新高一数学衔接教材（教师版）

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第一讲乘法公式与因式分解∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1第二讲不等式的含义与解法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5第三讲基本不等式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10第一章函数的基础第四讲元素与集合∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16第五讲集合的关系与运算∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙22第六讲逻辑用语∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙28第一章章末总结∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙34第七讲函数概念与有界性∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙36第八讲函数单调性及其应用∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙43第二章函数的共性第九讲函数奇偶性及其应用∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙47第十讲函数对称性∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙52第二章章末总结∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙57第十一讲一次函数及其变换∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙59第十二讲反比例函数与一次分式函数∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙66第十三讲对勾函数和二次分式型函数∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙72第三章函数的变换第十四讲二次函数及其变换∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙79第十五讲函数零点与分段函数∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙86第三章章末总结∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙94,第一讲乘法公式与因式分解322由完全立方和公式可得(a+b)-3ab-3ab=模块一整式的乘法公式33233a+b,即(a+b)[(a+b)—3ab]=a+b于是有：3322课堂精讲立方和公式a+b=a+b(a-ab+b)仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘方差公式的由来。法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主3322立方差公式a-b=a-b(a+ab+b)要学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完例2计算下列代数式全平方公式。222(1)(4+m)(16−4m+m)平方差公式a-b=a-b(a+b)22211111完全平方公式a±b=a±2ab+b22(2)5m−2n25m+10mn+4n例1化简：9-45333解：(1)原式=4+m=64+m解：原式=5+45+413131313(2)原式=5m−2n=125m−8n=22看不出来的可以借(5)+2×2×5+2助完全平方公式求解=(2-5)2以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a2222+b+c)=[(a+b)+c]=(a+b)+2(a+b)c+c=2-5=5-2．222=a+2ab+b+2ac+2bc+c于是有:高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研三项和平方公式究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变2222a+b+c=a+b+c+2ab+2ac+2bc形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复将上式中的c全部换成-c得到如下公式:杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中,我们将拓a+b-c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。由于a+b3222212=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b)(a+b)例3计算：x−2x+33223=a+3ab+3ab+b212解：原式=x+(−2x)+3于是有：2221222133223=(x)+(−2x)+3+2x(−2)x+2x×3完全立方和公式a+b=a+3ab+3ab+b1将完全立方和中的b换成-b,得到完全立方差公式:+2×3×(−2x)完全立方差公式a-b3=a3-3a2b+3ab2-b34382221=x−22x+x−x+3391,[练3]计算：随堂练习42(1)(a+2)(a−2)(a+4a+16)22[练1]若x+y=6，x+y=20，x-y等于(D)22222(2)(x+2xy+y)(x−xy+y)A.2B.-2C.4D.±22422解：(1)原式=(a−4)(a+4a+4)222解：∵x+y=6，x+y=(x+y)-2xy=20，2336=(a)−4=a−642&there4;2xy=6-20=16，&there4;xy=8，22222(2)原式=(x+y)(x−xy+y)=[(x+y)(x−xy222&there4;(x-y)=x+y-2xy=20-2×8=4，22+y)]&there4;x-y=±23326336=(x+y)=x+2xy+y22[练2]若a-ab=7-m，b-ab=9+m，则a-b的231[练4]已知x−3x-1=0，求x+的值．值为(D)x321A.2B.±2C.4D.±4解：∵x−3x=1=0&there4;x≠0&there4;x+x=3121解：将题目中的两个式子相加，原式=x+x−1+xx2222得a-ab+b-ab=16，即(a-b)=16，1122=x+xx+x−3=3(3−3)=18&there4;a-b=±4，故选：D．4.十字相乘法分解二次三项式模块二因式分解利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。课堂精讲2举例：3x+11x+10=0一拆：拆出二次项1.因式分解的概念x2与常数项的因式把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因3x5二判：交叉相乘和为式分解，也叫分解因式。∵5x+6x=11x一次项可用该方法2&there4;3x+11x+10=0三书写：横向书(x+2)(3x+5)=0写拆出的式子2.提公因式法分解因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个5.主元法分解因式相同的因式就叫做公因式。把ma+mb+mc=m22形如Ax+By+Cx+Dy+E的代数式可以采(a+b+c).的分解方法称为提公因式法。用主元法进行分解。m2-k2+5m+3k+4主元法分解因式3.公式法分解因式将m作主元，k作常数22利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式=m+5m-k+3k+4m(-k+4)2=m+5m+(-k+4)(k+1)分解的方法称为公式法分解因式。m(k+1)例4已知ab=-2，a-3b=5，求a3b-6a2b2+9ab3．=(m-k+4)(m+k+1)(-k+4+k+1)m=5m322322解：ab-6ab+9ab=ab(a-6ab+9b)6.双(长)十字相乘法2=ab(a-3b)，22形如Am+Bmk+Ck+Dm+Ek+F的代数∵ab=-2，a-3b=5，式的因式分解。2&there4;原式=-2×5=-50．2,步骤:①运用十字相乘法分解前的二次三项式;[练6]利用十字相乘法分解因式：22②在这个十字相乘图右边再画一个十(1)x+(a+2)x+2a(2)x-(3+t)x+3t字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右解：(1)∵2a=2×a,1×a+1×2=a+2，2端，使这两因数与含k的项交叉之积的和等于原多项&there4;x+(a+2)x+2a=(x+2)(x+a).式中含k的一次项Ek,同时这两个因数与含m的项(2)∵3t=(-3)×(-t),1×(-t)+1×(-3)=-(3+t)，2的交叉之积的和等于原多项式中含m的一次项Dm.&there4;x-(3+t)x+3t=(x-3)(x-t).[练7]分解因式：22(1)xy-1+x-ym-2mk-8k-m-14k-6m-4k-322(2)2x+xy-y-4x+5y-6=(m-4k-3)(m+2k+2)m2k2(3)x3-3x2+4.解：⑴xy-1+x-y=xy+x-1-y=x(1+y)-(1+y)=(x-1)(y+1);7.试根待定系数法22232⑵2x+xy-y-4x+5y-6=(2x-xy+2x)+对于一元三次代数式Ax+Bx+Cx+D先将23B2CD(2xy-y+2y)-6x+3y-6其化简为系数为1的形式：Ax+Ax+Ax+A。=x(2x-y+2)+y(2x-y+2)-3(2x-y+2)=(2xD若上述代数式有有理根，则：±所有因数中有一个-y+2)(x+y-3).A32322必是方程的根。⑶x-3x+4=x+1-3(x-1)=(x+1)(x-x+21)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x-4x+4)①10的因子±1，±2，±5代2入原式可得：x=2时=(x+1)(x-2).3原式=0，得因式:(x-2)x-9x+10[练8](2021春•邯郸高一期中)已知在底面半径为3、②待定系数设出剩余因式=(x-2)∙(x2+ax-5)将式子展开，与原式对比母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱。可得：a=22③检查一元二次代数式(1)求圆柱的体积；=(x-2)∙(x+2x-5)能否继续因式分解(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与3例5(2022•湖南模拟改编)设x+ax+b=0，下列(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(D)高；若不存在，请说明理由。A.a=-3，b=2B.a=-3，b=-2解：(1)如图，已知OA=3，PA=5，BC=2，C.a=-4，b=3D.a=1，b=222圆锥的高OP=5-3=4，∵BC=2，22解：A中，方程为(x-1)(x+x-2)=0，即(x-1)1&there4;BC=OP，又OP&perp;OA，BC&perp;OA，(x+2)=0，可得方程有两个根1，-2，不符合题意，2B中，方程为(x-2)(x2+2x+1)=0，即(x+1)2133&there4;AB=OA=，则OB=，222(x-2)=0，可得方程有两个根-1，2，不符合题意C329π故圆柱的体积V=π××2=．中，方程为(x-1)(x2+x-3)=0，即(x+1)222(x-2)=0，可得方程有三个根，不符合题意(2)假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底22h3-rD中，方程为(x+1)(x-x+2)=0，x-x+2=0面半径为r，则=，OPOAP无解，可得方程有一个根，符合题意h3-r3即=，&there4;r=3-h，434C329π随堂练习则π×3-4h×h=2，OAB2整理得(h-6h+4)(h-2)=0，3[练5]分解因式x-1解得h=2或h=3±5，∵h=3+5>4，32解：x-1=(x-1)(x+x+1)故不符合题意，舍去，故存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为3-5．3,[巩固5]分解因式：课后提升32(1)x+9+3x+3x；[巩固1]分解因式22(2)2x+xy-y-4x+5y-622(1)x+3x+2(2)x+2x-15.32322解：(1)x+9+3x+3x=(x+3x)+(3x+9)=x(x解：(1)因为2=2×1且1×1+1×2=3，2+3)+3(x+3)=(x+3)(x+3)．2所以x+3x+2=(x+2)(x+1)；2222(2)2x+xy-y-4x+5y-6=2x+(y-4)x-y+(2)因为-15=5×(-3)且1×(-3)+1×5=2，2所以x2+2x-15=(x+5)(x-3)．5y-6=2x+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)．或[巩固2]已知a+b=7，ab=-2．求：22222222x+xy-y-4x+5y-6=(2x+xy-y)-(4x-(1)a+b的值；(2)(a-b)的值．解：(1)∵a+b=7，ab=-2，5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-622222&there4;(a+b)=a+b+2ab=a+b+(-4)=49．=(2x-y+2)(x+y-3)．22&there4;a+b=53．[巩固6]如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九222(2)∵a+b=7，ab=-2，&there4;(a-b)=a+b-2ab=块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边22a+b-(-4)=53+4=57．长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)[巩固3]分解因式：(1)用含m、n的代数式表示图中所有裁m3232(1)x+2x-5x-6(2)x-2x-15x+16剪线(虚线部分)的长度之和；解：(1)原式=(x3+x2)+(x2-5x-6)(2)观察图形，可以发现代数式2m2+nmn22=x(x+1)+(x+1)(x-6)5mn+2n可以因式分解为_____；m2(3)若每块小长方形的面积为10cm2，四=(x+1)(x+x-6)22=(x+1)(x-2)(x+3)．个正方形的面积和为58cm，试求m+n的值。32(2)当x=1时，x-2x-15x+16=0，解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2&there4;原式=(x-1)(x-x-16)2m+2n+22m+n=6m+6n=6m+ncm.22[巩固4]把下列各式分解因式：(2)2m+5mn+2n可因式分解m+2n2m+n，2(1)x-(a+b)x+ab故答案为m+2n2m+n.2(2)(x+y)-(3+a)|x+y|+3a.22(3)依题意：2m+2n=58，mn=10，2解：(1)由题意x-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)；22&there4;m+n=29.2(2)由题意，得(x+y)-(3+a)|x+y|+3a222∵m+n=m+2mn+n，=(|x+y|-3)(|x+y|-a)2&there4;m+n=29+20=49.4,第二讲不等式的含义与解法以a>0为例：模块一一元二次不等式Δ>0Δ=0Δ>0课堂精讲y>0xx初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程1x2x0xx与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与x<x1或x>x2x≠-b全体实数2a二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与x轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与x轴交点y<0xx1x2x0xx的横坐标。今天我们将探寻二次函数、二次方程与x1<x<x2无解集无解集一元二次不等式的关系。2我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：例1解不等式：3+2x-x≥02kx+n>0的解集表示的是一次函数y=kx+n在x解：不等式化为x-2x-3≤0，(x+1)(x-3)≤0令(x+1)(x-3)=0，x1=-1,x2=3轴上方时对应的自变量取值范围的集合。2令y=x-2x-3，作出函数草图:由此，我们可以知道:任意一个一元不等式，其-13x&there4;不等式的解集是{x|-1<x<3}；含义是：不等式>0的解集表示不等式对应的函数在x3.成立与恒成立轴上方时对应自变量取值范围的集合；不等式<0的根据上面解一元二次不等式的方法，我们可知：解集表示不等式对应的函数在x轴下方时对应自变a>02ax+bx+c>0恒成立的条件是量取值范围的集合。Δ<0a<02ax+bx+c<0恒成立的条件是Δ<01.一元二次不等式24.一元二次不等式的代数解读形如：ax+bx+c>0(a≠0)的不等式称为一若一个一元二次不等式能进行因式分解，则可元二次不等式。以根据“同号得正，异号得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组求解。2.一元二次不等式的解法22(1)令ax+bx+c=0，计算：△=b-4ac2当Δ>0时，解出方程两根：x1,x2；例2解不等式x+x-6>02解：不等式左边可以因式分解，根据“正正(负负)得(2)令y=ax+bx+c，作出函数草图；正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组(3)根据不等式的含义翻译不等式，读取解集。原不等式可以化为：(x+3)(x-2)>0，注：作草图时只需画x轴。很多学生作函数草图x+3<0x<-3x+3>0x>-3或习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应x-2<0x<2x-2>0x>2先画抛物线，再根据题意加x轴和y轴&there4;原不等式的解是x<-3或x>2．5,2[练5](2021秋•惠州高一期末)已知不等式(1-a)x随堂练习-4x+6>0的解集是-3<x<1．[练1]解下列不等式(1)求常数a的值；22(1)2x-x-1>0(2)6x+5x<42(2)若关于x的不等式ax+mx+3≥0的解集为解：(1)不等式可化为(2x+1)(x-1)>0全体实数，求m的取值范围。1&there4;不等式的解是xx<-2或x>1．解：(1)∵不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}，(2)不等式可化为(2x-1)(3x+4)<0，2∴-3和1是方程(1-a)x-4x+6=0的解，41∴不等式的解集是x-3<x<2；把x=1代入方程得(1-a)-4+6=0，解得a=3．2(2)若关于x的不等式ax+mx+3≥0的解集为r，2[练2]讨论不等式x−x−a(a−1)>0的解集。2即3x+mx+3≥0的解集为R，2原不等式可以化为：(x+a−1)(x−a)>0&there4;△=m-36≤0，解得-6≤m≤6，1&there4;m的取值范围是[-6，6]．解：①若a>−(a−1)即a>则x>a或x<1−a2112②若a=−(a−1)即a=2则x−2>0，1x≠,x∈R21③若a<−(a−1)即a<2则x<a或x>1−a[练6](2021秋•泸州高一期末)2已知函数y=2x-2ax+1．2[练3]已知对于任意实数x，kx-2x+6恒为正数，求(1)若y<b的解集为-1<x<2，求a，b的值；实数k的取值范围。(2)解关于x的不等式y>a+1-x．2解：显然k=0时，kx-2x+6=-2x+6不恒为正解：(1)∵f(x)<b的解集为{x|-1<x<2}k>01⇔2x2-2ax+1-b<0的解集{x|-1<x<2}数，不合题意，于是：(-2)2-4k⋅6<0⇒k>6．a=1&there4;1-b，&there4;a=1，b=5，=-22(2)关于x的不等式f(x)>a+1-x222⇔2x-2ax+1⇔2x-(2a-1)x-a>0，[练4]已知不等式ax+bx+c<0(a≠0)的解是x<21令2x-(2a-1)x-a=0，则x=a或x=-，222或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解。11①当a=-时，则x≠-，222解：由不等式ax+bx+c<0(a≠0)的解为x<2或11a<0②当a>-2时，则x>a或x<-2，x>3可知：，ax2+bx+c=0的两根是2和311③当a<-时，则x>-或x<a，bcbc22∴-=5，=6，即=-5，=6．aaaa综上，当a=-1时，解集为xx≠-1，222由于a<0，∴不等式bx+ax+c>011当a>-时，解集为{x|x>a或x<-}，b2c22可变为：x+x+<0，aa11当a<-时，解集为{x|x>-或x<a}．2222即-5x+x+6<0,整理，得5x-x-6>0,26&there4;不等式bx+ax-c>0的解是x<-1，或x>．56,模块二分式型不等式随堂练习[练7]解下列不等式课堂精讲2x-31(1)<0(2)≤3x+1x+21.分式不等式解：(1)原不等式可化为：(2x-3)(x+1)<0ax+b形如<0的不等式称为分式不等式。cx+d⇒-1<x<3，∴不等式解集x-1<x<32212.分式不等式的解法（2）原不等式可化为：x+2-3≤0将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需-3x-53x+5≤0⇒≥0x+2x+2要注意分式有意义的条件：分母不为0。(3x+5)(x+2)≥05转化方法：x<-2或x≥-x+2≠03ax+b<0(ax+b)(cx+d)<05cx+d∴原不等式的解集为xx<-2或x≥-．ax+b3>0(ax+b)(cx+d)>0cx+d(ax+b)(cx+d)≤0x+3ax+b[练8]解不等式：≥0≤0x2-x+1cx+dcx+d≠02123ax+b(ax+b)(cx+d)≥0解：∵x-x+1=x-2+4>0，≥0cx+dcx+d≠0原不等式可化为：x+3≥0⇒x≥-3，x−3例3解不等式：≤0．x+7&there4;原不等式的解集为{x|x≥-3}．解：∵两个式相除异号，那么这两个式相乘也异号，&there4;可将分式不等式直接转化为整式不等式求解。(x−3)(x+7)≤0x−3∵≤0⇔⇔−7<x≤3x+7x+7≠0∴原不等式的解集是x|−7<x<3.找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找模块三简单高次不等式（选讲）“线”在x轴下方的区间。n注：因式(x-x1)中，n为奇数时，曲线在x1点课堂精讲处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数1.高次不等式：轴，归纳为“奇穿偶不穿”。定义：形如(x-x1)(x-x2)⋅⋅⋅(x-xn)>0(<0)的形式的不等式称之为高次不等式。例4解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；f(x)解：①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2，1，3，变形：分式>0(<0)可转化出高次不等式。g(x)②令x=0，y=(0-1)(0+2)(0-3)>0，即x=0时函数值为-2013x2.数轴穿根法求解高次不等式正，图像画在x轴上方，由奇穿偶1将不等式化为(x-x1)(x-x2)⋅⋅⋅(x-xn)1不穿知：在x=-2时，（x+2）的次数为1次是奇>0(<0))，并将各因式x的系数化“+”；数，&there4;图像会穿过根x=-2，同理图像也会穿过x=12求根，并在数轴上表示出来；和x=3。由图可不等式解集{x|-2<x<1或x>3}3由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；4若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”，则7,[练11]解不等式随堂练习3(1)x-2<23x[练9]解不等式：(x-2)(x-3)(x+1)<03x-1(2)≥0解：①检查各因式中x的符号均正；(x+2)(x-3)2x-2x-3②求得相应方程的根为：-1，2，3解：(1)<0x(x+1)(x-3)<0x③在数轴上表各根并穿线，每根穿一次如下图：x<-1或0<x<3，∴原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<3}．∴不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.2(x-1)(x+x+1)[练10]解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0(2)≥0(x+2)(x-3)2解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)≤0；(x+2)(x-1)(x-3)≥0x≠-2且x≠3②求得相应方程的根为：-2(二重)，-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：∴原不等式的解集为{x|-2<x≤1或x>3}．④&there4;原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}．2[巩固3]已知对于任意实数x，kx-2x+k恒为正数，课后提升求实数k的取值范围。[巩固1]解下列不等式：解：显然k=0时，不合题意，于是：(1)x2-2x-8<0(2)x2-4x+4≤0k>0k>02(-2)2-4k2<0k-1>022(3)x-x+2<0(4)x-x-6≥0k>0k>1解：(1)不等式可化为(x+2)(x-4)<0k<-1或k>1&there4;不等式的解集是{x|-2<x<4}．12[巩固4]已知不等式ax+bx+1>0的解为-<x(2)不等式可化为(x-2)2≤0212∴不等式的解集是{2}．<，求a和b的值，并解不等式bx-5x-a≤0．312711(3)不等式可化为x-+<0，所以无解．224解：题意-和是方程ax+bx+1=0的两根，23(4)不等式可化为(x+2)(x-3)≥011b111方法1：韦达定理：-+=-，-×=∴不等式的解集是{x|x≤-2或x≥23a23a解得a=-6，b=-1．[巩固2]解下列不等式方法2：直接代入方程得：52x-1(1)x>1(2)x+2≥3121a×-2+b×-2+1=0a=-65-x得，解：(1)>0⇒x(x-5)<0⇒0<x<5，121b=-1xa×3+b×3+1=0∴原不等式的解集为{x|0<x<5}．22∴不等式bx-5x-a≤0为x+5x-6≥0，2x-1x+7(2)-3≥0⇒≤0⇒-7≤x<-2，解得x>1或x<-6．&there4;不等式解集为{x|x>1或x+2x+2&there4;原不等式的解集为{x|-7≤x<-2}．x<-6}8,2[巩固5](2021秋•顺义区高一期末)[巩固7]已知f(x)=ax+bx+c．2已知不等式ax-5x+2<0．(1)当a=-1，b=2，c=4时，求f(x)≤1解集；(1)若1是不等式的一个解，求a的取值范围；(2)当f(1)=f(3)=0，且当x∈(1,3)时，f(x)≤121(2)若ax-5x+2<0的解集是<x<2，求不恒成立，求实数a的最小值．222解：(ⅰ)当a=-1，b=2，c=4时，f(x)=-x+2x等式-ax+(2a+3)x-6<0的解集。+4，2解：(1)不等式ax-5x+2<0的解集是m，2则f(x)≤1即x-2x-3≥0，2由1∈m，∴a⋅1-5⋅1+2<0，解得a<3；∴(x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1，或x≥3．∴a的取值范围是(-∞,3)．所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；1(2)若m={x2<x<2，(ⅱ)因为f(1)=f(3)=0，12所以f(x)=a(x-1)(x-3)，f(x)=a(x-1)(x-3)则和2是方程ax-5x+2=0的两个根，2115≤1在x∈(1,3)恒成立，即-a≤在x+2=(x-1)(3-x)2a由根与系数的关系知12，解得a=2，∈(1,3)恒成立，×2=2a(x-1)+(3-x)22而0<(x-1)(3-x)≤=1，当且∴不等式-ax+(2a+3)x-6<0，22即为：-2x+7x-6<0，仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．231∴2x-7x+6>0，解得x<或x>2，&there4;≥1，2(x-1)(3-x)3&there4;不等式的解集为{x|x<或x>2}．所以-a≤1，即a≥-1．22所以a的最小值是-1；[巩固6]已知关于x的不等式ax-x+1-a≤0．(Ⅱ)或解：f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒(1)当a>0时，解关于x的不等式；成立，2即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立．(2)当2≤x≤3时，不等式ax-x+1-a≤0恒2令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax-4ax+3a-1=成立，求实数a的取值范围。2a(x-2)-a-1．解：(1)ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax+a-1)≤①当a=0时，g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立，符1-a合；0，当a>0时，不等式化为(x-1)x-a≤0，②当a>0时，易知在x∈(1,3)上恒成立，符合；1-a11-a①当a>1，即0<a<2时，1≤x≤a，③当a<0时，则-a-1≤0，所以-1≤a<0．②当1-a=1，即a=1时，解不等式得x=1，综上所述，a≥-1所以a的最小值是-1．a21-a11-a③当<1，即a>时，得≤x≤1．a2a11-a综上：当0<a<2时，不等式解集为x1≤x≤a1当a=时，不等式的解集为{x|x=1}，211-a当a>2时，不等式的解集为{xa≤x≤1．22(2)由题意不等式ax-x+1-a≤0化为a(x-1)≤x-1，当x∈[2，3]时，x-1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，&there4;11原不等式可化为a≤恒成立，设f(x)=，x∈x+1x+11[2，3]，则f(x)的最小值为f(3)=，&there4;a的取值范围是41-∞，4．9,第三讲基本不等式3.基本不等式的变形应用模块一基本不等式应用条件：一正、二定、三相等课堂精讲变式一：a+b≥2ab，用求a+b的最小值。22变式二：a+b≥ab，用于求ab积的最大值。我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等1例1当x>0时，求x+的最小值。式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面x11解：∵x>0，&there4;x+≥2x∙=2就来研究这个问题。xx1由完全平方公式：a-b2=a2+b2-2ab当且仅当x=时取等，即x=1时等号成立，x1我们知道,平方具有非负性，所以上面的代数式&there4;x+的最小值的是2x2222满足：a+b-2ab≥0a+b≥2ab，该不等式22在数学中具有重要的作用，我们把：a+b≥2ab中a随堂练习a+b和b代换为a和b，可得：≥ab.42[练1](2021秋•阎良区高一期末)函数y=x+x-1(x>1)的最小值是(C)1.基本不等式A.3B.4C.5D.6a+b对于任意两个正实数a，b有：≥ab，当42解：∵x>1，&there4;x-1>0，&there4;y=x+x-1a+b且仅当a=b时，等号成立。我们称不等式2≥44=x-1++1≥2(x-1)∙+1=5a+bx-1x-1ab为基本不等式，也称均值不等式。其中叫24当且仅当x-1=即x=3时取等号，x-1a，b的算术平均值，ab叫做a，b的几何平均值。4&there4;函数y=x+(x>1)的最小值是5，x-1[练2](2021秋•高要区校级期中)若x>1，则函数y=2.基本不等式的几何解释9x+的最小值为(B)作一圆，直径为AB，过C作垂线，连接AC、BCx-1设AD=a，BD=b，则圆的半径OH=a+bA.6B.7C.8D.92ADCD解：∵x>1，x-1>0&there4;x+9=x-1+9由ΔACD~ΔBCD可得：=BDx-1x-1CD9CD2=AD⋅BD，&there4;CD=ab+1≥2(x-1)⋅+1=7当且仅当x=4取等(x-1)由图可得不等式：OH≥CD恒成立，当且仅当1[练3]设x>0，则3-3x-的最大值是(D)xCD=OH，即OA=OB时取等号。A.3B.3-22HCC.-1D.3-23111解：∵x>0，&there4;3x+≥23x⋅=23，当且仅当3x=，xxxADOB311即x=3时等号成立．&there4;3-3x-x=3-3x+x≤3-2310,[练4]当直线在x轴上和y轴上的截距(直线与坐标轴[练5](2020•新课标Ⅱ改编)ΔABC中角A,B,C所对的交点离原点的距离)分别为a,b时，直线的解析边为a，b，c。已知：A=120°,a=3，求ΔABC周xy式可以用+=1表示。已知直线l过点P(1ab长的取值范围。,2),与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O解：由题意A=120°，a=3，可知：三角形ABC在以a为坐标原点。(1)若ΔOAB的面积为25，求直线l的方程；为弦长的圆上运动。如图所示，L=a+b+c4222(2)求ΔOAB的面积的最小值。其中:(b+c)=b+c+2bcxy解：(1)由题意设直线l:+=1(a,b>0)由均值不等式可知：b2+c2≥2bcab1+2=1a=55&there4;(b+c)2=b2+c2+2bc≥4bc,当且仅当b=c时取aba=则，解得5或4，S=1ab=25b=b=10242等，即△ABC为等腰△时周长可以取到最大值，此时：&there4;直线l:x+2y-5=0或8x+y-10=0；a2a由图可得：=sin60°⇒b==3,(2)∵1=1+2≥21⋅2，b2sin60°ababA&there4;Lmax=33,A&there4;ab≥8，1由△构成条件：b+c>aBC&there4;S=ab≥4，此时a=2，b=4，2&there4;23<l≤33,∴δabc面积最小值为4，此时直线l:2x+y=4上面的例题，利用代入消元的方法，消去了一个模块二构造法解决二元最值未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对课堂精讲其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二由模块一的知识,我们知道了：在任意的正二项元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有式中，我们可以通过套用基本不等式来解决正二项可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代改写二元代数式的方法。数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式的最值呢？1.数字“1”的构造题目给定二元变量关系mx+ny=t时，我们可例2(2022春•渝中区校级月考)已知正实数x，y满mn足xy+2x-2=0，则4x+y的最小值是(b)以将不等式化为：tx+ty=1．然后在问题所涉a.2b.42-2及的二元代数式中构造“1”,再将上面改写的“1”代c.43-2d.6入化简，会出现：ax+cy分子分母倒置的形式，再bydx解：∵正实数x，y满足xy+2x-2=0，使用均值不等式即可求最值。2∴xy=2-2x，∴y=-2，axcyaxcy2acx+≥2⋅=(出现定值)。bydxbydxbd22∴4x+y=4x+-2≥24x⋅-2=42-2，当xx22且仅当4x=，即x=时取“=”x211,例3(2021秋•凉州区期末)已知ab>0，a+b=1，则随堂练习11a+b的最小值为(D)14[练6]已知正实数x，y满足x+y=2，则+的最xyA.0.5B.1C.2D.4小值为(A)11解：∵ab>0，a+b=1，&there4;a>0，b>0，+=9abA.B.5C.9D.10211baa+b(a+b)=a+b+2≥2+2=4，14114解：+=+(x+y)=xy2xyba1(当且仅当=，即a=b=时，等号成立)ab21y4x1y4x921+x+y+4≥25+2x⋅y=22.结构化构造[练7]已知x>0，y>0，2x+y=2，则1+2的最小xy通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的值是(C)二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写。A.1B.2C.4D.6例4若正实数x，y满足x+y=1，则4+1的12121y4xx+1y解：x+y=x+y(2x+y)×2=x+y+4×9111最小值为22≥(24+4)×2=4，当x=2，y=1取等解：∵x>0，y>0，x+y=1，&there4;x+1+y=2，[练8](2021秋•湛江期末)已知a>0，b>0，且2+a41x+1+y411+=∙(+)=1，则2a+b的最小值是(B)x+1y2x+1yb14yx+119=(1+4++)≥(5+24)=，当A.8B.9C.10D.112x+1y22212b2a12解：2a+b=(2a+b)a+b=a+b+5，∵a>0，b>且仅当x=，y=取等号。332b2a2b2a2b2a0，&there4;>0,>0，&there4;+≥2⋅=4ababab3.初识成立与恒成立[练9](2021秋•城厢区校级期中)已知m>0，n>0，12我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对m+n=1，则+的最小值为(C)mn+1于成立与恒成立的翻译如下：5A.1B.+22设词结论C.3+2D.1023恒成立a≤h(x)min121a≤h(x)解：∵m+n=1，&there4;m+(n+1)=2，则m+n+1=2[m+有解a≤h(x)max121n+12m1成立a≤h(x)max(n+1)]m+n+1=21+2+m+n+1≥2(3+恒成立a≤h(x)3max22)=+2，当且仅当m=22-2，n=3-22时2a≥h(x)有解a≤h(x)min14[练10]设a>0，b>0，+=2，则使得a+b≥m成立a≤h(x)minab恒成立，求m的取值范围是(C)例5(2021秋•兰山期中)已知a>0，b>0，a+2b=A.(-∞,9)B.(0，1]2ab，若2a+b≥2m-9恒成立，则m的最大值(C)9C.-∞,D.(-∞，8]2A.1B.2C.3D.71141b4a122b2a解：a+b=2(a+b)a+b=25+a+b解：2a+b=(2a+b)b+a=5+a+b1b4a92b2a2b2a12≥25+2a⋅b=2，当且仅当b=2,a=≥5+2⋅=9，当且仅当=且+ababba3=1，即a=b=3时取等号，2a+b≥2m2-9恒成立，则时取“=”，若使得a+b≥m恒成立，则m的取222(2a+b)min≥2m-9，&there4;9≥2m-9，得-3≤m≤399值范围是m≤2，即-∞，2．故选：C．12,212m[练11]若x>0，y>0，且+=1，x+2y>m+[练13]已知函数y=x+(m>0)．xyx-17m恒成立，则实数m的取值范围是(A)(1)若m=1，求当x>1时函数的最小值；A.-8<m<1b.m<-8或m>1(2)当x<1时，函数有最大值-3，求m的值。C.m<-1或m>8D.-1<m<811214yx解：(1)m=1时，y=x+=x-1++1．解：x+2y=(x+2y)+=4++≥4+x-1x-1xyxy∵x>1，&there4;x-1>0．4yx22⋅=8，当且仅当x=2y=4时等，若x+2y>m+7mxy11&there4;y=x-1++1≥2(x-1)+1=3．恒成立，必有m2+7m<8，得-8<m<1．x-1x-11[练12](2021秋•滨海新区校级期中)设x+y=6(x>当且仅当x-1=x-1，即x=2时取等号．0,y>0)，且1+1的最小值为m．&there4;当x>1时函数的最小值为3．x+1y(2)∵x<1，&there4;x-1<0．(1)求m；mm(2)若关于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集为&there4;y=x-1+x-1+1=-1-x+1-x+1≤全体实数，求a的取值范围。-2(1-x)m+1=-2m+1．1-x解：(1)∵x+y=6(x>0,y>0)，&there4;(x+1)+y=7，m当且仅当1-x=，即x=1-m时取等号．&there4;1+1=1+1[(x+1)+y]×1=1-xx+1yx+1y7即函数的最大值为-2m+1，&there4;-2m+1=-3,解yx+1114x+1+y+2×7≥(21+2)×7=7，当且仅当得：m=4．yx+1574=，即x=，y=时取等号，&there4;m=．x+1y2272(2)关于x的不等式ax-ax+m≥0的解集R⇔关于24x的不等式ax-ax+≥0的解集R，74①当a=0时，≥0恒成立，7a>016②当216时，则0<a≤，△=a-a≤077综上，a的取值范围为0，167．(2)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并模块三基本不等式解决应用题求出最低成．课堂精讲解：(1)年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：22xx1初中阶段我们学习了用函数方法解决实际生活z=16x-10-30x+4000=-10+46x-4000=-10(x-2中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学230)+1290，(150≤x≤250)，习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。当x=230时，zmax=1290(万元)，2x(2)年产量为x吨时，每吨的平均成本为w万元，为y=-例6某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在15010yx400014000030x+4000．∴w=x=10x-30=10x+x-吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产x230，(150≤x≤250)，量(吨)之间的函数关系式近似地表示为y=-1040000∵x+≥240000=400(x=200等号成立)30x+4000．问：x1(1)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨∴x=200时，w最小=×400-30=10．10时，可获得最大利润？并求出最大利润；年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．13,[练15]某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与随堂练习k年促销费用m万元(m≥0)满足：x=3-[练14]在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量m+1(k为常数)，不搞促销，该产品年销售量是1万件。y(千辆>0)．2υ+3υ+1600生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5车流量最大？最大车流量为多少?倍(成本为固定投入和再投入)。(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小(1)求产品利润y与年促销费用m的函数；时，则汽车的平均速度应在什么范围内?(2)促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?920υ920920解：(1)y==≤，υ2+3υ+1600160083解：(1)当m=0时，x=1，&there4;1=3-k，即k=2，3+v+v28+16x1600&there4;x=3-；每件产品售价为1.5×当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，m+1xv&there4;y=x1.5×8+16x&there4;y=920(千辆/时)．x-(8+16x+m)max832当v=40km/h时，车流量最大，约为920千辆/时=4+8x-m=4+83-m+1-m8316(2)由条件得920υ>10，=-m+1+(m+1)+29(m≥0)．2υ+3υ+160016整理得v2-89v+1600<0，(2)∵利润函数y=-m+1+(m+1)+29，16即(v-25)(v-64)<0，解得25<v<64，∴当m≥0时，+(m+1)≥216=8，m+1∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆>0，y>0，+nxy=1，则2x+y的最小值为(C)A.42B.6C.22D.9212m2nA.7B.8C.9D.10解：2m+n=(2m+n)m+n=n+m+5≥212y2x2m2n2m2n解：2x+y=(2x+y)+=5++≥5+2⋅+5=9，当且仅当=，即m=n=3取等xyxynmnm2x2y2x2y192⋅=9，当且仅当=，即x=y=3时取等号．[巩固4]设a>0，b>0，+=1，若不等式a+b≥yxyxabm恒成立，则实数m的取值范围是(B)[巩固2](2021秋•桐庐县校级月考)已知x>0，y>0，且x+2y=1，则1+1的最小值是(B)A.(-∞，8]B.(-∞，16]xyC.(-∞，7]D.[16，+∞)A.2+1B.3+22199abC.2-1D.3-22解：a+b=(a+b)a+b=1+b+a+9≥1011112yx+29a⋅b=16，当且仅当b=3a，a=4，b=12，上解：x+y=x+y(x+2y)=3+x+y≥3+ba2yx2yx式取得等号，由a+b≥m恒成立，可得m≤(a+b)min2⋅=3+22，当且仅当=，x=2y时等xyxy=16，14,11x2-6x+3m[巩固5]若实数x+2y=4x>1,y>2，则x-1+[巩固9]函数y1=,y2=,x>0xx12y-1的最小值为(D)(1)求y1的最大值与最小值；14A.B.1C.D.2(2)当1≤x≤5时，y1≥y2恒成立，求实数m的取23111解：令m=x-1,n=2y-1，&there4;m+n=2，&there4;+=值范围。mn2111mnx2-6x+33(m+n)m+n=21+n+m+1≥解：(1)∵x>0，&there4;f(x)==x+-6≥xx1mnx-12y-12+2⋅=2，当且仅当=且x+2y2nm2y-1x-123-6，当且仅当x=3时取等号，=4即y=1，x=2时取等号&there4;函数f(x)的值域为[23-6，+∞)．212[巩固6]已知x>0，y>0，且x+2y=1，+≥mxy2(2)当x∈[2，5]时，f(x)≥g(x)恒成立，即x-6x++7m恒成立，则实数m的取值范围是(A)3≥m，x∈[2，5]恒成立，A.-8≤m≤1B.m≤-8或m≥122又x-6x+3=(x-3)-6≥-6，C.-1≤m≤8D.m≤-1或m≥821214yx&there4;-6≥m，即实数m的取值范围为(-∞，-6]．解：+=(x+2y)+=++4≥4+24=xyxyxy4yx12128(当=即x=2y=时取等)∵不等式+≥m+xy2xy[巩固10]某旅游公司在相距为100km的两景点间开27m成立，&there4;m+7m≤8，得-8≤m≤1．设了一个游船观光项目。游船最大时速为50km/h，23[巩固7]设x>0，y>0，设+=1，若3x+2y>游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游xy船速度为20km/h时，燃料费用为每小时60元。其它2m+2m恒成立，则实数m的取值范围是(C)费用为每小时240元，单程的收入为6000元。A.{x|x≤-6或x≥4}(1)当游船以30km/h航行时，旅游公司单程获得B.{x|x≤-4或x≥6}的利润是多少？(利润=收入-成本)C.{x|-6<x<4}(2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利d.{x|-4<x<6}234y9x润最大，最大利润是多少？解：3x+2y=+(3x+2y)=++12≥xyxy解：(1)设游船的速度为v(km h="">m+2222m恒成立，m+2m<24，解得m∈(-6,4)．∵游船的燃料费用为每小时k∙v元，依题意k∙20=513[巩固8](1)x<，求y=4x-2+的最大值60，则k=．(2分)44x-5202x+232100100(2)求函数y=x-1(x>1)的最小值。&there4;y=6000-20v∙v+240∙v=6000-15v解：(1)y=4x-2+1=-(5-4x)+1240004x-55-4x+3-(0<v≤50)．