解析几何题型解题技巧讲义
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第1页共115页解析几何题型解题技巧讲义第1讲秒杀解析几何题型之直线方程..................................................................................................................3【题型1】：直线方程的五种形式及其局限性..................................................................................................3【题型2】：三点共线.........................................................................................................................................3【题型3】：两直线平行.....................................................................................................................................4【题型4】：两直线垂直.....................................................................................................................................4【题型5】：距离.................................................................................................................................................5【题型6】：对称.................................................................................................................................................5第2讲秒杀解析几何题型之圆的方程..................................................................................................................7【题型1】：圆的方程.........................................................................................................................................7【题型2】：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系..............................................................................................9【题型3】：圆上的点到直线距离为定值的点的个数....................................................................................10【题型4】：圆中弦中点性质...........................................................................................................................11【题型5】：圆的切线.......................................................................................................................................11【题型6】：切线长、弦长...............................................................................................................................13【题型7】：最值问题.......................................................................................................................................15【题型8】：对称问题.......................................................................................................................................17第3讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线方程.........................................................................................................19【题型1】：确定圆锥曲线的形状...................................................................................................................20【题型2】：求圆锥曲线方程...........................................................................................................................21【题型3】：求圆锥曲线方程中的量................................................................................................................22第4讲秒杀解析几何题型之椭圆的定义............................................................................................................25【题型1】：焦半径...........................................................................................................................................25【题型2】：焦点三角形周长...........................................................................................................................26【题型3】：利用双曲线定义解题...................................................................................................................27【题型4】：双曲线焦点三角形.......................................................................................................................28【题型5】：利用抛物线定义解题...................................................................................................................29第5讲秒杀解析几何题型之焦点三角形............................................................................................................34【题型1】：焦点三角形周长及顶角的范围....................................................................................................34【题型2】：焦点三角形面积...........................................................................................................................35【题型3】：焦点直角三角形个数...................................................................................................................35第6讲秒杀解析几何题型之离心率....................................................................................................................39【题型1】：利用焦点三角形求离心率............................................................................................................39【题型2】：寻找a、b、c的关系求离心率.................................................................................................45【题型3】：黄金椭圆.......................................................................................................................................51【题型4】：求离心率范围...............................................................................................................................52第7讲秒杀解析几何题型之双曲线的渐近线.....................................................................................................53【题型1】：由双曲线的方程求渐近线............................................................................................................53【题型2】：有共同渐近线的双曲线方程的设法............................................................................................55【题型3】：由已知渐近线方程设双曲线方程................................................................................................55【题型4】：双曲线的焦点到渐近线的距离....................................................................................................56第8讲秒杀解析几何题型之直线与圆锥曲线.....................................................................................................60,第2页共115页【题型1】：直线与椭圆的位置关系................................................................................................................61【题型2】：直线与双曲线的位置关系............................................................................................................63【题型3】：直线与抛物线的位置关系............................................................................................................64第9讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线直角弦.....................................................................................................66【题型1】：椭圆中的直角弦...........................................................................................................................66【题型2】：相对于椭圆中心的直角弦............................................................................................................67【题型3】：相对于其它点的直角弦................................................................................................................68【题型4】：抛物线相对于原点的直角弦........................................................................................................71【题型5】：相对于其它点的直角弦................................................................................................................73第10讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线焦点弦...................................................................................................74【题型1】：焦点弦长公式...............................................................................................................................74【题型2】：焦点弦中的定值...........................................................................................................................75【题型3】：离心率与焦点弦的关系................................................................................................................76【题型4】：焦点弦两端点坐标定值关系........................................................................................................78【题型5】：焦点弦长。...................................................................................................................................79【题型6】：焦点弦被焦点分成两段焦半径的关系及焦半径公式................................................................79【题型7】：由焦点弦围成图形的面积............................................................................................................80【题型8】：以焦点弦为直径的圆的性质........................................................................................................80【题型9】：如图两圆的性质...........................................................................................................................81第11讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线中点弦...................................................................................................82【题型1】：求值，利用结论求k或斜率乘积定值........................................................................................83k【题型2】：求当AB为定值时，平行弦中点轨迹........................................................................................85yf−中k=AB(ef,)xe−k【题型3】：求当直线l恒过一定点时，得定点弦中点轨迹：利用中消去AB.........87【题型4】：求值(求k或p)..............................................................................................................................89第12讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线最值.......................................................................................................90【题型1】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题........................................................................................90【题型2】：椭圆或双曲线上的动点到一个定点与一个焦点的距离的和或差的最值问题........................92【题型3】：抛物线上的动点到定点(定直线)与焦点（或准线或y轴）的距离之和的最值问题.............93【题型4】：抛物线上的动点到定点或定直线的距离的最值问题................................................................94【题型5】：弦长或面积最值问题...................................................................................................................96第13讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线定值与定点...........................................................................................99【题型1】：圆锥曲线中的定值与定点............................................................................................................99第14讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线的切线.................................................................................................106【题型1】：过曲线上一点作曲线的切线......................................................................................................107【题型2】：过曲线外一点作曲线的切线......................................................................................................108【题型3】：阿基米德三角形.........................................................................................................................108【题型4】：蒙日圆.........................................................................................................................................109第15讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线的轨迹问题.........................................................................................111【题型1】：定义法求轨迹.............................................................................................................................111【题型2】：直接发求轨迹.............................................................................................................................113【题型3】：代换法（相关点法）求轨迹......................................................................................................114【题型4】：参数法求轨迹.............................................................................................................................114,第3页共115页第1讲秒杀解析几何题型之直线方程【题型1】：直线方程的五种形式及其局限性『秒杀策略』：⑴直线的点斜式或斜截式不能表示斜率不存在的直线，如果写成x=kyb+就可以表示斜率不存在的直线。