江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期期末数学试卷

2022-2023学年南京市中华中学高二下学期期末试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={xx>2}，则AB=()A．ΦB．{2，3}C．{3，4}D．（2,4）12x−12．现有四个函数：①yxx=|sin|，②yxe=2−，③yx=3；④yx=+的图象（部分）如图，但顺x序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是()A．③②①④B．④③②①C．②①③④D．①②③④22mm−−233．幂函数fx()=−−(mm1)x在(0,+∞))上是减函数，则实数m值为()A．2B．−1C．2或−1D．132−0.10.34．已知abc=log,=log,=0.5，b=3，c=log3，则()6212A．abc<<B．bca<<C．cab<<D．bac<<5．函数fxx()=cosx−sinx在区间[−π，0]上的最大值为()33πA．1B．πC．D．226．已知logab>log，则下列不等式一定成立的是()55ab−A．ab<B．log(ab−>)0C．51>D．ac>bc57．已知函数fx()的定义域为R，且fx(+1)为奇函数，fx(+2)为偶函数，且对任意的x，x∈(1,2)，且12fx()()−fx12xx≠，都有>0，则下列结论错误的为()12xx−12A．fx()是偶函数B．f(2023)=0719C．fx()的图象关于(1,0)−对称D．ff()()−<48x8．若直线ykx=(+−1)1与曲线ye=相切，直线ykx=(+−1)1与曲线y=lnx相切．则kk的值为()1212第1页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 12A．B．1C．eD．e2二．选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．下列说法正确的是()22A．“ac>bc”是“ab>”的充分不必要条件B．“xy>0”是“xy+>0”的必要不充分条件2C．“对任意一个无理数x，x也是无理数”是真命题22D．命题“∃∈xR，x+=10”的否定是“∀∈xR，x+≠10”||2x+10．几位同学在研究函数fx()=时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）．2x−4A．fx()的图象关于y轴对称；B．fx()在(2,+∞)上单调递减；C．fx()的值域为R；D．当x∈−(2,2)时，fx()有最大值；211．若(ax−+4)(xb)0对任意x∈−∞(，0]恒成立，其中a，b是整数，则ab+的可能取值为()A．−7B．−5C．−6D．−17x12．已知关于x的方程xe−=a0有两个不等的实根x，x，且xx<，则下列说法正确的有()1212A．−<<ea−10B．xx+<−2C．xa>D．xe+<x101221三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）213．设集合Axxx={|+−=60}，B={|xmx+=10}，则满足BA⊆的实数m的值所成集合为．1914．已知非负数x，y满足xy+=1，则+的最小值是．xy++12xx−115．若直线y=kx+b是曲线ye=−1和ye=的公切线，则实数b的值是．|x−1|2−<1,0x216．已知fx()是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx()=1有下列结论：fx(−>2),x22①函数fx()在(6,5)−−上单调递增；②函数fx()的图象与直线yx=有且仅有2个不同的交点；2③若关于x的方程[()](1)()fx−+afxa+=∈0(aR)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；第2页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 127④记函数fx()在[2k−1，2](kkN∈*)上的最大值为a，则数列{}a的前7项和为．kn64其中所有正确结论的编号是．四．解答题（共6小题，共70分）217．（10分）已知命题p：存在实数xR∈，使x−+ax10成立．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；2（2）若命题q：任意实数x∈[1，2]，使x−+ax10恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．x−+2b18．（12分）已知定义域为R的函数fx()=是奇函数．x+122+（1）求b的值；22（2）若对任意的tR∈，不等式ft(−+2)tftk(2−<)0恒成立，求k的取值范围．x19．（12分）已知函数fx()1log=+x，gx()2=．2（1）若Fxfgxgfx()=(())(())⋅，求函数Fx()在x∈[1，4]的值域；2（2）令hx()=fx()1−，则Gxhx()=()(4)()+−kfx，已知函数Gx()在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围．