福建省漳州市2024届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题（含答案）

准考证号姓名(在此卷上答题无效)福建省漳州市２０２４届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题本试卷共６页ꎬ２２小题ꎬ满分１５０分ꎬ考试时间１２０分钟ꎮ考生注意:１????答题前ꎬ考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名ꎮ考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致ꎮ２????回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其它答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ用０????５ｍｍ黑色签字笔将答案写在答题卡上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ３????考试结束ꎬ考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ一、单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)ｘ１.设全集Ｕ＝Ｒꎬ若集合Ａ＝{ｘ｜１≤２≤４}ꎬＢ＝{ｘ｜ｙ＝ｘ－１}ꎬ则如图所示的阴影部分表示的集合为Ａ.(－∞????０)Ｂ.[１????２]Ｃ.(２????＋∞)Ｄ.(－∞????０)∪(２????＋∞)２.已知复数ｚ满足ｚ＋(ｚ－１)ｉ＝３(ｉ为虚数单位)ꎬ则｜ｚ｜＝Ａ.１Ｂ.３Ｃ.２Ｄ.５ｘ３３.已知函数ｆ(ｘ)＝２＋ｘ????ｇ(ｘ)＝ｌｏｇｘ＋ｘ????ｈ(ｘ)＝ｘ＋ｘ的零点分别是ａ????ｂ????ｃꎬ则２ａ????ｂ????ｃ的大小关系是Ａ.ａ>ｂ>ｃＢ.ｂ>ｃ>ａＣ.ｃ>ａ>ｂＤ.ｂ>ａ>ｃ→→→→→→４.已知向量ａ＝(－１????１)????ｂ＝(２????ｘ)ꎬ若ａ⊥ｂꎬ则ａ－ｂ＝Ａ.２Ｂ.２２Ｃ.１０Ｄ.２３２２ｘｙ２２５.已知双曲线－＝１(ａ>０????ｂ>０)的一条渐近线被圆(ｘ－２)＋ｙ＝４所截得的弦２２ａｂ长为２ꎬ则双曲线的离心率为Ａ.３Ｂ.２Ｃ.５Ｄ.１０数学第一次教学质量检测第１页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},æπö１６.已知ｓｉｎçα－÷＝ꎬ则ｓｉｎ２α＝è４ø３７４２４２７Ａ.－Ｂ.－Ｃ.Ｄ.９９９９７.如图ꎬ在五面体ＡＢＣＤＥＦ中ꎬ底面ＡＢＣＤ是矩FEDC形ꎬＥＦ<ＡＢꎬＥＦ∥ＡＢꎬ若ＡＢ＝２５ꎬＡＤ＝１０ꎬ且底面ＡＢＣＤ与其余各面所成角的正切值均为AB３ꎬ则该五面体的体积是５Ａ.２２５Ｂ.２５０Ｃ.３２５Ｄ.３７５２８.已知直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线ｙ＝ｘ－(ａ＋１)的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ａｌｎｘ－１的切线ꎬ则ｋ的最大值是２４Ａ.Ｂ.Ｃ.２ｅＤ.４ｅｅｅ二、多项选择题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项符合题目要求.全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分)９.将１００个数据整理并绘制成频率分布直方图(如图所示)ꎬ则下列结论正确的是#$/"%0.1750.125a0.025100102104106108110!"Ａ.ａ＝０????１００Ｂ.该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值Ｃ.该组数据的第９０百分位数约为１０９????２Ｄ.在该组数据中随机选取一个数据记为ｎꎬ已知ｎ∈[１００????１０４)ꎬ则１ｎ∈[１００????