山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高一数学上学期12月联考试题（B）（Word版附解析）

“学情空间”区域教研共同体高一12月份联考数学试题（B）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】命题“，”的否定为，.故选：D2.设集合，则集合A的子集个数为（）A.16B.32C.15D.31【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，再利用集合的子集概念.【详解】因为集合，所以集合A的子集个数为，故选：B3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ，则下列命题正确的是（）A若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则【答案】B【解析】【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A中，有，错误；B中，时，成立，正确；C中，时，，错误；D中，由题设，当时，，错误；故选：B4.若是第三象限角，则下列各式中成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据所在象限，确定的三角函数值的正负，然后逐一判断选项的正误即可.【详解】因为是第三象限角，，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A.5.函数的零点所在的区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 【答案】B【解析】【分析】易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.【详解】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,,则时,;时,,因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.6.如图所示，函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】∵，∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B7.已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）A.a∈(0,1)B.a∈[,1)C.a∈(0,]D.a∈[,2)【答案】C【解析】【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．8.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，∴{x|－1＜x＜4}Ü{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴实数a的值可以是4，5，6．故选：BCD．10.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是2B.的最大值是1C.的最小值是4D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】因为正数满足，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；由，当且仅当时成立，所以C错误；由正数满足，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.故选：ABD11.下列说法正确的是（）A.，B.若不等式的解集为或，则C.（且）的图象恒过定点D.函数的单调减区间为【答案】AB【解析】【分析】根据特例可判断A的正误，根据一元二次不等式的解集可判断B的正误，根据指数函数的性质可判断C的正误，根据“同增异减”的原则可判断D的正误.【详解】对于A，取，则成立，故A正确；对于B，因为的解集为或，故为方程的根，故即，故B正确；对于C，，故的图象恒过，故C错误；对于D，由可得，因为为减函数，故若求的减区间，即求在上的增区间， 而在上为增函数，在上为减函数，当时，；当时，；且在上为增函数，故的增区间为，故的减区间为，故D错误.故选：AB.12.已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据，令，，，在同一坐标系作出函数图象求解.【详解】因为，令，，，记与交点纵坐标为m，与交点纵坐标为t，当y＝t时，A正确；当y＝m时，B错误；当t＜y＜m时，C正确当y＜t时，D正确故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是____________．【答案】【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14.函数在区间上的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】将函数化成，再利用换元法令，将函数的最大值，转化为求二次函数的最大值.【详解】因为，令，所以，对称轴，所以当时，.故答案为：【点睛】本题考查二次函数的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用换元法求解时，注意新元取值范围的确定，考能保证问题的等价性.15.已知是定义在上偶函数，且在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】【解析】【分析】由的单调性与奇偶性转化后求解，【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，故等价于，解得.故答案为：16.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是.①的值为__________；②的值为__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】根据直角三角形的内角及斜边长表示出两直角边长，作差即可得出小正方形边长，再由同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为大正方形的面积是1，所以大正方形边长为1，则直角三角形中较短直角边长为，较长的直角边为，所以小正方形的边长为，又小正方形的面积是，所以小正方形边长为，故；因为，所以， 又，，所以，所以.故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，.求：（1）当时，求，，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得到，进而求解交集和并集，以及补集；（2）由得到，从而得到.【小问1详解】等价于，解得，故，而时，，故，，故.【小问2详解】因为，所以，又，，故.18.已知函数.（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最小值为0，最大值为【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式计算可得；（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】由题意，，所以的最小正周期；【小问2详解】当时，，可知，即，故的最小值为，最大值为.19.已知对数函数，并且它的图象过点.（1）求的解析式；（2）若，，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合对数的运算性质进行求解即可；（2）利用换元法，结合二次函数的性质和对数的单调性进行求解即可.【小问1详解】设（，且）的图像过点，，即，，即，；【小问2详解】令，，函数转化为函数，该函数图象开口朝上，对称轴为，当时，有最小值，，当时，有最大值，，的值域为20.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求、的值；（2）证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求得的值，再利用奇函数的定义可求得的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明结论成立； （3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为函数在上为奇函数，则，解得，由奇函数的定义可得，所以，，即，则，可得.【小问2详解】证明：由（1）得，任取、，且，则，则，，即，所以函数在上为减函数.【小问3详解】解：根据（1）（2）知，函数奇函数且在上为减函数.不等式恒成立，即恒成立，也就是对任意的都成立，即对任意的都成立，则，解得，即的范围是.21.我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且 另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.（1）求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;（2）当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】（1）（2）100千台，最大年利润为5900万元.【解析】【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.【小问1详解】解：10000台=10千台,则，根据题意得：，解得，当时，，当时，，综上所述.【小问2详解】当时，当时，取得最大值；当时，， 当且仅当时，因为，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.22.已知定义在R上的函数满足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，代入计算可得；（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.【小问1详解】由题意知，，即，所以，故.【小问2详解】 由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.【小问3详解】因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，