20．（12分）已知函数fx()=−−−(xaxbxc)()()，其中实数a,b,c满足2b=a+c．（1）若b=0，且fx()在[2,4]上单调递增，求a的取值范围；（2）若b-a=3，求函数fx()的极值.21．（12分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数yfx=()，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−∈xD，并且fxfx()()1⋅−=，就称函数yfx=()为倒函数．x1+x（1）已知fx()2,()=gx=，判断yfx=()和ygx=()是不是倒函数，并说明理由；1−x2[()]fx−1（2）若yfx=()是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数．记Fx()=，证fx()明：xx+>0是Fx()()0+>Fx的充要条件．121222．（12分）已知函数fx()=++−+>lnxlna(a1)x2(a0)．（1）讨论fx()的单调性；第3页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 x−2（2）若efx()，求实数a的取值范围．第4页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 2022-2023学年南京市中华中学高二下学期期末试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={xx>2}，则AB=()A．ΦB．{2，3}C．{3，4}D．（2,4）【解答】解：A={1，2，3，4}，Bxx={|<0或x>2}，∴=AB{3，4}．故选：C．12x−12．现有四个函数：①yxx=|sin|，②yxe=2−，③yx=3；④yx=+的图象（部分）如图，但顺x序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是()A．③②①④B．④③②①C．②①③④D．①②③④【解答】对于函数yxx=sin，有(−x)sin(−=xxx)−sin，所以yxx=sin为奇函数，图象关于原点对称，且x≥0时，y≥0，所以对应的是第个三函数图象；对于函数2x2−−=−xx2e2e−xx2，所以函数2x2xyx=2e−，有()yx=2e−是偶函数，所以函数yx=2e−对应的是第二个函数图象；1−()对于函数yx=3，为幂函数，且在0,+∞上是减函数，1−所以函数yx=3对应的图象是第一个图象；11对于函数yx=+，当x>0时，x+≥2，xx1所以函数yx=+对应的是第四个函数图象；x则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②①④.第5页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 故选：A．22mm−−233．幂函数fx()=−−(mm1)x在(0,+∞))上是减函数，则实数m值为()A．2B．−1C．2或−1D．122mm−−23【解答】解：幂函数fx()=−−(mm1)x，2∴−−=mm11，解得m=2，或m=−1；又x∈(0,+∞)时fx()为减函数，2−3∴当m=2时，mm−−=−233，幂函数为yx=，满足题意；20当m=−1时，mm−−=230，幂函数为yx=，不满足题意；综上，m=2，故选：A．32−0.10.34．已知abc=log,=log,=0.5，b=3，c=log3，则()6212A．abc<<B．bca<<C．cab<<D．bac<<【解答】易知，a=log31<，b=log2<1，而c=0.5−0.1>0.50=1，故cacb>>,，63又因为2a=2log366=log9>1，2b=2log332=log2<1，故22ab>，即ab>，所以bac<<，故选：D．5．函数fxx()=cosx−sinx在区间[−π，0]上的最大值为()33πA．1B．πC．D．22【解答】解：因为函数fxx()=cosx−sinx，x∈−[π，0]，所以fx′=()−xxsin，当x∈−[π，0]时，−∈x[0，π]，sinx∈−[1，0]，所以fx′=()−xxsin0，所以fx()在[−π，0]上单调递减，所以函数fxx()=cosx−sinx在区间[−π，0]上的最大值为f()−=−ππcos()s−−−=πin()ππ．故选：B．6．已知logab>log，则下列不等式一定成立的是()55第6页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 ab−A．ab<B．log(ab−>)0C．51>D．ac>bc5【解答】解：由logab>log可知ab>>0，55所以ab>，所以A错误；因为ab−>0，但无法判定ab−与1的大小，所以B错误；当c0时，acbc，故D错误；ab−0因为ab−>0，所以551>=，故C正确．故选：C．7．