时计算判断C,设切点为,求过点的切线方程,令,,所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D.【详解】选项A:由题意可得,令解得或,因为,所以令解得或,令解得,所以在,上单调递增,在上单调递减, 所以在处取得极大值,在处取得极小值,故A正确;选项B:要使有且仅有3个零点,只需,即,解得,故B正确;选项C:当时,,,,所以点不是曲线的对称中心,C错误;选项D:,设切点为,所以在点处的切线方程为:,又因为切线过点,所以,解得,令,,所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数,,令解得或,因为,所以令解得或,令解得,则在,上单调递增,在上单调递减,且,,图像如图所示,所以当时,与图像有3个交点,即过点可以作曲线的3条 切线,故D正确;故选:ABD【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则______.【答案】【解析】【分析】根据排列数公式可得出关于的等式,分析可知且,即可解得的值.【详解】因,则且,则,即,解得.故答案为:.14.橘生淮南则为橘,生于淮北则为枳,出自《晏子使楚》.意思是说,橘树生长在淮河以南的地方就是橘树,生长在淮河以北的地方就是枳树,现在常用来比喻一旦环境改变,事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量(单位:g)近似服从正态分布,且,在有1000个的一批橘果中,估计单个果品质量不低于的橘果个数为___________.【答案】300【解析】【分析】先按照正态分布计算出不低于的概率,再计算出个数即可.【详解】结合正态分布特征,,,所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.故答案为:300.15.已知,则______.【答案】【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简并结合诱导公式可得,将化为,利用二倍角余弦公式即可求得答案.【详解】由可得,即,即,故,故答案为:16.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在区间上有且仅有一个零点,则实数m的一个取值为________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由图象平移写出解析式,再由,根据正弦函数图象及零点个数求参数范围,即得结果.【详解】由题设,在,则,要使在区间上有且仅有一个零点,所以,即,故满足要求.故答案为:(答案不唯一)四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在的展开式中,第项为常数项,求:(1)的值;(2)展开式中的系数;(3)展开式中各项的系数和. 【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)写出展开式通项,利用为常数项可求得的值;(2)写出展开式通项,令的指数为零,求出参数的值,代入通项即可得解;(3)在二项式中令可得出展开式中各项的系数和.【小问1详解】解:展开式通项为,由题意可知,,由题意可得,解得.【小问2详解】解:展开式通项为,令,解得,因此,展开式中的系数为.【小问3详解】解:在中,令,可得展开式中所有项的系数和为.18.已知函数.(1)求的值和的最小正周期;(2)求在上的最值.【答案】(1)3,最小正周期为(2)最大值3,最小值【解析】【分析】(1)先利用诱导公式和降幂公式化简函数,再代入求值,求解周期; (2)先根据的范围求出的范围,再求解最值.【小问1详解】;;的最小正周期为.【小问2详解】因为,所以.所以.所以,即.时,最大值3;时,最小值.19.已知函数,且.(1)求函数的图象在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为,单调递减区间为【解析】【分析】(1)由已知可得,根据已知求出,代入可得.根据导数的几何意义,求出斜率,代入点斜式方程,整理即可得出答案;(2)由(1)知,.解以及,即可得出函数的单调区间. 【小问1详解】由已知可得,所以,解得,所以,所以.根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率,所以切线方程为,即.【小问2详解】由(1)知,.令,得或.解可得,或,所以在上单调递增,在上单调递增;解可得,,所以在上单调递减.所以的单调递增区间为,,单调递减区间为.20.“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.(1)求a的值;(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率;(3)用频率估计概率,从所有参与生态文明建设关注调查人员(假设人数很多,各人是否关注生态文明建设互不影响)中任意选出3人,设这3人中关注生态文明建设的人数为X.求随机变量X的分布列及 期望.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据频率和为1求;(2)根据题意结合古典概型分析运算;(3)根据题意可得,根据二项分布求分布列和期望.【小问1详解】由小矩形面积和等于1可得:,解得.【小问2详解】第1组总人数为200×0.01×10=20,第2组总人数为200×0.015×10=30根据分层抽样可得:第1组抽取人,第2组抽取人再从这5人中抽取3人,设至少1人的年龄在第1组中的事件为A,其概率为.【小问3详解】由题意可知:,则有:,,,.∴X的分布列为:X0123P 可得的数学期望.21.“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚,近几年国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策,为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据,并计算得.A充电桩投资金额x/万元3467910所伏利润y/百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x关系,求其经验回归方程;(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于,则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分,所获利润y与投资金额x的比值低于且大于,则称对应的投入额为“良好投资额”,记1分,所获利润y与投资金额x的比值不超过,则称对应的投入额为“不合格投资额”,记0分,现从表中6个投资金额中任意选2个,用X表示记分之和,求X的分布列及数学期望.附:.【答案】(1);(2)分布列见解析,.【解析】【分析】(1)利用给定的数表求出,再利用最小二乘法公式求解作答.(2)求出的可能值,及对应的概率,列出分布列并求出期望作答.【小问1详解】由数表知,, 因此,,所以所求经验回归方程为.【小问2详解】由数表知,,,因此“优秀投资额”有2个,“良好投资额”有1个,“不合格投资额”有3个,的可能值为,,,所以的分布列为:01234数学期望.22.已知.(1)若,且对任意恒成立,求a的范围;(2)当时,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用分离参数得对任意恒成立,再设,利用导数求出其最值即可; (2)证法1:通过隐零点法得,然后构造新函数求解其范围即可;证法2:令,利用导数证明,则得.【小问1详解】∵,若对任意恒成立,则对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,令,解得,当时,,则单调递增,当时,,则单调递减,所以当时,函数取得最大值.所以.【小问2详解】证法1,由(1)可得时,在上单调递增.又因为,当x趋近于0时,趋近于.∴使得,即.当时,,时,.∴在递减,在递增.∴,,令,,当时,,,则在上,,∴单调递减,∴.∴当时,. 证法2:令,,,当时,,当时,.∴在上单调递减,在上单调递增,∴,∴.∵,∴.∴.
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高中 - 数学
发布时间:2023-10-08 18:05:02
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