四川省宜宾市第四中学2023届高三文科数学三诊模拟试题（Word版附解析）

宜宾市四中高2020级高三三诊模拟考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】，，故选：D.2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为A.-6B.-2C.D.6【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则化简，纯虚数实部为0，虚部不为0，解出结果.【详解】由题意得，∵复数是纯虚数，∴且，解得．故选：A．3.已知数列为等差数列，且，则的值为()A.B.45C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质计算直接得出结果.【详解】由题意知，为等差数列，且，则 ，故选：B.4.已知向量，，且与的夹角为，则（）A.B.1C.或1D.或9【答案】C【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．5.下列有关命题的说法正确的是（）．A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“，使得”的否定是：“，均有”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据否命题，命题的否定，充要条件的相关概念依次判断各选项.【详解】对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则”．因为否命题应为“若，则”，故A错误．对于B：“”是“”的必要不充分条件．因为，应为充分条件，故B错误．对于C：命题“，使得”的否定是：“，均有”．因为命题的否定应为，均有．故C错误．由排除法得到D正确．故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的否定，四种命题，充分条件必要条件的判断，考查了学生对相关概念的理解辨析.6.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依题意画出几何体的直观图，结合图形可知该几何体为棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，根据体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体为棱长为2正方体中挖去一个圆锥，故其体积为：，故选：A.7.为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（） A.样本中不愿意选该门课的人数较多B.样本中男生人数多于女生人数C.样本中女生人数多于男生人数D.该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数【答案】B【解析】【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.故选：B．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果， 故概率故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.9.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平移变换得出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求解.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.由可得，函数的对称轴为.其中y轴距离最近的是.故选：D10.在三棱柱中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是与的交点，则AD与平面所成角的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连、，通过证明平面，可知是AD与平面所成的角，在直角三角形中可求出结果.【详解】取的中点，连、，如图： 依题意三棱柱为正三棱柱，设棱长为，则，，因为、分别是和的中点，所以，所以平面，所以，所以，因为，，，所以平面，所以是AD与平面所成的角，所以.所以AD与平面所成角的正弦值是.故选：C11.若，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式及合理放缩，结合对数运算性质即可得到答案.【详解】运用基本不等式，以及放缩技巧，得，，故选：D.12.已知函数和有相同的极大值，则（） A.0B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得.详解】求导，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，，令，解得，令，解得，∴上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，依据题意，和有相同的极大值，故，解得.故选：A第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足不等式组则的最大值是____________.【答案】2【解析】【分析】画出可行域，当直线经过点时，有最大值，代入求解即可【详解】如图，画出可行域，当直线经过点时，最大，所以当，时，. 故答案为：214.的内角，，的对边分别为，，，且，则__________．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和同角三角函数基本关系即可确定的值.【详解】由题意结合正弦定理有：，即，整理变形可得：，，即.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，若，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由双曲线的几何性质求解【详解】由题意得，而，解得，即，故故答案为：16.已知函数，给出下列四个命题：①是函数的一个周期；②函数的图象关于原点对称；③函数的图象过点；④函数为上的单调函数.其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①②③【解析】【分析】直接利用三角函数的性质，函数的周期性和对称性及函数的导数和单调性的关系判断①、②、③、④的结论．【详解】函数，对于①：，故函数的最小正周期为，故①正确；对于②：函数故函数的图像关于原点对称，故②正确；对于③：当时，，故③正确；对于④：由于，所以，由于，由于的导数有正有负，所以函数在上有增有减，所以函数在上不是单调函数.故④错误．故选：①②③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.已知数列{}的前n项和为，且．（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）（）．【解析】【分析】（1）由与的关系得出数列{}的通项公式；（2）由错位相减法得出前n项和．【小问1详解】 由得，当时，，当时，满足，所以数列{}通项公式为【小问2详解】由，∴，两式错位相减得所以（）．18.已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）：价格需求量经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归方程为.（1）估计对应的需求量y（结果保留整数）；（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.附：相关系数，.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入即可；（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可.【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，由题设知，.因为回归直线经过样本中心，所以，解得.即，所以时对应的需求量（件）.【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，，，.所以相关系数.19.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，且．（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，运用勾股定理证明，再结合已知条件证明，运用线面垂直的判定定理证得平面；（2）结合（1）中的结果，作，可得棱锥的高，即可计算出棱锥体积.【详解】解：（1）取的中点，连接，，因为，，，所以，从而．因为，分别为，的中点，所以；由，，得为等腰直角三角形，则，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面．（2）由（1），得平面，平面，则平面平面．过点作，垂足，则平面．由（1），，又，，所以，从而，所以，所以四棱锥的体积． 20.已知曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)由题意利用切线与导函数的联系和切线所经过的点即可确定a,b的值；(2)将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.【详解】（1）由得，，由题意得即，又，，解得，.（2）由（1）知，，即为，由知，上式等价于函数在为增函数，，即，令，，，时，；时，；时，在上单调递减，在上单调递增，，则，即，所以实数的范围为.【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，导数研究恒成立问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．（1）求的方程；（2）在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为，根据抛物线的定义，，则C的方程可求；（2）若选①，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，得直线的方程即可判断；若选②，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，设，由题意，结合韦达定理得对任意的恒成立，则，得出答案．【小问1详解】当直线垂直于轴时，点的横坐标为根据抛物线的定义，，则抛物线方程为：．【小问2详解】若选①，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，，设直线的方程为：，设，，联立，得，恒成立得，直线的斜率直线的方程为 由，化简得直线过定点，存在若选②，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，，设直线的方程为：设，，设联立，得，恒成立得，轴平分，即对任意的恒成立，则．存在．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值． 【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和，可得直线的直角坐标方程；（2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角公式可求出的最大值.【小问1详解】由，得，即,所以曲线的直角坐标方程为：.由，得，得，即，将，代入得，所以直线的直角坐标方程为：.综上所述：直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.【小问2详解】设射线方程为（），将，代入，得，得， 将代入，得，得，由，得，将代入，得()，，得，所以（其中，，），因为，所以，又，所以，所以当时，即，即（其中，，）时，取得最大值.（选修4-5不等式选讲）23.已知函数的最大值为4（其中）. （1）求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得m的值；（2）运用柯西不等式可求得最小值.【详解】解：(1).，又，所以m=3.（2）.由（1）知，由柯西不等式有：，当且仅当时等号成立所以，，所以最小值为.