已知函数fx()的定义域为R，且fx(+1)为奇函数，fx(+2)为偶函数，且对任意的x，x∈(1,2)，且12fx()()−fx12xx≠，都有>0，则下列结论错误的为()12xx−12A．fx()是偶函数B．f(2023)=0719C．fx()的图象关于(1,0)−对称D．ff()()−<48【解答】解：根据题意，函数fx()的定义域为R，且fx(+1)为奇函数，fx(+2)为偶函数，则fx()的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，则有fxfx(2+=−−)()，fxfx(−=+)(4)，则有fx(+=2)−fx()，故有fx(+=4)−+=fx(2)fx()，则函数fx()是周期为4的周期函数，依次分析选项：对于A，fx()的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x=2对称，则x=0，即y轴也是函数的对称轴，则fx()为偶函数，A正确；对于B，fx()是周期为4的周期函数，则ff(2023)=(34505)+×=f（3）=−f（1）=0，B正确；对于C，fx()的图象关于点(1,0)对称，fx()为偶函数，所以fx()的图象关于点(1,0)−对称，C正确；fx()()−fx12对于D，对任意的x，x∈(1,2)，且xx≠，都有>0，则fx()在区间(1,2)上为增函数，1212xx−12771913fx()为偶函数，则ff()−=()，fx()的图象关于直线x=2对称，ff()()=，4488713713又由>，故ff()>()，D错误；4848故选：D．x8．若直线ykx=(+−1)1与曲线ye=相切，直线ykx=(+−1)1与曲线y=lnx相切．则kk的值为()121212A．B．1C．eD．e2第7页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 xx1【解答】解：ye=的导数为ye′=，y=lnx的导数为y′=，xx设与曲线ye=相切的切点为(,)mn，直线ykx=(+−1)1与曲线y=lnx相切的切点为(,)st，2m11所以ke=，k=，即m=lnk，s=，121sk21n=k=+−k(1lnk)1，即lnk=，1111k11k_21又t==lns−=+−lnkk(1)1，即−=lnkk，可得e=，2222kk221x1考虑k为方程lnx=的根，k为方程e=的根，12xxx1分别画出ye=，y=lnx和y=，yx=的图像，xx11可得ye=和y=的交点与y=lnx和y=的交点关于直线yx=对称，xx1则k=，即kk=1．112k2故选：B．9．下列说法正确的是()22A．“ac>bc”是“ab>”的充分不必要条件B．“xy>0”是“xy+>0”的必要不充分条件2C．“对任意一个无理数x，x也是无理数”是真命题22D．命题“∃∈xR，x+=10”的否定是“∀∈xR，x+≠10”22【解答】解：对于A，若ac>bc，则ab>，22222若ab>，因为c0，所以acbc，所以“ac>bc”是“ab>”的充分不必要条件，故A正确；对于B，“xy>0”是“xy+>0”的既不充分也不必要条件，故B错误；2对于C：取x=2为无理数，则(2)=2为有理数，故C错误；第8页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 22对于D：命题“∃∈xR，x+=10”的否定是“∀∈xR，x+≠10”故D正确．故选：AD．||2x+10．几位同学在研究函数fx()=时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）．2x−4A．fx()的图象关于y轴对称；B．fx()在(2,+∞)上单调递减；C．fx()的值域为R；D．当x∈−(2,2)时，fx()有最大值；【解答】解：根据题意，依次判断4个结论：||2||2−+xx+对于A，fx()的定义域为{|xx≠±2}，且fx()−===fx()，22()4−−xx−4则fx()是偶函数，其fx()的图象关于y轴对称，故正确；x+21对于B，当x>2时，fx()==，fx()在(2,+∞)上单调递减，故正确；2xx−−42||2x+对于C，||22x+，fx()=≠0，故fx()的值域不是R，故错误；2x−4−+x21对于D，当02x<时，fx()==−，则fx()在[0，2)上单调递增，2xx−+42又fx()是偶函数，故fx()在(2,0)−上单调递减，1故fx()在(2,2)−上的有最大值f(0)=−，故正确．2故答案为：ABD．211．若(ax−+4)(xb)0对任意x∈−∞(，0]恒成立，其中a，b是整数，则ab+的可能取值为()A．−7B．−5C．−6D．−172【解答】解：当b0时，由(ax−+4)(xb)0可得ax−40对任意x∈−∞(，0]恒成立，4即a对任意x∈−∞(，0]恒成立，此时a不存在；x2当b<0时，由(ax−+4)(xb)0对任意x∈−∞(，0]恒成立，2可设fx()=ax−4，gxxb()=+，作出fx()，gx()的图象如下，第9页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 a<0a=−1a=−4a=−2由题意可知4，再由a，b是整数可得或或，=−−bb=−16b=−1b=−4a所以ab+的可能取值为−17或−5或−6．