湖南省永州市第一中学2024届高三数学上学期第一次月考试题（Word版附答案）

湖南省永州一中2024届高三第一次月考试题数学1.已知集合ﾞ㔸ﾞ䁒,则㔸ﾞA.B.C.D.2.已知复数满足ﾞ,则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量满足ﾞﾞ,则在方向上的投影向量的模为A.B.3C.D.4.如图1,在高为的直三棱柱容器㔸耀㔸耀中,㔸ﾞ耀ﾞ㔸耀,现往该容器内灌进一些水,水深为,然后固定容器底面的一边㔸于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为㔸耀(如图2),则ﾞA.B.C.D.5.某软件研发公司对某软件进行升级,主要是对软件程序中的某序列ﾞ重新编辑,编辑新序列为ﾞ,它的第项为,若的所有项都是2,且ﾞ,ﾞ,则ﾞA.8B.10C.12D.146.立德学校于三月份开展学雷锋主题活动,某班级5名女生和2名男生,分成两个小组去两地参加志愿者活动,每小组均要求既要有女生又要有男生,则不同的分配方案有()种.A.20B.4C.60D.807.已知函数ﾞ的零点分别为,则ﾞA.B.C.0D.28.已知双曲线ﾞ的右焦点为,过点且斜率为的直线交双曲线于、㔸两点,线段㔸的中垂线交轴于点.若㔸,则双曲线的离心率取值范围是,A.B.C.D.9.（多选）每年4月23日为“世界读书日”,树人学校于四月份开展“书香润泽校园,阅读提升思想”主题活动,为检验活动效果,学校收集当年二至六月的借阅数据如下表:根据上表,可得关于的经验回归方程为ﾞâ,则A.âﾞǤB.借阅量的上四分位数为5.7C.与的线性相关系数D.七月的借阅量一定不少于6.12万册10.（多选）已知ﾞ,下列选项正确的是ܿA.的值域为B.的对称中心为C.的单调递增区间为和D.䁒ﾞ图像向右平移个单位与的图像重合ܿ11.（多选）如图,点是棱长为1的正方体㔸耀㔸耀中的侧面上的一个动点（包含边界）,则下列结论正确的是A.不存在点满足耀平面耀㔸B.存在无数个点满足耀ǤC.当点满足ﾞ时,平面㔸截正方体所得截面的面积为D.满足ﾞ的点的轨迹长度是12.（多选）已知函数ﾞ,下列选项正确的是A.有最大值B.C.若时,恒成立,则D.设为两个不相等的正数,且ﾞ,则13.二项式的二项式系数之和为64,则展开式中的Ǥ的系数是______.(填数字),14.已知为锐角,ﾞܿﾞ,则ﾞ_____.15.已知点是椭圆耀ﾞ上一点,椭圆耀在点处的切线与圆ﾞ交于㔸两点,当三角形㔸的面积取最大值时,切线的斜率等于_______.16.已知四边形㔸耀为平行四边形,㔸ﾞﾞ㔸ﾞ,现将㔸沿直线㔸翻折,得到三棱锥㔸耀,若耀ﾞ,则三棱锥㔸耀的内切球与外接球表面积的比值为______.