v1≤-2(5-4x)⋅+3=-2+3=1，当且仅当x=v=30km h="">0}素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规(4)所有三角形构成的集合．律表述清楚后才能用省略号。解：集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．4.描述法表示集合5.数集与点集定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中2(1)对于集合A=x|x+x-1=0，A中的元素是所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示2方程x+x-1=0的解，A即方程的解构成的集合；为x∈A|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法。不等式型的数集在分析问题时，借助数轴进行分析。典例：不等式x-7<3的解集x∈R|x-7<3；奇数集x∈Z|x=2k+1,k∈Z或x∈Z|x=2k-1,k∈Z；q(2)对于集合N=x,y|2x-y+4=0，N中的元有理数集可以表示为Q=x∈Z|x=,p,q∈Z,p≠0p素为直线2x-y+4=0上的所有的点构成的集合；◎使用描述法时要注意一下几点：点集在分析时，可以借助平面直角坐标系进行分析。(1)若集合中x属于自然数集时，可以简写，即x∈R|x>1可以写为x|x>1;随堂练习(2)写简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、[练1]（多选）下列各组不能构成集合的是(BC)集合图形等；A.数学必修一课本中所有的难题；(3)不能出现未被说明的字母，如x∈Z|x=2mB.本班16岁以下的全体同学；中m未被说明，故元素是不确定的；C.方程x-4的所有解；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如D.2的近似值的全体．“x∈Z|x=2m,m∈N”不符合要求，应将“m∈N”解：A不能，集合具有确定性，而“难题”无法确定具体范围，不构成集合．B能，能确定具体范围，且元素之间可写进“”中，即x∈Z|x=2m,m∈N；区分，满足集合要求，能构成集合．C能，x-4解为x=(5)多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元4，是确定的，能组成集合．D不能，集合具有确定性，对素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2．“近似”的精确度没有明确，不能组成集合17,[练2]下列四组对象中能构成集合的是(D)[练6]用描述法表示下列集合：A.昆明八中学习好的学生(1){2，4，6，8，10，12}；12345B.在数轴上与原点非常近的点(2){，，，，}；34567C.很小的实数(3)正偶数集；D.倒数等于本身的数(4)被3除余2的正整数组成的集合；解：∵集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习(5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符解：(6){1，22，32，42，…}．合确定性；&there4;A，B，C错误，对于D，符合集合的定义，D(1){x∈N|2≤x≤12，且x是偶数}；正确，故选：D．(2){x|x=n，n∈N且1≤n≤5}；n+2[练3]下面四个说法中错误的是(CD)(3){x∈N*|x=2k，k∈Z}*A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}(4){x∈N|x=3n+2，n∈Z}；B.由1，2，3组成集合可为{1，2，3}或{3，2，1}(5){(x,y)|x∙y=0，x∈R，y∈R}；2(6){x|x=n2，n∈N*}．C.方程x-2x+1=0的所有解的集合是{1，1}D.0与{0}表示同一个集合解：10以内质数的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；[练7]已知集合A={x|x2-2x+k>0}，2方程x-2x+1=0的所有解的集合是{1}，C错(1)当k=-3时，求集合A；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误(2)若A=R，求实数k的取值范围。x+y=3[练4]下列集合表示解集的是(C)x-y=1解：(1)k=-3时，由x2-2x-3>0A.{2，1}B.{x=2，y=1}得(x-3)(x+1)>0，C.{(2,1)}D.{(1,2)}&there4;x<-1或x>3，解：∵x+y=3&there4;x=2&there4;A={x|x<-1或x>3}．x-y=1y=12(2)依题意x-2x+k>0对一切实数x恒成立，x+y=3则方程组的解集的是{(2,1)}选：C．x-y=1则△=(-2)2-4k<0，…(6分)解得k>1，[练5]用另一种方法表示下列集合即实数k的取值范围是(1,+∞)．(1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}；(2){0，1，4，9，16，25，36，49}；(3){平面直角坐标系中第二象限内的点}．解：(1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}={(3,2)，(6,0)，2(0,4)}；(2){0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=n，n∈N，0≤n≤7}；(3){平面直角坐标系中第二象限内的点}={(x,y)|x<0，y>0}．18,模块二元素与集合的关系随堂练习1[练1]给出关系：①∈R；②2∈Q；③|-3|∈N；④2课堂精讲|-3|∈Z；⑤0∉N，正确的有几个(B)1.元素与集合的关系A.1B.2C.3D.4关系概念记法读法1解：①∈R，正确；②2∈Q，错误；③|-3|∈N，正2a是集合A的元素，就说aa属于集确；④|-3|∈Z，错误；⑤0∉N，错误，正确2．属于a∈A属于集合A合A[练2]下列关系中正确的是(C)A.2∉RB.0∈N*a不是集合A中的元素，就a不属于不属a∉A12C.∈QD.π∈Z于说a不属于集合A集合A3解：A.2∈实数，&there4;A错；B.N*是正整数集，可知0例3设集合A={x|x<2}，则(D)∉N*，&there4;B错,C.1是有理数，&there4;C正确；D.π2=π3A.2∈AB.3&sube;A是无理数，Z是正整数集，&there4;D错；故选：C．C.3∉AD.3∈A2[练3]已知集合M={a，2a-1，2a-1}，若1∈M，则解：∵A中元素范围为(-∞,2)，则AC错误，D正确，M中所有元素之和为(C)而选项B，符号&sube;表示集合与集合的关系，&there4;B错，A.3B.1C.-3D.-12.元素的特性解：若a=1，则2a-1=1，不满足集合的互异性，舍去．若2a-1=1，则a=1，不满足集合的互异性质含义示例2性，舍去．若2a-1=1，则a=-1，或a=1，由(1)可对于任意一个元素，要么知a=1不合题意，当a=-1时，2a-1=-3，此时M确定它属于某个指定集合，要集合A=1,2,3，则1∈={-1，-3，1}，故M中&there4;元素之和为-3．故选：C．性么它不属于该集合，二者A，4∉A必居其一[练4]A=1,2,3，集合B=zz=x-y,x,y∈A，则2同一个集合中的元素是互方程x-2x+1=0的集合B中元素的个数为(B)互异根构成的集合只有一个不相同的，相同的元素只性元素1，不出现两个重复A.4B.5C.6D.7出现一次的1解：∵A=1,2,3，B=zz=x-y,x∈A,y∈A，&there4;集合中的元素没有先后顺x=1,2,3，y=1,2,3当x=1时，x-y=0,-1,-2当x无序序，任意改变集合中元素集合1,2和2,1是同性的排列顺序，它们仍然表一个集合=2时，x-y=1,0,-1当x=3时，x-y=2,1,0即x示同一集合-y=-2,-1,0,1,2，即B=-2,-1,0,1,2共5个元素2[练5]已知集合P={-1，2a+1，a2-1}，若0∈P，则例4A={x，x}(x∈R)，若1∈A，则x=-122解：集合A={x，x}(x∈R)，∵1∈A，即x=1或x实数a的取值集合为(C)=1，得x=1或x=-1当x=1时，违背集合互异性1A.-2,-1B.{-1，1}2例5若2∈{1，a+1，a+1}，则a=(D)11C.-2,1D.-2,-1,1A.2B.1或-12解：由于集合P={-1，2a+1，a-1}，0∈P，&there4;2a+1C.1D.-12112=0或a-1=0，&there4;a=-或a=±1；当a=-时，a解：2∈{1，a2+1，a+1}，则a+1=2或a2+1=2，&there4;223a=1或-1，当a=1时，a2+1=a+1，不合异性，舍-1=-，满足条件；当a=1时，2a+1=3，满足条件；42去；当a=-1时，a+1=0，a+1=2，合题，a=-1当a=-1时，2a+1=-1，与元素的互异性矛盾，舍去；19,[练6]用符号“∈”或“∉”填空[练9]设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x．(1)0∈N，5∉N，16∈N；(1)求实数x应满足的条件；(2)2-3+2+3∈{x|x=a+6b，a(2)若-2也是集合A的一个元素，求实数x．∈Q，b∈Q}．解：(1)∵0是自然数，&there4;0∈N；∵5不是自然数，&there4;5∉N；∵16=4是自然数，&there4;16∈N；2(2)∵(2-3+2+3)=2-3+2+3+2=6，&there4;2-3+2+3=6=0+1×6，故2-3+解：2+3∈{x|x=a+6b，a∈Q，b∈Q}．b[练7]含有三个实数的集合既可表示为{b,,0}，也可a表示为{a，a+b，1}，则a+b值为0。b解：∵集合{b，，0}={a，a+b，1}，a2[练10]已知集合A={x∈R|ax-3x+2=0}．b由于中a≠0，&there4;a+b一定等于0，即a+b=0，a=a(1)集合A中的方程无解，求实数a的取值范围；b-b；&there4;=-1，在后一种表示的集合中有一个元素是1，a只能是b，&there4;b=1，&there4;a=-1，&there4;a+b=0，故答案为：0。(2)若A是单元素集，求a的值及集合A．[练8]已知集合A=xax2-3x+2=0，若A中至少解：(1)若A=∅，则集合A无真子集，29这时关于x的方程ax-3x+2=0无实数解，-∞,有一个元素，则a的取值范围是89则a≠0，且△=9-8a<0，解得a>；82解：A中至少有一元素，则ax-3x+2=0至少有一解(2)若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分2当a=0时，方程ax-3x+2=0等价为-3x+2=0，即为两种情况：2x=，满足条件．223①a=0时，-3x+2=0，x=，A={}；339当a≠0，判别式Δ=9-8a≥0，解得a≤8且a≠0．②a≠0时，则△=9-8a=0，99解得a=9，A={4}；综上，a的取值范围为a≤8，即a∈-∞,883[巩固2]A={x∈Z|-1<x<3}元素个数是(c)课后提升a.1b.2c.3d.4[巩固1]下面给出的选项中，能组成集合的是(d)解：∵集合a={x∈z|-1<x<3}={0，1，2}，∴集a.高一某班个子较高的同学合a中元素的个数是3．故选：c．b.比较著名的科学家c.无限接近于4的实数[巩固3]设集合a={x|x>2}，则(B)D.到一个定点的距离等于定长的点的全体A.3∉AB.5∈A解：选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标C.2∈AD.0∈A准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组解：∵集合A={x|x>2}，&there4;3∈A，A错误；5∈A，成集合．故选：D．B正确；2∉A，C错误；0∉A，D错误．20,[巩固4]若集合{x|ax2-x+1=0}中只有一个元素，2[巩固9]集合A={x∈R|ax+2x+1=0}，a∈R．则实数a的值为(D)(1)若1∈A，用列举法表示A；211A.4B.0C.4D.0或4(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集解：分类讨论(1)当a=0时，方程的解为x=1，符合合B．1题意；(2)当a≠0时，由△=1-4a=0得a=．4112解：(1)∵∈A，&there4;是方程ax+2x+1=0的根，22[巩固5]根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。121&there4;a()+2×+1=0，解得a=-8．&there4;方程为22(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国-8x2+2x+1=0．1111∈A，美国∉A，印度∈A；&there4;x1=2，x2=-4，此时A=-4,2．1(2)若A=x|x2=x，则-1∉A；(2)若a=0，则方程为2x+1=0，x=-，A中仅有22一个元素；(3)若A=x|x+x-6=0，则3∉A；若a≠0，A中仅有一个元素，则△=4-4a=0，即a(4)若A=x∈N|1≤x≤10，则8∈A，=1，方程有两个相等的实根x1=x2=-1．故所求集9.1∉A．合B={0，1}．2[巩固6]方程的解集为x∈R|2x-3x-2=0，用列2[巩固10]已知A={x|ax+2x+1=0，a∈R}．1{-,2}举法表示为2(1)若1∈A，用列举法表示A；211解：2x-3x-2=0得x=-或x=2，故{-,2}22(2)当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的2[巩固7]已知集合B={a，a，2}，1∈B，则实数a的集合B．值为-12解：A={x|ax+2x+1=0，a∈R}．22解：∵1∈B，B={a，a，2}，&there4;a=1，解得a=±1，a2(1)当1∈A时，ax+2x+1=0的实数根为1，=1时，不满足元素互异性，&there4;a=-1．&there4;a+2+1=0，解得a=-3；[巩固8]用列举法表示下列集合：2&there4;方程为-3x+2x+1=0，2(1)A={x|x(x-4)=0，x∈R}；11解得x=1或x=-；&there4;A={1，-}；33x+y=51(2)B={(x,y)|}；(2)当a=0时，2x+1=0，解得x=-，2x-y=121(3)C={x∈N|-3≤2x+1<5}．A={-}；22当a≠0时，若集合A只有一个元素，解：(1)由x(x-4)=0解得x=0，或x=±2，则A=2由一元二次方程ax+2x+1=0{0，-2，2}；判别式△=4-4a=0，解得a=1；x+y=5(2)由，解得x=2，y=3，则B={(2,3)}；2x-y=1综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素(3)由-3≤2x+1<5，解得-2≤x<2，x∈N，则C&there4;a的值组成的集合B={0，1}．={0，1}．21,第五讲集合的关系与运算模块一集合的关系BA或B(A)课堂精讲特别提醒：◎情境1观察集合：E为第一中学高二(5)班全体女&diams;“A是B的子集”含义是：A的任何一个元素都是生组成的集合，F为这个班全体同学组成的集合．B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B．&diams;问题：集合F都包含集合E的元素吗？&diams;当A不是B的子集时，我们记作“A⊈(或B⊉)”，&diams;设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集读作：“A不包含于B”(或“B不包含A”)．合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。2.集合相等若集合A是集合B的子集(A&sube;B)，且集合B是◎情境2我们知道，实数可以比较大小，如1<2．类集合A的子集(B&sube;A)，则此时两集合元素一样，那比实数比较大小，集合是否也可以“比较大小”呢？&diams;问题1:数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部么就说集合A与集合B相等，记作A=B．代表集合，这种图称为Veen图。集合A=1,2,3，3.真子集B=1,2,3,C=1,2,3,4，把A、B、C用韦恩图表若A&sube;B且A≠B，就说集合A真包含于集合B示如下，你能说出集合A与B，C之间的关系吗？(或集合B真包含集合A)，那么集合A是集合B的真子集，记作A⊊B或(B⊋A)．&diams;问题2:已知集合A=x|x>0,B=x|x>-1，BA尝试用数轴表示集合A、B，你能说出集合A与集合B之间的关系吗？4.空集定义：不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示&diams;设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的关系有初步的感知。的真子集，空集本身没有真子集。n*例1已知集合A={x|x=2，n∈N}，B={x|x=1.子集*2n，n∈N}，则(A)一般地，两个集合A，B，若集合A中任意一个元A.A&sube;BB.B&sube;A素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包C.A∩B=∅D.A=Bn*解：集合A={x|x=2，n∈N}={2，4，8，16，…}，含关系，称集合A为集合B的子集，记作A&sube;B(或B*B={x|x=2n，n∈N}={2，4，6，8，10，12，14，&supe;A)读作“A含于B”(或B包含A)．16，…}，所以A&sube;B．故选：A．22,2例2下列各组中M、P表示同一集合的是(C)[练5]已知集合A={2，4，a}，B={2，a+6}，若B&sube;A.M={3，-1}，P={(3,-1)}；A，则a=(C)B.M={(3,1)}，P={(1,3)}；A.-3B.-2C.3D.-2或322C.M={y|y=x-1}，P={t|t=x-1}；2解：因为B&sube;A，若a+6=4，则a=-2，a=4，集合22D.M={y|y=x-1}，P={(x,y)|y=x-1}2A中的元素不满足互异性，舍去；若a+6=a，则a=解：在A中，M={3，-1}是数集，P={(3,-1)}是点集，二者不是同一集合，A错；在B中，M={(3,1)}，P3或-2，因为a≠-2，所以a=3．故选：C．2={(1,3)}表示不同点，B错；在C中，M={y|y=x-2[练6]已知集合A={x|ax+2x+1=0，a∈R}，21}=[-1，∞)，P={t|t=x-1}=[-1，+∞)，故C(1)若A只有一个元素，求a值，并求出这个元素；2正确；在D中，M={y|y=x-1}是数集，P={(x,y)|y=x2-1}是一条抛物线，D错。选C.(2)若A是空集，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．随堂练习解：(1)若A中只有一个元素，2则方程ax+2x+1=0有且只有一个实根，[练1]下列集合与集合A={1，3}相等的是(C)当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，x=A.(1,3)1-，B.{(1,3)}22当a≠0，此时△=4-4a=0，得：a=1，此时x=-1C.{x|x-4x+3=0}2(2)若A是空集，则方程ax+2x+1=0无解D.{(x,y)|x=1，y=3}2此时△=4-4a<0，解得：a>1.解：∵{x|x-4x+3=0}={1，3}，&there4;与集合A={1，2(3)若A中至多只有一个元素，3}相等的是{x|x-4x+3=0}．故选：C．则A为空集，或有且只有一个元素，[练2]若集合M={x|x≤6}，a=5，则下面结论中正由(1)(2)得满足条件的a的范围是：a=0或a≥1.确的是(A)2[练7]已知y=x-2mx+1，m为常数。A.{a}⊂MB.a⊂M(1)若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．C.{a}∈MD.a∉M2(2)若A={x|1≤x≤2}是B={x|x-2mx+1解：∵集合M={x|x≤6}，a=5，&there4;{a}⊂M≤0}的子集，求m的取值范围。22[练3]设集合P={y|y=x+1)，M={x|y=x+1}，解：(1)∵y≤0的解集为空集，则集合M与集合P的关系是(D)2&there4;△=(-2m)-4<0，A.M=PB.P∈MC.M⊊PD.P⊊M解得：-1<m<1，∴m的取值范围为：(-1,1)．22解：∵y=x+1≥1，即p={y|y≥1}，m={x|y=x2(2)设函数f(x)=x-2mx+1，+1}=r，∴p⊊m，故选：d．∵a是b的子集，[练4]若a={1，2}，b={(x,y)|x∈a，y∈a}，则集2△=(-2m)-4>0&there4;f(1)≤0，合B的子集个数为(C)f(2)≤0A.4B.8C.16D.32解得：m≥5，4解：∵A={1，2}，&there4;B={(x,y)|x∈A，y∈A}={(15&there4;m的取值范围为：[，+∞)．44,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，&there4;集合B子集个数为2=1623,3.交集模块二集合的运算一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组课堂精讲成的集合称为集合A与B的交集,记作A∩B（读我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是作“A交B”），即A∩B={xx∈A且x∈B}否也有类似的运算呢？观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说AA∩BB出集合A与集合B之间的关系吗？例4已知集合A={x|2x-1>5}，B={3，4，5，6}，(1)A=1,3,5，B=1,3,4,6，C=1,3,4,5,6则A∩B=(D)(2)A=x/x是有理数，B=x/x是无理数,A.∅B.{3}C=x/x是实数C.{3，4，5，6}D.{4，5，6}在上述两个问题中，集合A，B与集合C之间都解：由题意：∵集合A={x|2x-1>5}={x|x>3}，具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或B={3，4，5，6}，&there4;A∩B={4,5,6}．故选：D．属于集合B的元素组成的。4.交集的性质1.并集A∩A=AA∩∅=∅一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元A∩B=AA&sube;B.素组成的集合，称为集合A与B的并集,记作A∪B若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B（读作“A并B”），即A∪B={xx∈A或x∈B}例5(2021•荔湾区校级模拟)已知集合A={(x，y)|x+ay-a=0}，B={(x，y)|ax+(2a+3)y-1=AB0}．若A∩B=∅，则实数a=(A)A⋃BA.3B.-1例3若集合M={-2，-1，1}，集合N={0，1}，则MC.3或-1D.-3或11×(2a+3)-a×a=0∪N等于(A)解：若A∩B=∅，则，得a=31×(-1)+a×a≠0A.{-2，-1，0，1}B.{-2，-1，1}C.{-2，-1，0}D.{1}在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的解：∵M={-2，-1，1}，N={0，1}，&there4;M∪N=范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由{-2，-1，0，1}．故选：A．自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在不同范围研究同一个问2.并集的性质2题，可能有不同的结果。例如：方程x-2x-3A∪A=AA∪∅=A=0的解集，在有理数范围内只有一个解2，即:A∪B=AB&sube;A2x∈Q/x-2x-3=0=2若x∈(A∪B)，则x∈A或x∈B.在实数范围内有三个解：2，3，-3，即:2A∪B=∅x0∉A且x0∉Bx∈R/x-2x-3=0=2,3,-324,5.全集2[练3](2021•湖北模拟)设集合A={x|x-16<0}，B一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所={x|x2-5x-6≤0}，则A∪B=(C)有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．A.{x|-1≤x<4}B.{x|-1≤x≤4}C.{x|-4<x≤6}d.{x|-4≤x≤6}6.补集解：由题意：∵a={x|-4<x<4}，b={x|-1≤x≤对于一个集合a，由全集u中不属于集合a的6}，∴a∪b={x|-4<x≤6}．故选：c．所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补2[练4](2021•5月份模拟)集合a={x∈n|x-2x≤集，简称为集合a的补集，记作∁ua，即:0}，b={-1，0，1，2}，则a∪b=(b)∁ua={xx∈u且x∉a}a.{0，1，2}b.{-1，0，1，2}uac.{1，2}d.{-1，0，1}∁ua解：由题意：a={x∈n|0≤x≤2}={0，1，2}，b={-1，0，1，2}，∴a∪b={-1，0，1，2}．例6集合a={x|1<x≤2}，那么∁ra=(d)a.(-∞，1)∪(2，+∞)b.(-∞，1]∪[2，+∞)[练5](2021•河北模拟)集合m={x|0<x<4}，n=c.(-∞,1)∪[2，+∞)d.(-∞，1]∪(2,+∞){x|x-1<2}，则m∩n=(d)解：∵集合a={x|1<x≤2}，∴∁ra=(-∞，1]∪(2a.(0，4)b.[1，5)c.(0，5)d.[1，4),+∞)．故选：d．解：由题意：∵m={x|0<x<4}，n={x|1≤x<5}，∴m∩n=[1，4)．故选：d随堂练习[练6](2021•新高考ⅱ)全集u={1，2，3，4，5，6}，a[练1](2021•北京卷)已知集合a={x|-1<x<1}，={1，3，6}，b={2，3，4}则a∩∁ub=(b)b={x|0≤x≤2}，则a∪b=(b)a.{3}b.{1，6}a.{x|0≤x<1}b.{x|-1<x≤2}c.{5，6}d.{1，3}c.{x|1<x≤2}d.{x|0<x<1}解：∵u={1，2，3，4，5，6}，a={1，3，6}，b={2，解：∵a={x|-1<x<1}，b={x|0≤x≤2}，∴a∪b3，4}，∴∁ub={1，5，6}，a∩∁ub={1，6}．={x|-1<x<1}∪{x|0≤x≤2}={x|-1<x≤2}[练7](2021•毕节市模拟)已知全集u=n，集合a=[练2](2021•汕头二模)已知全集为实数集r，集合ax-3={x|(x+1)(2-x)≥0}，则∁a=(b)xx-1≥0，x∈n，则∁ua=(b)ra.{x|-1≤x≤2}a.{2}b.{1，2}b.{x|x<-1，或x>2}C.{2，3}D.{0，1，2}C.{x|x≤-1，或x≥2}x-3解：由≥0，得x<1或x≥3，&there4;A={x|x<1x-1D.{x|-1<x<2}或x≥3，x∈n}，u=n，则∁ua={x|1≤x<3，x∈解：由题意：∵集合a={x|(x+1)(2-x)≥0}={x|-1n}={1，2}≤x≤2}，∴∁ra={x|x<-1或x>2}．25,2[练8]设集合A={2，3，5}，B={x∈Z|x-6x+m<[练11]设全集是R，集合A=xx2-2x-3>0，B=0}，A∩B={3}，则A∪B=(C)x1-a<x<2a+3．a.{2，3，4}b.{1，2，3，4，5}(1)若a=1，求∁ra∩b；c.{2，3，5}d.{2，3，4，5}解：∵a∩b={3}，b={x∈z|x2-6x+m<0}，∴3是x2-(2)问题：已知_____，求实数a的取值范围。26x+m<0的解，2，5不是x-6x+m<0的解，故△>0，又从下面的三个条件中选一个填在上面进行解答。22∵y=x-6x+m的图象关于x=3对称，&there4;B={x∈Z|x-①A∩B=B②A∪B=R③A∩B=∅6x+m<0}={3},A∪B={2，3，5}解：(1)A=xx<-1或x>3，[练9]已知集合A={x|2≤x≤3}，集合B={x|a<x∴∁ra=x-1≤x≤3．若a=1，则b=<a+4}，若a∩b=∅，求实数a的取值范围．x0<x<5，所以∁ra∩b=x0<x≤3．解：a={x|2≤x≤3}，b={x|a<x<a+4}，(2)选①：a∩b=b，则b⊆a．要使a∩b=∅，需满足a≥3或a+4≤2，2当b=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤-；3即a≥3或a≤-2，1-a<2a+31-a<2a+3当b≠∅时，则有或，∴实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[3，+∞)．2a+3≤-11-a≥32x-2a的取值范围是-∞,-3．[练10]已知a=xx+3<0，b=xax-1=0，选②：a∪b=r，由于bx1-a<x<2a+3且a∩b=b，求实数a的取值范围.1-a<-1有，得a>2，a的取值范围2,+∞．解：A=xx-2<0,x∈R=x|-3<x<2，2a+3>3x+3选③：A∩B=∅，B=x1-a<x<2a+3，因为a∩b=b，所以b⊆a，当b=∅时，ax-1=02当b=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤-；无解，得a=0；311-a<2a+3当b≠∅时，b=xax-1=0=，由b⊆a得2a当b≠∅时，则有1-a≥-1得-<a≤0综上31112a+3≤3-3<<2，解得a<-或a>，a32述，所求实数a的取值范围是-∞,0．11综上：a的取值范围是-∞,-3∪2,+∞∪0.2[巩固2](2021•河南模拟)已知集合A={x|x+x-6课后提升2≤0}，B={x|1-x≤2}，则A∩B=(D)[巩固1]设集合A={x|x-2x-3≤0}，B={x|1≤xA.[-3，-1]B.[-3，1]≤3}，则(A)C.[1，2]D.[-1，2]A.A&supe;BB.A=B解：由题意：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥-1}，C.A&sube;BD.A∩B=∅&there4;A∩B=[-1，2]．故选：D．2解：设集合A={x|x-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，B={x|1≤x≤3}，则A集合包含B集合的所有元素，B集合是A集合的子集且是真子集，故A&supe;B，[巩固3](2021•北仑区校级模拟)已知A={1，2，3，26,4，5，6}，B={y|y<3}，则A∩∁RB=(C)个，求实数a的取值范围为(-1,1)．2A.{1，2，3，4，5，6}B.{1，2}解：∵A的子集只有一个，&there4;A=∅，&there4;方程x+2ax+12=0无解，&there4;△=4a-4<0，解得-1<a<1，∴实数ac.{3，4，5，6}d.{4，5，6}的取值范围为(-1,1)．解：由题∵b={y|y<3}，∴∁rb={y|y≥3}，又a=[巩固10]设全集u=r，集合a=x|-1≤x<3，.b={1，2，3，4，5，6}，则a∩∁rb={3,4,5,6}．故选：c．[巩固4]设集合m={x|2x-x2≥0}，n={x|x<a}，x|2x-4≥x-2若m⊆n，则实数a的取值范围是(b)(1)求b及∁u(a∩b)；(2)若集合c={x|2x+a>0}，满足B∪C=C，A.a<2B.a>2C.a≥2D.a≤2求实数a的取值范围。解：由已知可得M=[0，2]，N=(-∞,a)，因为M&sube;解：(1)∵B=x|2x-4≥x-2=xx≥2，N，则只需a>2，故选：B．2&there4;A∩B=x2≤x<3，[巩固5]集合A={x|x+x-6≤0}，B={x|1-x≤&there4;CUA∩B=x|x<2或x≥3.2m}，且A∩B={x|-1≤x≤2}，则m=(D)(2)由B∪C=C得B&sube;C，A.2B.0C.-1D.1a又因为C=x|2x+a>0}=xx>-2解：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥1-2m}，A∩aB={x|-1≤x≤2}，&there4;1-2m=-1，解得m=1．所以-2<2，[巩固6](2021•B卷模拟)设全集为R，A={x|y=解得a>-4.所以实数a的取值范围是a>-4x-1}，B={y|y=x-1}，则B∩∁RA=(A)A.[0，1)B.[0，1][巩固11]集合A={x|-3≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤C.{0}D.∅2m-1}．解：由题意：A=[1，+∞)，∁RA=(-∞，1)，B=[0，(1)若B&sube;A，求实数m的取值范围；+∞)，则B∩∁RA=[0，1)．故选：A．(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时[巩固7](2021•广州二模)已知集合P={x|-3≤x≤成立，求实数m的取值范围。21}，Q={y|y=x+2x}，则P∪(∁RQ)=(D)解：(1)∵B&sube;A，A.[-3，-1)B.[-1，1]&there4;①B=∅时，m+1>2m-1，解得m<2；C.(-∞，-1]D.(-∞，1]m≥22②B≠∅时，m+1≥-3，解得2≤m≤4，解：∵集合P={x|-3≤x≤1}，Q={y|y=x+2x}2m-1≤72={y|y=(x+1)-1}={y|y≥-1}，&there4;∁RQ={y|y<综上，实数m的取值范围为(-∞，4]；-1},则P∪(∁RQ)={x|x≤1}=(-∞,1]．(2)由题意知，A∩B=∅，[巩固8]集合A=x|-2≤x≤5，B=①B=∅时，m<2；x|m+1<x<2m-1，若b⊆a，则m的范围是m≥2m≥2②b≠∅时，或，得m>m+1>72m-1<-3-∞,36解：题意得：当B=∅时，m+1≥2m-1，即m≤2.当m+1<2m-1&there4;实数m的取值范围为(-∞，2)∪(6，+∞)．B≠∅时，m+1≥-2，得2<m≤3.综上m≤32m-1≤52[巩固9]若集合a={x|x+2ax+1=0}的子集只有一27,第六讲逻辑用语1.充分条件与必要条件模块一充要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推课堂精讲理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断件。如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多的充分条件，q不是p的必要条件。命题可以写成“若p，则q”或“如果p，那么q”等形式。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。本♦唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的结果不唯一，则必要性不成立。节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考eg:x=1⇒x=1，x=1⇒x=±1，则x=1是x察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数=1的充分不必要条件。学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条♦不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式件和充要条件。成立，反之不成立(小可推大，大不可推小)2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？例1设p:x>2，q:x>2，p是q成立的(B)哪些是假命题？A.充要条件(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四B.充分不必要条件边形是菱形；C.必要不充分条件(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；D.既不充分也不必要条件2解：q:x2>2，解得x>2或x<-2；若p:x>2(3)若x-4x+3=0，则x＝１；22成立，则q:x>2成立，反之，若q:x>2成立，则p:(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥bx>2未必成立；即p是q成立的充分不必要条件，故选：B。在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它论q，所以它们是真命题。在命题(2)(3)中，由条件p们的逆命题都是真命题？不能得出结论q，所以它们是假命题。(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则两个三角形周长相等；28,2(3)若一元二次方程ax＋bx＋c＝０有两个不[练4](多选)若x2-x-2<0是-2<x<a的充分相等的实数根，则ac<0；不必要条件，则实数a的值可以是(bcd)(4)若a∪b是空集，则a与b均是空集．a.1b.2c.3d.4将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，22就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原解：由x-x-2<0，解得-1<x<2.∵x-x-2<命题的逆命题。0是-2<x<a的充分不必要条件，∴(-1,2)不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的(-2，a)，∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命2[练5]一元二次方程ax+2x+1=0，(a≠0)有一个题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真正根和一个负根的充分不必要条件是(c)命题.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均a.a<0b.a>0是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，C.a<-1D.a>1我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.2解：ax+2x+1=0，(a≠0)有一个正根和一个负根1的充要条件是x1×x2=<0，即a<0，a随堂练习而a<0的一个充分不必要条件是a<-1故选：C。22[练1]设a，b，c是实数，则“a>b”是“ac>bc”的[练6]x∈R，则“|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的(A)(B)A.充分不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件解：由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=C.充要条件220时，“a>b”是“ac>bc必要不充分条件。故选：B。D.既不充分也不必要条件[练2]“|x-1|<2”是“x<3”的(A)解：|x-2|<1，得1<x<3，x2+2x-3>0，得x<-3A.充分不必要条件或x>1，“1<x<3”成立，则“x<-3或x>1”成立，而B.必要不充分条件“x<-3或x>1”成立，“1<x<3”不一定成立，所以c.充要条件2“|x-2|<1”是“x+2x-3>0”的充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件2[练7]“一元二次方程x+x+m=0”有实数解的一个解：由|x-1|<2，可得-1<x<3，∵{x|-1<x<充分不必要条件是(a)3}{x|x<3}，∴“|x-1|<2”是“x<3”的充分不11a.m<-b.m≤44必要条件．1c.m>D.m<4[练3]已知p：x≥k，q：(x+1)(2-x)<0，如果p是q42的充分不必要条件，则实数k的范围是(B)解：若一元二次方程x+x+m=0”有实数解，A.[2，+∞)B.(2，+∞)则判别式△=1-4m≥0，解得m≤1。4C.[1，+∞)D.(-∞，-1]&there4;“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的一个充解：由q：(x+1)(2-x)<0，得x<-1或x>2，又p分不必要条件是m<-1，故选：A。4是q的充分不必要条件，k>2，即k的范围是(2，+∞)29,2[练8]已知集合A={x|m-1<x<m+1}，b=[练9]已知集合a={x|2-a≤x≤2+a}，b={x|x2{x|x-4<0}。≤1或x≥4}。(1)若a∩b=∅，求实数m的取值范围；(1)当a=3时，求a∩b；(2)若“x∈a”是“x∈b”的充分不必要条件，求实(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要数m的取值范围。条件，求实数a的取值范围。22解：(1)集合A={x|m-1<x<m+1}，b={x|x-解：(1)当a=3时，集合a={x|2-a≤x≤2+a}=4<0}=(-2,2)。{x|-1≤x≤5}，由a∩b=∅，可能有以下几种情况：b={x|x≤1或x≥4}，∴a∩b={x|-1≤x≤1或422a=∅，则m-1≥m+1，m-m+2≤0，解集为空≤x≤5}；集，此种情况不可能；(2)∵若a>0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要2A≠∅时，可能m+1≤-2，或2≤m-1，解得：m∈条件，∅，或m≥3。A={x|2-a≤x≤2+a}(a>0)，∁RB={x|1<x<综上可得：实数m的取值范围是[3，+∞)。4}，(2)若“x∈a”是“x∈b”的充分不必要条件，2-a>1-2≤m-1&there4;A⊊∁RB，则2+a<4解得0<a<1。故a的取值则a⊊b，∴2，等号不能同时成立，a>0m+1≤2范围是：(0,1)。解得：-1<m≤1，∴实数m的取值范围是(-1，1]。3.全称量词与存在量词模块二逻辑用语(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意课堂精讲一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表1.命题示.含有全称量词的命题，叫做全称命题。用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。分类:真命题、假命题．命题的真(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至假即为语句描述内容的对与错。形式“若:p，则q．”少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号2.四种命题“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题。原命题：若p则q逆命题：若q则p¬¬¬¬否命题：若p则q逆否命题：若q则p(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定原命题逆命题否命题逆否命题1全称命题p：∀x∈μ,p(x)，它的否定¬p：真真真真真假假真∃x0∈μ,¬p(x0).其否定是特称命题。假真真假2特称命题p：∃x0∈μ,p(x0),它的否定假假假假¬p：∀x∈μ,¬p(x).其否定是全称命题。30,随堂练习[练14]给出下列四个命题中：①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题。[练10]下列命题为真命题的是(b)2②命题“若x-4x+3=0，则x=3”的逆否命题22a.∃x0∈r，使x0<0b.∀x∈r，有x≥02为：“若x≠3，则x-4x+30≠0”。22c.∀x∈r，有x>0D.∀x∈R，有x<0③“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件22解：∵x∈R，&there4;x≥0，&there4;∀x∈R，有x≥0，故选：B。④关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为[练11]下列命题是真命题且是全称量词的是(D)R，则m≤4。22其中所有正确命题的序号是②③④。A.对∀a，b∈R，都有a+b-2a-2b+2<0解：对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和B.菱形的两条对角线相等结论都否定，正确；对于③，若x>1，则|x|>0。若|x|2C.∃x∈R，x=x>0，则x不一定大于1；对于④，f(x)=|x+1|+|x-D.一次函数在定义域上是单调函数3|表示数轴上点x到-1和3的距离之和。222解：A中含有全称量词“∀”，∵a+b-2a-2b+2=[练15]已知命题p：∃x∈R，m+1x+1≤0，命22(a-1)+(b-1)≥0，所以是假命题；B，D中在叙述题q：∀x∈R，x2-mx+1>0恒成立.若p&and;q为上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对假命题，则实数m的取值范围为(B)角线不一定相等，&there4;B是假命题，C是存在量词命题。A.m≥2B.m≤-2或m>-12[练12]若命题“∀x∈[0，3]，都有x-2x-m≠0“是C.m≤-2或m≥2D.-1<m≤2假命题，则实数m的取值范围是(c)解：当命题p为真时，m+1≤0，解得m≤-1；a.(-∞，3]b.[-1，+∞)2当命题q为真时，δ=m-4×1×1<0，解得-2<c.[-1，3]d.[3，+∞)m<2，当命题p与命题q均为真时，则有2解：命题“∀x∈[0，3]，有x-2x-m≠0“是假命题m≤-1⇒-2<m≤-1.命题p∧q为假命题，则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0“成立是-2<m<2真命题，故m=x2-2x=(x-1)2-1。则命题q与命题p至少有一个为假命题.所以此时m由于x∈[0，3]，所以m∈[-1，3]。故选：c。≤-2或m>-1.故选：B.2[练16]已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+[练13]已知命题p:∃x∈R，ax+x+1≤0，若命题p2是假命题，则a的取值范围为(C)3≤x≤m+4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B11≠∅”为假命题，求实数a的取值范围.A.a<b.a≥4411解：命题“∃m∈r，使得a∩b≠∅”为假命题，则其c.a>D.a>或a=044否定命题“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题2解：命题p:∃x∈R，ax+x+1≤0的否定为¬p:∀x当a<0时，集合A={x|0≤x≤a}=∅，符合A∩B2∈R，ax+x+1>0，∵命题p是假命题，&there4;¬p:∀x2=∅，当a≥0时，∵m+3>0，所以∀m∈R，A∩B2∈R，ax+x+1>0为真命题。当a=0时，不成立，2=∅得a<m+3对于∀m∈r恒成立，所以a<a>01则，即a>。故选：C。2△=1-4a<04m+3min=3，则0≤a<3，综上，a的范围为a<3.31,[巩固5](2022春•新罗区校级月考)已知集合A=课后提升2x+1{xx-1<1，B={x|(x-1)(2x+m)<0}．[巩固1]下列命题是假命题的是(3)。(1)命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题(1)当m=1时，求A∪B；是“若x2-3x+2=0，则x=1”(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m(2)若命题p:∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p:∃x∈的取值范围．2x+1x+2R，x2+x+1=0解：(1)由<1，得<0，得-2<x<1．x-1x-1(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题∴a={x|-2<x<1}，(4)“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件当m=1时，B={x|(x-1)(2x+1)<0}=1解：(1)命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是x-<x<1，22“若x-3x+2=0，则x=1”，正确；(2)若命题p:∀x∈∴a∪b={x|-2<x<1}；22r，x+x+1≠0，则¬p:∃x∈r，x+x+1=0，正确；(2)∵“x∈a”是“x∈b”的必要条件，∴b⊆a，(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题，是假命题；(4)mx2-3x+2>0，得x>2或x<1。&there4;“x>2”是“x2-若->1，即m<-2，此时不符合题意，舍去；23x+2>0”的充分不必要条件。