故选：BCD．x12．已知关于x的方程xe−=a0有两个不等的实根x，x，且xx<，则下列说法正确的有()1212A．−<<ea−10B．xx+<−2C．xa>D．xe+<x101221xx【解答】解：方程xe−=a0，可化为xe=a，x因为方程xe−=a0有两个不等的实根x，x，12x所以ya=与y=xe有两个不同的交点，xxxx令fx()=xe，则fx′=+=+()exe(1xe)，令fx′=()0，可得x=−1，当x<−1时，fx′<()0，函数fx()在(−∞−,1)单调递减，当x>−1时，fx′>()0，函数fx()在(1,−+∞)单调递增，1fx()=−=−f(1)，mine当x<0时，fx()0<，且f(0)=0，当x>0时，fx()0>，−x当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数ye=呈爆炸性增长，−x故fx()=−→0，−xe当x→+∞时，fx()→+∞，fx′()→+∞，根据以上信息，可得函数fx()的大致图象如下：第10页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 1∴−<<a0，且xx<−<10<，故A正确．12e因为xx<−<10<，−−21x>−121xx−−2构造Fx()=fx()−−−=f(2)xxe++(2)xe，x<−1，x−−22xxx−−Fx′=+()(x1)e+−−(1xe)=+(x1)(e−e)>0，∴Fx()在(−∞−,1)上单调递增，∴Fx()<−=F(1)0，1∴fx()<−−f(2x)，即fx()<−−f(2x)，1121由fx()在(1,−+∞)单调递增所以x<−−⇒22xxx+<−，故B正确．2112a1对于C，由x=，−<<a0，2xe2ea1所以xa−=−=aa(−1)，2xxee2211又−<<10x，所以>1，则−>10，所以xa<，故C错误．2xx2e2e2对于D，由x<−1，可得0<<eex1−1，1所以xe+x1<−+10e−1<，D正确．1故选：ABD．2113．设集合Axxx={|+−=60}，B={|xmx+=10}，则满足BA⊆的实数m的值所成集合为{0，，31−}．22【解答】解：Axxx={|+−==−60}{3，2}第11页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 又BA⊆当m=0，mx+=10无解，故B=∅，满足条件若B≠∅，则B=−{3}，或B={2}，11即m=，或m=−3211故满足条件的实数m∈{0，，−}3211故答案为{0，，−}321914．已知非负数x，y满足xy+=1，则+的最小值是4．xy++1219119【解答】解：由xy+=1，可得xy+++=124,+=(+)(xy+++12)xy++12412xy++1yx++29(1)1yx++29(1)=(19+++)(10+2⋅)=4，4xy++124xy++12当且仅当yx+=+23(1)，即x=0，y=1时取等号．故答案为：4．xx−115．若直线y=kx+b是曲线ye=−1和ye=的公切线，则实数b的值是0．【解答】解：设直线y=kx+b与曲线ye=x−1、ye=x−1分别相切于点Axe(,x1−1)、Bxe(,)x2−1，12对函数ye=x−1求导得ye′=x，则ke=x1，曲线ye=x−1在点A处的切线方程为ye−+=xx111()exx−，即yex=+−xx11(1xe)−1，11对函数ye=x−1求导得ye′=x−1，则ke=x2−1，曲线ye=x−1在点B处的切线方程为ye−=−xx22−−11exx()，即yex=xx22−−11+−(1xe)，22x=01kee=xx12=−1x=12所以，xx−1，化简可得．b=−(1xe)12−=−1(1xe)k=112b=0故答案为：0．|x−1|2−<1,0x216．已知fx()是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx()=1有下列结论：fx(−>2),x22①函数fx()在(6,5)−−上单调递增；第12页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 ②函数fx()的图象与直线yx=有且仅有2个不同的交点；2③若关于x的方程[()](1)()fx−+afxa+=∈0(aR)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；127④记函数fx()在[2k−1，2](kkN∈*)上的最大值为a，则数列{}a的前7项和为．kn64其中所有正确结论的编号是①④．