广东省湛江市中学2024届高三上学期开学考试数学试题
资源预览文档简介为自动调取，内容显示的完整度及准确度或有误差，请您下载后查看完整的文档内容。
1/13
2/13
3/13
4/13
5/13
6/13
7/13
8/13
9/13
10/13
剩余3页未读，查看更多内容需下载
湛江第一中学2024届高三级开学考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x−121.已知集合M={x∣∣e>1,}N={xx−<2x0}，则MN∪=（）A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)2.已知复数(12i+)(z−=−+1)2i，则z=（）A.2B.2C.3D.33.在ABC中，D为BC中点，M为AD中点，BM=mABnAC+，则mn+=（）11A.B.1C.−D.-1222xx−+314.已知函数fx()=3，则fx()的增区间为（）3333A.,+∞B.−+,∞C.−−∞,D.−∞,22221S95.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为San,45=a，则=（）2S4A.15B.1C.-1D.-926.已知抛物线Cx:=2pyp(>0)的焦点为F，准线为l，点Px(00,1)(x>0)在抛物线C上，过P作l的垂学科网（北京）股份有限公司,线，垂足为Q，若PO=PQ（O为坐标原点），则x0=（）A.22B.3C.32D.47.已知θ为钝角，2cos2θθθ−=sin2cos，则tan3θ的值为（）482A.−B.-2C.−D.−3311π2ππ8.已知函数fx()=2sinωωx+>(0)且满足f−=−xfx，则ω的最小值为（）33612A.B.C.1D.223二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一组数据：0,1,5,6,7,11,12，则（）A.这组数据的平均数为6B.这组数据的方差为16C.这组数据的极差为11D.这组数据的第70百分位数为7210.已知函数fxxxxx()=−−ln，则（）A.fx()有两个零点B.fx()有两个极值点C.fx()0恒成立D.fx′()0恒成立2222211.已知圆Cx:(−+−=3)(y1)1与圆Mxm:(−+−)(ymrm2)=(∈>R,r0)相交于AB,两点，则（）A.圆C的圆心坐标为(3,1)2525B.当r=2时，11−<<+m55C.当MA⊥CA且r=3时，m=2D.当AB=2时，r的最小值为612.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑P−ABC中，PA⊥=ABAB,2，其外接球的表面积为16π，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司,A.PA=BC=2272B.此鳖臑的体积V的最大值为63C.直线PC与平面PAB所成角的余弦值为414−7D.三棱锥P−ABC的内切球的半径为2三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.521513.二项式x−的展开式中含x的系数为__________.x2414.小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡355做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________.6x15.已知函数fx()=ax(−−1)2lnxe在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__________.22xy16.双曲线C:−=>>1(ab0,0)的左，右焦点分别为FF12,，右支上有一点M，满足22ab∠FMF=90,FMF的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为__________.1212四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）3在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，已知cosA=.2（1）若bc=3,=2，求a的值；学科网（北京）股份有限公司,2a（2）若=−23，求角BC,的大小.bc18.（本小题满分12分）a1n+1已知数列{an}满足a1=1,=+1.3ann（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC−ABC111中，平面ABC1⊥平面ABBA11.（1）证明：AB⊥BC；（2）若AA1=AC=2,BCE为BB1上一点，且BE=3EB1，求二面角EACB−−1的余弦值.20.（本小题满分12分）2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：课余学习时间超过两小时课余学习时间不超过两小时200名以前40x+10200名以后3x−1040（1）求x的值；（2）依据上表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.22nad()−bc附：参考公式：χ=，其中nabcd=+++.(abcdacbd++++)()()()a0.100.050.0100.0050.001学科网（北京）股份有限公司,x2.7063.8416.6357.87910.828a21.（本小题满分12分）22xy1已知椭圆E:+=>>1(ab0)的右焦点为F，上顶点为BBF,2=，离心率为.22ab2（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线lyxmm:20=−≠()与椭圆E相交于AC,两点，且点Nm(0,)，当ACN的面积最大时，求直线l的方程.22.（本小题满分12分）x−1已知函数fx()=e−lnx.