湖北省2023-2024学年8月高二上学期开学综合性难度选拔考试数学试题
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保密★启用前2023年8月湖北高二上学期开学综合性难度选拔考试数学试卷。第I卷（选择题）一、单选题2i−20221．若复数z满足z=+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）iA．−2B．−2iC．2D．2i2．设xy,R∈，向量axbyc=(，1)，=（1,），=(1,2−),且acbc⊥，//，则xy+=（）A．0B．1C．2D．33．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则n=（）A．100B．120C．200D．2404．．表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是A．B．C．D．π5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cAcos=(2baC−)cos.若A=，点D在边AB上，AD=BC=1，12则△BCD的外接圆的面积是（）第1页共10页◎第2页共10页学科网（北京）股份有限公司,23+43+63+83+A．πB．πC．πD．π33336．如图，棱长为2正方体ABCD−ABCD1111，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且DO1⊥OP，则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和最小是()812A．B．C．5D．2255πππππ7．已知函数fx()=−>cosωωx(0)在,上单调递增，且当x∈,时，fx()≥0恒成立，则ω的取值范围36443为（）52217417428522A．0,,B．0,8,C．0,8,D．0,,8232323323gx(),1≤<xk8．定义：若fx()=x，则称fx()是函数gx()的k倍伸缩仿周期函数.设gx()=sin(πx)，且fx()是gx()kf,x≥kk的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的xm∈[1,]，都有fx()≥−8，则实数m的最大值为（）566488a．12b．c．d．333二、多选题9．近年，随着人工智能，aiot，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司idc统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（）a．2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加b．2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降c．2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7d．2015年，全球产生的数据量超过15zb第3页共10页◎第4页共10页,310．下列各式的值为是（）222ππ3tan15°a．cos−sinb．212121tan15−°5π5πtan+tan33412c．−d．4sin10°°4cos10tan5π−11211．三棱锥abcd−各顶点均在表面积为20π的球体表面上，ab=cb=2,∠abc=120，∠=bcd90，则（）a．若cd⊥ab，则cd=2b．若cd=2，则cd⊥abc．线段ad长度的最小值为10d．三棱锥abcd−体积的最大值为312．在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=2，sinbc=2sin，有以下四个命题中正确的是（）a．满足条件的abc不可能是直角三角形4b．abc面积的最大值为3c．当a=2c时，abc的周长为223+31−d．当a=2c时，若o为abc的内心，则aob的面积为3第ii卷（非选择题）三、填空题13．已知z1为复数，且z1=2，则z1+2i的最大值为.1214．已知∆abc的外接圆圆心为o，|ab|6,|=ac|8=，ao=αab+∈βac(,αβr)，若sinat⋅+−(αβ)（t为实数）2有最小值，则参数t的取值范围是.22215．已知∆abc为锐角三角形，满足sinsinbc=+−(sinbsincsinaa)tan，∆abc外接圆的圆心为o，半径为1，则oaab⋅+(ac)的取值范围是.16．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相23等）若该正八面体的表面积为323cm，则该正八面体外接球的体积为cm；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为cm.四、解答题17．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带第5页共10页◎第6页共10页学科网（北京）股份有限公司,一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；5(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，2求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.2πx18．已知函数fx()=++4sinsinx(cosxxxx+sin)(cos−−sin)1.42（1）求函数fx()的最小正周期；ππ2（2）常数ω>0，若函数yfx=(ω)在区间−,上是增函数，求ω的取值范围；231πππ（3）若函数gx()=f(21x)+afx()−af−−−xa在−,的最大值为2，求实数a的值.224219．在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，ABC的面积为SABC已知①3CACB⋅=2SABC，②(sinCACABBA+sin)(sin−=sin)sin(sin−sin)，③(2ab−=)cosCcBcos，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，(1)求角C;(2)若c=2，求ABC的面积的最大值.