江苏省苏州中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题+答案
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江苏省苏州中学2023—2024学年度第一学期期初考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合????????={????????|????????=lg(1−????????)},????????={????????|????????=????????2},则A∩B=()A.(1,+∞)B.(0,1)C.[0,1)D.[0,+∞)2.“a+b>4”是“a>2且b>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ≥2)=0,3,则P(ξ≥-2)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.函数f(x)=ln(-x²-2x+3)的单调递减区间为()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,1)D.(1,+∞)3−????????15.若函数????????(????????)=????????ln????????+−(????????≠0)既有极大值也有极小值，则a∈()????????2????????2A.(0,1)B.(0,3)C.(0,1)∪(9,+∞)D.(0,3)∪(9,+∞)????????,????????6.设函数f(x)=xsinx,若????????1,????????2∈�−�,且f(x₁)<f(x₂),则下列不等式恒成立的是()22a.x₁<x₂b.x₁>x₂C.x₁+x₂<0D.????????2<????????2121????????1????????17.已知????????=�1+�,????????=�1+�,????????=32,其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是()????????????????A.b<a<cb.a<b<cc.c<b<ad.c<a<b8.定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为()a.82b.83c.84d.85二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知变量x，y之间的经验回归方程为ξ=7.6－0.4x，且变量x，y的数据如图所示，则下列说法正确的是()x681012y6m32a.变量x，y之间呈正相关关系b.实数m的值等于5c.该回归直线必过(9,4)d.相应于点(10,3)的残差估计值为0.610.已知2ˣ=3,????????=2????????????????????????₃2,则()1学科网（北京）股份有限公司,311a.????????<b.xy=2c.x>yD.+>√22????????????????11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意x,y∈R都满足f(xy)=yf(x)+xf(y),则下列说法正确的是()A.f(0)=0B.f(-1)=1111C.f(x)是奇函数D.若????????(2)=,则????????�−�=22812.实数a,b满足????????2????????−????????ᵇ=2(2????????−????????),则下列可能成立的有()A.a<b<0b.b<a<0c.0<a<bd.0<b<a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2????????−????????????????+2????????13.设xy>0,则+的最小值为.????????????????14.立德中学高三年级大课间事件提供三项体育活动，足球，篮球，乒乓球供学生选择。小明，小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为.152????????−115.设函数f(x)的定义域为R,满足????????(????????)=????????(????????+1),且当x∈(0,1]时,????????(????????)=x²-x,则∑????????=1????????��的值为.22ln(????????2+????????3)16.已知函数????????(????????)=????????(1+????????⁻ˣ)−????????(1−????????⁻ˣ)(????????⟩0)的零点为x₁,x₂,x₃,.且x₁<x₂<x₃,.则的最大值为.????????21四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)已知(x-2)⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴(1)求a₀+a₂+a₄的值;(2)求(x+1)(x-2)⁴的展开式中含x⁴的系数。18.(12分)????????????????2已知函数????????(????????)=(????????−3)????????+????????−2????????????????,????????∈????????2(1)当a=0时,求函数????????(????????)在x=0处的切线方程;(2)讨论函数????????(????????)的单调性。2学科网（北京）股份有限公司,19.(12分)树人学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操(记为a类体操)，原来的大课间运动体操记为b类体操，为了了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类型是否有关，分别对a类体操与b类体操的学生进行了问卷调查，仙子分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得到如下数据：喜爱不喜爱a类体操7030b类体操4060(1)请根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为大课间运动程度与a类体操和b类体操有关?(2)从样本的喜爱大课间运动的学生中，按a，b类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱a类体操也有喜爱b类体操的概率。2????????(????????????????−????????????????)2附:????????=(????????+????????)(????????+????????)(????????+????????)(????????+????????)α0.050.010.001xα3.8416.63510.82820.(12分)设a为实数，函数????????(????????)=2x²+(x-a)|x-a|(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求????????(????????)的最小值。21.(12分)甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b,双方平局概率为c,(a+b+c=1,a>0,b>0,c≥0),且每局比赛结果相互独立。111(1)若????????=,????????=,????????=,求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率。326(2)若c=0，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值。3学科网（北京）股份有限公司,22.(12分)已知函数????????(????????)=(x+m)lnx(1)若m=-1,求函数????????(????????)的最小值;????????−3+2+3????????(2)当m=0,若方程f(x)=b有两个实根x₁,x₂,且x₁<x₂,求证：????????????????+1<????????2−????????1<.24学科网（北京）股份有限公司,江苏省苏州中学2023-2024学年度第一学期期初考试高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案cbccaddc二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题号9101112答案bcbcdacdacd三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.231113.2√2+114.15.−16.342????????四、解答题：本题共6小题，共70分.17.