2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题

2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题1．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．第1页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,2．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，连接CD，AE⊥CD于E点．（1）如图1，过B作BF⊥AB交AE的延长线于点F．若BD＝1，BF＝2，求AE的长度；（2）如图2，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接BF交AE于点H，猜想AH和CE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△ABH沿着AB翻折得到△ABP，连接PC，当线段PC取得最大值，请直接写出的值．第2页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,3．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．第3页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,4．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．点E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，222连接CF，求证：FC＝FB+2FA；（2）如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM＝∠DMA，猜想线段AM与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，，将AC沿着AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），点C′落在BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足，当BP取得最大值时，直接写出的最小值的平方．第4页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,5．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，点D为直线AC右上方一点，且满足∠ADC＝60°，连接BD．（1）如图1，若CD⊥AC，BD交AC于点O，求CO的长；（2）如图2，点E为线段BD上一点，连接EA、EC，且满足∠EAD＝60°，试证明AD＝CD+2AE；（3）如图3，在（2）的条件下，以AC，CD为边构造平行四边形ACDF，当AE+AF＝2时，直接写出△ADF的面积．第5页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,6．（2023•九龙坡区模拟）在△ABC中，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），AB＝AC，点D为线段AC上一点，将射线DC绕点D顺时针旋转30°得到射线DO，交线段BC于点O，过点C作CE⊥DC交射线DO于点E，连接BD．（1）如图1，若点D为线段AC的中点，且DE∥AB，DE＝4，求△ABC的面积；（2）如图2，若α＝60°，过点B作BC的垂线，在BC的垂线上取一点H，使得BH＝CE，连接AH，BE，在BE的延长线上取一点G，连接CG，使得∠CGB＝60°，当AH∥BD时，证明：AH+＝BG；（3）如图3，若α＝90°，CE＝，AD＝2CD，点P为线段AB上一点，取线段BD的中点F，连接PF，AF，将△APF沿PF翻折得到△A′PF，连接A′D，A′C，取线段A′D的中点Q，连接CQ．当线段CQ取得最大值时，直接写出△A′QC的面积．第6页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,7．（2023•沙坪坝区校级二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．（1）如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CE，连接BE．若D点在AB边上，且DC＝，tan∠ACD＝，求BE的长度；（2）如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF＝180°，且FB﹣BD＝AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在平面内得到△BD′C，M点在AB边上，且AM＝AB，将MA绕点A逆时针方向旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到△MN′H，在点D，H运动过程中，当N′D′最小时，若AB＝4，请直接写出△DN′H的面积．第7页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,8．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转角α得线段BE，连接CE、DE，其中CE与AB交于点F．（1）如图1，若D为AC中点，α＝90°，BC＝4，求BF的长；（2）如图2，若∠ABE＝∠ADB，猜想线段AD，BF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，将△BDE沿BD翻折得△BDE'，M为AB的中点，连接ME′，当ME′最小时，在△BCD内找一点P，使的值最小，若BC＝4，直接写出的最小值．第8页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB边上一点，连接CE．（1）如图1，若∠ACB＝90°，，AE＝4，求线段BE的长；（2）如图2，若∠ACB＝60°，G为BC边上一点且EG⊥BC，F为EG上一点且EF＝2FG，H为CE的中点，连接BF，AH，AF，FH．猜想AF与AH之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，当∠ACB＝90°，∠BCE＝22.5°时，将CE绕着点E沿顺时针方向旋转90°得到EG，连接CG．点P、点Q分别是线段CB、CE上的两个动点，连接EP、PQ．点H为EP延长线上一点，连接BH，将△BEH沿直线BH翻折到同一平面内的△BRH，连接ER．在P、Q运动过程中，当EP+PQ取得最小值且∠EHR＝45°，时，请直接写出四边形EQPR的面积．第9页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,10．