⑵两点式不能表示斜率不存在或斜率为0时的直线，写成(yyxx−−)()=(xxyy−−)()表示任意直线。121121⑶截距式不能表示截距为0与截距不存在的直线，所以要注意设成截距式时出现丢根问题，注意区别截距相等与截距绝对值相等是两个不同的概念(截距是直线与坐标轴交点的坐标,可正、负、0)。1.(高考题)下列命题中的真命题是()A.经过定点Pxy(,)的直线都可以用方程yykxx−=−()表示00000B.经过任意两个不同的点PxyPxy(,),(,)的直线都可以用方程(yyxx−−)()=(xxyy−−)()111222121121表示xyC.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示abD.经过定点Ab(0,)的直线都可以用方程y=kxb+表示【解析】：A答案不能表示斜率不存在的直线，C答案不表示平行于x轴与平行于y轴的直线，D答案不表示斜率不存在的直线，选B。【题型2】：三点共线『秒杀策略』：⑴利用两边之和等于第三边⑵利用斜率相同且过同一点,第4页共115页⑶利用两点求出直线方程，把第三点代入加以验证；⑷利用向量ab=λ。111.(高考题)若三点A(2,2)、Ba(,0)、C(0,)(bab≠0)共线,则+=。abxy1【解析】：由Ba(,0)、Cb(0,)两点确定的直线方程为：+=1，代入A(2,2)，得。ab2【题型3】：两直线平行『秒杀策略』：⑴斜率相等，但截距不等。⑵在一般式中：直线l:Ax+By+C=0。1111ABCABC111111l:Ax+By+C=0，平行：=≠；重合：==。2222ABCABC222222'⑶平行直线系方程：l:AxByC++=0，与之平行的直线可设为:AxByC++=0。1.(高考题)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的12A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：选A。【题型4】：两直线垂直『秒杀策略』：⑴利用斜率乘积等于－1⑵在一般式中：直线l:Ax+By+C=0,1111l:Ax+By+C=0，垂直的充要条件是：A⋅A+B⋅B=0。22221212'⑶垂直直线系方程：l:AxByC++=0，与之垂直的直线可设为：Bx−+=AyC0。31.(2013年辽宁卷)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a)，若∆OAB为直角三角形，则必有(),第5页共115页331331A.ba=B.ba=+C.(baba−)−−=0aa331D.baba−+−−=0a3【解析】：若A为直角,A、B纵坐标相等，∴ba−=0；若B为直角，由k⋅k=−1，得OBAB31ba−−=0,选C。a【题型5】：距离『秒杀策略』：Ax++ByC00⑴点(xy,)到直线AxByC++=0的距离：d=。0022AB+CC−12⑵平行直线l:AxByC++=0;l:AxByC++=0间的距离：d=。112222AB+1.(高考题)若直线m被两平行线lxy:−+=10，lxy:−+=30所截得的线段的长为22，则m的倾斜12角可以是①15；②30；③45；④60；⑤75。其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）【解析】：l,l间的距离为2，而直线m被两平行线截得的线段长为22，∴可知直线m与两平行线12的夹角为30°，直线的倾斜角为45°，m的倾斜角为：45°+30°=75,45°°−30°=15°，选①⑤。2.(2020年新课标全国卷III8)点(0，−1)到直线ykx=(+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2【解析】：选B。【题型6】：对称『秒杀策略』：⑴点关于点对称：点Pxy(,)关于点Oab(,)(中点)的对称点Q的坐标为(2axby−−,2)。0000,第6页共115页⑵点关于线对称：利用中、垂两条件建立方程组,(注意特殊点的对称)点(,)xy关于直线00Ax++ByCAx++ByC0000AxByC++=0的对称点：(2xA−−,2yB)。002222AB++AB⑶线关于点对称：l:AxByC++=0关于点(,)ab对称的直线方程为：AaxBbyC(2−+)(2−+=)0。⑷线关于线对称：(转化为特殊点对称)在直线上取一个特殊点，求这个点关于直线的对称点，再求两条直线的交点，利用两点式可求对称线的方程。特例：角的两边关于角分线对称，线关于特殊线(x轴、y轴、yx=、yx=−)对称，直接交换坐标即可。⑸反射问题均转化为对称问题解决。1.(高考题)已知直线lxy:−−=10,:2lxy−−=20，若直线ll,关于直线l对称，则l的方程为()1212A.xy−+=210B.xy−−=210C.xy+−=10D.xy+−=210x=y+1【解析】：因为对称轴的斜率为1，由，得2(y+1)−(x−1)−2=0，选B。y=x−1【高考母题】：1.如果AC<>0,BC0,那么直线AxByC++=0不通过()A.第一象限B.第二角限C.第三象限D.第四象限【解析】：选B。2.已知两条直线axby++=10和axby++=10都过点A(1,2),求过两点PabPab(,),(,)1122111222的直线的方程.【解析】：x+2y+1=0。,第7页共115页第2讲秒杀解析几何题型之圆的方程【题型1】：圆的方程『秒杀策略』：222⑴标准方程：()()xa−+−=ybr，圆心(ab,)，半径r。2222DEDEF+−4⑵一般方程：x++++=yDxEyF0,圆心−−,，r=。2221.(高考题)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()22222222A.xy+−=(2)1B.xy++=(2)1C.(xy−+−=1)(3)1D.xy+−=(3)1【解析】：在y轴上找一点到(1,2)的距离为1，可知圆心为(0,2)，选A。2.(2009年辽宁卷)已知圆C与直线x−y=0及x−y−4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为()2222A.(xy++−=1)(1)2B.(xy−++=1)(1)22222C.(xy−+−=1)(1)2D.(xy+++=1)(1)2【解析】：设圆心为(a,−a)，利用圆心到两条直线距离相等，选B。22xy3.(2015年新课标全国卷I14)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的164标准方程为。23225【解析】：x−+y=。24224.(2016年新课标全国卷II4)圆xyxy+−−+=28130的圆心到直线ax+−=y10的距离为1，则a=43A.−B.−C.3D.234【解析】：选A。5.(高考题)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为。22【解析】：(xy−+=2)10。,第8页共115页2226.(高考题)已知a∈R，方程ax+++++=(a2)y4x8y5a0表示圆，则圆心坐标是，半径是。【解析】：(−2,−4)，5。7.(2018年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为。22【解析】：(x−1)+y=1。8.(2019年新高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r，若直线2xy−+=30与圆C相切于点A(2,1)−−，则m=___________，r=___________．【解析】：−2，5。9.(2010年新课标全国卷15)过点A(4,1)的圆C与直线x−y−1=0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为。22【解析】：圆心在直线x+y−3=0与直线x=3上，即圆心为（3,0），r=2，C:(xy−+=3)2。10.(2020年新课标全国卷II8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为5253545A.B.C.D.5555【解析】：选B。【高考母题1】：1.求圆心在直线yx=−2上，并且经过点A(2,1)−，与直线xy+=1相切的圆的方程。【解析】：设圆心为(a,−2a)，利用到点A的距离等于到直线的距离得圆的方程为：22(xy−++=1)(2)2。2.设圆满足条件:（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；（3）圆心到直5线lxy:20−=的距离为，求这个圆的方程。52222【解析】：(xy−+−=1)(1)2或(xy+++=1)(1)2。223.求与圆Cx:++=(y5)3相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程。66【解析】：yx=±或xy++±=560。322【高考母题2】：1.求由曲线xyxy+=+围成的图形的面积。【解析】：2+π。,第9页共115页22.方程yx=1−表示什么曲线?【解析】：上半圆。23.画出方程xy−=−11表示的曲线?【解析】：右半圆。【题型2】：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系『秒杀策略』：⑴点与圆：点到圆心距离为d：ⅰ.dr=，在圆上；ⅱ.dr>，在圆外；ⅲ.dr<，在圆内。⑵线与圆：圆心到直线的距离为d：ⅰ.dr=，相切；ⅱ.dr>，相离；ⅲ.dr<，相交。⑶圆与圆：两圆圆心距为d，半径分别为r,r：ⅰ.d>r+r，相离；ⅱ.d=r+r，外切；121212ⅲ.r1+r2>d>r1−r2，相交；iv.d=r1−r2，内切；v.d<r1−r2，内含。1.(2014年新课标全国卷ii16)设点m（x,1），若在圆o:xy22+=1上存在点n，使得∠omn=45°,则x00的取值范围是。【解析】：点m在圆的切线y=1上，当m(1,1)时，恰好存在圆上(0,1),(1,0)两个点满足，由图象m应向左移动，由对称性可得x∈[−1,1]。0xy222.(高考题)若直线+=1与圆xy+=1有公共点，则()ab22221111a.ab+≤1b.ab+≥1c.+≤1d.+≥12222ababxy1【解析】：利用圆心(0,0)到直线+=1的距离d=≤1，选d。ab11+22ab223.(高考题)已知直线axbyc++=0(abc≠0)与圆xy+=1相切，则三条边长分别为abc,,的三角形为()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不存在【解析】：选b。24.(高考题)若直线yxb=+与曲线y=34−−xx有公共点，则b的取值范围是()a.−+1,122b.122,122−+c.122,3−d.1−2,3【解析】：选c。,第10页共115页225.(高考题)若曲线c:x+y−2x=0与曲线c:y(y−mx−m)=0有四个不同的交点，则实数m的取12值范围是()33333333a.(−,)b.(−,0)(0,)c.[−,]d.−∞−,,+∞33333333【解析】：选b。26.(高考题)过点(2,0)引直线l与曲线y=1−x相交于a,b两点,o为坐标原点,当∆aob的面积取最大值时,直线l的斜率等于()333a.b.−c.±d.−333313【解析】：曲线为上半圆，s=×1×1×sin∠aob，当∠aob=90°时面积最大，k=−，选b。∆a0b23227.(高考题)与直线xy+−=20和曲线xyxy+−−+=1212540都相切的半径最小的圆的标准方程是。22【解析】：配方得：(xy−+−=6)(6)18，半径最小的圆是过已知圆圆心(6,6)向直线xy+−=20作22垂线与直线与圆有两交点，以两交点为直径的圆，即(xy−+−=2)(2)2。222228.(高考题)集合a={(,)xyx+=y4,}b={(,)(3)(xyx−+−=y4)r},其中r>0,若AB中有且只有一个元素,则r的值是。【解析】：3或7。22229.(高考题)圆(x+2)+y=4与圆(x−2)+(y−1)=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】：选B。【题型3】：圆上的点到直线距离为定值的点的个数『秒杀策略』：到直线距离为定值的点的轨迹是与已知直线平行的两条直线，这两条直线与圆的交点的个数即所求点的个数，即最多四个交点，可能是0、1、2、3、4，首先计算圆心到直线的距离，再考虑这个距离与半径的关系，,第11页共115页从直观上得到答案。221.(高考题)圆xyxy+++−=2430上到直线xy++=10的距离等于2的点有个。2222【解析】：xyxy+++−=2430配方得：(xy+++=1)(2)8，圆心(−−1,2)到直线的距离为2，而半径为22，可知两条直线一条过圆心，一条与圆相切，即满足条件的点有3个。22π2.(高考题)已知圆O:xy+=5，直线l:xycosθθ+=sin1(0<<θ)，设圆O上到直线l的距离等于1的点2的个数为k，则k=。【解析】：4。2222【高考母题】：已知圆xy+=4,直线lyxb:=+，当b为何值时，圆xy+=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1。【解析】：b=±2。【题型4】：圆中弦中点性质『秒杀策略』：⑴弦中点与圆心连线与弦垂直⑵弦的中垂线过圆心。221.(高考题)直线l与圆x＋y＋2x－4y+a=0(a<3)相交于两点AB,，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为。【解析】：圆心为(−1,2)，圆心与AB中点确定的直线与l垂直，即k=1，直线l的方程为yx=+1。222.(高考题)设直线2x+3y+1=0和圆x+y−2x−3=0相交于点AB,，则弦AB的垂直平分线方程是。【解析】：3230xy−−=。【题型5】：圆的切线『秒杀策略』：过圆上一点(xy,)的切线方程：002⑴圆心在坐标原点:xx..+=yyr；002⑵圆心不在坐标原点的标准方程：(xaxaybybr−)(−+−)()(−=)；00,第12页共115页xx++yy00⑶一般方程:xx...++yyD+E.+=F0。00222222※圆xyr+=，点P(,)xy，则方程xx..+=yyr表示的直线与圆的位置关系：0000点在圆上,相切点在圆外,相交，利用圆心到直线的距离可判断。点在圆内,相离几何意义：2⑴若点P(x,y)在圆外，则xx..+=yyr表示过P作圆的两条切线，两切点确定的直线方程00002⑵若点P(,)xy在圆内，则xx..+=yyr表示过P作圆的割线(无数条)与圆有两交点，过两交点0000作圆的切线，两切线交点在一条直线上。过圆外一点引圆的切线(两条)：方法：设斜率k，利用点斜式设出直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于r可确定k，如果求出一条，存在丢根问题，一定要补上斜率不存在的直线。221.(高考题)已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)+=y5相切，且与直线ax−+=y10垂直，则a=()11A.−B.1C.2D.22【解析】：选C。222.(高考题)已知点M(a,b)在圆Ox:+=y1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【解析】：选B。223.(高考题)过点(3,1)作圆(xy−+=1)1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为()A.2xy+−=30B.2xy−−=30C.4xy−−=30D.4xy+−=30【解析】：选A。224.(高考题)过原点O作圆xyxy+−−+=68200的两条切线，设切点分别为PQ,，则线段PQ的长为。xx++yy00【解析】两切点确定的直线方程为：xx+yy−⋅6−⋅8+=200求出圆心距为1，半径为5，0022弦长为4。225.(2020年新课标全国卷I11)已知⊙M：xyxy+−−−=2220，直线l：2xy++=20，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PAPB,，切点为AB,，当|PM||⋅AB|最小时，直线AB的方程为(),第13页共115页A.2xy−−=10B.2xy+−=10C.2xy−+=10D.2xy++=10【解析】：当PM⊥l时，取到最小值，求得P(1，0)，选D。22【高考母题】：若直线axby+=1与圆xy+=1相交，则点Pab(,)与圆的位置关系是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定【解析】选B。2222公切线：1.(2020年新高考浙江卷15)已知直线y=+>kxbk(0)与圆xy+=1和圆(xy−+=4)1均相切，则k=，b=。323【解析】：k=,b=−。33【题型6】：切线长、弦长『秒杀策略』：⑴过圆外一点P(,)xy作圆的切线，切点为T，0022222则PT=x++++=−+−−yDxEyF(xx)(yy)r；00000022⑵弦长=2r−(弦心距)。22221.(高考题)已知圆O的方程是xy+−=20，圆O'的方程是xyx+−+=8100，由动点P向圆O和圆O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是。22223【解析】：设Pxy(,)，因为切线长相等，即xy+−=+−+2xyx810，得x=。22.(2013年新课标全国卷II)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。（1）求圆心P的轨迹方程；2（2）若P点到直线yx=的距离为，求圆P的方程。222222222【解析】：（1）x+3=r,y+2=r，作差得：y−x=1；（2）x+(y±1)=3。3.(2015年新课标全国卷II7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,−7)的圆交y轴于M,N两点，则MN=()A.26B.8C.46D.10,第14页共115页【解析】：得圆心为(1,−2),r=5，选C。224.(2016年新课标全国卷III16)已知直线l:mx+y+3m−3=0与圆x+y=12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若AB=23,则CD=_______.323【解析】：代入弦长公式得m=−，直线的倾斜角为30°，CD==4。3cos30°225.(2018年新课标全国卷I)直线y=x+1与圆x+y+2y−3=0交于A,B两点，则AB。【解析】：22。226.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线3450xy+−=与圆xy+=4相交于AB,两点，则弦AB的长等于()A.33B.23C.3D.1【解析】：选B。227.(高考题)直线y=2x+3被圆x+y−6x−8y=0所截得的弦长等于。【解析】：45。228.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线xy+−=230被圆(x−2)+(y+1)=4截得的弦长为。255【解析】：。5229.(高考题)已知直线ax+y−2=0与圆心为C的圆(x−1)+(y−a)=4相交于A，B两点,且∆ABC为等边三角形,则实数a=________.【解析】：a=4±15。2210.(高考题)已知圆M:x+y−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M22与圆N:(x−1)+(y−1)=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】：选B。22211.(2020年新高考天津卷12)已知直线xy−380+=和圆xyrr+=>(0)相交于AB,两点．若||6AB=，则r的值为。【解析】：5。,第15页共115页【题型7】：最值问题『秒杀策略』：⑴定点与圆上点距离最值问题：点的确定：点与圆心连线与圆有两交点，靠近为最小值点，远离为最大值点；最值确定：max:dr+−,min:drd,:定点与圆心距离。22221.(高考题)已知xyxy+−+−=24200,则xy+最小值为。【解析】：30105−。2.(2020年新高考北京卷5)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】：选A。⑵线与圆距离最值问题：点的确定：①过圆心作线的垂线交圆于两点，靠近为最小值点，远离为最大值点；②平行移动直线与圆有两切点；最值确定：max:dr+−,min:drd,:圆心到直线距离。1.