四川省成都市中学2024届高三零诊模拟考试数学（理）试题

成都七中高2024届零诊模拟考试数学试题(理科)时间:120分钟满分:150分一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1−i1.设zi=+2，则z的虚部为1+iA.iB.3iC.1D.32.直线lxay:+−=10与直线l:ax++=y10平行，则a=12A.0B.1C.-1D.1或-13.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为A.10B.52C.10D.50′′4.已知函数fx()在其定义域R上的导函数为fx()，当xR∈时，fx()0>是“fx()单调递增”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a、b分别为36、96，则输出的a=（）A.0B.8C.12D.2426.直线x=2与抛物线Cy:=2pxp(>0)交于D、E两点，若ODOE⋅=0，其中O为坐标原点，则C的准线方程为()1A.x=−4学科网（北京）股份有限公司 1B.x=−2C.x=−1D.x=−2′xx=10′′7.函数yx=lg的图象经过变换ϕ:后得到函数yfx=()的图象，则fx()=′yy=+2A.−+1lgxB.1lg+xC.−+3lgxD.3lg+x8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是A.甲B.乙C.丙D.丁x=+1cosθπxy9.设曲线C的参数方程为(θ为参数，且θπ∈,2)，曲线C上动点P到直线l:1+=y=+1sinθ243的最短距离为A.01B.52C.5D.110.关于圆周率π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(x，y)，且要求x，y均小于1；再统计x、y和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(x，y)的个数m；最后利用统计结果估计π值.假如某次实验结果得到m=28，那么本次实验可以将π值估计为22A.747B.1578C.2553D.1711.点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=BC=2，已知球O的表面积是12π，设直线PB和AC所成角的大小为α，直线PB和平面PAC所成角的大小为β，四面体PABC内切球学科网（北京）股份有限公司 半径为r，下列说法中正确的个数是1①BC⊥平面PAB；②平面PAC⊥平面ABC；③sinαβ=cos：④r>2A.1B.2C.3D.4x12.函数fxe()=−−1sin(11)x在[0,+∞)上的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题,每题5分，共20分.13.命题“∀>x0tan，xx>”的否定为_____________.x14.函数fx()=的图象在x=π处的切线方程为_____________.cosx15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为____________.22xyπ16.双曲线H:−=>1(,ab0)其左、右焦点分别为FF,，倾斜角为的直线PF与双曲线H在第22122ab3一象限交于点P，设FPF内切圆半径为r，若PF∣≥23r，则双曲线H的离心率的取值范围为______.122三、解答题：共5道大题，共70分.′132f(1)−17.（12分）设函数fx()=−xx+−2xf(1)34(1)求f′−(1)、f(1)的值；(2)求fx()在[0,2]上的最值.18.（12分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5.学科网（北京）股份有限公司 (1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率.x（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型yab=⋅拟合y与x的关系，请建立关于x的回归方程(a，b的值精确到0.01)，并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元.参考数据:51其中vyii=ln,vv=∑i5i=1参考公式：对于一组数据(uw,)，(uw,)，…，(uw,)，其回归直线wuˆ=αβˆ+ˆ的斜率和截距的最1122nnn∑uwii−nw小二乘估计公式分别为βˆ=i=1，αβˆ=wu−ˆn22−∑ui−nui=119.（12分）如图，三棱柱ABC−ABC中，侧面ACCA为矩形，AB⊥AC且AB=AC=2,D为BC的1111111中点，AA=BC=22.11(1)证明:AC//平面ABD;11（2）求平面ABC与平面AAD所成锐二面角的余弦值1122xy20.（12分）椭圆C:+=>>1(ab0)上顶点为B，左焦点为F，中心为0.已知T为x轴上动点，22ab直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为(2,3)−，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时，有|PB||=PT|，且2BT=BP+BQ.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设T的横坐标为t，当t∈(0,2)时，求DTQ面积的最大值.x21.(12分）设函数fx()=e−ax，其中aR∈.学科网（北京）股份有限公司 (1)讨论函数fx()在[1,+∞)上的极值；xx+λ12(2)若函数f(x)有两零点xxxx,(<)，且满足>1，求正实数λ的取值范围.12121+λ22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Cπ和直线l的极坐标方程分别为ρθθ=2sin+2cosa和ρsinx−=2.且二者交于M，N两个不同点.4(1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若点P的极坐标为(2,),|πPM||+=PN|52，求a的值.参考答案一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分123456789101112CBADCBBCBCCB二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.13.∃>x0，tanxx≤00014.xy+=015.80.5516.,24三、解答题：共5道大题，共70分.17.