【解答】解：当x=0时，f(0)=0，此时不满足方程，11|x−3|若24<x，则0<−x22，即fx()=fx(−=2)(2−1)，2211|x−5|若46<x，则2<−x24，即fx()=fx(−=2)(2−1)，22作出函数x0的图象，如图所示：对于①，由图可知，函数fx()在(5,6)上单调递增，由奇函数性质可知，函数fx()在(6,5)−−上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在x>0时的图象与直线yx=有1个交点，结合函数的奇偶性可知，fx()的图象与直线yx=有3个不同的交点，故②错误；22对于③，设fxt()=，则关于[()](1)()fx−+afxa+=∈0(aR)的方程等价于tata−++=(1)0，解得ta=或t=1，第13页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 当t=1时，即fx()1=对应一个交点为x=2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：111（1）ta==，即fx()=对应3个交点，且xx+=2，x=4，23422此时4个实数根的和为8，11（2）ta==−，即fx()=−对应3个交点，且xx+=−2，x=4，23422此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数fx()在[1，2]上的最大值为f（2）=1，即a=1，11由函数解析式及性质可知，数列{}a是首项为1，公比为的等比数列，n2171()−2127则数列的前7项和为=，故④正确．1641−2故答案为：①④．四．解答题（共6小题，共70分）217．已知命题p：存在实数xR∈，使x−+ax10成立．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；2（2）若命题q：任意实数x∈[1，2]，使x−+ax10恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．22【解答】解：（1）p：存在实数xR∈，使x−+ax10成立⇔△=−⇔−aa402或a2，∴实数a的取值范围为(−∞，−2][2，+∞)；1（2）q：任意实数x∈[1，2]，使ax+恒成立，x155x∈[1，2]，∴+2x，∴a，x22命题“p或q”为假命题，∴p假q假，5(2−，2)∩(−∞，)(2=−，2)，2∴实数a的取值范围(2,2)−．x−+2b18．已知定义域为R的函数fx()=是奇函数．x+122+（1）求b的值；第14页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 22（2）若对任意的tR∈，不等式ft(−+2)tftk(2−<)0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，因为fx()在定义域为R上是奇函数，b−1所以f(0)=0，即=∴=01b；22+22（2）因fx()是奇函数，从而不等式：ft(−+2)tftk(2−<)0222等价于ft(−2)t<−ftk(2−)=fkt(−2)，22因fx()为减函数，由上式推得：ttkt−>−22．2即对一切tR∈有：32ttk−−>0，1从而判别式=+412kk<⇒<−0，31即k的取值范围是(,)−∞−．3x19．已知函数fx()1log=+x，gx()2=．2（1）若Fxfgxgfx()=(())(())⋅，求函数Fx()在x∈[1，4]的值域；2（2）令hx()=fx()1−，则Gxhx()=()(4)()+−kfx，已知函数Gx()在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围．x【解答】解：（1）因为fx()1=+=logxgx,()2，2所以x1log+22xxlog2211Fxfgxgfx()=(())⋅(())=+(1log2)2⋅=+⋅×(1x)22=2(1x+=x)2x+=2x2(x+)−，222由二次函数的性质可知，当x∈[1，4]时，函数Fx()为增函数，所以函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．2（2）Gx()=(logx)+−(4k)logx+−4k，22令tx=log，由于x∈[1，4]，则t∈[0，2]，22则问题等价为yt=+−+−(4kt)4k在t∈[0，2]上有零点，2即yt=+−+−=(4kt)4k0在t∈[0，2]上有解，2即ttkt++−+=44(1)0在t∈[0，2]上有解，第15页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 22tt++44(t++++1)2(t1)11即kt===++12+，111++ttt+1令mt=+1，则m∈[1，3]，则km=++2，m1则km=++2在m∈[1，3]上递增，m116则当m=1时，k=++=1124，当m=3时，k=++=32，3311616∴42m++，即4k，m3316即实数k的取值范围是[4,]．320．（12分）已知函数fx()=−−−(xaxbxc)()()，其中实数a,b,c满足2b=a+c．（1）若b=0，且fx()在[2,4]上单调递增，求a的取值范围；（2）若b-a=3，求函数fx()的极值.