2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末模拟试题

2022-2023学年高一第二学期期末模拟考试（新人教A版）数学试题2023.61、满分为150分，考试用时120分钟。2．考试内容：必修第二册：第六章《平面向量及其应用》，第七章《复数》，第八章《立体几何初步》，第九章《统计》，第十章《概率》一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、若(1+=−iz)12(ii为虚数单位），则||(z=)101055A．B．C．D．2422π2、若夹角为的非零向量a，b满足||1a=且aab⊥−()，则||(b=)3A．1B．3C．2D．33、若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()A．若m⊂α，n⊂β，αβ//，则mn//B．若m//α，m⊥β，则αβ⊥C．若αβ⊥，αβ=m，mn⊥，则n⊥βD．若mn⊥，m⊥α，m⊥β，则n//β4、掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数不超过3”，事件B=“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（）A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B独立D．事件A包含于B5、如图所示，BC是一条水平的靠山公路，测绘人员在山顶A处测得B，C两点的俯角分别为30°，60°，若山顶到公路所在水平面的距离AD=1003m，∠=°BDC120，则BC=（）m．A、5013B、10013C、503D、10036、若向量a=−(1,1)，向量b=(4,3)，则向量a在向量b上的投影向量为()43431143A．(,)−B．(,)−−C．(,)−D．(,)−−252525252255学科网（北京）股份有限公司,7、如图：已知正四面体ABCD中E在棱CD上，EC=2DE，G为ABC的重心，则异面直线EG与BD所成角为（）A.30B.45°C.60°D.90°2π8、平面四边形PABC中，∠=APC,AB==2,AC23,AC⊥AB，则APAB⋅最小值（）3A.−2B.−1C.−23D.−3二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮。以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是（）A、甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B、甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大C、甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D、甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定学科网（北京）股份有限公司,10、下列结论正确的是（）1A.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为a，b，则ab+=8的概率为6B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两1个不同的数，其和等于14的概率为152C.已知i为虚数单位，若1i−是实系数一元二次方程x++=pxq0的一个根，则pq⋅=−42D.已知a∈R，i为虚数单位，若复数za=−++1(a1)i为纯虚数，则a=±111、如图，正方体ABCD−ABCD的棱长为1，则下列四个命题正确的是()1111π2A．直线BC与平面ABCD所成的角等于B．点C到面ABCD的距离为111142π3C．两条异面直线DC和BC所成的角为D．三棱柱AAD−BBC外接球半径为1111114212、如图，四棱锥S−ABCD的底面为菱形，AB==SD3,∠=DAB60°，SD⊥底面ABCD，P是SC上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）35A.若SA//平面PBD，则SAPO//B.B到平面SAC的距离为5C.当P为SC中点时，过P、A、B的截面为直角梯形D.当P为SC中点时，DP+PB有最小值二、填空题（每小题5分，共20分）13、若O(0,0)，A(2,0)，B(3,3)，Ck(2,)，AB//OC，则k=．学科网（北京）股份有限公司,14、军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm)分别为168，171，172，173，175.175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为．415、某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、72，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为．316、某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD−ABCD1111挖去正四棱台ABCDEFGH−后所得的几何体，其中AB=2EF=2BFAB,=BC=6cm,AA=4cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层1金属膜，每平方厘米需要金属2mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________mg．