㔸耀17.在锐角㔸耀中,角㔸耀所对应的边分别为ܿ,已知ﾞ.ܿ(1)求角的值;(2)若ܿﾞ,求的取值范围.18.已知正数数列满足ﾞ,且ﾞ.(函数求导次可用表示)(1)求的通项公式.(2)求证:对任意的,都有.ﾞ19.某剧场的座位数量是固定的,管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价(单位:元)和上座率(上座人数与总座位数的比值)的数据,其中ﾞ,并根据统计数据得到如下的散点图:(1)由散点图判断ﾞ与ﾞܿ݊哪个模型能更好地对与的关系进行拟合(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果求回归方程;(2)根据（1）所求的回归方程,预测票价为多少时,剧场的门票收入最多.参考数据:ﾞﾞﾞǤﾞ;设ﾞ,则ﾞﾞﾞ,ǤǤﾞﾞ参考公式:对于一组数据,其回归直线ﾞ的斜率和截距的最小二乘估计分ﾞﾞ别为:ﾞﾞﾞ.ﾞﾞ20.如图,在三棱台㔸耀㔸耀中,面耀耀面㔸耀耀ﾞ耀㔸ﾞ耀ﾞ㔸耀ﾞ(1)证明:㔸耀㔸;,(2)若棱台的体积为耀ﾞ耀,求二面角㔸耀㔸的余弦值.21.已知、㔸分别为椭圆ﾞ左、右顶点,为的上顶点,㔸ﾞ为直线ﾞǤ上的动点,与的另一交点为耀㔸与的另一交点为.(1)求的方程;(2)证明:直线耀过定点.22.已知函数ﾞ䁒ﾞ,其中且.(1)证明：当ﾞ时,䁒恒成立;(2)证明:当时,曲线ﾞ与曲线ﾞ䁒有且只有两条公切线.参考答案1.D由,解得,又因为,所以ﾞ,又由䁒,可得䁒䁒,解得,所以㔸ﾞ䁮,所以㔸ﾞ,故选:C.2.B由题意可得:ﾞﾞﾞ,所以在复平面内对应的点为,位于第二象限.故选：B.3.B因为ﾞ,所以ﾞ,又ﾞﾞ,所以ﾞ,则在方向上的投影向量的模为ܿﾞﾞﾞ,故选:B.4.A设柱体的底面积为,则柱体的体积ﾞ,注入水的体积为ﾞ,容器倾斜后,上半部分三棱锥的体积耀㔸耀ﾞ耀㔸耀ﾞ,则可得ﾞ,整理得ﾞ.故选:A.5.C令ﾞ,则ﾞ,所以ﾞ,由题意可知,对任意的ﾞ,且ﾞﾞ,所以数列是公差为2的等差数列,且ﾞﾞﾞ,即ﾞ,所以ﾞﾞǤﾞﾞ,因此ﾞ.故选:C.6.C先安排2名男生,保证每个小组都有男生,共有2种分配方案;再安排5名女生,若将每个女生随机安排,共有ﾞ种分配方案,若女生都在同一小组,共有2种分配方案,故保证每个小组都有女生，共有ﾞ种分配方案;所以共有ﾞǤ种分配方案.故选:C.7.A令ﾞ,则有ﾞ,即ﾞ,所以有ﾞ,令䁒ﾞ,则䁒,令䁒ﾞ,则有ﾞ,即有ﾞ,因为,所以,则,即有,当ﾞ时,等号成立,所以当ﾞ时,䁒ﾞ,,所以共有3个零点,分别为,所以ﾞﾞ.