湖南省长沙市中学2024届高三暑假作业检测数学试题
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2024届高三暑假作业检测数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）21．若集合A={xx>1}，B={xx−−≤230x}，则AB=（）A．(1,3]B．[1,3]C．[−1,1)D．[−+∞1,)2．已知平面向量ab,满足a==3,b(1,3,)ab−=211，则a在b上的投影向量为（）3313632A．,B．,C．(1,3)D．,22222223．命题p:∃∈xRax,+240ax−≥为假命题的一个充分不必要条件是（）A．40aB．−≤<40aC．−≤≤30aD．−≤≤42axelnx4．已知函数fxx()=e2+a，gx()=，对任意x1∈[1,2]，∃∈x2[1,3]，都有不等式fx(12)≥gx()x成立，则a的取值范围是（）21e−e12A．−e,+∞)B．,+∞C．−,+∞D．−e,+∞222′5．设函数yfxxR=(),∈的导数为fx()，且fxfxfxfx()=(),()−<′()，则下列不等式成立的是（）−12−12A．f(0)<<ef(1)ef(2)b．ef(1)<<f(0)ef(2)21−21−c．ef(2)<<f(0)ef(1)d．ef(2)<<ef(1)f(0)6．已知三棱锥p−abc的四个顶点都在球o的球面上，pb=pc=25,ab=ac=4，pa=bc=2，则球o的表面积为（）3167915879a．πb．πc．πd．π15155527．已知抛物线yx=18的焦点为f，准线为l，点p为c上一点，过p作l的垂线，垂足为a，若af的倾斜角为150°，则||pf=（）a．6b．5c．4d．322xy8．已知双曲线c：22−＝1（a>0，b>0）的离心率为5，左，右焦点分别为FF12，，F2关于C的ab一条渐近线的对称点为P.若PF1=2，则△PFF12的面积为（）A．2B．5C．3D．4试卷第1页，共4页学科网（北京）股份有限公司,二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分）9．在复数集内，下列命题是真命题的是（）A．若复数z∈R，则z∈RB．若复数z满足2z∈R，则z∈R1C．若复数z1，z2满足zz12∈R，则zz12=D．若复数z满足∈R，则z∈Rz10．已知a>>+=0,b0,ab1，则下列结论正确的是（）122A．abab+的最大值为B．ab+的最大值为14ab++2214C．的最小值为743+D．+的最小值为3ab22abab++111．已知定义域为R的函数fx()对任意实数xy,都有fxyfxy(++−=)()2fxfy()()，且f=0，2则以下结论一定正确的有（）A．f(01)=−B．fx()是偶函数1C．fx()关于,0中心对称D．ff(1)+(2)++f(2023)=0212．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列B．S5＝6024C．−−＜d＜3D．S1，S2，…，S12中最大的是S67三、填空题（每小题5分，共20分）13．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．c14．在锐角∆ABC中，内角ABC,,所对的边分别是abc,,，若CB=2，则的取值范围是．b2215．若圆xyxy+−−−=44100上至少有三个不同点到直线l:axby+=0的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是.πππ16．若函数fx()=+>sin(ωωx)(0)在(,)π单调，且在(0,)存在极值点，则ω的取值范围为．623四、解答题（共6小题，共70分）217．记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b=ac，点D在边AC上，BDsin∠=ABCasinC.（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.试卷第2页，共4页,1218．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，当n≥2时，Sn=aSnn−an．2(1)求Sn；n2(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．Sn19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F∈平面EDC），四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，BF=FE，且平面FEB⊥平面EDB．(1)设M为棱EB的中点，证明：ACFM，，，四点共面；(2)若ED=22AB=，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值．1220．设函数fx()=−−lnxaxbx2（1）若x=1是fx()的极大值点，求a的取值范围.2（2）当ab=0,=−1时，函数Fxfx()=()−λx有唯一零点，求正数λ的值.试卷第3页，共4页学科网（北京）股份有限公司,21．元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：(1)填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？