１０２)的概率为２数学第一次教学质量检测第２页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},æπö１０.函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)çＡ>０????ω>０????φ<÷的部分图象如图所示ꎬ则下列结è２ø论正确的是y2Ａ.ω＝２５πＢ.ｙ＝ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝－对称3１２Ox12πＣ.将ｙ＝ｆ(ｘ)的图象向右平移个单位长度后ꎬ得到３-2的图象关于原点对称é１５öＤ.若ｙ＝ｆ(λｘ)(λ>０)在[０????π]上有且仅有一个零点ꎬ则λ∈ê????÷êë３６ø１１.已知正项等比数列{ａ}的前ｎ项积为Ｔꎬ且ａ>１ꎬ则下列结论正确的是ｎｎ１Ａ.若Ｔ＝Ｔꎬ则Ｔ＝１Ｂ.若Ｔ＝Ｔꎬ则Ｔ≤Ｔ６８１４６８ｎ７Ｃ.若Ｔ<Ｔꎬ则Ｔ<ＴＤ.若Ｔ>Ｔꎬ则Ｔ>Ｔ６７７８６７７８１２.已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)ꎬ其导函数ｆ′(ｘ)的定义域也为Ｒ.若ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ)ꎬ且ｆ(ｘ－１)为奇函数ꎬ则Ａ.ｆ(１)＝０Ｂ.ｆ(２０２４)＝０Ｃ.ｆ′(ｘ)＝－ｆ′(－ｘ)Ｄ.ｆ′(ｘ)＝ｆ′(２０２２－ｘ)三、填空题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)６æ１２ö１３.ç＋ｘ÷的展开式中的常数项是.èｘø１４.有一批同一型号的产品ꎬ其中甲工厂生产的占４０％ꎬ乙工厂生产的占６０％.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为３％ꎬ２％ꎬ则从这批产品中任取一件是次品的概率是.２１５.已知抛物线ｙ＝２ｘ的焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线与抛物线交于ＡꎬＢ两点ꎬ则４ＡＦ＋ＢＦ的最小值是.１６.一个封闭的圆台容器(容器壁厚度忽略不计)的上底面半径为１ꎬ下底面半径为６ꎬ母线与底面所成的角为６０°.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体ꎬ则正方体的棱长的最大值是.数学第一次教学质量检测第３页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},四、解答题(本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１７.(本小题满分１０分)如图ꎬ正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ的棱长为２ꎬＥ为棱ＤＤ的中点.１１１１１(１)证明:ＢＤ∥平面ＡＣＥꎻ１３(２)若Ｆ是棱ＢＢ上一点ꎬ且二面角Ｆ－ＡＣ－Ｅ的余弦值为－ꎬ求ＢＦ.１３１８.(本小题满分１２分)Ｂ＋Ｃ已知△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎ.２(１)求Ａꎻ１２３(２)若Ｄ为边ＢＣ上一点ꎬ且ＢＤ＝ＢＣꎬＡＤ＝ｃꎬ证明:△ＡＢＣ为直角三３３角形.１９.(本小题满分１２分)ａｎ已知数列{ａ}ꎬ{ｂ}满足ａ＝ｂ＝１ꎬｂ＝ｂꎬ记Ｔ为{ｂ}的前ｎ项和.ｎｎ１１ｎ＋１ｎｎｎａｎ＋２(１)若{ａ}为等比数列ꎬ其公比ｑ＝２ꎬ求Ｔꎻｎｎ３(２)若{ａ}为等差数列ꎬ其公差ｄ＝２ꎬ证明:Ｔ<.ｎｎ２数学第一次教学质量检测第４页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},２０.(本小题满分１２分)∗甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛ꎬ采用２ｎ－１(ｎ∈Ｎ)局ｎ胜制(当一选手先赢下ｎ局比赛时ꎬ该选手获胜ꎬ比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率为ｐꎬ乙获胜的概率为１－ｐ.