福建省宁德中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题
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宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数学试题(考试时间：120分钟试卷总分：150分考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．a的前n项和2n*1．已知公比为q的等比数列{n}Scqn=+⋅，n∈N，且S3=14，则a4=（）A．48B．32C．16D．82．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知aa34=2，则一定成立的是（）A．aa25>B．aann<+1C．S9=0D．数列{Sn}有最大项3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（）A．15B．18C．20D．2154．已知各项均为正数的等比数列{an}中，aa13+=10，aa57+=，则该数列8的公比为（）11A．2B．1C．D．241155．已知{an}为递增的等比数列，且满足a3=4，+=，则a7=（）aa8151A．B．1C．16D．3226．已知数列{an}为各项为正数的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则数列{an}（）A．单调递增B．单调递减C．先递增后递减D．是常数列7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝A．63B．45C．43D．278．首项为−20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）205205205A．d>B．d≤C．<≤dD．≤<d929292二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．,9．已知数列{an}，{bn}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（）a．数列{abnn}是等比数列b．数列{abnn+}是等比数列bn22c．数列lg是等差数列d．数列{lg(abnn)}是等差数列an22*10．在数列{an}中，aapnn−=−1（nnp≥∈2,n,为非零常数），则称{an}为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）na．{(3)−}是等方差数列b．若正项等方差数列{an}的首项a1=1，且aaa124,,是等比数列，则ann=c．等比数列不可能为等方差数列d．存在数列{an}既是等差数列，又是等方差数列11．下列说法中，正确的有（）a．已知aann+1=−2，则数列{an}是递减数列2b．数列{an}的通项an=−+nkn2，若{an}为单调递增数列，则k<3c．已知正项等比数列{an}，则有aaaa1845+≤+d．已知等差数列{an}的前n项和为ssn,24=4,s=10，则s6=181∗12．数列{an}满是ann=n(∈n)，则（）2−18a．数列{an}的最大项为a6b．数列{an}的最大项为a5c．数列{an}的最小项为a5d．数列{an}的最小项为a4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知在等比数列{an}中，a3=7，s3=21，则公比q=14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若aa24++=2aaaa354616，则aa35+=．345615．已知数列{an}为，，，，……，则该数列的一个通项公式可以是．2345sn+3an516．已知等差数列{}an，{}bn，其前n项和分别为sn，tn，且满足=，=．tn21−tn9,四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类空气净化器，问去哪家商场购买花费较少？112nn−−2118．（本题满分12分）已知函数fxx()=+,s=f+f++f+f，其中n∈n*，且n2nnnnn≥2.(1)当n≥2时，求sn；11*m(2)设a1=，an=(nn∈≥n,2)，记数列{an}的前n项和为tn，求使得tn<恒成立的m的2(ssnn++11)(+1)2最小正整数.19．（本题满分12分）在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1=10，且a2，a5，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求aa1+++2a60的值.20．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为sn，且满足an>0，42Saannn=(+)．