(2018年北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−−=my20的距离，当θ,m变化时，d的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】：P为单位圆上一点，而直线恒过点A（2,0），几何意义是d的最大值为OA+1=3。222.(高考题)圆xyxy+−−−=44100上的点到直线xy+−=140的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.62D.52【解析】：选C。3.(2018年新课标全国卷III)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆()22x−2+y=2上,则∆ABP面积的取值范围是()A.[26，]B.[48，]C.232，D.2232，【解析】：选A。4.(高考题)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx−y−2m−1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。22【解析】：直线恒过定点(2,−1)，当点(1,0)与(2,−1)的距离为半径时半径最大，r=2,(x−1)+y=2。max,第16页共115页5.(高考题)在平面直角坐标系中，AB,分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy+−=40相切，则圆C面积的最小值为()435A.πB.πC.(625)−πD.π544【解析】：动圆恒过原点，当原点到直线距离为直径时面积最小，选A。yy−0⑶构造斜率求最值：形如z=最值的求法，可看作是圆上的点(,)xy→(,)xy的斜率的范围。00xx−022y1.(高考题)如果实数xy,满足:(xy−+=2)3,则的最大值为。x【解析】：3。⑷构造截距求范围：形如:axby+范围，可设axby+=zz,可看作是直线平行移动的截距。2【高考母题】：若直线yxb=+与曲线xy=1−恰有一个公共点，求实数b的取值范围。【解析】：−<≤11b或b=−2。⑸切线长最值：圆心到动点距离最小或最大时切线长最小或最大。221.(高考题)由直线yx=+1上的一点向圆(xy−+=3)1引切线，则切线长的最小值为()A.1B.22C.7D.3【解析】：选C。⑹弦长最值：转化为弦心距最值。221.(高考题)已知圆的方程为x+y−6x−8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.106B.206C.306D.4061【解析】：最长弦为过圆心的弦即直径，最短弦与最长弦垂直，而S=ACBD⋅，选B。ABCD2222.(高考题)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x,y)x+y≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A.x+y−2=0B.y−1=0C.x−y=0D.x+3y−4=0【解析】：选A。223.(高考题)过点(3,1)作圆(xy−+−=2)(2)4的弦，其中最短的弦长为。,第17页共115页【解析】：22。4.(高考题)设mR∈，过定点A的动直线xmy+=0和过定点B的动直线mx−−+=ym30交于Pxy(,),则|PA||⋅PB|的最大值是。【解析】：可知P的轨迹是以A(0,0)，B(1,3)为直径的圆，当PA=PB时最大为5。225.(2020年新课标全国卷I6)已知圆xyx+−=60，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】：选B。22【高考母题】：已知圆Cx:(−+−=1)(y2)25,直线l:(2mxmym+++−−=1)(1)740。（1）求证：直线l恒过定点。（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度。3【解析】：（1）恒过定点(3,1)；（2）m=−；45。4【题型8】：对称问题『秒杀策略』：⑴自身对称：①圆自身关于圆心成中心对称；②圆关于任意一条直径成轴对称。221.(高考题)已知圆C:x+++−=y2xay30(a为实数)上任意一点关于直线lxy:−+=20的对称点都在圆C上，则a=。【解析】：-2。222.(高考题)已知直线l:x+ay−1=0(a∈R)是圆C:xyxy+−−+=4210的对称轴，过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB=()A.2B.42C.6D.210【解析】：选C。⑵圆关于点(或线)的对称，只对称圆心即可，转化为点关于点(或点关于线)对称。,第18页共115页221.(高考题)已知圆C:(x+1)+(y−1)=1，圆C与圆C关于直线xy−−=10对称，则圆C的方程为12122222A.(x+2)+(y−2)=1B.(x−2)+(y+2)=12222C.(x+2)+(y+2)=1D.(x−2)+(y−2)=1【解析】：只对称圆心，圆C的圆心为(−1,1)，关于xy−−=10对称的点的坐标为(2,2−)，选B。1222.(高考题)圆(xy++=2)5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()22222222A.(xy−+=2)5B.xy+−=(2)5C.(xy+++=2)(2)5D.xy++=(2)5【解析】：选A。22223.(高考题)已知圆Cx:2(−+−=)(y31)，圆Cx:3(−+−=)(y49)，MN,分别是圆CC,上的动1212点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为()A.524−B.171−C.622−D.17【解析】：其中一个圆关于x轴对称，两圆心连线与x轴的交点为所求点，连线距离减去两圆半径之和为最小值，选A。224.(高考题)一条光线从点(−2,−3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)+(y−2)=1相切，则反射光线所在直线的斜率为()53325443A.−或−B.−或−C.−或−D.−或−35234534【解析】：选D。,第19页共115页第3讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线方程『秒杀策略』：2222xyyx椭圆：+=>>1(ab0)表示焦点在x轴的椭圆标准方程；+=>>1(ab0)表2222abab示焦点在y轴的椭圆标准方程。判断焦点所在轴秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。几何性质：①关于x轴、y轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。222②abc=+，下图中对应的特征直角三角形。．．．．．．．．．．．．．B2OF2应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心，以半长轴为半径作圆，与长轴的两个交点为椭圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的焦点。．．．．2222xyyx双曲线：−=>>1(ab0,0)表示焦点在x轴上双曲线的标准方程；−=>>1(ab0,0)表示2222abab焦点在y轴的双曲线标准方程。判断焦点所在轴秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。几何性质：①关于x轴、y轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。,第20页共115页222②cab=+，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形；抛物线：2①焦点在x轴上：y=±2px;2②焦点在y轴上：x=±2py(p>0)，p表示焦点到准线的距离。判断焦点所在轴秒杀方法：一次对应焦点所在轴。pp③焦点坐标:±,0或0,±。22pp④准线方程:x=±或y=±。22【题型1】：确定圆锥曲线的形状221.(高考题)“mn>>0”是“方程mx+=ny1”表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22xy11【解析】：椭圆方程可化为：+=1，如焦点在y轴上，只需>>0，即m>n>0，所以是充要11nmmn条件，选C。22xy2.(高考题)若k∈R，则“k>3”是“方程−=1表示双曲线”的()k−3k+3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：方程表示双曲线只需(k−3)(k+3)>0，即k>3或k<−3，所以是充分不必要条件，选A。22xy3.(2016年新课标全国卷I5)已知方程−=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，22m+n3m−n则n的取值范围是()A.(−1,3)B.(−1,3)C.(0,3)D.(0,3),第21页共115页2222【解析】：可知焦点在x轴上，m+n+3m−n=4m=4,m=1，需1+n>0,3−n>0，选A。224.(2020年新高考全国卷9)已知曲线Cmx:1+=ny()A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为nmC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为yx=±−nD.若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】：选A、C、D。【题型2】：求圆锥曲线方程22xy51.(2017年新课标全国卷III5)已知双曲线C：−=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为yx=,且与22ab222xy椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为()12322222222xyxyxyxyA.−=1B.−=1C.−=1D.−=1810455443b5【解析】：由椭圆方程得c=3，由渐近线得=，∴b=5,a=2，选B。a22222xyxy2.(高考题)已知双曲线−=1和椭圆+=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两22ab169倍，则双曲线的方程为。27722【解析】：由椭圆方程得c=7，e=，所以双曲线的离心率为，∴a=4,b=3，由双曲线的方4222xy程为：−=1。43,第22页共115页222xy3.(高考题)已知抛物线y=8x的准线过双曲线−=1(a>0,b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率22ab为2，则该双曲线的方程为。【解析】：抛物线的准线为x=2，所以双曲线中c=2，由离心率为2得a=1，焦点在x轴上，所以双曲线22y的方程为x−=1。34.(高考题)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。2【解析】：设拱桥所在抛物线的方程为x=−2py，将点(2,−2)代入得p=1，转化为求点(x,−3)中的x，2将点(x,−3)代入抛物线x=−2y中可得x=6，即水面宽为26米。【题型3】：求圆锥曲线方程中的量222xy1.(2019年新课标全国卷II8)若抛物线y=2px的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=()3ppA.2B.3C.4D.82p【解析】：3p−p=，p=8，选D。422.(2012年新课标全国卷8)已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y=16x的准线交于A、B两点，AB=43，则C的实轴长为()A.2B.22C.4D.8222【解析】：设等轴双曲线方程为x−y=a，抛物线的准线方程为：x=4，联立解得a=2，选C。,第23页共115页π3.(高考题)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=，若AB=4,BC=2，则椭圆的两个焦4点之间的距离为。22π4xy24【解析】：由AB=4得a=2，由∠CBA=与BC=2得C(1,1)，6代入椭圆+=1得b=，2434b3284c=，2c=6。332222xyxy4.(高考题)曲线+=<1(m6)与曲线+=<<1(5m9)的()10−−mm659−−mmA.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同2222xyxy【解析】：+=<1(m6)表示焦点在x轴上的椭圆，+=<<1(5m9)表示焦点在10−−mm659−−mm22xyy轴上的双曲线，化简为−+=<<1(5m9)，可知焦距相等，选A。mm−−592222πxyyx5.(高考题)已知0<<θ，则双曲线C:1−=与C:1−=的()12222224cosθθsinsinθθθsintanA.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等221sinθθ(1tan+)1【解析】：由方程得e=，e==，选D。12cosθsinθθcos2222xyxy6.(高考题)若实数k满足09<<k，则曲线−=1与曲线−=1的()259−k25−k9a.焦距相等b.实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离心率相等2222xyxy【解析】：−=1表示焦点在x轴上的双曲线，−=1表示焦点在x轴上的双曲线，可知焦259−k25−k9距相等，选a。2222xyxy【高考母题】：曲线+=1与曲线+=1的()25925−−kk9a.长轴长相等b.短轴长相等c.离心率相等d.焦距相等,第24页共115页22xy【解析】：当k<9时，+=1表示焦点在x轴上的椭圆，两曲线焦距相等；当25>k>9时，25−−kk92222xyxy+=1可化为−=1，表示焦点在x轴上的双曲线，两曲线焦距相等，选D。25−−kk925−kk−922xy7.(2020年新课标全国卷II9)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：−=l(a>0，b>0)的两条渐近线分22ab别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.321222【解析】：S=a×2b=ab=8,c=a+b≥2ab=16,∴(2c)=8，选B。min2,第25页共115页第4讲秒杀解析几何题型之椭圆的定义『秒杀策略』：动点到两定点(距离为2c)距离之和为定值(2a)的点的轨迹。①2a>2c，椭圆②2a=2c，两定点确定的线段③2a<2c，无轨迹。【题型1】：焦半径焦半径公式：PF=a+ex，PF=a−ex(左加右减)。102022xy1.(高考题)设P是椭圆+=1上的点，若F,F是椭圆的两个焦点，则PF+PF等于()12122516A.4B.5C.8D.10【解析】：利用椭圆的定义得PF+PF=2a=10，选D。1222xy2.(2014年辽宁卷)已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别94为A,B，线段MN的中点在C上，则||||AN+=BN。【解析】：如图,BN=2QF，AN=2QF，||||AN+=BN2(QF+QF)=4a=12。211222xy3.(2019年新课标全国卷III15)设F、F为椭圆C：+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象123620限，若∆MFF为等腰三角形，则M的坐标为。122【解析】：MF=FF=2c=a+ex=6+x=8，x=3，代入得M(3,15)。1120003,第26页共115页【题型2】：焦点三角形周长秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB,与另一个焦点F构造三角形FAB，则FAB的周长等于4a。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.(2011年新课标全国卷14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点FF,在x轴上，离心率122为，过F的直线l交C于AB,两点，且∆ABF的周长为16，那么C的方程为。12222xy【解析】：4a=16,a=4，得方程为：+=1。16822xy2.(高考题)已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于AB,两点，F2A+F2B=12,259则AB=。【解析】：AB=4a−12=8。2x23.(高考题)已知∆ABC的顶点BC,在椭圆+=y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦3点在BC边上，则∆ABC的周长是()A.23B.6C.43D.12【解析】：周长为：4a=43，选C。22xy34.(高考题)已知椭圆C:+=1(ab>>0)的左、右焦点为F、F，离心率为，过F的直线l交22122ab3C于A,B两点，若∆AFB的周长为43，则C的方程为()12222222xyx2xyxyA.+=1B.+=y1C.+=1D.+=1323128124【解析】：4a=43，∴a=3，c=1,b=2，选A。22xy【高考母题】：已知经过椭圆+=1的右焦点F作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A,B两点，F是212516椭圆的左焦点。（1）求∆AFB的周长；1（2）如果AB不垂直于x轴，∆AFB的周长有变化吗？为什么？1,第27页共115页【解析】：（1）20；（2）不变。【题型3】：利用双曲线定义解题『秒杀策略』：1.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a。2.注意定义中两个加强条件：①绝对值；②22ac<。3.加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条)。4.①当22ac<时，表示双曲线；②当22ac=时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22ac>时，无轨迹。5.当20a=时，表示两定点的中垂线。221.(2012年辽宁卷)已知双曲线x−y=1，点F,F为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF⊥PF，1212则PF+PF的值为。1222【解析】：r−r=2,r+r=8,得PF+PF=23。12121252.(高考题)设椭圆C的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C上的点到椭圆C的两个焦点12113的距离的差的绝对值等于8，则曲线C的标准方程为()222222222xyxyxyxyA.−=1B.−=1C.−=1D.−=12222222243135341312【解析】：由双曲线定义得a=4，c=5，b=3，选A。3.(高考题)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F、F，点A在C上，若FA=2FA，则1212cos∠=AFF21()1122A.B.C.D.4343【解析】：由双曲线定义得：FA−FA=2a，FA=2FA，∴FA=4a,FA=2a，1212121FF=2c=4a，由余弦定理得：cos∠=AFF，选A。1221422xy4.(高考题)若双曲线E:1−=的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且PF1=3，则PF2916,第28页共115页等于()A.11B.9C.5D.3【解析】：由双曲线定义得：PF=9，选B。25.(2020年新高考浙江卷8)已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数2y=34−x图象上的点，则|OP|=()22410A.B.C.7D.10252222yyx【解析】：利用定义知P是双曲线x−=1右支与椭圆+=1(y≥0)的交点，联立得选D。3364【题型4】：双曲线焦点三角形秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点F构造三角形FAB，则FAB的周．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．长等于4a+2AB。．．．．．．．．．22xy1.(2013年辽宁卷)已知F为双曲线C:−=1的左焦点，P,Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的9162倍，点A(5,0)在线段PQ上，则∆PQF的周长为。【解析】：4a+2PQ=44。22xy2.(高考题)过双曲线−=1左焦点F的直线交双曲线的左支于M,N两点，F为其右焦点，则1243MF+−NFMN的值为。22【解析】：MF−=MF2a①，NF−=NF2a②，①+②可得MF+−NFMN=4a，而a=2，212122等于8。22xy【高考母题】：已知双曲线−=1(ab>>0,0)的左、右焦点分别为FF,，过F的直线与左支相交22121ab于AB,两点，如果AF+=BF2AB，那么AB=。22【解析】：4a。,第29页共115页【题型5】：利用抛物线定义解题『秒杀策略』：抛物线：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。图形标准y2=2pxp(>0)y2=−2px(p>0)x2=2pyp(>0)x2=−2py(p>0)方程对称轴x轴x轴y轴y轴焦半径ppppPF=x+PF=−x+PF=y+PF=−+y00002222参数p的几何参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越开阔。意义1.(2016年新课标全国卷I10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点，已知AB=42，DE=25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8241622p【解析】：AM=22=yA,8=2pxA，xA=，2+8=DN+ON=5+，p=4，选B。pp4,第30页共115页22.(高考题)抛物线yx=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()17157A.B.C.D.0161681【解析】：由抛物线定义可知：y+=1，选B。1623.(高考题)设抛物线yx=8上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12【解析】：选B。24.