１(１)若ｎ＝２ꎬｐ＝ꎬ比赛结束时的局数为Ｘꎬ求Ｘ的分布列与数学期望ꎻ２(２)若ｎ＝３比ｎ＝２对甲更有利ꎬ求ｐ的取值范围.２１.(本小题满分１２分)２２ｘｙ已知椭圆Ｃ:２＋２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点为Ｆ１(－３????０)ꎬ且过点ａｂæ１öＡç３????÷.è２ø(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)不过原点Ｏ的直线ｌ与Ｃ交于ＰꎬＱ两点ꎬ且直线ＯＰꎬＰＱꎬＯＱ的斜率成等比数列.(ⅰ)求ｌ的斜率ꎻ(ⅱ)求△ＯＰＱ的面积的取值范围.数学第一次教学质量检测第５页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},２２.(本小题满分１２分)ｘ已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅ＋ｘ＋１.(１)讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻｘ－１(２)当ｘ>１时ꎬｆ(ｘ)>ｌｎ＋ｘꎬ求实数ａ的取值范围.ａ数学第一次教学质量检测第６页(共６页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},福建省漳州市２０２４届高三毕业班第一次教学质量检测数学参考答案及评分细则评分说明:１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则ꎮ２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分ꎮ３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ４.只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ一、单项选择题:本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的ꎮ１２３４５６７８ＡＤＢＣＢＤＣＢ二、多项选择题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分ꎮ９１０１１１２ＢＣＡＢＤＡＢＤＡＣＤ三、填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎮ９１３.１５１４.０????０２４１５.１６.４２四、解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤ꎮ１７.(１０分)【解析】解法一:(１)证明:连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｇꎬ连接ＥＧꎬ????????????????????????????????????????????１分则Ｇ为ＤＢ中点ꎬ又Ｅ为ＤＤ中点ꎬ所以ＧＥ∥ＢＤꎬ????????????????????２分１１又ＢＤ⊄平面ＡＣＥ????ＧＥ⊂平面ＡＣＥꎬ所以ＢＤ∥平面ＡＣＥ.????????????４分１１→→→(２)如图ꎬ以Ａ为原点ꎬ分别以ＡＢ????ＡＤ????ＡＡ的方向为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴的正方向１建立空间直角坐标系ꎬ则Ａ(０????０????０)ꎬＢ(２????０????０)ꎬＣ(２????２????０)ꎬＥ(０????２????１)ꎬＢ(２????０????２)ꎬ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????５分１数学第一次教学质量检测参考答案第１页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},→→所以ＡＣ＝(２????２????０)ꎬＡＥ＝(０????２????１).→设平面ＡＣＥ的法向量为ｎ＝(ｘ????ｙ????ｚ)ꎬ→→ｎ????