m若-=1，即m=-2，B=∅，符合题意；2[巩固2](2022•呼和浩特一模)集合A={x|x≥0}，Bmm若-2<1，即m>-2，则B={x-2<x<1，∴={x|x-2>0}，则x∈A是x∈B的(B)m-2≤-<1，解得-2<m≤4．2a.充分不要条件b.必要不充分条件综上所述，m∈[-2，4]．c.充分必要条件d.既不充分他不要条件[巩固6](2021秋•番禺区校级期中)已知命题p:∃x解：a={x|x≥0}，b:x-2>0，得x>2，即B=(22∈R，使x-4x+m=0为假命题．,+∞)．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．(1)求实数m的取值集合B；2[巩固3](2022•天津模拟)设x∈R，则“x≤3”是“x(2)设A={x|3a<x<a+4}为非空集合，若x∈≤3x”的(b)a是x∈b的充分不必要条件，求实数a的取值范a.充分不必要条件围．b.必要不充分条件2解：(1)由题意，得关于x的方程x-4x+m=0无实c.充要条件数根，d.既不充分也不必要条件所以△=16-4m<0，解得m>4，2解：∵x≤3x，&there4;0≤x≤3，∵[0，3]⊊(-∞，3]，即B=(4,+∞)；2&there4;x≤3是x≤3x的必要不充分条件，(2)因为A={x|3a<x<a+4}为非空集合，2[巩固4](2022•岳阳楼区校级一模)“x=2022”是“x所以3a<a+4，即a<2，-2022x+2021=0”的(d)因为x∈a是x∈b的充分不必要条件，a.充分不必要条件所以a是b的真子集，则a<2且3a≥4，b.必要不充分条件4即≤a<2，c.充分必要条件34d.既不充分也不必要条件综上所述，实数a的取值范围为3，2．2解：由x-2022x+2021=0，解得：x=2021或x=1，故2“x=2022”是“x-2022x+2021=0”的既不充分也不必要条件，32,52[巩固7](2021秋•三门峡期末)已知p:≥2，q:[巩固9]p:∃x0∈r，使得ax0-2x0-1>0成立；q：方x+122程x2+(a-3)x+a=0有两个不相等正实根；x-mx-2m≤0，其中m>0．(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(1)写出¬p；(2)是否存在m，使得¬p是q的必要条件？若存(2)若命题¬p为真命题，求实数a的取值范围；在，求出m的值；若不存在，请说明理由．(3)若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，52x-3解：(1)由≥2得≤0，故有p:-1<x≤求实数a的取值范围．x+1x+1322解：(1)p:∃x∈r，使得ax2-2x-1>0成立；&there4;¬p．由x-mx-2m≤0得(x-2m)(x+m)≤0，00022即q:-m≤x≤2m．若p是q的充分条件，则p⇒q∀x∈R，ax-2x-1≤0成立．-m≤-1,(2)a≥0时ax2-2x-1≤0不恒成立．成立，即3得m≥1；2m≥2,a<0a<0由，即，解得a≤-1．33△≤04+4a≤0(2)因为p:-1<x≤，所以¬p:x≤-1或x>．22&there4;实数a的取值范围：(-∞，-1]．若¬p是q的必要条件，则q⇒¬p成立，2(3)设方程x+(a-3)x+a=0两个不相等正实根为3则2m≤-1或-m>，2x1、x2．显然这两个不等式均与m>0矛盾，故不存在的m．2△>0(a-3)-4a>0[巩固8]设命题p：对任意x∈0,1，不等式2x-2≥命题q为真⇔x1+x2>0⇔(3-a)>0解得x1x2>0a>02m-3m恒成立；命题q：存在x∈-1,1，使得不0<a<1．2等式x-x-1+m≤0成立.由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；真一假(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数ma>-1①当p真q假时，则得-1<a≤0或aa≤0或a≥1的取值范围.≥1解：(1)对于命题p：对任意x∈0,1，不等式2x-2≥a≤-12②当p假q真时，则无解；m-3m恒成立，而x∈0,1，有2x-2min=-2，∴0<a<12-2≥m-3m，∴1≤m≤2，∴实数a的取值范围是-1<a≤0或a≥1所以p为真时，实数m的取值范围是1≤m≤2；2(2)命题q：存在x∈-1,1，使得不等式x-x+m-21≤0成立，只需x-x+m-1min≤0，21252而x-x+m-1=(x-)+m-，∴(x-x+m24555-1)min=-+m，∴-+m≤0，m≤，4445即命题q为真时，实数m的取值范围是m≤，依题4意命题p,q一真一假，m2若p为假命题，q为真命题，则5，得m<1；m≤41≤m≤25若q为假命题，p为真命题，则5，得<mm>445≤2，综上，m<1或<m≤2.433,第一章章末总结1.本章内容让我们接触了集合的基本概念与逻辑用语的基本学习，这些内容将在接下来的函数学习中对函数性质的数学描述起到关键的作用；另外是初中和高中阶段的一个灰色知识：整式乘法公式的拓展和因式分解的方法，这些技能将在后面对于解析函数的分析与研究起到事半功倍的作用；而基本不等式则向我们介绍了关于二元最值的求解方法和技巧。请将本章内容作一个简单的归纳总结。乘法公式代数的变形因式分解集合的引入解：函数的基础定义函数的基础逻辑用语初等不等式的解法：函数、方程、不等式的关系引入函数最值的求解基础：基本不等式2.完成以下知识填空平方差公式：a2-b2=a-b(a+b)22联系：(a+b)=(a−b)+4ab基础乘法公式完全平方和：a+b222b换成-b222=a+2ab+ba-b=a-2ab+b完全立方和：三项和平方：332232222a+b=a+3ab+3ab+ba+b+c=a+b+c+2ab+2ac+2bcb换成-b立方和公式：2222a-b+c=a+b+c-2ab+2ac-2bc3322a+b=a+b(a-ab+b)x-43.(2021秋•沧州期末)已知集合a=xx-1≤0，b={x|a+1≤x≤2a}．(1)当a=2时，求a∪b；(2)若b∩∁ra=∅，求实数a的取值范围．解：(1)当a=2时，a=(1，4]，b=[3，4]，则a∪b=(1，4]．(2)由b∩∁ra=∅，得b⊆a，当b=∅时，a+1>2a，解得a<1；2a≥a+1当B≠∅时，2a≤4解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围为(-∞，2]．a+1>134,4.利用基本不等式的知识解决下列问题：4(1)已知x>3，求+x的最小值；x-313(2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求+的最小值．xy212(3)已知正实数x，y满足x+y=2，若不等式+≥m+4m恒成立，求实数m的取值范围。x2y444解：(1)∵x>3，&there4;x-3>0，&there4;+x=+(x-3)+3≥2×(3-x)+3=4+3=7，x-3x-33-x44当且仅当=3-x，即x=5时取等号，&there4;+x的最小值为7．3-xx-3+xy(2)∵x，y∈R，x+y=4，可得+=1，44131131y3x1y3x3&there4;+=(x+y)+=1++≥1+2×⋅=1+．xy4xy4xy4xy2133当且仅当y=3x，即x=2(3-1)，y=2(3-3)时取“=”号．即+的最小值为1+．xy221121152yx152yx9(3)∵+=+(x+y)=++≥+2⋅=，x2y2x2y22x2y22x2y42219212当且仅当x=2y=时，+有最小值，由不等式+≥m+4m恒成立，3x2y4x2y&there4;9≥m2+4m恒成立，&there4;-9≤m≤1，故实数m的取值范围-9，142222；5.第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行．主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C(万k元)，隔热层厚度为x(厘米)，两者满足关系式：C=(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源2x+5消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元．记W为15年的总费用．(总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用)(1)求W关于x的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用W最小，并求出最小值．k30解：(1)依题意，当x=0时，C=6，&there4;6=，&there4;k=30故C(x)=52x+530450f(x)=4x+∙15+10=4x++10,(0≤x≤10)2x+52x+5450450(2)f(x)=4x++10=(4x+10)+2x+52x+5450450=2(2x+5)+≥22(2x+5)∙=602x+52x+5450当且仅当2(2x+5)=，即当x=5时取得最小值，2x+5&there4;隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．35,第七讲函数概念与有界性2.函数三要素模块一函数的概念由前面函数的定义可知，两个变量关系要构成课堂精讲函数关系，需要具备以下三个要素:定义域、对应关系f、值域。初中阶段，我们学习了函数的概念与简单的函函数定义域的约束常常有以下几类较为重要：数。初中阶段函数的定义：一般的，在一个变化过程1分式的分母不能为零；中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确2对数的真数大于零；定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x3根号下被开方数大于等于零。称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。④零指数幂的底数不能为0大家思考：由初中定义出发，y=1是函数吗？3.函数的有界性(第一性质)1.函数的概念高等数学中对函数有界性有严格的定义。中学设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的阶段，我们为了研究函数性质的便捷性，把定义域、对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在值域、渐近线的约束通称为函数的有界性。集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记4.区间概念(a，b为实数，且a<b)作：y=f(x)，x∈a。其中所有输入值x组成的集合定义名称符号数轴表示a叫作函数y=f(x)的定义域。所有输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域。{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]abx例1下列图象中，可作为函数图象的是②③⑤⑥．y①y②③y{x|a<x<b}开区间(a，b)abxxx半开半x{x|a≤x<b}[a，b)abx闭区间y④yy⑥⑤半开半{x|a<x≤b}(a，b]abx闭区间xxx解：对于①④中存在一个x的值，y有两个值与之对其他区间的表示：应，所以不是函数图象，②③⑤⑥符合函数定义．定义r{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}区间(-∞，+∞)[a，+∞)(a，+∞)(-∞，a]36,0x例2求下列函数的定义域。解：A.y=2=1，定义域为R，y==1，(x≠0)，定义域不相xx+12x|x|(1)y=-1-x同，不是同一函数；B.y=x=|x|，两函数对应法则不同，C.x+121由x+x≥0得x≥0或x≤-1，即定义域为(-∞，-1]∪[0，2(2)y=2x-3x-2+.4-x+∞)，由x≥0得x≥0，得x≥0，两函数定义域不相x+1≥0x≥-1x+1≠0，x≠-1，解：(1)由得&there4;定义域为{x|x同，不是同一函数．D.y=3(t+1)3=t+1，两函数的定义域1-x≥0，x≤1.和对应法则相同，是同一函数；22x-3x-2≥0，≤1且x≠-1}．(2)由4-x≥0，得x≤[练3]下列四个命题4-x≠0，(1)f(x)=有意义；11-2或2≤x<4，&there4;定义域为-∞，-2∪[2,4)．(2)f(x)表示的是含有的代数式例3下列选项中能表示同一个函数的是(B)(3)函数y=2x(x∈N)的图象是一直线；2x-1A.y=x+1与y=x-1(4)函数y=的图象是抛物线，22B.y=x+1与s=t+1其中正确的命题个数是(D)C.y=2x与y=2x(x≥0)A.1B.2C.3D.022D.y=(x+1)与y=x解：因为命题(1)中，函数的定义域为空集，因此表达式无意解：A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不义，命题错误；命题(2)中，当为常函数，f(x)是不是同一个函数；B，虽然变量不同，但定义域和对应关含有的代数式，命题错误；命题(3)中，函数系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系的图象是由离散的点组成的，不是直线，命相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．题错误；命题(4)中，作出函数y=的图象如图所示，不是一条抛物线，命题错误.故选：D随堂练习x-2[练4]函数f(x)=的定义域为(B)2x+1[练1]下列对应关系中A到B的函数的是(B)A.(-1，2]22A.A&sube;R，B&sube;R，x+y=1B.[2，+∞)B.A={-1,0,1}，B={1,2}，f：x→y=|x|+11C.(-∞,-1)∪[1，+∞)C.A=R，B=R，f：x→y=x-2D.(-∞,-1)∪[2，+∞)D.A=Z，B=Z，f：x→y=2x-1x-2x-2222解：f(x)=，令≥0，得x-2≥0，解得解：A，x+y=1可化为y=±1-x，显然对任意xx2+1x2+1∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定x≥2，所以f(x)的定义域为[2，+∞)．选：B．义；B，符合函数的定义；C,2∈A，在此时对应关系无2x+1，x≥0，意义，故不符合函数的定义；D，-1∈A，但在集合B[练5]已知函数f(x)=3x2，x<0，且f(x0)=3，则中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．实数x0的值为(C)[练2]下列各组函数中表示同一函数的是(D)A.-1B.10xA.y=2与y=1xC.-1或1D.-1或-3x|x|B.y=±1与y=x解：当x0≥0时，f(x0)=2x0+1=3，所以x0=1；当x02C.y=x+x与y=xx+1<0时，f(x)=3x2=3，所以x=-1.00033D.y=x+1与y=(t+1)37,[练6]若函数f(x)=x2+ax+1的定义域为实数集1[练11]已知函数f(x)=4-x+的定义域为x+3R，则实数a的取值范围为(D)集合A，集合B={x|a-1<x<1+a}．a.(-2，2)(1)求集合a与∁ra；b.(-∞，-2)∪(2，+∞)(2)若b⊆a，求实数a的取值范围．c.(-∞，-2∪2，+∞)4-x≥0解：(1)由得-3<x≤4，x+3>0D.-2，2所以A=(-3，4]，∁RA=(-∞，-3]∪(4,+∞)；2解：∵函数fx=x+ax+1定义域为R，&there4;开口(2)B={x|a-1<x<1+a}≠∅，a=(-3，4]，2向上的二次函数的图象，与x轴没有交点，即δ=aa-1≥-3若b⊆a，则，-4≤0,-2≤a≤2，实数a的取值范围为-2，2，a+1≤421-x+1，x≥0，解得-2≤a≤3，-[练7]f(x)=1则f(f(2))=4.x-1，x<0，所以实数a的取值范围[-2，3]．21解：f(2)=-2+1=-3，∴f(f(2))=f(-3)=-.42[练8]f(x)=x+，且f(a)=f(2)，则=1或2.x解：由f(a)=f(2)得，解得或.1-x[练12]已知f(x)=(x≠-1).求：1+x112(1)f(0)及ff2的值；[练9]已知f(x)=(x∈r且x≠-1)，g(x)=x1+x(2)f(1-x)及f(f(x)).+2(x∈r)．1-x解：(1)因为fx=x≠-1，(1)求f(2)，g(2)的值1+x1(2)求f(g(2))的值．1-011-21所以f0=1+0=1，f2=1=3，解：(1)因为f(x)=1，1+1+x21121-1所以f(2)==.又因为g(x)=x+2，所以g11311+23所以ff=f==；2231+12(2)=2+2=6.3111-x(2)f(g(2))=f(6)==.(2)∵fx=x≠-1，又1-x≠-1，∴x≠2，1+671+x1-1-xx所以f1-x==,x≠2，1+1-x2-x2[练10]已知函数fx=3x+5x-2.1-x1-(1)求f3，fa+1的值；ffx=1+x=x,x≠-1.1-x1+(2)若fa=-4，求a的值.1+x2解：(1)∵fx=3x+5x-2，2∴f3=3×3+5×3-2=40，22fa+1=3×a+1+5×a+1-2=3a+11a+6；(2)令fa=-4，2即fa=3a+5a-2=-4，2解得：a=-，或a=-1.338,模块二函数抽象与解析(选)对于一些确定的函数，我们需要借助其解析式来辅助研究函数性质。初中阶段重点介绍了一些初课堂精讲等函数解析式的求解方法：待定系数法。高中阶段从前面函数的定义可以看出，我们把初中阶段我们将拓展求解析式的方法。的特殊函数推广到了广义函数的定义。数学本身就是抛开具体的事情，只是简单的把数与数之间的关系表示出来，是一种工具。函数的本质也是一种特3.待定系数法求解析式殊的对应关系。已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，1.抽象函数用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式。定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。例5已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,求函例如：y=f(x),y=f(2x-1),y=f(x-1)都数f(x)的解析式。是抽象的对函数进行描述，并没有相应的解析式的解：设函数f(x)=kx+b表达。对于抽象函数而言，我们任然可以用一些通∵f(f(x))=4x+6用的研究方法研究抽象函数的有界性。这中间用的2∴f(kx+b)=kkx+b+b=kx+kb+b=4x+6最多的是“换元法”。2k=4k=2k=−2∴,解之得:或kb+b=6b=2b=−62.换元法∴f(x)=2x+2或f(x)=−2x−6.定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法。4.换元法求解析式换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙。由前面对函数的定义可对于对应关系下抽象的表达描述y=f(2x-1)知，我们所谓的换元法，也是一种函数的对应关系，等，根据前面对换元法的介绍，我们可以借助换元法根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:来求解函数解析式。1设出新元(对应关系)，；2解确定新元的范围(定义域、值域)；例6已知函数f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析3用新元表示旧元(代换的关键)。2式为f(x)=x−1(x≥1).2例4已知函数y=f(x)定义域是-2,3，则y=f(2x解：设x+1=t,则x=t−1(t≥1)-1)的定义域是(a)22∴f(t)=t−1+2t−1=t−1(t≥1)a.b.2∴f(x)=x−1(x≥1).c.d.5.方程组法求解析式对于含有两个对应关系描述的解析式(eg:f(x)解：由题意，得．1±fx或f(x)±f(−x))，我们可以用方程组法分别求出函数解析式。39,例7已知函数f(x)满足f(x)+2f1=x，求函数f∴-1≤x+1<4；∴f(x)的定义域为[-1，4)；∴-1x≤x-2<4；∴1≤x<6；∴f(x-2)定义域为[1，6)．(x)的解析式。1[练4]已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，则函数f(x)=解：∵f(x)+2fx=x，111f(x+2)+3-x定义域为(a)∴用x替换上式中的x,得到:fx+2f(x)=xa.(-2，3]b.[-2，3]1f(x)+2fx=x12解方程组得:f(x)=−x+.c.(0，3]d.(0,3)f1+2f(x)=133xxxx+2>0解：由题意，，解得-2<x≤3．3-x≥0∴函数f(x)=f(x+2)+3-x定义域为(-2，3]．6.赋值法求函数解析式[练5]已知函数f(x)的定义域为[2，8]，则函数h(x)=对于一些二元结构的抽象描述，我们可以对x,y2f(2x)+9-x的定义域为(d)进行赋值，通过赋值求解析式。a.[4，16]b.(-∞，1]∪[3，+∞)c.[3，4]d.[1，3]例8设f(x)是r上的函数，且满足f(0)=1，并且对2≤2x≤81≤x≤4解：f(x)定义域[2，8]，令，得，任意实数x，y，有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，9-x2≥0-3≤x≤3即1≤x≤3，∴函数h(x)的定义域为[1，3]．求f(x)的解析式．解：由题意，令x=y得，[练6](2021秋•湖南期中)已知f(x)是一次函数，且满f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，足f(f(x))=f(x)+2，求f(x)在[1，2]上的值域．则f(x)=x(x+1)+1．解：∵f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=f(x)+2，设f(x)=ax+b(a≠0)，则a(ax+b)+b=ax+b+22随堂练习a=a可得，解得a=1，b=2，ab+b=b+2[练1](2018秋•新余期末)已知函数y=f(x)定义域∴f(x)=x+2，是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是(c)∵f(x)在[1，2]上单调递增，a.0,5∴f(x)在[1，2]上的值域为[3，4]．2b.[-1，4]1c.-2,2d.[-5，5][练7](1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f解：∵y=f(x)定义域是[-2，3]，∴由-2≤2x-1≤11(x-1)=2x+17，求f(x)；3，得-≤x≤2，即函数的定义域为-，2，221(2)已知f(x)满足2f(x)+fx=3x，求f(x)．[练2](2021秋•五华区校级期中)已知函数f(x+1)解：(1)由题意可设f(x)=kx+b的定义域为[-1，0)，则f(2x)的定义域是(b)∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1711∴3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=2x+17a.-2,0b.0,2即kx+5k+b=2x+17c.[-2，0)d.[0，2)∴解方程可得，k=2，b=7∴f(x)=2x+7解：f(x+1)定义域[-1，0)，即-1≤x<0，得0≤x+11<1，则f(x)定义域为[0，1)，由0≤2x<1，得0≤x<1(2)由2f(x)+fx=3x①213[练3](2020秋•峨山县校级期中)已知f(x+1)的定可得2fx+f(x)=x②31义域为[-2，3)，f(x-2)的定义域是(d)①×2-②得：3f(x)=6x-∴f(x)=2x-(x≠0)xxa.[-2，3)b.[-1，4)c.[0，5)d.[1，6)解：∵f(x+1)的定义域为[-2，3)；∴-2≤x<3；40,1-x[练8](2020秋•新津县月考)已知f(x-2)=x-1．[练9]已知函数f(x)满足f2=x．(1)求函数f(x)的解析式；(1)求f(x)的解析式；1-x(2)当x∈[-1，8]时，求函数g(x)=2x-f(x)值域(2)求函数y=f2-f(x)的值域．解：(1)f(x-2)=x-1=x-2+1，1-x解：(1)令=t，则x=-2t+1，2所以f(x)=x+1，∴f(t)=-2t+1，即f(x)=-2x+1；(2)由x∈[-1，8]可得f(x)=x+1∈[0，9]，g(x)=2x-f(x)=2x-x+1=2(x+1)-x+1(2)y=f1-x-f(x)=x--2x+1，2-2，1212设t=-2x+1，则t≥0，且x=-t+，得y=令t=x+1，则t∈[0，3]，y=2t-t-2的开口向22112112上，对称轴t=，-t-t+=-(t+1)+1，422211结合二次函数的性质可知，当t=时函数取得最小∵t≥0，∴y≤，42171值-，当t=3时，函数取得最大值13．∴该函数的值域为-∞,．8217故函数的值域-，1380[巩固3]f(x)=x+3+(x+2)定义域是(c)课后提升a.[-3，+∞)[巩固1]对于函数f:a→b，若a∈a，则下列说法错误b.[-3，-2)的是(c)c.[-3，-2)∪(-2，+∞)a.f(a)∈bd.(-2,+∞)b.f(a)有且只有一个x+3≥0解：要使原函数有意义，则x+2≠0，解得x≥-3且c.若f(a)=f(b)，则a=b0d.若a=b，则f(a)=f(b)x≠-2．∴函数f(x)=x+3+(x+2)的定义域是解：函数f:a→b，a∈a，b∈a，根据函数定义f(a)∈[-3，-2)∪(-2，+∞)．故选：c．b，且f(a)唯一，若a=b，则集合a不满足互异性，此时x-2,x≥10[巩固4]设f(x)=，则f(5)的值有f(a)=f(b)，a，b，d都正确，若f(a)=f(b)，不一定有f[f(x+6)],x<102a=b，如f(x)=x，则f(-1)=f(1)=1，但-1≠1，c错为(b)[巩固2]下列各组函数表示同一函数的是(d)a.10b.11c.12d.13a.f(x)=x2，g(x)=(x)2x-2(x≥10)解：∵f(x)=，∴f(5)=f[f(11)b.f(x)=1，g(x)=x0f[f(x+6)](x<10)2x-1]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11．故选：b．c.f(x)=x+1，g(x)=x-13[巩固5](2018秋•日照期末)已知函数f(x)=3d.f(x)=x，g(x)=x2x+1,x≤0解：a.f(x)=x2的定义域为r，g(x)=(x)2的定义域，若f(x)=5，则x的值是(a)-2x,x>0为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数；B．f(x)的定5A.-2B.2或-义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是2同一函数；C．f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为C.2或-2D.2或-2或-52{x|x≠1}，定义域不同，不是同一函数；233解：当x≤0时，f(x)=x+1=5，得x=±2，又x≤0，D．f(x)=x的定义域为R，g(x)=x=x的定义域为5&there4;x=-2；当x>0时，f(x)=-2x=5，得x=-，舍R，且解析式相同，是同一函数．241,1[巩固6]若函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数g(x)=[巩固10](1)求函数f(x)=4-x+定义域；xf(2x-1)(2)求函数g(x)=x+1(x>2)的最小值．的定义域为(A)x-2x-14-x≥0x≤4解：(1)∵，&there4;⇒x≤4且x≠0，A.(1，2]B.(1，5]C.[1，2]D.[1，5]x≠0x≠01解：∵f(x)的定义域为[1，3]，&there4;在函数g(x)=&there4;函数f(x)=4-x+x的定义域是(-∞，0)∪(0，f(2x-1)1≤2x-1≤34]；中应满足，得1<x≤2，x-1x-1>0(2)∵x>2，&there4;x-2>0&there4;函数g(x)的定义域为(1，2]．故选：A．11又g(x)=x+=(x-2)++2，1x-2x-22x-1(x≥0)11[巩固7]设函数f(x)=，若f(a)=a，∵(x-2)+x-2≥2(x-2)⋅x-2=2，1x(x<0)1当且仅当x-2=，即x=3时取“=”，x-2则实数a的值为(B)1&there4;g(x)=x+(x>2)的最小值为4．x-2A.±1B.-1C.-2或-1D.±1或-2[巩固11](2020秋•辽源期末)已知f(x)是一次函数，1解：由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有a-1=a，21且满足3f(x+1)-2f(x-1)=x+3．解得a=-2，(舍去)；当a<0时，有=a，解得a=a1(舍去)或a=-1．&there4;实数a的值是：a=-1．(1)求函数f(x)的解析式；[巩固8]已知f(x)定义域为[1，3]，则f(2x+5)定义域(2)当x∈[1，2]时，若函数g(x)=x∙f(x)-2ax1为[-2，-1]．+2的最小值为-，求a的值．4解：由题意得：1≤2x+5≤3，解：(1)设f(x)=kx+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=kx解得：-2≤x≤-1，+(5k+b)，故函数f(2x+5)的定义域是[-2，-1]，∵3f(x+1)-2f(x-1)=x+3，&there4;k=1且5k+b=3，1[巩固9]已知函数f(x)=x+3+．x+2&there4;b=-2，(1)求f(x)的定义域和f(-3)的值；&there4;f(x)=x-2；22(2)因为x∈[1，2]时，g(x)=x-2x-2ax+2=x(2)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值．-2(1+a)x+2，x+3≥0解：(1)要使函数有意义，则，对称轴x=a+1，x+2≠0①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x)min=g(1)=1-2a，x≥-3所以，所以x≥-3且x≠-2，15x≠-2则1-2a=-得a=，此时不成立；48即函数的定义域为[-3，2)∪(2，+∞)．②当1<a+1<2，即0<a<1时，g(x)min=g(a+1)1f(-3)=-3+3+=-1．2-3+2=-a-2a+1，12115(2)当a>0时，f(a)=a+3+，f(a-1)=则-a-2a+1=-得a=或a=-(舍)；a+24221a+2+．③当a+1≥2，即a≥1时，g(x)min=g(2)=2-4a．a+119则2-4a=-得a=，此时不成立，4161综上可得：a=．242,第八讲函数单调性及应用1.函数单调性：模块一单调性与函数最值设任意实数x1、x2∈[a,b],且x1<x2.那么：课堂精讲f(x1)−f(x2)<0f(x)在[a,b]上是增函数我们知道画出函数图象，通过观察和分析图象f(x1)−f(x2)>0f(x)在[a,b]上是减函数。yy特征，可以得到函数的一些性质。观察下列函数图f(x1)f(x2)象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势。f(x2)f(x1)yyx1x2xx1x2x例1若f(x)在R上递减且f(2m-1)<f(3m+1)，求oxm的取值范围。-1o1x解：∵f(x)在r上递减且f(2m-1)<f(3m+1)，∴观察上面的函数图可知：第一幅图象，y随x的2m-1>3m+1，得m<-2，m的范围为(-∞，-2)增大而增大；第二幅图象在x∈-∞,-1,0,1上x+1y随x的增大而减小，在x∈-1,0,1,+∞上y随例2函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单x+2x的增大而增大。这样的性质描述在高中阶段我们调递增。解：证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，称之为函数单调性。在高中阶段，我们很难画出复x+11∵f(x)==1-杂的函数在连续情况下的图象，由此我们需要借助x+2x+211x1-x2代数运算的方法来辅助我们判断函数的单调性。下则f(x1)-f(x2)=x+2-x+2=21(x1+2)(x2+2)面我们将用符号语言刻画这种性质。∵x1>x2>-2，&there4;x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，x1-x22&there4;>0，&there4;f(x1)>f(x2)，画出f(x)=x的图象如下：(x1+2)(x2+2)&there4;f(x)在(-2，+∞)上单调递增.yf(x1)2.函数最值f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数Mx1x2x满足:①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，由图象可以看到：图象在x轴左侧部分从左到②存在x0∈I,使得f(x0)=M，右是下降的，即当x<0时，f(x)随x的增大而减小。那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。2利用单调性判断函数的最大(小)值：如果函数用符号语言描述:∀取x1，x2∈-∞,0，得f(x1)=x12y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上,f(x2)=x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)．这时函2单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；数f(x)=x在区间-∞,0上是单调递减的。43,2例3f(x)=，x∈1,2，则f(x)值域是1,2[练5]函数f(x)在(-∞,0]上单调递增，且f(-2)=3，x21解：∵函数y=在区间1,2上为增函数，x<x则f(2x-3)<3的x的取值范围是22222当x∈1,2时，≤≤，即1≤≤2.解：∵f(-2)=3，∴f(2x-3)<3和化为f(2x-3)<f2x1x2(-2)，又∵f(x)增函数，∴2x-3<-2，得x<1.∴函数y=，x∈1,2的值域为1,2.2x[练6](2021秋•安康期末)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f(2a-1)，则随堂练习2a的取值范围是3，1．[练1]函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则(d)解：∵f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f2a.f(a)>f(2a)B.f(a)<f(a)-1<1-a2(2a-1)∴2a-1<1解得<a<1．c.f(a2+a)<f(a)d.f(a2+1)<f(a)31-a<2a-12解：当a=0时，选项a、b、c都不正确；∵a+1-a=12321-axa-2+4>0，&there4;a+1>a，∵f(x)在(-∞,+∞)上为减[练7])函数y=在[0，2]上是减函数，则实a+12函数，&there4;f(a+1)<f(a)1(-∞,-1)∪0,数a的取值范围是2．[练2]下列函数在(1，+∞)上单调递增的是(d)1-ax解：∵y=在[0，2]上是减函数，2a+1a.y=-3x-1b.y=xa>0a<01&there4;或，得0<a≤或a<-1，21-2a≥0a+1<02c.y=x-4x+5d.y=|x-1|+21∴实数a的取值范围是(-∞,-1)∪0,2．解：由函数性质y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递2减，故a错误；由反比例函数的性质可知，y=在区间x2[练8]已知函数f(x)=．(1，+∞)上单调递减，故b错误，由二次函数的性质可x-12知，y=x-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)(1)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性并证明；上单调递增，c错；由一次函数的性质及图象变换知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单增.(2)若x∈[2，6]，求函数f(x)的最值。x+1,x≥02[练3]函数f(x)=在r上(b)解：(1)函数f(x)=在(1,+∞)上单调递减．x-1,x<0x-1证明如下：设x1，x2是(1,+∞)上任意两个实数，x1<a.是减函数b.是增函数22x2则f(x1)-f(x2)=-=c.先减后增d.先增后减x1-1x2-12(x2-x1)解：画出该分段函数的图象，由图象知，函数在r上是增函数，(x1-1)(x2-1)[练4]定义在r上的函数f(x)对任意两个不相等的实∵x1<x2，∴x2-x1>0，∵x1∈(1,+∞)，x2∈(1,+∞)，f(a)-f(b)数a，b，总有>0成立，则必有(A)&there4;(x1-1)>0，(x2-1)>0，&there4;f(x1)-f(x2)>0，即fa-b(x1)>f(x2)，&there4;f(x)在(1,+∞)上单调递减．A.f(x)在R上是增函数2(2)由(1)知函数f(x)=在[2，6]上单调递减，B.f(x)在R上是减函数x-1当x=2时f(x)取最大值，则f(x)max=f(2)=2；C.函数f(x)先增后减2当x=6时f(x)取最小值，则f(x)min=f(6)=．D.函数f(x)先减后增5f(a)-f(b)解：由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即a<ba-b时，f(a)<f(b)，或a>b时，f(a)>f(b)，&there4;f(x)在R上增函数44,[练9](2017秋•宝安区期末)已知函数f(x)=ax-[练11]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，b1(a,b∈N*)，f(1)=且f(2)<2．x+12a≠0)，f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1．(1)求a，b的值；(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性。(2)设g(x)=f(-x)-mx+1，若g(x)在[-1，1]b1b+1b解：(1)∵f(1)=a-=，a=，由f(2)=2a-<上是单调函数，求实数m的取值范围；222332，&there4;b<，又∵a，b∈N*，&there4;b=1，a=1；2(3)设h(x)=f(x)-nx+2，若h(x)在[-1，1]上1(2)由(1)f(x)=x-函数在(-1,+∞)单增x+1证明：任取x1，x2且-1<x1<x2，的最小值是1，求实数n的值。11f(x1(-f(x2)=(x1-x2)-解：(1)由于二次函数f(x)=ax2+bx+c满足x2+1x1+11f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1，=(x1-x2)1+，(x1+1)(x2+1)则f(-1)=-1，∵-1<x1<x2，∴x1-x2<0，4a-2b+c=0111+(x+1)(x+1)>0，&there4;(x1-x2)1+(x+1)(x+1)<故实数a，b，c满足的关系式为c=0，1212a-b+c=-10，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(-1,+∞)上单调递增．解得a=1，b=2，c=0．2故这个二次函数的表达式为y=x+2x．[练10]某加工厂收到一批订单，要求在10天内完成，(2)设g(x)=f(-x)-mx+1，该产品出厂价为每件160元，第x天(x∈n+)的每22则g(x)=(-x)-2(-x)-mx+1=x+(2-m)x+1件生产成本为f(x)元，f(x)与x对应关系如表：可得函数g(x)的对称轴为x=-2-m，2x(天)123⋯由于g(x)在[-1，1]上是单调函数，2-m2-mf(x)(元)96100104⋯则-2≤-1或-2≥1，得m≤0或m≥4故实数m的取值范围为(-∞，0]∪[4，+∞)．(1)请根据上表写出f(x)与x的函数关系式；(3)设h(x)=f(x)-nx+2，22(2)该厂每天生产的件数m(x)=50x+100，每天则h(x)=x-2x-nx+2=x-(2+n)x+2，n利润为p(x)元，该厂每生产一件产品就捐n元给可得函数h(x)的对称轴为x=1+，2n“红十字基金组织”(n>0)，工厂若想在第6天获①当n≥0时，则1+≥1，2得最大利润，求n的范围。函数h(x)在区间[-1，1]上为减函数，2则h(x)=h(1)=1-(2+n)+2=1-n=1，得n=0；解：(1)设y与x之间函数关系式为y=ax+bx+c，mina+b+c=96n②当n≤-4时，则1+≤-1，由(1，96)，(2，100)，(3，104)得，4a+2b+c=100，29a+3b+c=104函数h(x)在区间[-1，1]上为增函数，a=0h(x)min=h(-1)=1+(2+n)+2=5+n=1，得n=-4得：b=4，&there4;y=4x+92；n③当-4<n<0时，则-1<1+<1，c=922(2)由题意得：p(x)=(160-y-n)m(x)函数h(x)在区间-1，1+n2上为减函数，=[160-(4x+92)-n](50x-100)2在区间1+n，1=-200x+(3000-50n)x+6800-100n，上为增函数，23000-50n60-n对称轴x=-=，nn2n-4008则h(x)min=h1+=1+-(2+n)1+222∵工厂若想在第6天获得最大利润，1160-n13+2=1，解得n=0或n=-4，故当-4<n<0时，n∴≤≤，解得：8≤n≤16，282无解；综上可知，实数n的值为0或4．45,b3课后提升[巩固5]f(x)=ax+x经过点a(1,0)，b2,-2．(1)求函数f(x)的解析式；[巩固1]函数y=f(x)在r上为增函数，且f(2m)>f(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；(-m+9)，则实数m的取值范围是(C)1(3)求f(x)在区间,1上的值域。A.(-∞，-3)23解：(1)∵f(x)的图象过A(1,0)，B2,-2，&there4;B.(0，+∞)a+b=0a=-11b3，解得，&there4;f(x)=-x+C.(3，+∞)2a+=-b=1x221D.(-∞，-3)∪(3，+∞)(2)函数f(x)=-x+x在(0,+∞)上为减函数，证明如下：设任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，解：∵函数y=f(x)在r上为增函数，且f(2m)>f11则f(x1)-f(x2)=-x1+x--x2+x12(-m+9)，&there4;2m>-m+9，解得m>3，故选：Cx2-x1(x2-x1)(x1x2+1)=(x2-x1)+=x1x2x1x2[巩固2]定义在R上的函数fx，对任意的x1,x2∈R由x1，x2∈(0,+∞)得，x1x2>0，x1x2+1>0．fx1-fx2由x1<x2得，x2-x1>0，&there4;f(x1)-f(x2)>0，(x1≠x2)，都有>0，且f3=2，则不等x1-x2即f(x1)>f(x2)，&there4;f(x)在(0,+∞)上为减函数．式fx-1≤2的解集为(C)(3)由(2)知，函数f(x)=-x+1在1,1上为减函数，x213A.(-∞,2]B.[2,+∞)&there4;f(x)min=f(1)=0，f(x)max=f2=2C.(-∞,4]D.[4,+∞)[巩固6](2021秋•沈阳期中)若f(x)是定义在(0,+∞)fx1-fx2解：因为>0，所以fx在R上单调递xx1-x2上的函数满足f=f(x)-f(y)，当x>1时，f(x)>0y增．因为f3=2，所以fx≤2的解集为(-∞,3]，(1)判断并证明函数的单调性；则fx-1≤2的解集为(-∞,4]．故选：C1[巩固3](2021秋•深圳校级月考)函数y=(x+1)-2的(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)-f<2．x解：(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：递增区间是(-∞,-1).x1设x1>x2>0，则>1，解：令t=x+1(x≠-1)，则y=t-2，x2x由t=x+1在(-∞,-1)，(-1,+∞)均为增函数，&there4;根据f=f(x)-f(y)，且当x>1时，f(x)>0得：fy-2-2而y=t在(-∞,0)递增，所以函数y=(x+1)的x1(x1)-f(x2)=fx>0，增区间为(-∞,-1)．故答案为：(-∞,-1)．2&there4;f(x1)>f(x2)，&there4;f(x)在(0,+∞)上是增函数；2[巩固4](2021秋•三明期中)函数f(x)=4x-kx-8在(2)∵f(2)=1，4[2，10]上具有单调性，k的范围(-∞，16]∪[80，+∞)．&there4;f2=f(4)-f(2)=f(4)-1=1，&there4;f(4)=2，1解：根据二次函数的单调性知：&there4;由f(x+3)-fx<2得，f[x(x+3)]<f(4)，且f(x)kkf(x)在-∞，8上为减函数，在8，+∞上为增函在(0,+∞)上是增函数，kkx+3>0数；&there4;≥10，或≤2解得k≥80，或k≤16．88&there4;x>0，解得0<x<1，∴实数k的取值范围为(-∞，16]∪[80，+∞)．故答x(x+3)<4案为：(-∞，16]∪[80，+∞)．∴原不等式的解集为(0,1)．46,第九讲函数奇偶性及应用例1判断下列函数的奇偶性.模块一函数奇偶性2(1)f(x)=|x|(x+1)；1(2)f(x)=x+；课堂精讲x(3)f(x)=|x+1|-|x-1|；前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在(4)f(x)=x-2+2-x；定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质。22(5)f(x)=1-x+x-1下面我们将继续研究函数的其他性质。画出并观察2x+x,x<0(6)f(x)=函数f(x)=x2,g(x)=x的图象，你能发现这两个函2x-x,x>0数图象有什么共同特征吗？解：(1)f(x)定义域为R，关于原点对称．∵f(-x)=22|-x|[(-x)+1]=|x|(x+1)=f(x)&there4;f(x)是偶函数．yyf(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(2)f(x)定义域为{x|x>0}由于定义域关于原点不对称故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)定义域为R，关于原点对称∵f(-x)==|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，&there4;f(x)是奇函数x1x2xx1x2x(4)f(x)=x-2+2-x的定义域为{2}，由于定义域可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称。关于原点不对称，故f(x)既不是奇也不是偶函数．(5)f类比单调性的计算环节，我们可以得到：若x1+(x)=1-x2+x2-1的定义域为{1，-1}，由f(1)=0x2=0时，有:f(x1)=f(x2)，即f(x1)=f(-x1)且f(-1)=0，&there4;f(x)=0&there4;f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，故f(x)既是奇又是偶函数1.函数奇偶性(6)显然定义域关于原点对称．当x>0时，-x<0，f22一般的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对(-x)=x-x=-(x-x)；当x<0时，-x>0，f(-x)2-(x+x),x<0D内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数=-x-x2=-(x2+x)．即f(-x)=-(x-x2),x>0叫奇函数。如果对D内的任意一个x，都有f(-x)=即f(-x)=-f(x)&there4;f(x)为奇函数．f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.随堂练习奇函数偶函数[练1]函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<前提定义域关于原点对称0时，f(x)=2x+1，则f(3)等于(D)yyA.-7B.7C.-5D.5图示解：f-3=-3×2+1=-5f(3)=-f-3=5xx[练2](2017秋•龙海市校级期中)已知函数y=f(x)计算式f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数，若f(a)≥f(-2)，则a的取值范围是(D)对称性f(x)关于原点对称f(x)关于y轴对称A.a≤-2B.a≥2C.a≤-2或a≥2在x=0处有定义，对任意的x，都有特点D.-2≤a≤2则：f(0)=0f(x)=f(x)解：由题意可得|a|≤2，&there4;-2≤a≤2，故选：D．47,[练3]已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则[练7]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤2满足f(x+2)<f(x)的x取值范围是(c)0时，f(x)=x+2x．