(高考题)已知F是抛物线yx=的焦点，AB,是该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()357A.B.1C.D.44411【解析】：由抛物线定义可知：x++x+=3，选C。12445.(2020年新课标全国卷I4)已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A.2B.3C.6D.9p【解析】：12=9+，p=6，选C。26.(2020年新高考北京卷7)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【解析】：选B。22xy7.(2020年新课标全国卷II19)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的22ab4中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．3（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解析】：（1）由已知可设C的方程为y2=4cx，其中222cab=−.22bb不妨设AC,在第一象限，由题设得AB,的纵坐标分别为，−；CD,的纵坐标分别为2c，aa,第31页共115页222b48bcc2c−2c，||AB=，|CD|4=c.由||||CD=AB得4c=，即3×=−22()，解得=−2a33aaaac11（舍去），=.所以C1的离心率为.a2222xy（2）由（1）知ac=2，bc=3，故C1:122+=，所以C1的四个顶点坐标分别为(2,0)c，43cc(2,0)−c，(0,3)c，(0,−3)c，C的准线为xc=−.由已知得3cccc+++=12，即c=2.222xy2所以C1的标准方程为+=1，C2的标准方程为yx=8.161222xy8.(2020年新课标全国卷II19)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的22ab4中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且CD=AB．3（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．【解析】：（1）由已知可设C的方程为y2=4cx，其中222cab=−.不妨设AC,在第一象限，由题设得222bb2bAB,的纵坐标分别为，−；CD,的纵坐标分别为2c，−2c，故||AB=，|CD|4=c.aaa248bcc2cc1由||||CD=AB得4c=，即3×=−22()，解得=−2（舍去），=.所以C1的离心率为33aaaaa21.22222xyxy（2）由（1）知ac=2，bc=3，故C:1+=，设Mxy(,)，则00+=1，122002243cc43cc22xx004Cy00=4cx，故2+=1.①由于2的准线为xc=−，所以||MF=x0+c，而|MF|5=，故43cc2(5−−cc)4(5)2xc0=−5，代入①得+=1，即cc−−=230，解得c=−1（舍去），c=3.所以C1的243cc22xy2标准方程为+=1，C2的标准方程为yx=12.3627秒杀公式：焦点在x轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,第32页共115页反过来亦成立。．．．．．．．21.(2007年新课标全国卷6)已知抛物线y=2pxp(>0)的焦点为F，点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2xxx=+,则有()213222A.FP+=FPFPB.FP+=FPFP1231232C.2FP=FP+FPD.FP=FPFP·213213【解析】：2xxx=+可知焦半径成等差数列，选C.213秒杀技巧：一般情况下，抛物线中已知到焦点的距离需转化为到准线的距离，已知到准线的距离需转化为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．到焦点的距离。．．．．．．．21.(2014年新课标全国卷I10)已知抛物线C：yx=8的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则||QF=()75A.B.C.3D.222【解析】：利用相似成比例与抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得||QF=3，选C。22.(2017年新课标全国卷II16)已知F是抛物线C:yx=8的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则FN=。2【解析】：yx=8则p=4，焦点为F(20，)，准线lx:2=−，如图，M为F、N中点，知线段BM为梯形AFNC的中位线，∵CN=2，AF=4，∴MB=3，又由定义知MB=MF，且MN=NF，∴FN=6。lyCNBMAOFx2p秒杀公式：作过抛物线焦点且倾斜角为或的弦，两段焦半径分别为：2p,。．．．．．．．．．．．．60°．120°．．．．．．．．．．．．3,第33页共115页21.(2017年新课标全国卷II12)过抛物线C:y=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.33【解析】：斜率为3可知∆MNF为边长为4的等边三角形，则NF=23，选C。22.(高考题)设抛物线yx=8的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为−3，那么PF=()A.43B.8C.83D.16【解析】：由秒杀公式知选B。23.(高考题)设O是坐标原点，F是抛物线y=2pxp(>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则OA为。21【解析】：由秒杀公式得p。224.(高考题)抛物线yx=4的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A.4B.33C.43D.8【解析】：由秒杀公式得43。5.(2020年新高考全国卷13)斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A、B两点，则AB=。16【解析】：。3,第34页共115页第5讲秒杀解析几何题型之焦点三角形椭圆中的焦点三角形。椭圆上任意一点P与两焦点F、F构成的三角形：∆PFF。1212【题型1】：焦点三角形周长及顶角的范围『秒杀策略』：①焦点三角形周长为定值：2(ac+)。②∠=FPFθ,当点P靠近短轴端点时θ增大，当点P靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。12类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P在短轴端点时顶角最大。)。32xy1.(2017年新课标全国卷I12)设A、B是椭圆C+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足3m∠AMB=120°，则m的取值范围是()A.(0,1][9,+∞)B.(0,3][9,+∞)C.(0,1][4,+∞)D.(0,3][4,+∞)【解析】：当03<<m时，椭圆的焦点在x轴上，要使c上存在点m满足∠=amb120，则只需a3≥=tan603，即≥3，得01<≤m；当m>3时，椭圆的焦点在y轴上，要使C上存在点Mbm,第35页共115页am满足∠=AMB120，则≥=tan603，即≥3，得m≥9。故m的取值范围为(0,1][9,+∞),选b3A。【题型2】：焦点三角形面积『秒杀策略』：12θ1焦点三角形面积：S=××=×=2cycybtan（求坐标范围或到坐标轴距离的范围时。）=rrsinθ12222求rr或r−r时。），S=bc,即P与短轴端点重合时面积最大。1212max22xy1.(高考题)已知F1,F2是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，PF1⊥PF2,ab若∆PF1F2的面积为9，则b=。2π2【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：btan=b=9，∴b=3。4【题型3】：焦点直角三角形个数『秒杀策略』：焦点直角三角形：底角为90°，有四个(四个全等，P点为通径端点。)；顶角为90°，即以FF为直径的圆122bc>(>>e0),022与椭圆交点为点P：bce=(=),2。22bce<>>(1),4222xy1.(高考题)F、F是椭圆C:1+=的焦点，在C上满足PF⊥PF的点P的个数为。121284【解析】：b=c，P点的个数是2个。22xy2.(高考题)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为FF,，点P在椭圆上，若PFF,,是一个直角三角形1212169的三个顶点，则点P到x轴的距离为(),第36页共115页9979A.B.3C.D.5742b9【解析】：b>c，所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，P到x轴的距离为通径的一半，即：=，a4选D。22xy3.(高考题)设F、F为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上的一点，已知P,F,F是一个直角三角形121294PF1的三个顶点，且PF>PF，求的值。12PF2【解析】：b<c，所以顶角为直角与底角为直角的均存在；414pf17①如果底角为直角，pf=，pf=，=；2133pf22pf221②如果顶角为直角，rr+=6，rr+=20，rr=4,=2，=2。121212pf2双曲线中的焦点三角形。『秒杀策略』：焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个。2θ焦点三角形面积：sb=.cot(θ为焦点三角形的顶角)=cy⋅（求坐标范围或到坐标轴距离的范围时。）pff1221=rrsinθ（求rr或r+r时。）。等面积思想在解题时非常重要。121212．．．．．．．．．．．．．．22x21.(2015年新课标全国卷i5)已知m(x0,y0)是双曲线c:−y=1上的一点,f1,f2是c的两个焦点,若2mf⋅mf<0,则y的取值范围是()120333322222323a.−,b.−,c.−,d.−,336633332b3【解析】：秒杀方法：当mf⊥mf时，由等面积得：s==1=c⋅y=3⋅y⇒y=，选a。12θ3tan2,第37页共115页222.(高考题)已知f、f为双曲线c:xy−=1的左、右焦点，点p在c上，∠fpf=60°，则1212|pf||⋅=pf|()12a.2b.4c.6d.82b1π【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==3=pfpfsin⇒pfpf=4，选b。1212θ23tan222xy3.(高考题)双曲线−=1的两个焦点为ff,，点p在双曲线上，若pf⊥pf，则点p到x轴的距离1212916为.2b16【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==16=c⋅y=5⋅y⇒y=。θ5tan2224.(高考题)已知f、f为双曲线c:xy−=1的左、右焦点，点p在c上,∠fpf=60°，则p到x轴的1212距离为()36a.b.c.3d.6222b6【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==3=c⋅y=2⋅y⇒y=，选b。θ2tan222y5.(高考题)设p为双曲线x−=1上的一点,f,f是该双曲线的两个焦点,若|pf|:|pf|3:2=则121212∆pff的面积为()12a.63b.12c.123d.24【解析】：设pf=3t，则pf=2t，由双曲线的定义得：t=2a=2，pf=6，pf=4，ff=213,1212122所以由勾股定理得∆pff为焦点直角三角形，所以s=b=12，选b。12,第38页共115页y226.(高考题)设f,f分别是双曲线x−=1的左、右焦点,若点p在双曲线上,且pfpf⋅=0,则12129pf+=pf()12a.10b.210c.5d.25【解析】：由向量中线定理得：pf+=pf2po=2c=210，选b。1222y7.(2020年新课标全国卷i11)设ff12,是双曲线cx:1−=的两个焦点，o为坐标原点，点p在c上且3||2op=，则△pff的面积为()1275a.b.3c.d.2221【解析】：由po=ff，得pf⊥pf，选b。1212222xy8.(高考题)已知双曲线c:1−=的左,右焦点分别为ff,,p为c的右支上一点,且pf=ff,则12212916∆pff的面积等于()12a.24b.36c.48d.96【解析】：pf=ff=10，由双曲线定义得：pf=16，∆pff是等腰三角形，底边上的高为6，所以212112面积为48，选c。22xy9.(2020年新课标全国卷iii11)设双曲线c：−=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22ab5，P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则a=()A.1B.2C.4D.822【解析】：S=b=4，a=1，选A。,第39页共115页第6讲秒杀解析几何题型之离心率【题型1】：利用焦点三角形求离心率『秒杀策略』：2c利用定义，求出e=。2a秒杀公式：sin(αβ+)椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，e=(正弦定理)。sinαβ+sinsin(αβ+)双曲线：利用焦点三角形两底角αβ,来表示：e=。sinαβ−sin22xy1.(高考题)在平面直角坐标系xOy中，已知∆ABC顶点A(4,0)−和C(4,0)，顶点B在椭圆+=1上，259sinAC+sin则=。sinBsinAC+sin15【解析】：由秒杀公式得：==。sinBe422xy2.(2013年新课标全国卷II)设椭圆C:1+=(ab>>0)的左、右焦点分别为FF,，P是C上的点，2212abPF⊥FF，∠=PFF30，则C的离心率为()212123113A.B.C.D.63232c3【解析】：设PF=t，PF=2t，则FF=3t，即2a=3t，2c=3t，e==，选D。21122a3sin(90°+30°)3由秒杀公式得：e==，选D。sin90°+sin30°33.(高考题)已知FF,是椭圆的两个焦点，过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点，若∆ABF是正1212三角形，则这个椭圆的离心率是(),第40页共115页3223A.B.C.D.3322【解析】：∆AFF与上题完全相同，选A。1222xy4.(高考题)双曲线−=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是FF,，过F作倾斜角为30°的直线交双曲22121ab线右支于M点，若MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为()23A.6B.3C.2D.32c【解析】：设PF=t，PF=2t，则FF=3t，即2a=t，2c=3t，e==3，选B。21122asin(90°+30°)由秒杀公式得：e==3，选B。sin90°−sin30°5.(高考题)设椭圆的两个焦点分别为FF,,过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若∆FPF为等腰直角三12212角形,则椭圆的离心率是()221−A.B.C.22−D.21−222c2c【解析】：PF2=2c，PF1=22c，则F1F2=2c，即2a=22c+2c，e===2−1，2a22c+2c选D。2sin(90°+45°)2由秒杀公式得：e===2−1，选D。sin90°+sin45°21+26.(高考题)已知正方形ABCD,则以AB,为焦点，且过CD,两点的椭圆的离心率为。【解析】：取一个焦点三角形，同上题，e=2−1。7.(2013年辽宁卷)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,4连接AF、BF，若AB=10,AF=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=。5【解析】：由余弦定理得，得，∴A到右焦点的距离也是8，由,第41页共115页椭圆定义：，，∴。22xy8.(2016年新课标全国卷II11)已知F1,F2是双曲线E:122−=的左、右焦点，点M在E上,MF1与x轴ab1垂直,sin∠=MFF,则E的离心率为()2133A.2B.C.3D.22【解析】：设MF1=1，则MF2=3，F1F2=2C=22，2a=MF2−MF1=2，e=2，选A。22sin(90°+∠MF2F1)cos∠MF2F13由秒杀公式得：e====2，选A。sin90°−sin∠MFF12211−339.(2018年新课标全国卷II)已知F,F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF⊥PF,且∠=PFF60°,121221则C的离心率为()33−1A.1−B.2−3C.D.3−1222c2【解析】：设PF2=1，则PF1=3,F1F2=2，e===3−1，选D。2a3+1sin(90°)1由秒杀公式得：e===3−1，选D。sin60°+sin30°3+1222xy10.(高考题)椭圆Γ+=>>:1(ab0)的左、右焦点分别为FF,，焦距为2c，若直线y=3(xc+)2212ab与椭圆Γ的一个交点M满足∠=MFF2∠MFF，则该椭圆的离心率等于。1221【解析】：同上题，e=3−1。2222xyxy11.(2018年北京卷)已知椭圆M：+=>>1(ab0)，双曲线N：−=1，若双曲线N的两条渐近线与2222abmn椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为。【解析】：设其中一个交点为P，则∆PF1F2为焦点直角三角形，设PF1=1，则有,第42页共115页PF=3,FF=2，椭圆的离心率为e=3−1，双曲线渐近线的倾斜角为60°，双曲线的离心率为21212。22xy12.(高考题)已知FF,是双曲线−=1(a>0,b>0)的两个焦点，以线段FF为边作正三角形MFF，12221212ab若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()13+1A.4+23B.3−1C.D.3+122c2【解析】：设中点为P(右），PF2=1，PF1=3，F1F2=2c=2，2a=3−1，e===3+1，2a3−1选D。sin(90°)1由秒杀公式得：e===3+1，选D。sin60°−sin30°3−1222xr13.(高考题)F和F分别是双曲线−=>>1(ab0,0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF为12221ab半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()5A.3B.5C.D.1+32【解析】：取∆AFF，同上题，e=3+1，选D。1214.(高考题)设是双曲线的两个焦点，若在C上存在一点P使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°，则C的离心率为。【解析】：同上题，e=3+1。22xy15.(高考题)设F,F分别是双曲线−的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠=FAF90且122212abAF12=3AF,则双曲线的离心率为(),第43页共115页51015A.B.C.D.52222c10【解析】：设AF2=1，则AF1=3，F1F2=2c=10，2a=2，e==，选B。2a2316.(高考题)在△ABC中,∠=A90,tanB=.若以AB,为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率4e=。2c4t1【解析】：设AC=3t，则BC=5t，AB=2c=4t，2a=8t，e===。2a8t2451由秒杀公式得：e==。321+517.(高考题)已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以AB,为焦点,且过CD,两点椭圆的离心率为。1【解析】：取一个焦点三角形，同上题，e=。222xy18.(高考题)已知双曲线E:−=1(a>0,b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为22abE的两个焦点，且2AB=3BC，则E的离心率是。【解析】：取一个焦点三角形AFF，设AB=6t，则BC=4t，∴AF=3t，FF=4t=2c，AF=5t，1211222c4t2a=2t，e===2。2a2t19.(高考题)设∆ABC是等腰三角形,∠=ABC120,则以AB,为焦点且过点C的双曲线的离心率为()1+21+3A.B.C.1+2D.1+3222c2c3+1【解析】：AB=BC=2c，∴AC=23c，2a=23c−2c，e===，选B。2a23c−2c2720.(高考题)在△ABC中，AB=BC，cosB=−，若以AB,为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心18率e=．222282100210【解析】：AB=BC=2c，由余弦定理得：AC=4c+4c+c=c，∴AC=c，993,第44页共115页10162c2c32a=c+2c=c，e===。332a168c321.(高考题)设圆锥曲线C的两个焦点分别为FF12,,若曲线C上存在点P满足PF1::FF12PF2=4:3:2,则曲线C的离心率等于()132123A.或B.或2C.或2D.或223232【解析】：设PF1=4t，F1F2=3t，PF2=2t，2c1当曲线为椭圆时，2a=6t，2c=3t，e==；2a22c3当曲线为双曲线时，2a=2t，2c=3t，e==，选A。2a222xy22.(高考题)设FF,是双曲线C：−=1的两个焦点，P是C上一点，若PF+=PF6,a且122212ab∆PFF的最小内角为30，则C的离心率为。12【解析】：设P在双曲线右支上，由双曲线定义得PF−PF=2a，∴PF=4a，PF=2a，2a<2c，1212222且2a<4a，∴∠PFF最小，∠PFF=30°，由余弦定理：(2a)=(4a)+(2c)−2×(4a)×(2c)cos30°,12122224a=16a+4c−3⋅4a⋅2c，e=3。22xy23.(高考题)设F，F分别为双曲线−=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得1222ab9|PF|+|PF|=3b,|PF|⋅|PF|=ab,则该双曲线的离心率为()12124459A.B.C.D.33343b+2a3b−2a【解析】：设P在双曲线右支上，由双曲线定义得PF−PF=2a，∴PF=，PF=，121222229b−4a9b4b15∴=ab，=或=−（舍去），∴e=，选B。