浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线方程，由，求得倾斜角.【详解】由直线方程知，直线斜率为，则，故倾斜角为，故选：A2.设是虚数单位，复数，则（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再求得解.【详解】由题得，所以.故选：B.3.在中，已知，，，则等于（） A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，，即，解得故选：B.4.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的侧面积公式，再利用弧长公式及圆的周长公式，结合圆锥的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥侧面展开图是半圆，面积为，如图所示设圆锥的母线长为a，则，解得，所以侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径，则，解得，所以这个圆锥的体积为故选：C. 5.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.，，则B.，，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】由空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】由题意可知，在A中，若，，则m与相交或平行或，A错；在B中，若，，，则或m与n异面，B错；在C中，若，，则n与相交或平行或，C错；在D中，若，，则平面内存在一直线平行于m，该直线垂直于平面，则，D正确.故选：D.6.已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的计算公式，可得答案.【详解】解：在上的投影向量的坐标为故选：B.7.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴点A到直线BC的距离为：d＝＝1×＝．故选：A【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.8.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用列举法列出所有可能情况，再找出符合题意的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有种，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，即，，，，，，故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数，下列说法正确的是（）A.z的虚部是y B.C.若，则z为纯虚数D.若满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆【答案】AD【解析】【分析】对A选项，由复数概念即可判断，对B选项展开即可判断，对C选项，当且时，z是纯虚数，对D选项由复数模的几何意义即可得到其轨迹.【详解】由复数的概念知，A正确；，故B不正确；当且时，z是纯虚数，故C不正确；因为，所以，即，表示以为圆心，1为半径的圆，故D正确.故选：AD.10.如图，在棱长为的正方体中，下列选项正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为C.直线平面D.二面角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解； 【详解】对于A，因为为正方体，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.再由正方体的性质可得为等边三角形，故，即异面直线与所成的角为，故A正确；对于B，由题意可知，三棱锥三棱锥，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，平面,平面,所以,因为为正方体，所以底面为正方形，即，又,平面,所以平面又平面,所以同理可证，又，平面，所以平面，故C正确；对于D，由正方体的性质可知,平面,平面,所以，因为为正方体，所以底面为正方形，即，所以是二面角的平面角，因为为正方体，所以平面为正方形，所以，即，所以二面角的大小为，故D错误； 故选：ABC.11.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件B与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是相互独立事件C.事件B与事件C是相互独立事件D.【答案】BCD【解析】【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得．【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C相互独立事件，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．故选：BCD.12.已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是（）A.B.的最大值为C.的最大值为12D.的最大值为9【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，根据判断；对于B选项，当时，取的最大值，再根据几何关系求解判断；对于CD选项，由向量的数量积的坐标运算转化为三角函数的最值问题即可求解. 【详解】由题意知，圆心，半径为，所以，当点P在AC的延长线上时，最大，此时，当点P在AC之间时，最小，此时，所以，即选项A正确;当直线AP与圆C相切时，取得最大值，此时，，即选项B错误;设，，当时，此时点，有最大值为，即选项C正确;，所以的最大值为，即选项D错误.故选：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则__________【答案】【解析】【分析】根据平面向量线性运算得的坐标，再根据向量共线坐标运算即可求的值.【详解】解：，由，，可得，解得故答案为：.14.写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________. 【答案】或写出1条即可【解析】【分析】分直线过原点与不过原点两类讨论，过原点设，不过原点设，分别代入点，求出未知数即可得到直线方程.【详解】当直线过原点时，方程设为代入点A得：；当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得，则直线方程是故答案为：或写出1条即可15.已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据两圆有公共点满足，即可求解.【详解】由题意知，的圆心为，两圆心的距离.因为两圆相交或相切，所以，解得故答案为：16.已知直四棱柱，底面ABCD为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为__________.【答案】【解析】【分析】由球的性质得交线为圆的一部分，而由题数据可证平面，即为圆心，在和上分别找到与球面的交点后计算弧长，【详解】如图，取，连接， 因为在直四棱柱中，侧棱底面ABCD，可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切.在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，根据余弦定理可得，，所以因为，平面，所以，所以，所以球面与侧面的交点为F和，又，平面，所以点F和在以为圆心，半径为1的圆上，因为，所以弧的长度为，所以球面与侧面的交线为弧，所以球面与侧面的交线的长度为故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线（1）求证：直线l过定点，并求出此定点; （2）求点到直线l的距离的最大值.【答案】（1）证明见解析，定点（2）【解析】【分析】（1）整理方程，分离出参数，建立方程组，解得答案；（2）由（1）可知直线过定点，两点距离公式，可得答案.【小问1详解】由直线，则，可得，解得，故直线l过定点.小问2详解】由（1）可知直线过定点，18.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：（1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?（2）（i）请补全频率分布直方图;（ii）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?【答案】（1）高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人（2）（i）直方图见解析；（ii）【解析】 【分析】（1）由分层抽样的比例公式求解即可；（2）计算频率并补全频率分布直方图；由百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可【小问1详解】报名的学生共有1080人，抽取的比例为所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人【小问2详解】（i）第三组频率为故第三组的小矩形的高度为，补全频率分布直方图得（ii）各组的频率分别为，前四组的频率之和为，前五组的频率之和为，所以第80百分位数为所以第80百分位数是19.袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为.（1）从袋中一次随机摸出个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解; （2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为，，，，共4个，所以【小问2详解】试验的样本空间，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，共8个,故所求概率为,即甲胜的概率为，则乙胜的概率为,所以甲、乙获胜的概率是公平的.20.如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面平面（1）证明：平面，（2）若，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理以及线面平面性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，结合线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】四棱锥的底面为正方形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面，，又平面ABCD，平面ABCD，平面.【小问2详解】由底面ABCD且四棱锥的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：由于，则，，，，设平面PAC的法向量是，则，令，得，，直线的一个方向向量为，设直线l与平面PAC所成角为，则21.已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为（1）求圆C方程;（2）过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为，由垂径定理结合弦长即可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可【小问1详解】设圆心，则圆的方程为，或舍去圆的方程为【小问2详解】①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，令代入圆方程得或，，满足题意.此时方程为②当斜率存在时，设直线l的方程为，圆心到直线l的距离，原点O到直线l的距离， 整理，得，此时k无解．综上所述，所求的直线的方程为22.如图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图（1）证明：（2）求二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）根据翻折前后直线的位置关系确定垂直线段，根据线面垂直证明异面直线垂直即可；（2）根据，设二面角的平面角为，可求得或，建立空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求解二面角余弦值即可.【小问1详解】解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，又，，四边形CEAB是菱形 故，即在折叠后端的图形中，又，面面，又平面，【小问2详解】解：由可得，又设二面角的平面角为，则，或过作于则面，则可过点作轴如图建系：或，设面的一个法向量为，则则或取而面ABD的一个法向量为或由图可知二面角为锐角