故选:A8.A设双曲线的右焦点为ܿ㔸,则直线ﾞܿ,联立方程ﾞ,消去得:ܿܿﾞ,ﾞܿܿܿ则可得ﾞﾞ,ܿܿ则㔸ﾞﾞ,ܿܿ设线段㔸的中点,则ﾞﾞﾞܿﾞܿﾞܿ,ܿܿ即,且,线段㔸的中垂线的斜率为,ܿܿ则线段㔸的中垂线所在直线方程为ﾞ,ܿܿܿ令ﾞ,则ﾞ,解得ﾞ,ܿܿܿ即,则ﾞܿﾞ,ܿܿ由题意可得:㔸,即,整理得ܿ,则ﾞﾞ,注意到双曲线的离心率双曲线的离心率取值范围是.故选:A.9.ABC对于A:因为ﾞﾞﾞﾞ,所以ﾞâ,得âﾞǤ,所以正确;对于B:因为ﾞ,所以借阅量的上四分位数为5.7,所以B正确;对于C:因为,所以与的线性相关系数,所以耀正确;对于由选项可知线性回归方程为ﾞǤ,当ﾞǤ,则ﾞǤǤﾞǤ,所以七月的借阅量约为6.12百册,所以错误;故选:㔸耀.10.ABD由题意可得:ﾞﾞܿܿܿﾞﾞﾞܿܿܿ对于A:因为,所以,故A正确;对于B:因为的对称中心与函数ﾞ的对称中心相同,令ﾞ,解得ﾞ,故的对称中心为,故B正确;对于C:若单调递增,则ﾞ单调递减,令,解得所以的单调递增区间为和,故C错误;,对于D:䁒图像向右平移个单位,得到ﾞﾞﾞﾞ,ܿܿܿǤ与解析式相同,图像重合,故D正确.故选:ABD.11.BCD对于选项:连接耀耀,因为四边形㔸耀是正方形,所以㔸耀,平面㔸耀,且㔸平面㔸耀,所以㔸,耀ﾞ耀平面耀,所以㔸平面耀耀,且耀平面耀耀,可得㔸耀,同理可证㔸耀耀,㔸㔸耀ﾞ㔸㔸㔸耀平面耀㔸,所以耀平面耀㔸,又点是面上的一个动点（包含边界）,所以当与重合时,耀平面耀㔸,故错误;对于选项㔸：连接㔸耀,耀侧面侧面,则耀,又因为耀ﾞ耀平面耀㔸,所以平面耀㔸,可知当在线段上时,有耀,故存在无数个点满足耀,故B正确;对于选项耀:延长交于点,ﾞ,则为线段靠近点的三等分点,且,则ﾞﾞ,则为线段的中点,如图,以点为原点建立空间直角坐标系,ﾞ㔸ﾞ则㔸,可得㔸,㔸ﾞﾞ设平面㔸的法向量为ﾞ,则,㔸ﾞﾞ令ﾞ,则ﾞﾞ,即ﾞ,设平面㔸耀耀ﾞ,点ܿ,则㔸ﾞܿ,则㔸ﾞܿﾞ,解得ܿﾞ,则,故ﾞ,可得㔸ﾞﾞ,即㔸,且㔸ﾞﾞﾞﾞ,ﾞǤ故截面㔸面积ﾞ㔸ﾞ,故C正确;对于选项D:因为正方体㔸耀㔸耀的棱长为1,所以设,所以ﾞﾞ,因为ﾞ,所以ﾞ,化简得:ﾞ,所以点的轨迹是一段以为圆心,半径为的圆弧,设圆弧与分别交于点㘠,取ﾞ,则ﾞ,即㘠ﾞ;取ﾞ,则ﾞ,即ﾞ;则ﾞﾞ,则ﾞﾞ,且,即ﾞ,轨迹长度是ﾞ,故D正确.故选:BCD.,12.ACD对于选项A:由题意可得:函数的定义域为,且ﾞﾞ,令,解得;令,解得;则函数在上单调递增,在上单调递减,所以有最大值ﾞ,故A正确;对于选项B:因为ﾞﾞﾞﾞ,则ﾞﾞﾞ,所以,故B错误;对于选项耀:构建ﾞ,则ﾞ,因为ﾞ,且当时,恒成立,则ﾞ,解得,若,则ﾞ当时恒成立,则在上单调递减,则ﾞ,符合题意综上所述:符合题意,故C正确;对于选项D:因为ﾞ,整理得ﾞ,即ﾞ,由选项可知:函数在上单调递增,在上单调递减,当趋近于0时,趋近于0,且令,解得,不妨设,构建䁒ﾞ,因为䁒ﾞﾞﾞ在上恒成立,则䁒在上单调递增,可得䁒䁒ﾞ,所以,即,可得ﾞ,注意到在上单调递减,且,所以,即,故D正确;故选:ACD.,13.15因为二项式的二项式系数之和为64,所以ﾞǤﾞǤﾞǤ,ǤǤǤǤ所以展开式的通项为ﾞ耀ﾞ耀,令ﾞǤ,则ﾞ,ǤǤǤǤ所以展开式中的的系数是耀ﾞﾞ.