ππ20．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，∠=BBA11∠BBC,AB=2AB11=2,BB1=336（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.AC+21．已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，acos=bAsin，BD平分∠ABC交AC于点D，2第7页共10页◎第8页共10页,且BD=2，23AD=CD.（1）求B；（2）求ABC的面积.22．如图①所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P−ABCM．(1)求四棱锥P−ABCM的体积的最大值；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；π(3)设P−−AMD的大小为θ，若θ∈0,，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．2第9页共10页◎第10页共10页学科网（北京）股份有限公司,,参考答案1．A2．A3．B4．C5．B6．A7．B8．B9．ACD10．AB11．ACD12．BCD13．4331514．(,)−1616715．−−23,−26422616．π3317．(1)32.25，第80百分位数为37.5(2)1018．(1)T=2π.3(2)0,.4(3)a=−2或6π19．(1)3(2)33720．（1）证明见解析；（2）.14（1）连接ACBD,交于O，答案第1页，共7页学科网（北京）股份有限公司,因为BC=BA，∠=BBA11∠BBC，BB11=BB，所以∆BBC11≅∆BBA，故BABC11=又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以BO1⊥AC又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD而BO1BD=O，所以AC⊥平面BDB1方法二：因为∠=BBA11∠BBC，所以点B1在平面ABCD内的射影O在为∠ABC的平分线，又四边形ABCD为菱形，故BD为∠ABC的平分线，则O∈直线BD故平面BDB1⊥平面ABCD，而平面BDB1平面ABCD=BD，又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD所以AC⊥平面BDB1（2）延长AABBCCDD1111,,,交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP由（1）得平面ACP⊥平面BDP，OP=平面ACP平面BDP，所以过B1做BH1⊥OP，则BH1⊥平面ACP，故∠BAH11即为直线AB11与平面ACC1所成角（若研究直线AB与平面ACC所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）1因为四棱台ABCD−ABCD1111中AB=22AB11=，所以AB11=1，BP=6π由菱形有AB=BC=2，且∠ABC=，所以BD=23，3π作PG⊥BD，因为∠=BBD，则BG=33，PG=3，所以PO=+=BG22PG21，1636213+−9737则cos∠BPO==，sin∠=BPO，BH=，126××212211414答案第2页，共7页,BH371故sin∠==BAH11.BA1411法二：延长AABBCCDD1111,,,交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP，设直线AB11与平面ACC1所成角为θ过P作PG⊥BD，垂足为G，因为BP=6，所以BG=33建系，以OBOC,为xy,轴，作z轴//GP，ABCP(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(23,0,3)−−AB=(3,1,0)AC=(0,2,0)AP=−(23,1,3)设平面ACP的法向量为m=(,,)xyz，则20y=，−23xyz++=303所以m=(,0,1)，23337cosmAB,===3271422××+1437所以sinθ=142π25321．（1）；（2）.36AC+（1）因为acos=bAsin，2AC+所以sincosA=sinsinBA，2因为sinA≠0，ABC++=180，πBB所以cos−=sinB，sin=sinB，222答案第3页，共7页学科网（北京）股份有限公司,B2π故Bπ，解得B=，23（2）如图，绘出ABC，π因为BD平分∠ABC，所以∠=ABD∠=DBC，3因为23AD=CD，所以可设AD=3x，CD=2x，32xADBD故在△ABD中，有=，即πsinA；sin∠∠ABDsinAsin322xDCBD在BDC中，有，即πsinC，sinCBDsinCsin3两式联立，可得3sinAC2sin，ππ因为ACπB，所以3sinAA2sin，33ππ即3sinA2sincosAAcossin，化简得4sinAA3cos，334sin∠=AA3cos∠57联立，解得sinA，22sin∠+AAcos∠=11932x5719将sinA代入πsinA中，可得x，19sin33219故AD=3x=19，CD=2x=，3222ABBDAD在△ABD中，cosABD，2ABBD2化简得AB116，解得AB=5或−3（舍去）；222CBBDCD在BDC中，cosCBD，2CBBD249104化简得BC1，解得BC或−（舍去），93311103253故SABBCsinABC5.△ABC22326222．