湖北省腾云联盟2023-2024学年高三数学上学期8月联考试题（Word版附答案）

腾·云联盟2023—2024学年度上学期高三年级八月联考数学试卷命题学校：洪山高中考试时间：2023年8月16日试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（）A.B.C.D.2.已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.4.已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（）A.B.C.D.5.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（） A.B.C.D.6.已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.B.C.D.7.心理学家有时使用函数来测定在时间t分钟内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有100个单词需要记忆，心理学家测定出在5分钟内该学生记忆25个单词，则该学生记忆率k所在区间为（）A.B.C.D.8.已知，，且，则下列结论一定不正确的是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）A.病人甲体温的极差为B.病人乙的体温比病人甲的体温稳定C.病人乙体温的众数、中位数与平均数都为D.病人甲体温的上四分位数为10.已知点P为正方体底面ABCD的中心，用与直线垂直的平面截此正方体，所得截面可能是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形 11.已知数列的通项为，，则（）A.数列的最小项为B.数列的最大项为C.数列的最小值为－0.8D.数列的最大值为2.412.已知函数的定义域为，满足，且，则（）A.B.为奇函数C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知且，若函数为奇函数，则______.14.有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为______.15.已知函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称，且函数在上单调递减，则______.16.已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：时，.18.（12分）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A； （2）若，AD为BC边上的中线，求.19.（12分）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面PAB，，.（1）证明：平面平面ABCD；（2）若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.20.（12分）如图，是正三角形，一点从A出发，每次投掷一枚骰子，若向上点数大于或等于5，则沿的边顺时针移动到下一个顶点；若向上的点数小于或等于4，则沿的边逆时针移动到下一个顶点.（1）求投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率；（2）若投掷4次骰子，记经过B点的次数为X，求EX.21.（12分）已知函数.（1）证明：有唯一的极值点；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.22.（12分）已知过点的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点.（1）求该抛物线的标准方程；（2）证明：直线MN过定点.数学参考答案 一、单选题1.D2.A3.B4.C5.A6.C7.B8.D二、多选题9.BC10.ABC11.BCD12.ACD三、填空题13.414.1015.16.17.解：（1）因为，所以时，，所以，所以，……2分因为，……3分又因为为等比数列，所以，所以，……4分所以.……5分（2）要证时，，即证时，，需证时，，……8分因为，所以，所以原不等式成立.……10分18.解：（1）由正弦定理得，……1分因为，所以，……2分所以，即，……3分又，所以，……4分即，又，……5分所以，所以.……6分（2）因为，所以由正弦定理得，……7分 设，则，……8分因为AD为BC边上的中线，所以，，……10分，，所以，即.……12分19.（1）证明：过点D作，垂足为点F，……1分因为平面平面PAB，平面平面，所以平面PAB，……3分所以，因为，又，所以平面PAD，……4分因为平面PAB，所以平面平面PAD.……5分（2）如图，以点D为原点，DA为X轴，DC为Y轴建立空间直角坐标系，则、、、，……6分设，……7分则，因为，所以，……8分所以，，因为异面直线BE与PA所成角为，所以，化简得，解得（舍），所以；……10分所以，平面ABCD，所以四棱锥的体积为.……12分 20.解：顺时针移动到下一个顶点的概率为，逆时针移动到下一个顶点的概率为，（1）投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率为：；……4分（2）、1、2；……5分；……6分；……8分；……10分所有X得分布列为：X012P……11分所以.……12分21.（1）证明：定义域为，……1分因为，所以在定义域内单调递增，且值域为，所以有唯一的零点，使得，……3分当时，，单调递减；当时，， 单调递增，所以有唯一的极值点.……5分（2）由（1）知，在取得极小值点，也是最小值点，……6分由得，……7分所以，……8分当时，，，所以；当时，，，所以，因为，所以.……10分设，因为单调递减，……11分所以，即.……12分22.解：（1）设直线AB方程为，，，联立得，消x得，得，，……2分因为，所以，即，，……4分所以抛物线的解析式为：.……5分（2）设，，，……6分 因为M、P、C三点共线，所以，即，①……7分因为N、P、D三点共线，所以，即，②……8分直线MN方程为：，即③……9分由①②得，即，……10分