ＡＣ＝２ｘ＋２ｙ＝０则{→→ꎬｎ????ＡＥ＝２ｙ＋ｚ＝０令ｘ＝１ꎬ则ｙ＝－１????ｚ＝２ꎬ→所以取ｎ＝(１????－１????２).????????????????６分设Ｆ(２????０????ｋ)(０≤ｋ≤２)ꎬ→则ＡＦ＝(２????０????ｋ).→设平面ＡＣＦ的法向量为ｍ＝(ａ????ｂ????ｃ)ꎬ→→ｍ????ＡＣ＝２ａ＋２ｂ＝０则＝ｋꎬ则ｂ＝－ｋꎬｃ＝－２ꎬ{→→ꎬ令ａｍ????ＡＦ＝２ａ＋ｃｋ＝０→所以取ｍ＝(ｋ????－ｋ????－２).????????????????????????????????????????????????????????????????????????７分３因为二面角Ｆ－ＡＣ－Ｅ的余弦值为－ꎬ３→→→→ｍ????ｎ２ｋ－４３所以ｃｏｓ‹ｍꎬｎ›＝＝＝ꎬ????????????????????????????????９分→→２３ｍｎ６２ｋ＋４１１解得ｋ＝ꎬ即ＢＦ＝.∙????????????????????????????????????????????????????????????????????１０分２２解法二:→→→(１)如图ꎬ以Ａ为原点ꎬ分别以ＡＢꎬＡＤꎬＡＡ的方向为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴的正方１向建立空间直角坐标系ꎬ则Ａ(０????０????０)ꎬＢ(２????０????０)ꎬＣ(２????２????０)ꎬＥ(０????２????１)ꎬＢ(２????０????２)ꎬＤ(０????２????２)ꎬ１１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????１分→→所以ＡＣ＝(２????２????０)ꎬＡＥ＝(０????２????１).→设平面ＡＣＥ的法向量为ｎ＝(ｘ????ｙ????ｚ)ꎬ→→ｎ????ＡＣ＝２ｘ＋２ｙ＝０则{→→ꎬｎ????ＡＥ＝２ｙ＋ｚ＝０令ｘ＝１ꎬ则ｙ＝－１ꎬｚ＝２ꎬ→所以取ｎ＝(１????－１????２).????????????????３分→又ＢＤ＝(－２????２????２)ꎬ１→→→→所以ＢＤ????ｎ＝(－２)×１＋２×(－１)＋２×２＝０ꎬ所以ＢＤ⊥ｎ.１１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????５分又ＢＤ⊄平面ＡＣＥꎬ所以ＢＤ∥平面ＡＣＥ.????????????????????????????????????????６分１１数学第一次教学质量检测参考答案第２页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},→(２)设Ｆ(２????０????ｋ)(０≤ｋ≤２)ꎬ则ＡＦ＝(２????０????ｋ).→设平面ＡＣＦ的法向量为ｍ＝(ａ????ｂ????ｃ)ꎬì→→ïïｍ????ＡＣ＝２ａ＋２ｂ＝０则íꎬ令ａ＝ｋꎬ则ｂ＝－ｋꎬｃ＝－２ꎬïï→→îｍ????ＡＦ＝２ａ＋ｃｋ＝０→所以取ｍ＝(ｋ????－ｋ????－２).????????????????????????????????????????????????????????????????????????７分→又平面ＡＣＥ的法向量为ｎ＝(１????－１????２)ꎬ３且二面角Ｆ－ＡＣ－Ｅ的余弦值为－ꎬ３→→→→ｍ????ｎ２ｋ－４３所以ｃｏｓ‹ｍꎬｎ›＝＝＝ꎬ????????????????????????????????９分→→２３ｍｎ６２ｋ＋４１１解得ｋ＝ꎬ即ＢＦ＝.????????????????????????????????????????????????????????????????????????１０分２２１８.(１２分)【解析】解法一:Ｂ＋Ｃ(１)因为ａｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎꎬ２æπＡöＡ所以ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｓｉｎＢｓｉｎç－÷＝ｓｉｎＢｃｏｓꎬ????????????????????????????????????