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．第10页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,11．（2023•渝中区校级三模）如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E为BD上一点，连接AE．（1）如图1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的长；（2）如图2，若∠BAE＝∠ACD，且E为BD的中点，求证：AD＝DE；（3）如图3，若AB＝4，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F为BC上一点，BF＝3CF，连接D′F，当D′F最小时，过D′作AD′的垂线，P是垂线上一动点，连接AP，将线段PA绕点P逆时针旋转60°得到线段PQ，连接D′Q，2请直接写出D'Q的最小值．第11页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,12．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，AC＝BC，AC＝6，∠ACB＝α，点D是BC边上任意一点，点E是直线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段BF，连接EF．（1）如图1，α＝90°，∠BAD＝15°，点F在射线AD上，求BF的长；（2）如图2，BF∥AD，CG⊥AE于点G，2∠ABF﹣3∠EBF＝4∠BAE，猜想线段GE，BE，AC之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，α＝60°，点F在射线AD上，点P是BE上一点且满足AF＝3BP，连接AP，直接写出当AP最小时，点P到AB的距离．第12页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,13．（2023•北碚区校级三模）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是直线BC上的点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G．（1）如图1，点F在线段BC延长线上，若AB＝BG，BG⊥AC，证明：∠F＝45°．（2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，使得DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°．证明：．（3）如图3，点F在线段BC延长线上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，点Q为AD上一点，AQ＝2DQ，连接FQ，点I在AF的下方且AQ＝AI，AQ⊥AI，连接PI，QI．点M为FQ的中点，连接DM，点N为线段DF上的动点，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折得到△D′MN，连接QD′，点P为的中点，连接AP，BP．当AP+AI最大时，直接写出△ABP的值．第13页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,14．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D在线段BC的中垂线上，连接BD、CD．（1）如图1，若∠BDC＝120°时，连接AD并延长交BC于点F，若AB＝6，求△ACD的面积；（2）如图2，连接AD，若∠ADC＝90°，过点B作BE⊥AD于点G，交AC于点H，过点C作CE⊥BC交BH的延长线于点E．求证：；（3）在等腰Rt△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，将△ABP沿直线AB翻折至△ABP所在平面内得到△ABQ，连接CQ，当取得最小值时，请直接写出的值．第14页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,15．（2023•九龙坡区模拟）如图，在等边△ABC中，点D是边AB上的一个动点，点E是射线CB上的一个动点，连接DE，DC．（1）如图1，若点D为线段AB的中点，点E在线段CB上，∠EDC＝15°，，求△ABC的面积；（2）如图2，若点E在CB延长线上，以DE为边，在DE右侧作等边△DFE；过点F作FG∥AC交BC于点G，当DE＝CD时，求证：BG+2BE＝AC；（3）如图3，点E在CB延长线上，DE＝CD，将△BDE沿直线BD翻折得到△BDE′，点E的对应点为点E′；△ABC内部有一动点P，满足∠PAC＝∠BCP，若AB＝6，当CE′的长度最小时，求EP的最小值．第15页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,16．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC．若PC＝4，求PE的长；（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE＝2AF；（3）如图3，在（2）的条件下，AB＝8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG＝AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．第16页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,17．（2023•沙坪坝区校级二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC上一点，点E为AD的中点，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝60°，BD＝2CD＝4，求BE的长；（2）如图2，若∠CAB＝45°，将BE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接FC并延长交AD于点G，过E作EH⊥AE交AB于点H，求证：BH＝FG；（3）如图3，点D为射线BC上一点，在（2）的条件下，连接BF，点P为线段BF上一点且满足∠BCP＝∠CFB，将△BCP沿BC翻折至△ABC所在平面内，得到△BCQ，连接AQ，当AQ最小，BC＝6时，直接写出△PBD的面积．第17页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,18．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转得到线段AD，连接BD．