(10分)(1)令x=1得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=(-1)⁴=1①………………2分令x=-1得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=(-1-2)⁴=81②………………3分①+②得2(a₀+a₂+a₄)=82,故a₀+a₂+a₄=41.………………5分(2)(x-2)⁴的展开式通项为????????????????+1=????????4????????????????4−????????(−2)????????,0≤r≤4,r∈n………………7分????????3=????????41(−2)=−8,????????4=????????40(−2)0=1………………9分所以(x+1)(x-2)⁴的展开式中含x⁴项的系数为a₃+a₄=-7.………………10分18.(12分)(1)当a=0时,????????(????????)=(????????−3)????????ˣ,????????′(????????)=????????ˣ+(????????−3)????????ˣ=(????????−2)????????ˣ于是f(0)=-3,f'(0)=-2,所以f(x)在x=0处的切线方程为y=-2x-3.………………4分(2)由题知????????′(????????)=(????????−2)????????ˣ+????????????????−2????????=(????????−2)(????????ˣ+????????)①当a≥0时,令f'(x)=0得x=2.5学科网（北京）股份有限公司,当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减……6分②当a<0时,令f'(x)=0得x=2或x=ln(-a).若a=-e²,则f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;…………………7分若a>-e²,则有x(-∞,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),2)2(2,+∞)f'(x)+0—0+f(x)单调递增单调递减单调递增…………………9分若a<-e²,则有x(-∞,2)2(2,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),+∞)f'(x)+0—0+f(x)单调递增单调递减单调递增…………………11分综上,当a≥0时,f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;当a=-e²时,f(x)在R上单调递增;当a>-e²时,f(x)在(-∞,ln(-a)),(2,+∞)上单调递增,在(ln(-a),2)上单调递减;当a<-e²时,f(x)在(-∞,2),(ln(-a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-a))上单调递减.…………………12分19.(12分)(1)零假设为：H₀：是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B体操无关.根据列联表中的数据，2200×(70×60−30×40)2200得到????????==≈18.182>10.828,100×100×110×9011根据小概率值α=0.00l的独立性检验，推断H₀不成立，即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关；…………………5分(2)由样本中的数据可知，抽取11名学生中，6学科网（北京）股份有限公司,其中喜爱A类体操有7名学生，喜爱B类体操有4名学生，311×10×9从11名学生抽取3名学生的所有情况有????????11==165,………………7分3×2×1而3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况有12214×37×612642C7C4+C7C4=7×+×4=126种，所以????????==,…………………11分22×11655542所以参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率为.………………12分5520.(12分)(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a²≥1知a≤-1.因此a的取值范围为(-∞,-1].…………………5分????????22????????223�????????−�+,????????>????????(2)记f(x)的最小值为g(a),我们有????????(????????)=2????????+(????????−????????)|????????−????????|=�33(????????+????????)2−2????????2,????????≤????????当a≥0时,f(-a)=-2a²,又f(x)≥-2a²,此时g(a)=-2a².…………………8分????????222????????2当a<0时,????????��=????????若x>a,知????????(????????)≥;33322????????22????????2若x≤a,则x+a≤2a<0,知????????(????????)≥2????????>，此时????????(????????)=.…………………11分33−2????????2,????????≥0综上得????????(????????)=�2????????2…………………12分，????????<0321.(12分)1(1)用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则????????(????????)=????????=,311????????(????????)=????????=,????????(????????)=????????=,26记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件M，则事件M包括事件ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5种,所以P(M)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA)32211115=2????????(????????)????????(????????)????????(????????)????????(????????)+3????????(????????)????????(????????)????????(????????)????????(????????)=2××��+3×��×��=2363108…………………6分(2)因为c=0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即a+b=1，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则P(X=2)=P(AA)+P(BB)=a²+b²，P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(ab+ba)a²+(ab+ba)b²=2ab(a²+b²),P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=(a²b²+a²b²+a²b²+a²b²)·1=4a²b²，所以X的分布列为7学科网（北京）股份有限公司,X245Pa²+b²2ab(a²+b²)4a²b²…………………9分所以X的期望E(X)=2(a²+b²)+8ab(a²+b²)+20a²b²=2(1−2????????????????)+8????????????????(1−2????????????????)+20????????²????????²=4????????²????????²+4????????????????+2，111因为????????+????????=1≥2√????????????????,所以????????????????≤,当且仅当????????=????????=时等号成立，所以????????????????∈�0,�,4242222113所以????????(????????)=4????????????????+4????????????????+2=(2????????????????+1)+1≤�2×+1�+1=,4413故E(X)的最大值为.…………………12分422.(12分)′(????????)=ln????????+1−1′11解析:(1)当m=-1时,????????(????????)=(????????−1)ln????????,????????,????????′(????????)=+≥0恒成立，所以f'(x)在(0，????????????????????????2+∞)上单调递增.