一般激动总计(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽男性90120奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可女性25获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；总计200若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．22nad(−bc)附：χ=，其中nabcd=+++．(abcdacbd++++)()()()α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.8282x222．已知椭圆Ey:1+=长轴的左､右端点分别为AA12,，点P是椭圆E上不同于AA12,的任意一点，2点Q满足QAPA⋅=0，QAPA⋅=0,O为坐标原点.1122（1）证明：PA1与PA2的斜率之积为常数，并求出点Q的轨迹C的方程；（2）设直线lyxm:=+与曲线C交于MxyNxy(11,,,)(22)，且xx12+=λyy120，当λ为何值时OMN的面积最大?试卷第4页，共4页,参考答案：1．A2【解】B={xx−−≤=−≤≤230x}{x1x3}，A={xx>1}，因此，AB=(1,3].2．B22【解】由题意a==3,b(1,3,)ab−=211，∴b=132+=()，2222ab−=2a+−⋅=4b4ab(3)+×−⋅=424ab194−⋅=ab11，解得：ab⋅=2ab⋅213∴a在b上的投影向量为：2b=2(1,3)=,b2223．C2【解】命题p:∃∈xRax,+240ax−≥为假命题，2即命题¬∀∈p:xRax,+240ax−<为真命题，首先，a=0时，−4<0恒成立，符合题意；2其次a≠0时，a<0且∆=(2aa)+16<0，即40a，综上可知，40a.故选项A中，40a是40a的充分必要条件；选项B中−≤<40a推不出40a，且40a推不出−≤<40a，即−≤<40a是40a的既不充分也不必要条件；选项C中−≤≤30a可推出40a，且40a推不出−≤≤30a，即−≤≤30a是40a的一个充分不必要条件；选项D中−≤≤42a推不出40a，且40a可推出−≤≤42a，即−≤≤42a是40a的一个必要不充分条件.4．C【解】对任意x1∈[1,2]，∃∈x2[1,3]，都有不等式fx(12)≥gx()成立⇔fx()min≥gx()min，xfx′()e=(x+1)，x∈[1,2]，fx′()0>，则fx()在区间[1,2]上单调递增，∴fx()=f(1e2)=+a，mine1ln(−x)gx′()=，x∈[1,e]，gx′()0>，则gx()在[1,e]上单调递增，2xx∈(e,3]，gx′()0<，则gx()在(e,3]上单调递减，答案第1页，共10页学科网（北京）股份有限公司,eln3g(10)=，g(30)=>，故gx()=0，min3e综上，e20+aa≥⇒≥−.25．B−x【解】构造辅助函数，令gxefx()=⋅()，−−−xxx则gx′=()−efxefxefxfx⋅⋅()+′=()(′−()())，−x∵fxfx′<()()，∴gx′<()0，∴函数gxefx()=⋅()为实数集上的减函数，则ggg(−>201)()>().0−12∵g(000)=ef()=f()，g(11)=ef()，g(−=22)ef(−)，2又fxfx(−=)()，∴g(−=22)ef()，−12∴ef(1)<<f(0)ef(2)6．a222【解】在三棱锥p−abc中，如图，ab+==pa20pb，则pa⊥ab，同理pa⊥ac，而abac=aabac,,⊂平面abc，因此pa⊥平面abc，1bc215在等腰abc中，ab=ac=4,bc=2，则21，sin∠=−∠=abc1cosabc，cos∠==abc4ab418ac令abc的外接圆圆心为o1，则oo1⊥平面abc，oa1=⋅=，2sin∠abc15有oo1 pa="">>+=0,b0,ab1.222ab+11对于A,abab+=abab(+=≤)ab=，当且仅当ab==时取等号，故A正确；242答案第3页，共10页学科网（北京）股份有限公司,1对于B，当ab==时，ab+=>21，故B错误；2ab++22ab+++22(ab)343434ab+34ab对于C,===+=+(ab+=+)7+≥+743，当且仅当abababbababa34ab=时取等号，故C正确；ba141411ab+242(ab+)对于D，+=+⋅(2abab+++)(25)=++≥3，但是当22abab++22abab++3322abab++ab+242(ab+)=时，a=0不符合题意，故等号不成立，故D错误.22ab++ab11．BC【解】令xy==0，则ff(0)+=(0200)ff()()⇒=f(00)或f(01)=，故A错误，若f(01)=时，令x=0，则fyfy=2fyf0fyfy=，此时fx()是偶函数，若f(00)=时，令y=0，则fxfx=2fxf00fx=0，此时fx()既是偶函数又是奇函数；因此B正确，1111111令x=，则fyfyffy++−=2()=0⇒fyfy++−=0，所以fx()关于,0中心2222222对称，故C正确，1由fx()关于,0中心对称可得fx=1fx，结合fx()是偶函数，所以2fx=f1x=fx1=fx2=fx2，所以fx()的周期为2，111令xy==，则ff(1)+=(0)2ff=0，故ffff12=10=0，222进而ff(1)+(2)++f(2022)=1011×ff(1)+(2)=0，而f(2023)=ff(1)=−(0)，由A选项知f(00)=或f(01)=，所以ff(1)+(2)++f(2023)=0或−1，故D错误.12．