(1)45(2)2答案第4页，共7页,11(3)11（1）取AM的中点G，连接PG，因为PA=PM，则PG⊥AM，当平面PAM⊥平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥P−ABCM的体积取得最大值，12此时PG⊥平面ABCM，且PG=AM=，2213底面ABCM为梯形，面积为(121+××=)，221322则四棱锥P−ABCM的体积最大值为××=3224（2）取AP中点Q，连接NQ，MQ，则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，1所以NQ∥AB且NQAB，2因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，1所以CM∥AB且CM=AB，2所以CM∥NQ且CM=NQ，故四边形CNQM为平行四边形，2152所以CN==MQ+=1.22（3）连接DG，因为DA=DM，所以DG⊥AM，答案第5页，共7页学科网（北京）股份有限公司,所以∠PGD为P−−AMD的平面角，即∠=PGDθ，过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则AMC(1,0,0,)(0,1,0,)(0,2,0)，过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，设Pxyz(000,,)，2222因为PG=，所以PH=sin,θθGH=cos,DH=(1cos−θ)，22222212所以xy==−×=−(1cosθθ)(1cos)，z=sinθ0002222112所以P(1cos−−θθθ),(1cos),sin，2221cos+−θθcos12所以AM=(−=1,1,0,)PA,,−sinθ，222设平面PAM的法向量为n1=(xyz111,,)，−+=xy011则1cos+−θθcos12sinθ，xyz+−=0111222令z1=2，则n1=(tan,tan,2θθ)，设平面PBC的法向量为n2=(xyz222,,)，cosθθ−+1cos32因为CB=(1,0,0,)PC=,,−sinθ，222x=02则cosθθ−+1cos32x+−=yzsinθ0222222答案第6页，共7页,令y2=2sinθ，可得：n2=(0,2sin,3cosθθ+)，设两平面夹角为α，2sinθ2++322cosθ则nn12⋅cosθ3cosθ+1cosα===222nn12⋅(2tanθ+2sin)(θθ++6cos10)11cos−+θθ6cos13cosθ+33==12201808020coscos+−1−θθ++++23339θ13cosθ+19cos+331t=π3令cosθ+1，θ∈0,，所以t∈,3，243911所以cosα=，所以当t=3时，cosα有最小值，280tt+−6091111所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为11答案第7页，共7页学科网（北京）股份有限公司</xk8．定义：若fx()=x，则称fx()是函数gx()的k倍伸缩仿周期函数.设gx()=sin(πx)，且fx()是gx()kf,x≥kk的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的xm∈[1,]，都有fx()≥−8，则实数m的最大值为（）566488a．12b．c．d．333二、多选题9．近年，随着人工智能，aiot，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司idc统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（）a．2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加b．2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降c．2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7d．2015年，全球产生的数据量超过15zb第3页共10页◎第4页共10页,310．下列各式的值为是（）222ππ3tan15°a．cos−sinb．212121tan15−°5π5πtan+tan33412c．−d．4sin10°°4cos10tan5π−11211．三棱锥abcd−各顶点均在表面积为20π的球体表面上，ab=cb=2,∠abc=120，∠=bcd90，则（）a．若cd⊥ab，则cd=2b．若cd=2，则cd⊥abc．线段ad长度的最小值为10d．三棱锥abcd−体积的最大值为312．在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=2，sinbc=2sin，有以下四个命题中正确的是（）a．满足条件的abc不可能是直角三角形4b．abc面积的最大值为3c．当a=2c时，abc的周长为223+31−d．当a=2c时，若o为abc的内心，则aob的面积为3第ii卷（非选择题）三、填空题13．已知z1为复数，且z1=2，则z1+2i的最大值为.1214．已知∆abc的外接圆圆心为o，|ab|6,|=ac|8=，ao=αab+∈βac(,αβr)，若sinat⋅+−(αβ)（t为实数）2有最小值，则参数t的取值范围是.22215．已知∆abc为锐角三角形，满足sinsinbc=+−(sinbsincsinaa)tan，∆abc外接圆的圆心为o，半径为1，则oaab⋅+(ac)的取值范围是.16．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相23等）若该正八面体的表面积为323cm，则该正八面体外接球的体积为cm；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为cm.四、解答题17．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带第5页共10页◎第6页共10页学科网（北京）股份有限公司,一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；5(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，2求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.2πx18．已知函数fx()=++4sinsinx(cosxxxx+sin)(cos−−sin)1.42（1）求函数fx()的最小正周期；ππ2（2）常数ω>
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