２分è２２ø２ＡＡＡＡ因为ｓｉｎＢ>０ꎬ所以ｓｉｎＡ＝ｃｏｓꎬ即２ｓｉｎｃｏｓ＝ｃｏｓ.????????????３分２２２２ＡＡ１又ｃｏｓ≠０ꎬ所以ｓｉｎ＝.????????????????????????????????????????????????????????????４分２２２ＡπＡππ又０<<ꎬ所以＝ꎬ所以Ａ＝.????????????????????????????????????????????５分２２２６３→→→→１→→１→→２→１→(２)因为ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＢ＋(ＡＣ－ＡＢ)＝ＡＢ＋ＡＣꎬ３３３３２→２æ２→１→ö４→２１→２４→→所以ＡＤ＝çＡＢ＋ＡＣ÷＝ＡＢ＋ＡＣ＋ＡＢ????ＡＣè３３ø９９９４１２４２２２＝ｃ＋ｂ＋ｂｃ＝ｃ.９９９３２２即ｂ＋２ｂｃ－８ｃ＝０ꎬ所以(ｂ＋４ｃ)(ｂ－２ｃ)＝０ꎬ所以ｂ＝２ｃ.????????９分２２２２２２因此ａ＝ｂ＋ｃ－２ｂｃｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ｂ＋ｃ－ｂｃ＝３ｃꎬ????????????????????１０分２２２又ｂ＝２ｃꎬ所以ｂ＝ａ＋ｃꎬ????????????????????????????????????????????????????????????????１１分所以Ｂ＝９０°ꎬ所以△ＡＢＣ为直角三角形.????????????????????????????????????????１２分数学第一次教学质量检测参考答案第３页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},解法二:(１)同解法一ꎻ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????５分(２)因为∠ＡＤＢ＝π－∠ＡＤＣꎬ所以ｃｏｓ∠ＡＤＢ＋ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝０ꎬ２２２２２２ＡＤ＋ＢＤ－ＡＢＡＤ＋ＣＤ－ＡＣ所以＋＝０ꎬ２ＡＤ????ＢＤ２ＡＤ????ＣＤ１１２３又ＢＤ＝ＢＣ＝ａꎬＡＤ＝ｃꎬ３３３４１４４２２２２２２ｃ＋ａ－ｃｃ＋ａ－ｂ３９３９所以＋＝０ꎬ４３８３ａｃａｃ９９２２２即６ｃ－３ｂ＋２ａ＝０.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????９分２２２２２又ａ＝ｂ＋ｃ－２ｂｃｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ｂ＋ｃ－ｂｃꎬ????????????????????????????????????１０分２２２２所以６ｃ－３ｂ＋２(ｂ＋ｃ－ｂｃ)＝０ꎬ２２即８ｃ－２ｂｃ－ｂ＝０ꎬ所以(４ｃ＋ｂ)(２ｃ－ｂ)＝０ꎬ２２所以ｂ＝２ｃꎬ所以ａ＝３ｃ.２２２因此ｂ＝ａ＋ｃꎬ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????１１分所以Ｂ＝９０°ꎬ所以△ＡＢＣ为直角三角形.????????????????????????????????????????１２分１９.(１２分)【解析】解法一:(１)因为{ａ}为等比数列ꎬａ＝１ꎬｑ＝２ꎬｎ１ａｎ１ｂｎ＋１ａｎ１所以＝ꎬ所以＝＝.????????????????????????????????????????????????????１分ａ４ｂａ４ｎ＋２ｎｎ＋２１又ｂ＝１ꎬ所以{ｂ}是以ｂ＝１为首项ꎬ为公比的等比数列ꎬ????３分１ｎ１４ｎæ１ö１－ç÷ｎè４ø４éæ１öù所以Ｔｎ＝＝ê１－ç÷ú.????????????????????????????????????????????????????５分１３êëè４øúû１－４(２)因为{ａ}为等差数列ꎬａ＝１ꎬｄ＝２ꎬｎ１所以ａ＝２ｎ－１ꎬ所以ａ＝２ｎ＋３.????????????????????????????????????????????????