（1）求函数fx()的最小值；x1（2）求证：exfx()+−(ex1ln)x−+>e0.2湛江第一中学2024届高三级开学考试•数学参考答案､提示及评分细则1.B由x−1x−10y=x在R上单调递增，则x−>10，即M={xx∣>1}，e1>得ee>，函数e又由2xx−<20得02<<x，即nxx={0∣<<2}，所以mnxx∪={∣>0}.故选B.−+2i(−+2i12i)(−)5i2.Az=+=1+=+=+111i，则z=2.故选A.12i+(12i12i+−)()51111313113.CBM=+=BABD−+−=AB(ACAB−+∴)ABAC=,−=m,,n∴+mn=−.故222444442选C.2uu23,+∞4.A令uxxy=−+=31,3，又y=3在R上单调递增，uxx=−+31的增区间为，所以23fx()的增区间为,+∞.故选A.2115.Da=a,∴=a(adada+),=,=∴=−=−2.daa3d2,daa+=−d.454445141422学科网（北京）股份有限公司,Sa95(aa19+×)929×49d×∴====−9.故选D.Saa4(14+×)4(aa14+×−×)44dp226.A因为PO=PQ=PF，所以=×12，即p=4,8x=yx,80=×1，又xx00>∴=0,22.27.D由22cos2θθθ−=sin2cos得−=2sincosθθsinθ，化简得−=2cosθθθsin,tan=−2，2tanθ4tan2θθ+tan2则tan2θθ==,tan3==−.故选D.21tan−−θ31tan2tanθθ112ππππππ28.B由f−=−xfx可知：fx()关于x=对称，故ω⋅+=+kπω,4,0=+kk=36443232时，ω取最小值为.故选B.319.ADA：×++++++(015671112)=6，故A正确；712222222124B：×++++++=(6510156)，故B错误；77C:12012−=，故C错误；D:770%×=4.9，故70百分位数是第5个数7.故D正确.故选AD.10.BCAfx:()=⇔−−0x1lnx=0,x−1lnx，当且仅当x=1时取等号，故A错误，C正确；B：121x−11fx′′()=−−2x2ln,xfx′()=−2=，在0,上，fx′′()<0,fx′()为减函数，在,+∞上，xx2211fx′′()>0，fx′()为增函数，又fff′><=0,′0,′(1)0，有2个零点，B正确，D错误.故选2e2BC.11.ABD由圆C的方程可知圆C的圆心坐标为(3,1)，即A正确；22当r=2时，圆Mxm:(−+−)(ym2)=4，此时易知MC521>−，所以有222525MC=−+−<(m3)(2m1)3，解得11−<<+m，即B正确；5522222因为MA⊥CA，且r=3，所以|CM|=+=3110，即(mm−+−=3)(21)10，解得m=0或m=2，即C错误；学科网（北京）股份有限公司,因为圆C的直径为2，所以当AB=2时，AB为圆C的直径，所以222222r=|MC|+=−+−+=−+=−+1(m3)(2m1)15m10m115(m1)6，当且仅当m=1时，r=6，即D正确.故选ABD.min12.BC由题可知，PC的中点即为P−ABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，则24ππR=16，得2222222R=2，因为PA++==ABBCPC4R，所以PA+=BC14，鳖臑P−ABC的体积11222272VPABC−=×⋅⋅=⋅⋅ABBCPA(2BCPA)⋅+=(BCPA)，当且仅当BC=PA=7时，321212672(VPABC−)max=，故A项错误，B项正确；6因为三棱柱为直三棱柱，故BC⊥平面PAB，所以直线PC与平面PAB所成的角即为BP3∠∠BPC,sinBPC==；故C项正确；PC4设鳖臑P−ABC的内切球半径为r，由等体积法1111172721VPABC−=×ABBC⋅+⋅+ABPAACPA⋅+⋅⋅=PBBCr，得=(37+14)r，所32222663314−27以r=，故D项错误.故选BC.145−r5r25r1rr−2(r−1)513.10展开式通项公式为Txr+15=C()⋅−=⋅−C5(1)⋅x，令(r−=15)，得r=3，x2∴展开式中含5C32⋅−=(1)10.x的系数为5891118914.记“这道题被做出来”为事件APA,11()=−PA=−××=.903569022xx215.[2,+∞)f′(x)=−+−−aax(1)2lnxe=−−ax2lnxe0，即ax−−2lnx0，对xxx22222222xx−+x∈+(1,∞)恒成立，当a2时，axx−−2ln2xx−−2ln=g(x),g′(x)=+−=2>22xxxxx0，故gxg()>=(10)符合题意，当a<2时，ga(1)=−<∃∈+20,m(1,∞)，在(1,m)上，gx()<0不合题意，故a2.学科网（北京）股份有限公司,16.31+内切圆Q分别与FMFMFF1,,212切于点STN,,，则四边形QSMT为正方形，故FM+−=FMFF2,aFM−=FM2a，12121222222FMcacacccaa=+∴+2,(2)+=(2)⇒=+22c,e=+31.1222bca+−317.解：（1）根据余弦定理，cosA==,bc=3,=2，22bc解得a=1；2222bca+−3a（2）因为cosA==,=−23，22bcbc222b+−−c(23)bc()33bc−+2bc()bc−因此得到==，则=0，2bc22bc2bc2即()0bc−=，所以bc=，因此三角形为等腰三角形，π5π又知道A=，所以BC==.612an+1=+11，得aann+118.解：（1）由=×3，3annnn+1a1an又=∴1,是以1为首项，3为公比的等比数列，1nannn−−11∴=3,an=×3；nn01n−1（2）Snn=×+×++×13233，①12n①×3得3Snn=×+×++×13233，②nn12n−1nnn13−−31①-②得−=++++2S1333−×=nnn333−×=−×，n13−2学科网（北京）股份有限公司,n(2131n−×+)∴=S.n419.