故答案为:15.Ǥ14.因为为锐角,且ﾞ,所以,ﾞﾞﾞܿ所以联立,解得,ܿﾞﾞܿﾞﾞܿﾞﾞﾞܿܿﾞﾞ故答案为:15..圆ﾞ的圆心,半径ﾞ,设㔸ﾞ,则㔸ﾞ㔸ﾞﾞ,当且仅当ﾞ,即ﾞ时,等号成立,当ﾞ时,㔸是等腰三角形,此时点到切线的距离等于݊ﾞ.解法一:设切线的方程为ﾞ耀,即耀ﾞ,耀则有ﾞ,整理得:耀ﾞ(1)ﾞ耀联立方程,消去得:耀耀ﾞ,ﾞ由相切得:ﾞǤ耀Ǥ耀ﾞ,整理得:耀ﾞ(2)由(1)(2)得:ﾞ,解得ﾞ.解法二:设点的坐标为,切线的方程为ﾞ,即ﾞ,则有ﾞ,整理得ﾞ,ǤǤ点在椭圆上,则ﾞ,ﾞﾞ则,解得,ﾞﾞǤ所以切线的斜率ﾞﾞﾞ.故答案为:.,16..在㔸中,㔸ﾞﾞ㔸ﾞ,故㔸ﾞ㔸㔸ܿ㔸ﾞﾞ,即㔸ﾞ,则折成的三棱锥㔸耀中,耀ﾞ㔸㔸ﾞ㔸ﾞ耀ﾞﾞ㔸耀,即此三棱锥的对棱相等,故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线,设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为ܿﾞﾞ则ܿﾞ,解得ﾞ,ܿﾞǤܿﾞǤ此长方体的外接球是三棱锥㔸耀的外接球,设外接球的直径ﾞܿﾞ,即ﾞ,外外又因为三棱锥㔸耀是长方体切掉四个角,故三棱锥㔸耀ﾞܿܿﾞܿﾞ,三棱锥㔸耀四个侧面是全等的,表ﾞ㔸ﾞ㔸ﾞﾞ，设内切球半径为内,内切球球心为顶点,把三棱锥分割为以球心为顶点,四个面为底面的的四个小三棱锥,四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积,故ﾞﾞﾞ,则三棱锥㔸耀的内切球与外接球表面积的比内Ǥ表内内Ǥ值为ﾞﾞﾞ.故答案为:.外外17.（1）ﾞ.（2）.ܿܿ(1)由正弦定理ﾞﾞ得:ﾞ,整理得:ܿﾞܿ,由余弦定理得:ܿﾞ㔸耀ܿܿܿﾞﾞ,,则ﾞ.ܿܿ(2)由(1)可得:ﾞ,且ܿﾞ,ܿ锐角㔸耀中,由正弦定理得:ﾞﾞ,㔸耀ܿܿ㔸耀耀ܿ耀ܿ耀可得ﾞﾞﾞﾞﾞﾞ,耀耀耀耀耀耀耀ܿ耀ܿ耀则ﾞﾞﾞ耀耀ﾞ耀,耀耀ܿ耀耀㔸耀锐角三角形,且ﾞ,则,即,解得Ǥ耀,㔸耀耀即,且ﾞﾞﾞﾞ,耀可得,则耀,故的范围是.18.(1)见解析(2)见解析,(1)由ﾞ,得ﾞ,所以ﾞ或ﾞ,因为,所以ﾞ,所以ﾞ,所以ﾞﾞﾞﾞ(2)证明:当ﾞ时,恒成立,ﾞ令ﾞ,ﾞ即ﾞ,ﾞ则ﾞﾞ......ﾞﾞﾞ所以在上递增,所以ﾞ,所以在上递增,所以ﾞ,所以在上递增,......所以在上递增,所以ﾞ,所以在上递增,所以ﾞ,综上对任意的,都有.