７分ｎｎ＋２ａｎ２ｎ－１ｂｎ＋１２ｎ－１因为ｂ＝ｂ＝ｂꎬ即＝ꎬｎ＋１ｎｎａ２ｎ＋３ｂ２ｎ＋３ｎ＋２ｎｂｎ２ｎ－３所以＝(ｎ≥２)ꎬ????????????????????????????????????????????????????????????????????９分ｂ２ｎ＋１ｎ－１数学第一次教学质量检测参考答案第４页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},所以当ｎ≥２时ꎬｂｂｂｂｂｎｎ－１ｎ－２３２ｂ＝×××????×××ｂｎ１ｂｂｂｂｂｎ－１ｎ－２ｎ－３２１２ｎ－３２ｎ－５２ｎ－７３１３＝×××????×××１＝.２ｎ＋１２ｎ－１２ｎ－３７５(２ｎ－１)(２ｎ＋１)又ｂ＝１符合上式ꎬ１３３æ１１ö所以ｂｎ＝＝ç－÷.????????????????????????１０分(２ｎ－１)(２ｎ＋１)２è２ｎ－１２ｎ＋１ø所以Ｔ＝ｂ＋ｂ＋ｂ＋????＋ｂ＋ｂｎ１２３ｎ－１ｎ３æ１１１１１１１ö＝ç１－＋－＋－＋????＋－÷????１１分２è３３５５７２ｎ－１２ｎ＋１ø３æ１ö３＝ç１－÷<.????????????????????????????????????????????????????????????????１２分２è２ｎ＋１ø２解法二:(１)同解法一ꎻ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????５分(２)因为{ａ}为等差数列ꎬａ＝１ꎬｄ＝２ꎬｎ１所以ａ＝２ｎ－１ꎬ所以ａ＝２ｎ＋３.????????????????????????????????????????????????７分ｎｎ＋２ａｎ２ｎ－１因为ｂ＝ｂ＝ｂꎬ即ｂ(２ｎ＋３)＝(２ｎ－１)ｂꎬｎ＋１ｎｎｎ＋１ｎａ２ｎ＋３ｎ＋２所以ｂ(２ｎ＋１)(２ｎ＋３)＝ｂ(２ｎ－１)(２ｎ＋１)ꎬ????????????????????????????９分ｎ＋１ｎ所以数列{ｂ(２ｎ－１)(２ｎ＋１)}为常数列.ｎ因此ｂ(２ｎ－１)(２ｎ＋１)＝３ｂ＝３ꎬｎ１３３æ１１ö所以ｂｎ＝＝ç－÷.????????????????????????１０分(２ｎ－１)(２ｎ＋１)２è２ｎ－１２ｎ＋１ø所以Ｔ＝ｂ＋ｂ＋ｂ＋????＋ｂ＋ｂｎ１２３ｎ－１ｎ３æ１１１１１１１ö＝ç１－＋－＋－＋????＋－÷????１１分２è３３５５７２ｎ－１２ｎ＋１ø３æ１ö３＝ç１－÷<.????????????????????????????????????????????????????????????????１２分２è２ｎ＋１ø２２０.(１２分)【解析】解法一:(１)依题意得ꎬＸ所有可能取值为２ꎬ３.????????????????????????????????????????????????????１分２２æ１öæ１ö１Ｐ(Ｘ＝２)＝ç÷＋ç１－÷＝ꎬ????????????????????????????????????????????????????????２分è２øè２ø２２２１æ１öæ１ö１æ１öæ１ö１Ｐ(Ｘ＝３)＝Ｃ２ç÷ç１－÷＋Ｃ２ç÷ç１－÷＝ꎬ????????????????????????３分è２øè２øè２øè２ø２数学第一次教学质量检测参考答案第５页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},所以Ｘ的分布列为Ｘ２３１１????????????????????????????????????????????????????????????４分ｐ２２１１５所以Ｘ的数学期望Ｅ(Ｘ)＝２×＋３×＝.????????????????????????????????５分２２２(２)若采用３局２胜制ꎬ甲最终获胜的概率为:２１２２ｐ＝ｐ＋Ｃｐ(１－ｐ)＝ｐ(３－２ｐ)ꎬ????????????????????????????????????????????????????????７分１２若采用５局３胜制ꎬ甲最终获胜的概率为:３１３２３２３２ｐ＝ｐ＋Ｃｐ(１－ｐ)＋Ｃｐ(１－ｐ)＝ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０)ꎬ????????????