证明：（1）过A作AD⊥AB1于D，平面ABC⊥平面ABBA，且平面ABC∩平面ABBA=AB，1111111∴⊥AD平面ABC1，故AD⊥BC，在直三棱柱ABC−ABC111中，AA1⊥平面ABC，故BC⊥AA1，由AD∩=AA1A可知，BC⊥平面AABB11，故BC⊥AB；（2）以B为坐标原点，BCBABB,,为xyz,,轴建立空间直角坐标系，1不妨设BC=2，则CA(2,0,0,)(0,23,0,)BA11(0,0,4,)(0,23,4,)E(0,0,3)，则CA11=(−==2,23,4,)BA(0,23,4,)CE(−2,0,3)，设平面AEC1的法向量为mxyz=(111,,)，mCA⋅=10,−+2x123yz11+=40,则即mCE⋅=0,−+=2xz1130,令z=23，则xy=33,=−1，即m=(33,1,23−)，111学科网（北京）股份有限公司,设平面ABC1的法向量为nxyz=(222,,)，nCA⋅=0,−+xyz3+=20,1222则即nBA⋅=0,3yz+=20,122令z2=3，则xy22=0,=−2，即n=(0,2,3−)，mn⋅84270则cosmn,====，mn⋅7⋅407035270二面角EACB−−1的余弦值为.3520.解：（1）由题意可得高三12个班级共抽取120名，所以40+++−+=xx1031040120，解得x=10；22120(40402020)××−×40（2）利用列联表可得χ==≈>13.33310.828，60606060×××3根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于0.001；40（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为64×=，课余学习时间不超过两小时的人数为2，4020+X的取值为1,2,3，12CC142有PX(=1)==；3C5621CC342PX(=2;)==3C563C14PX(=3)==.3C56故X的分布列为：X123131P555131EX()=×+×+×=1232.555学科网（北京）股份有限公司,22c1222xy21.解：（1）由题意可知BF======−=a2,e,c1,bac3，所以椭圆E的方程为+=1；a24332（2）由直线l的方程为yxm=−2，则点Nm(0,)到直线l的距离为dm=，222xy+=1,联立方程组整理可得22437x−16mx+16m−=120，yxm=−2,7722由判别式Δ=256mm−×4716(−>12)0，解得m∈−,0∪0,，22216mm16−12设AxyCxy(11,,,)(22)，则xx12+=,xx12⋅=，77可得222222AC=−+−=−+−−+=⋅−=×+−(xx12)(yy12)(xx12)(xmxm12222)(xx12)2(xx12)4xx12256m2416(m2−12)422=2×−=2112−m，49771142232所以S=ACd⋅=×2112−m×mACN2272147722（当且仅当m=±∈−,0∪0,33223374−+mm433422=(74−⋅mm)4×=7722时，等号成立），1414所以所求直线的方程为yx=+或yx=−.22x−122.（1）解：fx()=e−lnx，x−11∴fx′()=e−，xxx−−1111设µµ(xx)=e,e−+′()=>0，2xx∴µ(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，µ(10)=,∴=f′(10)，当x∈(0,1)时，fx′()<0，学科网（北京）股份有限公司,当x∈+(1,∞)时，fx′()>∴=0,x1时，fx()取得最小值，fx()min=f(11)=；x1xx−11（2）证明：exfx()+−(ex1ln)x−+>e0，只需证ex(e−+−lnxxx)(e1ln)−+>e0，22x1x1x1即(xx−−+>1e)ln0，令gx()=−−+(x1e)lnx，则gxx′()=−>e(x0)，22xx1x1当x>0时，令hxgxx()=′()=e−，则hx′()=++>(x1e)0,hx()在(0,+∞)上单调递增，2xxx1即gxx′()=e−在(0,+∞)上为增函数，x222′′2232273gg=e33−=e−<0,(1)e10=−>又因为，332382所以存在x0∈,1，使得gx′(0)=0，31x2e1x0−gx′=−=xe0x00=，由(00)xx002x0ex0=1，即−=2lnxx得x0e1=，即200，x0x1所以当xx∈(0,0)时，gxx′()=−<e0,gx()单调递减，xx1当xx∈+(0,∞)时，gxx′()=−>e0,gx()单调递增，x32==−x0−+=11x0−1++=x0xxx000++−22所以gx()mingx(0)(x01e)lnx022，2xx22200322令ϕ(xxxx)=++−22<<x1，32215则ϕ′(xxx)=++=3223x++>0，33222所以ϕ(x)在,1上单调递增，所以ϕϕ(x0)>=>0，3327学科网（北京）股份有限公司,ϕ(x0)x1所以gxgx()(0)=2>0，所以(xx−−+>1e)ln0，2x20x1即exfx()+−(ex1ln)x−+>e0.2学科网（北京）股份有限公司</x1，32215则ϕ′(xxx)=++=3223x++></e0,gx()单调递减，xx1当xx∈+(0,∞)时，gxx′()=−></x，即nxx={0∣<<2}，所以mnxx∪={∣>
版权提示
- 温馨提示：
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件，查看预览时可能会显示错乱或异常，文件下载后无此问题，请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传，版权归属用户，莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容，确认文档内容符合您的需求后进行下载，若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误，付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线：13123380146（工作日9:00-18:00）
文库资源
分享到：
报错