(1)求数列{an}的通项公式；2S−3n11b满足nb，(2)若等差数列{n}bn=，且1b2，b3成等比数列，求c．n+c23a满足a=1，且aa=22+n（n≥2，且*21．（本题满分12分）已知数列{n}1nn−1n∈N）．(1)求a2，a3；,(2)求数列{an}的通项公式an.22．（本题满分12分）已知数列{an}的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点Pbb(nn,+1)在直线xy−+=20上.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；111（2）设{bn}的前n项和为Bn，试比较+++与2的大小；BBB12nbbb12n（3）设Tn=+++，若对一切正整数n，TccZn<∈()恒成立，求c的最小值.aaa12n,1．CSn,1=1根据an=，作差求出c，再根据S3=14，求出q，即可得到通项公式，再代入计算可得；SSn−≥,2nn−1n解：因为公比为q的等比数列{an}的前n项和Scqn=+⋅2①，当n=1时aScq1==+⋅12，n−1当n≥2时Scqn−1=+⋅2②，nn−−11n①−②得aqqn=2⋅⋅−=2(2q−2)⋅q，3所以222q−=+cq，则c=−2，又S3=14，所以Sq3=−+⋅22=14，解得q2，n4所以an=2，则a4=2=16；2．C设等差数列的公差为d，由aa34=2，得ad1=−4，然后根据等差数列的通项公式和求和公式逐个分析判断即可设等差数列的公差为d，由aa34=2，得adad11+=+22(3)，化简得ad1=−4，对于A，aad21=+=−3d，aad51=+=40，当d>0时，aa25<，所以A错误，对于B，aadnn+1−=，当d<0时，aann+1<，所以B错误，9(aa+)ad=−4，所以19对于C，因为1S9===+=9aad519(4)0，所以C正确，2nn(−1)122111对于D，因为ad1=−4，所以Sn=+na1d=−+−=−+44dndndndnddn，22222当d>0时，Sn无最大值，所以此时数列{Sn}无最大项，所以D错误，3．D通过前几层小球的个数，可以发现规律，结合等差数列前n项求和公式计算得出结果.根据题意，设各层球的个数构成数列{an}，由题意可知，aaa1=1,21=+=+212,aa32=+=++3123,,aannn=−1+=++++123n，(11+×nnnn)(+)则有a==，n2267×故第六层球的个数a6==21，24．C学科网（北京）股份有限公司,4aa57+由等比数列的定义和性质知q=，结合q>0可得.aa+13设数列{an}公比为q，因数列{an}各项均为正数，故q>0，4642445则a571+=+=aaqaq1qa(11+aq)=qa(13+=a)10q=，841得q=1611解得q=或q=−（负值舍去）．225．C首先化简等式，并结合等比数列的性质求得aa15,，再根据等比数列的基本量求a7.aa15+52由题意，=，aa15==a316，∴a1+=a510，aa815aa=16a=2a=81511联立，则或aa+=10a=8a=21555因为{}an是递增的数列，得aa15=28，=，4a5设等比数列{}an的公比为q，则q==4a14∴=aaq=16.736．D根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；设数列{an}的首项为a1，公比为q，2因为a1，a3，a2成等差数列，，则2aaa312=+，即2aq1=a11+aq，21因为a1≠0，所以可得2qq−−=10，数列{an}为各项为正数，解得q=1或q=−（舍），2可得aan=1为常数列.7．B试题分析：由等差数列性质知S3、SS63−、SS96−成等差数列，即9，27，SS96−成等差，∴SS96−=45，∴aaa789++=45，故选B．考点：等差数列的性质．,8．Ca≤09由题意可得，从而求出公差d的取值范围.a>010因为首项为−20的等差数列，从第10项起开始为正数，a9≤0−+≤208d0205所以，即，解得<≤d，9．ACDa10>0−+>209d092根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断．n−1n−1设数列{an}的公比为q1，数列{bn}的公比为q2，所以an=aq11，bn=bq12.nn−−11n−1对于A，abnn=abqq1112=abqq11(12)，从而数列{abnn}的公比为qq12，故A正确.nn−−11对于B，ann+=baq11+bq12，q1与q2不一定相等，所以数列{abnn+}不是等比数列，故B错误.n−1bbqbqbqn1212n2对于C，lg=lgn−1=lg+−(n1)lg，从而数列lg的公差为lg.故C正确.anaq11a1q1anq12222对于D，lg(abnn)=2lgabnn=2lgab11+−2(n1)lgqq12，从而数列{lg(abnn)}的公差为2lgqq12，D正确.