９分２３４若采用５局３胜制比采用３局２胜制对甲更有利ꎬ则ｐ－ｐ>０ꎬ２１３２２２３２即ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０)－ｐ(３－２ｐ)＝ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０ｐ－３＋２ｐ)２３２＝３ｐ(２ｐ－５ｐ＋４ｐ－１)２２２２＝３ｐ(ｐ－１)(２ｐ－３ｐ＋１)＝３ｐ(ｐ－１)(２ｐ－１)>０ꎬ１解得<ｐ<１.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????１２分２解法二:(１)同解法一ꎻ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????５分(２)采用３局２胜制ꎬ不妨设赛满３局ꎬ用ξ表示３局比赛中甲获胜的局数ꎬ则ξ~Ｂ(３????ｐ)ꎬ２２３３甲最终获胜的概率为:ｐ＝Ｐ(ξ＝２)＋Ｐ(ξ＝３)＝Ｃｐ(１－ｐ)＋Ｃｐ１３３２２３２＝ｐ[Ｃ(１－ｐ)＋Ｃｐ]＝ｐ(３－２ｐ)ꎬ????????????????????????????????????????????????????７分３３采用５局３胜制ꎬ不妨设赛满５局ꎬ用η表示５局比赛中甲获胜的局数ꎬ则η~Ｂ(５????ｐ)ꎬ甲最终获胜的概率为:３３２４４５５ｐ＝Ｐ(η＝３)＋Ｐ(η＝４)＋Ｐ(η＝５)＝Ｃｐ(１－ｐ)＋Ｃｐ(１－ｐ)＋Ｃｐ２５５５３２＝ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０)ꎬ????????????????????????????????????????????????????????????????????????９分若采用５局３胜制比采用３局２胜制对甲更有利ꎬ则ｐ－ｐ>０ꎬ２１３２２２３２即ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０)－ｐ(３－２ｐ)＝ｐ(６ｐ－１５ｐ＋１０ｐ－３＋２ｐ)２３２＝３ｐ(２ｐ－５ｐ＋４ｐ－１)２２２２＝３ｐ(ｐ－１)(２ｐ－３ｐ＋１)＝３ｐ(ｐ－１)(２ｐ－１)>０ꎬ１解得<ｐ<１.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????１２分２数学第一次教学质量检测参考答案第６页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},２１.(１２分)【解析】æ１ö(１)由题知ꎬ椭圆Ｃ的右焦点为Ｆ２(３????０)ꎬ且过点Ａç３????÷ꎬè２ø２１１所以２ａ＝(３＋３)＋＋＝４ꎬ所以ａ＝２.????????????????????????２分４４２２又ｃ＝３ꎬ所以ｂ＝ａ－ｃ＝１ꎬ????????????????????????????????????????????????????????３分２ｘ２所以Ｃ的方程为＋ｙ＝１.????????????????????????????????????????????????????????????????????４分４(２)(ⅰ)由题知ꎬ直线ｌ的斜率存在ꎬ且不为０.设ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍ(ｍ≠０)ꎬＰ(ｘ????ｙ)ꎬＱ(ｘ????ｙ)ꎬ１１２２ｙ＝ｋｘ＋ｍ２２２则{２２ꎬ所以(１＋４ｋ)ｘ＋８ｋｍｘ＋４(ｍ－１)＝０ꎬ????５分ｘ＋４ｙ－４＝０２－８ｋｍ４(ｍ－１)所以ｘ＋ｘ＝????ｘｘ＝ꎬ????????????????????????????????????????????６分１２２１２２１＋４ｋ１＋４ｋ２２２２２２且Δ＝６４ｋｍ－１６(１＋４ｋ)(ｍ－１)>０ꎬ即４ｋ－ｍ＋１>０.因为直线ＯＰꎬＰＱꎬＯＱ的斜率成等比数列.２２ｙｙｋｘｘ＋ｋｍ(ｘ＋ｘ)＋ｍ１２２１２１２２所以????＝ｋꎬ即＝ｋꎬｘｘ≠０１２ｘｘｘｘ１２１２２２－８ｋｍ２２所以＋ｍ＝０ꎬ且ｍ≠１.????????????????????????????????????????????????????????