江西省南昌市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022级高一选课走班调研检测数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由条件用列举法表示可得结论.【详解】因为，所以，故集合中元素的个数为3，故选：D.2.“”是“函数与的图象关于直线对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据反函数图象对称性判断的取值，结合充分、必要条件的定义得答案.【详解】当时，函数与互为反函数，故函数与的图象关于直线对称，充分性成立；若函数与的图象关于直线对称，则均可，必要性不成立；故“”是“函数与的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数，若，则（） A.B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据的值求出的值.【详解】由得，由得，若，则，解得，舍去；若，则，解得，符合题意；故选：C.4.若，则函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论．【详解】，在上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移个单位，得到，故函数的图象不经过第一象限，故选：．5.方程在区间内（）A.没有解B.有唯一的解C.有两个不相等的解D.不确定【答案】B【解析】【分析】先得到在上单调递增，结合和领导存在性定理得到答案.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增， 又，由零点存在性定理可得在区间有唯一的解.故选：B6.已知，给出下列四个不等式：①；②；③；④其中不正确的不等式个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由可得，根据不等式的性质逐一判断①②③④是否正确，即可得正确答案.【详解】因为，所以，对于①，由，则，故①不正确；对于②，由可得，故②不正确；对于③，由，知，，所以，故③正确；对于④，在上单调递增，，所以，故④正确，所以③④正确，正确的有个，故选：C7.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.【详解】当时,，∴，当时,， ∴，∴函数的值域为.故选:B.8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得，分别比较与，与的大小可得的大小.【详解】，，所以，，所以，所以.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（）A.1500家商店是总体B.样本容量为60C.大、中、小型商店分别抽取4、20、36家D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本【答案】BCD【解析】【分析】A.利用总体的定义判断；B.利用样本容量的定义判断；C.根据三种类型的商店的数量之比为求解判断；D.由样本的定义判断.【详解】A.1500家商店的每日零售额是总体，故错误；B.从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故正确；C.因为三种类型的商店的数量之比为，所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确； D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确，故选：BCD10.已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是（）A.是R上的非奇非偶函数，最大值为1B.是R上的奇函数，无最值C.是R上的奇函数，m有最小值1D.是R上的偶函数，m有最小值【答案】BC【解析】【分析】先求得函数的定义域，结合函数的解析式可得与的关系，即可判断奇偶性，将函数的解析式变形，求得函数的值域，从而得到的取值.【详解】由题意，函数的定义域为R，关于原点对称，又由所以函数为定义域上的奇函数.“，使得”是假命题，所以，使得恒成立.则只需.根据题意，函数，变形可得，即函数的值域为.所以，即m有最小值1.故选：BC.11.已知函数，若函数有三个零点，，，且 ，则下列结论正确的是（）A.m取值范围为B.的取值范围为C.D.最大值为1【答案】AC【解析】【分析】作出的大致图象，根据图象求出，，，的范围即可判断AB选项，由得到，的关系即可判断CD选项.【详解】函数图象如图所示：由图可得，A正确；当时,,故，B错误；又且，故,可得，C正确又可得，又，故等号不成立,即，D错误,故选：AC.12.若m，，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数单调性可得m,n关系，特值法判断A,D选项，基本不等式求出B,C选项.【详解】，单调递减，， 当时满足，A选项错误；，B正确；，C正确；，当时取等号，与已知矛盾，D选项错误.故选：BC.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数是定义在上的偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】由函数为偶函数，定义域关于原点对称，求得，代入求解即可．【详解】因为函数是定义在，上的偶函数，所以，解得，所以，所以．故答案为：2．14.在某次数学测验中，5位学生的成绩分别为：70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的分位数为________．【答案】85【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】由题意知，解得，把这组数据按从小到大的顺序记为：70，75，82，85，93，指数，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，因此，这组数据的75%分位数为85． 故答案为：85．15.现有A，B两个网站对一家餐厅进行好评率调查，调查结果显示好评率分别为和．若A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为，这家餐厅的总好评率大概是________%．（保留两位有效数字）【答案】92【解析】【分析】根据已知条件，结合A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为3：4，即可求解.【详解】A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为，则这家餐厅的总好评率大概是.故答案为：9216.要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取________次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为________．左端点左端点函数值右端点右端点函数值0120.5120.50.750.093750.6250.750.093750.68750.750093750.718750.750.093750.7343750.750.093750.7343750.74218750.044219017【答案】①.6②.【解析】【分析】根据二分法区间长度每次减半，求出满足条件所取次数；结合零点存在性定理判断近似解所在的区间，直到区间长度为0.0625 【详解】初始区间的长度为1，第一次分割后区间长度为0.5，第二次分割后区间长度为0.25，第三次分割后区间长度为0.125，第四次分割后区间长度为0.0625，第五次分割后区间长度为，第六次分割后区间长度为，所以精确度为0.02时应用二分法逐步最少取6次.令第一次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.5；第二次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.25；第三次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.125；第四次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.0625，满足题意，故所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为故答案为：2；四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．（1）若，求的值；（2）用定义法证明函数在上单调递增．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得到，再利用平方关系得到求解；（2）利用单调性的定义证明；【小问1详解】解：若，则，所以，则，；【小问2详解】 在上任取，，且，则，因为，所以，，故，即，所以函数在上单调递增．18.已知函数，．（1）集合，，若，求a的值；（2）集合，，若，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可求出，根据可得出是方程的一个根，进而可求出的值；（2）根据可得出方程无解，从而得出△，然后解出的范围即可．【小问1详解】因为，，所以，又因为，，所以是的一个根，则，所以，经检验满足题意，【小问2详解】因为，所以函数与图象没有交点，则方程无解，即方程无解， 所以，故．19.在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于．（1）求a，b的值；（2）问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合和，得到，解出，再计算即可；（2）根据，化简整理得到，由此得到，即可得到答案．【小问1详解】当时，；当时，；解得，即，解得或（舍去），则；【小问2详解】由，即，即，故，即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度． 20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式和单调区间；（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1）；单调增区间为，；单调减区间为，（2）【解析】【分析】（1）由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；（2）方程有两个不相等实数根，转化为与的图象有两个不同的交点，画出图象求解即可.【小问1详解】当时，；当时，有，此时．故函数的解析式为当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由奇函数的性质，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故函数的单调增区间为，；单调减区间为，；【小问2详解】 如图：当时，；；当时，；；当时，；；当时，；故．21.古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．样本分数段频数51020a2510（1）求频数分布表中a的值，并求样本成绩的中位数和平均数； （2）已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．【答案】（1），中位数为75，平均数为74（2），【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求，根据中位数和平均值的定义即可求；（2）根据平均数和方差的定义即可求解【小问1详解】由，解得：，由，所以，由成绩在的频率为0.3，所以中位数为，．【小问2详解】由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，故，．所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．22.已知函数．（1）分析的最值情况；（2）若函数在区间上，恒成立，求正实数a取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】 【分析】（1）令，则，根据基本不等式求范围即可；（2）讨论在区间上单调性，求出的最值，根据，求得正实数a的取值范围．【小问1详解】函数，则，令，故当时，即时，，当且仅当时等号成立；当时，即时，，当且仅当时等号成立，综上：当时，的最小值为，没有最大值；当时，的最大值为，没有最小值．【小问2详解】易知，因为，解得．（i）当时，即当时，在上单调递增，所以，当时，，，解得，此时；（ii）当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，可得，，因为，，则，所以，，可得，此时．