44a3a3322xy24.(高考题)椭圆+=1(a为定值,且a>5)的左焦点为F,直线xm=与椭圆相交于点A、B,∆FAB2a5的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是。,第45页共115页【解析】：设右焦点为F，由椭圆定义得：AF+AF+BF+BF=4a，由AF+BF≥AB，∴∆FAB222222的周长的最大值是4a=12，∴a=3，c=2，e=。322xy25.(高考题)设F是双曲线C:−=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的22ab一个端点，则C的离心率为。【解析】：法一：设F是双曲线的左焦点，可得P(c,2b)，代入得e=5。2b法二：设F是双曲线的左焦点，F是双曲线的右焦点，则PF⊥FF，∴=2b，b=2a，e=5。2212a【题型2】：寻找a、b、c的关系求离心率『秒杀策略』：如果建立a,b或b,c或a,b,c的关系，一般情况要通过平方消去b化简为a,c关系求离心率。22xy1.(2018年新课标全国卷I)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(20)，，则C的离心率为()2a411222A.B.C.D.322322【解析】：a=8，e=，选C。22.(2015年新课标全国卷II11)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2【解析】：可得M(±2a,3a)，代入双曲线得a=b,e=2，选D。,第46页共115页3.(2010年新课标全国卷)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()65A.6B.5C.D.22b5【解析】：双曲线的渐近线为y=x，代入点得a=2b，平方得e=，选D。a222xy44.(高考题)已知双曲线−=1的一条渐近线方程为yx=,则双曲线的离心率为()22ab35453A.B.C.D.3342bb45【解析】：双曲线的渐近线为y=x，∴=，∴e=，选A。aa3322xy5.(2019年新课标全国卷I10)双曲线C:−=>>1(ab0,0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心22ab率为()11A.2sin40°B.2cos40°C.D.sin50°cos50°bsin50°1【解析】：=tan50°=，设b=sin50°，a=cos50°，c=1，则e=，选D。acos50°cos50°22xy6.(2019年新课标全国卷I16)已知双曲线C：−=>>1(ab0,0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的22ab直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若FA=AB，FBFB⋅=0，则C的离心率112为。πb【解析】：∠BOF=∠AOF=∠BOA=，=3，设a=1，b=3，则c=2，e=2。213a222xy7.(2019年高考题天津卷)已知抛物线yx=4的焦点为F，准线为l，若l与双曲线−=1的两条渐近22ab,第47页共115页线分别交于点A和点B，且|AB|4|=OF|（O为原点），则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5b2b【解析】：将x=−1代入渐近线y=±x中，得=4，令a=1，则b=2，c=5，选D。aa8.(2011年新课标全国卷7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于AB,两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C.2D.322b22【解析】：AB为通径长，AB==4a，即b=2a，得e=3，选B。a9.(2012年新课标全国卷4)设F1,F2是椭圆的左,右焦点,为直线上一点，∆F2PF1是底角为的等腰三角形，则的离心率为()A.B.C.D.3a3【解析】：PF2=F1F2=2c=2F2A=2−c，得e=，选C。2422xy10.(2019年新课标全国卷II11)设F为双曲线C：−=1的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆22ab222与圆x+y=a交于P、Q两点，若PQ=QF|，则C的离心率为()A.2B.3C..2D.5c【解析】：PQ、OF是互相垂直的直径，OP=a=2×，e=2，选A。2,第48页共115页22xy11.(2016年新课标全国卷III11)已知O为坐标原点，F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点，A,B分22ab别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()1123A.B.C.D.32341OEMFa−c2a1【解析】：由线段成比例得：=，=，得e=，选A。OEaMFa+c322xy12.(2017年新课标全国卷I15)已知双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半22ab径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若∠MAN=60°，则C的离心率为。323【解析】：可得∆MAN为等边三角形，A到渐近线的距离为b，得a=3b，∴e=。233ba23秒杀方法：由==可得(利用焦点到渐近线的距离为)。．．．．．．．．．．．．bcb222xy2213.(2017年新课标全国卷II9)若双曲线C:−=1的一条渐近线被圆(xy−+=24)所截得的弦长为22ab2,则C的离心率为(),第49页共115页23A.2B.3C.2D.32b2b【解析】：由圆心到渐近线的距离为3，即==3，平方得e=2；22a+bcπb秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为，即=3，平方得e=2。3a22xy14.(2017年新课标全国卷III10)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,A，且2212ab以线段AA为直径的圆与直线bxay−+=20ab相切，则C的离心率为()126321A.B.C.D.33332ab6【解析】：因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等于a得：=a，a=3b，e=，选A。a2+b2322xy15.(2018年新课标全国卷II12)已知F1,F2是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点，A是C的左顶ab3点，点P在过A且斜率为的直线上，△PFF12为等腰三角形,∠=°FFP12120，则C的离心率为()62111A.B.C.D.3234()3c3c1【解析】：可得P(2c,3c)，A−a,0，kPA==，得e==，选D。2c+a6a416.(高考题)双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F、F，∠=FMF120,°则双曲线的离心率1212(),第50页共115页663A.3B.C.D.2336【解析】：可得c=3b，∴e=，选B。222xy17.(高考题)过双曲线−=1(ab>>0,0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于MN,两点，22ab以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。2b22【解析】：设右顶点为A2，左焦点为F1，∆MF1A2为等腰直角三角形，可得=a+c，即c−ac−2a=0，a2得e−e−2=0，e=2，e=−1（舍去）。2x218.(高考题)如图，F1,F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二、四象4限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为()yAF2F1OxB36A.2B.3C.D.222θ【解析】：在双曲线中，可得c=3，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得S∆AF1F2=b1⋅tan=1，在22b226双曲线中，S∆AF1F2==b2=1，∴b2=1，a2=2，∴e=，选D。θ2tan222xy19.(高考题)椭圆+=>>1(ab0)的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F,F，若2212abAF,FF,BF成等比数列，则此椭圆的离心率为()1121151A.B.C.D.5−2452,第51页共115页22225【解析】：由FF=AF⋅BF得：4c=a−c，∴e=，选B。1211522xy20.(高考题)从椭圆+=>>1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正221ab半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是()2123A.B.C.D.42222bca2【解析】：AB//OP，∴∆PFO≌∆BOA，∴=，∴b=c，e=，选C。1ab222xy21.(2020年新课标全国卷I15)已知F为双曲线C:−=>>1(ab0,0)的右焦点，A为C的右顶点，B为22abC上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为。2ba【解析】：=3，得e=2。c−a22xy22.(2020年新课标全国卷III14)设双曲线C:−=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率22ab为。b【解析】：=2，设a=1,b=2,c=3，则e=3。a22xy23.(2020年新高考江苏卷6)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线−=>10()a的一条渐近线方程为2a55yx=，则该双曲线的离心率是。23【解析】：。2【题型3】：黄金椭圆『秒杀策略』：251−a,b,c成等比数列，即b=ac⇔∠FBA=90°，椭圆:e=≈0.618，黄金椭圆；12225+1类比：双曲线：e=。2,第52页共115页【题型4】：求离心率范围『秒杀策略』：建立不等式，求出范围。2x21.(2017年新课标全国卷II)若a>1，则双曲线−y=1的离心率的取值范围是()2aA.（2+，∞）B.（22，）C.（1，2）D.（12，）2a+11【解析】：e==1+<2，选C。22aa22xy2.(高考题)已知双曲线−=>>1,(ab0,0)的左右焦点分别为F、F，点P在双曲线的右支上，且2212abPF=4PF，则此双曲线的离心率e的最大值为()12457A.B.C.2D.33325【解析】：由PF12=4PF得24a+=PF22PF，即PF2=≥−aca，1<≤e。33,第53页共115页第7讲秒杀解析几何题型之双曲线的渐近线【题型1】：由双曲线的方程求渐近线『秒杀策略』：2222①已知双曲线方程求渐近线方程：mx−=nyλ⇒−=mxny0;ba②若焦点在x轴上，渐近线为y=±x；若焦点在y轴上，渐近线为y=±x。ab22xy1.(高考题)双曲线−=1的渐近线方程是()492439A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3924【解析】：选C。22y2.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xb−=>1(0)经过点（3,4)，则该双曲2b线的渐近线方程是。2【解析】：代入得b=2，渐近线方程是：yx=±2。22xy53.(2013年新课标全国卷I4)已知双曲线C:−=1(ab>>0,0)的离心率为，则C的渐近线方程为22ab2(),第54页共115页111A.yx=±B.yx=±C.yx=±D.yx=±432c5b1【解析】：由e==，得=，选C。a2a222xy4.(高考题)若双曲线−=1的离心率为3，则其渐近线方程为()22ab12A.y=±2xB.y=±2xC.yx=±D.yx=±22cb【解析】：由e==3，得=2，选B。aa【高考母题】已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为20xy−=，则双曲线的离心率为()5535A.5或B.5或C.3或D.5或4223ba5【解析】：若焦点在x轴上，则有=2，e=5；若焦点在y轴上，则有=2，e=；选B。ab222xy5.(2018年新课标全国卷II5)双曲线−=1(a>0,b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()22ab23A.y=±2xB.y=±3xC.y=±xD.y=±x22【解析】：秒杀方法：设a=1,c=3，则b=2，选A。2222xyxy6.(高考题)已知椭圆C的方程为+=1，双曲线C的方程为−=1，C与C的离心率之积为12222212abab3，则C的渐近线方程为()22A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=02222a−ba+b3b2【解析】：×=，得=，选A。aa2a2,第55页共115页【题型2】：有共同渐近线的双曲线方程的设法2222xyxy『秒杀策略』：−=⇒−=1λ。2222abab22xy【高考母题】：求与双曲线−=1有公共的渐近线，且经过点A(−3,23)的双曲线的方程。9162222xy14xy【解析】：设双曲线方程为：−=λ，代入点A得λ=，双曲线方程为：−=1。9164942y21.(高考题)设双曲线C经过点(2,2)，且与−=x1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方4程为。222y2xy【解析】：设双曲线方程为：−x=λ，代入点(2,2)得λ=-3，双曲线的方程为：−=1，渐近线4312方程为y=±2x。【题型3】：由已知渐近线方程设双曲线方程22『秒杀策略』：axby±=⇒0()()ax−by=λ。11.(2015年新课标全国卷II)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程2为。22x2x2【解析】：设双曲线方程为：−y=λ，将点(4，3)代入得λ=1，所以双曲线方程为−y=1。442.(高考题)若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是。2222xyλ【解析】：设双曲线方程为：9x−y=λ，因为焦点在x轴上，化简为−=1，+λ=10得λ=9，λλ9922y双曲线方程为：x−=1。9,第56页共115页22xy23.(2020年新高考天津卷7)设双曲线C的方程为−=>>1(ab0,0)，过抛物线yx=4的焦点和点22ab(0,)b的直线为l，若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()2222xy2yx222A.−=1B.x−=1C.−=y1D.xy−=14444222【解析】：渐近线垂直可知为等轴双曲线，设方程为：x−y=a，可知b=1，选D。【题型4】：双曲线的焦点到渐近线的距离『秒杀策略』：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长()b。秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22xy1.(高考题)已知双曲线C:−=1(ab>>0,0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径22ab是()22A.abB.a+bC.aD.b【解析】：以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离b，选D。22xy2222.(高考题)双曲线−=1的渐近线与圆(x−3)+y=r(r>0)相切，则r=()63A.3B.2C.3D.6【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=3，选A。22xy3.(高考题)以双曲线−=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程()9162222A.xyx+−+=1090B.xyx+−+=101602222C.xyx+++=10160D.xyx+++=1090,第57页共115页【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=4，选A。22xy4.(高考题)已知双曲线−=>>1(ab0,0)的两条渐近线均和圆C:相切，且双曲22ab线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.B.C.D.【解析】：c=3，r=b=2，∴a=5，选A。5.(2007年新课标全国卷13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。c6【解析】：由相似成比例可得：==3。或由上面的秒杀公式直接得到答案。a22x26.(高考题)双曲线−=y1的顶点到其渐近线的距离等于()4242545A.B.C.D.5555【解析】：由上题，选C。22xy7.(2009年新课标全国卷4)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为()412A.23B.2C.3D.1【解析】：由秒杀公式得b=23，选A。228.(2014年新课标全国卷I4)已知F是双曲线C:x−=>my3(mm0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m【解析】：由秒杀公式得b=3，选A。22xy29.(高考题)已知双曲线−=1的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线24b,第58页共115页的距离等于()A.5B.42C.3D.5【解析】：抛物线与双曲线的焦点为(3，0)，则b=5，所以双曲线焦点到其渐近线距离等于5，选A。22xy10.(2018年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线−=>>1(ab0,0)的右焦点Fc(,0)到一22ab3c条渐近线的距离为，则其离心率的值是。23c【解析】：=b，设c=2,b=3,a=1，所以离心率为2。222xy11.(高考题)已知双曲线−=>>1(ab0,0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交22ab于A,B两点，设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d和d，且dd+=6，则双曲线的方程为1212()22222222xyxyxyxyA.−=1B.−=1C.−=1D.−=14121243993【解析】：秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为3，即b=3，选C。2x212.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线C:−y=1，O为坐标原点，F为C的右焦点,过F的直线与3C的两条渐近线的交点分别为M,N，若∆OMN为直角三角形，则MN=()3A.B.3C.23D.423π【解析】：渐近线方程为yx=±，∵∆OMN为直角三角形，假设∠=ONM，ON=3,32π∴∠=MON，∴MN=3，选B。322xy13.(2018年新课标全国卷III11)设FF，是双曲线C:−=1(a>0,b>0)的左，右焦点，O是坐标原1222ab点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若PF=6OP，则C的离心率为()21,第59页共115页A.5B.2C.3D.2【解析】：||PF=b,||PO=a，又因为|PF|=6|OP|，所以||6PF=a，在RtPOF∆中，2112222||PFb||||||PF+−FFPFb22121cosθ==，∵在∆PFF中，cosθ==，12||OFc2|⋅⋅PF||FF|c2212222bc+−4(6)ab2222222222∴=⇒+−=⇒−=−bcabcaca4644633⇒=ca3⇒=e3。22bc⋅c22xy14.(高考题)双曲线−=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线，点B为该22ab双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=.【解析】：OA⊥OC，∴e=2，即a=b，而b=2，∴a=2。22xy15.(2020年新高考北京卷12)已知双曲线C:1−=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其63渐近线的距离是。【解析】：(3，0)，3。,第60页共115页第8讲秒杀解析几何题型之直线与圆锥曲线『秒杀策略』：答题规范模板:Step1：设直线方程：注意设直线的技巧。①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为y=kx+b；②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为x=my+n；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。)。Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。Step3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出∆>0(∆≥0)）。Step4：转化已知条件，转化为两根的关系。Step5：把根与系数的关系代入转化的条件中。※注：若题目中不涉及根与系数，则step4\step5可省略。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。,第61页共115页221+∆k弦长公式：直线与曲线联立，若消y，转化为关于x的一元二次方程，ax++=bxc0,则弦长=；a121()+∆2k若消x，则转化为关于y的一元二次方程:ay++=byc0,则弦长=。a【题型1】：直线与椭圆的位置关系22『秒杀策略』：直线l:Ax+By+C=0，椭圆C:mx+=>>≠ny1(m0,n0,mn)；∆>0,相交AxByc++=0判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：⇒∆=0,相切。