【解答】解：（1）因为b=0，2bac=+所以ca=−，3222可得fx()=−(xaxxa)(+=−)xax，故fxxa′()=3−，22因为fx()在[2,4]上单调递增，所以fxxa′()=−≥30在[2,4]上恒成立，ax22≤3，故2可得()a≤12，min所以−≤≤23a23.ba−=3ab=−3（2）因为，所以，2bac=+cb=+33所以fx()=−+(xb3)(xbxb−)(−−=−−39)(xb)(xb−)3（说明：消元并化简正确即可给分，也可以写成fxxa()=−−−(39)(xa−−3)，或3fx()=−+−(xc39)(xc−+3)）则，令fx′()=0，解得xb=−3，xb=+3，12可得：x(−∞,3b−)b−3(bb−+3,3)b+3(b+3,+∞)第16页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 fx′()+0—0+fx()单调递增极大值单调递减极小值单调递增fx()fb(−=363)fb(+=3)−63所以函数的极大值为，极小值为21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数yfx=()，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−∈xD，并且fxfx()()1⋅−=，就称函数yfx=()为倒函数．x1+x（1）已知fx()2,()=gx=，判断yfx=()和ygx=()是不是倒函数，并说明理由；1−x2[()]fx−1（2）若yfx=()是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数．记Fx()=，证fx()明：xx+>0是Fx()()0+>Fx的充要条件．1212【解答】解：对于函数yfx=()，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−∈xD，并且fxfx()()1⋅−=，就称函数yfx=()为倒函数，xxx−（1）对于fx()2=，定义域为R，显然定义域D中任意实数x有−∈xD成立，又fxfx()()22−=⋅=1，x∴=fx()2是倒函数，1+x1+x对于gx()=，定义域为{|xx≠1}，故当x=−1时−=∉x1{|xx≠1}，不符合倒函数的定义，∴gx()=1−x1−x不是倒函数；2[()]fx−1（2）若yfx=()是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数，记Fx()=，fx()1由题设，Fx()=fx()−，又yfx=()是R上的倒函数，fx()∴Fx()=fx()−−fx()，故Fx()()()()()()+Fx=fx−−+fxfx−−fx，121122充分性：当xx+>0时，xx>−且xx>−，又fx()在R上是严格增函数，121221∴fx()()0−−>fx，fx()()0−−>fx，故Fx()()0+>Fx成立；12211211fxfx()()1−12必要性：当Fx()()0+>Fx时，有fx()−+−=+fx()[()fxfx()][]>0，121212fx()fx()fxfx()()1212又fx()恒大于0，∴fxfx()()1()()>=fxfx−，即fx()()>−fx，fx()在R上是严格增函数，121121∴xx>−，即有xx+>0成立；2112第17页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 综上，xx+>0是Fx()()0+>Fx的充要条件．121222．已知函数fx()=++−+>lnxlna(a1)x2(a0)．（1）讨论fx()的单调性；x−2（2）若efx()，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数fx()的定义域为(0,+∞)，11(+−ax1)fx′=+−=()a1，a>0，xx1当a>1时，令fx′=()0得x=<0，1−a所以在(0,+∞)上fx′>()0，fx()单调递增，1当a=1时，fx′=>()0，x所以在(0,+∞)上fx()单调递增，1当01<<a时，令fx′=()0得x=，1−a1所以在(0,)上fx′>()0，fx()单调递增，1−a1在(，+∞)上fx′<()0，fx()单调递减，1−a综上所述，当a1时，fx()在(0,+∞)上单调递增，11当01<<a时，fx()在(0,)上单调递增，在(，+∞)上单调递减．1−a1−ax−2x−2（2）若efx()，则elnax+−+axx2，x−2所以e+−x2lnax+ax，xx−−22所以lne++elnaxax，(*)x−2令gt()=lnt+t，则(*)不等式为ge()()gax，1gt′=+>()10，t所以gt()在(0,+∞)上单调递增，x−2所以eax在(0,+∞)上恒成立，x−2e所以a，xx−2e令hx()=，x>0，x第18页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 xxx−−−222exe−−ex(1)hx′=()=，22xx令hx′=()0得x=1，所以在(0,1)上hx′<()0，hx()单调递减，在(1,+∞)上hx′>()0，hx()单调递增，1所以hx()=h（1）=，mine1所以a，e1所以a的取值范围为(−∞，]．e第19页（共20页）学科网（北京）股份有限公司 第20页（共20页）学科网（北京）股份有限公司