（1）如图1，连接CD，若∠BAD＝90°，∠ADC+∠ABC＝180°，AC＝7，BC＝4，求CD的长；（2）如图2，点E在BD上，且满足BC＝DE，连接AE，点F为AB上一点，连接DF交AE于点M，若∠BDF＝∠BCA，∠ADB+∠ABC＝180°，求证AM＝EM；（3）如图3，若∠BAD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝9，点P在直线AC上且满足AP＝BC，将△ABP沿虚线GH折叠使得点P的对应点P落在AB上，连接PP'；与折痕GH交于点O，请直接写出BP最小时，点O到AB的距离．第18页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,19．（2023•九龙坡区模拟）如图，△ABC为等边三角形，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接CD，F为CD的中点，连接BF．（1）如图1，∠ACD＝15°，CD＝2，求△BFD的面积；（2）如图2，点G在△ADE内部，连接GB、GC，GB＝GC，过点G作GK⊥DE，垂足为K，GH⊥AE，垂足为H，GK＝GH，连接GF．求证：GC＝2GF；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在线段AB上运动，连接FK，延长FK交AD于点P，将线段FP绕F点顺时2针旋转90°到FP'，FP'与AC相交于点Q，当AP'最小时，求（）的值．第19页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,20．（2022•渝北区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为线段CB上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD'，延长AD'交CB延长线于点E．（1）如图1，当点D与点C重合时，连接CD'，若AC＝3，D'E＝2，求线段CD'的长；（2）如图2，当α＝45°时，过点B作BF⊥BC交AE于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，AD与FG交于点H，求证：CD＝BF﹣GH；（3）如图3，当点D与点B重合且α＝30°时，将△D'AB沿着AB边翻折到同一平面内得到△D″AB，点P、点Q分别为线段AB、线段AD″上的动点，且AP＝D″Q，连接D′Q，PD″，当D′Q+PD″取得最小值时，请直接写出的值．第20页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,2023年重庆中考第26题压轴题专题：几何变换综合题1．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）+2．第21页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,2．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，连接CD，AE⊥CD于E点．（1）如图1，过B作BF⊥AB交AE的延长线于点F．若BD＝1，BF＝2，求AE的长度；（2）如图2，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接BF交AE于点H，猜想AH和CE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将△ABH沿着AB翻折得到△ABP，连接PC，当线段PC取得最大值，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）CE＝2AH；理由见解答过程；（3）．第22页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,3．（2023•渝中区校级一模）如图，△ABC是等边三角形，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转120°至CE，连接BE，分别交AC、CD于点F、G．（1）若AD＝3，BD＝1，求△BCE的面积；（2）请猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当△BCE周长最小时，请直接写出的值．【答案】（1）S△BCE＝；（2）AF＝CF+BD，证明见解析；（3）＝．第23页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,4．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．点E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，222连接CF，求证：FC＝FB+2FA；（2）如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM＝∠DMA，猜想线段AM与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，，将AC沿着AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），点C′落在BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足，当BP取得最大值时，直接写出的最小值的平方．【答案】（1）见解析；（2）DE＝2AM，证明见解析；（3）．第24页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,5．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，点D为直线AC右上方一点，且满足∠ADC＝60°，连接BD．（1）如图1，若CD⊥AC，BD交AC于点O，求CO的长；（2）如图2，点E为线段BD上一点，连接EA、EC，且满足∠EAD＝60°，试证明AD＝CD+2AE；（3）如图3，在（2）的条件下，以AC，CD为边构造平行四边形ACDF，当AE+AF＝2时，直接写出△ADF的面积．【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）．第25页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,6．（2023•九龙坡区模拟）在△ABC中，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），AB＝AC，点D为线段AC上一点，将射线DC绕点D顺时针旋转30°得到射线DO，交线段BC于点O，过点C作CE⊥DC交射线DO于点E，连接BD．