现已画出函数f(x)在y轴左a.(2,+∞)b.(-∞,-1)侧的图象，如图所示，并根据图象c.[-2，-1)∪(2，+∞)d.(-1,2)(1)补全函数图象求出函数f(x)(x∈r)增区间；解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=f(|x|)，(2)写出函数f(x)(x∈r)的解析式；∴f(x+2)<f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0，+∞)单(3)求函数f(x)x∈[0，3]的值域．增，∴x+2<|x|，得：x∈[-2，-1)∪(2，+∞)．y2[练4]已知函数f(x)=x+ax+b，且f(x+2)是偶函数，则f(1)，f5，f7的大小关系是(a)22257a.f2<f(1)<f2b.f(1)<f7<f5-22x2275c.f2<f(1)<f2-275d.f2<f2<f(1)2解：∵f(x+2)是偶函数∴函数f(x)=x+ax+b关解：(1)由图象可知当x<0时，函数的增区间为(-1于直线x=2对称，∴f(1)=f(3)，又该函数图象开口,0)．又因为函数为偶函数，所以在对称区间上函数的57单调性相反，∴当x>0时，函数的增区间为(1,+∞)．向上，当x>2时单增，故f2<f(3)=f(1)<f2yy=f(x)[练5]设偶函数y=f(x)的定义域为y25x[-5,5]，若当x∈[0,5]时，y=f(x)2的图象如图所示，则不等式y=f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．解：由图象可知：当x∈[0,5]时，f(x)<0的解为2<-22xx≤5，因为y=f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所-2以当x∈[-5,0]时，f(x)<0的解为-5≤x<-2．所以f(x)<0的解是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．2(2)设x>0，则-x<0，又当x≤0时，f(x)=x+2x，[练6]已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+2-所以f(-x)=x2x．又函数为偶函数，所以f(-x)=g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，求g(1).x2-2x=f(x)，所以当x>0时f(x)=x2-2x．2解：解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数x+2x,x≤0所以函数的解析式为f(x)=．x2-2x,x>0得f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)(3)由题意知，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)所以-f(1)+g(1)=2①f(1)+g(1)=4②上单调递增，f(0)=0，f(1)=-1，f(3)=3，所以f(x)x由①②消掉f(1)，得g(1)=3.∈[0，3]的值域为[-1，3]．48,3.奇偶性求参数值模块二奇偶性的应用由于奇偶性是函数对称性的一种体现，所以一课堂精讲个函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，即如果一个奇偶函数的定义域为区间D=a,b通过前面对函数奇偶性的介绍，我们知道了奇则一定有：a+b=0偶性体现了函数的一种特殊对称性质，由此，我们可以借助奇偶性来补全已知函数的图象。并且可以借2助部分图象来对称研究函数的其他问题。例3若函数f(x)=x+(a+5)x+b是偶函数，定义域为[a，2b]，则a+2b=0．1.抽象函数的奇偶性解：∵f(x)是偶函数，则函数的对称轴关于y轴对称，由于抽象函数解析式未知，此时我们可以单独a+5即-=0，得a+5=0，a=-5，定义域关于原点2只借用奇偶性所体现的图象对称特点来解决问题。对称，则a+2b=0，故答案为：0，yyf(x)f(x)含参函数y=f(x,a)在定义域对称的前提下，如-aa果具备了奇偶性，则有如下恒等式成立。-aOaxOx奇函数：①f(x,a)+f(-x,a)=0②x=0有定义，则有：f(0)=0yy偶函数：f(x,a)-f(-x,a)=0-aa|x-2|-a例4(2021•乐山二模)已知函数f(x)=是-aOaxOx4-x2af(x)f(x)奇函数，则f2=(A)33A.-B.C.2D.-22.利用奇偶性解抽象不等式33f(x)|x-2|-a形如xf(x)>0,>0(x-a)f(x)>0,xf(x-解：∵函数f(x)=是奇函数，&there4;f(0)=0，即x24-xa)<0等类型的不等式称之为抽象不等式，在求解时|-2|-a|x-2|-2a=0，解得a=2，&there4;f(x)=2，f24-04-x以分类讨论方法入手即可。分为以下的类型：ab>0|1-2|-23bb=f(1)==-，故选：A．或>0⇔ab同号。ab<0或<0⇔ab异号。4-123aa例2f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)4.奇偶性求函数解析式为增函数，f(3)=0不等式xf(x)<0解集是(C)已知奇（偶）函数在某一区间上的解析式，求其A.(-3，-1)∪(1，3)B.(-3，0)∪(3，+∞)与原点对称的区间上的解析式的方法。C.(-3，0)∪(0，3)D.(-∞，-3)∪(0，3)1已知x∈D时，y=f(x)。解：∵f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，&there4;f(3)=-f(-3)=0，在(-∞,0)内是增函数，&there4;xf(x)<0则2当x∈-D时，-x∈D,此时y=f(-x)x>0x<0或，f(x)<0=f(3)f(x)>0=f(-3)3∵y=f(x)是奇（偶）函数，根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数，&there4;f(-x)=-f(x)f(x)=-f(-x)解得：x∈(-3，0)∪(0，3)，故选：C．49,例5已知定义R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)[练12]已知函数f(x)=g(x)+2，x∈[-3，3]，且g(x)满足g(-x)=-g(x)，若f(x)的最大值和最小值分别2=x+x+1．求函数f(x)的解析式。为M、N，则M+N=(C)解：(1)∵f(x)为定义R上的奇函数，A.0B.2C.4D.6&there4;f(0)=0，2解：∵g(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)-x+1]=2故f(x)的图象关于(0,2)对称，其最大最小值点也关-x+x-1，2于(0,2)对称；所以M+N=4，故选：C．x+x+1,x>0x+a,x<0故f(x)=0,x=0；[练13]若f(x)=是奇函数，则(C)2bx-1,x>0-x+x-1,x<0A.a=1，b=-1B.a=-1，b=1C.a=1，b=1D.a=-1，b=-1随堂练习x+a,x<0解：∵f(x)=是奇函数，当x<0时，bx-1,x>02[练8]已知f(x)=ax+bx是定义在[a-1，2a]上的-x>0，&there4;f(-x)=-bx-1，即-f(x)=-bx-1，偶函数，那么a+b的值是(B)&there4;f(x)=bx+1，又∵当x<0时，f(x)=x+a，A.-1B.1C.-1D.1&there4;x+a=bx+1，&there4;a=1，b=1．33222[练14]已知函数f(x)在定义域R内为偶函数，并且x解：f(x)=ax+bx，依题意得：f(-x)=f(x)，11≥0时解析式为f(x)=2x2-4x+7．求：&there4;b=0．又a-1=-2a，&there4;a=，&there4;a+b=．332(1)x<0时的解析式；2-x[练9]函数f(x)=的图象关于(B)x(2)求函数在区间[-3，1]上的最值．A.x轴对称B.原点对称解：(1)若x<0，则-x>0，2C.y轴对称D.直线y=x对称∵x≥0时解析式为f(x)=2x-4x+7，2&there4;f(-x)=2x+4x+7，解：定义域为{x|-2≤x≤2且x≠0}，∵f(-x)=2∵f(x)是偶函数，2-x=-f(x)，&there4;f(x)奇函数，图象关于原点对称2-x&there4;f(x)=f(-x)=2x+4x+7；[练10](2009秋•杭州期中)若函数y=(2+x)(m-(2)作f(x)min=f(1)=5，f(x)max=f(-3)=13x)为偶函数，则m=(D)[练15](2021秋•凉山州期末)已知函数f(x)是定义在2A.-2B.2C.-2D.2R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x．解：由题意，函数是偶函数，故有(2?+x)(m-x)=(1)求函数f(x)的解析式；2(2?-x)(m+x)恒成立整理得-x+(m-2)x+(2)求关于m的不等式式f(2m-8)+f(5-m)22m=-x+(2-m)x+2m恒成立故有m-2>0的解集．=2-m解得m=2故选：D．解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，&there4;f(-x)=-f(x)，&there4;当x=0时，f(0)=0；当x<0时，-x>[练11]已知y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(10，f(x)=-f(-x)=-(-x)2=-x2．2-x)，则当x≤0时，f(x)=(C)x,x>0&there4;f(x)=；-x2,x≤0A.x(x-1)B.-x(x+1)(2)∵函数f(x)为奇函数，&there4;f(2m-8)+f(5-m)>C.x(x+1)D.-x(x-1)0⇔f(2m-8)>-f(5-m)=f(m-5)2解：令x≤0，则-x≥0&there4;f(-x)=-x(1+x)因为f(x)=x在[0，+∞)上递增，且f(x)为奇函数，又∵y=f(x)为奇函数&there4;f(-x)=-f(x)所以f(x)在R单调递增，&there4;2m-8>m-5，解得：m&there4;x≤0时，f(x)=x(1+x)故选：C．>3，故不等式的解集是{m|m>3}．50,[巩固6]若f(x)是偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)课后提升=x-1，则不等式f(x)>1的解集是(B)[巩固1](2021•齐齐哈尔开学)函数y=f(x)是奇函A.{x|-1<x<3}b.{x|x<-2或x>2}数，图象上有一点为(a，f(a))，则图象必过点(C)C.{x|x>2}D.{x|x>3}A.(a，f(-a))B.(-a，f(a))解：当x∈[0，+∞)时f(x)>1则x>2∵偶函数关1C.(-a，-f(a))D.a,f(a)于y轴对称&there4;f(x)>1的解集为{x|x<-2或x>2}解：∵函数y=f(x)是奇函数，图象上有一点为(a，f[巩固7]已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是(a))，&there4;f(-a)=-f(a)，即图象必过点(-a，-f(a))．1增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈,1上恒22[巩固2]函数f(x)=-x的图像关于(C)x成立，则实数a的取值范围是(D)A.y轴对称B.直线y=-x对称A.[-2，1]B.[-5，0]C.坐标原点对称D.直线y=x对称C.[-5，1]D.[-2，0]22解：∵f(-x)=-x-(-x)=-x-x=-f(x)，&there4;f1解：由题意可得|ax+1|≤|x-2|对x∈,1恒成(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，故选：C．21立，得x-2≤ax+1≤2-x对x∈,1恒成立，[巩固3]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f2x-31-x1(x)=x+2，则f(0)+f(3)等于(C)从而a≥x且a≤x对x∈2,1恒成立，&there4;a≥-2且a≤0，即a∈[-2，0]，A.-3B.-1C.1D.32[巩固8]已知函数f(x)=ax+bx+3a+b是定义在解：∵函数f(x)为R上的奇函数，&there4;f(0)=0，1∵当x<0时，f(x)=x+2，&there4;f(-3)=-1，f(3)=-f[a-1，2a]的偶函数，则a+b=3．(-3)=1，则f(0)+f(3)=0+1=1．故选：C．解：∵函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1，1[巩固4]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>02a]的偶函数，&there4;a-1+2a=0，解得a=，3时，f(x)=x3-8，则f(x-2)<0的解集为(C)1由f(x)=f(-x)得，b=0，即a+b=．3A.(-4，0)∪(2，+∞)B.(0，2)∪(4，+∞)1[巩固9](2020秋•兰州期末)已知函数f(x)=x-．xC.(-∞，0)∪(2，4)D.(-4,4)(1)求：函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶解：f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)33性并说明理由；=x-8，&there4;x>0时，-x<0，则f(-x)=-x-8=-f(x)，&there4;f(x)=x3+8，f(0)=0，由f(x-2)<0得0(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定<x-2<2或x-2<-2，故2<x<4或x<0．义加以证明．[巩固5]已知奇函数y=f(x)在(-∞,0)为减函数，且解：(1)定义域：(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域关于原点11f(2)=0，不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为(D)对称，∵f(-x)=-x-=-x+=-f(x)，-xxA.{x|-3<x<-1}∴函数f(x)是奇函数b.{x|-3<x<1或x>2}(2)判断：函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，C.{x|-3<x<0或x>3}证明：任取x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2，11d.{x|-1<x<1或1<x<3}∴f(x1)-f(x2)=x1-x-x2-x=(x1-x2)12解：由题意画出f(x)的草图如下，11+xx∵x1<x2，x1，x2∈(0,+∞)12∵(x-1)f(x-1)>0，&there4;(x-1)与1f(x-1)同号，由图象可得-2<x-∴x1-x2<0，1+xx>0&there4;f(x1)-f(x2)<0121<0或0<x-1<2，得-1<x<∴f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．1或1<x<3，51,第十讲函数对称性a+b②y=f(x)图象关于x=对称模块一函数的轴对称2f(a+mx)=f(b-mx)课堂精讲例1若函数f(x)=x2通过上一讲我们对偶函数的学习，我们知道偶+ax-2对任何实数x都有f(1函数的图象是关于y轴对称的，这是一种特殊的轴对-x)=f(1+x)成立，则f(x)的值域为(c)称，思考函数是否会具备其它的对称轴。前面我们a.[-1，+∞)b.[-2，+∞)用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的一些c.[-3，+∞)d.[0，+∞)2性质。下面我们将继续研究函数的对称性。解：函数f(x)=x+ax-2对任何实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，可得f(x)的图象关于直线x=1对a2称，即有-=1，即a=-2，所以f(x)=x-2x-21.函数的轴对称：22=(x-1)-3，当x=1时，f(x)取得最小值-3，如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两即f(x)的值域为[-3，+∞)．故选：c．侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数图像的对称轴。例2若函数f(x)=(1-x22)(x+ax+b)的图象关于由二次函数出发，我们知道二次函数的对称轴直线x=-2对称，则f(-2)值是-9为：x=a，由图可以得到：f(a+x)=f(a-x)22解：∵函数f(x)=(1-x)(x+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，∴将函数y=f(x)的图象向右平移2xx个单位，得函数y=f(x-2)的图象关于直线x=0对22称，∴f(x-2)=[1-(x-2)][(x-2)+a(x-2)+43b]是偶函数．设g(x)=f(x-2)=-x+(8-a)x+2a-xx(12a-b-23)x+(28-11a+4b)x+8a-4b，aa+x8-a=0x1+x2∵g(-x)=g(x)，∴28-11a+4b=0，x0=2点的对称性计算公式：解得a=8，b=15．∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，y=y1+y202∴f(-2)=-9．故答案为：-9yay1py0随堂练习y2b[练1](2020秋•凉州区校级月考)已知y=f(x-1)是x1x0x2x偶函数，则函数f(x)图象的对称轴是(c)由点的对称性出发，我们可以对轴对称的抽象11a.x=1b.x=c.x=-1d.x=-22关系做一般性的推广：解：∵y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x-1)的对称轴为①y=f(x)图象关于x=a对称x=0，将函数y=f(x-1)的图象向右平移一个单位可得y=f(x)的图象，∴函数f(x)图象对称轴是x=-1．f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x).52,[练2]定义域为r的函数f(x)，对∀x都有f(x)=f(2解：∵函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，∴将函数f(x+1)的图像向右平移一个单位得到f(x)，-x)，则下列选项一定正确的是(c)此时f(x)关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，a.f(-x)为偶函数b.f(x-1)为偶函数22当x≥0时，f(x)=-x-2x=-(x+1)+1，则此时fc.f(1-x)为偶函数d.f(x-2)为偶函数(x)′为减函数，则f(3-a)>f(2a)，等价为f(|3-a|)>f222解：定义域为R的函数f(x)，对∀x都有f(x)=f(2-(|2a|)，即|3-a|<|2a|，平方得9-6a+a<4a，得3a2x)，则函数图形关于直线x=1对称，4个选项中考察为+6a-9>0，即a+2a-3>0，得a>1或a<-3，偶函数的，也就是图象关于y轴即x=0对称的，[练6]写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x):将原函数图象向左平移1个单位就会关于x=0对称，即2f(x)=-(x-1)．f(x+1)为偶函数，因此f(x+1)的图象关于y轴对称，①f(x)=f(2-x)；又f(x+1)为偶函数，有偶函数性质f(-x)=f(x)得f(x+1)=f(-x+1)，即f(-x+1)也是偶函数，②当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减．[练3]二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意解：函数f(x)满足f(x)=f(2-x)；说明函数的对称轴为：x=1，函数满足当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减．2项x∈R都有f(x)=f(4-x)成立，若f(1-2x)<f2不妨是二次函数，开口向下，所以f(x)=-(x-1)，22(1+2x-x)，则x的取值范围是(c)故答案为：f(x)=-(x-1)答案不唯一．a.x>2B.x<-2或0<x<2[练7]已知定义在r上的函数y=f(x)满足f(2+x)=c.-2<x<0d.x<-2或x>0f(2-x)，若方程f(x)=0有且仅有三个根，且x=0为解：∵对任意项x∈R都有f(x)=f(4-x)其一个根，则其它两根为2，4．&there4;函数f(x)的对称轴为x=2而函数的开口向上，则函解：∵y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)函数的图象关于2数f(x)在(-∞，2]上是单调减函数∵1-2x≤1，1+x=2对称由函数的对称性可得，f(0)=f(4)=022222x-x=-(x-1)+2≤2，f(1-2x)<f(1+2x-x)∵方程f(x)=0有且仅有三个根∴f(2)=022∴1-2x>1+2x-x，解得-2<x<0，故选：c．[练8](2016•泸州模拟)已知定义域为r上的偶函数f[练4](2015•天津模拟)已知y=f(2x+1)是偶函数，1(x)在[0，+∞)上单调递增，且f2=0，则不等式f则函数y=f(2x)的图象的对称轴是(a)531{x|x>或x<}A.x=B.x=2(x-2)>0的解集是22．21C.x=-1D.x=1解：∵偶函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f2=0，211&there4;不等式f(x-2)>0等价为f(|x-2|)>f2，解：∵y=f(2x+1)=f2x+2，&there4;只要将y=f(2x1111即|x-2|>，即x-2>或x-2<-，+1)的图象向右平移单位，即可得到y=(2x)的图222253即x>或x<，象，∵y=(2x+1)是偶函数，图象关于y轴对称，22153&there4;y=f(2x)的图象关于直线x=对称．故选：A．&there4;不等式f(x-2)>0的解集为{x|x>或x<}．22253故答案为：{x|x>或x<}．22[练5](2021春•沙坪坝区校级期末)已知定义在R上22[练9]若函数f(x)=(x-1)(-x+ax-b)的图象关的函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，当x≥于直线x=2对称，则ab=120．20时，f(x)=-x-2x，若f(3-a)>f(2a)，则实数a解：∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称，的取值范围是(C)&there4;f(-1)=f(5)，且f(1)=f(3)，A.(-3,1)即24(-25+5a-b)=0，且8(-9+3a-b)=0，即-25+5a-b=0，且-9+3a-b=0，B.(1,+∞)解得a=8，b=15，则ab=120，故答案为：120C.(-∞，-3)∪(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(3，+∞)53,3.函数周期性模块二函数的中心对称函数fx定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得fx+T=fx恒成立，则称fx课堂精讲是周期函数，T是它的一个周期。一般T是fx的1.函数的中心对称周期，则kTk∈Z也是fx的周期。如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，点两侧y的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的f(x)f(x+T)中心对称，该点称为该函数图像的对称中心。xx+Tx由初中阶段的反比例函数出发，我们观察下列函数图象，思考由中心对称出发可以得那些结论。最小周期Ty4.周期性与对称性关系△y若一个函数f(x)具有:中心对称、轴对称、周期性f(a+x)b中任意两个条件，则第三个也必然成立。△yf(a-x)若f(x+a)=f(x+b)或f(x-a)=f(x-b)，则T=b-aa-xaa+xx若f(x)关于点a，0，(b，0)对称，则f(x)是周期函数，且T=2|a-b|；若f(x)图象有两条对称轴x=a，x=b，则f(x)观察上图可知，当函数的对称中心为(a,b)时，可是周期函数，且T=2|a-b|；得：fa+x+fa-x=b+△y+b-△y=2b若f(x)关于点(a，0)对称，且关于x=b对称，则f(x)是周期函数，且T=4|a-b|；2.中心对称的抽象表达由点的对称坐标出发，结合上面的例子，我们可例4(2022•辽宁模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象a+bc得到函数y=f(x)图象关于2，2成中心对称关于直线x=1对称，函数y=f(x+1)关于点(1时函数的抽象表达：,0)对称，则下列说法正确的是(B)fa+x+fb-x=cA.f(1)=0B.f(1-x)=f(1+x)3C.f(x)的周期为2D.f(x)=f2-x例3设R上定义的函数y=f(x)，对任意x∈R都有解：由函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称，f(x)+f(-x)=1，则这个函数的图象关于(B)可得f(2x+2+1)=f(2-2x+1)，即f(2x+3)=f(3A.原点对称B.y轴对称-2x)，将2x换为x可得f(x+3)=f(3-x)，即有f(x1C.点0,2对称D.点(0,1)对称+6)=f(-x)①，故D错误；由函数y=f(x+1)关于1点(1,0)对称，可得f(2+x)+f(2-x)=0，且f(2)=f解：设g(x)=f(x)-∵f(x)+f(-x)=1，&there4;g(-x)=-g(x)2(0)=0，故A错误；f(x+4)=-f(-x)②，1&there4;g(x)=f(x)-为奇函数，图象关于原点对称∵函数g(x)=2由①②可得f(x+6)=-f(x+4)，即f(x+2)=-f11f(x)-，&there4;f(x)=g(x)+&there4;y=f(x)的图象是由g(x)的图(x)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，22象向上平移1个单位得到&there4;y=f(x)的图象关于0,1对称则f(x)的最小正周期为4，故C错误．故选：B．2254,解：f(2+x)=f(2-x)，故f(x)的图象关于直线x=2随堂练习对称，&there4;f(x)=f(4-x)．故f(-x)=f(4+x)=-f(x)，[练10](2017春•崇文区校级期末)函数f(2x+1)是奇&there4;f(x)=-f(4+x)=f(8+x)，f(x)是周期等于8的周期函数．f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=-f(-1)=2，函数，则函数f(x)的对称中心为(B)1[练15](多选)函数y=f(x)的图象关于直线x=1对A.(0,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.2，0称，则下列结论成立的是(AB)解：若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)，A.f(x+1)为偶函数可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1,0)，B.f(1+x)=f(1-x)[练11]若R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，C.f(1+x)+f(1-x)=09当-1≤x≤0时，f(x)=2x(1-x)，则f2=(D)D.f(1)=01133解：∵y=f(x)图象关于x=1对称，而y=f(x+1)图象A.B.-C.D.-2222是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故y=f(x解：∵偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，&there4;f(x)=f(2+1)的图象关于x=0，即y轴对称，故y=f(x+1)为偶911+x)&there4;f2=f2=f-2∵当-1≤x≤0时，f(x)函数，故A正确；∵y=f(x+1)为偶函数，所以f(-x+11131)=f(x+1)，故B正确，C错误；y=f(x)的图象关于直=2x(1-x)，&there4;f-2=2×-2×1+2=-2线x=1对称，无法计算f(1)的数值，故选项D错误．[练12](2022•福州模拟)定义在R上的函数f(x)满足2[练16]已知函数f(x)=x+-1x-1f(2-x)=2-f(x)，若f(x)的图象关于直线x=3对(1)记g(x)=f(x+1)，证明：g(x)图象关于原点称，则下列选项中一定成立的是(A)对称．A.f(-3)=1B.f(0)=02(2)若方程f(x)=t(x-2x+3)|x|有三个解，求C.f(3)=2D.f(5)=-1实数t的取值范围．解：若f(x)的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=2-f2解：(1)∵f(x)=x+-1，x≠1(1)，即f(1)=1，又f(5)+f(-3)=2，且f(5)=f(1)=1，x-122&there4;f(-3)=2-f(5)=2-1=1，&there4;g(x)=f(x+1)=x+1+-1=x+，由xx+1-1x[练13]已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件+1≠1得x≠0，g(x)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，22fx+3=-f(x)，且函数y=fx-3是奇函数，由则g(-x)=-x-x=-x+x=-g(x)，24则g(x)是奇函数，则图象关于原点对称．下列四个命题中不正确的是(D)2(2)∵f(x)=t(x-2x+3)|x|，A.函数f(x)是周期函数&there4;当x=0时，-3=0不成立，即x≠0，B.函数f(x)的图象关于点-3,0对称224&there4;x+-1=t(x-2x+3)|x|，x-12C.函数f(x)是偶函数x-2x+32即=t(x-2x+3)|x|，x-13D.函数f(x)的图象关于直线x=对称114化简得t=，即=x(x-1)t33解：f(x)满足fx+2=-f(x)，有fx+2=-f(x)xx-1==fx-3恒成立，函数周期是3又函数y=fx-3xx-1,x>0且x≠124，-xx-1,x<03是奇函数，故函数y=f(x)的图象关于点-4,0对称，作出对对应的函数图象如图：由此知A，B是正确的选项，D不对故选：D．12当x>0时，x(x-1)=x-2-[练14]定义在R上的f(x)是奇函数，对x∈R都有f(211≥-，44+x)=f(2-x)，当f(-1)=-2时，f(2009)=(D)2&there4;要使方程f(x)=t(x-2x+3)|x|有三个解，A.-4B.0C.-2D.2则-1<1<0，即t<-44t55,22[巩固6]若函数f(x)=(x-1)(x+ax+b)的图象关课后提升于直线x=2对称，则f(x)的最小值为(C)[巩固1]设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的A.0B.-15C.-16D.-181222图象关于直线x=3对称，则f-3=(A)解：∵函数f(x)=(x-1)(x+ax+b)的图象关于直线x=2f(0)=f(4)A.0B.1C.-1D.2对称，&there4;f(4-x)=f(x)对于任意x都成立，&there4;f(1)=f(3)，代解：∵f(x)是奇函数，f(0)=0．∵y=f(x)关于直线-b=240+60a+15ba=-82入可得，，得，&there4;f(x)=(x-1)12220=72+24a+8bb=15x=3对称，&there4;f3=f(0)=0&there4;f-3=-f3=0(x2-8x+15)，∵f(2+5)=-16，f(2-5)=-16，[巩固2]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1+x)[巩固7]设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满13=f(1-x)，f2=1，则f-2=(C)足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立，又当x∈333A.-B.-1C.1D.[-1，1]时，f(x)=x，则下列四个命题：22解：∵f(x)是R上的偶函数，又∵f(1+x)=f(1-x)，①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数；&there4;f(-x)=f(2+x)，即f(x)=f(x+2)，&there4;f(x)为周期函数周期3②当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)；331T=2，&there4;f-2=f2-2=f2=1．③函数y=f(x)的图象关于x=1对称；32[巩固3](2022•保定模拟)已知函数f(x)=x+ax+④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称．x+b的图象关于点(1,0)对称，则b=(C)其中正确的命题是①②③④．A.-3B.-1C.1D.3解：∵y=f(x)是奇函数，&there4;f(-x)=-f(x)，∵f(x-2)=-f解：由f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称，可得f(x)对∀x∈R都成立，&there4;f(x-4)=f(x)，&there4;y=f(x)是以4为(1+x)+f(1-x)=0，即(1+x)3+a(1+x)2+(1+x)+b+(1周期的周期函数，①正确．当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，-x)3+a(1-x)2+(1-x)+b=0，化为(6+2a)x2+(4+2a+f(x-2)=(x-2)3=-f(x)，&there4;f(x)=(2-x)3，②正确．∵f(x2b)=0，可得6+2a=0，且4+2a+2b=0，a=-3，b=1，-2)=-f(x)，&there4;f(1+x)=f(1-x)，&there4;y=f(x)的关于x=13对称，③正确．∵当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)，&there4;f(2)=0，[巩固4](多选)函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∵f(x-2)=-f(x)，&there4;f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x-那么(ABC)2)，&there4;f(x+2)=-f(x-2)，&there4;y=f(x)图象关于(2,0)对称A.f(2-x)=f(x)[巩固8]对于定义在实数集R上的函数f(x)，若存在常B.f(1-x)=f(1+x)C.函数y=f(x+1)是偶函数数t，使得任意的x∈R都有f(t+x)+f(t-x)=0，则D.函数y=f(x-1)是偶函数函数f(x)的图象关于x轴上的点P(t,0)对称．解：由f(x)关于x=1对称知，f(2-x)=f(x)，f(1-(1)若f(x)是R上单调函数且其图象关于点P(tx)=f(1+x)，把f(x)图象向左平移1个可得y=f(x,0)对称，证明：函数f(x)有唯一零点；+1)图象，x=0对称，为偶函数，把函数f(x)图象向32右平移1个得y=f(x-1)的图象，关于x=2对称，(2)已知函数g(x)=x+3x-2，证明：函数g(x)[巩固5](2017秋•分宜县校级月考)已知y=f(2x-的图象关于x轴上的点P对称，并求出点P的坐标．1)为奇函数，y=f(x)与y=g(x)图象关于y=x对解：证明：(1)∵f(x)的图象关于点P(t,0)对称，称，若x1+x2=0，则g(x1)+g(x2)=(B)&there4;f(t+x)+f(t-x)=0对于任意的x都成立，A.2B.-2C.1D.-1令x=0可得2f(t)=0即f(t)=0，解：∵y=f(2x-1)为奇函数，故y=f(2x-1)的图象关于原点∵f(x)是R上单调函数，1(0,0)对称而y=f(x)的图象由y=f(2x-1)图象向左平移由函数的零点判定定理可知，函数f(x)有唯一零点；232个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故(2)设g(x)=x+3x-2关于P(t,0)对称，y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称，又y=f(x)与y=g(x)图32&there4;g(t+x)+g(t-x)=(t+x)+3(t+x)-2+(t-象关于y=x对称，故函数y=g(x)图象关于点(0,-1)对称．x)3+3(t-x)2-2=0恒成立&there4;0=2t3+6(t+1)x2-因为x1+x2=0，即x1=-x2，故点(x1，g(x1))，(x2，g(x2))关于2324+6t恒成立，6(t+1)=0且2t-4+6t=0，点(0,-1)对称，故g(x1)+g(x2)=-2，&there4;t=-1，即g(x)关于(-1,0)对称，即P(-1,0)．56,第二章章末总结1.本章内容是对函数所具备的共有性质的抽象学习。我们知道对于可作图的函数，其基本性质可以由图象得到，而高中阶段已经从初中阶段的特例函数推广到了一般函数，对于大部分函数，我们无法作出其函数图象，由此我们需要用一套代数计算的方法去判断函数性质，这也是本章的教学核心。通过本章的学习，请你对本章所学内容经行归纳总结，用架构图表示。定义域有界性值域渐近线证明:∀x1,x2∈D,且x1<x2单调性证明抽象计算f(x1)-f(x2)=∙∙∙∙∙∙单调性解抽象不等式f(x1)-f(x2)求函数值域其它抽象：>0x1-x2解：函数性质求参数值奇函数：f(-x)+f(x)=0抽象计算奇偶性作草图解函数不等式偶函数：f(-x)-f(x)=0奇偶性衍生模型图像的自对称性抽象计算中心对称：f(a-x)+f(b+x)=2c对称性轴对称：f(a-x)-f(b+x)=0图像的它对称性周期性：任意波函数都可以是正弦波的叠加抽象计算f(x)=f(x+T)2.通过本章的内容学习，请完成以下填空。(1)形如y=C（C为常数）的函数称之为常数函数，是六个基本初等函数之一。其图像是一条平行于x轴的直线，不具备单调性。主要用于解决含参的问题。像这种有解析的函数我们统称为解析函数，没有解析的函数称为抽象函数，例如：y=f(2x-1)(2)函数问题，定义域优先考虑。例如：奇偶性成立的前提条件是定义域关于原点对称。中学阶段主要的定义域约束条件是：1分式的分母不能为零；2对数的真数大于零；3根号下被开方数大于等于零；4零指数幂底数不为零(3)函数单调性是分析求解函数最值的关键步骤，在选择题中我们可以借助以下性质计算快速判断函数单调性：1增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数2添加根号单调性不改变；变倒数、加负号单调性改变(4)奇偶性是一种特殊的对称性，利用对称性我们可以解决很多问题。奇偶性的主要用途：1借助奇偶性的抽象草图，解决抽象不等式；2借助奇偶性对称的特点，求解函数在定义域内完整的函数解析；3利用奇偶性对称的特点解决互为相反数的两自变量函数值和的问题,例如：f(-a)+f(a)。57,3.(2022•山西三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，且在区间(1,+∞)上单调递增，则满足f(1-x)>f(x+3)的x的取值范围为(B)A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,1)解：∵函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，&there4;f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，且f(1-x)>f(x+3)，即f|(1-x)-1|>f|(x+3)-1|，&there4;|-x|>|x+2|，得x<-1．4.(2021秋•郫都区校级月考)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x+1)≥0的x的取值范围是(D)A.(-∞，-4]∪{0}∪[2，+∞)B.(-∞，-2]∪[0，1]∪[4，+∞)C.[-4，-1]∪[0，2]D.(-∞，-4]∪{-1，0}∪[2，+∞)解：∵定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0，&there4;f(x)的图像如图：当x=0或x+1=0时，满足条件，此时x=0或x=-1，当x≠0且x≠-1时，x>0x<0不等式xf(x+1)≥0等价为或，f(x+1)≥0f(x+1)≤0x>0x<0x>0x<0即或，得或，x+1≥3x+1≤-3x≥2x≤-4即x≥2或x≤-4，综上，x≥2或x≤-4或x=0或x=-1，f(x)-f(y)5.(2022春•安徽期中)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y∈R)，当x≠y时，>0成x-y立，且f(1)=2．(1)求f(0)，并证明函数g(x)=f(x)-1的奇偶性；(2)当x∈[0，9]，不等式f(x)+f(m-2x)≤3恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)令x=y=0，可得f(0)=1，证明：令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1，所以f(x)+f(-x)=2，所以g(-x)+g(x)=f(x)-1+f(-x)-1=0，所以g(x)为奇函数；(2)解：f(x)+f(m-2x)≤3，即f(x)+f(m-2x)-1≤2，所以f(x+m-2x)≤f(1)，f(x)-f(y)又当x≠y时，>0成立，所以f(x)为增函数，x-y所以x-2x+m≤1在x∈[0，9]上恒成立，2令x=t，可得1-m≥t-2t在t∈[0，3]上恒成立，2又y=t-2t，t∈[0，3]，2所以当t=3时，(t-2t)max=3，所以1-m≥3，即m≤-2，所以m的取值范围是(-∞，-2]．58,第十一讲一次函数及其变换2.一次函数的平移变换模块一一次函数的图象性质初中阶段，我们学习了函数平移变换的通法:左课堂精讲加右减，上加下减。一次函数图像的平移变换：f(x)初中阶段我们学习了一次函数，介绍了函数的=kx+b图象向左(右)平移m个单位得到：f(x±性质，函数、方程与不等式之间的关系。高中阶段将m)=k(x±m)+b；f(x)=kx+b图象向上(下)平对一次函数做更全面的补充与拓展。移h个单位得到：f(x)±h=kx+b±h；1．一次函数图象性质解析式f(x)=kx+b3．一次函数的翻折变换k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程以f(x)=2x+1与f(x)=2x+1、f(x)=2x参数y1−yo度.k=tanα=x1−xo+1为例：b代表直线的纵截距，含义是直线与y轴相交的点的纵坐标.(1)f(x)图象是将f(x)在x轴上方图象保留，将k>0,b>0k>0,b<0x轴下方的图象作x轴翻折后得到。yyyyx对x称x翻x图像y=f(x)折y=f(x)k<0,b>0k<0,b<0yy(2)函数f(x)图象是将函数f(x)在y轴右侧的图x象不变，把y轴左侧的图象去掉，再将y轴右侧图象x作y轴翻折到左侧得到。例1“k>1”是“函数f(x)=kx+2为R上的增函数”yy对称翻折的充分不必要条件．(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”)y=f(x)x解：若k>1，&there4;f(x)=kx+2为R上的增函数，若函数fy=f(x)x(x)=kx+2为R上的增函数，则k>0，无法推出k>1．59,2-x+2x-1，x≤12例3不等式|5-2x|>3的解集是(D)例2已知函数f(x)=，若f(a-|x-1|，x>1A.(1,4)B.(-∞,1)4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(D)C.[4，+∞)D.(-∞，1)∪(4，+∞)A.(-4，1)B.(-∞，-4)∪(1，+∞)解：∵|5-2x|>3，&there4;5-2x>3或5-2x<-3，C.(-1，4)D.(-∞，-1)∪(4，+∞)&there4;x<1或x>4，不等式解集是(-∞，1)∪(4，+∞)2-x+2x-1，x≤1解：由分段函数f(x)=可得函|x-1|，x>1例4(2021秋•河东区校级期中)若关于x的不等式3数图像如下。由图可知：f(x)在R上单调递增，2-|x-a|>x在(-∞,0)上有解，则实数a的取值22若f(a-4)>f(3a)，则a-4>3a，得a>4或a<-1范围是(A)1313yA.-4，3B.-3,413C.-∞,-4D.(3,+∞)x2解：∵关于x的不等式3-|x-a|>x在(-∞,0)上2有解，&there4;关于x的不等式3-x>|x-a|至少有一个2负数解，作函数y=3-x与y=|x-a|的图象如下，x=1通过上面对一次函数图像的翻折变换的介绍，我们将用来解决以下问题：一次绝对值不等式的解法以及一次绝对值函数图像、性质的分析。4.一次绝对值不等式对于f(x)≤a型不等式的解法：结合图象可知，关于x的不等式3-x2>|x-a|至少有一个负数解可化为在y轴左侧，函数y=|x-a|的(以2x+1≤5为例,还可以两边同时平方转化为2图象有在函数y=3-x的图象的下方的部分，当y=一元二次不等式求解)|x-a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，当y=|x-①解出y=f(x)的零点：2a|在y轴左侧与y=3-x的图象相切，即y′=-2x=111113令y=2x+1中y=0⇒x=−1，即过点-2，4，即a=-4时，是临界值，结合213②在同一坐标系中画出y=f(x)与y=a的图象图象可知，a的取值范围是-4，3，③解出翻折前f(x)=a实根，由对称得出翻折后实根：随堂练习④根据图像，得出f(x)≤a的解集：[练1]已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=yy=2x+12x+9，则函数f(x)的解析式为(A)y=5A.f(x)=x+3B.f(x)=x-3C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-3解：设一次函数f(x)=kx+b，∵3f(x+1)-f(x)=3[k(x+1)+b]-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9，&there4;-3-12x2k=2k=12，解得：，&there4;f(x)=x+3，．故选：A．3k+2b=9b=360,1-y[练2]不等式|x+1|≥2的解集是(D)[练7]已知A={(x，y)|=3}，B={(x，y)|y=1+xA.{x|x<-3或x>1}kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是2或-3．B.{x|-3<x<1}c.{x|-3≤x≤1}解：a是直线y=-3x-2去掉点(-1，1)后所有点的集d.{x|x≤-3或x≥1}合，b是直线y=kx+3所有点的集合，∵a∩b=∅，∴解：∵|x+1|≥2，∴x+1≥2或x+1≤-2，两直线的位置关系是平行，或直线y=kx+3过点(-1，∴x≥1或x≤-3，∴不等式|x+1|≥2的解集为{x|x1)，若两直线平行，则有k=-3，若直线y=kx+3过点≥1或x≤-3}．故选：d．(-1，1)，则有1=-k+3，得k=2综上，k值是2或-3[练3](2021秋•西城区校级期中)设x∈r，则[练8]若命题“∀x∈r，|x-2|>kx+1”为真，则k的111“x-2<2”是“x<1”的(A)条件[-1，-)取值范围2A.充分而不必要解：作出y=|x-2|，y=kx+1的B.必要而不充分图象，直线y=kx+1恒过定点(0，C.充要11)，结合图象可知k∈[-1，-)．D.既不充分也不必要2解：x-1<1，即-1<x-1<1，得0<x<1，∵(0，1)[练9]作出下列函数的图像22222⊊(-∞，1)，∴“x-1<1”是“x<1”的充分不必要条件．(1)画出函数f(x)=|2x+4|-3的图像22(2)画出函数f(x)=2|x-1|+2的图像[练4](2017春•钦南区校级期中)若关于x的不等式解：函数图像如下：|x-1|+x≤a无解，则实数a的取值范围是(a)f(x)=|2x+4|-3f(x)=2|x-1|+2a.(-∞,1)b.(∞，1]yyc.(1,+∞)d.[1，+∞)x=-22x-1,x≥1解：令y=x+|x-1|=，∴函数的最小1,x<1值为1，∴要使关于x的不等式x+|x-1|≤a无解，x2实数a的取值范围为a<1．故选：a．-3[练5](2022•连云港二模)若不等式|x-1|<a的一个x=1x充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是(d)[练10]已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈r)．