BCD1211×【解】依题意，有S12＝12a1+•d＞0，21312×S13＝13a1+•d＜0，化为：2a1+11d＞0，a1+6d＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．224由a3＝12，得a1＝12﹣2d，联立解得−＜d＜﹣3．等差数列{an}是单调递减的．7S1，S2，…，S12中最大的是S6．5(aa15+)S5==5a3＝60．2综上可得：BCD正确．答案第4页，共10页,13．2103【解】对于6个台阶上每一个只站一人，有A6=120种；12若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有CA36=90种，所以不同的站法种数是12090+=210种．14．(2,3)cCBsinsin2π【解】由正弦定理得===2cosB,由于三角形为锐角三角形,所以0<<c,bbbsinsin2ππππ所以02<<bb,0<<,而bcb+=>3,B>,所以2<<2cosB3.2426ππ515．,12122222【解】圆xyxy+−−−=44100化简为标准方程，可得(xy−+−=2)(2)18，∴圆心坐标为C(2,2)，半径r=32，∵在圆上至少有三个不同的点到直线laxby:0+=的距离为22，∴圆心到直线的距离应小于或等于r−=222，22ab+由点到直线的距离公式，得≤2，22ab+222aa2∴(2ab+≤+2)2(ab)，整理得()4−−−+≤()10，bbaa解得23−≤−≤+23，∵直线laxby:0+=的斜率k=−∈−23,2+3，bb设直线l的倾斜角为α，则tanα∈−23,2+3，ππ5ππ5即≤≤tanα，由此可得直线l的倾斜角的取值范围是,．12121212416．1<≤ω3ππππ【解】因为函数fx()在(0,)存在极值点，所以ω+>，即ω>1，3362ππωππππ当xx∈,,πω+∈+,ωπ+，又fx()在(,)π单调，262662答案第5页，共10页学科网（北京）股份有限公司,ωπππ+≥+kπωππππ3π262所以+,ωπ+⊆+kπ,+kkNπ()∈，即，26622ωπ+≤+ππ3kπ622424解得+≤≤+2kkω，只能取k=0，即≤≤ω，33334综上，1<≤ω，3bc17．【解】（1）设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC=,sinC=，22RRbc因为BDsin∠=ABCasinC，所以BD⋅=a⋅，即BDb⋅=ac．22RR2又因为b=ac，所以BD=b．222abc+−（2）因为AD=2DC，如图，在ABC中，cosC=，①2ab2b22ab+−()3在△BCD中，cosC=．②b2a⋅32222b2221122由①②得abc+−=3a+−()b，整理得20a−bc+=．33c3c222a=或a=，又因为b=ac，所以6a−+=11ac3c0，解得322cc2cc3当a=,b=ac=时，ab+=+<c（舍去）．3333233cc222()+c−33cc2227当a=,b=ac=时，cos∠abc==．223c122⋅⋅c27所以cos∠=abc．122218．【解】（1）当n≥2时，sn=asnn−an，所以，ssssssn=−(nnnnn−−11)−−()，11整理得：ssnn−−11=sn−sn，即ss−=1．nn−111当n=1时，==2，sa11答案第6页，共10页,1所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，sn11所以=+−×=+2(nn11)1，即sn=．sn+1nn12n（2）由（1）知sn=，所以bnn==+⋅(12)，n+1sn21nn−所以tn=×+×++⋅2232nn2++⋅(12)，①23nn+1所以2tn=×+×++⋅++⋅2232nn2(12)，②n−123nn+1412×−()由①−②得，−=++++−+⋅tn422(2)(12)=+4−+⋅nn12nn++11=−⋅2，n()12−n+1所以tnn=2.19．【解】（1）连接ac,由于四边形abcd是正方形，所以ac⊥db,又ed⊥平面abcd，ac⊂平面abcd,所以ed⊥ac,de∩=bdddebd,,⊂平面bde，所以ac⊥平面bde，由于m为棱eb的中点，bf=fe，所以fm⊥eb,又平面feb⊥平面edb，平面feb∩平面edb=eb，fm⊂平面efb,所以fm⊥平面edb,因此fm ac="">1时，fx'0()<，此时fx()是单调递减，所以x=1是fx()的极大值点.1②若a<0，由fx′()=0，得x=1或x=−.a1因为x=1是fx()的极大值点，所以−>1，解得−<<10a，a综合①②：a的取值范围是a>−1.Fxfxx=-λ2有唯一零点，即2（2）因为函数()()λx−−=lnxx0有唯一实数解，2221λxx−−2设gx()=−−λxlnxx，则gx'()=．令gx'0()=，2λxx−−=10．x因为λ>0，所以∆=+180λ>，方程有两异号根设为xx12<>0,0，因为x>0，所以x应舍去.1当xx∈(0,2)时，gx'0()<，gx()在(0,x2)上单调递减；当xx∈(2,+∞)时，gx'0()>，gx()在(x2,+∞)单调递增.