【点睛】结论点睛：本题考查等差数列和等比数列的判断．掌握等差数列和等比数列的定义是关键．判断方法有：（1）定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前n项和公式．特别注意等比数列中各项均不为0．10．BC根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.22nn2222232对于A，因为an=(3)−=9，aa21−=−=9972，aa32−=−=99648，2222naaaa−≠−，所以{(3)−}不是等方差数列，故A错误；213222对于B，因为an>0，a1=1，an=+−=−+a1(n1)ppnp1，2所以a2=−+=+211ppp，a4=4pp−+=131p+，2因为aaa124,,是等比数列，所以a2=aa14，所以pp+=131+，22a>，所以所以pp−=0，因为p≠0，所以p=1，所以ann=，又n0ann=，故B正确；n−1对于C，设等比数列{}an的公比为q，则an=aq1，22222nnn−−−22422422242n−2则当n≥2时，aann−=−11aq−aq1=aq1(q−1)，若aq1(q−1)为常数，则必有q−=10，此时学科网（北京）股份有限公司,22aann−=−10，则数列{}an不可能是等方差数列，故C正确；22对于D，假设存在数列{an}既是等差数列，又是等方差数列，则当n≥2时，aadnn−=−1且aapnn−=−1(p≠0)，22若d=0，则aann=−1，则aapnn−==−10，不合题意，p若d≠0，则(aaaannnn−−−11)(+=)p，得aann+=−1，又aadnn−=−1，ddp22所以an=+为常数，必有aann−=−10，与假设矛盾，22d故存在数列{an}既是等差数列，又是等方差数列.故D错误；11．ABD由aann+1−=−2，可判定A；aanknn+1−=+−>210恒成立，可判定B；根据a1=1，q2，得到aaaa1845+>+，可判定C；由SSSSS24264,,−−构成等差数列，列出方程求得S6=18，可判定D.对于A中，由aann+1=−2，可得aann+1−=−2，所以数列{an}是递减数列，所以A正确；2对于B中，若数列{an}的通项an=−+nkn2，22则ann+1−=+−++−−+=+−>a(n1)kn(1)2(nkn2)2n1k0恒成立，所以k<3，所以B正确；对于C中，正项递增的等比数列{an}，734若aq1=1,=2，可得aa18+=+=12129,aa45+=+=2224，此时aaaa1845+>+，所以C不正确；对于D中，等差数列{an}的前n项和为Sn且SS24=4,=10，根据SSSSS24264,,−−构成等差数列，即4,6,S6−10构成等差数列，可得4+−=×S61026，解得S6=18，所以D正确.12．BD1∗根据条件ann=n(∈N)，判断出数列{an}的单调性即可求出结果.2−18nn+1n1∗112−−−18218−2因为ann=n(∈N)，所以aann+1−=nnnn+++111−==nn，2−182−−18218(2−−18)(218)(2−−18)(218)由aa−>0，得到9<<2n18，且易知，n≤4时，an<0，当n≥5时，an>0，nn+1,1所以00>=−>>><<>>a1aaa234aa5616所以数列{an}的最大项为a5，最小项为a4，113．1或−22由a3=7，S3=21，得到aq1=+=7,a11aq14求解.解：因为在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，2所以aq1=+=7,a11aq14，2两式相除得：2qq−−=10，1解得q=1或q=−，214．4由等比数列的性质求解即可.22由aa24++=2aaaa354616可得：a3+2aa35+=a516，2则(aa35+=)16，因为等比数列{an}的各项均为正数，则aa35+=4.n+215．an=（答案不唯一）n+1分析数列{an}前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.312422532642++++依题意，=,,,===，211321431541++++n+2所以前4项都满足的一个通项公式为an=.n+1416．51运用等差数列的性质即可得出S21n−与an的关系，从而得出结论.1运用等差数列的性质S21nn−=(21na−),可得S9=9,a5即a5=⋅S9，9aS1112459由等差数列性质可知=⋅=×=．TT9917519917．若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.设某单位需要购买x台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为y，学科网（北京）股份有限公司,根据题意列出分段函数，求出y=0时对应的x，再根据函数的单调性说明即可．