a.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1(1)若f(a)=3，求实数a的值；解：由不等式|x-1|<a，可得-a+1<x<a+1，(a<(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围；0不合题意)，要使得0<x<1是-a+1<x<a+1的-a+1≤0(3)设g(x)为定义在r上的奇函数，且当x<0一个充分条件，则满足，解得a≥1．a+1≥1时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式．[练6](2018秋•碑林区校级月考)集合p={x|x∈r，解：(1)若f(a)=3，则f(a)=2|a-2|+a2=3，a≥2时，2|x-1|<1}，q={x|x∈r，|x-a|≤1}，且p∩q=a+2a-7=0，解得：a=-1±22，不合题意，舍，a<22时，a-2a+1=0，解得：a=1，综上：a=1；∅，则实数a取值范围为(c)(2)∵f(x)=2|x-2|+ax，∴f(x)=a.a≥3b.a≤-1．(a+2)x-4,x≥2，又函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈r)c.a≤-1或a≥3d.-1≤a≤3(a-2)x+4,x<2解：由p={x|x∈r，|x-1|<1}={x|0<x<2}，有最小值，∴-2≤a≤2，即-2≤a≤2f(x)有最小值；由|x-a|≤1得-1≤x-a≤1，即a-1≤x≤a+1．(3)∵g(x)为r上的奇函数，∴g(-0)=-g(0)，得g(0)=0，设x>0，则-x<0，由g(x)为奇函数，得g(x)=-g(a-2)x+4,x<0如图由图可知a+1≤0或a-1≥2，所以a≤-1或a≥3．(-x)=(a-2)x-4，&there4;g(x)=0,x=0．(a-2)x-4,x>061,2.盆函数的变换模块二多绝对值和差函数通过上面对盆函数的分析，我们可以知道：对于课堂精讲多绝对值的问题，分析方法采用的是去绝对值的原通过前面的学习，我们知道了f(x)=kx+n是理，将绝对值函数拆分为分段函数研究。一次函数经过翻折变换以后得到的。初中阶段我们对于函数f(x)=mx-a+nx-b我们也可以就知道了一元一次的问题可以借助数轴分析，现在我采用去绝对值的原理来研究，但是去绝对值过于浪费们重新从另外一个角度来认识绝对值函数。函数f(x)时间，由此我们可以直接记住函数的结论：=x-n的几何意义是：数轴上任意一点到数n对应当f(x)=mx-a+nx-b时，的点的距离，由几何意义出发，我们可以知道：ab①f(x)的最小值在x1=或x2=处取得，将mn①动点运动到n的位置时，距离最小，f(x)min=0;二者代入解析式，谁小谁就时函数的最小值。②动点到n的距离是对称的，&there4;f(x)是对称函数②变换后的函数不再具备对称性。例5(2021秋•上高县月考)若关于x的不等式|x-由上面的背景出发：对于多绝对值函数的和差问2|+|2x+3|>a对任意x∈R恒成立，则a的取值题，我们任然可以借助数轴分析。思考：动点到两点范围为(B)甚至更多点的距离和和距离差有什么样的性质。7A.(-∞,7)B.-∞,27C.[0，7)D.0,21．盆函数f(x)=x-a+x-b解：令f(x)=|x-2|+|2x+3|，由讲解的知识可知：37由于其独特的函数外形，我们将函数f(x)=当x=-时，f(x)=，当x=2时，f(x)=7，227x-a+x-b称之为盆函数.综上所述，f(x)min=2，∵不等式|x-2|+|2x+3|>a7-2x+a+b,x<a对任意x∈r恒成立，∴a<f(x)min=，2f(x)=x-a+x-b=b-a,a≤x≤b7故a的取值范围为-∞,2．故选：b．2x-a-b,x>b2.绝对值的差函数解析式f(x)=x-a-x-ba>ba<byy图象a正方形abxbxabxf(x)=x-a+x-ba+ba+b对称性函数关于(,f())对称22a+b函数性质：①函数是对称函数，对称轴为x=当x=a时，有最小值f(a)=-a-b2最值当x=b时，有最大值f(b)=a-b②当x∈a,b时，有:f(x)min=b-a(b>a)62,例6(2021秋•金东区期中)已知f(x)=|x-4|-|x+[练14](2022•自贡模拟)已知函数f(x)=|x+a|+|x+2|，若f(a+1)<f(2a)，则a的取值范围是(d)-b|(a，b∈r)．a.[-1，1]b.[-1，3](1)当a=1，b=2时，求不等式f(x)<5的解集；12c.(1,3)d.(-3,1)(2)若y=f(x)最小值为3，求+的最小值．ab6,x≤-2解：(1)当a=1，b=2时，不等式f(x)<5化为|x+解：f(x)=-2x+2,-2<x<4x<-11|+|x-2|<5，即①，-x-1+2-x<5-6,x≥4-1≤x≤2x>2的图象，如下图：由图，可知f(a+或x+1+2-x<5②，或x+1+x-2<5③．2a≤-21)<f(2a)得-3<a解①得-2<x<-1，解②得-1≤x≤2，解③得2<xa+1>-2<3，&there4;不等式f(x)<4的解集为{x|-2<x<3}；-2<2a<4≤-1或-1<a<1(2)证明：f(x)=|x+a|+|x-b|≥|(x+a)-(x-b)|=2a<a+1|a+b|=a+b(当且仅当x+a与x-b不同号时取等)，∴-3<a<1，∴a的取值范围为(-3,1)．+故a+b=3，又a，b∈r，121121b2a∴a+b=3a+b(a+b)=33+a+b≥随堂练习1b2a13+2⋅=(3+22)．3ab3[练11]若关于x的不等式|x+1|+|x-2|<a的解集b2a当且仅当=，即a=3(2-1)，b=3(2-2)时等ab不是空集，则实数a的取值范围是(b)号成立．a.[3，+∞)b.(3,+∞)121∴+的最小值为(3+22)．c.[1，+∞)d.(1,+∞)ab3解：显然f(x)min=3．问题转化为关于x的不等式f(x)<a的[练15](2021秋•上高县校级月考)已知函数f(x)=解集不是空集，∴a>f(x)min=3，&there4;a的取值范围为(3,+∞)，|3x+1|-2|x-1|．[练12](2021春•郑州期末)若关于x的不等式|x-(1)求f(x)>1的解集；3|+|x+a|<5有解，则实数a的取值范围是(B)(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．A.(-∞，-8)∪(2，+∞)B.(-8,2)解：(1)函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|=C.(-∞，-2)∪(8，+∞)D.(-2,8)x+3,(x≥1)解：∵|x-3|+|x+a|≥|a+3|，&there4;若不等式|x-3|+|x+a|<51x≥1有解，只需|a+3|<5，&there4;-8<a<2，a的取值为(-8,2)．5x-1,-3≤x<1，则f(x)>1⇔或x+3>11[练13]已知函数f(x)=|x-m|+|x+3|．-x-3,x<-311(1)当m=1时，求不等式f(x)≥6的解集；-3≤x<1x<-3或，5x-1>1-x-3>1(2)若关于x的不等式f(x)≤2m-5有解，求实2解得x≥1或<x<1或x<-4．数m的取值范围．52解：(1)对于函数f(x)=|x-m|+|x+3|，当m=1时，不等式f∴f(x)>1的解集为{x|x<-4或x>5}；(x)≥6，即|x-1|+|x+3|≥6．(2)由于f(x+1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了根据绝对值的意义，|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到1一个单位所得，(如图所示)．和-3对应点距离之和，而-4、2对应点到1和-3对应点距离y=5x-1向左平移一个单位之和正好等于6，故|x-1|+|x+3|≥6的解集为{x|x≤-4或后表示为y=5(x+1)-1=5xx≥2}．y=-x-3(2)关于x的不等式f(x)≤2m-5有解，即|x-1|+|x+3|≤+4，联立，解得横y=5x+42m-5能成立，故2m-5大于或等于|x-1|+|x+3|的最小7值．而|x-1|+|x+3|的最小值为4，&there4;2m-5≥4，求得m≥坐标为x=-6，&there4;不等式)的9，故实数m的取值范围为9，+∞722．解集为{xx<-．663,[巩固13](2022春•兴庆区校级期中)不等式|x-课后提升1|+|x+3|≥6的解集是(-∞,-4]∪[2，+∞)．[巩固9](2021秋•于都县校级月考)绝对值不等式|x解：解：由于|x+3|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-3|<4的解集为(C)-3、1对应点的距离之和，而-4和2对应点到-3、1A.(-∞,-1)对应点的距离之和正好等于6，故等式|x+3|+|x-1|≥6的解集是(-∞，-4]∪[2，+∞)，B.(7,+∞)2[巩固14](2021秋•虎丘区校级月考)若“x-x-6≤C.(-1,7)0”是“|x-1|≤m(m>0)”的必要不充分条件，则正实D.(-∞，-1)∪(7，+∞)数m的取值范围是(0，2]．解：|x-3|<4，即-4<x-3<4，解得-1<x<7，2故绝对值不等式|x-3|<4的解集为(-1,7)．解：x-x-6≤0⇔-2≤x≤3，|x-1|≤m(m>0)2⇔1-m≤x≤1+m，若“x-x-6≤0”是“|x-1|≤[巩固10](2021秋•宝安区期末)若p:|x-2|≤3，则p1-m≥-2m(m>0)”的必要不充分条件，得(其中成立的一个充分不必要条件是(C)1+m≤3等号不同时取得)，解得m≤2，A.-1≤x≤6B.-2≤x≤5[巩固15](2022春•华州区)已知函数f(x)=|x+1|．C.-1<x≤5d.0≤x≤6解：由|x-2|≤3，得-3≤x-2≤3，∴-1≤x≤5，(1)求f(x)≥3的解集；即不等式的等价条件是[-1，5]，则p成立的充分不必(2)若g(x)=f(x)+|x-2|，求g(x)的最小值．要条件是[-1，5]的真子集，则-1<x≤5满足条件．解：(1)f(x)≥3⇔|x+1|≥3，[巩固11](2021春•中牟县期中)若关于x的不等式|x即x+1≤-3或x+1≥3，∴x≤-4或x≥2，-1|+|x+2|<a在r上无解，则(d)∴f(x)≥3的解集为{x|x≤-4或x≥2}；a.a≤1b.a<1c.a<3d.a≤3(2)g(x)=f(x)+|x-2|=|x+1|+|x-2|，解：|x-1|+|x+2|表述数轴上的x对应点到1、-2对其几何意义为x轴上的动点到两定点-1，2的距离应点的距离之和，它的最小值为3，再根据关于x的不和，g(x)的最小值为2-(-1)=3．等式|x-1|+|x+2|<a在r上无解，可得a≤3，[巩固12](2022春•未央区校级期中)关于x的不等式[巩固16](2021秋•渭南月考)2x+|2x+m|≤4在x∈[0，+∞)有解，则实数m的取已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+2|．值范围是(b)(1)求不等式f(x)≥5的解集；2a.[-5，5]b.[-5，4](2)若关于x的方程f(x)+t-4t=0有实数解，c.[-4，5]d.[4，5]求实数t的取值范围．解：原不等式可变形为|2x+m|≤4-x2，作出函数f解：(1)f(x)≥5⇔|3x-1|+|3x+2|≥522211(x)=|2x+m|与g(x)=4-x的图象，由题意，在x≥x<--≤x≤x>⇔3，或33或3，0时，至少有一点满足-6x-1≥53≥56x+1≥5f(x)≤g(x)，当y=2解得x≤-1或x≥．3-2x-m与g(x)=42-x2相切时，-2x-&there4;原不等式的解集为(-∞,-1]∪3,+∞．22(2)∵|3x-1|+|3x+2|≥|3x-1-3x-2|=3&there4;f(x)≥3m=4-x，即x-22x-4-m=0，由∵f(x)+t-4t=0有实数解，22△=4+4(4+m)=&there4;f(x)=-t+4t有实数解，则-t+4t≥3，20，得m=-5，当y=2x+m过点M(0,4)时，m=4．即t-4t+3≤0，解得1≤t≤3，&there4;t的范围[1，3]．64,[巩固17](2021秋•昆明)已知f(x)=|x-2|+|x-3|．[巩固18](2021秋•江阴市校级月考)已知函数f(x)=(1)解不等式f(x)≥3；|x-a|+|x+2|(a∈R)．1(2)记f(x)的最小值为m，若a，b都是正数，且(1)当a=-1时，解不等式f(x)>3x；a2+=m，证明：a+2b≥9．(2)已知a>0，b>0，f(x)的最小值为m，且mb解：(1)因为函数f(x)=|x-2|+|x-3|=1a+b=4，求+的最小值．ab+12x-5,x>3解：(1)由题可得f(x)=|x+1|+|x+2|=1,2≤x≤3，-2x-3,x<-2-2x+5,x<21⋅-2≤x≤-1，不等式f(x)≥3等价于x<2或2≤x≤32x+3,x>-1-2x+5≥31≥3令g(x)=3x，作出函数f(x)、g(x)的图象，如右图：x>3或，观察图象：两函数图象有一个交点(3,9)，2x-5≥3所以不等式f(x)>3x的解集为(-∞,9)；解得x≤1或无解或x≥4；(2)根据绝对值三角不等式，所以不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}；有f(x)=|x-a|+|x+2|≥|x-a-(x+2)|=|a+2|(2)证明：因为f(x)=|x-2|+|x-3|≥|(x-2)-(x-∵a>0，3)|=1，&there4;f(x)≥|a+2|=a+2当且仅当-2≤x≤a时取等所以f(x)的最小值为m=1，号，12所以+=m=1，ab&there4;f(x)min=a+2=m，即a+b=2，122a2b所以a+2b=(a+2b)+=++5≥&there4;a+(b+1)=3，abba∵a>0，b>0，2a2b2⋅+5=9，ba1a3aa+(b+1)a所以+=+=+2a2bab+13ab+13ab+1当且仅当=，即a=b=3时等号成立．ba1b+1a111+23=++≥+2=，33ab+1333b+1a当且仅当=，即b+1=3a，又a+b=2，3ab+133-37-33即a=，b=时取等号，221a1+23所以+的最小值为．ab+1365,第十二讲反比例函数与一次分式函数3.一次分式函数模块一反比例函数的平移变换cx+d形如f(x)=这样的函数称为一次分式函数ax+b课堂精讲该类型函数的研究方法：分离常数法。①在函数的分子上配出分母的形式：1.反比例函数图象性质ccbax+b+d-aa解析式f(x)=kf(x)=ax+bxcbd-k>0k<0ca②列项：f(x)=+.aax+byycbck③令k=d-，t=，则函数f(x)=aakxf(x)=k图像xf(x)=t+,其图像如下：ax+bxxycx+df(x)=ax+bcy=a当x>0时，y随x当x>0时，y随x的增减性的增大而减小；增大而增大；xb当x<0时，y随x当x<0时，y随x的x=-a的增大而减小；增大而增大；cx+d④由图可得f(x)=的性质：ax+bbbf(x)定义域-∞,-a、-a,+∞2.反比例函数的平移变换ccf(x)值域-∞,a、a,+∞ky=k>0图像向右平移a个单位，向上平移bbxf(x)在-∞,-a、-a,+∞上单调递减.kb个单位可以转化为y=x-a+b注：一次分式简记：x前面的系数作比，再去掉是函数kf(x)=+b的值域。分母不为0可以解出定义域和单调区间。x-ayykf(x)=2x-3x例1(2022•3月模拟)函数f(x)=值域(D)3x+1平移变换y=bx11A.-∞,3∪3,+∞x33B.-∞,2∪2,+∞x=a11C.-∞,-3∪-3,+∞22kD.-∞,3∪3,+∞反比例函数y=具有两条渐近线：x=0，y=x1112x-32x+3-32110，所以在研究反比例函数的平移变换时，要考虑到解：f(x)===-，3x+1133(3x+1)3x+3渐近线位置的改变。112由于3(3x+1)≠0，&there4;f(x)的值域为f(x)f(x)≠3，66,2x2x例2已知函数f(x)=．[练2]已知函数fx=，则fx在区间2,6上x-1x-1(1)求f(x)的定义域、值域及单调区间；的最大值为(C)(2)判断并证明函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)A.12B.3C.4D.55上的单调性．2解：∵fx=2+在2,6单减，&there4;fxmax=f2=4x-1(3)g(x)是定义在(-∞,0)上的函数，不等式g(t-a[练3]函数y=-|x-a|与y=在区间[1，2]上x+11)<g(-t)恒成立，求t的取值范围。都是严格减函数，则a的取值范围为(d)解：(1)由x-1≠0，得x≠1，所以f(x)的定义域为2x2(x-1)+2a.(-∞，0)b.(-1，0)∪(0，1](-∞，1)∪(1，+∞)，由f(x)===2x-1x-1c.(0，1)d.(0，1]2+≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，ax-1解：∵y=-|x-a|与y=在区间[1，2]上都是严x+1f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)a≤1(2)g(x)在(0,1)上是减函数，证明如下：格减函数∴a>0,故0<a≤1．任设x1<x2<0，∵g(x1)-g(x2)x-12222[练4](2022春•增城区期末)已知函数f(x)=，2x12x22x1(x2-1)-2x2(x1-1)x+1=-=x1-1x2-1(x1-1)(x2-1)则函数中为奇函数的是(b)2(x1-x2)(x1x2-x1-x2)=(x-1)(x-1)a.f(x-1)+1b.f(x-1)-1122(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]c.f(x+1)+1d.f(x+1)-1=(x1-1)(x2-1)x-1x-22解：f(x)=，得f(x-1)+1=+1=2-不为奇x+1xx∵x1<x2<0，∴x1-x2<0，x1-1<0，x2-1<0，x-22函数；f(x-1)-1=-1=-为奇函数；f(x+1)+1=x1x2>0，-(x1+x2)>0，xxx2x+2-2&there4;x1x2-(x1+x2)>0，x+2+1=x+2不为奇函数；f(x+1)-1=x+2不为奇&there4;g(x1)-g(x2)<0，g(x1)<g(x2)，x+1[练5](2021秋•青山区校级月考)已知函数fx-1∴函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数的定义域为(-2,0)，则f(2x-1)的定义域为(c)（3）∵函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数，11a.-2，2b.(-5,-1)t-1<021∴g(t-1)<g(-t)⇒-t<0，c.0,3d.-3,-3t-1<-tx+1x+111解：∵fx-1的定义域为(-2,0)，即-2<x<0，∴x-1解得：0<t<，即不等式的解集为(0，)．22x-1+2211=x-1=1+x-1∈-1,3，再由-1<2x-1<3，得220<x<3．∴f(2x-1)定义域为0,3随堂练习[练6]在平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=2+68k和f(x)=-2-的图像。[练1]“函数y=在(0，+∞)上是减函数”是“函数yx-1x-2x解：函数图像如下图所示：=kx在r上是增函数”的(c)a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件k解：∵y=在(0，+∞)上是减函数，∴k>0，&there4;y=kxx在R上是增函数，是充分条件；若y=kx在R上是增函k数，k>0⇒y=在(0，+∞)上是减函数，是必要条件x67,2x-3[练7](2021秋•贵阳期末)函数y=f(x)是(-∞，0)∪[练9](2021秋•贵池区期中)函数f(x)=．x+23(0，+∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)=-x+1．(1)求f(-a)+f(a-4)的值；(1)用单调性定义证明函数y=f(x)在(-∞,0)(2)利用单调性的定义证明：函数f(x)在(-2上单调递增；,+∞)上单调递增．(2)求当x>0时，函数f(x)的解析式．解：(1)依题意，f(-a)=-2a-3，f(a-4)=2a-11，-a+2a-2解：(1)证明：当x<0时，f(x)=-3+1，-2a-32a-11x故f(-a)+f(a-4)=+-a+2a-2设x<x<0，则f(x)-f(x)=3-3=3(x1-x2)<02a+32a-114a-81212xxxx=+==4．2112a-2a-2a-2所以f(x1)<f(x2)，(2)证明：依题意，f(x)=2x-3=2x+4-7=2-x+2x+27所以y=f(x)在(-∞,0)上单调递增；，任取x1，x2∈(-2,+∞)，其中x1<x2，x+277(2)当x>0，-x<0，则f(x1)-f(x2)=2--2+x1+2x2+2因为x<0时，f(x)=-3+1，7(x1-x2)x=<0，(x1+2)(x2+2)33f(-x)=-+1=1+=f(x)，-xx故f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增．3故x>0时，f(x)=+1．x[练10](2021秋•城厢区校级期中)已知函数f(x)是定ax+1[练8](2021秋•长宁区期末)已知函数y=．义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)=1，当-4<x≤0x+2x+1时，有f(x)=ax+b．(1)若a=1，请研究函数y=x+2的定义域、值x+4域、奇偶性、单调性，并做出大概图像；(1)求实数a，b的值；(2)是否存在a，使得该函数在区间[1，+∞)上是(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式；严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合(3)若f(2x-1)+f(x-2)≤0，求x的取值范围．条件的a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)ax+bx+11=1，当-4<x≤0时，有f(x)=，解：(1)a=1时，y==1-，由x+2≠0得，x≠x+4x+2x+2f(0)=0a=1-2，即函数的定义y则f(-2)=-1，解得b=0，所以a=1，b=0，x域{x|x≠-2}，值经检验，函数f(x)=符合题意，故a=1，b=0；x+4域{y|y≠1}，函数(2)由(1)可知，当x∈(-4,0)时，f(x)=x，x+4的图像关于原点不当x∈(0,4)时，-x∈(-4,0)，-xx对称，关于y轴不对x则f(x)=-f(-x)=--x+4=-x+4，x称，即不是奇函数，故f(x)=-，x∈(0,4)；x-4x4也不是偶函数，由(3)因为f(x)=-=-1-在x∈(0,4)时为x-4x-4函数图像可知y=单调递增，又f(x)为奇函数且连续，则函数f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，x+1在(-∞,-2)，(-2,+∞)上单调递增，x+2所以不等式f(2x-1)+f(x-2)≥0可变形为f(2x-1)ax+1a(x+2)+1-2a1-2a(2)y===a+，≥-f(x-2)，因为f(x)为奇函数，所以f(2x-1)≥f(2-x+2x+2x+21-2a<0x)，又f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，由题得，a+1<0，得a不存在，不存在满足题意的a2x-1≥2-x35则-4≤2x-1≤4，解得1≤x≤，a>02-4≤x-2≤468,模块二反比例函数的翻折变换随堂练习x-1[练11]画出f(x)=x+1的图象，并且求出函数在课堂精讲1,+∞上的值域。①函数y=f(x)的图象是函数y=f(x)将x>y0以后的图象保留，并且将x>0的图象对称翻折到x<0的区间上形成的图象。②函数y=f(x)的图象是函数y=f(x)将x轴上方的图象保留，将x轴下方的图象对称翻折到x轴上方形成的图象。11.反比例函数的翻折变换1x解：y3k[练12](2021•桂林期末改编)函数f(x)=1-kyf(x)=x+2f(x)=xx(1)用定义证明函数f(x)在[3，5]上单调递增；翻折变换k>0x(2)在坐标系中画出函数f(x)的草图，并求函数x的值域。解：(1)证明：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，y33kyf(x)=kf(x1)-f(x2)=1--1-f(x)=xx1+2x2+2x翻折变换k>0=3(x1-x2)．x(x1+2)(x2+2)x∵x1，x2∈[3，5]且x1<x2，∴x1-x2<0，x1+2>0，x2+2>0．&there4;f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．2.一次分式的翻折变换3∴函数f(x)=1-在[3，5]上为增函数．x+2kkf(x)=+bf(x)=+bx-ax-a(2)函数草图如下图所示，yy1对称翻折由图可知：f(x)min=f(0)=-．2f(x)受到渐近线y=1的约束，y=by=b1∴f(x)的值域是-2,1xxyx=ax=akkf(x)=x-a+bf(x)=x-a+byyxy=by=bxxx=ax=a69,2x[巩固4]已知函数f(x)=．课后提升x-1(1)分别作出y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像；[巩固1](2020秋•浉河区校级月考)若函数f(x)满足f(x)=x+3，则f(x)在[1，+∞)上的值域为(d)(2)求f(x)的定义域、值域及单调区间。x+22x2(x-1)+22a.(-∞，1]b.0，4解：(1)由f(x)===2+3x-1x-1x-1c.-∞，44可得y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图像分别如下：3d.1，3yy2xx+311f(x)=2x解：f(x)==1+，∵y=在[1，x-1f(x)=x-1x+2x+2x+22211+∞)上单调递减，∴y=x+2∈0,3．o1xo1x∴1+1∈1,44x+23，∴f(x)的值域为1,31-x[巩固2](2021秋•威海期末)设函数f(x)=，则y1+x2xf(x)=x-1下列函数的图像关于原点对称的是(a)2a.y=f(x-1)+1b.y=f(x-1)-1o-11xc.y=f(x+1)+1d.y=f(x+1)-11-x1-x+1解：函数f(x)=，可得y=f(x-1)+1=+1=1+x1+x-1（2）由x-1≠0，得x≠1，∴f(x)的定义域为(-∞，1)2x为奇函数，其图像关于原点对称，故a正确；y=f(x-1)-12x2(x-1)+2∪(1，+∞)，由f(x)===2+2x-1x-1=-2不是奇函数，其图像不关于原点对称，故b错误；y=fx2≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，(x+1)+1=1-x-1+1=1-x=2不是奇函数，x-11+x+1x+2x+2f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)其图像不关于原点对称，故c错误；y=f(x+1)-1=1-x-1-1=-1-x=-2+2不是奇函数，其图像[巩固5](2021秋•东莞市月考)已知函数f(x)是定义1+x+1x+2x+24x不关于原点对称，故d错误．故选：a．在r上的偶函数，当x≥0时，f(x)=．x+4(1)求函数f(x)的解析式；[巩固3]请作出以下函数的图象2x+12x+12x+1(2)证明：函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．f(x)=x-2f(x)=x-2f(x)=x-2解：(1)f(x)是定义在r上的偶函数，得f(-x)=f(x)，y4x当x≥0时，f(x)=，x+44x4x当x<0时，-x>0，f(-x)=-==f(x)，4-xx-44x,x<0x-4x&there4;f(x)=；4xx+4,x≥04x1(2)证明：设x1<x2<0，f(x1)-f(x2)=-x1-44x216(x2-x1)=，x2-4(x1-4)(x2-4))解：黄红组合为f(x)=2x+1，黄蓝组合为f(x)=由x1<x2<0，可得x2-x1>0，x1-4<0，x2-4<0，x-22x+1，黄紫组合为f(x)=2x+1所以f(x1)-f(x2)>0，即，f(x1)>f(x2)，x-2x-2所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．70,2x-31-x[巩固6]已知函数y=x+1．[巩固8](2021秋•陇县期末)已知fx=1-x．(1)作出这个函数的大致图象；(1)求函数f(x)的解析式；2x-3(2)讨论关于x的方程x+1=t的根的个数。(2)判断函数f(x)在[0，+∞)上的单调性，并用2x-35定义法加以证明．解：(1)∵y=x+1=2-x+1，1-x1-x解：(1)根据题意，fx=1-x，设t=x=111y-1，则x=，则有f(t)=1-，xt+1t+11则f(x)=1-，定义域(-∞，-1)∪(-1，+∞)；x+121(2)由(1)的结论，f(x)=1-，在[0，+∞)上为x+1增函数，-1O3x21设0≤x1≤x2，则f(x1)-f(x2)=1--x1+15首先将y=-的图象向左平移1个单位，再向上平1x1-x2x1-=，5x2+1(1+x1)(1+x2)移2个单位，得到y=2-的图象x+1又由0≤x1≤x2，则x1+1>0，x2+1>0，x1-x2<0，5最后将y=2-的图象在x轴下方的部分翻折则f(x1)-f(x2)<0，x+12x-3即函数f(x)在[0，+∞)上为增函数．到x轴上方便可得到y=x+1的图象；[巩固9]已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当2x-3(2)当t<0时，方程x+1=t的根的个数为0；x∈(0,+∞)时，f(x)=x-1．x+12x-3当t=0或t=2时，x+1=t的根的个数为1；(1)求函数f(x)在R上的解析式；2x-3当0<t<2或t>2时，x+1=t根个数为2．(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性，并用单2x调性的定义证明你的结论；[巩固7](2021•石景山期末)已知函数f(x)=．x+12(3)解不等式f(t-t+1)≤f(|t|)．(1)用定义证明f(x)在(1,+∞)上单调递增；解：(1)∵定义在R上的f(x)是奇函数，&there4;f(-x)=-f(x)，(2)对任意x∈[2，4]都有f(x)≤m成立，求实x-1因为当x∈(0,+∞)时，f(x)=，x+1数m的取值范围．-x-1x+1设x<0，则-x>0，f(x)=-f(-x)=-=-，-x+1x-1解：(1)证明：任取1<x1<x2，x-1,x>02x12x2x+1则f(x1)-f(x2)=-x1+1x2+1又f(0)=0，故f(x)=0,x=0，2(x1-x2)-x+1,x<0=，x-1(x1+1)(x2+1)x+12(2)当x<0时，f(x)=-=-1-单调递增，理由∵1<x1<x2，x-1x-1如下：设x1<x2<0，∴x1-x2<0，x1+1>0，x2+1>0，222(x1-x2)&there4;f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．则f(x1)-f(x2)=x-1-x-1=(x-1)(x-1)<0，2121∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；所以f(x1)<f(x2)，(2)解：∵函数f(x)在[2，4]内为增函数，所以f(x)在(-∞,0)上的单调递增，22×48(3)因为t-t+1>0，|t|≥0，&there4;f(x)在[2，4]内的最大值为f(4)==，4+1522当t=0时，f(t-t+1)=f(1)=0，f(|t|)=f(0)=0，满足f(t∵f(x)≤m在[2，4]上恒成立，-t+1)≤f(|t|)，822当t>0时，由f(t-t+1)≤f(|t|)=f(t)，可得，t-t+1≤t，&there4;m≥，5此时t=1，822即实数m的取值范围为，+∞．当t<0时，由f(t-t+1)≤f(|t|)=f(-t)可得，t-t+1≤5-t，此时t不存在，综上，t=1或t=0．71,第十三讲对勾函数和二次分式型函数2a例1已知函数f(x)=4x+(x>0,x∈R)在x=2模块一对勾函数x时取得最小值，则实数a=±4．2课堂精讲解：方法一：由题意可知：x>0，a>0，&there4;f(x)=4x+a22a2a≥24x×=4|a|，当且仅当4x=，即x=通过前面对基本不等式的学习，我们了解了求xxxba时取等号，又∵f(x)在x=2时取得最小值，“ax+(a,b>0)”最值的方法，但是均值不等式由2xa于其应用条件的局限性，对于我们解决函数最值带&there4;2=2，解得a=±4，故答案为：±4．2a2来了极大的瓶颈。今天我们将在初中的正比例与反方法二：由对勾函数f(x)=4x+，x>0，a>0，当xb22aa比例函数基础上，学习新函数f(x)=ax+。由于x=时，取最小值，则=2，&there4;a=±4，x44独特的外形被我们称之为“对勾函数(双勾函数)”。例2(2017秋•兴隆县校级月考)已知函数f(x)=px大家可以思考正比例与反比例的叠加函数会呈q517+(p，q是常数)，且满足f(1)=，f(2)=．x24现什么样的性质？（极限思想的初等介绍了了解）(1)求函数f(x)的解析式；11.对勾函数的图象性质(2)若对任意的x∈0,2关于x的不等式f(x)≥2-m恒成立，求实数m的取值范围．b解析式f(x)=ax+x解：(1)由f(1)=5，f(2)=17得：24a>0,b>0a<0,b<05p+q=p=221，解得1．&there4;f(x)=2x+．yy2p+q=17q=2x2241图像(2)设0<x1<x2<，2aby=ax2ab2则f(x1)-f(x2)bx-bx111aa=2(x1-x2)+2x-x121x2-x11y=ax=2(x1-x2)+2×xx=(x1-x2)2-2xx，121211∵0<x1<x2<，∴x1-x2<0，0<x1x2<，24渐近线y轴和y=ax1∴2-<0，2x1x2定义域-∞,0∪0,+∞∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，1值域yϵ-∞,-2ab∪2ab,+∞&there4;f(x)在0,2上单调递减，11单调增-∞,bbbb&there4;当x∈0,2时，f(x)>f2=2，-,+∞-,0)(0,aaaa区间1∵对∀x∈0,2，关于x不等式f(x)≥2-m恒成立单调减-b,0)(0,b-∞,-bb,+∞&there4;2≥2-m，&there4;m≥0．aaaa区间&there4;m的取值范围是[0，+∞)．72,x2随堂练习[练5](2021秋•怀柔区期末)函数f(x)=+(x>2x0)的最小值是2．[练1](2017秋•思明区校级期中)对于函数y=x+x2x241解：当x>0时，+≥2×=2，x，当x∈3,4时，y的取值范围是(C)2x2xx23737当且仅当=，即x=2时取等号，A.{y4<y<b.{y5≤y≤2x33x237即函数f(x)=+(x>0)的最小值是2．C.{y4≤y≤D.{y|4≤y≤5}2x3144[练6](2017秋•如皋市期中)已知函数f(x)=x+解：由题意x>0，故y=x+≥2x⋅=4，xxx(x>0)，若在[a，a+2)上有最小值和最大值，则实数当且仅当x=2时“=”成立，根据对勾函数性质得：f(x)在11373，2递减，在(2，4]递增，而f3=3>f(4)=5，a的取值范围是(0，2-1]．1211[练2](2017秋•昌江区校级期中)已知函数y=+解：函数f(x)=x+，则f′(x)=1-2，xxx3x(x>0)当x=a时，y取最小值b，则a+b=(B)&there4;f(x)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，A.10B.14C.12D.8∵f(x)在[a，a+2)上有最小值和最大值，1212解：∵x>0，&there4;y=+3x≥2∙3x=12，xx11&there4;f(a)=a+，f(a+2)=a+2+，12aa+2当且仅当=3x即x=2时“=”成立，x11&there4;a+≥a+2+，且a>0，故a=2，b=12，a+b=14，aa+242[练3](2015秋•来宾期末)若f(x)=x+，则下列结即a+2a-1≤0，且a>0得0<a≤2-1，x论正确的是(b)a.f(x)的最小值为4[练7](2016秋•辛集市校级期中)已知函数f(x)=x+ab.f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上单调递增+b(x≠0)，其中a，b∈r．若对任意的a∈xc.f(x)的最大值为41，21，12，不等式f(x)≤10在x∈4上恒成立，则d.f(x)在(0,2)上单调增，在(2,+∞)上单调递减7-∞，4b的取值范围为4．解：f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}，函数在定义域x解：设x1，x2∈(a，+∞)，且x1<x2，上无最小值，a错；f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上aax1x2-a单调递增，故b正确；函数在定义域上无最大值，c错；ff(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)∙，x2x1x1x2(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调增，d错．∵x1，x2∈(a，+∞)，且x1<x2，∴x2-x1>0，x1x2>42a，&there4;f(x2)-f(x1)>0．&there4;f(x)在(a，+∞)上是增函[练4]若关于x的不等式x+≥a-3a对任意实数x1数．∵f(x)≤10，故x∈4，1时有f(x)max≤10，x>0恒成立，则实数a的取值范围为(A)11A.{a|-1≤a≤4}知f(x)在区间4，1的最大值为f4与f(1)中的较1B.{a|a≤-2或a≥5}大者．&there4;对于任意的a∈2，2，不等式f(x)≤10在x1C.{a|a≤-1或a≥4}∈1，1f4≤10，4上恒成立，当且仅当f(1)≤10D.{a|-2≤a≤5}3944即b≤4-4a对任意的a∈1，2成立．解：∵x>0，&there4;不等式x+≥2x⋅x=4，当且仅当2xb≤9-ax=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+7从而得到b≤．所以满足条件的b的取值范围是424≥a-3a对任意实数x>0恒成立，x-∞，7724．故答案为：-∞，4可得4≥a-3a，解得-1≤a≤4，故选：A．73,4[练8]已知f(x)=x+．[练9](2017秋•武进区期中)如图，已知直线y=kx+x4(1)证明：f(x)在[2，+∞)单调递增；6-k与曲线y=2+x在第一象限和第三象限分别(2)解不等式：f(x2-2x+4)≤f(7)．交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足解：(1)∀x1，x2∈[2，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)分别为m、n，记四边形ambn的面积为s．44(x1-x2)(x1x2-4)(1)求出点a、b的坐标及实数k的取值范围；=x1+-x2-=，x1x2x1x2(2)当k取何值时，s取得最小值，并求出s的最∵x1，x2∈[2，+∞)，∴x1x2-4>0，x1x2>0，小值．又∵x1<x2，∴x1-x2<0，(x1-x2)(x1x2-4)y∴<0，x1x2a即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[2，+∞)单调递增．22(2)∵x-2x+4=(x-1)+3≥3，n2∴x-2x+4∈[2，+∞)，mxb∵f(x)在[2，+∞)单调递增，2所以要使f(x-2x+4)≤f(7)，22则要使x-2x+4≤7，即x-2x-3≤0，∴-1≤x≤3，y=kx+6-k4解：(1)由4得，kx+6-k=2+，∴不等式f(x2-2x+4)≤f(7)的解集为[-1，3]．y=2+xx4即(x-1)(kx+4)=0，解得x=1或x=-，k∴当x=1时，y=6，即a(1,6)，⋯(3分)44当x=-k时，y=2-k，即b-k,2-k，4-<0∵点b在第三象限，∴k，得k>2，2-k<04&there4;A(1,6)，B-k,2-k，故实数k的取值范围为(2,+∞)；44(2)∵A(1,6),B-k,2-k，&there4;|MN|=xA-xB=1+k∵yA-yB=4+k，11&there4;SAMBN=SΔAMN+SΔBMN=(xA-xB)(yA-yB)=224∙1+k∙(4+k)，116&there4;S关于k的函数关系式S=2∙k+k+8,k>2，1161&there4;S=2∙k+k+8≥2∙(8+8)=8，当且仅当k=4时等号成立&there4;四边形AMBN面积取得最小值8时，k=4．74,21x+x+1例4当x>时，函数y=最小值为模块二二次型分式函数（选）22x-17+12课堂精讲11解：令t=2x-1(t>0)x=t+22我们前面介绍了一次分式函数，接下来，我们思11211x2+x+1(2t+2)+2t+2+1考：可不可以将一次分式函数推广大二次分式函数？&there4;y===2x-1t127t+t+44t71771．二次分式函数=++1≥2t∙+1=t44t44t221cx+dαx+βx+φx+n+1．(也可以利用对勾函数求解)当且仅当(2x-形如f(x)=、、ax+bx+nαx2+βx+φ4αx+β1)=7，即x=1+7时取得最小值。∙∙∙∙∙∙型的函数统一称之为分式型函数。4(2x-1)2x+n对于任意一个函数，我们最终的核心目标是为了搞定最优解问题，所以才产生了很多函数分析的从上面的换元分常分析中我们发现，产生了一方法。对于二次型我们也将对其最值经行研究。个新函数：对勾倒函数。在分析中我们可以借助对勾函数分析求解对勾倒函数的最值，也可以直接用2.对勾函数求二次型分式函数值域利用函数方法求值域时用的最多的是：换元分常法函数的性质求解函数的最值cx+d11型：令t=ax+b⇒x=t-b代换分ax+baB子x,然后裂项，转化为：y=A+(反比例函数)3.对勾倒函数t2αx+βx+φ12型：令t=x+n⇒x=t-n代换x形如：y=的函数称之为对勾倒函x+nAt+B+CtB,然后裂项，转化为：y=At++C(对勾函数)数，其图象走势如下图所示：tx+n3型：令t=x+n⇒x=t-n代换y2αx+βx+φ11x,同除t，转化为：y=(对勾倒函数)f(x)=B1At++Cx+txαx+β42型：令t=x+n⇒x=t-n代换分x+nBbbx子后裂项，转化为：y=At++C(对勾函数)-aat2αx+βαx+β注：⇒还可对根式下用方法②x+nx+n25x+5例3函数f(x)=的最小值为22x+44.换元判别法求值域222解：令t=x+4(t≥2)x=t-4则y=h(t)=2h(x)t+11令y=h(x)=yg(x)，换元过程要求t(列项)=t+t在[2，+∞)上单调递增（对勾g(x)函数的应用）&there4;t=2，即x=0时，y=h(t)=2+1=等式成立，说明h(x)-yg(x)=0有解。在二元问题min225&there4;f(x)=x+5(x∈R)的最小值为5中要让方程有解，可以用△约束出y的取值范围。2x2+4275,x+a22例5已知函数f(x)=(a∈R)的值域是[练12]非零实数a，b满足a+b=4，若函数y=2x+1ax+b3有最大值M和最小值m，则M-m=21x2+1-4,m，则常数a=4，m=1ax+b2解：y=化为yx-ax+y-b=0，由题意可得2解：换元分常法令t=x+ax=t-a，t∈Rx+122222△=a-4y(y-b)≥0，即为4y-4yb-a≤0，由a+btt则h(t)==t-a2+1t2-2at+a2+12-2+b=4，可得4y-4yb-(2-b)(2+b)≤0，解得≤21=由函数性质可知：2+b2+b-2+ba2+1y≤，即M=，m=，则M-m=2．t+-2a222t21mx+8x+n2[练13]已知函数y=的定义域为当t=a+1时，h(t)max==mx2+122a+1-2a211(-∞,+∞)，值域为[1，9]，则：m=5，n=5当t=-a+1时，h(t)min==--2a2+1-2a4mx2+8x+n2解：由y=得(y-m)x-8x+y-n=032x+1解得：a=,m=14∵x∈R，若y-m≠0，则△=64-4(y-m)(y-n)≥0x+a2法二：变换主元法令y=⇒yx+y=x+a2x2+1即y-(m+n)y+(mn-16)=0的两根为1，9，2yx+x+y-a=0m+n=10&there4;，解可得m=5，n=5，若y-m=0即y上式等式是由函数改写而来，等式一定恒成立，mn-16=9&there4;△=1-4y(y-a)≥0即：4y2-4ay-1≤0,=m=5，对应x=0符合题意，综上m=n=5．∵函数f(x)=x+a(a∈R)的值域是-1,max+bx2+14[练14](2021秋•台州期中)设函数f(x)=2是x+11214&there4;-4，m是方程4y-4ay-1=0的两个根，定义在(-1,1)上的奇函数，且f2=5．1-+m=am=1(1)求函数f(x)的解析式；&there4;由韦达定理可得：411⇒3-×m=-a=4(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性44定义证明．ax+b解：(1)f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数，21+x随堂练习ax&there4;f(0)=b=0，&there4;f(x)=，21+x5[练10](2022•惠州二模)已知x≥，则f(x)=12a1424x2-4x+5又∵f=，&there4;=，解得a=2，有(D)251+15x-24552xA.最大值B.最小值&there4;f(x)=满足定义域上的奇函数，222x+1C.最大值2D.最小值22x&there4;f(x)=，x∈(-1,1)．2511+x解：∵x≥，&there4;x-2>0，故f(x)=x-2+≥2，2x-2(2)函数f(x)=2x在(-1,1)上为增函数，2当且仅当x=3时“=”成立，故选：D．1+xx2+1证明如下：任取x1，x2∈(-1,1)且x1<x2，[练11](2021秋•凉州区期末)函数y=(x>0)x则f(x1)-f(x2)的值域为(C)2x12x22(x1-x2)(1-x1x2)A.[1，+∞)B.(1,+∞)=-=，22221+x11+x2(1+x1)(1+x2)C.[2，+∞)D.(2,+∞)2因为x1<x2，所以x1-x2<0，又因为x1，x2∈(-1,1)，所x+111解：x>0时，y==x+≥2x⋅=2，当且xxx1以1-x1x2>0，仅当x=，即x=1时取等号，此时函数取得最小值2，xx2+1所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数y=(x>0)的值域为[2，+∞)．x所以函数f(x)在(-1,1)上为增函数．76,[练15](2021秋•西陵区校级期中)已知函数f(x)=[练16](2021秋•黄梅县校级期末)2x+14是其定义域内的奇函数，且f(1)=2，(1)已知函数h(x)=x+，x∈[1，8]，求函数hax+bx(1)求f(x)的表达式；(x)的最大值和最小值；2x4x-12x-3(2)设F(x)=(x>0)，求F(1)+F(2)+F(2)已知函数f(x)=，x∈[0，1]，利f(x)2x+1111用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(3)+⋯+F(2021)+F2+F3+⋯+F2021(3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-的值．22a，若对于任意的x∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得x+112解：(1)函数f(x)=是其定义域内的奇函数，可得ax+bx2+1x2+1g(x2)=f(x1)成立，求实数a的值．f(-x)=-f(x)，即=-，-ax+bax+b解：(1)h(x)在[2，8]上单调递增；在[1，2)上单调递减．可得-ax+b=-ax-b，解得b=0，&there4;x=2时，h(x)取得极小值即最小值，h(2)=4．又h2则f(x)=x+1，1717ax(1)=5，h(8)=，&there4;x=8时，h(x)取得最大值．2222(2x+1)2-8(2x+1)+4由f(1)=2，可得=2，4x-12x-3a(2)f(x)===2x+12x+1解得a=1，422x+1+-8，x∈[0，1]，令2x+1=t∈[1，3]，fx+12x+1所以f(x)=；x4(x)=u(t)=t+-8，(1)可得：函数u(t)在[2，3]上2txx(2)由(1)可得F(x)==(x>0)，2f(x)x+1单调递增；在[1，2)上单调递减．&there4;t=2时，u(t)最小21x111则F(x)+F=+=1，值，u(2)=-4．又u(1)=-3，u(3)=-，&there4;t=1时，xx2+1x2+131h(x)最大值-3．&there4;f(x)值域为[-4，-3]．所以F(1)+F(2)+F(3)+⋯+F(2021)+F2+(3)由(2)可得f(x)在x∈[0，1]的值域A=[-4，-3]．11F3+⋯+F2021由函数g(x)=-x-2a在x∈[0，1]上单调递减，可得值=F(1)+F(2)+F1+F(3)+F1+...+域B=[g(1)，g(0)]=[-1-2a，-2a]．