７分２１＋４ｋ１１２因为ｍ≠０ꎬ所以ｋ＝ꎬ所以ｋ＝±.????????????????????????????????????????????８分４２１２２２２(ⅱ)由(ⅰ)知４ｋ－ｍ＋１>０ꎬｋ＝±ꎬ所以０<ｍ<２ꎬ且ｍ≠１.２????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????９分ｍ设点Ｏ到直线ＰＱ的距离为ｄꎬ所以ｄ＝.２ｋ＋１１２２２因为ｋ＝±ꎬ所以(ｘ＋ｘ)＝４ｍꎬｘｘ＝２(ｍ－１)ꎬ１２１２２１１ｍ２所以Ｓ＝ｄ????ＰＱ＝１＋ｋ｜ｘ－ｘ｜ΔＯＰＱ１２２２１＋ｋ２１２２２＝｜ｍ｜(ｘ＋ｘ)－４ｘｘ＝ｍ(２－ｍ).１２１２２数学第一次教学质量检测参考答案第７页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#},２２＝－(ｍ－１)＋１ꎬ２２又０<ｍ<２ꎬ且ｍ≠１.所以Ｓ∈(０ꎬ１)△ＯＰＱ即△ＯＰＱ的面积的取值范围(０ꎬ１).????????????????????????????????????????????????１２分２２.(１２分)【解析】ｘ(１)依题意ꎬ得ｆ′(ｘ)＝ａｅ＋１.????????????????????????????????????????????????????????????????????１分当ａ≥０时ꎬｆ′(ｘ)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在(－∞????＋∞)单调递增.????????????????２分当ａ<０时ꎬ令ｆ′(ｘ)>０ꎬ可得ｘ<－ｌｎ(－ａ)ꎻ令ｆ′(ｘ)<０ꎬ可得ｘ>－ｌｎ(－ａ)ꎬ所以ｆ(ｘ)在(－∞????－ｌｎ(－ａ))单调递增ꎬ在(－ｌｎ(－ａ)????＋∞)单调递减.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????４分综上所述ꎬ当ａ≥０时ꎬｆ(ｘ)在(－∞????＋∞)单调递增ꎻ当ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－∞????－ｌｎ(－ａ))单调递增ꎬ在(－ｌｎ(－ａ)????＋∞)单调递减.????????????５分ｘ－１ｘ－１ｘ(２)因为当ｘ>１时ꎬｆ(ｘ)>ｌｎ＋ｘꎬ所以ａｅ＋ｘ＋１>ｌｎ＋ｘꎬａａｌｎａｘ即ｅｅ＋ｘ＋１>ｌｎ(ｘ－１)－ｌｎａ＋ｘꎬｘ＋ｌｎａ即ｅ＋ｌｎａ＋ｘ>ｌｎ(ｘ－１)＋ｘ－１ꎬｘ＋ｌｎａｌｎ(ｘ－１)即ｅ＋ｘ＋ｌｎａ>ｅ＋ｌｎ(ｘ－１).????????????????????????????????????????????７分ｘ令ｈ(ｘ)＝ｅ＋ｘꎬ则有ｈ(ｘ＋ｌｎａ)>ｈ(ｌｎ(ｘ－１))对∀ｘ∈(１????＋∞)恒成立.ｘ因为ｈ′(ｘ)＝ｅ＋１>０ꎬ所以ｈ(ｘ)在(－∞????＋∞)单调递增ꎬ????????????８分故只需ｘ＋ｌｎａ>ｌｎ(ｘ－１)ꎬ即ｌｎａ>ｌｎ(ｘ－１)－ｘ对∀ｘ∈(１????＋∞)恒成立.????????????????????????????????????９分１２－ｘ令Ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ－１)－ｘꎬ则Ｆ′(ｘ)＝－１＝ꎬ令Ｆ′(ｘ)＝０ꎬｘ－１ｘ－１得ｘ＝２.当ｘ∈(１????２)时ꎬＦ′(ｘ)>０ꎬ当ｘ∈(２????＋∞)时ꎬＦ′(ｘ)<０ꎬ所以Ｆ(ｘ)在(１????２)单调递增ꎬ在(２????＋∞)单调递减ꎬ所以Ｆ(ｘ)≤Ｆ(２)＝－２.????????????????????????????????????????????????????????????????????????１１分１因此ｌｎａ>－２ꎬ所以ａ>.????????????????????????????????????????????????????????????????１２分２ｅ数学第一次教学质量检测参考答案第８页(共８页){#{QQABYYSUogggQgAAARhCEQGACAGQkAACCAgOBAAMMAAByANABAA=}#}