设某单位需要购买x台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为y，∵去甲商场购买共花费(80020)−xx，由题意，有80020−x440，∴1x18.(80020)−xx−×80075%,1xx18*∴yx=(∈N)，440x−×80075%,xx>182200xxx−20,118*即yx=(∈N)，−>160,xx18当1≤<x10时，y>0；当x=10时，y=0；当x>10时，y<0.所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.【点睛】本题考查分段函数的应用，解本类题的关键在于读懂题意，根据题意写出函数表达式，属于基础题．18．(1)Snn=−1(2)2（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得Sn；（2）先利用裂项相消法求得数列{}an的前n项和Tn，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数112nn−−21（1）由fxx()=+,Sfn=+f++f+f，可得2nnnn1121nn−−2111S=++++++++nnn22n2n212n−−−−−2n1n1nn(1)n1=+++++=+1=−n，nnnn222n则当n≥2时，Snn=−1.（2）由（1）可得，当n≥2时，Snn=−1，则当n≥2时，11111an====−，(SSnn+1)(+1+1)(n−+11)([n+−+1)11]nn(++1)nn1则当n≥2时，数列{}an的前n项和11111111T=+−−+++−=1−，n22334nn++1n11121又当n≥2时，n+≥13，0<≤，≤−11<，n+1331n+,mm由Tn<恒成立，可得1≤，解之得m≥2，22m则当n≥2时，使得Tn<恒成立的m的最小整数为2.21m当n=1时，T11=a=<=1成立，22m综上，使得Tn<恒成立的m的最小整数为2.219．(1)ann=11−(2)1280（1）根据已知条件求得公差d，由此求得an.（2）先判断an的符号，根据等差数列前n项和公式求得正确答案.（1）ad2=10+，ad5=104+，ad7=106+，2又a2，a5，a7成等比数列，所以(10++=+dd)(106)(104)d，2化简得dd+=0，解得d=−1或d=0，又d<0，所以d=−1，可得数列{an}的通项公式annn=−−=−10(1)11；（2）由（1）得ann=11−，由ann=−≥110，得1≤≤n11，由ann=−<110，得n>11，所以||||aa1+++=+++−+++=−+2||(a60aa12a11)(aa1213a60)S602S1160(aa+)11(aa+)160111=−+×2=1280，22所以|aa1||+++2||a60|1280=.*120．(1)an=2nnN()∈(2)c=−2SSn−≥,2nn−1（1）利用an=，可知数列{an}为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计Sn,1=1算即可；（2）求数列{an}的前n项和为Sn，根据等差数列及等比数列的性质可求出c．（1）因为42Saannn=(+)，当n≥2时，42Saannn−−−111=(+)22两式相减得4aaaann=(++2)nn−=(−−112)aaannn−−1+22aann−−1学科网（北京）股份有限公司,化简得2(aann−−1)=(aaaann+−−−11)(nn)，a>0，∴+>aa0，∴−=aa2nnn−1nn−1当n=1时，42aaa1=(11+)，解得a1=2或a1=0（舍去）故数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．*∴=+−×=an2(n122)nn(∈N)．2nn(−1)22Sn−3n2nn−（2）由（1）知，Snn=+22×=+nn，∴=bn=，2nc+n+c1615∴=b1，b2=，b3=，1+c2+c3+c21111b1，b2，b3成等比数列，∴=bbb213×，232359即=，整理得：4cc2++=1670，2(cc++3)(1)(c+2)71∴=−c或c=−．221①当c=−时，bnn=2，所以bbnn12（定值），满足{bn}为等差数列，22742nn−②当c=−时，b=，n227n−2∴=−b1，b2=−4，b3=−30，5不满足2bbb213=+，故此时数列{bn}不为等差数列（舍去）．1综上可得c=−．21n21．(1)a2=6；a3=20(2)ann=−⋅22（1）根据递推公式，赋值求aa23,；an（2）首先变形递推公式，证明数列n是等差数列，即可求通项公式.22（1）当n=2时，aa21=+=226，3当n=3时，aa32=+=2220；aa=22+n，两边同时除以2n（2）依题意，nn−1，,aaaann=−1+1，即nn−=−11，n≥2，*得nn−1nn−1n∈N，2222ana11所以数列n是首项为=，公差为1的等差数列，222a11n即=+−×=−(nn11)，n2221n所以ann=−⋅2.2111n+++<2；（3）3.22．