对于任意的x1∈231[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)=f(x1)成立，F(2021)+F2021-1-2a≤-433&there4;A&sube;B，&there4;，解得a=．&there4;a=．14041-3≤-2a22=+1×2020=．22-1=1时，等号成立，&there4;y≥0，即函数的值域为[0，+∞)，课后提升[巩固3]下列说法不正确的是(B)[巩固1](2017秋•凌源市校级月考)函数f(x)=x+1A.x+(x>0)的最小值是24x,x∈[1,5]，则函数f(x)的最小值为(A)2xx+5B.的最小值是2295x2+4A.4B.5C.D.529x2+2C.的最小值是244x2+2解：∵x∈[1，5]，&there4;f(x)=x+≥2x∙=4，当且仅当xxx44D.若x>0，则2-3x-的最大值是2-43=即x=2时取等号，&there4;f(x)最小值为4．xx211x-4x+4解：Ax+≥2x∙=2，x=1时取等号A正确B，[巩固2]函数y=(x>1)的值域是(D)xxx-122x+5x+4+1212==x+4+≥2，x+4=1时A.[1，+∞)B.(-∞，1]222x+4x+4x+42C.(-∞，0]D.[0，+∞)取等号，显然x的值不存在，B错误；C，x+2=x2+2≥2x+22(x-1)2-2(x-1)+1x-4x+44解：∵当x>1时，y=x-1=x-1=2，x=0时取等号，C正确；对于D，∵x>0，&there4;2-3x-≤x(x-1)-2+1≥2(x-1)⋅1-2=0，当且仅当且x423x-1x-12-23x∙x=2-43，x=3时取等号，故D正确，77,a2[巩固4](2016春•泸州期末)已知函数f(x)=x+[巩固7](2021秋•东城区期末)函数f(x)=．xx2+1(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，则a=9．(1)判断f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用解：∵x>0，a>0，&there4;f(x)=x+a≥2x∙a=函数单调性的定义给出证明；xx(2)设g(x)=f(x)-k(k为常数)有两个零点x1，2a，当且仅当x=a时取得等号．&there4;a=3，解得a=9．故答案为：9．x2，且x1<x2，当x1<-3时，求k的取值范围．解：(1)f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，证明如下，4[巩固5](2020秋•滕州市)已知函数f(x)=x+．x任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，(1)求f(f(2))；则f(x1)-f(x2)222(x2-x1)(x2+x1)(2)判断函数f(x)在[2，4]上的单调性，并证明；=-=2222x1+1x2+1(x1+1)(x2+1)4(3)关于x的不等式x+<m在区间[2，4]上∵0≤x<x，∴x-x>0，x+x>0，x2+1>0，x12212112有解，求实数m的取值范围。x2+1>0，&there4;f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，4故f(x)在区间[0，+∞)上单调递减；解：(1)函数f(x)=x+，x(2)函数g(x)=f(x)-k(k为常数)的零点即方程f44则f(2)=2+=4，则f(f(2))=f(4)=4+=5，24(x)-k=0(k为常数)的解，(2)函数f(x)在区间[2，4]上递增，证明如下：设2≤x1<x2≤22解方程-k=0得，x=±-1(0<k<2)，44x2+1k4，则f(x1)-f(x2)=x1+x-x2+x=(x1-x2)12x1x2-4∵x1<x2，x1<-3，xx，又由2≤x1<x2≤4，则x1-x2<0，x1x2-4>0，11122&there4;-k-1<-3，0<k<2，k的范围为0,2．则有f(x1)-f(x2)<0，故函数f(x)在区间[2，4]上递增，(3)根据题意，由(ⅱ)的结论，f(x)在区间[2，4]上递增，则f(2)≤f(x)≤f(4)，又由f(2)=2+4=4，则有f(x)≥4，若关于t2[巩固8]对勾函数y=x+(t>0)具有性质：在(0，x4x的不等式x+<m在区间[2，4]上有解，必有m>4，即mxt]上是减函数，在(t，+∞)上是增函数。的取值范围为(4,+∞)．4(1)已知f(x)=2x+-5,x∈[1,3]，利用2x-1[巩固6](2021秋•平舆县月考)已知函数f(x)=上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；mx+n12是定义域为(-1,1)的奇函数，且f=．(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2-mxx2+125(1)求m，n的值，并用函数单调性的定义来判断+4，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g(x2)<f(x1)成立，求实数m的取值范围。函数f(x)的单调性；4解：(1)f(x)=2x-1+-4，令2x-1=m，∵1≤(2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0．2x-14mx+nx≤3，∴1≤m≤5，则f(x)=h(m)=m+-4由对解：(1)∵f(x)=是定义域为(-1,1)的奇函数，m2x+1勾函数的性质，得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]1m12上单调递增由奇函数的性质，得f(0)=n=0，又f2=1=1+∴f(x)在1，3上是减函数，在3，3上是增函数，4222x395，∴m=1，∴f(x)=2，设-1<x1<x2<1，则ff(1)=1,f=0,f(3)=．综上可得，f(x)的单调递x+12522339x1x2x1+x1x2-x2-x2x1减区间为1，，单增区间为，3，值域为0，．(x1)-f(x2)=1+x2-1+x2=(1+x2)(1+x2)=2251212(x-x)(1-xx)(2)由(1)知f(x)∈0,91212<0，25时，若存在x2∈[1，3]，使得g22(1+x1)(1+x2)2(x2)<f(x1)成立，只需g(x)=x-mx+4<0，在x∈所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-1,1)上单调递增，4(2)由(1)可知，f(x)为单调递增的奇函数，[1，3]上有解即可即m>x+x最小值，令u(x)=x+4由f(2x+1)+f(x)<0，得f(2x+1)<-f(x)=f(-x)，，u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数．x11所以2x+1<-x，得x<-3，不等式解集-∞,-3．u(x)最小值=u(2)=4，&there4;m>4．即实数m的取值范围为(4,+∞)．78,第十四讲二次函数及其变换2.二次函数的平移变换模块一二次函数及其变换平移方法：左加右减，上加下减。2以二次函数y=x的图象为例课堂精讲2(1)y=x的图象向左平移1单位长度后解析式：y=22初中阶段我们已经重点学习了二次方程与二次x+1；向右平移1单位长度后解析式：y=x-1函数，我们知道了二次函数所具备的一些性质。2(2)y=x的图象向上平移2单位长度后的解析式：y22=x+2；向下平移2单位长度后解析式：y=x-21.二次函数的图象性质y向y上2平一般式：y=ax+bx+c移22单顶点式：y=a(x−h)+k向位下解析式平交点式：y=a(x−x1)(x−x2)x移x22向左平移1单位向右平移1单位单b24ac−b位一般式化顶点式y=a(x+)+2a4aa>0a<03.二次函数的翻折变换yy22以y=2x+2x-1与y=2x+2x-1、y=图象22x+2x-1图象间的关系为例：2xx(1)函数y=2x+2x-1的图象是将函数y=bbx0=-x0=-2a2a2x2+2x-1在x轴上方的图象保留，再将x轴下方b对称轴直线x=-的图象作关于x轴对称得到。2ab4ac-b22顶点-,(2)函数y=2x+2x-1对x取绝对值的图2a4a2bb象，是将函数y=2x+2x-1在y轴右侧的图象保x<-时，单调递减x<-时，单调递增2a2a增减性bb持不变，y轴左侧的图象去掉，再将y轴右侧的图象x>-时，单调递增x>-2a时，单调递减2a作关于y轴对称得到。bb当x=-时当x=-时最值2a2a第一步：画出原图第二步：进行翻折y有最小值y有最大值yy=2x2+2x-1的图像2例1函数y=x+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则yy=2x2+2x-1的图像x实数m的取值范围是(A)A.[-2,+∞)B.[2,+∞)xyC.(-∞,2)D.(-∞,2]22y=2x+2x-1的图像解：y=x+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x2x=-m，y=x+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则-m≤2，解得m≥-2.故选：A.79,2例2(2021秋•南乐县月考)已知函数f(x)=|x+[练3]函数y=x-2x+1的单调递增区间是(B)22|-|2-x|，g(x)=x-2|x|+t(t∈R)．A.-1,0B.(-1,0)和(1,+∞)(1)f(x)<a的解集为r，求实数a的取值范围；c.(-∞,-1)d.(-∞,-1)和(0,1)2(2)若f(x)<g(x)在[-2，2]上有解，求实数t(x-1),x≥02解：y=x-2x+1=，(x+1)2,x<0的取值范围．作出其图象如图所示：解：(1)因为f(x)=|x+2|-|2-x|=|x+2|-|x-2|由图象可知，≤|(x+2)-(x-2)|≤4，函数的增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选:b当且仅当x≥2时，f(x)取得最大值4，[练4](2022•泸县模拟)设m∈r，则“m≤2”是“函数若f(x)<a的解集为r，则a>4，2f(x)=x-mx在[1，+∞)上单调递增”的(C)所以实数a的取值范围是(4,+∞)．A.充分不必要条件(2)当x∈[-2，2]时，f(x)=(x+2)-(2-x)=2x，B.必要不充分条件所以f(x)<g(x)在[-2，2]上有解，c.充要条件2即为2x<x-2|x|+t在[-2，2]上有解，d.既不充分也不必要条件所以t>-x2+2|x|+2x在[-2，2]上有解，2解：若函数f(x)=x-mx在[1，+∞)上单调递增，-x2,-2≤x≤0m22则≤1，&there4;m≤2，&there4;m≤2是函数f(x)=x-mx在设h(x)=-x+2|x|+2x=，2-x2+4x,0<x≤2[1，+∞)上单调递增的充要条件，故选：c．因为h(x)在[-2，2]上单调递增，所以h(x)min=h[练5](2021春•水富市校级期中)若函数f(x)=(-2)=-4，∴t>-4，即t的取值范围是(-4,+∞)．x-2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b](b>a≥2)，则实数m的取值范围为(C)A.1,41,4随堂练习4B.4C.7,27,24D.42[练1](2022春•房山区期中)若函数f(x)=x-mx+解：f(x)=x-2+m在区间[a，b]上单调递增且函数10在(-2,1)上是增函数，实数m的取值范围(D)a-2+m=a的值域为[a，b](b>a≥2)，&there4;，b-2+m=bA.[2，+∞)B.[-4，+∞)即m=a-a-2，m=b-b-2，问题转化为m=x-x-2在[2，+∞)上有两个不同零C.(-∞，2]D.(-∞，-4]2点，令t=x-2，x=2+t且t≥0，m22所以x-x-2=t-t+2，t≥0，解：f(x)=x-mx+10的对称轴为x=且开口向222令g(t)=t-t+2，t≥0，所以y=m与g(t)=t-t+2m上，∵函数f(x)在(-2,1)上是增函数，&there4;2≤-2，&there4;m1271=t-2+4在t≥0时有两个交点，因为g2=≤-4，&there4;实数m的取值范围是(-∞，-4]．77，g(2)=2，结合二次函数的性质可知，<m≤2．x-11244[练2](2022•保定二模)若函数f=-+xx2x[练6](2021秋•沙坪坝区期中)设实数x，y满足x+y1，则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为(d)22=4，则x+y-2x+2y+2的最小值为(c)a.-1b.-2c.-3d.-4x-11212a.2b.4c.22d.8解：由f=-+1可得，f1-=1-xx2xxx22解：∵x+y=4，故y=4-x，代入x+y-2x+2y+211222+=1-，∴f(x)=x(x≠1)．∴g(x)=x-4x得x2+y2-2x+2y+2=2(x-3)2+8≥8，x2x2则x2+y2-2x+2y+2的最小值为22．故选：c．=(x-2)-4，当x=2时，g(x)取得最小值为-4．80,22[练7](2022•河南模拟)二次函数f(x)=ax+2x+c[练10]设函数f(x)=|x-4x+3|，x∈r．14(x∈r)值域为[0，+∞)，则+的最小值(b)(1)在区间[0，4]上画出函数f(x)的图象；caa.-4b.4c.8d.-8(2)写出该函数在r上的单调区间．a>011解：根据题意，有，得a=>0，则△=4-4ac=0cc444+=a+≥2a×=4，当且仅当a=2时取等aaa2[练8](2021秋•和平区校级期中)若函数f(x)=-x+2x-2a+14ax与g(x)=在区间[1，2]上都是减函x-2a22数，则a的取值范围是(D)解：(1)函数f(x)=|x-4x+3|=|(x-2)-1|；(列表，描点，作图)1A.(-∞，1]B.-2,1x012341111C.-2,2D.-2,2y301032解：∵f(x)=-x+4ax在[1，2]上减，1&there4;x=2a≤1，得a≤；22x-2a+12a+1又∵g(x)==2+在[1，2]上是减函数，x-2ax-2a2a+1>01111，得-2<a<2或a>1；，a∈-2，22a1或2a22(2)根据函数f(x)的图像，不难发现，[练9](2021秋•河南月考)函数f(x)=ax+x+b．函数f(x)在x∈(-∞，1]上单调递减；(1)若不等式f(x)<0的解集是(-∞，-2)∪(3，函数f(x)在x∈[1，2]上单调递增；+∞)，求f(x)的解析式；函数f(x)在x∈[2，3]上单调递减；f(x)函数f(x)在x∈[3，+∞)上单调递增．(2)若a=1，b=4，求y=(x>0)的最小值x+1[练11](2021秋•龙凤区校级期末)已知函数f(x)是定1-2+3=-a2解：(1)由题意可得，得a=-1，b=6，义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=-x+2x．-2×3=ba(1)当x≥0时，求函数f(x)的解析式；2故f(x)=-x+x+6；(2)解m的不等式：f(2m)+f(m-2)≤2-3m．(2)因为a=1，b=4，2x+x+44解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0所以y==x+1+-1，x+1x+12时，f(x)=-x+2x．&there4;f(0)=0，因为x>0，所以x+1>0，当x>0，则-x<0，4所以x+1+≥4，则f(-x)=-x2-2x=-f(x)，x+14即f(x)=x2+2x(x<0)，当且仅当x+1=，即x=1时，等号成立，x+12综上f(x)=x+2x(x≤0)．则y≥3，(2)由f(2m)+f(m-2)≤2-3m．得f(2m)+2m≤-ff(x)即函数y=(x>0)的最小值是3．(m-2)+2-m=f(2-m)+x+12-m．设g(x)=f(x)+x，则不等式等价为g(2m)≤g(2-m)，作出函数f(x)的图象如图：则f(x)在R上是增函数，则g(x)=f(x)+x也是增函数，则由g(2m)≤g(2-m)，得2m22≤2-m，得m≤3，即实数m的取值范围是-∞，3．81,例3(2021秋•秀英区校级期中)函数y=f(x)为偶函模块二闭区间上的二次方程与函数2数，当x≥0时，f(x)=x+2ax+1．课堂精讲(1)当x<0时，求f(x)的解析式；(2)设函数y=f(x)在[0，5]上的最大值为g(a)，在学习了函数的基本性质以后，我们知道了函求g(a)的表达式．数具有有界性，研究函数的问题一定要在由意义的解：(1)设x<0，则-x>0，22范围内经行研究，所以自变量的约束是研究函数的&there4;f(-x)=(-x)+2a(-x)+1=x-2ax+1，又∵函数y=f(x)为偶函数，第一步，但是初中阶段大家研究二次函数都是在任&there4;f(-x)=f(x)，意实数下经行的研究，接下来我们将在给定区间上2&there4;f(x)=x-2ax+1，来研究二次函数的最值和方程根存在的问题。2即当x<0时，f(x)的解析式为f(x)=x-2ax+1，2(2)当x≥0时f(x)=x+2ax+1，对称轴为x=-a，551.二次函数闭区间值域当-a≤即a≥-时，g(a)=f(5)=26+10a，2255设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p当-a>即a<-时，g(a)=f(0)=1，2251,a<-,q]上的最大值为M，最小值为m，其中对称轴x0=2综上所述，g(a)=．26+10a,a≥-5b12-,区间[p,q]上的中点t=(p+q).2a222.二次方程ax+bx+c=0(a≠0)根的分布图1图2x0pqxpx0tqx设:f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点：x,x,判别122b式：△=b-4ac,对称轴：x0=-2a(1)方程f(x)=0在区间m,n上无解.图3图4ptx0qxpqxxf(m)>00a>0f(n)>0f(m)(1)当x0<p时，则f(x)min=f(p)=m，f(x)max=f(n)△<0f(q)=m；参照图1f(x0)>0mx0nxm<x<n0bb(2)当p≤-<t时，则f(x)min=f(-)=2a2af(m)a>0a>0f(n)f(m)>0m，f(x)max=f(q)=M；参照图2或⇒f(n)>0f(n)f(m)bbmnxmnxn<x0或m>x0(3)当t≤-<q时，则f(x)min=f(-)=2a2am，f(x)max=f(p)=m；参照图3a>0f(m)<0(4)当q≤-b时，则f(x)=f(q)=m，f(x)x1mnx2xf(n)<0min2af(n)f(m)△>0max=f(p)=M.参照图482,(2)方程f(x)=0在区间m,n上有一解.随堂练习a>0f(m)≥02[练12](2021秋•湖南期中)已知函数f(x)=ax+1f(n)≥0f(n)的定义域为R，则a的取值范围是(D)f(m)△=0A.[0，1]B.(0,+∞)mx0nxm≤x0≤nC.[1，+∞)D.[0，+∞)f(m)a>0a>0解：题意得ax2+1≥0恒成立，当a≥0时，满足题意，f(n)f(m)∙f(n)≤0mx2nx1x或x2mx1nx⇒△>0[练13](2021秋•东城区校级期中)若函数f(x)=2x-3f(n)f(m)定义域为R，则a的取值范围是(C)2x+ax+aA.[0，4)B.[0，2)C.(0,4)D.(2，4](3)方程f(x)=0在区间m,n上有两解2x-3解：解：因为函数f(x)=的定义域为R，2a>0f(m)≥0x+ax+a22f(m)所以x+ax+a>0恒成立，所以△=a-4a<0，f(n)f(n)≥00<a<4，所以实数a的取值范围是(0,4)．故选：c．△>0mx1x2nx[练14](2021秋•柳州月考)已知函数f(x)=m<x0<n2ax+bx+c的定义域值域均为[0，4]，则a=(a)a.-4b.-2c.-1d.12例4若命题“∀x∈[0，3]，都有x-2x-m≠0“是2解：当a>0时，不等式ax+bx+c≥0的解集是D=假命题，则m的取值范围是-1≤m≤3(-∞，x1]∪[x2，+∞)，不满足f(x)的定义域和值域A=解：命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0“是假命[0，4]，不合要求．当a<0时，函数f(x)的定义域为D2题，=[0，4]，即不等式ax+bx+c≥0的解集是D=[0，2bb则命题“∃x∈[0，3]，使得x-2x-m=0“成立4]，所以c=0，-a=4，此时f(x)max=f-2a=是真命题，2bb22==4，由①②得-a=2-a，得a=-4．法一：变换主元：故m=x-2x=(x-1)-1。（将x-4a2-a看作是m的函数）[练15](2021秋•天河区校级期中)已知二次函数f(x)由于x∈[0，3]，&there4;m∈[-1，3]。2=x-mx+m-1(m∈R)．法二：二次函数含参讨论：设h(x)=x2-2x-m,函数开口向上,△=4+(1)若f(x)是偶函数，求m的值；4m，对称轴x0=1(2)函数在区间[-1，1]上的最小值记为g(m)，求2∃x∈[0，3]，使得x-2x-m=0,即函数h(x)在g(m)的最大值．x∈[0，3]上与x轴有交点m解：(1)f(x)是偶函数，得f(x)对称轴为y轴，即=0，m=01当x0∈[0，3]时，函数h(x)有两个单调区间2mm(2)f(x)的对称轴为x=，当≤-1，即m≤-2时，f(x)在22h(0)≥0[-1，1]上递增，可得g(m)=f(-1)=2m；当-1<m<1，即h(x)2⇒h(3)≥0⇒-1≤m≤0-2<m<2时，f(x)的最小值为g(m)=fm=m-1-x2013h(1)≤02mm；当≥1，即m≥2时，f(x)在[-1，1]上递减，可得g(m)422m,m≤-22当x0∉[0，3]，函数h(x)有一个单调区间m2=f(1)=0．∴g(m)=m-1-,-2<m<2，4h(x)h(x)0,m≥2当m≤-2时，g(m)≤-4；当-2<m<2时，g(m)=x⇒h(0)∙h(3)≤0⇒0≤m≤320303-(m-2)∈(-4,0)；当m≥2时，g(m)=0．x4综上可得，g(m)的最大值为0．综上，-1≤m≤383,2[练16](2022春•阳信期中)函数f(x)=2mx+4mx+1[练17](2021秋•临海市校级月考)(1)若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，2已知函数f(x)=x+(x-2)|x-a|．求m的取值范围；(1)若a=1，解不等式f(x)≤1；49(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求+(2)若函数f(x)在[0，3]上是增函数，求实数a的ab的最大值．取值范围；22解：(1)根据题意，f(x)=2mx+4mx+1，2x-3x+2,x≥1解：(1)当a=1时，f(x)=，若f(x)≤0，即2mx2+4mx+1≤0，3x-2,x<1-1当x≥1时，f(x)≤1化为2x2-3x+2≤1，解得x=1，又由x∈[1，3]，变形可得m≤，22x+4x当x<1时，f(x)≤1可化为3x-2≤1，解得x<1，-1设g(x)=，x∈[1，3]，2x2+4x综上，不等式的解集为{x|x≤1}；211(2)f(x)=x2+(x-2)|x-a|=x∈[1，3]，则6≤2x+4x≤30，有-≤g(x)≤-，63022x-(a+2)x+2a,x≥a若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，则m≤g，(a+2)x-2a,x<a11(x)max，即m≤-，故m≤-，23030因为f(x)=2x-(a+2)x+2a是开口向上，对称轴为x(2)根据题意，若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，即方程a+2=的二次函数，242mx+4mx+1=0的两根为a、b，a+221当=a，即a=时，f(x)在R上显然单调递增，则有a+b=-2，ab=>0，432m满足题意；49149则a+b=-2(a+b)a+b=a+22当<a，即a>时，f(x)在R上为增函数，满足；4314b9a4b9a4b9a-213+a+b，又由a+b≥2a+b=当a+2>a，即a<2时，为使函数f(x)在[0，3]上单4349112，当且仅当2b=3a时等号成立，则有+≤-a+2ab2调递增，需满足：≤0，解得a≤-2；4254925(13+12)=-，即+的最大值为-．22ab2综上，实数a的取值范围是：a≥或a≤-2．32[巩固3](2022春•湖北期中)f(x)=-x-3tx+8t，则“f课后提升(x)图象恒在x轴下方”是“-2<t<0”的(c)2[巩固1](2021秋•临渭区期末)已知函数f(x)=-x-a.既不必要又不充分条件bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则(b)b.充分不必要条件a.f(π)>f(2)>f(1)B.f(2)>f(1)>f(π)C.必要不充分条件C.f(2)>f(π)>f(1)D.f(1)>f(2)>f(π)D.充要条件22解：根据题意知抛物线f(x)=-x-bx+c的图像开解：f(x)图象恒在x轴下方”即△=9t+4×8t<0，3232口向下、关于直线x=2对称，所以函数f(x)在(2整理得-9<t<0；由于(-2,0)⊂-9,0，,+∞)上单调递减，∴f(2)>f(3)>f(π)，则“f(x)图象恒在x轴下方”是“-2<t<0”必要不充分条件2又因为f(1)=f(3)，所以f(2)>f(1)>f(π)．[巩固4](2021秋•绵阳期末)若f(x)=x+|x|，则满足f(1-a)≤f(a)的a的取值范围是(C)[巩固2](2021秋•浙江月考)已知函数f(x+2)=xA.-∞,11+2x+2，则f(x)的最小值是(B)2B.0,211A.-1B.2C.1D.0C.2,+∞D.2,122解：f(x)定义域为R，且f(-x)=(-x)+|-x|=x+|x|=f2解：令x+2=t，则t≥2，&there4;x=t-2，x=(t-2)，2(x)，&there4;f(x)是偶函数，又∵f(x)=x2+|x|=x+x,x≥0，&there4;f(t)=(t-2)2+2(t-2)+2=t2-2t+2，2x-x,x<0&there4;f(x)=x2-2x+2，x≥2．f(x)在[2，+∞)上为增&there4;f(x)在(-∞,0)单调递减，在[0，+∞)单调递增，1函数，则当x=2时，f(x)取得最小值为2．&there4;不等式f(1-a)≤f(a)等价于|1-a|≤|a|，得a≥284,[巩固5](2021秋•华龙区校级期中)已知函数f(x)=[巩固8](2021秋•常熟市校级月考)x2的定义域为R，则m的范围是(B)设函数f(x)=ax+(b-2)x+3(a≠0)．2mx+mx+2A.[0，8]B.[0，8)(1)不等式f(x)>0的解集为(-1,1)，求a和b；C.[0,22]D.[0,22)(2)若f(1)=3，若a>0，b>0，求1+1的最小abx解：∵函数f(x)=2的定义域为R，值，并指出取最小值时a和b的值；mx+mx+2&there4;mx2+mx+2>0对于任意x∈R恒成立，2解：(1)由已知得，ax+(b-2)x+3=0两根是-1，1当m=0时，符合题意；b-2-=-1+1=0m>0aa=-3当m≠0时，则2，解得0<m<8．∴3，解得b=2；m-8m<0=(-1)×1=-1a∴m的取值范围是[0，8)．故选：b．(2)①f(1)=a+b-2+3=3，所以a+b=2，[巩固6](2021秋•景德镇期中)若函数y=11111ax-2∴+=+(a+b)2的定义域为r，则a的范围是(d)ab2abax-4ax+21ba1aba.[0，1]b.[0，1)=2a+b+2≥22b×a+2=2c.0，1d.0，1ba22当且仅当=时取等，∵a+b=2，a>0，b>0，ab解：y=ax-2的定义域为R，则ax2-4ax112解得a=b=1时取等号，此时+的最小值是2；ax-4ax+2ab2+2>0对任意x∈R恒成立．当a=0时，不等式ax2[巩固9](2021秋•天津期末)已知函数f(x)=2x+-4ax+2>0化为2>0，恒成立；当a≠0时，需mx+n的图象过点(1,-1)，且满足f(-2)=f(3)．a>01116a2-8a<0，即0<a<2．综上，a∈0，2．(1)求函数f(x)的解析式；[巩固7](2021秋•梁溪区校级期中)(2)求函数f(x)在[a，a+2]上的最小值；已知函数f(x)=-ax2+2x+5．(3)若x0满足f(x0)=x0，则称x0为函数y=f(x)(1)若函数定义域为r，求a的取值范围；的不动点．函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．(2)若函数值域为[0，+∞)，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)过点(1,-1)，∴2+m+n=-1①解：(1)∵函数定义域为r，又f(-2)=f(3)，∴8-2m+n=18+3m+n②2由①②解m=-2，n=-1，∴f(x)=2x-2x-1；2∴-ax+2x+5≥0对任意x∈r都成立，2123(2)f(x)=2x-2x-1=2x-2-2，x∈[a，a+2]13当a=0时，2x+5≥0显然不恒成立，不合题意；当a+2≤，即a≤时，f(x)在[a，a+2]上单减22213∴f(x)min=f(a+2)=2a+6a+3；当a<<a+2，即-当a≠0时，由二次函数的性质可知，需满足22<a<1时，f(x)在a，11，a+2-a>0122上单减，在2上单调递，解得a≤-，△=4+20a≤05增，&there4;f(x)=f1=-3；当a≥1时，函数f(x)在[a，a+min222综上，实数a的取值范围为-∞,-1；2]上单调递增，&there4;f(x)min=f(a)=2a2-2a-1．5232a+6a+3,a≤-2(2)∵函数值域为[0，+∞)，331综上，f(x)min=-2,-2<a<2；21∴g(x)=-ax2+2x+5能取遍所有正数，2a-2a-1,a≥2(3)设g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1、x2，且x1-a≥01∴，解得-≤a≤0，>0，x>0，&there4;g(x)=x，即方程2x2-(3+t)x+t-1=0有两52△=4+20a≥02△=(3+t)-8(t-1)>013+t&there4;实数a的取值范围为-5,0．个不相等的正实根x1、x2，&there4;x1+x2=2>0，得txx=t-1>0122>1．&there4;t的取值范围为：(1,+∞)．85,第十五讲函数零点与分段函数例1(2021秋•辽源期末)已知函数f(x)=模块一分段函数2x++2,x<0x，则f(x)的最大值是(B)课堂精讲-x2-1,x≥0A.2+22B.2-22初中阶段我们接触过一些简单的分段函数问题。C.-1D.1所谓分段函数就是自变量在不同的定义区间上有不同的解析式。对于分段函数的问题，我们可以借助图解：当x<0时，f(x)max=f(-2)=2-22，象辅助解题，图象是最直观体现函数性质的方法。当x≥0时，f(x)max=f(0)=-1，而2-22>-1，所以f(x)max=2-22，故选：B．1.分段函数f(x),x∈a,b例2(2021秋•河南月考)已知函数f(x)=形如y=g(x),x∈b,c的函数称为分段函数。-x2-2ax-2,x≤1∙∙∙∙∙∙2在R上为增函数，则a的a1,x>x2取值范围是(D)2.分段函数的作图规则11确定函数的分段点，在坐标系中画出虚线；A.-∞，-2B.(-∞,0)C.-∞,-1D.-3，-12在各自的区间上画出函数图像；2423计算分段点处二者的函数值，进而确定函数图-x2-2ax-2,x≤12解：f(x)=是R上的增函数，象是连续还是间断的。a,x>1x21-a≥23.函数作图的细节a<031则有，得-≤a≤-，1a42--a-2≤作图分析问题时，我们虽是作的草图，但还需注412意以下细节，这些细节可能会影响由图得到的结论。31即a的取值范围是-，-，421体现函数性质的特殊点或者直线需进行标注，如对称的点或直线，所过定点(含参一次函数过定点)随堂练习2需注意初等函数渐近线。有渐近线的函数经过翻折变换后仍然有渐近线(对于方程根的个数和最[练1](2021秋•张掖期末)已知f(x)=x-4(x≥6)值问题需重点注意渐近线)。，则f(3)为(C)2x-3(x<6)3部分问题中初等函数的最值点和零点需标注。A.-1B.2C.3D.-1或34直角坐标系要求尺子作图，不要徒手画！！函x-4(x≥6)解：根据题意，f(x)=，数图尽量要使趋势与教学图象保持一致，不要过于夸2x-3(x<6)则f(3)=2×3-3=3；故选：C．张，避免因作图不规范影响结论。86,[练2](2021秋•武江区校级期末)已知f(x)=[练6](2021秋•龙岩期中)已知函数f(x)=2-x+6,x≥0x-4ax+5a,x≤1，则f[f(7)]的值为(B)x2+1,x<02a在R上为减函数，则a的取值,x>1xA.-20B.2C.7D.5范围是(C)-x+6,x≥0解：解：根据题意，f(x)=，则f(7)=-7A.(0,+∞)B.-∞,1x2+1,x<02+6=-1，C.1,112D.2,+∞则f[f(7)]=f(-1)=1+1=2；2x-4ax+5a,x≤1故选：B．解：∵f(x)=2a在R上为减函数，x2-1,x≤1,,x>1x[练3](2021秋•丹东期末)函数f(x)=8x,x>1,2a≥11若f(x)=8，则x=(B)&there4;a>0，解得2≤a≤1．1-4a+5a≥2aA.-3或1B.-31&there4;a的取值范围是，1．C.1D.322x-1,x≤1,[练7](2021秋•邯郸期中)设函数f(x)=解：根据题意，函数f(x)=当x≤1时，f8x,x>1,|x|-1,x∈[-1,+∞)(x)=x2-1=8，解可得x=±3，又由x≤1，则x=-3，，若对任意的x∈[m，+∞)，2f(x+2),x∈(-∞,-1)当x>1时，f(x)=8x=8，解可得x=1，不符合题意，都有f(x)≥-4，则m的最小值是(D)综合可得：x=-3，故选：B．1311A.-4B.-6C.-D.-[练4](2021秋•福州期末)已知函数f(x)=223解：作出函数f(x)的部分图象如图所示，x+1,x>0a为偶函数，则2+b=(B)ax3+b,x<0313A.3B.C.-D.-2223x+1,x>0解：∵f(x)=为偶函数，&there4;f(-1)=fax3+b,x<0(1)，f(-2)=f(2)，&there4;-a+b=2，9=-8a+b，得，a=3x+1,x>0-1，b=1，此时f(x)=为偶函数，满足-x3+1,x<0当x∈(-6,-5)时，f(x)=8(x+5)，a13题意，则2+b=+1=．1122令f(x)=-4，解得x=-．2[练5](2021秋•西青区期末)若函数f(x)=数形结合可得，对任意的x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-4，211x+,2<x≤3则m的最小值为-．x，f(x)的值域为(d)210+3x-x2,-1≤x≤2[练8](2020秋•南昌县校级月考)若函数f(x)=a.6,71132b.3,3b-2x+b-1(x>0)在R上为增函数，则实数C.3,711-x2+(2-b)x(x≤0)2D.6,33解：当2<x≤3时，f(x)=x+2在(2，3]上单调递增，b的取值范围是2，2．x11b-3x+b-1(x>0)此时值域为3,3，解：∵函数f(x)=2在2-x2+(2-b)x(x≤0)当-1≤x≤2时，f(x)=-x+3x+10=324933(-∞,+∞)上为增函数，-x-2+4在-1,2上递增，在2,2上递3b->0减，此时值域为6,72332；&there4;b-1≥0，解得<b≤2，∴b∈，2，22故所求函数的值域为6,112-b≥03．287,[练9](2021秋•广陵区校级期中)[练10](2021秋•锡山区校级期中)1-x2-ax+3a(0≤x≤1)1-x,x≥1已知函数f(x)=．已知函数f(x)=a．1x(1<x≤2)x-1,0<x<111(1)当a=1时，求f(x)的值域；(1)当0<a<b，f(a)=f(b)时，求+的值；ab(2)函数y=f(x)能否成为定义域上的单调函数，(2)若存在正实数a、b(a<b)使得函数y=f(x)如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0)，求m(3)f(x)≥-2在其定义域上恒成立，求实数a的的取值范围．取值范围．解：(1)由0<a<b，且f(a)=f(b)，2-x-x+3(0≤x≤1)11则0<a<1<b，则f(a)=a-1,f(b)=1-b，解：(1)当a=1时，f(x)=1，(1<x≤2)11x所以-1=1-，ab则x∈(0,1)时，f(x)∈[1，3]；当x∈(1，2]时，f(x)∈故1+1=2；11ab2，1，则f(x)的值域为2，3，(2)因为1<a<b，ma<mb，(2)若函数y=f(x)在定义域上单调，所以m>0，当a>0时，因在x∈(1，2]上函数单减，则y=f(x)单调则f(x)在[1，+∞)上单调递增，a-≤0121-=ma递减，则满足a，解得a≥1，所以f(a)=ma，即a，-1-a+3a≥f(b)=mb1-1=mb1b当a=0时，函数无单调性，不符合题意，2所以ma-a+1=0，当a<0时，因在x∈(1，2]上函数单增，则y=f(x)单调mb2-b+1=0a-≥1则a，b是方程mx2-x+1=0的两个根，2递增，则满足，解得a≤-2，a且关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的不等实-1-a+3a≤1数根，设为x1，x2，综上所述，若使函数y=f(x)为定义域上的单调函数，实11则x1+x2=,x1x2=，数a的范围为(-∞，2]∪[1，+∞)，mm(3)由f(x)≥-2在其定义域上恒成立，即f(x)=△>01-4m>021-x-ax+3a≥-2(0≤x≤1)所以(x1-1)+(x2-1)>0，即m-2>0，，(x1-1)(x2-1)>0a≥-2(1<x≤2)1>0x1x2-2解得0<m<，a≥(0≤x≤1)4化简得3-x恒成立，故实数m的取值范围为0,1．a≥-2x(1<x≤2)42(3-x)2-6(3-x)+7x-2当x∈[0，1]时，由==33-x3-x7-x+-6，3-x7令t=3-x∈[2，3]，h(t)=t+-6，t由对勾函数单调性知，函数h(t)在t=2时，取最大值h11(2)=-，则a≥-，22a≥-2×1=-2当x∈(1，2]时，满足，即a≥-2，a≥-2×2=-4综上所述，f(x)≥-2在其定义域上恒成立，实数a的取1值范围为[-．+∞)．288,2例3函数f(x)=x-3x+1,若f(x)=a有3个不模块二函数零点与方程解相等的实数根，则a=1解：作出函数f(x)的草图如下，可知，当a=f(0)时满课堂精讲足题意，a=f(0)=1初中阶段阶段我们分别学习了函数、方程、不等y式之间的相互关系。现在，我们通过对前面内容的学习，加深了这些知识的关系：方程和不等式都是函数的一种特殊情况，都是由函数演化得来的，而不等式与函数之间的临界状态是方程，所以研究方程解也是我们研究函数的一个重要环节。x例4(2021•奉新县校级三模)已知函数f(x)=1.函数零点|x|+2,x<2对于函数y=fx，我们把使fx=0的实数x，若方程f(x)-a=0的实2x2-12x+19,x≥2叫做y=fx的零点。这样，函数y=fx的零点就根之和为6，则a的取值范围为(a)是方程fx=0的实数解，也就是函数y=fx的图象与x轴的公共点的横坐标。a.(1，3]b.[1，3]c.(1，4]d.(3,4)y|x|+2,x<2f(b)解：作出函数f(x)=的图象：零点2x2-12x+19,x≥2f(x)-a=0的实根和为ax0bx6，即y=f(x)与y=a图f(a)象交点横坐标之和为6，所以方程fx=0有实数根⇔函数y=fx图当a=1时，y=a的图象象与x轴有交点⇔函数y=fx有零点。与y=f(x)的图象只有一个交点(3,1)，不满足题意；当1<a<2时，y=a由初中方程的定义出发，我们可以知道，方程只的图象与y=f(x)的图需要满足：①含有未知数；②必须是等式。从上面2象有两个交点，从左至右设为x1，x2，由图象可得x1，个条件出发，我们可以知道:不仅仅fx=0是方程，x1+x2x2关于x=3对称，∴=3，即x1+x2=6，满足2fx=a也是方程。题意；当a=2时，y=a的图象与y=f(x)的图象有三个交点，且(0,2)为最左侧交点，设y=a的图象与y=2.常数函数f(x)的图象的另两个交点分别为x1，x2，由图象可得形如y=a（a为常数）的函数称之为常数函数。x1+x2x1，x2关于x=3对称，∴=3，即x1+x2=6，2图象是一条平行于x轴的直线，不具备单调性。满足题意；当2<a≤3时，y=a的图象与y=f(x)的y图象有四个交点，从左至右分别为x1，x2，x3，x4，y=a由图象可得x1+x2=0，x3，x4关于直线x=3对称，∴x3+x4=3，即x3+x4=6，满足题意；当3<a<4时，x2y=a的图象与y=f(x)的图象有三个交点，由图象可类比函数零点，我们可以得到：方程fx=a有得不满足题意；当a=4时，y=a的图象与y=f(x)的n个实数根⇔函数y=fx图象与函数y=a有n图象有两个交点，由图象可得不满足题意．综上可得，a的取值范围为1<a≤3．选：a．个交点⇔函数y=fx-a有n个零点。89,[练14](2020•和平区二模)已知函数f(x)=随堂练习1-x,x≥0|x|+11+x，函数g(x)=f(1-x)-kx+k-[练11](2022•海口)函数f(x)=x，则(bc)x2+2x+1,x<0a.f(x)的定义域为r1恰有三个不同的零点，则k的范围是(d)2b.f(x)是奇函数9a.(-2-2,0]∪2c.f(x)在(0,+∞)上单调递减9b.(-2+2，0]∪2d.f(x)有两个零点1|x|+1c.(-2-2,0]∪2解：由题意得x≠0，a显然错误：f(-x)==-f-x1(x)，故f(x)为奇函数，b符合题意；d.(-2+2，0]∪2x+111-x当x>0时，f(x)==1+单调递减，C符合题,x≥0xx解：f(x)=1+x，得f(1-x)=意；由f(x)=0得|x|+1=0，此时x无解，D错误．x2+2x+1,x<0x[练12](2021秋•海淀区校级期中)已知函数f(x)是定2-x,x≤11g(x)=f(1-x)-kx+k-恰有三个2(x-2)2,x>12义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x-x，则下1不同的零点，即为f(1-x)=kx-k+有三个不同的列说法正确的(D)21A.f(x)(-1，0)在上为增函数实根，作出y=f(1-x)和y=kx-k+2的图象:B.f(x)的最大值为2C.方程f(x)-1=0有四个不相等的实数根2D.当x<0时，f(x)=-x-2x解：设x<0，则-x>0，则f(-x)=2-2x-x，又由f(x)是偶函数，则2f(x)=f(-x)=-x-2x，1x当y=kx-k+与y=(x≤1)相切于原点时2x-x2,x≥022-x则f(x)=，作出图1-x2-2x,x<0即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx-k+2象如图所示：依次分析选项：12与曲线y=(x-2)(1<x<2)相切，设切点为(m,n)，a，f(x)在区间(-1,0)上为减函数，2a错，b，当x=±1时，f(x)取得最大值，即f(x)max=f(1)=f可得切线的斜率为k=2(m-2)，且km-k+1=(m-2(-1)=1，b错误，对于c，由图象可知y=1的图象与y=f(x)22的图象有2个交点，则方程f(x)-1=0只有2个不相等的实数2)，得m=1+，k=2-2，即2-2<k≤0时，22根，c错误；于d，当x<0时，f(x)=-x-2x，d正确，两图象恰有三个交点；[练13](2021秋•南阳月考)已知a∈r，函数f(x)=[练15](2021秋•红桥区期末)若函数f(x)是定义域为x-4,x>a，若函数f(x)恰有2个零点，则aR的奇函数．当x>0时，f(x)=x3-2．则函数f(xx2-4x+3,x≤a的取值范围是(A)+2)的所有零点之和为-6．A.[1，3)∪[4，+∞)B.(-∞，1]解：当x>0时，由题意可得函数f(x)=0只有一个零C.(3，4]D.(1，3]∪(4,+∞)点，2奇函数满足f(0)=0，结合奇函数的对称性可得函数f(x)解：由x-4=0得x=4，由x-4x+3=0可得x=1或有3个零点，x=3，①当a<1时，则函数f(x)只有一个零点x=4，不而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2符合题意，②当1≤a<3时，则函数f(x)有两个零点x个单位可得函数f(x+2)的图象=1和x=4，符合题意，③当3≤a<4时，则函数f(x)有&there4;函数f(x+2)的所有零点之和为-6三个零点x=1，x=3和x=4，不符合题意，④当a≥4故答案为：-6．时，则函数f(x)有两个零点x=1和x=3，符合题意，90,2[练16](2021春•福州期末)已知f(x)=[练18](2021秋•天津期中)已知函数f(x)=x+1ax+b2-x,x≤1，若a=1，且f(m)=1，则m=是定义域上的奇函数，且f(-1)=-2．x2-4x+a,x>11或4；若对任意的t>0，函数y=f(x)-t-1有两(1)求函数f(x)的解析式；个零点，则实数a的取值范围是(-∞，4]．(2)若方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的2-x,x≤1根，求实数m的取值范围；解：当a=1时，f(x)=，x2-4x+1,x>1解：解：(Ⅰ)∵f(-1)=-2，又f(x)是奇函数，当m≤1时，f(m)=2-m=1，解得m=1，2=22a+ba=1当m>1时，f(m)=m-4m+1=1，解得m=4或m&there4;f(1)=-f(-1)=2，&there4;，解得，2b=0=-2=0(舍)．综上，m=1或m=4；-a+b2对任意的t>0，函数y=f&there4;f(x)=x+1=x+1，定义域为{x|x≠0}．xx(x)-t-1有两个零点，即(Ⅱ)方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的根，y=t+1(t>0)与y=f(x)2即x-mx+1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数有两个交点．作出f(x)的根，图象如图：2△=m-4>0则12-4×1+a≤1，即a须满足，解得m>2，m>0≤4．&there4;实数a的取值范围是(-∞，4]．即实数m的取值范围是(2,+∞)．[练17](2020秋•番禺区校级期中)-x+2(x>1)[练19]设函数f(x)=1+ax+b，a，b∈R．x2已知函数f(x)=x(-1≤x≤1)．(1)若函数y=f(x)-2为奇函数，且函数f(x)在x+2(x<-1)5(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，求函数f(1)求ff2的值；(x)的解析式；(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域11(2)当a=1时，方程f(x)=2x在区间2，2有和单调区间；两个不同的实数根，求实数b的最小值；(3)若方程f(x)=m有四个根，求实数m的取值1解：(1)由题意得，函数y=f(x)-2=+ax+b-2，范围，并求出这四个根的和．x511令g(x)=f(x)-2为奇函数，&there4;g(-x)=-g(x)，解：(1)ff2=f-2=4．11即-x-ax+b-2=-x+ax+b-2，解得b=2，(2)由图象可知，函数的值域是(-∞，1]，11单调增区间(-∞，-1]和[0，1]，由f(x)=x+ax+2得，f′(x)=-2+a，x减区间[-1，0]和[1，+∞)．∵函数f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递(3)∵方程f(x)=m有四个根，1增，&there4;f′(1)=-1+a=0，得a=1，&there4;f(x)=+x+2；&there4;根据图象可得实数m的取值范围是0<m<1，x11由图象判断f(x)是偶函数，所以这四个根的和是0．(2)把a=1代入f(x)=x+ax+b得，f(x)=x+x+1112b，则方程f(x)=x为：+x+b=x，化简得x+2x2112bx+2=0，∵方程f(x)=2x在区间2，2有两个不21同的实数根，∴x+2bx+2=0在区间2，2有两个不2△=4b-8>012<-b<23同的实数根，则121，解得-2≤b2+2b×2+2>022+2b×2+2≥03<-2，&there4;实数b的最小值是-；291,[巩固4](2021秋•通辽月考)已知函数f(x)=课后提升2x-2ax+5,x<1[巩固1](2022春•如皋市期中)已知函数f(x)=a,x≥1在R上单调递减，则a的取值范x2x-1,x≥0,1若f(f(a))=-1，则a=(C)围是(C),x<0,xA.(0,+∞)B.[1，+∞)A.1或-1B.1或0C.[1，2]D.[1，2)C.1或-1或0D.-1或02x-2ax+5,x<111解：∵函数f(x)=a解：当a<0时，f(a)=<0，f(f(a))==a=,x≥1a1xaa≥12-1，得a=-1；当0≤a<1时，f(a)=a-1<0，f(f在R上单调递减，&there4;a>0，(a))=21=-1，解可得a=0，1-2a+5≥aa-1解得1≤a≤2．222当a≥1时，f(a)=a-1≥0，f(f(a))=(a-1)-1=-1，解可得a=1；[巩固5](2021秋•海淀区校级期中)设区间A=1[巩固2](2022•漳州)函数f(x)=2x，则(AD)0,1,B=1,1x+2,x∈Ax2+922，函数f(x)=，若x03(1-x),x∈BA.f(x)的定义域为R∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是(A)B.f(x)是偶函数111A.3,2B.0,4C.函数y=f(x+2022)的零点为03111C.0,8D.4,2D.