ﾞ19.(1)ﾞ(2)预测票价为220元时,剧场的门票收入最多(1)ﾞܿ݊能更好地对与的关系进行拟合.设ﾞ,先求关于的线性回归方程.由已知得ﾞﾞﾞ,ﾞ所以ܿﾞﾞﾞǤﾞ,ﾞ݊ﾞܿﾞﾞ,所以关于的线性回归方程为ﾞ,所以关于的回归方程为ﾞ;(2)设该剧场的总座位数为,由题意得门票收入为,设函数ﾞ,则ﾞ,当,即时,函数单调递减,当,即时,函数单调递增,所以在ﾞ处取最大值,所以预测票价为220元时,剧场的门票收入最多.20.(1)见解析(2).(1)在平面耀耀中过点耀作耀的垂线耀,在平面㔸耀中过点耀作耀的垂线耀,面耀耀面㔸耀耀耀耀面耀耀,且面耀耀面㔸耀ﾞ耀,故耀面㔸耀,耀面㔸耀,所以耀耀,故耀耀耀三条两两垂直,建立以点耀为坐标原点,直线耀耀耀分别为轴的空间直角坐标系,如图所示,则由题意得,耀㔸耀㔸ﾞ㔸ﾞ耀㔸㔸ﾞ耀㔸㔸,即耀㔸㔸,㔸耀㔸耀㔸耀㔸耀(2)设ﾞ㔸耀ﾞ耀耀㔸ﾞ,耀㔸耀根据㔸耀㔸耀,则ﾞ,㔸耀由棱台体积公式得ﾞ,所以ﾞﾞ,则ﾞ在(1)问建系基础上,耀㔸ﾞ耀ﾞ,设面㔸耀的法向量ﾞ耀㔸ﾞﾞ由,即,取ﾞ,则ﾞﾞ,则ﾞ,耀ﾞﾞ由题意得耀ﾞ,根据ﾞ,则耀ﾞ,则耀耀㔸ﾞ耀耀ﾞ,耀㔸ﾞﾞ设面㔸㔸耀法向量ﾞ,由,即,取ﾞ,则ﾞ耀耀ﾞﾞﾞ,则ﾞ,设二面角㔸耀㔸的大小为,依图可知,所以ܿﾞܿﾞﾞﾞ,所以二面角㔸耀㔸的余弦值为.21.(1)ﾞ(2)见解析(1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程ﾞ可得:㔸ﾞ㔸ﾞ㔸ﾞﾞﾞ椭圆方程为:ﾞ(2)证明:设Ǥ,则直线的方程为:ﾞ,即:ﾞǤ,ﾞ联立直线的方程与椭圆方程可得:,整理得:ﾞǤﾞ,解得:ﾞ或ﾞǤ将ﾞ代入直线ﾞ可得:ﾞǤ所以点耀的坐标为.同理可得:点的坐标为Ǥ直线耀的方程为:ﾞ,整理可得:ﾞǤﾞǤ,整理得:ﾞﾞ故直线耀过定点22.（1）见解析（2）见解析(1)当ﾞ时,䁒,即,等价于即,构建ﾞ,则ﾞ,令,解得;令,解得;则在上单调递减,在上单调递增,可得,即,当且仅当ﾞ时,等号成立;可得,则,当且仅当ﾞ时,即ﾞ时,等号成立;可得,则,当且仅当ﾞ,即ﾞ时,等号成立;综上所述:.但等号不同时取到,故䁒,原式得证.(2)由题意可得:ﾞ䁒ﾞ,设直线与相切于点,则切线斜率ﾞ,直线与䁒相切于点,则切线斜率ﾞ,ﾞﾞ则,整理得,ﾞﾞﾞ由题意可得:,ﾞ消去可得:ﾞ，令ﾞ,则ﾞ,则ﾞ,可得ﾞ,令ﾞ,要证两函数有且只有两条公切线,即证在上有且只有两个零点.则ﾞﾞ,可得在定义域内单调递增,且ﾞﾞ,故在上有唯一零点,且,当时,,当时,,则在上单调递减,在上单调递增,可知的最小值为,又ﾞﾞ,则,注意到趋近0时,趋近趋近时,趋近,在和上分别存在一个零点,故有且只有两个零点,故原命题得证.