′′′2f(1)−′f(1)−′解:(1)由题设知fxx()=−+x2,取x=−1，则有f(1)−=+3,即f(1)−=6:22133255也即fx()=−+−xx2xf(1)，取x=1，则有ff(1)=−(1)，即f(1)=32612′5故f(1)−=6,f(1)=.1213325′2(2)由(1)知fx()=−+−xx2x,fxxx()=−+=−−32(x1)(x2),3212学科网（北京）股份有限公司 55故fx()=f(1)=,fx()=f(0)=−maxmin121218.解：(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，（8.1,11.5)，（8.1,13.8)，（8.1,16.7)，（9.6,11.5)，（9.6,13.8），(9.6,16.7），（11.5,13.8)，（11.5,16.7)，（13.8,16.7)，共10种情况，其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，（11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况，所以2个数据都大于10的概3率P=10x(2)yab=⋅两边同时取自然对数x得lny=⋅=+ln(ab)lnaxbln，则v=lna+xlnb.52因为xv=3,=2.45,∑xi=55,i=15∑xvii−5xv38.52532.45−××i=1所以lnb===0.1775222−5553−×∑xxi−5i=1lna=−vxnb·1=2.450.17731.919−×=，所以vx=1.9190.177+1.9190.177+xx即lnyx=1.9190.177+，所以yˆ=e=6.811.19×，x即y关于x的回归方程为yˆ=6.811.19×.x2023年的年份代码为6，把x=6代入yˆ=6.811.19×,6得y=×=×≈<6.811.196.812.8419.3420，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元.19.解：（1）连接AB与A、B交于点O，连接OD1ABC−ABC为三棱柱，∴ABBA为平行四边形，点O为AB的中点111111学科网（北京）股份有限公司 又D为BC的中点，则AC//OD,111又OD⊂平面ABD,AC⊂/平面ABD,∴AC//平面ABD.11111(2)CA⊥AB，CA⊥AA,AB∩AA=A，∴⊥CA平面ABBA1111AB⊂面ABBA，∴⊥CAAB11112222∴=ABCB−=AC(22)−=2211222AB=2，AB=2,BB=22，∴AB+=ABBB，即AB⊥AB11111以A为坐标原点，AB，AB，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，1A(0,0,0)，A(2,2,0)−,B(2,0,0),B(0,2,0),C(2,2,2)−,D(-1,2,1)111∴=AA(2,2,0)−,AD=(1,0,1)11AB⊥AB,AB⊥AC,AB∩=ACA11∴⊥AB平面ABC，则平面ABC的一个法向量为n=(1,0,0)111AAn⋅=0−+=220xy12设平面AAD1的法向量为n2=(,,)xyz，则，即ADn⋅=0xz+=012令x=1,y=1,z=-1,∴n=(1,1,1)−,2设平面ABC与平面AAD所成二面角的大小为θ11nn⋅×+×+×−12|11010(1)|13∴==cosθ==nn1×++−11(1)233123∴平面ABC与平面AAD所成二面角的余弦值是11320.解：(1)设F(-c,0)，由2BT=BP+BQ知2(-c）=-2+0，即c=1，2222由|PB||=PT|知(20)(3)[2(1)](30)−−+−b=−−−+−，即b=3,22xy则a=2，故椭圆C的标准方程为+=143学科网（北京）股份有限公司 22txy(2)直线BT的方程为xy=−−(3),与+=1联立，可得3432222223t−12t−4(t+4)y−23tyt+−=3120，且>0，有yD⋅=32，即yD=32;t+4t+4t+23t直线PT的方程为xy+=−2(−3),令x=0，可得y=Q3t+2SDTQQTDT⋅⋅∠sinDTQQTDT⋅yQ⋅−(yD)yyQD由===,SS=−DTQPTBSPTBT⋅⋅∠sinBTPPTBT⋅33⋅3PTB22tt−即S=3⋅，t∈(0,2)DTQ2t+4221tt−而≤−21，当t+=222，即t=222−时取等,且t∈(0,2)2t+4424−63−故DTQ面积的最大值为221.x′x解：(1)由fx()=e−ax知fxea()=−,′1）当ae≤时，且有x∈[1,+∞)，fx()0≥，fx()单增，故无极值；′′2）当ae>时，有xa∈(1,ln)，fx()0<，fx()单减，而xa∈(ln,+∞)，fx()0>，fx()单增，故fx()=faaaa(ln)=−ln，fx()无极大值.极小值综上，当ae≤时，fx()无极值；当ae>时，fx()极小值为aa−ln，fx()无极大值.（2）由（1）可知当ae>时，faa(ln)=−<(1ln)a0，f(00）=>1，且x→+∞，（fx）→+∞，由零点存在定理可知0<<<xlnax，而题设可知exx12−=−=axeax0，消去a可得1212ex2xxttlnlntxx+λ=exx21−=2，令t=2>1，且lntxx=−，即x=,x=，将其代入12>1，整理可x2121ex1xt−1t−11+λ11(λ+−1)(t1)令得Ft()=lnt−>0λt+11(λ+1)2(λ2tt−−1()1)′而Ft()=−=,22t(λλt++1)tt(1)学科网（北京）股份有限公司 2′(t−1)1)当λ≥1时，且t∈(1,+∞)，有Ft()≥>0，F(t)单增，F(t)>F(1)=0，满足题设；2tt(λ+1)1′2)当0<λ<1时，且t∈1,，有Ft()0<，F(t)单减，F(t)<f(l)=0，不满足题设；2λ综上，λ的取值范围为[1,+∞).222.解：(1)由ρθθ=2sin+2cosa，得ρρθρθ=2sin+2acos，22222故曲线C的直角坐标方程为x+=+y22yax，即(xa−+−=+)(y1)a1;π由ρθsin−=2，得ρθρθsin−=cos24故直线l的直角坐标方程为yx=+2.2xt=−+22（2）点P的直角坐标为（-2,0），在直线l上，而直线l的标准参数方程为(t为参数），2yt=2222将其代入x+=+y22yax，整理可得t−(32+2)at++=4a40.22由题设知∆=2(3+aaa)−4(4+4)=2(−1)>0，解得a≠1又tt+=32+2a，tt=44a+1212当a>-1,且a≠1时，有tt,0>，则PM+PN=t+=+=ttt2(a+352)=，121212解得a=2;当a≤−1时，有tt≤0，则PM+PN=t+=−=ttt2a−152=，解121212得a=-4.故a的值为2或-4..学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司