三解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠=°DAB90，AB=224AD=CD=，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．1（1）若DE=DC，求ACEF⋅的值；2（2）求EAEF⋅的取值范围．学科网（北京）股份有限公司,18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100)，[100，110)，…，[140，150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率．19．（12分）2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三2家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为，甲、321乙两公可都研发成功的概率为，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为，各公司是否研发成功互不55影响．（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．学科网（北京）股份有限公司,20、（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠=°BCD120．若CD=26，AD=8，______，求AB的长．3从①BD=6，∠=ADC75°；②cos∠=ADB，∠=CBD45°；③S=123，∠=CBD45°这三个∆ABD5条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．21、（12分）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠=°BCD135，3∠=°BAE120，∠=CBD30°，CD=32，DE=8，且cos∠=DBE．5（1）求BE的长度；（2）景区拟规划∆ABE区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域∆ABE面积最大，并求此最大值．学科网（北京）股份有限公司,22、（12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=62，点E为AB上一点，AE=1，现将∆BCE沿CE折起，将点B折到点B′位置，使得点B′在平面AECD的投影落在线段AD上，得到如图2所示的空间几何体B′−AECD．BF′（1）在线段BC′上是否存在点F，使得EF平面BAD′？若存在，求的值；若不存在，请说BC′明理由.（2）求二面角B′−−ECD的大小．参考答案1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、A8、A8、【解】因为AC⊥AB，所以BC=+=AB22AC4，AB1π2π所以cos∠==ABC，则∠=ABC，又∠=APC，BC233所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上，分别以AB、AC为x，y轴正方向建系，取BC中点E，如图所示学科网（北京）股份有限公司,22所以E(1,3)，则圆E的方程为(xy−+−1)(3)=4，设点Pxy(,)，其中x∈−[1,0)，则AP=(,),xyAB=(2,0)，所以APAB⋅=2x∈−[2,0)，即APAB⋅最小值为-2，故选：A9、BD10、BC11、ABD12、ABC12、【解】∵SA//平面PBD，SA⊂平面SAC，平面PBD平面SAC=PO∴SAPO//，A正确；设B到平面SAC的距离为h，则有SA=SC=32,AC=3311311335∵VVBSAC−−=SABC，即h××33×5=×××××333，则h=，B正确；3223225当P为SC中点时，如图1，取SD的中点M，连接PMAMMB,,1则PM∥CD，PM=CD2∵AB∥CD，则PM∥AB353∴过P、A、B的截面为ABPM，则PB=3,BM=,PM=22∴222BM=PM+PB，则PM⊥PB，即ABPM为直角梯形，C正确；学科网（北京）股份有限公司,借助于侧面展开图，如图2，连接DB交SC于点P，此时DP+PB为最小值若P为SC中点时，∵SD=CD，则DP⊥SC∴BC=SB，这与题意相矛盾，D错误；故选：ABC．613、614、17715、716、282543+16、【解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为22446××=96cm，底面积66×=36cm，221233正方形EFGH面积339cm×=.考虑梯形ABFE，高为BF−−=(ABEF)cm，2221332故正四棱台的侧面积为4×+×(36)=273cm，222故该模型表面积为96369273+++=(141273cm+)，学科网（北京）股份有限公司,故所需金属膜的质量为2×+(141273)=+(282543mg)故答案为：282543+17、解：（1）由图知：AC=+ADDCCB,=−=−−ABACABADDC，111所以EF=+=+=ECCFDCCB()AB−AD，222112所以ACEF⋅=(AD+⋅−=DC)(ABAD)(ADAB⋅+⋅−−⋅DCABADDCAD)，22又AB=224AD=CD=，AB//CD，∠=°DAB90，12所以ACEF⋅=×+×−−=(02420)2．211（2）由（1）知：EF=+=+=+ECCFECCBEC()AB−−ADDC，22令EC=λDC且01λ，11则EA=−=−−DADEDA(1λλ)DCEF,=−()DC+(AB−AD)，22111221−λ所以EAEF⋅=−()λDADC⋅−−−(1)λλ()DC+(DAAB⋅+−AD)(DCAB⋅−⋅DCAD)22221112=4(λλ−1)(++=)24(λ−−)．