（1）如图1，若点D为线段AC的中点，且DE∥AB，DE＝4，求△ABC的面积；（2）如图2，若α＝60°，过点B作BC的垂线，在BC的垂线上取一点H，使得BH＝CE，连接AH，BE，在BE的延长线上取一点G，连接CG，使得∠CGB＝60°，当AH∥BD时，证明：AH+＝BG；（3）如图3，若α＝90°，CE＝，AD＝2CD，点P为线段AB上一点，取线段BD的中点F，连接PF，AF，将△APF沿PF翻折得到△A′PF，连接A′D，A′C，取线段A′D的中点Q，连接CQ．当线段CQ取得最大值时，直接写出△A′QC的面积．【答案】（1）12．（2）见解析．（3）．第26页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,7．（2023•沙坪坝区校级二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．（1）如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CE，连接BE．若D点在AB边上，且DC＝，tan∠ACD＝，求BE的长度；（2）如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF＝180°，且FB﹣BD＝AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在平面内得到△BD′C，M点在AB边上，且AM＝AB，将MA绕点A逆时针方向旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到△MN′H，在点D，H运动过程中，当N′D′最小时，若AB＝4，请直接写出△DN′H的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．第27页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,8．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转角α得线段BE，连接CE、DE，其中CE与AB交于点F．（1）如图1，若D为AC中点，α＝90°，BC＝4，求BF的长；（2）如图2，若∠ABE＝∠ADB，猜想线段AD，BF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，将△BDE沿BD翻折得△BDE'，M为AB的中点，连接ME′，当ME′最小时，在△BCD内找一点P，使的值最小，若BC＝4，直接写出的最小值．【答案】（1）见解析；（2）AD＝2BF，证明见解析；（3）2．第28页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB边上一点，连接CE．（1）如图1，若∠ACB＝90°，，AE＝4，求线段BE的长；（2）如图2，若∠ACB＝60°，G为BC边上一点且EG⊥BC，F为EG上一点且EF＝2FG，H为CE的中点，连接BF，AH，AF，FH．猜想AF与AH之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，当∠ACB＝90°，∠BCE＝22.5°时，将CE绕着点E沿顺时针方向旋转90°得到EG，连接CG．点P、点Q分别是线段CB、CE上的两个动点，连接EP、PQ．点H为EP延长线上一点，连接BH，将△BEH沿直线BH翻折到同一平面内的△BRH，连接ER．在P、Q运动过程中，当EP+PQ取得最小值且∠EHR＝45°，时，请直接写出四边形EQPR的面积．【答案】（1）BE＝6；（2）AH＝AF；（3）5﹣．第29页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,10．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．【答案】（1）AD＝5；（2）证明见解答过程；（3）．第30页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,11．（2023•渝中区校级三模）如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E为BD上一点，连接AE．（1）如图1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的长；（2）如图2，若∠BAE＝∠ACD，且E为BD的中点，求证：AD＝DE；（3）如图3，若AB＝4，将△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F为BC上一点，BF＝3CF，连接D′F，当D′F最小时，过D′作AD′的垂线，P是垂线上一动点，连接AP，将线段PA绕点P逆时针旋转60°得到线段PQ，连接D′Q，2请直接写出D'Q的最小值．【答案】（1）BE＝；（2）证明见解答；（3）．第31页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,12．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，AC＝BC，AC＝6，∠ACB＝α，点D是BC边上任意一点，点E是直线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段BF，连接EF．（1）如图1，α＝90°，∠BAD＝15°，点F在射线AD上，求BF的长；（2）如图2，BF∥AD，CG⊥AE于点G，2∠ABF﹣3∠EBF＝4∠BAE，猜想线段GE，BE，AC之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，α＝60°，点F在射线AD上，点P是BE上一点且满足AF＝3BP，连接AP，直接写出当AP最小时，点P到AB的距离．【答案】（1）BF的长为3﹣3；（2）GE+BE＝AC；（3）．第32页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,13．（2023•北碚区校级三模）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是直线BC上的点，连接BE、AF，直线AF交直线BE于点G．（1）如图1，点F在线段BC延长线上，若AB＝BG，BG⊥AC，证明：∠F＝45°．（2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，使得DH＝DG，连接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°．证明：．（3）如图3，点F在线段BC延长线上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，点Q为AD上一点，AQ＝2DQ，连接FQ，点I在AF的下方且AQ＝AI，AQ⊥AI，连接PI，QI．点M为FQ的中点，连接DM，点N为线段DF上的动点，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折得到△D′MN，连接QD′，点P为的中点，连接AP，BP．