当x>0时，f(x)的最大值为31112解：∵0≤x0<2，&there4;f(x0)=x0+2∈2，1=B，解：∵x+9>0恒成立，&there4;f(x)的定义域R，A正确；-2x&there4;f[f(x)]=3(1-f(x))=31-x+1f(-x)==-f(x)，函数为奇函数，故B错误；y0002=2x+91112(x+2022)32-x0．∵f[f(x0)]∈A，&there4;0≤32-x0<2，=f(x+2022)=，零点为-2022，C2(x+2022)+911111&there4;<x0≤．∵0≤x0<，∴<x0<．2x2232232错；当x>0时，f(x)==≤x2+999x+x2x⋅[巩固6](2021秋•城厢区校级期中)设函数f(x)=x319x-3x,x≤x0=，当且仅当x=，即x=3时取等，故D正确．．若f(x)有且只有2个零点，则实数3x-x,x>x0[巩固3](2021秋•沙河口区校级期中)设函数f(x)=x0的取值范围是[-3，3)．322x-1,x∈[0,+∞)解：由x-3x=x(x-3)=0可得x=±3或x=0，，又g(x)=f(x)-1，则函数g(x)x2-4,x∈(-∞,0)由-x=0可得x=0，3在同一直角坐标系中作出函数y=-x与函数y=x的零点可以是(AC)-3x的图象如下图所示：A.1B.5C.-5D.-12x-1,x∈[0,+∞)解：f(x)=2，g(x)=f(x)-1，x-4,x∈(-∞,0)令f(x)-1=0，当0≤x时，由2x-1=1，解得x=1；2当x<0时，由x-4=1，解得x=-5，&there4;函数g(x)有2个零点，分别为x=1，x=-5．由图象可知，当-3≤x0<3时，函数f(x)有两个零点，92,[巩固7](2021春•开封期末)已知函数f(x)是以4为[巩固9](2021秋•莲湖区校级期中)周期的函数，且当-1<x≤3时，f(x)=2x+1已知函数f(x)=．1-x2,-1<x≤1x+1，若函数y=f(x)-m|x|恰1-|x-2|,1<x≤3(1)判断函数在区间[0，+∞)上的单调性，并用定1有10个不同零点，则m的范围为6，8-215．义证明你的结论；f(x),x∈[0,+∞)解：函数f(x)是以4为周期的函数，且当-1<x≤3(2)若g(x)=在r上1-x2,-1<x≤1-x2+ax+a,x∈(-∞,0)时，f(x)=，图象如下图：1-|x-2|,1<x≤3是单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)在[0，+∞)上是增函数，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1<x2，2x1+12x2+1则f(x1)-f(x2)=-=x1+1x2+1x1-x2，(x1+1)(x2+1)若函数y=f(x)-m|x|恰有10个不同零点，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，则函数图象要与y=mx的图象恰有5个交点，&there4;f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．12x+1当直线过(6,1)时，m=，所以函数f(x)=x+1在[0，+∞)上是增函数．622x+1当直线与(3,5)上的抛物线y=-(x-4)+1相切时，(2)由(1)得函数f(x)=在[0，+∞)上是增函x+12联立直线和抛物线方程得：x+(m-8)x+15=0，数．2由△=(m-8)-60=0得：m=8-215，或m=8f(x),x∈[0,+∞)1要使g(x)=-x2+ax+a,x∈(-∞,0)在r上是单+215(舍去)，故m∈6，8-215，调函数，[巩固8](2021秋•朔州期中)则设h(x)=-x2+ax+a，x∈(-∞,0)也是增函数，x+6,x≤0a已知函数f(x)=．又因为h(x)开口向下，对称轴为x=2，x2-2x+2,x>0aa≥0≥0(1)求不等式f(x)>5的解集；所以2，即22×0+1，2h(0)≤f(0)-0+a×0+a≤0+1m(2)若函数g(x)=f(x)-有三个零点，求实数2a≥0整理得，所以0≤a≤1．故实数a的取值范围m的取值范围．a≤1为[0，1]．解：(1)当x≤0时，由x+6>5，得-1<x≤0；2当x>0时，由x-2x+2>5，得x>3，综上所述，不等式的解集为(-1，0]∪(3,+∞)．2m(2)函数g(x)=f(x)-2有三个零点，即方程f(x)2m-=0有三个不同实2数根，等价于函数y=f(x)2m与函数y=的图像有三个不同的交点，如图所示，22m由图可知，1<<2，解得-2<m<-2或2<2m<2，所以实数m的取值范围为(-2，-2)∪(2,2)93,第三章章末总结1.本章内容在函数性质的基础上以初中三大函数为出发点，加入了函数的四大变换：平移、对称、翻折和伸缩。并且介绍了我们求解函数最值常见的两个函数模型：一次分式函数和二次分式函数。通过本章的学习，请你对函数的四大类变换作一个简单的归纳总结，以草图的形式展示。解：★函数图象的平移变换自变量“左加右减”：y=f(x)左（右）平移a个单位y=f(x±a)y=f(x)y=f(x-a)yy左右平移oxoxx1x2x1x2x1+ax2+a因变量“上加下减”：y=f(x)上（下）平移b个单位y=f(x)±byy=f(x)yy=f(x)上下平移oxoxy=f(x)-b横坐标变为原来的ω倍1★函数图像的伸缩变换：y=f(x)y=f(x)ω★函数图像的对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”关于x轴对称关于y轴对称y=f(−x)y=f(x)y=−f(x)y=f(x)关于原点对称关于x=a对称y=f(x)y=−f(−x)y=f(x)y=f(2a−x)★函数图像的翻折变换：y=f(x)→y=|f(x)|保留x轴上方部分，将下方部分沿x轴对称翻折到上方y=f(x)y=f(x)yy对称翻折oxoxy=f(x)→y=f(|x|)保留y轴右边部分，将右边部分沿y轴对称翻折到左边y=f(x)yyy=f(x)对称翻折oxox94,22.(2021秋•玄武区校级期中)已知函数f(x)=ax+ax+1的定义域为a．(1)当a=4时，写出f(x)单调增区间；(2)若a=r，求a的取值范围；(3)若[1，4]⊆a，求a的取值范围．221解：(1)当a=4时，f(x)=4x+4x+1=(2x+1)=|2x+1|，故函数在-2,+∞上单调递增；2(2)依题意可知，ax+ax+1≥0对任意x恒成立，当a=0时，不等式恒成立，a>0当a≠0时，有2，解得0</m<-2或2<2m<2，所以实数m的取值范围为(-2，-2)∪(2,2)93,第三章章末总结1.本章内容在函数性质的基础上以初中三大函数为出发点，加入了函数的四大变换：平移、对称、翻折和伸缩。并且介绍了我们求解函数最值常见的两个函数模型：一次分式函数和二次分式函数。通过本章的学习，请你对函数的四大类变换作一个简单的归纳总结，以草图的形式展示。解：★函数图象的平移变换自变量“左加右减”：y=f(x)左（右）平移a个单位y=f(x±a)y=f(x)y=f(x-a)yy左右平移oxoxx1x2x1x2x1+ax2+a因变量“上加下减”：y=f(x)上（下）平移b个单位y=f(x)±byy=f(x)yy=f(x)上下平移oxoxy=f(x)-b横坐标变为原来的ω倍1★函数图像的伸缩变换：y=f(x)y=f(x)ω★函数图像的对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”关于x轴对称关于y轴对称y=f(−x)y=f(x)y=−f(x)y=f(x)关于原点对称关于x=a对称y=f(x)y=−f(−x)y=f(x)y=f(2a−x)★函数图像的翻折变换：y=f(x)→y=|f(x)|保留x轴上方部分，将下方部分沿x轴对称翻折到上方y=f(x)y=f(x)yy对称翻折oxoxy=f(x)→y=f(|x|)保留y轴右边部分，将右边部分沿y轴对称翻折到左边y=f(x)yyy=f(x)对称翻折oxox94,22.(2021秋•玄武区校级期中)已知函数f(x)=ax+ax+1的定义域为a．(1)当a=4时，写出f(x)单调增区间；(2)若a=r，求a的取值范围；(3)若[1，4]⊆a，求a的取值范围．221解：(1)当a=4时，f(x)=4x+4x+1=(2x+1)=|2x+1|，故函数在-2,+∞上单调递增；2(2)依题意可知，ax+ax+1≥0对任意x恒成立，当a=0时，不等式恒成立，a></x≤0；2当x></f(x2)．12x+1当直线过(6,1)时，m=，所以函数f(x)=x+1在[0，+∞)上是增函数．622x+1当直线与(3,5)上的抛物线y=-(x-4)+1相切时，(2)由(1)得函数f(x)=在[0，+∞)上是增函x+12联立直线和抛物线方程得：x+(m-8)x+15=0，数．2由△=(m-8)-60=0得：m=8-215，或m=8f(x),x∈[0,+∞)1要使g(x)=-x2+ax+a,x∈(-∞,0)在r上是单+215(舍去)，故m∈6，8-215，调函数，[巩固8](2021秋•朔州期中)则设h(x)=-x2+ax+a，x∈(-∞,0)也是增函数，x+6,x≤0a已知函数f(x)=．又因为h(x)开口向下，对称轴为x=2，x2-2x+2,x></x≤3时，f(x)=2x+1已知函数f(x)=．1-x2,-1<x≤1x+1，若函数y=f(x)-m|x|恰1-|x-2|,1<x≤3(1)判断函数在区间[0，+∞)上的单调性，并用定1有10个不同零点，则m的范围为6，8-215．义证明你的结论；f(x),x∈[0,+∞)解：函数f(x)是以4为周期的函数，且当-1<x≤3(2)若g(x)=在r上1-x2,-1<x≤1-x2+ax+a,x∈(-∞,0)时，f(x)=，图象如下图：1-|x-2|,1<x≤3是单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)在[0，+∞)上是增函数，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1<x2，2x1+12x2+1则f(x1)-f(x2)=-=x1+1x2+1x1-x2，(x1+1)(x2+1)若函数y=f(x)-m|x|恰有10个不同零点，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)></x0≤．∵0≤x0<，∴<x0<．2x2232232错；当x></m<1，x11由图象判断f(x)是偶函数，所以这四个根的和是0．(2)把a=1代入f(x)=x+ax+b得，f(x)=x+x+1112b，则方程f(x)=x为：+x+b=x，化简得x+2x2112bx+2=0，∵方程f(x)=2x在区间2，2有两个不21同的实数根，∴x+2bx+2=0在区间2，2有两个不2△=4b-8></x<2)相切，设切点为(m,n)，a，f(x)在区间(-1,0)上为减函数，2a错，b，当x=±1时，f(x)取得最大值，即f(x)max=f(1)=f可得切线的斜率为k=2(m-2)，且km-k+1=(m-2(-1)=1，b错误，对于c，由图象可知y=1的图象与y=f(x)22的图象有2个交点，则方程f(x)-1=0只有2个不相等的实数2)，得m=1+，k=2-2，即2-2<k≤0时，22根，c错误；于d，当x<0时，f(x)=-x-2x，d正确，两图象恰有三个交点；[练13](2021秋•南阳月考)已知a∈r，函数f(x)=[练15](2021秋•红桥区期末)若函数f(x)是定义域为x-4,x></m<，a≥(0≤x≤1)4化简得3-x恒成立，故实数m的取值范围为0,1．a≥-2x(1<x≤2)42(3-x)2-6(3-x)+7x-2当x∈[0，1]时，由==33-x3-x7-x+-6，3-x7令t=3-x∈[2，3]，h(t)=t+-6，t由对勾函数单调性知，函数h(t)在t=2时，取最大值h11(2)=-，则a≥-，22a≥-2×1=-2当x∈(1，2]时，满足，即a≥-2，a≥-2×2=-4综上所述，f(x)≥-2在其定义域上恒成立，实数a的取1值范围为[-．+∞)．288,2例3函数f(x)=x-3x+1,若f(x)=a有3个不模块二函数零点与方程解相等的实数根，则a=1解：作出函数f(x)的草图如下，可知，当a=f(0)时满课堂精讲足题意，a=f(0)=1初中阶段阶段我们分别学习了函数、方程、不等y式之间的相互关系。现在，我们通过对前面内容的学习，加深了这些知识的关系：方程和不等式都是函数的一种特殊情况，都是由函数演化得来的，而不等式与函数之间的临界状态是方程，所以研究方程解也是我们研究函数的一个重要环节。x例4(2021•奉新县校级三模)已知函数f(x)=1.函数零点|x|+2,x<2对于函数y=fx，我们把使fx=0的实数x，若方程f(x)-a=0的实2x2-12x+19,x≥2叫做y=fx的零点。这样，函数y=fx的零点就根之和为6，则a的取值范围为(a)是方程fx=0的实数解，也就是函数y=fx的图象与x轴的公共点的横坐标。a.(1，3]b.[1，3]c.(1，4]d.(3,4)y|x|+2,x<2f(b)解：作出函数f(x)=的图象：零点2x2-12x+19,x≥2f(x)-a=0的实根和为ax0bx6，即y=f(x)与y=a图f(a)象交点横坐标之和为6，所以方程fx=0有实数根⇔函数y=fx图当a=1时，y=a的图象象与x轴有交点⇔函数y=fx有零点。与y=f(x)的图象只有一个交点(3,1)，不满足题意；当1<a<2时，y=a由初中方程的定义出发，我们可以知道，方程只的图象与y=f(x)的图需要满足：①含有未知数；②必须是等式。从上面2象有两个交点，从左至右设为x1，x2，由图象可得x1，个条件出发，我们可以知道:不仅仅fx=0是方程，x1+x2x2关于x=3对称，∴=3，即x1+x2=6，满足2fx=a也是方程。题意；当a=2时，y=a的图象与y=f(x)的图象有三个交点，且(0,2)为最左侧交点，设y=a的图象与y=2.常数函数f(x)的图象的另两个交点分别为x1，x2，由图象可得形如y=a（a为常数）的函数称之为常数函数。x1+x2x1，x2关于x=3对称，∴=3，即x1+x2=6，2图象是一条平行于x轴的直线，不具备单调性。满足题意；当2<a≤3时，y=a的图象与y=f(x)的y图象有四个交点，从左至右分别为x1，x2，x3，x4，y=a由图象可得x1+x2=0，x3，x4关于直线x=3对称，∴x3+x4=3，即x3+x4=6，满足题意；当3<a<4时，x2y=a的图象与y=f(x)的图象有三个交点，由图象可类比函数零点，我们可以得到：方程fx=a有得不满足题意；当a=4时，y=a的图象与y=f(x)的n个实数根⇔函数y=fx图象与函数y=a有n图象有两个交点，由图象可得不满足题意．综上可得，a的取值范围为1<a≤3．选：a．个交点⇔函数y=fx-a有n个零点。89,[练14](2020•和平区二模)已知函数f(x)=随堂练习1-x,x≥0|x|+11+x，函数g(x)=f(1-x)-kx+k-[练11](2022•海口)函数f(x)=x，则(bc)x2+2x+1,x<0a.f(x)的定义域为r1恰有三个不同的零点，则k的范围是(d)2b.f(x)是奇函数9a.(-2-2,0]∪2c.f(x)在(0,+∞)上单调递减9b.(-2+2，0]∪2d.f(x)有两个零点1|x|+1c.(-2-2,0]∪2解：由题意得x≠0，a显然错误：f(-x)==-f-x1(x)，故f(x)为奇函数，b符合题意；d.(-2+2，0]∪2x+111-x当x></x≤2)1></b≤2，∴b∈，2，22故所求函数的值域为6,112-b≥03．287,[练9](2021秋•广陵区校级期中)[练10](2021秋•锡山区校级期中)1-x2-ax+3a(0≤x≤1)1-x,x≥1已知函数f(x)=．已知函数f(x)=a．1x(1<x≤2)x-1,0<x<111(1)当a=1时，求f(x)的值域；(1)当0<a<b，f(a)=f(b)时，求+的值；ab(2)函数y=f(x)能否成为定义域上的单调函数，(2)若存在正实数a、b(a<b)使得函数y=f(x)如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0)，求m(3)f(x)≥-2在其定义域上恒成立，求实数a的的取值范围．取值范围．解：(1)由0<a<b，且f(a)=f(b)，2-x-x+3(0≤x≤1)11则0<a<1<b，则f(a)=a-1,f(b)=1-b，解：(1)当a=1时，f(x)=1，(1<x≤2)11x所以-1=1-，ab则x∈(0,1)时，f(x)∈[1，3]；当x∈(1，2]时，f(x)∈故1+1=2；11ab2，1，则f(x)的值域为2，3，(2)因为1<a<b，ma<mb，(2)若函数y=f(x)在定义域上单调，所以m></x≤3时，f(x)=x+2在(2，3]上单调递增，b的取值范围是2，2．x11b-3x+b-1(x></x≤3则m的最小值为-．x，f(x)的值域为(d)210+3x-x2,-1≤x≤2[练8](2020秋•南昌县校级月考)若函数f(x)=a.6,71132b.3,3b-2x+b-1(x></a<2；21∴g(x)=-ax2+2x+5能取遍所有正数，2a-2a-1,a≥2(3)设g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1、x2，且x1-a≥01∴，解得-≤a≤0，></a<2．综上，a∈0，2．(1)求函数f(x)的解析式；[巩固7](2021秋•梁溪区校级期中)(2)求函数f(x)在[a，a+2]上的最小值；已知函数f(x)=-ax2+2x+5．(3)若x0满足f(x0)=x0，则称x0为函数y=f(x)(1)若函数定义域为r，求a的取值范围；的不动点．函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．(2)若函数值域为[0，+∞)，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)过点(1,-1)，∴2+m+n=-1①解：(1)∵函数定义域为r，又f(-2)=f(3)，∴8-2m+n=18+3m+n②2由①②解m=-2，n=-1，∴f(x)=2x-2x-1；2∴-ax+2x+5≥0对任意x∈r都成立，2123(2)f(x)=2x-2x-1=2x-2-2，x∈[a，a+2]13当a=0时，2x+5≥0显然不恒成立，不合题意；当a+2≤，即a≤时，f(x)在[a，a+2]上单减22213∴f(x)min=f(a+2)=2a+6a+3；当a<<a+2，即-当a≠0时，由二次函数的性质可知，需满足22<a<1时，f(x)在a，11，a+2-a></m<8．∴3，解得b=2；m-8m<0=(-1)×1=-1a∴m的取值范围是[0，8)．故选：b．(2)①f(1)=a+b-2+3=3，所以a+b=2，[巩固6](2021秋•景德镇期中)若函数y=11111ax-2∴+=+(a+b)2的定义域为r，则a的范围是(d)ab2abax-4ax+21ba1aba.[0，1]b.[0，1)=2a+b+2≥22b×a+2=2c.0，1d.0，1ba22当且仅当=时取等，∵a+b=2，a></t<0”必要不充分条件2又因为f(1)=f(3)，所以f(2)></t<0；由于(-2,0)⊂-9,0，,+∞)上单调递减，∴f(2)></t<0”的(c)2[巩固1](2021秋•临渭区期末)已知函数f(x)=-x-a.既不必要又不充分条件bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则(b)b.充分不必要条件a.f(π)></a，即a></a11(x)max，即m≤-，故m≤-，23030因为f(x)=2x-(a+2)x+2a是开口向上，对称轴为x(2)根据题意，若m></m<1，即h(x)2⇒h(3)≥0⇒-1≤m≤0-2<m<2时，f(x)的最小值为g(m)=fm=m-1-x2013h(1)≤02mm；当≥1，即m≥2时，f(x)在[-1，1]上递减，可得g(m)422m,m≤-22当x0∉[0，3]，函数h(x)有一个单调区间m2=f(1)=0．∴g(m)=m-1-,-2<m<2，4h(x)h(x)0,m≥2当m≤-2时，g(m)≤-4；当-2<m<2时，g(m)=x⇒h(0)∙h(3)≤0⇒0≤m≤320303-(m-2)∈(-4,0)；当m≥2时，g(m)=0．x4综上可得，g(m)的最大值为0．综上，-1≤m≤383,2[练16](2022春•阳信期中)函数f(x)=2mx+4mx+1[练17](2021秋•临海市校级月考)(1)若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，2已知函数f(x)=x+(x-2)|x-a|．求m的取值范围；(1)若a=1，解不等式f(x)≤1；49(2)若m></x0<n2ax+bx+c的定义域值域均为[0，4]，则a=(a)a.-4b.-2c.-1d.12例4若命题“∀x∈[0，3]，都有x-2x-m≠0“是2解：当a></a<4，所以实数a的取值范围是(0,4)．故选：c．△></q时，则f(x)min=f(-)=2a2am，f(x)max=f(p)=m；参照图3a></x0或m></x<n0bb(2)当p≤-<t时，则f(x)min=f(-)=2a2af(m)a></p时，则f(x)min=f(p)=m，f(x)max=f(n)△<0f(q)=m；参照图1f(x0)></a<2或a></m≤2．x-11244[练2](2022•保定二模)若函数f=-+xx2x[练6](2021秋•沙坪坝区期中)设实数x，y满足x+y1，则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为(d)22=4，则x+y-2x+2y+2的最小值为(c)a.-1b.-2c.-3d.-4x-11212a.2b.4c.22d.8解：由f=-+1可得，f1-=1-xx2xxx22解：∵x+y=4，故y=4-x，代入x+y-2x+2y+211222+=1-，∴f(x)=x(x≠1)．∴g(x)=x-4x得x2+y2-2x+2y+2=2(x-3)2+8≥8，x2x2则x2+y2-2x+2y+2的最小值为22．故选：c．=(x-2)-4，当x=2时，g(x)取得最小值为-4．80,22[练7](2022•河南模拟)二次函数f(x)=ax+2x+c[练10]设函数f(x)=|x-4x+3|，x∈r．14(x∈r)值域为[0，+∞)，则+的最小值(b)(1)在区间[0，4]上画出函数f(x)的图象；caa.-4b.4c.8d.-8(2)写出该函数在r上的单调区间．a></x≤2[1，+∞)上单调递增的充要条件，故选：c．因为h(x)在[-2，2]上单调递增，所以h(x)min=h[练5](2021春•水富市校级期中)若函数f(x)=(-2)=-4，∴t></g(x)在[-2，2]上有解，c.充要条件2即为2x<x-2|x|+t在[-2，2]上有解，d.既不充分也不必要条件所以t></a的解集为r，求实数a的取值范围；c.(-∞,-1)d.(-∞,-1)和(0,1)2(2)若f(x)<g(x)在[-2，2]上有解，求实数t(x-1),x≥02解：y=x-2x+1=，(x+1)2,x<0的取值范围．作出其图象如图所示：解：(1)因为f(x)=|x+2|-|2-x|=|x+2|-|x-2|由图象可知，≤|(x+2)-(x-2)|≤4，函数的增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选:b当且仅当x≥2时，f(x)取得最大值4，[练4](2022•泸县模拟)设m∈r，则“m≤2”是“函数若f(x)<a的解集为r，则a></f(x1)成立，求实数m的取值范围。函数f(x)的单调性；4解：(1)f(x)=2x-1+-4，令2x-1=m，∵1≤(2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0．2x-14mx+nx≤3，∴1≤m≤5，则f(x)=h(m)=m+-4由对解：(1)∵f(x)=是定义域为(-1,1)的奇函数，m2x+1勾函数的性质，得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]1m12上单调递增由奇函数的性质，得f(0)=n=0，又f2=1=1+∴f(x)在1，3上是减函数，在3，3上是增函数，4222x395，∴m=1，∴f(x)=2，设-1<x1<x2<1，则ff(1)=1,f=0,f(3)=．综上可得，f(x)的单调递x+12522339x1x2x1+x1x2-x2-x2x1减区间为1，，单增区间为，3，值域为0，．(x1)-f(x2)=1+x2-1+x2=(1+x2)(1+x2)=2251212(x-x)(1-xx)(2)由(1)知f(x)∈0,91212<0，25时，若存在x2∈[1，3]，使得g22(1+x1)(1+x2)2(x2)<f(x1)成立，只需g(x)=x-mx+4<0，在x∈所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-1,1)上单调递增，4(2)由(1)可知，f(x)为单调递增的奇函数，[1，3]上有解即可即m></m在区间[2，4]上有解，必有m></k<2，k的范围为0,2．则有f(x1)-f(x2)<0，故函数f(x)在区间[2，4]上递增，(3)根据题意，由(ⅱ)的结论，f(x)在区间[2，4]上递增，则f(2)≤f(x)≤f(4)，又由f(2)=2+4=4，则有f(x)≥4，若关于t2[巩固8]对勾函数y=x+(t></x2≤22解方程-k=0得，x=±-1(0<k<2)，44x2+1k4，则f(x1)-f(x2)=x1+x-x2+x=(x1-x2)12x1x2-4∵x1<x2，x1<-3，xx，又由2≤x1<x2≤4，则x1-x2<0，x1x2-4></x2，当x1<-3时，求k的取值范围．解：(1)f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，证明如下，4[巩固5](2020秋•滕州市)已知函数f(x)=x+．x任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，(1)求f(f(2))；则f(x1)-f(x2)222(x2-x1)(x2+x1)(2)判断函数f(x)在[2，4]上的单调性，并证明；=-=2222x1+1x2+1(x1+1)(x2+1)4(3)关于x的不等式x+<m在区间[2，4]上∵0≤x<x，∴x-x></f(x2)，所以函数y=(x></x2，所以x1-x2<0，又因为x1，x2∈(-1,1)，所x+111解：x></x2，[练11](2021秋•凉州区期末)函数y=(x></x2，∴x1-x2<0，(x1-x2)(x1x2-4)y∴<0，x1x2a即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[2，+∞)单调递增．22(2)∵x-2x+4=(x-1)+3≥3，n2∴x-2x+4∈[2，+∞)，mxb∵f(x)在[2，+∞)单调递增，2所以要使f(x-2x+4)≤f(7)，22则要使x-2x+4≤7，即x-2x-3≤0，∴-1≤x≤3，y=kx+6-k4解：(1)由4得，kx+6-k=2+，∴不等式f(x2-2x+4)≤f(7)的解集为[-1，3]．y=2+xx4即(x-1)(kx+4)=0，解得x=1或x=-，k∴当x=1时，y=6，即a(1,6)，⋯(3分)44当x=-k时，y=2-k，即b-k,2-k，4-<0∵点b在第三象限，∴k，得k></x2，则f(x1)-f(x2)分别为m、n，记四边形ambn的面积为s．44(x1-x2)(x1x2-4)(1)求出点a、b的坐标及实数k的取值范围；=x1+-x2-=，x1x2x1x2(2)当k取何值时，s取得最小值，并求出s的最∵x1，x2∈[2，+∞)，∴x1x2-4></a≤2-1，x论正确的是(b)a.f(x)的最小值为4[练7](2016秋•辛集市校级期中)已知函数f(x)=x+ab.f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上单调递增+b(x≠0)，其中a，b∈r．若对任意的a∈xc.f(x)的最大值为41，21，12，不等式f(x)≤10在x∈4上恒成立，则d.f(x)在(0,2)上单调增，在(2,+∞)上单调递减7-∞，4b的取值范围为4．解：f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}，函数在定义域x解：设x1，x2∈(a，+∞)，且x1<x2，上无最小值，a错；f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上aax1x2-a单调递增，故b正确；函数在定义域上无最大值，c错；ff(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)∙，x2x1x1x2(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调增，d错．∵x1，x2∈(a，+∞)，且x1<x2，∴x2-x1></y<b.{y5≤y≤2x33x237即函数f(x)=+(x></x1<x2<，2aby=ax2ab2则f(x1)-f(x2)bx-bx111aa=2(x1-x2)+2x-x121x2-x11y=ax=2(x1-x2)+2×xx=(x1-x2)2-2xx，121211∵0<x1<x2<，∴x1-x2<0，0<x1x2<，24渐近线y轴和y=ax1∴2-<0，2x1x2定义域-∞,0∪0,+∞∴f(x1)-f(x2)></f(x2)．则f(x1)-f(x2)=x-1-x-1=(x-1)(x-1)<0，2121∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；所以f(x1)<f(x2)，(2)解：∵函数f(x)在[2，4]内为增函数，所以f(x)在(-∞,0)上的单调递增，22×48(3)因为t-t+1></x1<x2，x-1x-1如下：设x1<x2<0，∴x1-x2<0，x1+1></x1<x2，x-1,x></t<2或t></x2<0，f(x1)-f(x2)=-x1-44x216(x2-x1)=，x2-4(x1-4)(x2-4))解：黄红组合为f(x)=2x+1，黄蓝组合为f(x)=由x1<x2<0，可得x2-x1></f(x2)．2.一次分式的翻折变换3∴函数f(x)=1-在[3，5]上为增函数．x+2kkf(x)=+bf(x)=+bx-ax-a(2)函数草图如下图所示，yy1对称翻折由图可知：f(x)min=f(0)=-．2f(x)受到渐近线y=1的约束，y=by=b1∴f(x)的值域是-2,1xxyx=ax=akkf(x)=x-a+bf(x)=x-a+byyxy=by=bxxx=ax=a69,2x[巩固4]已知函数f(x)=．课后提升x-1(1)分别作出y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像；[巩固1](2020秋•浉河区校级月考)若函数f(x)满足f(x)=x+3，则f(x)在[1，+∞)上的值域为(d)(2)求f(x)的定义域、值域及单调区间。x+22x2(x-1)+22a.(-∞，1]b.0，4解：(1)由f(x)===2+3x-1x-1x-1c.-∞，44可得y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图像分别如下：3d.1，3yy2xx+311f(x)=2x解：f(x)==1+，∵y=在[1，x-1f(x)=x-1x+2x+2x+22211+∞)上单调递减，∴y=x+2∈0,3．o1xo1x∴1+1∈1,44x+23，∴f(x)的值域为1,31-x[巩固2](2021秋•威海期末)设函数f(x)=，则y1+x2xf(x)=x-1下列函数的图像关于原点对称的是(a)2a.y=f(x-1)+1b.y=f(x-1)-1o-11xc.y=f(x+1)+1d.y=f(x+1)-11-x1-x+1解：函数f(x)=，可得y=f(x-1)+1=+1=1+x1+x-1（2）由x-1≠0，得x≠1，∴f(x)的定义域为(-∞，1)2x为奇函数，其图像关于原点对称，故a正确；y=f(x-1)-12x2(x-1)+2∪(1，+∞)，由f(x)===2+2x-1x-1=-2不是奇函数，其图像不关于原点对称，故b错误；y=fx2≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，(x+1)+1=1-x-1+1=1-x=2不是奇函数，x-11+x+1x+2x+2f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)其图像不关于原点对称，故c错误；y=f(x+1)-1=1-x-1-1=-1-x=-2+2不是奇函数，其图像[巩固5](2021秋•东莞市月考)已知函数f(x)是定义1+x+1x+2x+24x不关于原点对称，故d错误．故选：a．在r上的偶函数，当x≥0时，f(x)=．x+4(1)求函数f(x)的解析式；[巩固3]请作出以下函数的图象2x+12x+12x+1(2)证明：函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．f(x)=x-2f(x)=x-2f(x)=x-2解：(1)f(x)是定义在r上的偶函数，得f(-x)=f(x)，y4x当x≥0时，f(x)=，x+44x4x当x<0时，-x></x2，∴x1-x2<0，x1+2></x2，y33kyf(x)=kf(x1)-f(x2)=1--1-f(x)=xx1+2x2+2x翻折变换k></x≤0x+2x+1时，有f(x)=ax+b．(1)若a=1，请研究函数y=x+2的定义域、值x+4域、奇偶性、单调性，并做出大概图像；(1)求实数a，b的值；(2)是否存在a，使得该函数在区间[1，+∞)上是(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式；严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合(3)若f(2x-1)+f(x-2)≤0，求x的取值范围．条件的a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)ax+bx+11=1，当-4<x≤0时，有f(x)=，解：(1)a=1时，y==1-，由x+2≠0得，x≠x+4x+2x+2f(0)=0a=1-2，即函数的定义y则f(-2)=-1，解得b=0，所以a=1，b=0，x域{x|x≠-2}，值经检验，函数f(x)=符合题意，故a=1，b=0；x+4域{y|y≠1}，函数(2)由(1)可知，当x∈(-4,0)时，f(x)=x，x+4的图像关于原点不当x∈(0,4)时，-x∈(-4,0)，-xx对称，关于y轴不对x则f(x)=-f(-x)=--x+4=-x+4，x称，即不是奇函数，故f(x)=-，x∈(0,4)；x-4x4也不是偶函数，由(3)因为f(x)=-=-1-在x∈(0,4)时为x-4x-4函数图像可知y=单调递增，又f(x)为奇函数且连续，则函数f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，x+1在(-∞,-2)，(-2,+∞)上单调递增，x+2所以不等式f(2x-1)+f(x-2)≥0可变形为f(2x-1)ax+1a(x+2)+1-2a1-2a(2)y===a+，≥-f(x-2)，因为f(x)为奇函数，所以f(2x-1)≥f(2-x+2x+2x+21-2a<0x)，又f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，由题得，a+1<0，得a不存在，不存在满足题意的a2x-1≥2-x35则-4≤2x-1≤4，解得1≤x≤，a></f(x2)，即函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增．3故x></x<0，则f(x)-f(x)=3-3=3(x1-x2)<02a+32a-114a-81212xxxx=+==4．2112a-2a-2a-2所以f(x1)<f(x2)，(2)证明：依题意，f(x)=2x-3=2x+4-7=2-x+2x+27所以y=f(x)在(-∞,0)上单调递增；，任取x1，x2∈(-2,+∞)，其中x1<x2，x+277(2)当x></g(x2)，x+1[练5](2021秋•青山区校级月考)已知函数fx-1∴函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数的定义域为(-2,0)，则f(2x-1)的定义域为(c)（3）∵函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数，11a.-2，2b.(-5,-1)t-1<021∴g(t-1)<g(-t)⇒-t<0，c.0,3d.-3,-3t-1<-tx+1x+111解：∵fx-1的定义域为(-2,0)，即-2<x<0，∴x-1解得：0<t<，即不等式的解集为(0，)．22x-1+2211=x-1=1+x-1∈-1,3，再由-1<2x-1<3，得220<x<3．∴f(2x-1)定义域为0,3随堂练习[练6]在平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=2+68k和f(x)=-2-的图像。[练1]“函数y=在(0，+∞)上是减函数”是“函数yx-1x-2x解：函数图像如下图所示：=kx在r上是增函数”的(c)a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件k解：∵y=在(0，+∞)上是减函数，∴k></a≤1．任设x1<x2<0，∵g(x1)-g(x2)x-12222[练4](2022春•增城区期末)已知函数f(x)=，2x12x22x1(x2-1)-2x2(x1-1)x+1=-=x1-1x2-1(x1-1)(x2-1)则函数中为奇函数的是(b)2(x1-x2)(x1x2-x1-x2)=(x-1)(x-1)a.f(x-1)+1b.f(x-1)-1122(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]c.f(x+1)+1d.f(x+1)-1=(x1-1)(x2-1)x-1x-22解：f(x)=，得f(x-1)+1=+1=2-不为奇x+1xx∵x1<x2<0，∴x1-x2<0，x1-1<0，x2-1<0，x-22函数；f(x-1)-1=-1=-为奇函数；f(x+1)+1=x1x2></g(-t)恒成立，求t的取值范围。都是严格减函数，则a的取值范围为(d)解：(1)由x-1≠0，得x≠1，所以f(x)的定义域为2x2(x-1)+2a.(-∞，0)b.(-1，0)∪(0，1](-∞，1)∪(1，+∞)，由f(x)===2x-1x-1c.(0，1)d.(0，1]2+≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，ax-1解：∵y=-|x-a|与y=在区间[1，2]上都是严x+1f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)a≤1(2)g(x)在(0,1)上是减函数，证明如下：格减函数∴a></x≤5d.0≤x≤6解：由|x-2|≤3，得-3≤x-2≤3，∴-1≤x≤5，(1)求f(x)≥3的解集；即不等式的等价条件是[-1，5]，则p成立的充分不必(2)若g(x)=f(x)+|x-2|，求g(x)的最小值．要条件是[-1，5]的真子集，则-1<x≤5满足条件．解：(1)f(x)≥3⇔|x+1|≥3，[巩固11](2021春•中牟县期中)若关于x的不等式|x即x+1≤-3或x+1≥3，∴x≤-4或x≥2，-1|+|x+2|<a在r上无解，则(d)∴f(x)≥3的解集为{x|x≤-4或x≥2}；a.a≤1b.a<1c.a<3d.a≤3(2)g(x)=f(x)+|x-2|=|x+1|+|x-2|，解：|x-1|+|x+2|表述数轴上的x对应点到1、-2对其几何意义为x轴上的动点到两定点-1，2的距离应点的距离之和，它的最小值为3，再根据关于x的不和，g(x)的最小值为2-(-1)=3．等式|x-1|+|x+2|<a在r上无解，可得a≤3，[巩固12](2022春•未央区校级期中)关于x的不等式[巩固16](2021秋•渭南月考)2x+|2x+m|≤4在x∈[0，+∞)有解，则实数m的取已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+2|．值范围是(b)(1)求不等式f(x)≥5的解集；2a.[-5，5]b.[-5，4](2)若关于x的方程f(x)+t-4t=0有实数解，c.[-4，5]d.[4，5]求实数t的取值范围．解：原不等式可变形为|2x+m|≤4-x2，作出函数f解：(1)f(x)≥5⇔|3x-1|+|3x+2|≥522211(x)=|2x+m|与g(x)=4-x的图象，由题意，在x≥x<--≤x≤x></x-3<4，解得-1<x<7，2故绝对值不等式|x-3|<4的解集为(-1,7)．解：x-x-6≤0⇔-2≤x≤3，|x-1|≤m(m></x<1或x<-4．数m的取值范围．52解：(1)对于函数f(x)=|x-m|+|x+3|，当m=1时，不等式f∴f(x)></a<2，a的取值为(-8,2)．5x-1,-3≤x<1，则f(x)></x<3}；-2<2a<4≤-1或-1<a<1(2)证明：f(x)=|x+a|+|x-b|≥|(x+a)-(x-b)|=2a<a+1|a+b|=a+b(当且仅当x+a与x-b不同号时取等)，∴-3<a<1，∴a的取值范围为(-3,1)．+故a+b=3，又a，b∈r，121121b2a∴a+b=3a+b(a+b)=33+a+b≥随堂练习1b2a13+2⋅=(3+22)．3ab3[练11]若关于x的不等式|x+1|+|x-2|<a的解集b2a当且仅当=，即a=3(2-1)，b=3(2-2)时等ab不是空集，则实数a的取值范围是(b)号成立．a.[3，+∞)b.(3,+∞)121∴+的最小值为(3+22)．c.[1，+∞)d.(1,+∞)ab3解：显然f(x)min=3．问题转化为关于x的不等式f(x)<a的[练15](2021秋•上高县校级月考)已知函数f(x)=解集不是空集，∴a></f(2a)得-3<a解①得-2<x<-1，解②得-1≤x≤2，解③得2<xa+1></f(2a)，则a的取值范围是(d)-b|(a，b∈r)．a.[-1，1]b.[-1，3](1)当a=1，b=2时，求不等式f(x)<5的解集；12c.(1,3)d.(-3,1)(2)若y=f(x)最小值为3，求+的最小值．ab6,x≤-2解：(1)当a=1，b=2时，不等式f(x)<5化为|x+解：f(x)=-2x+2,-2<x<4x<-11|+|x-2|<5，即①，-x-1+2-x<5-6,x≥4-1≤x≤2x></byy图象a正方形abxbxabxf(x)=x-a+x-ba+ba+b对称性函数关于(,f())对称22a+b函数性质：①函数是对称函数，对称轴为x=当x=a时，有最小值f(a)=-a-b2最值当x=b时，有最大值f(b)=a-b②当x∈a,b时，有:f(x)min=b-a(b></a对任意x∈r恒成立，∴a<f(x)min=，2f(x)=x-a+x-b=b-a,a≤x≤b7故a的取值范围为-∞,2．故选：b．2x-a-b,x></a，可得-a+1<x<a+1，(a<(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围；0不合题意)，要使得0<x<1是-a+1<x<a+1的-a+1≤0(3)设g(x)为定义在r上的奇函数，且当x<0一个充分条件，则满足，解得a≥1．a+1≥1时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式．[练6](2018秋•碑林区校级月考)集合p={x|x∈r，解：(1)若f(a)=3，则f(a)=2|a-2|+a2=3，a≥2时，2|x-1|<1}，q={x|x∈r，|x-a|≤1}，且p∩q=a+2a-7=0，解得：a=-1±22，不合题意，舍，a<22时，a-2a+1=0，解得：a=1，综上：a=1；∅，则实数a取值范围为(c)(2)∵f(x)=2|x-2|+ax，∴f(x)=a.a≥3b.a≤-1．(a+2)x-4,x≥2，又函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈r)c.a≤-1或a≥3d.-1≤a≤3(a-2)x+4,x<2解：由p={x|x∈r，|x-1|<1}={x|0<x<2}，有最小值，∴-2≤a≤2，即-2≤a≤2f(x)有最小值；由|x-a|≤1得-1≤x-a≤1，即a-1≤x≤a+1．(3)∵g(x)为r上的奇函数，∴g(-0)=-g(0)，得g(0)=0，设x></x-1<1，得0<x<1，∵(0，1)[练9]作出下列函数的图像22222⊊(-∞，1)，∴“x-1<1”是“x<1”的充分不必要条件．(1)画出函数f(x)=|2x+4|-3的图像22(2)画出函数f(x)=2|x-1|+2的图像[练4](2017春•钦南区校级期中)若关于x的不等式解：函数图像如下：|x-1|+x≤a无解，则实数a的取值范围是(a)f(x)=|2x+4|-3f(x)=2|x-1|+2a.(-∞,1)b.(∞，1]yyc.(1,+∞)d.[1，+∞)x=-22x-1,x≥1解：令y=x+|x-1|=，∴函数的最小1,x<1值为1，∴要使关于x的不等式x+|x-1|≤a无解，x2实数a的取值范围为a<1．故选：a．-3[练5](2022•连云港二模)若不等式|x-1|<a的一个x=1x充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是(d)[练10]已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈r)．a.a></x<1}c.{x|-3≤x≤1}解：a是直线y=-3x-2去掉点(-1，1)后所有点的集d.{x|x≤-3或x≥1}合，b是直线y=kx+3所有点的集合，∵a∩b=∅，∴解：∵|x+1|≥2，∴x+1≥2或x+1≤-2，两直线的位置关系是平行，或直线y=kx+3过点(-1，∴x≥1或x≤-3，∴不等式|x+1|≥2的解集为{x|x1)，若两直线平行，则有k=-3，若直线y=kx+3过点≥1或x≤-3}．故选：d．(-1，1)，则有1=-k+3，得k=2综上，k值是2或-3[练3](2021秋•西城区校级期中)设x∈r，则[练8]若命题“∀x∈r，|x-2|></x2单调性证明抽象计算f(x1)-f(x2)=∙∙∙∙∙∙单调性解抽象不等式f(x1)-f(x2)求函数值域其它抽象：></x<0，故选：c．[练8](2016•泸州模拟)已知定义域为r上的偶函数f[练4](2015•天津模拟)已知y=f(2x+1)是偶函数，1(x)在[0，+∞)上单调递增，且f2=0，则不等式f则函数y=f(2x)的图象的对称轴是(a)531{x|x></f(1+2x-x)∵方程f(x)=0有且仅有三个根∴f(2)=022∴1-2x></x<2[练7]已知定义在r上的函数y=f(x)满足f(2+x)=c.-2<x<0d.x<-2或x></f2不妨是二次函数，开口向下，所以f(x)=-(x-1)，22(1+2x-x)，则x的取值范围是(c)故答案为：f(x)=-(x-1)答案不唯一．a.x></x-1<2，得-1<x<∴f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．1或1<x<3，51,第十讲函数对称性a+b②y=f(x)图象关于x=对称模块一函数的轴对称2f(a+mx)=f(b-mx)课堂精讲例1若函数f(x)=x2通过上一讲我们对偶函数的学习，我们知道偶+ax-2对任何实数x都有f(1函数的图象是关于y轴对称的，这是一种特殊的轴对-x)=f(1+x)成立，则f(x)的值域为(c)称，思考函数是否会具备其它的对称轴。前面我们a.[-1，+∞)b.[-2，+∞)用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的一些c.[-3，+∞)d.[0，+∞)2性质。下面我们将继续研究函数的对称性。解：函数f(x)=x+ax-2对任何实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，可得f(x)的图象关于直线x=1对a2称，即有-=1，即a=-2，所以f(x)=x-2x-21.函数的轴对称：22=(x-1)-3，当x=1时，f(x)取得最小值-3，如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两即f(x)的值域为[-3，+∞)．故选：c．侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数图像的对称轴。例2若函数f(x)=(1-x22)(x+ax+b)的图象关于由二次函数出发，我们知道二次函数的对称轴直线x=-2对称，则f(-2)值是-9为：x=a，由图可以得到：f(a+x)=f(a-x)22解：∵函数f(x)=(1-x)(x+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，∴将函数y=f(x)的图象向右平移2xx个单位，得函数y=f(x-2)的图象关于直线x=0对22称，∴f(x-2)=[1-(x-2)][(x-2)+a(x-2)+43b]是偶函数．设g(x)=f(x-2)=-x+(8-a)x+2a-xx(12a-b-23)x+(28-11a+4b)x+8a-4b，aa+x8-a=0x1+x2∵g(-x)=g(x)，∴28-11a+4b=0，x0=2点的对称性计算公式：解得a=8，b=15．∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，y=y1+y202∴f(-2)=-9．故答案为：-9yay1py0随堂练习y2b[练1](2020秋•凉州区校级月考)已知y=f(x-1)是x1x0x2x偶函数，则函数f(x)图象的对称轴是(c)由点的对称性出发，我们可以对轴对称的抽象11a.x=1b.x=c.x=-1d.x=-22关系做一般性的推广：解：∵y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x-1)的对称轴为①y=f(x)图象关于x=a对称x=0，将函数y=f(x-1)的图象向右平移一个单位可得y=f(x)的图象，∴函数f(x)图象对称轴是x=-1．