（1）abnnn=2,=21−；（2）BBB12nSn,1=1（1）根据等差中项的性质列式，然后结合an=求得数列{an}的通项公式.将P点坐标代入直SSn−≥,2nn−1线方程，由此证得{bn}是等差数列，进而求得数列{bn}的通项公式.（2）先求得Bn，然后利用放缩法结合裂111项求和法证得+++<2.（3）利用错位相减求和法求得Tn，由此求得c的最小值.BBB12n（1）由于an是Sn与2的等差中项，故Sann+=22，当n=1时，a1=2，当n≥2时，Sann+=22，Sann−−11+=22，aa=2，故数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，所以n两式相减并化简得nn−1nan=2.将Pbb(nn,+1)代入xy−+=20上，故bb=+2，故{b}是首项为1，公差为2的等差数列，故bn=21−.nn+1nn121+−n21111111（2）依题意Bn=⋅=nn，所以++…+=222+++…+22BB12Bn123n111111111111<+1++…+=+11−+−+…+−=−<22，所以+++<2.12×23×(nn−⋅1)223nn−1nBB12Bn13521n−113521n−（3）Tn=+++22…+n①，Tn=234+++…+n+1②22222222211112221n−121n−①-②得Tn=++++233…+−nn+1，化简得Tn=33−−<nn−2，又因为222222222134737t4=+++=>2342，所以满足条件Tcn<的最小整数值c=3.222216【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项公式的求法，考查等差中项的性质，考查裂项求和法与错位相减求和法，考查放缩法，属于中档题.学科网（北京）股份有限公司</nn−2，又因为222222222134737t4=+++=></x10时，y></d929292二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．,9．已知数列{an}，{bn}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（）a．数列{abnn}是等比数列b．数列{abnn+}是等比数列bn22c．数列lg是等差数列d．数列{lg(abnn)}是等差数列an22*10．在数列{an}中，aapnn−=−1（nnp≥∈2,n,为非零常数），则称{an}为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）na．{(3)−}是等方差数列b．若正项等方差数列{an}的首项a1=1，且aaa124,,是等比数列，则ann=c．等比数列不可能为等方差数列d．存在数列{an}既是等差数列，又是等方差数列11．下列说法中，正确的有（）a．已知aann+1=−2，则数列{an}是递减数列2b．数列{an}的通项an=−+nkn2，若{an}为单调递增数列，则k<3c．已知正项等比数列{an}，则有aaaa1845+≤+d．已知等差数列{an}的前n项和为ssn,24=4,s=10，则s6=181∗12．数列{an}满是ann=n(∈n)，则（）2−18a．数列{an}的最大项为a6b．数列{an}的最大项为a5c．数列{an}的最小项为a5d．数列{an}的最小项为a4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知在等比数列{an}中，a3=7，s3=21，则公比q=14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若aa24++=2aaaa354616，则aa35+=．345615．已知数列{an}为，，，，……，则该数列的一个通项公式可以是．2345sn+3an516．已知等差数列{}an，{}bn，其前n项和分别为sn，tn，且满足=，=．tn21−tn9,四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类空气净化器，问去哪家商场购买花费较少？112nn−−2118．（本题满分12分）已知函数fxx()=+,s=f+f++f+f，其中n∈n*，且n2nnnnn≥2.(1)当n≥2时，求sn；11*m(2)设a1=，an=(nn∈≥n,2)，记数列{an}的前n项和为tn，求使得tn<恒成立的m的2(ssnn++11)(+1)2最小正整数.19．（本题满分12分）在等差数列{an}中，已知公差d<0，a1=10，且a2，a5，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求aa1+++2a60的值.20．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为sn，且满足an>
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