22mx+=ny1∆<0,相离1.(高考题)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。2222xyxy【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：+=1，代入点A得椭圆方程为+=1。22aa−41612法二：（最佳方法）左焦点为(-2,0)，则A到两焦点距离分别为：3、5；所以2a=8，a=4，所以椭圆方程为22xy+=1。16123(2)step1：设直线：假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t；23y=x+t222Step2：直线方程与椭圆方程联立：由，得3x+3tx+t-12=0；22xy+=1161222Step3：判别式：因为直线l与椭圆有公共点，有∆=（3t)-43(t-12)×≥0，解得−43t43≤≤；|t|Step4：利用已知条件：由直线OA与l的距离4得：=4，t=213±，由于±∉213[43,43]−，9+14,第62页共115页所以符合题意的直线l不存在。2x22.(2007年新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆+=y12有两个不同的交点P和Q。（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量OPOQ+与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由。【解析】：（1）)step1：设直线：直线ly:2=kx+；y=kx+2122Step2：直线方程与椭圆方程联立：由x2得+kx+22kx+=10；+y2=12222Step3：判别式：由∆>0得k∈−∞−,,+∞。22（2）Step4：转化已知条件：42kOPOQ+=++(xxyy121,2),x1+x2=−2,y1+y2=k(x1+x2)+22,AB=−(2,1)；1+2kStep5：把根与系数的关系代入转化的条件中：222利用共线可得k=，因为k∈−∞−,,+∞，故不存在。22222xy3.(2010年新课标全国卷)设FF,分别是椭圆E:+=1(ab>>0)的左、右焦点，过F斜率为1的12221ab直线l与E相交于AB,两点，且AF，AB，BF成等差数列。22（1）求E的离心率；（2）设点P(0,1−)满足PA=PB，求E的方程。4【解析】：（1）AF++=BFAB4a，2AB=AF+BF,AB=a；22223step1：设直线：l:yxc=+；,第63页共115页yxc=+2222222Step2：直线方程与椭圆方程联立：由xy22,化简后得(a++bx)2acxac+−=(b)0；+=122ab2222−2acacb()−Step3：韦达定理：xx+=,xx=；12221222ab+ab+2244abStep4：代入弦长公式：直线AB斜率为1，AB=2x−=x2[(x+−x)4xx]，得a=,211212223ab+2222cab−2ab=2，∴E的离心率e===；aa222xy（2）利用AB的中垂线过P点，得椭圆方程为：+=1。189【题型2】：直线与双曲线的位置关系『秒杀策略』：相切:联立∆=0①第一角度:相交:0∆>或平行于渐近线;相离:0∆<或与渐近线重合无交点:与渐近线重合或∆<0②第二角度:(从交点个数)一个交点:∆=0或平行于渐近线;二个交点:>0∆二次项系数不为0二次项系数不为0∆>0∆>0如交到同一支上条件的限定：右支：；左支：。xx+>0xx+<01212xx12.0>xx12.0>或者直接利用与渐近线的关系旋转得到。221.(高考题)直线ly:1=kx+与双曲线C：21xy−=的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。,第64页共115页y=kx+122【解析】：Step1：直线方程与双曲线方程联立：得：(k−2)x+2kx+2=0；222x−y=12k−2≠02∆=16−4k>02kStep2：判别式：由x+x=−>0得−2<k<−2；122k−22xx=>0122k−2（2)Step3：条件转化：以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，等价于FA⊥FB，即FA⋅FB=0，22代入坐标得：(k+1)xx+(k−c)(x+x)+c+1=0；121226+66−6Step4：把根与系数的关系代入转化的条件中：5k+26k−6=0，得k=−或k=（舍去）。55【题型3】：直线与抛物线的位置关系『秒杀策略』：∆>0相交:平行于对称轴①第一角度:位置关系：相切:∆=0;相离:∆<0∆=0,相切一个交点:平行于对称轴②第二角度:交点个数：二个交点:∆>0无交点:∆<01.(高考题)抛物线线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,点P(1,2)、A(xy,)、B(,)xy均在抛物线上。1122（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求yy+的值及直线AB的斜率。1222【解析】：（1）设抛物线的方程为：y=ax，代入点P得抛物线的方程为：yx=4，其准线为：x=−1;,第65页共115页（2）法一：step1：设直线：AB：y=kx+b；y=kx+b244bStep2：直线方程与抛物线方程联立：，得y−y+=0；2y=4xkk44bStep3：韦达定理：y+y=，yy=；1212kky−2y−212Step4：转化已知条件：+=0，得y+y=−4；12x−1x−112Step5：代入根与系为关系：k=−1。AB22yy法二：抛物线特有方法（绕开直线与抛物线联立，设点的技巧。）：设A1,y，B2,y，4142y−2y−2y−y41221k+k=0，则有+=0，得y+y=−4，k===−1。PAPB2212AB22y1y2y2y1y1+y2−1−1−4444222.(2018年新课标全国卷I8)设抛物线C:y=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为的直线与C交于3M,N两点，则FMFN⋅=()A.5B.6C.7D.82【解析】：Step1：直线与抛物线方程联立：MN的方程为yx=(+2)，设MxyNxy(,11),(,22)，与抛物线32yx=(+2)x=1x=412方程联立有3，得或；yx2=4y1=2y2=4Step2：代入：∴FM=(0,2),FN=(3,4)，∴FMFN⋅=×+×=03248。,第66页共115页第9讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线直角弦直角弦定义：直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若存在点P，使得PA⊥PB，则弦AB叫做相对于点P的直角弦。直角弦有三种考法：①PA⊥PB⇔以AB为直径的圆过点P⇔PA⋅PB=0；②∠APB是钝角⇔点P在以AB为直径的圆内⇔PA⋅PB<0；③∠APB是锐角⇔点P在以AB为直径的圆外⇔PA⋅PB>0；【题型1】：椭圆中的直角弦『秒杀策略』：方法一答题规范模板：Step1：设直线AB的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：利用PA⋅PB=0，把根与系数的关系代入。方法二答题规范模板：Step1：设直线PA的方程；,第67页共115页Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；1Step3：利用根与系数的关系求出点A的坐标，把点A的坐标中的k换为−得到点B的坐标；kStep4：由两点式求出AB的方程，进而求出直线AB的特点。【题型2】：相对于椭圆中心的直角弦『秒杀策略』：22直线l与曲线mx+ny=1交于A,B两点，若OA⊥OB(O为曲线中心)，则称AB为相对于中心O的直1角弦，由xx+yy=0，得秒杀公式：中心O到直线l的距离为定值：d=。1212．．．．．．．．．．．．．m+n22xy1.(2008年新课标全国卷20)在直角坐标系xOy中，椭圆C:+=>>1(ab0)的左、右焦点分别为F、1221ab25F，F也是抛物线Cyx:4=的焦点，点M为C与C在第一象限的交点，且MF=。2221223（1）求C的方程；1（2）平面上的点N满足MN=MF+MF,直线l//MN，且与C交于A、B两点，若OAOB⋅=0，求直121线l的方程。52226【解析】：（1）MF==+⇒=xx1,，代入抛物线得M，，M到(1,0,)(−1,0)距离之和23MM33322xy为24a=，得C:+=1。143（2）由MN=MF+MF=2MO，所以k=k=6，12MNMOstep1：设直线方程：设l:y=6x+t;y=6x+t22xyStep2：直线与曲线联立：直线y=6x+t与椭圆+=1联立：x2y2，化简得：43+=143,第68页共115页2(2)27x+86tx+4t−3=0；86tStep3：写出根与系数的关系：设交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，由韦达定理得：x1+x2=−，27(2)4t−3xx=−；1227Step4：利用OA⋅OB=0：由xx+yy=0，yy=(6x+t)(6x+t)，得t=±23。12121112t1秒杀方法：由点到直线的距离=，得t=±23。711+43【题型3】：相对于其它点的直角弦『秒杀策略』：利用PA⋅PB=0。22xy秒杀公式：2+2=1上一点P(x0,y0)，过P作互相垂直的两条直线PA,PB，与椭圆交于A,B两点，ab2222a−bb−a则AB恒过定点x,y。220220a+ba+b秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，2222a−bb−a使PA⋅PB=0，会出现一个固定型关系式：(kx−y+m)kx−y+m=0（记住，．．．．．．00a2+b20a2+b20．．因运算较繁琐.)，即kx−y+m=0，AB恒过定点(x,y)（舍去），注意：若条件中以PA⋅PB=0或以0000．．2222a−bb−aAB为直径的圆过点P的形式给出，则不能舍去，答案有两个值。或kx−y+m=0，220220a+ba+b2222a−bb−aAB恒过定点x,y。220220a+ba+b22xy21.(2020年新高考全国卷22)已知椭圆C：+=>>1(ab0)的离心率为，且过点A（2，1）．22ab2（1）求C的方程：,第69页共115页（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值。22412222xy【解析】：（1）代入点A得+=1，另a=2b，得a=6，b=3，∴C的方程为+=1。22ab63（2）step1：两类特殊直线均满足，两种设法均可，最后补回不能表示的直线：当斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m；222Step2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立得(1+2k)x+4kmx+2m−6=0；24km2m−6Step3：写出根与系数的关系：设M(x,y)，N(x,y)，则有：x+x=−，xx=；11221221221+2k1+2kStep4:转化关系：AM⋅AN=0,(x−2)(x−2)+(y−1)(y−1)=0，得(2k+3m+1)(2k+m−1)=0，121221A(2，1)不在直线MN上，∴2k+m−1≠0，∴2k+3m+1=0，MN的方程为ykx=−−≠()(k1)，∴3321MN过点P(,)−；33当直线MN与x轴垂直时，可得Nxy(,)−，由AMAN⋅=0得(xx−2)(−+−−−=2)(yy1)(1)0，又11111122xy112221+=1，可得3840xx11−+=，解得x1=2（舍去），x1=，此时直线MN亦过点P(,)−。6333341122令Q为AP的中点，即Q(,)，若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，||||DQ=AP=，3323141若D与P重合，则||||DQ=AP，综上，存在点Q(,)，使得||DQ为定值。233秒杀方法：利用前面秒杀方法很快可以做出。222.(2014年辽宁卷)圆xy+=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小22xy时，切点为P(如图)，双曲线C:1−=过点P且离心率为3。122ab（1）求C的方程；1（2）椭圆C过点P且与C有相同的焦点，直线l过C的右焦点且与C交于A,B两点，若以线段AB为2122直径的圆过点P，求l的方程。,第70页共115页822【解析】：（1）设P(x,y)，则切线方程为：xx+yy=4，S=，x+y=4≥2xy，当且仅当00000000xy002222yx0=y0时等号成立，即x0=y0=2，代入双曲线方程中，可得a=1,b=2，C1的方程为x−=1。222xy（2)可得椭圆方程为：+=1；63step1：设直线方程：斜率为0的直线不满足，设l:x=ky+3;22Step2：直线与曲线联立：直线与曲线联立得：(k+2)y+23ky−3=0，设交点A(x,y)、B(x,y)；1122−23ky3Step3：写出根与系数的关系：由韦达定理得：x+x=，xx=−；122122k+2k+236636Step4：利用PA⋅PB=0：代入得k=−1或k=−+1，∴l为:x−−1y−3=0或2226x+−1y−3=0。2秒杀方法：直线与曲线联立，利用OA⋅OB=0，代入根与系数的关系，得一固定关系式：366(2−2k−3)(2+2k−33)=0，即k=−1或k=−+1。2222xy23.(高考题)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0，2)，且离心率为。22ab2（1）求椭圆E的方程；9（2）设直线x=my−1,(m∈R)交椭圆E于A,B两点，判断点G−,0与以线段AB为直径的圆的位置4关系，并说明理由。,第71页共115页22xy【解析】：（1）椭圆方程为：+=1。4222（2）Step1：直线与曲线联立：直线与椭圆联立得：(m+2)y−2my−3=0；2mStep2：写出根与系数的关系：设交点A(x,y)、B(x,y)，由韦达定理得：x+x=，1122122m+23xx=−；122m+2217m+2Step3：验证GA⋅GB的符号：代入得GA⋅GB=>0，所以G在圆外。216(m+2)224.(高考题)已知椭圆C：xy+=24.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆22xy+=2的位置关系，并证明你的结论。2【解析】：（1）e=；2(2)Step1：因A、B在不同的曲线上，设A(x,y)，B(t,2)；00Step2：转化关系：由xx+yy=0，得tx+2y=0；121200Step3：验证关系：直线AB方程为：(y−2)x−(x−t)y+2x−ty=0，则圆心到直线的距离0000222x0−ty0x0y0d=，由+=1，tx+2y=0，得d=2，相切。00(y−2)2+(x−t)24200【题型4】：抛物线相对于原点的直角弦『秒杀策略』：2抛物线中相对于曲线中心的直角弦：直线l交y=2px(p>0)于A(x,y)，B(x,y)两点(注意设点技1122．．．．．巧），O为原点，若OA⊥OB，把AB叫做相对于O的直角弦，得秒杀结论：．2①直线l恒过定点(2,0p)，yy=−4p，反之亦然。12,第72页共115页222y1y2推导过程：设直线AB：x=my+n，与抛物线联立得：y−2pmy−2pn=0，设A,y、B,y，2p12p22由OA⋅OB=0，得yy=−4p=−2pn，n=2p，恒过定点(2,0p)。122②∆AOB面积的最小值为：4p;12222推导过程：先证明恒过定点(2,0p)，S=×2p×y−y=p(y+y)−4yy=p4pm+16p，12121222当m=0时，即x=2p时，S=4p。min22③OM⊥AB,M点的轨迹为：x+=y2pxx(≠0);yy推导过程：先证明恒过定点(2,0p)，设M(x,y)，则有kOM⋅kAB=−1，即×=−1，化简即得。xx−2p2④弦AB的中点N的轨迹方程为：y=px(2)−p。y中推导过程：先证明恒过定点(2,0p)，利用点差法可得y中k=p，即y中×=p，化简即得。x−2p中21.(2017年新课标全国卷III20)已知抛物线y=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P(4,−2)，求直线l与圆M的方程。【解析】：（1）Step1：设直线方程：当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意，设lx:2=my+;2yx=22Step2：直线与曲线联立：联立：，得y−2my−=40;x=my+222yyStep3：根与系数的关系：A1,y，B2,y，y+y=2m，yy=−4;1212122222yyStep4：代入条件验证：OA⋅OB=12+yy=0，∴OA⊥OB，即O在圆M上。124y+2y+212PA⋅PB=×=01（2）若圆M过点P，则y2y2，化简得2mm2−−=10，得m=−或1。1−42−4222,第73页共115页92218522则圆Mx:(−++=)(y)或Mx:(−+−=3)(y1)10。42162秒杀方法：由（1）知圆过O,P两点，PO的中垂线的方程为：2x−y−5=0，圆心为A,B的中点(m+2,m),1代入2x−y−5=0得m=−或1。222.(2020年新课标全国卷III7)设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y=20pxp(>)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()11A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D.（2，0）42【解析】：秒杀方法：DE恒过定点(2p,0)，即2p=2，p=1，选B。【题型5】：相对于其它点的直角弦『秒杀策略』：利用PA⋅PB=0。2秒杀公式：y=2px上一点P(x,y)，过P作互相垂直的两条直线PA,PB，与抛物线交于A,B两点，00则AB恒过定点(2p+x,−y)。00秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，使PA⋅PB=0，会出现一个固定型关系式：k(2p+x)+y+m=0（记住，因运算较繁琐.)，即．．．．．．00．．AB恒过定点(2p+x,−y)。00,第74页共115页第10讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线焦点弦焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A、B，弦AB叫做曲线的焦点弦。椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式。【题型1】：焦点弦长公式『秒杀策略』：22b2a2b焦点弦长公式：(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：(最短焦点弦)。221−ecosθa22y1.(2017年新课标全国卷I)已知F是双曲线C:x−=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，3点A的坐标是(1,3)，则∆APF的面积为()1123A.B.C.D.32322b13【解析】：PF==3，而P（2，0），S=×2−1×3=，选D。a22,第75页共115页22xy2.(2008年新课标全国卷)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于AB,两点，O为坐54标原点，则∆AOB的面积为。【解析】：法一：利用弦长公式（一般弦长公式）求出AB，再利用O到直线距离求出高，可求出三角形的面积.8555215法二：由焦点弦长公式得：AB==，d=，S=×d×AB=。∆AOB2435232554法三：直线方程为：yx=22−，与椭圆联立可得两个交点的坐标(0,2−),,，从图中可直观得到3315S=×c×y−y=。∆AOB1223【题型2】：焦点弦中的定值『秒杀策略』：112a焦点弦被焦点分成两部分mn,，则+=(定值)(取通径即可)。2mnb22y1.(高考题)设F1,F2分别是椭圆E:x+2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点f1的直线交椭圆e于a,b两b点，若af1=3bf1,af2⊥x轴，则椭圆e的方程为。2112a2222b222【解析】：设bf1=t，则有+=2=2,t=b，af1=2b=2a−=2−b，得b=。t3tbb3a32.(2019年新课标全国卷i10)已知椭圆c的焦点为ff12()−1,0，()1,0，过f2的直线与c交于a、b两点，若af2=2f2b，ab=bf1，则c的方程为()2222222x2xyxyxya.+=y1b.+=1c.+=1d.+=12324354【解析】：法一：设bf=t，则af=2t，ab=bf=3t,利用椭圆定义得：bf+bf=4t=2a，22112a1232a22t=，则有+==，2a=3b，而c=1，选b。22aaab,第76页共115页1法二：由法一可知af=a，a为椭圆的顶点，设∠fao=θ，则sinθ=，在∆afb中，由余弦定理211a1222得cos2θ==1−2sinθ=1−，得a=3，选b。23a【题型3】：离心率与焦点弦的关系『秒杀策略』：λ−1焦点弦被焦点f分为两段af、bf,af=λbf，则有ecosθ=(θ为直线与焦点所在轴的夹角)。λ+1※圆锥曲线中简答题中已知ap=λpb(a,b为直线与曲线两交点。)条件时，规范答题模板。step1：设(或写出)直线ab的方程；step2：直线方程与曲线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程(如果p为x轴上的点，则整理成关于y的一元二次方程，反之整理成关于x的一元二次方程。)；step3：写出根与系数的关系；step4：利用ap=λpb，找x,x(或y,y)的关系，代入根与系数的关系中，消去x,x(或y,y)，建立12121212关于参数的方程。x2y21.(2014年新课标全国卷ii20)设f，f分别是椭圆c：+=>>10(ab)的左、右焦点，M是C上12ab22一点，且MF与x轴垂直，直线MF与C的另一个交点为N。213（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；4（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5FN，求a,b。1,第77页共115页2ba322221【解析】：（1）=，得2b=3ac，即2c+3ac−2a=0，2e+3e−2=0，e=或e=−2（舍2c42去）；2b3（2）由三角形中位线可知：MF2==4，N−c,−1，代入椭圆中得：a=7,b=27。