2441则EAEF⋅∈−[,2]．418．解：（1）由频率分布直方图，得：分数在[120，130)内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10−++++×=0.3，0.3=0.03，10补全后的直方图如图所示：（2）[90，120)的频率为(0.0100.0150.015)10++×=0.4，[120，130)的频率为：0.03010×=0.3，学科网（北京）股份有限公司,0.50.4−370∴第50百分位数为：120+×=10；0.33（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，0.015则分数段为[110，120)中抽取的学生数为：×=62人，设为A，B，0.0150.030+0.030分数段为[120，130)中抽取的学生数为：×=64人，设为a，b，c，d，0.0150.030+从中任取2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，其中符合题意得有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种，93所以至多有1人在分数段[120，130)内的概率为=．15519．【1】解：设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A，B，C221则PA()=，PAB()=，PBC()=355由于各公司是否研发成功互不影响，事件A，B，C相互独立21∴PAB()=PAPB()()⋅=,()PBC=PBPC()()(1())(1())⋅=−PB⋅−PC=5531∴=PB(),()PC=，5231故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为,.52【2】解：设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M2314∴PM()1(=−PABC)1=−××=3525设实现“取得重大突破”目标为事件N，41424∴PN()()()()=PM+PMPM⋅=+×=5552524所以实现“取得重大突破”目标的概率为：.253420、解：选②，cos∠=ADB；∠=CBD45°，所以sin∠=ADB，55CDDB在∆BCD中，由正弦定理有=，可得BD=6，sin∠CBDsinC222212在∆ADB中，由余弦定理有AB=+−⋅⋅∠=ADDB2ADDBcosADB，52265所以AB=，5学科网（北京）股份有限公司,CDDB2选①∆BCD中，由正弦定理有=，可得sin∠=CBD，sin∠CBDsinC2所以∠=CBD45°，可得∠=BDC15°，又∠=ADC75°，所以∠=°ADB60，222在∆ADB中，由余弦定理有AB=+−⋅⋅∠=ADDB2ADDBcosADB52，所以AB=213；CDDB选③在∆BCD中，由正弦定理有=，可得BD=6，sin∠CBDsinC13由S=123，ADBD××∠=sinADB123，可得sin∠=ADB，∆ABD2211所以cos∠=ADB或−，22222在∆ADB中，由余弦定理有AB=+−⋅⋅∠ADDB2ADDBcosADB，2可得AB=52或148，所以AB=213或AB=237．21、解：（1）在∆BCD中，∠=°BCD135，∠=CBD30°，CD=32，BDCD由正弦定理可得=，sin∠∠BCDsinCBD2sin∠°BCDsin1352可得BD=⋅=CD⋅==326，sin∠°CBDsin3012222在∆BDE中，由余弦定理可得：DE=+−⋅⋅∠BDBE2BDBEcosDBE，3而DE=8，且cos∠=DBE，5214整理可得5BE−−=36BE1400，解得BE=10或BE=−（舍)，5所以BE的长度为10；222AB+−AEBE2ABAE⋅−100（2）在∆ABE中，由余弦定理可得cos∠=BAE，22ABAE⋅⋅ABAE当且仅当AB=AE时取等号；而∠=°BAE120，1所以cos∠=BAE−，21所以−⋅2ABBE⋅2ABBE⋅−100，2100解得ABBE⋅，3学科网（北京）股份有限公司,111003253所以S=⋅⋅ABAEsin120°⋅⋅=，∆ABE22323253所以∆ABE面积最大值为．3BF'122、解：（1）在边BC'上取点F，使得=，…………………2分BC′4过F作CD的平行线交BD'于M点，连接EF，AM．MFBF'1MF∥CD且==，…………………………3分CDBC'4AE1又AECD∥且=，CD4∴AEMF∥且AEMF=，…………………………4分故四边形AEFM为平行四边形，∴EF//AM，又EF⊄平面BAD'，AM⊂平面BAD'，，∴EF//平面BAD'；………………5分（2）如图，记点B′在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接BN'，CE⊥⊥ON，CEBOON''，BO=O，∴⊥CE平面BON'，∴CE⊥BN'，则∠BNO'为二面角B'−−CED的平面角．……………………8分在矩形ABCD中，如图，BE=3，BC=62，∴CE=9，BN=23，EN=1，……………………………………10分又∆∆EBN∽OBA，BNBA∴=，∴=BO32，………………………………………………11分BEBO∴ON=2，学科网（北京）股份有限公司,ON1则cos∠==BNO′．BN'2∴二面角B′−−ECD的大小为60°.………………………………………………12分学科网（北京）股份有限公司,学科网（北京）股份有限公司