故gx()min=gx(2)．因为gx()=0有唯一解，所以gx(2)=0，2gx(2)=0λx2−−=lnx22x0则即2，gx'0(2)=2λxx22−−=10因为λ>0，所以2lnxx22+−=10（*），设函数hx()=2lnxx+−1，因为当x>0时，hx()是增函数，所以hx()=0至多有一解．因为h(10)=，所以方程（*）的解为x2=1，代入方程组解得λ=121．【解】（1）补全的2×2列联表如下：答案第8页，共10页,一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200零假设为H0：性别与对活动的观感程度相互独立.22200(30559025)××−×300根据表中数据，计算得到χ==<<12.706.5514512080×××319根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则2112C1CC3C13333PA()==，PB()==，PC()==，222C5C5C5666由题意，X可取200.150.100,50.0．111316PX(=200)=×=，PX(=150)=××=2，55255525331111316PX(=100)=×+××=2，PX(=50)=××=2，5555255525111PX(==×=0)，5525所以X的分布列为：X200150100500161161P2525252525161161EX()=×+×+×+×+×=200150100500100.252525252522．【解】（1）设Pxyy(,)(≠0)，由已知AA(−2,0),(2,0)，12xx22−2y21yy1y2=−=1−，∴=−，即⋅=−，22x2−22xx+−2221∴⋅=kk−,QAPA⋅=0,QAPA⋅=0，PA12PA11222∴⊥QAPAQA,,⊥∴⋅=PAkk−2，1122QA12QA答案第9页，共10页学科网（北京）股份有限公司,bb设Qab(,)，∴⋅=−2，aa+−222222bayx即+=≠1(b0)，∴轨迹C的方程为+=≠1(y0).424222222（2）将直线l代入曲线C中整理得3x+2mxm+−=∆=40,4m−12(m−4)>0,m<6，222mm−−424m∴+=−x1x2,,xx12=yy12=+(xmx1)(2+=m)，333242||m∴=⋅+−=−||2MN(x1x2)4xx126,mO到l的距离d=，3222122226−+mm∴SMON==||MNd(6−×=mm)2，23321212∆>0,xx=−,yy=,∴=λ.此时m=3，满足1212332答案第10页，共10页</c（舍去）．3333233cc222()+c−33cc2227当a=,b=ac=时，cos∠abc==．223c122⋅⋅c27所以cos∠=abc．122218．【解】（1）当n≥2时，sn=asnn−an，所以，ssssssn=−(nnnnn−−11)−−()，11整理得：ssnn−−11=sn−sn，即ss−=1．nn−111当n=1时，==2，sa11答案第6页，共10页,1所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，sn11所以=+−×=+2(nn11)1，即sn=．sn+1nn12n（2）由（1）知sn=，所以bnn==+⋅(12)，n+1sn21nn−所以tn=×+×++⋅2232nn2++⋅(12)，①23nn+1所以2tn=×+×++⋅++⋅2232nn2(12)，②n−123nn+1412×−()由①−②得，−=++++−+⋅tn422(2)(12)=+4−+⋅nn12nn++11=−⋅2，n()12−n+1所以tnn=2.19．【解】（1）连接ac,由于四边形abcd是正方形，所以ac⊥db,又ed⊥平面abcd，ac⊂平面abcd,所以ed⊥ac,de∩=bdddebd,,⊂平面bde，所以ac⊥平面bde，由于m为棱eb的中点，bf=fe，所以fm⊥eb,又平面feb⊥平面edb，平面feb∩平面edb=eb，fm⊂平面efb,所以fm⊥平面edb,因此fm></c,bbbsinsin2ππππ所以02<<bb,0<<,而bcb+=></f(0)ef(2)6．a222【解】在三棱锥p−abc中，如图，ab+==pa20pb，则pa⊥ab，同理pa⊥ac，而abac=aabac,,⊂平面abc，因此pa⊥平面abc，1bc215在等腰abc中，ab=ac=4,bc=2，则21，sin∠=−∠=abc1cosabc，cos∠==abc4ab418ac令abc的外接圆圆心为o1，则oo1⊥平面abc，oa1=⋅=，2sin∠abc15有oo1></ef(1)ef(2)b．ef(1)<<f(0)ef(2)21−21−c．ef(2)<<f(0)ef(1)d．ef(2)<<ef(1)f(0)6．已知三棱锥p−abc的四个顶点都在球o的球面上，pb=pc=25,ab=ac=4，pa=bc=2，则球o的表面积为（）3167915879a．πb．πc．πd．π15155527．已知抛物线yx=18的焦点为f，准线为l，点p为c上一点，过p作l的垂线，垂足为a，若af的倾斜角为150°，则||pf=（）a．6b．5c．4d．322xy8．已知双曲线c：22−＝1（a>
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