a222xy2.(2010年辽宁卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A,B两22ab点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB。（1）求椭圆C的离心率；15（2）如果AB=，求椭圆C的方程。4【解析】：（1）Step1：设出直线AB的方程：设AxyBxy(,),(,)，由题意知y＜0，y＞0，直线l的方112212程为y=3(xc−)；y=3(xc−),22224Step2：直线与曲线方程联立：直线与曲线联立：xy22得(3a++by)23bcy−=3b0，+=122ab2423bc−3bStep3：韦达定理：y1+y2=−22，y1y2=22；3a+b3a+b23b2c12b4c2c22Step4：因为AF=2FB，所以−=yy122，得−y2=22，y2=222，消去y2得e==。3a+b(3a+b)a312−112秒杀方法：由秒杀公式得：e×==，得e=。22+1331c25515（2）因为AB=+−1yy，由=得ba=，所以a=，得a=3，b=5，椭圆C的方213a334422xy程为+=1。95222b2b215aa9b222秒杀方法：AB====，即5a=3b，得5a=9b，即a=3，b=5，椭圆C的41284a1−e49,第78页共115页22xy方程为+=1。95233.(2019年新课标全国卷I19)已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A、B，2与x轴的交点为P。（1）若AF+BF=4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求AB。3【解析】：（1）设直线l方程为：y=xm+，Axy(11,)，Bxy(22,)，由抛物线焦半径公式得：2335y=xm+22AF+BF=++=x12x4，∴+=xx12，联立2得：9x+−+=(12mxm12)40，22yx2=312m−125737∴+=−xx12=，解得：m=−。∴直线l的方程为：yx=−。928282（2）Step1：设直线l方程为：x=yt+；32x=yt+2Step2：联立3得：y−2y−3t=0；yx2=3Step3：韦达定理：y+y=2，yy=−3t；1212Step4：AP=3PB，y=−3y，y=−1，y=3，t=1，则代入弦长公式得：12214213413AB=+⋅1(y1+y2)−4yy12=⋅+=412。933抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式【题型4】：焦点弦两端点坐标定值关系『秒杀策略』：22过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则：yy=−p，AB2pxx=。(焦点在y轴上的性质对比给出。)AB4,第79页共115页2引伸：M(,0)a(a>0)在抛物线y=2pxp(>0)的对称轴上，过M的直线交抛物线于两点。AxyBxy(,),(,)，yy.=−2pa(定值)。112212【题型5】：焦点弦长。『秒杀策略』：2p|AB|=(α是直线AB与焦点所在轴的夹角)（小题或简答题用于验证答案。）=xxp++(焦点在x212sinα轴正半轴上)(其它三种同理可以推导。)（简答题常用。），焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p)最短。【题型6】：焦点弦被焦点分成两段焦半径的关系及焦半径公式『秒杀策略』：112λ−1ppAF=λBF，则有：+=(定值)。cosθ=，AF=，BF=(θ为|AF||BF|pλ+11−cosθ1+cosθ直线与焦点所在轴的夹角。)。21.(2013年新课标全国卷II)设抛物线Cy:4=x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点，若AF=3BF，则l的方程为()33A.yx=−1或y=−x+1B.yx=(−1)或yx=−−(1)3322C.yx=3(−1)或yx=−−3(1)D.yx=(−1)或yx=−−(1)22112162p3【解析】：法一：由+=，得AB==，得sinθ=，k=3或−3，选C。2|AF||BF|p3sinθ2λ−11π2π秒杀方法：cosθ==，∴θ=或θ=，选C。λ+1233,第80页共115页【题型7】：由焦点弦围成图形的面积『秒杀策略』：22p2p面积：S=，过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为M、N。S=(θ是直线AB与∆AOBAMNB32sinθsinθ焦点所在轴的夹角。)。1.(2014年新课标全国卷II10)设F为抛物线C:yx2=3的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则∆OAB的面积为()3393639A.B.C.D.483242p9【解析】：代入公式S=中，得，选D。∆AOB2sinα4【题型8】：以焦点弦为直径的圆的性质『秒杀策略』：过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为M、N。以AB为直径的圆与准线相切，切点为MN中点Q，AQ,BQ分别是抛物线的切线，并且分别是∠MAB,∠NBA的角平分线。21.(2018年新课标全国卷III16)已知点M(−1,1)和抛物线C:y=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=。x=my+1【解析】：依题意得，抛物线C的焦点为F(1,0)，设直线AB：x=my+1，与抛物线联立：，得2y=4x222y1y2y−4my−4=0，设A,y、B,y，y+y=4m，yy=−4，由MA⋅MB=0，代入根与414212121系数的关系，得m=，即k=2。21或由性质知AB中点的纵坐标为1，即4m=2，得m=，即k=2。2,第81页共115页秒杀方法：以AB为直径的圆与准线相切，而M在准线上，∴M是切，知AB中点的纵坐标为1，由点差法得y×k=p，∴k=2。中22.(2018年新课标全国卷II19)设抛物线C:y=4x的焦点为F，过F且斜率为kk(>0)的直线l与C交于A,B两点，AB=8。（1）求l的方程；（2）求过点A、B且与C的准线相切的圆的方程。=ykx(−1)【解析】：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为ykx=−>(10)(k)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由2,yx=422222224k+得kx−++=(24k)xk0,∆=16k+>160，故x+=x，122k2244k+44k+所以|AB||=AF||+BF|=+++=(x1)(x1)，由题设知=8，解得k=−1(舍去)，k=1，因此l1222kk的方程为yx=−1。2p42秒杀方法：AB===8，得sinθ=，k=1。22sinθsinθ2（2）由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为yx−=−−23()，即yx=−+5，2AB2设所求圆的圆心坐标为(xy,)，r=圆心到准线的距离=x+1，r=+圆心到直线AB距离的平方，0002yx=−+5,00x0=3x0=11(yx−+1)2，解得或，200y=2y=−6(x0+=1)+160022222因此所求圆的方程为(xy−+−=3)(2)16或(xy−++=11)(6)144。【题型9】：如图两圆的性质『秒杀策略』：以MN为直径的圆与AB相切，切点为焦点F。以焦半径为直径的圆与y轴相切。21.(2013年新课标全国卷II11)设抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF=5|，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(),第82页共115页2222A.y=4x或y=8xB.y=2x或y=8x2222C.y=4x或y=16xD.y=2x或y=16xppp【解析】：可知M的横坐标为5−，纵坐标为：2p(5−)，(0,2)是切点，即2p(5−)=4，得p=2222或p=8，选C。1086MA42QR-10-5KOF510-2NB-4-6第11讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线中点弦圆、椭圆、双曲线的中点弦问题。『秒杀策略』：22注：方程：mx+=ny1①当m,n>0且m≠n时，表示椭圆②当m,n>0且m=n时，表示圆③当m,n异号时，表示双曲线。点差法：答题规范模板：22step1：设直线与曲线：设直线ly:=kxt+与曲线：mx+=ny1交于两点A、B，AB中点为P(x,y)，中中则有AB,既在直线上又在曲线上，设A(x1,y1),B(x2,y2)；,第83页共115页22y11=kx+tmx11+=ny1......(1)Step2：代入点坐标：即;；22y22=kx+tmx22+=ny1......(2)ym中Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：k..=−=kk。(作为公式记住，在小题中直接用。)ABABOPxn中【题型1】：求值，利用结论求k或斜率乘积定值22xy1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆G:+=>>1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭22ab圆于A,B两点，若AB的中点坐标为(1，−1)，则E的方程为()22222222xyxyxyxyA.+=1B.+=1C.+=1D.+=14536362727181892−11b22【解析】：由结论可得：×=−，得a=2b，c=3，选D。212a2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于AB,两点，且AB的中点为N(−−12,15)，则E的方程为()22222222xyxyxyxyA.−=1B.−=1C.−=1D.−=136456354()2−150−−15b22【解析】：由结论可得：×=，得5a=4b，c=3，选B。()2−123−−12a3.(高考题)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,−2)和点B，B在第一象限，|AB|=32。（1）求点B的坐标；2x2（2）若直线l与双曲线C:−y=1(a>0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为(4,1)，求a的2a值。ππ【解析】：(1)xB=1+32cos=4，yB=−2+32sin=1，点B的坐标为(4,1)。44,第84页共115页2x2(2)点差法：step1：设直线与曲线：设直线ly:=kxt+与曲线C:−y=1交于两点E、F，EF中点为（4，2a1），则有E、F既在直线上又在曲线上；2x12y=kx+t2−y1=1⋅⋅⋅(1)11aStep2：代入点坐标：即；；2y22=kx+tx22−y=1⋅⋅⋅(2)a22y1中Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：k.=，代入点(4,1)，得a=2。EF2xa中2224.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆C:9x+y=m(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；m（2）若l过点,m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的3斜率，若不能，说明理由。222【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线：设直线ly:=kxt+与曲线C:9x+y=m(m>0)交于两点A、B，AB中点为P(x中,y中)，则有AB,既在直线上又在曲线上，设A(x1,y1),B(x2,y2)；222y11=kx+t9x1+y1=m⋅⋅⋅(1)Step2：代入点坐标：即；；y=kx+t9x2+y2=m2⋅⋅⋅(2)2222Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：k⋅k=−9；OMl2yMm−3mk+km9m−3km（2）设l的斜率为k，由.k=−9①，yM−m=kxM−②，联立得M2,2，xM33(k+9)k+92−6mk+2km18m−6km432得P,，代入椭圆中得：k−8k+18k−72k+81=0，223(k+9)k+9(2)(2)k+9k−8k+9=0，k=4±7，即存在。5.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:(a>b>0)右焦点的,第85页共115页直线x+y−3=0交M于A、B两点，且P为AB的中点，OP的斜率为。（1）求M的方程；（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。2()b122【解析】：(1)代入右焦点c,0可得c=3，仿照前面步骤，由点差法得kOP×kAB=−2=−，a=2b，a222xy椭圆的方程为：+=1。6346222(2)设CD方程：y=x+m，AB、CD方程与椭圆联立，由弦长公式得：AB=，CD=18−2m，3318328−3<m<3，s=abcd=18−2m，当m=0时，smax=6。293结论：平行直线系，过椭圆中心（原点）时弦长最大。k【题型2】：求当ab为定值时，平行弦中点轨迹法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。y中mm法二：利用点差法得：×k=−，即y=−x（过原点的直线在曲线内部的部分）。xnkn中1.(高考题)（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(−2,−2)的椭圆的标准方程；22xy（2）已知椭圆c的方程是+=1(a>b>0)，设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的22ab中点为M，证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。,第86页共115页2222xy22xy【解析】：(1)法一：设椭圆标准方程为：+=1，a=b+4，即椭圆方程为+=1，2222abb+4b42222∵点(−2,−2)在椭圆上，∴+=1，解得b=4或b=−2(舍)，得a=8，即椭圆的方程为：22b+4b22xy+=1。84法二：利用椭圆的定义，点(−2,−2)到两焦点(2,0)、(−2,0)距离之和为2a=42，a=22，b=2。（2）step1：设直线与曲线：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C交于A(xy,)，B(xy,)两点；1122y=kx+m22222222222Step2：直线与曲线联立：xy，得(b+ak)x+2akmx+am−ab=0；+=122ab2222Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：∵∆>0，∴m<b+ak，即222akm2bm222222−b+ak<m<b+ak，则xx12+=−222,yy12+=222；bak+bak+22akmbmstep4：代入得出结论：∴ab中点m的坐标为−,，即线段ab的中点m在过原222222b+akb+ak22点的直线bx+aky=0上。22yaa中法二：利用点差法可得（步骤同上）：k⋅=−，即yx=−，即在过原点的定直线上。2中2中xbkb中（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于a、b和c、d，并分别取ab、cd的中点m、n，连接直线mn；再作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于a1、b1和c1、d1，并分别取a1b1、c1d1的中点m1、n1，连接直线m1n1，那么直线mn和m1n1的交点o即为椭圆中心。,第87页共115页yf−中【题型3】：求当直线l恒过一定点(ef,)时，得定点弦中点轨迹：利用kab=消去kabxe−中法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。y中my中y中−fm法二：利用点差法得：×k=−，即×=−。xnxx−en中中中22y1.(高考题)设椭圆方程为:x+=1，过点m(0,1)的直线l交椭圆于点ab,，o是坐标原点，点p满足4111op=(oa+ob)，点n的坐标为(,)，当l绕点m旋转时。222求:（1）动点p的轨迹方程；（2）求pn的最值。【解析】：（1）法一：step1：设直线方程：当k存在时，设l的方程为y=kx+1；y=kx+1222step2：直线与曲线联立：y，得(4+k)x+2kx−3=0；2x+=142kx+x=−,1224+kstep3：由韦达定理写出根与系数的关系：；8y+y=.124+k21xxyy++−k41212step4：代入关系式：op=+=()oaob(,)=(,)，设点p的坐标为(x,y),2222244++kk,第88页共115页−kx=,24+k22则，消去参数k得4x+y−y=0；4y=.4+k22222当k不存在时，得p(0,0)，满足4x+y−y=0，即p点的轨迹为：4x+y−y=0。yy−1中中22法二：利用点差法可得（步骤同上）：×=−4，化简得：4x+y−y=0。xx−0中中212y−x22111222111721（2）+=1，xx≤−≤≤,.||()(np=−+−xy)=−++3(x)，当x=1116442261241641121时，|np|取最小值，最小值为;当x=−时，|np|取得最大值，最大值为。466抛物线中点弦问题。『秒杀策略』：2抛物线：①y=⇒=2.pxykp。中简答题步骤规范模板：方法一：①设直线ab的方程；②直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；③写出根与系数的关系；x+xy+y1212④利用x=,y=，把根与系数的关系代入。中中22方法二：点差法：2step1：设直线与曲线：设直线ly:=kxt+与曲线：y=2px交于两点a、b，ab中点为p(x,y)，中中则有ab,既在直线上又在曲线上，设a(x1,y1),b(x2,y2)；,第89页共115页2y11=kx+ty1=2px1⋅⋅⋅(1)step2：代入点坐标：即，；y=kx+ty2=2px⋅⋅⋅(2)22222step3：作差得出结论：（1）-（2）得：y=⇒=2.pxykp。(作为公式记住，在小题中直接用。)中同理可推出其余三类方程的中点弦结论：2②y=−⇒=2.pxyk−p。中2③x=⇒=2.pyxpk。中2④x=−2py⇒x=−p⋅k。中【题型4】：求值(求k或p)1.(2009年新课标全国卷13)已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1,0)，直线l与抛物线c相交于a,b两点，若ab的中点为(2,2)，则直线l的方程为。2【解析】：抛物线方程为：y=4x，由结论得：2×k=2，k=1，直线方程为y=x。22.(高考题)已知抛物线y=2pxp(>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=−1C.x=2D.x=−22【解析】：由结论得：2×k=p，k=1，p=2，抛物线方程为：y=4x，选B。23.(高考题)已知F是抛物线C:y=4x的焦点，AB,是C上的两个点，线段AB的中点为M(22)，，则∆ABF的面积等于。【解析】：由结论得：2×k=2，k=1，直线AB方程为y=x，A(0,0)，B(4,4)，S=2。24.(高考题)设F为抛物线C:y=4x的焦点，过点P(−1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ=2，则直线l的斜率等于。22【解析】：设l:y=k(x+1)，y=，代入直线得x=−1，代入FQ=2，得k=±1。中中2kk,第90页共115页第12讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线最值【题型1】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题『秒杀策略』：定点与椭圆上动点的距离的最值：写出定点与椭圆上动点的距离表示，利用点在椭圆上可消去x或y，然后转化为关于y或x的二次函数，利用椭圆的有界性确定最值；或设椭圆的参数方程，利用三角函数的有界,第91页共115页性去限定。※椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：min:ac−+;max:ac。222x21.(高考题)设P,Q分别为圆x+(y−6)=2和椭圆+y=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是10()A.52B.46+2C.7+2D.62【解析】：法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）2,2222x+(y−6)=−9y−12y+46,转化为二次函数，1≥y≥−1，当y=−时，取到最大值52，选3D。x=10cosθ法二：参数法，设，代入转化为关于sinθ（或cosθ）的二次函数。y=sinθ22y2.(高考题)设椭圆方程为:x+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点AB,，O是坐标原点，点P满足4111OP=(OA+OB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时。222求:（1）动点P的轨迹方程；（2）求PN的最值。【解析】：（1）法一：Step1：设直线方程：当k存在时，设l的方程为y=kx+1；y=kx+1222Step2：直线与曲线联立：y，得(4+k)x+2kx−3=0；2x+=142kx+x=−,1224+kStep3：由韦达定理写出根与系数的关系：；8y+y=.124+k21xxyy++−k41212Step4：代入关系式：OP=+=()OAOB(,)=(,)，设点P的坐标为(x,y),2222244++kk,第92页共115页−kx=,24+k22则，消去参数k得4x+y−y=0；4y=.4+k22222当k不存在时，得P(0,0)，满足4x+y−y=0，即P点的轨迹为：4x+y−y=0。yy−1中中22法二：利用点差法可得（步骤同上）：×=−4，化简得：4x+y−y=0。xx−0中中212y−x22111222111721（2）+=1，xx≤−≤≤,.||()(NP=−+−xy)=−++3(x)，当x=1116442261241641121时，|NP|取最小值，最小值为;当x=−时，|NP|取得最大值，最大值为。