当AP+AI最大时，直接写出△ABP的值．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）证明过程详见解答；（3）3+3．第33页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,14．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D在线段BC的中垂线上，连接BD、CD．（1）如图1，若∠BDC＝120°时，连接AD并延长交BC于点F，若AB＝6，求△ACD的面积；（2）如图2，连接AD，若∠ADC＝90°，过点B作BE⊥AD于点G，交AC于点H，过点C作CE⊥BC交BH的延长线于点E．求证：；（3）在等腰Rt△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，将△ABP沿直线AB翻折至△ABP所在平面内得到△ABQ，连接CQ，当取得最小值时，请直接写出的值．【答案】（1）9﹣3；（2）证明见解答观察；（3）＝．第34页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,15．（2023•九龙坡区模拟）如图，在等边△ABC中，点D是边AB上的一个动点，点E是射线CB上的一个动点，连接DE，DC．（1）如图1，若点D为线段AB的中点，点E在线段CB上，∠EDC＝15°，，求△ABC的面积；（2）如图2，若点E在CB延长线上，以DE为边，在DE右侧作等边△DFE；过点F作FG∥AC交BC于点G，当DE＝CD时，求证：BG+2BE＝AC；（3）如图3，点E在CB延长线上，DE＝CD，将△BDE沿直线BD翻折得到△BDE′，点E的对应点为点E′；△ABC内部有一动点P，满足∠PAC＝∠BCP，若AB＝6，当CE′的长度最小时，求EP的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）﹣2．第35页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,16．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC．若PC＝4，求PE的长；（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE＝2AF；（3）如图3，在（2）的条件下，AB＝8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG＝AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．【答案】（1）1；（2）证明过程详见解答；（3）．第36页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,17．（2023•沙坪坝区校级二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC上一点，点E为AD的中点，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝60°，BD＝2CD＝4，求BE的长；（2）如图2，若∠CAB＝45°，将BE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接FC并延长交AD于点G，过E作EH⊥AE交AB于点H，求证：BH＝FG；（3）如图3，点D为射线BC上一点，在（2）的条件下，连接BF，点P为线段BF上一点且满足∠BCP＝∠CFB，将△BCP沿BC翻折至△ABC所在平面内，得到△BCQ，连接AQ，当AQ最小，BC＝6时，直接写出△PBD的面积．【答案】（1）；（2）证明见解答；（3）．第37页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,18．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转得到线段AD，连接BD．（1）如图1，连接CD，若∠BAD＝90°，∠ADC+∠ABC＝180°，AC＝7，BC＝4，求CD的长；（2）如图2，点E在BD上，且满足BC＝DE，连接AE，点F为AB上一点，连接DF交AE于点M，若∠BDF＝∠BCA，∠ADB+∠ABC＝180°，求证AM＝EM；（3）如图3，若∠BAD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝9，点P在直线AC上且满足AP＝BC，将△ABP沿虚线GH折叠使得点P的对应点P落在AB上，连接PP'；与折痕GH交于点O，请直接写出BP最小时，点O到AB的距离．【答案】（1）10；（2）证明过程详见解答；（3）．第38页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,19．（2023•九龙坡区模拟）如图，△ABC为等边三角形，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接CD，F为CD的中点，连接BF．（1）如图1，∠ACD＝15°，CD＝2，求△BFD的面积；（2）如图2，点G在△ADE内部，连接GB、GC，GB＝GC，过点G作GK⊥DE，垂足为K，GH⊥AE，垂足为H，GK＝GH，连接GF．求证：GC＝2GF；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在线段AB上运动，连接FK，延长FK交AD于点P，将线段FP绕F点顺时2针旋转90°到FP'，FP'与AC相交于点Q，当AP'最小时，求（）的值．【答案】（1）；（2）证明过程详见解答；（3）5+2．第39页（共40页）学科网（北京）股份有限公司,20．（2022•渝北区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为线段CB上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD'，延长AD'交CB延长线于点E．（1）如图1，当点D与点C重合时，连接CD'，若AC＝3，D'E＝2，求线段CD'的长；（2）如图2，当α＝45°时，过点B作BF⊥BC交AE于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，AD与FG交于点H，求证：CD＝BF﹣GH；（3）如图3，当点D与点B重合且α＝30°时，将△D'AB沿着AB边翻折到同一平面内得到△D″AB，点P、点Q分别为线段AB、线段AD″上的动点，且AP＝D″Q，连接D′Q，PD″，当D′Q+PD″取得最小值时，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）证明见解析部分；（3）．第40页（共40页）学科网（北京）股份有限公司