(注：不求二阶导得单调性不扣分)又f'(l)=0,所以有x(0,1)1(1,+∞)f'(x)—0+f(x)单调递减极小值单调递增所以,函数f(x)的最小值为f(1)=0.……………4分????????−3+2+3????????(2)证明：先证右半部分不等式：????????2−????????1<;2因为????????(????????)=xlnx,f'(x)=lnx+1,所以????????(1)=0,????????(????????⁻³)=−3????????⁻³,????????′(1)=1,????????′(????????⁻³)=−2;可求曲线y=f(x)在????????=????????⁻³和x=1处的切线分别为????????₁:????????=−2????????−????????⁻³和.l₂:y=x-1;设直线y=b与直线l₁，函数f(x)的图象和直线l₂交点的横坐标分别为????????₁′,????????₁,????????₂,????????₂′,′????????−3+????????′则????????1=−,????????2=????????+1,2′′????????−3+????????????????−3+2+3????????????????−3+2+3????????则????????2−????????1<????????2−????????1=(????????+1)−�−�=:因此????????2−????????1<.2228学科网（北京）股份有限公司,……………8分1,−1再证左半部分不等式：x₂-x₁>be+1.设取曲线上两点????????��,B(1,0),????????????????1用割线????????????????:????????=−????????,????????????????:????????=(????????−1)来限制x₂-x₁,????????−11设直线y=b与直线????????=−????????,????????=(????????−1)的交点的横坐标分别为x₃,x₄,则x₁<x₃<x₄<x₂,且x₃=-b,????????−1x₄=(e-1)b+1,所以.x₂-x₁>x₄-x₃=(e-1)b+1-(−b)=be+1.????????−3+2+3????????综上可得????????????????+1<????????2−????????1<成立.………………12分29学科网（北京）股份有限公司</x₃<x₄<x₂,且x₃=-b,????????−1x₄=(e-1)b+1,所以.x₂-x₁></x₂,求证：????????????????+1<????????2−????????1<.24学科网（北京）股份有限公司,江苏省苏州中学2023-2024学年度第一学期期初考试高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案cbccaddc二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题号9101112答案bcbcdacdacd三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.231113.2√2+114.15.−16.342????????四、解答题：本题共6小题，共70分.17.(10分)(1)令x=1得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=(-1)⁴=1①………………2分令x=-1得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=(-1-2)⁴=81②………………3分①+②得2(a₀+a₂+a₄)=82,故a₀+a₂+a₄=41.………………5分(2)(x-2)⁴的展开式通项为????????????????+1=????????4????????????????4−????????(−2)????????,0≤r≤4,r∈n………………7分????????3=????????41(−2)=−8,????????4=????????40(−2)0=1………………9分所以(x+1)(x-2)⁴的展开式中含x⁴项的系数为a₃+a₄=-7.………………10分18.(12分)(1)当a=0时,????????(????????)=(????????−3)????????ˣ,????????′(????????)=????????ˣ+(????????−3)????????ˣ=(????????−2)????????ˣ于是f(0)=-3,f'(0)=-2,所以f(x)在x=0处的切线方程为y=-2x-3.………………4分(2)由题知????????′(????????)=(????????−2)????????ˣ+????????????????−2????????=(????????−2)(????????ˣ+????????)①当a≥0时,令f'(x)=0得x=2.5学科网（北京）股份有限公司,当x></x₂<x₃,.则的最大值为.????????21四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)已知(x-2)⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴(1)求a₀+a₂+a₄的值;(2)求(x+1)(x-2)⁴的展开式中含x⁴的系数。18.(12分)????????????????2已知函数????????(????????)=(????????−3)????????+????????−2????????????????,????????∈????????2(1)当a=0时,求函数????????(????????)在x=0处的切线方程;(2)讨论函数????????(????????)的单调性。2学科网（北京）股份有限公司,19.(12分)树人学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操(记为a类体操)，原来的大课间运动体操记为b类体操，为了了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类型是否有关，分别对a类体操与b类体操的学生进行了问卷调查，仙子分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得到如下数据：喜爱不喜爱a类体操7030b类体操4060(1)请根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为大课间运动程度与a类体操和b类体操有关?(2)从样本的喜爱大课间运动的学生中，按a，b类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱a类体操也有喜爱b类体操的概率。2????????(????????????????−????????????????)2附:????????=(????????+????????)(????????+????????)(????????+????????)(????????+????????)α0.050.010.001xα3.8416.63510.82820.(12分)设a为实数，函数????????(????????)=2x²+(x-a)|x-a|(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求????????(????????)的最小值。21.(12分)甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b,双方平局概率为c,(a+b+c=1,a></b<0b.b<a<0c.0<a<bd.0<b<a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2????????−????????????????+2????????13.设xy></a<cb.a<b<cc.c<b<ad.c<a<b8.定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为()a.82b.83c.84d.85二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知变量x，y之间的经验回归方程为ξ=7.6－0.4x，且变量x，y的数据如图所示，则下列说法正确的是()x681012y6m32a.变量x，y之间呈正相关关系b.实数m的值等于5c.该回归直线必过(9,4)d.相应于点(10,3)的残差估计值为0.610.已知2ˣ=3,????????=2????????????????????????₃2,则()1学科网（北京）股份有限公司,311a.????????<b.xy=2c.x></f(x₂),则下列不等式恒成立的是()22a.x₁<x₂b.x₁>
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