f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x).52,[练2]定义域为r的函数f(x)，对∀x都有f(x)=f(2解：∵函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，∴将函数f(x+1)的图像向右平移一个单位得到f(x)，-x)，则下列选项一定正确的是(c)此时f(x)关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，a.f(-x)为偶函数b.f(x-1)为偶函数22当x≥0时，f(x)=-x-2x=-(x+1)+1，则此时fc.f(1-x)为偶函数d.f(x-2)为偶函数(x)′为减函数，则f(3-a)></x-∴x1-x2<0，1+xx></x2，11d.{x|-1<x<1或1<x<3}∴f(x1)-f(x2)=x1-x-x2-x=(x1-x2)12解：由题意画出f(x)的草图如下，11+xx∵x1<x2，x1，x2∈(0,+∞)12∵(x-1)f(x-1)></x<0或x></x<-1}∴函数f(x)是奇函数b.{x|-3<x<1或x></x-2<2或x-2<-2，故2<x<4或x<0．义加以证明．[巩固5]已知奇函数y=f(x)在(-∞,0)为减函数，且解：(1)定义域：(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域关于原点11f(2)=0，不等式(x-1)f(x-1)></x<3}b.{x|x<-2或x></f(3)=f(1)<f2yy=f(x)[练5]设偶函数y=f(x)的定义域为y25x[-5,5]，若当x∈[0,5]时，y=f(x)2的图象如图所示，则不等式y=f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．解：由图象可知：当x∈[0,5]时，f(x)<0的解为2<-22xx≤5，因为y=f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所-2以当x∈[-5,0]时，f(x)<0的解为-5≤x<-2．所以f(x)<0的解是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．2(2)设x></f(x)的x取值范围是(c)0时，f(x)=x+2x．现已画出函数f(x)在y轴左a.(2,+∞)b.(-∞,-1)侧的图象，如图所示，并根据图象c.[-2，-1)∪(2，+∞)d.(-1,2)(1)补全函数图象求出函数f(x)(x∈r)增区间；解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=f(|x|)，(2)写出函数f(x)(x∈r)的解析式；∴f(x+2)<f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0，+∞)单(3)求函数f(x)x∈[0，3]的值域．增，∴x+2<|x|，得：x∈[-2，-1)∪(2，+∞)．y2[练4]已知函数f(x)=x+ax+b，且f(x+2)是偶函数，则f(1)，f5，f7的大小关系是(a)22257a.f2<f(1)<f2b.f(1)<f7<f5-22x2275c.f2<f(1)<f2-275d.f2<f2<f(1)2解：∵f(x+2)是偶函数∴函数f(x)=x+ax+b关解：(1)由图象可知当x<0时，函数的增区间为(-1于直线x=2对称，∴f(1)=f(3)，又该函数图象开口,0)．又因为函数为偶函数，所以在对称区间上函数的57单调性相反，∴当x></x<1，∴实数k的取值范围为(-∞，16]∪[80，+∞)．故答x(x+3)<4案为：(-∞，16]∪[80，+∞)．∴原不等式的解集为(0,1)．46,第九讲函数奇偶性及应用例1判断下列函数的奇偶性.模块一函数奇偶性2(1)f(x)=|x|(x+1)；1(2)f(x)=x+；课堂精讲x(3)f(x)=|x+1|-|x-1|；前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在(4)f(x)=x-2+2-x；定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质。22(5)f(x)=1-x+x-1下面我们将继续研究函数的其他性质。画出并观察2x+x,x<0(6)f(x)=函数f(x)=x2,g(x)=x的图象，你能发现这两个函2x-x,x></f(4)，且f(x)kkf(x)在-∞，8上为减函数，在8，+∞上为增函在(0,+∞)上是增函数，kkx+3></x2得，x2-x1></x2，解：∵函数y=f(x)在r上为增函数，且f(2m)></n<0时，则-1<1+<1，c=922(2)由题意得：p(x)=(160-y-n)m(x)函数h(x)在区间-1，1+n2上为减函数，=[160-(4x+92)-n](50x-100)2在区间1+n，1=-200x+(3000-50n)x+6800-100n，上为增函数，23000-50n60-n对称轴x=-=，nn2n-4008则h(x)min=h1+=1+-(2+n)1+222∵工厂若想在第6天获得最大利润，1160-n13+2=1，解得n=0或n=-4，故当-4<n<0时，n∴≤≤，解得：8≤n≤16，282无解；综上可知，实数n的值为0或4．45,b3课后提升[巩固5]f(x)=ax+x经过点a(1,0)，b2,-2．(1)求函数f(x)的解析式；[巩固1]函数y=f(x)在r上为增函数，且f(2m)></f(x2)，故f(x)在(-1,+∞)上单调递增．解得a=1，b=2，c=0．2故这个二次函数的表达式为y=x+2x．[练10]某加工厂收到一批订单，要求在10天内完成，(2)设g(x)=f(-x)-mx+1，该产品出厂价为每件160元，第x天(x∈n+)的每22则g(x)=(-x)-2(-x)-mx+1=x+(2-m)x+1件生产成本为f(x)元，f(x)与x对应关系如表：可得函数g(x)的对称轴为x=-2-m，2x(天)123⋯由于g(x)在[-1，1]上是单调函数，2-m2-mf(x)(元)96100104⋯则-2≤-1或-2≥1，得m≤0或m≥4故实数m的取值范围为(-∞，0]∪[4，+∞)．(1)请根据上表写出f(x)与x的函数关系式；(3)设h(x)=f(x)-nx+2，22(2)该厂每天生产的件数m(x)=50x+100，每天则h(x)=x-2x-nx+2=x-(2+n)x+2，n利润为p(x)元，该厂每生产一件产品就捐n元给可得函数h(x)的对称轴为x=1+，2n“红十字基金组织”(n></x1<x2，的最小值是1，求实数n的值。11f(x1(-f(x2)=(x1-x2)-解：(1)由于二次函数f(x)=ax2+bx+c满足x2+1x1+11f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1，=(x1-x2)1+，(x1+1)(x2+1)则f(-1)=-1，∵-1<x1<x2，∴x1-x2<0，4a-2b+c=0111+(x+1)(x+1)></ba-b时，f(a)<f(b)，或a></a≤或a<-1，21-2a≥0a+1<02c.y=x-4x+5d.y=|x-1|+21∴实数a的取值范围是(-∞,-1)∪0,2．解：由函数性质y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递2减，故a错误；由反比例函数的性质可知，y=在区间x2[练8]已知函数f(x)=．(1，+∞)上单调递减，故b错误，由二次函数的性质可x-12知，y=x-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)(1)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性并证明；上单调递增，c错；由一次函数的性质及图象变换知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单增.(2)若x∈[2，6]，求函数f(x)的最值。x+1,x≥02[练3]函数f(x)=在r上(b)解：(1)函数f(x)=在(1,+∞)上单调递减．x-1,x<0x-1证明如下：设x1，x2是(1,+∞)上任意两个实数，x1<a.是减函数b.是增函数22x2则f(x1)-f(x2)=-=c.先减后增d.先增后减x1-1x2-12(x2-x1)解：画出该分段函数的图象，由图象知，函数在r上是增函数，(x1-1)(x2-1)[练4]定义在r上的函数f(x)对任意两个不相等的实∵x1<x2，∴x2-x1></f(a)1(-∞,-1)∪0,数a的取值范围是2．[练2]下列函数在(1，+∞)上单调递增的是(d)1-ax解：∵y=在[0，2]上是减函数，2a+1a.y=-3x-1b.y=xa></f(a)-1<1-a2(2a-1)∴2a-1<1解得<a<1．c.f(a2+a)<f(a)d.f(a2+1)<f(a)31-a<2a-12解：当a=0时，选项a、b、c都不正确；∵a+1-a=12321-axa-2+4></x则f(2x-3)<3的x的取值范围是22222当x∈1,2时，≤≤，即1≤≤2.解：∵f(-2)=3，∴f(2x-3)<3和化为f(2x-3)<f2x1x2(-2)，又∵f(x)增函数，∴2x-3<-2，得x<1.∴函数y=，x∈1,2的值域为1,2.2x[练6](2021秋•安康期末)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f(2a-1)，则随堂练习2a的取值范围是3，1．[练1]函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则(d)解：∵f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f2a.f(a)></x2时，有f(x1)></f(3m+1)，求oxm的取值范围。-1o1x解：∵f(x)在r上递减且f(2m-1)<f(3m+1)，∴观察上面的函数图可知：第一幅图象，y随x的2m-1></x2.那么：课堂精讲f(x1)−f(x2)<0f(x)在[a,b]上是增函数我们知道画出函数图象，通过观察和分析图象f(x1)−f(x2)></a+1<2，即0<a<1时，g(x)min=g(a+1)1f(-3)=-3+3+=-1．2-3+2=-a-2a+1，12115(2)当a></x≤2，x-1x-1></x≤3．3-x≥0∴函数f(x)=f(x+2)+3-x定义域为(-2，3]．6.赋值法求函数解析式[练5]已知函数f(x)的定义域为[2，8]，则函数h(x)=对于一些二元结构的抽象描述，我们可以对x,y2f(2x)+9-x的定义域为(d)进行赋值，通过赋值求解析式。a.[4，16]b.(-∞，1]∪[3，+∞)c.[3，4]d.[1，3]例8设f(x)是r上的函数，且满足f(0)=1，并且对2≤2x≤81≤x≤4解：f(x)定义域[2，8]，令，得，任意实数x，y，有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，9-x2≥0-3≤x≤3即1≤x≤3，∴函数h(x)的定义域为[1，3]．求f(x)的解析式．解：由题意，令x=y得，[练6](2021秋•湖南期中)已知f(x)是一次函数，且满f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，足f(f(x))=f(x)+2，求f(x)在[1，2]上的值域．则f(x)=x(x+1)+1．解：∵f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=f(x)+2，设f(x)=ax+b(a≠0)，则a(ax+b)+b=ax+b+22随堂练习a=a可得，解得a=1，b=2，ab+b=b+2[练1](2018秋•新余期末)已知函数y=f(x)定义域∴f(x)=x+2，是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是(c)∵f(x)在[1，2]上单调递增，a.0,5∴f(x)在[1，2]上的值域为[3，4]．2b.[-1，4]1c.-2,2d.[-5，5][练7](1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f解：∵y=f(x)定义域是[-2，3]，∴由-2≤2x-1≤11(x-1)=2x+17，求f(x)；3，得-≤x≤2，即函数的定义域为-，2，221(2)已知f(x)满足2f(x)+fx=3x，求f(x)．[练2](2021秋•五华区校级期中)已知函数f(x+1)解：(1)由题意可设f(x)=kx+b的定义域为[-1，0)，则f(2x)的定义域是(b)∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1711∴3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=2x+17a.-2,0b.0,2即kx+5k+b=2x+17c.[-2，0)d.[0，2)∴解方程可得，k=2，b=7∴f(x)=2x+7解：f(x+1)定义域[-1，0)，即-1≤x<0，得0≤x+11<1，则f(x)定义域为[0，1)，由0≤2x<1，得0≤x<1(2)由2f(x)+fx=3x①213[练3](2020秋•峨山县校级期中)已知f(x+1)的定可得2fx+f(x)=x②31义域为[-2，3)，f(x-2)的定义域是(d)①×2-②得：3f(x)=6x-∴f(x)=2x-(x≠0)xxa.[-2，3)b.[-1，4)c.[0，5)d.[1，6)解：∵f(x+1)的定义域为[-2，3)；∴-2≤x<3；40,1-x[练8](2020秋•新津县月考)已知f(x-2)=x-1．[练9]已知函数f(x)满足f2=x．(1)求函数f(x)的解析式；(1)求f(x)的解析式；1-x(2)当x∈[-1，8]时，求函数g(x)=2x-f(x)值域(2)求函数y=f2-f(x)的值域．解：(1)f(x-2)=x-1=x-2+1，1-x解：(1)令=t，则x=-2t+1，2所以f(x)=x+1，∴f(t)=-2t+1，即f(x)=-2x+1；(2)由x∈[-1，8]可得f(x)=x+1∈[0，9]，g(x)=2x-f(x)=2x-x+1=2(x+1)-x+1(2)y=f1-x-f(x)=x--2x+1，2-2，1212设t=-2x+1，则t≥0，且x=-t+，得y=令t=x+1，则t∈[0，3]，y=2t-t-2的开口向22112112上，对称轴t=，-t-t+=-(t+1)+1，422211结合二次函数的性质可知，当t=时函数取得最小∵t≥0，∴y≤，42171值-，当t=3时，函数取得最大值13．∴该函数的值域为-∞,．8217故函数的值域-，1380[巩固3]f(x)=x+3+(x+2)定义域是(c)课后提升a.[-3，+∞)[巩固1]对于函数f:a→b，若a∈a，则下列说法错误b.[-3，-2)的是(c)c.[-3，-2)∪(-2，+∞)a.f(a)∈bd.(-2,+∞)b.f(a)有且只有一个x+3≥0解：要使原函数有意义，则x+2≠0，解得x≥-3且c.若f(a)=f(b)，则a=b0d.若a=b，则f(a)=f(b)x≠-2．∴函数f(x)=x+3+(x+2)的定义域是解：函数f:a→b，a∈a，b∈a，根据函数定义f(a)∈[-3，-2)∪(-2，+∞)．故选：c．b，且f(a)唯一，若a=b，则集合a不满足互异性，此时x-2,x≥10[巩固4]设f(x)=，则f(5)的值有f(a)=f(b)，a，b，d都正确，若f(a)=f(b)，不一定有f[f(x+6)],x<102a=b，如f(x)=x，则f(-1)=f(1)=1，但-1≠1，c错为(b)[巩固2]下列各组函数表示同一函数的是(d)a.10b.11c.12d.13a.f(x)=x2，g(x)=(x)2x-2(x≥10)解：∵f(x)=，∴f(5)=f[f(11)b.f(x)=1，g(x)=x0f[f(x+6)](x<10)2x-1]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11．故选：b．c.f(x)=x+1，g(x)=x-13[巩固5](2018秋•日照期末)已知函数f(x)=3d.f(x)=x，g(x)=x2x+1,x≤0解：a.f(x)=x2的定义域为r，g(x)=(x)2的定义域，若f(x)=5，则x的值是(a)-2x,x></x<1+a}≠∅，a=(-3，4]，2向上的二次函数的图象，与x轴没有交点，即δ=aa-1≥-3若b⊆a，则，-4≤0,-2≤a≤2，实数a的取值范围为-2，2，a+1≤421-x+1，x≥0，解得-2≤a≤3，-[练7]f(x)=1则f(f(2))=4.x-1，x<0，所以实数a的取值范围[-2，3]．21解：f(2)=-2+1=-3，∴f(f(2))=f(-3)=-.42[练8]f(x)=x+，且f(a)=f(2)，则=1或2.x解：由f(a)=f(2)得，解得或.1-x[练12]已知f(x)=(x≠-1).求：1+x112(1)f(0)及ff2的值；[练9]已知f(x)=(x∈r且x≠-1)，g(x)=x1+x(2)f(1-x)及f(f(x)).+2(x∈r)．1-x解：(1)因为fx=x≠-1，(1)求f(2)，g(2)的值1+x1(2)求f(g(2))的值．1-011-21所以f0=1+0=1，f2=1=3，解：(1)因为f(x)=1，1+1+x21121-1所以f(2)==.又因为g(x)=x+2，所以g11311+23所以ff=f==；2231+12(2)=2+2=6.3111-x(2)f(g(2))=f(6)==.(2)∵fx=x≠-1，又1-x≠-1，∴x≠2，1+671+x1-1-xx所以f1-x==,x≠2，1+1-x2-x2[练10]已知函数fx=3x+5x-2.1-x1-(1)求f3，fa+1的值；ffx=1+x=x,x≠-1.1-x1+(2)若fa=-4，求a的值.1+x2解：(1)∵fx=3x+5x-2，2∴f3=3×3+5×3-2=40，22fa+1=3×a+1+5×a+1-2=3a+11a+6；(2)令fa=-4，2即fa=3a+5a-2=-4，2解得：a=-，或a=-1.338,模块二函数抽象与解析(选)对于一些确定的函数，我们需要借助其解析式来辅助研究函数性质。初中阶段重点介绍了一些初课堂精讲等函数解析式的求解方法：待定系数法。高中阶段从前面函数的定义可以看出，我们把初中阶段我们将拓展求解析式的方法。的特殊函数推广到了广义函数的定义。数学本身就是抛开具体的事情，只是简单的把数与数之间的关系表示出来，是一种工具。函数的本质也是一种特3.待定系数法求解析式殊的对应关系。已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，1.抽象函数用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式。定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。例5已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,求函例如：y=f(x),y=f(2x-1),y=f(x-1)都数f(x)的解析式。是抽象的对函数进行描述，并没有相应的解析式的解：设函数f(x)=kx+b表达。对于抽象函数而言，我们任然可以用一些通∵f(f(x))=4x+6用的研究方法研究抽象函数的有界性。这中间用的2∴f(kx+b)=kkx+b+b=kx+kb+b=4x+6最多的是“换元法”。2k=4k=2k=−2∴,解之得:或kb+b=6b=2b=−62.换元法∴f(x)=2x+2或f(x)=−2x−6.定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法。4.换元法求解析式换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙。由前面对函数的定义可对于对应关系下抽象的表达描述y=f(2x-1)知，我们所谓的换元法，也是一种函数的对应关系，等，根据前面对换元法的介绍，我们可以借助换元法根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:来求解函数解析式。1设出新元(对应关系)，；2解确定新元的范围(定义域、值域)；例6已知函数f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析3用新元表示旧元(代换的关键)。2式为f(x)=x−1(x≥1).2例4已知函数y=f(x)定义域是-2,3，则y=f(2x解：设x+1=t,则x=t−1(t≥1)-1)的定义域是(a)22∴f(t)=t−1+2t−1=t−1(t≥1)a.b.2∴f(x)=x−1(x≥1).c.d.5.方程组法求解析式对于含有两个对应关系描述的解析式(eg:f(x)解：由题意，得．1±fx或f(x)±f(−x))，我们可以用方程组法分别求出函数解析式。39,例7已知函数f(x)满足f(x)+2f1=x，求函数f∴-1≤x+1<4；∴f(x)的定义域为[-1，4)；∴-1x≤x-2<4；∴1≤x<6；∴f(x-2)定义域为[1，6)．(x)的解析式。1[练4]已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，则函数f(x)=解：∵f(x)+2fx=x，111f(x+2)+3-x定义域为(a)∴用x替换上式中的x,得到:fx+2f(x)=xa.(-2，3]b.[-2，3]1f(x)+2fx=x12解方程组得:f(x)=−x+.c.(0，3]d.(0,3)f1+2f(x)=133xxxx+2></x<1+a}．a.(-2，2)(1)求集合a与∁ra；b.(-∞，-2)∪(2，+∞)(2)若b⊆a，求实数a的取值范围．c.(-∞，-2∪2，+∞)4-x≥0解：(1)由得-3<x≤4，x+3></b)作：y=f(x)，x∈a。其中所有输入值x组成的集合定义名称符号数轴表示a叫作函数y=f(x)的定义域。所有输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域。{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]abx例1下列图象中，可作为函数图象的是②③⑤⑥．y①y②③y{x|a<x<b}开区间(a，b)abxxx半开半x{x|a≤x<b}[a，b)abx闭区间y④yy⑥⑤半开半{x|a<x≤b}(a，b]abx闭区间xxx解：对于①④中存在一个x的值，y有两个值与之对其他区间的表示：应，所以不是函数图象，②③⑤⑥符合函数定义．定义r{x|x≥a}{x|x></m≤2.433,第一章章末总结1.本章内容让我们接触了集合的基本概念与逻辑用语的基本学习，这些内容将在接下来的函数学习中对函数性质的数学描述起到关键的作用；另外是初中和高中阶段的一个灰色知识：整式乘法公式的拓展和因式分解的方法，这些技能将在后面对于解析函数的分析与研究起到事半功倍的作用；而基本不等式则向我们介绍了关于二元最值的求解方法和技巧。请将本章内容作一个简单的归纳总结。乘法公式代数的变形因式分解集合的引入解：函数的基础定义函数的基础逻辑用语初等不等式的解法：函数、方程、不等式的关系引入函数最值的求解基础：基本不等式2.完成以下知识填空平方差公式：a2-b2=a-b(a+b)22联系：(a+b)=(a−b)+4ab基础乘法公式完全平方和：a+b222b换成-b222=a+2ab+ba-b=a-2ab+b完全立方和：三项和平方：332232222a+b=a+3ab+3ab+ba+b+c=a+b+c+2ab+2ac+2bcb换成-b立方和公式：2222a-b+c=a+b+c-2ab+2ac-2bc3322a+b=a+b(a-ab+b)x-43.(2021秋•沧州期末)已知集合a=xx-1≤0，b={x|a+1≤x≤2a}．(1)当a=2时，求a∪b；(2)若b∩∁ra=∅，求实数a的取值范围．解：(1)当a=2时，a=(1，4]，b=[3，4]，则a∪b=(1，4]．(2)由b∩∁ra=∅，得b⊆a，当b=∅时，a+1></a≤0或aa≤0或a≥1的取值范围.≥1解：(1)对于命题p：对任意x∈0,1，不等式2x-2≥a≤-12②当p假q真时，则无解；m-3m恒成立，而x∈0,1，有2x-2min=-2，∴0<a<12-2≥m-3m，∴1≤m≤2，∴实数a的取值范围是-1<a≤0或a≥1所以p为真时，实数m的取值范围是1≤m≤2；2(2)命题q：存在x∈-1,1，使得不等式x-x+m-21≤0成立，只需x-x+m-1min≤0，21252而x-x+m-1=(x-)+m-，∴(x-x+m24555-1)min=-+m，∴-+m≤0，m≤，4445即命题q为真时，实数m的取值范围是m≤，依题4意命题p,q一真一假，m2若p为假命题，q为真命题，则5，得m<1；m≤41≤m≤25若q为假命题，p为真命题，则5，得<mm></a<1．2等式x-x-1+m≤0成立.由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；真一假(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数ma></x≤，所以¬p:x≤-1或x></x≤求实数a的取值范围．x+1x+1322解：(1)p:∃x∈r，使得ax2-2x-1></x<a+4}为非空集合，2[巩固4](2022•岳阳楼区校级一模)“x=2022”是“x所以3a<a+4，即a<2，-2022x+2021=0”的(d)因为x∈a是x∈b的充分不必要条件，a.充分不必要条件所以a是b的真子集，则a<2且3a≥4，b.必要不充分条件4即≤a<2，c.充分必要条件34d.既不充分也不必要条件综上所述，实数a的取值范围为3，2．2解：由x-2022x+2021=0，解得：x=2021或x=1，故2“x=2022”是“x-2022x+2021=0”的既不充分也不必要条件，32,52[巩固7](2021秋•三门峡期末)已知p:≥2，q:[巩固9]p:∃x0∈r，使得ax0-2x0-1></x<a+4}为非空集合，若x∈≤3x”的(b)a是x∈b的充分不必要条件，求实数a的取值范a.充分不必要条件围．b.必要不充分条件2解：(1)由题意，得关于x的方程x-4x+m=0无实c.充要条件数根，d.既不充分也不必要条件所以△=16-4m<0，解得m></m≤4．2a.充分不要条件b.必要不充分条件综上所述，m∈[-2，4]．c.充分必要条件d.既不充分他不要条件[巩固6](2021秋•番禺区校级期中)已知命题p:∃x解：a={x|x≥0}，b:x-2></x<1，∴={x|x-2></x<1，22“若x-3x+2=0，则x=1”，正确；(2)若命题p:∀x∈∴a∪b={x|-2<x<1}；22r，x+x+1≠0，则¬p:∃x∈r，x+x+1=0，正确；(2)∵“x∈a”是“x∈b”的必要条件，∴b⊆a，(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题，是假命题；(4)mx2-3x+2></x<1．x-1x-1(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题∴a={x|-2<x<1}，(4)“x></m+3对于∀m∈r恒成立，所以a<a></b.a≥4411解：命题“∃m∈r，使得a∩b≠∅”为假命题，则其c.a></m≤2假命题，则实数m的取值范围是(c)解：当命题p为真时，m+1≤0，解得m≤-1；a.(-∞，3]b.[-1，+∞)2当命题q为真时，δ=m-4×1×1<0，解得-2<c.[-1，3]d.[3，+∞)m<2，当命题p与命题q均为真时，则有2解：命题“∀x∈[0，3]，有x-2x-m≠0“是假命题m≤-1⇒-2<m≤-1.命题p∧q为假命题，则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0“成立是-2<m<2真命题，故m=x2-2x=(x-1)2-1。则命题q与命题p至少有一个为假命题.所以此时m由于x∈[0，3]，所以m∈[-1，3]。故选：c。≤-2或m></m≤1，∴实数m的取值范围是(-1，1]。3.全称量词与存在量词模块二逻辑用语(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意课堂精讲一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表1.命题示.含有全称量词的命题，叫做全称命题。用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。分类:真命题、假命题．命题的真(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至假即为语句描述内容的对与错。形式“若:p，则q．”少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号2.四种命题“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题。原命题：若p则q逆命题：若q则p¬¬¬¬否命题：若p则q逆否命题：若q则p(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定原命题逆命题否命题逆否命题1全称命题p：∀x∈μ,p(x)，它的否定¬p：真真真真真假假真∃x0∈μ,¬p(x0).其否定是特称命题。假真真假2特称命题p：∃x0∈μ,p(x0),它的否定假假假假¬p：∀x∈μ,¬p(x).其否定是全称命题。30,随堂练习[练14]给出下列四个命题中：①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题。[练10]下列命题为真命题的是(b)2②命题“若x-4x+3=0，则x=3”的逆否命题22a.∃x0∈r，使x0<0b.∀x∈r，有x≥02为：“若x≠3，则x-4x+30≠0”。22c.∀x∈r，有x></a<1。故a的取值则a⊊b，∴2，等号不能同时成立，a></x<综上可得：实数m的取值范围是[3，+∞)。4}，(2)若“x∈a”是“x∈b”的充分不必要条件，2-a></x<m+1}，b={x|x-解：(1)当a=3时，集合a={x|2-a≤x≤2+a}=4<0}=(-2,2)。{x|-1≤x≤5}，由a∩b=∅，可能有以下几种情况：b={x|x≤1或x≥4}，∴a∩b={x|-1≤x≤1或422a=∅，则m-1≥m+1，m-m+2≤0，解集为空≤x≤5}；集，此种情况不可能；(2)∵若a></x<m+1}，b=[练9]已知集合a={x|2-a≤x≤2+a}，b={x|x2{x|x-4<0}。≤1或x≥4}。(1)若a∩b=∅，求实数m的取值范围；(1)当a=3时，求a∩b；(2)若“x∈a”是“x∈b”的充分不必要条件，求实(2)若a></x<3，∵{x|-1<x<充分不必要条件是(a)3}{x|x<3}，∴“|x-1|<2”是“x<3”的充分不11a.m<-b.m≤44必要条件．1c.m></x<3”不一定成立，所以c.充要条件2“|x-2|<1”是“x+2x-3></x<3”成立，则“x<-3或x></x<3，x2+2x-3></x<a的充分相等的实数根，则ac<0；不必要条件，则实数a的值可以是(bcd)(4)若a∪b是空集，则a与b均是空集．a.1b.2c.3d.4将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，22就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原解：由x-x-2<0，解得-1<x<2.∵x-x-2<命题的逆命题。0是-2<x<a的充分不必要条件，∴(-1,2)不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的(-2，a)，∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命2[练5]一元二次方程ax+2x+1=0，(a≠0)有一个题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真正根和一个负根的充分不必要条件是(c)命题.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均a.a<0b.a></m≤3.综上m≤32m-1≤52[巩固9]若集合a={x|x+2ax+1=0}的子集只有一27,第六讲逻辑用语1.充分条件与必要条件模块一充要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推课堂精讲理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断件。如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多的充分条件，q不是p的必要条件。命题可以写成“若p，则q”或“如果p，那么q”等形式。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。本♦唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的结果不唯一，则必要性不成立。节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考eg:x=1⇒x=1，x=1⇒x=±1，则x=1是x察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数=1的充分不必要条件。学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条♦不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式件和充要条件。成立，反之不成立(小可推大，大不可推小)2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？例1设p:x></x<2m-1，若b⊆a，则m的范围是m≥2m≥2②b≠∅时，或，得m></a<1，∴实数ac.{3，4，5，6}d.{4，5，6}的取值范围为(-1,1)．解：由题∵b={y|y<3}，∴∁rb={y|y≥3}，又a=[巩固10]设全集u=r，集合a=x|-1≤x<3，.b={1，2，3，4，5，6}，则a∩∁rb={3,4,5,6}．故选：c．[巩固4]设集合m={x|2x-x2≥0}，n={x|x<a}，x|2x-4≥x-2若m⊆n，则实数a的取值范围是(b)(1)求b及∁u(a∩b)；(2)若集合c={x|2x+a></x<2a+3，因为a∩b=b，所以b⊆a，当b=∅时，ax-1=02当b=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤-；无解，得a=0；311-a<2a+3当b≠∅时，b=xax-1=0=，由b⊆a得2a当b≠∅时，则有1-a≥-1得-<a≤0综上31112a+3≤3-3<<2，解得a<-或a></x<2，2a+3></x∴∁ra=x-1≤x≤3．若a=1，则b=<a+4}，若a∩b=∅，求实数a的取值范围．x0<x<5，所以∁ra∩b=x0<x≤3．解：a={x|2≤x≤3}，b={x|a<x<a+4}，(2)选①：a∩b=b，则b⊆a．要使a∩b=∅，需满足a≥3或a+4≤2，2当b=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤-；3即a≥3或a≤-2，1-a<2a+31-a<2a+3当b≠∅时，则有或，∴实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[3，+∞)．2a+3≤-11-a≥32x-2a的取值范围是-∞,-3．[练10]已知a=xx+3<0，b=xax-1=0，选②：a∪b=r，由于bx1-a<x<2a+3且a∩b=b，求实数a的取值范围.1-a<-1有，得a></x<2a+3．a.{2，3，4}b.{1，2，3，4，5}(1)若a=1，求∁ra∩b；c.{2，3，5}d.{2，3，4，5}解：∵a∩b={3}，b={x∈z|x2-6x+m<0}，∴3是x2-(2)问题：已知_____，求实数a的取值范围。26x+m<0的解，2，5不是x-6x+m<0的解，故△></x<2}或x≥3，x∈n}，u=n，则∁ua={x|1≤x<3，x∈解：由题意：∵集合a={x|(x+1)(2-x)≥0}={x|-1n}={1，2}≤x≤2}，∴∁ra={x|x<-1或x></x≤6}d.{x|-4≤x≤6}6.补集解：由题意：∵a={x|-4<x<4}，b={x|-1≤x≤对于一个集合a，由全集u中不属于集合a的6}，∴a∪b={x|-4<x≤6}．故选：c．所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补2[练4](2021•5月份模拟)集合a={x∈n|x-2x≤集，简称为集合a的补集，记作∁ua，即:0}，b={-1，0，1，2}，则a∪b=(b)∁ua={xx∈u且x∉a}a.{0，1，2}b.{-1，0，1，2}uac.{1，2}d.{-1，0，1}∁ua解：由题意：a={x∈n|0≤x≤2}={0，1，2}，b={-1，0，1，2}，∴a∪b={-1，0，1，2}．例6集合a={x|1<x≤2}，那么∁ra=(d)a.(-∞，1)∪(2，+∞)b.(-∞，1]∪[2，+∞)[练5](2021•河北模拟)集合m={x|0<x<4}，n=c.(-∞,1)∪[2，+∞)d.(-∞，1]∪(2,+∞){x|x-1<2}，则m∩n=(d)解：∵集合a={x|1<x≤2}，∴∁ra=(-∞，1]∪(2a.(0，4)b.[1，5)c.(0，5)d.[1，4),+∞)．故选：d．解：由题意：∵m={x|0<x<4}，n={x|1≤x<5}，∴m∩n=[1，4)．故选：d随堂练习[练6](2021•新高考ⅱ)全集u={1，2，3，4，5，6}，a[练1](2021•北京卷)已知集合a={x|-1<x<1}，={1，3，6}，b={2，3，4}则a∩∁ub=(b)b={x|0≤x≤2}，则a∪b=(b)a.{3}b.{1，6}a.{x|0≤x<1}b.{x|-1<x≤2}c.{5，6}d.{1，3}c.{x|1<x≤2}d.{x|0<x<1}解：∵u={1，2，3，4，5，6}，a={1，3，6}，b={2，解：∵a={x|-1<x<1}，b={x|0≤x≤2}，∴a∪b3，4}，∴∁ub={1，5，6}，a∩∁ub={1，6}．={x|-1<x<1}∪{x|0≤x≤2}={x|-1<x≤2}[练7](2021•毕节市模拟)已知全集u=n，集合a=[练2](2021•汕头二模)已知全集为实数集r，集合ax-3={x|(x+1)(2-x)≥0}，则∁a=(b)xx-1≥0，x∈n，则∁ua=(b)ra.{x|-1≤x≤2}a.{2}b.{1，2}b.{x|x<-1，或x></m<1，∴m的取值范围为：(-1,1)．22解：∵y=x+1≥1，即p={y|y≥1}，m={x|y=x2(2)设函数f(x)=x-2mx+1，+1}=r，∴p⊊m，故选：d．∵a是b的子集，[练4]若a={1，2}，b={(x,y)|x∈a，y∈a}，则集2△=(-2m)-4></x<3}元素个数是(c)课后提升a.1b.2c.3d.4[巩固1]下面给出的选项中，能组成集合的是(d)解：∵集合a={x∈z|-1<x<3}={0，1，2}，∴集a.高一某班个子较高的同学合a中元素的个数是3．故选：c．b.比较著名的科学家c.无限接近于4的实数[巩固3]设集合a={x|x></v≤50)．v1≤-2(5-4x)⋅+3=-2+3=1，当且仅当x=v=30km></x<4}(2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利d.{x|-4<x<6}234y9x润最大，最大利润是多少？解：3x+2y=+(3x+2y)=++12≥xyxy解：(1)设游船的速度为v(km></v<64，∴当m≥0时，+(m+1)≥216=8，m+1∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆></a≤，△=a-a≤077综上，a的取值范围为0，167．(2)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并模块三基本不等式解决应用题求出最低成．课堂精讲解：(1)年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：22xx1初中阶段我们学习了用函数方法解决实际生活z=16x-10-30x+4000=-10+46x-4000=-10(x-2中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学230)+1290，(150≤x≤250)，习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。当x=230时，zmax=1290(万元)，2x(2)年产量为x吨时，每吨的平均成本为w万元，为y=-例6某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在15010yx400014000030x+4000．∴w=x=10x-30=10x+x-吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产x230，(150≤x≤250)，量(吨)之间的函数关系式近似地表示为y=-1040000∵x+≥240000=400(x=200等号成立)30x+4000．问：x1(1)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨∴x=200时，w最小=×400-30=10．10时，可获得最大利润？并求出最大利润；年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．13,[练15]某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与随堂练习k年促销费用m万元(m≥0)满足：x=3-[练14]在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量m+1(k为常数)，不搞促销，该产品年销售量是1万件。y(千辆></m<1．x-1x-11[练12](2021秋•滨海新区校级期中)设x+y=6(x></m<811214yx解：(1)m=1时，y=x+=x-1++1．解：x+2y=(x+2y)+=4++≥4+x-1x-1xyxy∵x></m<1b.m<-8或m></l≤33,∴δabc面积最小值为4，此时直线l:2x+y=4上面的例题，利用代入消元的方法，消去了一个模块二构造法解决二元最值未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对课堂精讲其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二由模块一的知识,我们知道了：在任意的正二项元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有式中，我们可以通过套用基本不等式来解决正二项可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代改写二元代数式的方法。数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式的最值呢？1.数字“1”的构造题目给定二元变量关系mx+ny=t时，我们可例2(2022春•渝中区校级月考)已知正实数x，y满mn足xy+2x-2=0，则4x+y的最小值是(b)以将不等式化为：tx+ty=1．然后在问题所涉a.2b.42-2及的二元代数式中构造“1”,再将上面改写的“1”代c.43-2d.6入化简，会出现：ax+cy分子分母倒置的形式，再bydx解：∵正实数x，y满足xy+2x-2=0，使用均值不等式即可求最值。2∴xy=2-2x，∴y=-2，axcyaxcy2acx+≥2⋅=(出现定值)。bydxbydxbd22∴4x+y=4x+-2≥24x⋅-2=42-2，当xx22且仅当4x=，即x=时取“=”x211,例3(2021秋•凉州区期末)已知ab></a<2时，不等式解集为x1≤x≤a1当a=时，不等式的解集为{x|x=1}，211-a当a></a<2时，1≤x≤a，③当a<0时，则-a-1≤0，所以-1≤a<0．②当1-a=1，即a=1时，解不等式得x=1，综上所述，a≥-1所以a的最小值是-1．a21-a11-a③当<1，即a></x<2，求不恒成立，求实数a的最小值．222解：(ⅰ)当a=-1，b=2，c=4时，f(x)=-x+2x等式-ax+(2a+3)x-6<0的解集。+4，2解：(1)不等式ax-5x+2<0的解集是m，2则f(x)≤1即x-2x-3≥0，2由1∈m，∴a⋅1-5⋅1+2<0，解得a<3；∴(x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1，或x≥3．∴a的取值范围是(-∞,3)．所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；1(2)若m={x2<x<2，(ⅱ)因为f(1)=f(3)=0，12所以f(x)=a(x-1)(x-3)，f(x)=a(x-1)(x-3)则和2是方程ax-5x+2=0的两个根，2115≤1在x∈(1,3)恒成立，即-a≤在x+2=(x-1)(3-x)2a由根与系数的关系知12，解得a=2，∈(1,3)恒成立，×2=2a(x-1)+(3-x)22而0<(x-1)(3-x)≤=1，当且∴不等式-ax+(2a+3)x-6<0，22即为：-2x+7x-6<0，仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．231∴2x-7x+6></x<5，121b=-1xa×3+b×3+1=0∴原不等式的解集为{x|0<x<5}．22∴不等式bx-5x-a≤0为x+5x-6≥0，2x-1x+7(2)-3≥0⇒≤0⇒-7≤x<-2，解得x></x(2)不等式可化为(x-2)2≤0212∴不等式的解集是{2}．<，求a和b的值，并解不等式bx-5x-a≤0．312711(3)不等式可化为x-+<0，所以无解．224解：题意-和是方程ax+bx+1=0的两根，23(4)不等式可化为(x+2)(x-3)≥011b111方法1：韦达定理：-+=-，-×=∴不等式的解集是{x|x≤-2或x≥23a23a解得a=-6，b=-1．[巩固2]解下列不等式方法2：直接代入方程得：52x-1(1)x></x<4}．12[巩固4]已知不等式ax+bx+1></x<3，∴原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<3}．∴不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.2(x-1)(x+x+1)[练10]解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0(2)≥0(x+2)(x-3)2解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)≤0；(x+2)(x-1)(x-3)≥0x≠-2且x≠3②求得相应方程的根为：-2(二重)，-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：∴原不等式的解集为{x|-2<x≤1或x></x<1或x></x≤3x+7x+7≠0∴原不等式的解集是x|−7<x<3.找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找模块三简单高次不等式（选讲）“线”在x轴下方的区间。n注：因式(x-x1)中，n为奇数时，曲线在x1点课堂精讲处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数1.高次不等式：轴，归纳为“奇穿偶不穿”。定义：形如(x-x1)(x-x2)⋅⋅⋅(x-xn)></x<3，∴不等式解集x-1<x<32212.分式不等式的解法（2）原不等式可化为：x+2-3≤0将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需-3x-53x+5≤0⇒≥0x+2x+2要注意分式有意义的条件：分母不为0。(3x+5)(x+2)≥05转化方法：x<-2或x≥-x+2≠03ax+b<0(ax+b)(cx+d)<05cx+d∴原不等式的解集为xx<-2或x≥-．ax+b3></a}．2222即-5x+x+6<0,整理，得5x-x-6></a，bcbc22∴-=5，=6，即=-5，=6．aaaa综上，当a=-1时，解集为xx≠-1，222由于a<0，∴不等式bx+ax+c></x<2}数，不合题意，于是：(-2)2-4k⋅6<0⇒k></b的解集为{x|-1<x<2}k></b的解集为-1<x<2，求a，b的值；实数k的取值范围。(2)解关于x的不等式y></a或x></x<1}，(2)不等式可化为(2x-1)(3x+4)<0，2∴-3和1是方程(1-a)x-4x+6=0的解，41∴不等式的解集是x-3<x<2；把x=1代入方程得(1-a)-4+6=0，解得a=3．2(2)若关于x的不等式ax+mx+3≥0的解集为r，2[练2]讨论不等式x−x−a(a−1)></x<1．[练1]解下列不等式(1)求常数a的值；22(1)2x-x-1></x<3}；含义是：不等式></x<x2无解集无解集一元二次不等式的关系。2我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：例1解不等式：3+2x-x≥02kx+n></x1或x>

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