466【题型2】：椭圆或双曲线上的动点到一个定点与一个焦点的距离的和或差的最值问题『秒杀策略』：椭圆或双曲线上一点M与一定点P，MF+MP最大或最小，转化为椭圆(或双曲线)上点M到另一个焦'点的距离，PF,连线与椭圆(或双曲线)的交点为所求的P点。22xy1.(2009年辽宁卷)已知F是双曲线−=1的左焦点，AP(1,4),是双曲线右支上的动点，则PF+PA412的最小值为。【解析】：PF=PF1+4，(PF1+PA)min=AF1=5，即最小值为9。22y2.(2015年新课标全国卷I)已知F是双曲线Cx:1−=的右焦点，P是C左支上一点，A(0,66)，当8∆APF周长最小时，该三角形的面积为。【解析】：到右焦点的距离转化为到左焦点的距离+2a，设左焦点为F1，则有AP+PF+AF=AP+PF+15=15+PF1+PA+2a=17+PF1+PA，当A、P、F1三点共线时周长最小为32，可求得,第93页共115页()11P−2，26，则S=×6×66−×6×26=126。2222xy【高考母题】：已知点A(1,1)，而且F是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求PF+PA1195的最小值和最大值。【解析】：(PF+PA)=(2a+PA−PF)=(6±AF2)=6±2，A、F2与椭圆的两个交点为1max(min)2max(min)所求的P点。【题型3】：抛物线上的动点到定点(定直线)与焦点（或准线或y轴）的距离之和的最值问题『秒杀策略』：抛物线上的点到焦点的距离↔到准线（或y轴）的距离(转化后连线与抛物线的交点为所求的点。)。21.(2008年新课标全国卷11)已知点P在抛物线yx=4上，那么点P到点Q(2，−1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()11A.，−1B.，1C.(12)，D.(1，−2)44【解析】：点P到焦点的距离转化为到准线的距离，即点P到准线的距离与到点Q的距离之和最小，即Q到准线的距离最小，选A。22.(高考题)已知点P是抛物线yx=2上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()179A.B.3C.5D.22117【解析】：点P到准线的距离转化为到焦点的距离，即焦点与点（0，2）两点之间距离最小，+4=，42选A。23.(高考题)已知直线lxy:4−+=360和直线lx:1=−,抛物线yx=4上一动点P到直线l和直线l的距1212离之和的最小值是(),第94页共115页1137A.2B.3C.D.516【解析】：l2是抛物线的准线，点P到直线l2的距离等于点P到焦点的距离，即在抛物线上找一点到焦点的距离与到l的距离之和最小，只需过焦点向l作垂线，与抛物线的交点为所求的点，最小值为(1,0)到直线11lxy:4−+=360的距离，即最小值为2，选A。1【题型4】：抛物线上的动点到定点或定直线的距离的最值问题『秒杀策略』：设出抛物线上的点的坐标，利用距离公式表示，然后转化为二次函数的最值问题。到定直线的距离亦可以利用切线（导数）。2【高考母题1】：若抛物线xy=2的顶点是抛物线上到点Aa(0,)的距离最近的点，求a的取值范围。222x,x02x014()22【解析】：设抛物线上的点P02，PA=x0+−a=x0+1−ax0+a，只需二次24函数的对称轴：−2(1−a)≤0，a≤1。秒杀结论：当抛物线对称轴上的点P到抛物线上的点距离最近的点是顶点时，需点P到顶点的距离≤p。．．．．．．．．．．．应用：在抛物线型酒杯(轴截面是抛物线)中放入一小球，当小球的半径r≤p时，小球会落到杯底，当r>p时，小球会卡到中间。21.(高考题)对于抛物线yx=4上任意一点Q，点P(,0)a都满足PQ≥a，则a的取值范围是()A.(−∞,0)B.(−∞,2]C.[0,2]D.(0,2)22222【解析】：法一：设Q(x,y)，PQ=−+=−+=+−+()xay()4xaxx(42axa)≥a，平方得：2x+−(42)ax≥0，因为x≥0，即xa+−≥420，只需420−≥a，即a≤2，选B。或分离参数：只需2a−4≤xmin=0，即a≤2，选B。法二：同上，转化为抛物线的顶点是抛物线上到点P(a,0)的距离最近的点，即a≤2，选B。2【高考母题2】：抛物线yx=上到直线24xy−=的距离最小的点的坐标是(),第95页共115页1139A.,B.(1,1)C.,D.(2,4)242422x−x−4200【解析】：法一：设P(x0,x0)，则d=，当x0=1时最小，选B。5(2)'法二：设Px0,x0，当过点P的切线与已知直线平行时，切点为所求的点，k=y=2x0=2，x0=1，即P(1,1)，选B。21.(高考题)抛物线yx=−上的点到直线4380xy+−=距离的最小值是()478A.B.C.D.3355438xx−−2348xx2−+22【解析】：法一：设抛物线上的点P(xx,−)，到直线的距离d==，当x=时，5534最小值为，选A。3'4224法二：同上，k=y=-2x=-，x=-，p(，−)。33392.(2011年新课标全国卷20)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1−)，B点在直线y=−3上，M点满足:MB//OA，MA⋅AB=MB⋅BA，M点的轨迹为曲线C。（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。12【解析】:（1）设M(x,y)，B(x0,3)，代入向量关系得：x=x0，C的方程为：yx=−2;4'1（2）转化为关于x0的函数，利用基本不等式求最值：设点P(xy00,)，利用导数求切线斜率，k=y=x0，22212|2yx00−|得切线方程为：l:xx0−+−=22yy00x0，(或设点Px0,x0−2)，则O点到l的距离d=，4x2+4012又yx=−2，00412x+4201422∴dx==(0++4)≥2;(当且仅当x0=0时取等号，∴O点到l距离最小值为2。)。xx22++44200,第96页共115页【题型5】：弦长或面积最值问题『秒杀策略』：步骤规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：写出面积(或弦长)的几何表示(在求面积时最好选底或高其中一个为定值。)，把根与系数的关系代入。Step5：转化为某个变量的函数，根据函数的特点求最值(一般利用基本不等式或二次函数或导数求最值。)。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．秒杀公式：①在椭圆中，过焦点作互相垂直的两条弦，构成四边形的面积与两条弦长度之和的最值为：当斜率不存在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．与斜率为0时面积与长度和最大；当斜率为±1时面积与长度和最小。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②在抛物线中，过焦点作互相垂直的两条弦，构成四边形的面积与两条弦长度之和最值为：当斜率为±1时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．面积与长度和最小，无最大值。．．．．．．．．．．．．．．21.(2017年新课标全国卷I10)已知F为抛物线C:y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则AB+DE的最小值为()A.16B.14C.12D.1022224【解析】：设l1:y=k(x−1)，与抛物线联立得：kx−(2k+4)x+k=0，AB=x1+x2+p=4+2，k1221将k→−，得DE=4+4k，AB+DE=8+4k+≥16，当且仅当k=±1时取等号。2kk44416秒杀方法：设l1的倾斜角为θ，则AB+DE=+==≥16。22222sinθcosθsinθcosθsin2θ2.(2013年新课标全国卷II20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线,第97页共115页x+y−3=0交M于A,B两点，且P为AB的中点，OP的斜率为。（1）求M的方程；（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。2()b122【解析】：(1)代入右焦点c,0可得c=3，由点差法可得kOP×kAB=−2=−，得a=2b，所以椭圆a222xy的方程为：+=1。63(2)Step1：设CD方程：y=x+m；4642Step2：AB、CD方程与椭圆联立，代入弦长公式得：AB=，CD=9−m；331862Step3：转化为关于m的二次函数：S=AB⋅CD=9−m，−3<m<3；298step4：求最值：当m=0时，smax=6。3结论：平行直线系，过椭圆中心（原点）时弦长最大。22xy33.(2014年新课标全国卷i20)已知点a(0,−2)，椭圆e：+=>>1(ab0)的离心率为，F是椭22ab223圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。3（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于PQ,两点，当∆OPQ的面积最大时，求l的方程。()20−−222x2【解析】：（1）由==，得c=3，由离心率得a=2，∴椭圆E的方程为：+y=1;c−0c34（2）法一：step1：设直线方程：i.当k不存在时，不符合题意；ii.当k存在时，设l:y=kx−2；222Step2：直线与曲线联立：将直线与椭圆联立得：(1+4k)x−16kx+12=0，由∆=16(4k−3)>0，得22234k+1⋅4k−32k>，PQ=，点O到直线的距离d=；44k2+12k+1,第98页共115页2144k−32Step3：写出面积关于k的函数关系式：S=×PQ×d=，设4k−3=t，224k+14t4S∆OPQ=2=；t+44t+t47Step4：利用基本不等式求最值：则基本不等式得t+≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，即t27l:y=±x−2。221()244k−3法二：S=S−S=×OA×x−x=x−x=x+x−4xx=，同上。∆OPAOQA12121212224k+14.(2020年新高考全国卷21)已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.【解析】：（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，设，又，∴，代入①式，求得，∴椭圆的方程为.（2）法一：转化为椭圆上的点到直线AM距离的最值，由题意，可知的直线方程为，设与之平行的直线：，当与椭圆相切时，切点为所求的点N，切点到直线的距离为最大距离，直线与椭圆联立，得，，得，由题意知当时，面积最大，两条平行直线与的距离，，∴。4cosθ−43sinθ+4125法二：参数法，设N(4cosθ,23sinθ)，则d=，dmax=，同上。55,第99页共115页第13讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线定值与定点【题型1】：圆锥曲线中的定值与定点『秒杀策略』：解析几何中证明(求)直线(曲线)过定点，一般是先选择一个参数建立直线(曲线)系方程，再根据直线(曲线)系过定点时与参数没有关系，得到一个关于x,y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点为,第100页共115页所求定点；定值问题是通过已知条件(主要利用根与系数的关系)，化简为与参数没有关系的常数。简答题步骤规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：把根与系数的关系代入已知条件；Step5：如果直线中两量k,b有一定关系，则恒过定点；如果消去参数，则为定值。【秒杀公式1】：过椭圆或抛物线上一点P(x,y)作两条弦，与曲线交于A,B，PA,PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或002pbxxABk=−0与轴围成等腰三角形。)。则的斜率为定值。抛物线：，椭圆：。亦可理解为过P(x,y)200y0ay0作曲线切线斜率的相反数。方法一答题规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：利用kPA+kPB=0，把根与系数的关系代入。方法二答题规范模板：Step1：设直线PA的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：利用根与系数的关系求出点A的坐标，把点A的坐标中的k换为-k得到点B的坐标；Step4：由两点式求出AB的方程，进而求出斜率为定值。31.(2009年辽宁卷)已知椭圆C过点A(1,)，两个焦点为(−1,0)，(1,0)。2,第101页共115页（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。22xy【解析】：（1）方法一：待定系数法，由题意知，c=1，设椭圆方程为：+=1，代入点A得：221+bb2219223xy+=1，解得b=3，b=−(舍去)，所以椭圆方程为+=1。2214+bb4432235xy方法二：定义法，A到两焦点距离之和分别是、，则2a=4，c=1，椭圆方程为+=1。2243（2）方法二：3step1：设直线方程：设直线AE的方程为：ykx=−+(1)；222xy2232Step2：直线与曲线联立：代入+=1得(34+kx)+−4(32)kkx+−−=4(k)120；4323Step3：利用根与系数的关系求点E、F的坐标：设E(xE,yE)，F(xF,yF)，因为点A(1,)在椭圆上，所以224k−12k−33xE=2，yEE=+−kxk，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以−k代3+4k224k+12k−33k，可得xF=2，yEE=−++kxk；3+4k2yyk−−++(xxk)21FEFEStep4：求出直线EF的斜率：KEF===(定值)。xx−−xx2FEFE2bx3×110=秒杀方法：由k==。a2y3204×2【秒杀公式】：2①直线x=my+n与抛物线y=2px交于A、B，在x轴上存在定点P（-n,0），使PA、PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或斜率和为0或对称轴是∠APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点（n,0）。,第102页共115页2a②过椭圆焦点的直线与椭圆交于A、B，存在定点P(对应准线与焦点所在轴的交点±,0.)，使PA、PBc的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0或x轴是∠APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点焦点。方法一答题规范模板：Step1：设直线AB的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：利用kPA+kPB=0，把根与系数的关系代入。方法二答题规范模板：Step1：设直线PA的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：利用根与系数的关系求出点A的坐标，把点A的坐标中的k换为-k得到点B的坐标；Step4：由两点式求出AB的方程，进而求出恒过的定点。2x1.(2015新课标全国卷I20)在直角坐标系xOy中，曲线C:y=与直线(>0)交于M、N两4点。（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。'1【解析】：（1）y=x，交点M,N坐标为(±2a,a)，k=±a，切线方程分别为、2；22xx（2）step1：设点（抛物线特有思路）：设Mx,1,Nx,2；1424,第103页共115页22xx12−b−b44Step2：代入关系：∠OPM=∠OPN⇒k+k=0，设P(0,b)，则有+=0，化简得：MPNPxx121b(x1+x2)−=0；4xx122Step3：直线与曲线联立：直线与抛物线联立得：x−4kx−4a=0，由根与系数的关系代入得：x1x2=−4a，1b4k+=0，即b=−a，即存在点P(0,−a)，使得∠OPM=∠OPN。44a2x22.(2018年新课标全国卷I19)设椭圆C：+y=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M2的坐标为(2,0)。（1）当l与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：。12222【解析】：（1）将x=1代入椭圆方程得：+=y1，y=±，∴A(1,±)，∴k=±，∴直AM22222线AM的方程为：yx=±−(2)。2（2）证明：step1：设直线方程：当l斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当l斜率存在时，设其方程为ykx=(−1)，设AxyBxy(,11),(,22)；ykx=(−1)2222Step2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立，x2,即(2k+1)x−4kxk+−=220；2+=y12224k22k−Step3：写出根与系数的关系：∴xx+=，xx=；12212221k+21k+yyk[(2xx−++3(xx)4]121212Step4：将根与系数的关系代入：kkAM+=+=BMxx−−22(xx−−2)(2)1212224kk−412k(−+4)2121kk22++，∴kk=−，∴∠=OMA∠OMB。==0AMBM(xx−−2)(2)12,第104页共115页2a秒杀方法：±,0=(2,0)。cxy2233.(2017年新课标全国卷I20)已知椭圆C:22+=1（a>b>0），四点P1(1,1)、P2(0，1)、P3−1,、ab23P41，中恰有三点在椭圆C上。2（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点。【解析】：（1）P3,P4在椭圆上，则P1不在椭圆上，P2在椭圆上，∴b=1，代入P3，得a=2，∴椭圆2x2的方程为：+y=1。4（2）方法一：step1：设直线方程：①当斜率存在时，设直线l：y=kx+m(m≠1)；(2)22Step2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立得：1+4kx+8kmx+4m−4=0；2−8km4m−4Step3：写出根与系数的关系：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2,x1x2=2；1+4k1+4kkx+m−1kx+m−112Step4：将根与系数的关系代入：kP2A+kP2B=+=−1，xx12得：(2k+1)x1x2+(m−1)(x1+x2)=0，代入得m=−2k−1，l的方程为y=k(x−2)−1，过定点(2,−1)。t−1−t−1②当斜率不存在时，设A(s,t)，B(s,−t)，由斜率之和为-1，得+=−1，得s=2，此时l的方程ss为x=2，也过定点(2，−1)。方法二：设直线P2A的方程，与椭圆联立，可求得点A的坐标，同理可求得点B的坐标，由两点式求出AB的方程，再求定点。,第105页共115页22xy4.(2020年新高考北京卷20)已知椭圆C:1+=过点A(2,1)−−，且ab=2。22ab（1）求椭圆C的方程；||PB（2）过点B(4,0)−的直线l交椭圆C于点M、N，直线MANA,分别交直线x=−4于点PQ,，求的||BQ值。2222xy2xy【解析】：（1）椭圆方程可设为：+=1，将点A代入，得b=2，∴椭圆的方程为：+=1。224bb82（2）Step1：设直线方程：设直线MN的方程为：y=k(x+4)；(2)222Step2：直线与曲线联立：将直线MN与椭圆联立得：4k+1x+32kx+64k−8=0；2232k64k−8Step3：写出根与系数的关系：设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则有：x1+x2=−2，x1x2=2；4k+14k+1−(2k+1)(x+4)()1Step4：将根与系数的关系代入：设P−4,yP、Q(−4,yQ)，由M、A、P三点共线得：yp=，x+21−(2k+1)(x+4)2xx+6(x+x)+162()1212同理由N、A、Q三点共线得：yQ=。yP+yQ=−2k+1=0，x+2(x+2)(x+2)212PByP∴==1。BQyQ2x25.(2020年新课标全国卷I21)已知A、B分别为椭圆E：+=y1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶2a点，AGGB⋅=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点。(0，1)(−a,0)(a,0)AG=(a,1)GB=(a,−1)AGGB⋅=82【解析】：（1）G，A，B，，，由得a=9，∴椭圆2x2的方程为：+=y1。9（3）方法一：Step1：设直线方程：设直线CD方程为：x=my+n；,第106页共115页222Step2：直线与曲线联立：直线CD与椭圆联立得：(m+9)y+2mny+n−9=0，3>n>−3；2()−2mnn−9Step3：写出根与系数的关系：设Cx1,y1、D(x2,y2)，则有：y1+y2=2，y1y2=2；m+9m+9tStep4：将根与系数的关系代入：设P(6,t)，当t≠0时，由P、A、C三点共线得：y1=(x1+3)，同理由922tx2y2P、B、D三点共线得：y2=(x2−3)，消去t得：3y1(x2−3)=y2(x1+3)，由于+=1①，得39129y2=(3+x2)(3−x2)②，①×②得：27y1y2=−(x1+3)(x2+3)=−(my1+n+3)(my2+n+3)，化简得：2233(27+m)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)=0，代入得：n=-3(舍去)，n=,即过定点，0；当t=0时，2233CD的方程为y=0，亦过定点，0，即直线CD过定点，0。22t方法二：设直线PA的方程为：y=(x+3)，与椭圆联立，求出点C的坐标，同理求出点D的坐标，由两9点式求出CD的方程，再求定点。第14讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线的切线当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线开口向左或开口向右时利用∆=0解决。椭圆利用∆=0解决。,第107页共115页【题型1】：过曲线上一点作曲线的切线『秒杀策略』：22xyxxyy+=100秒杀公式：①过椭圆上一点P(x,y)作切线，则切线方程为：+=1。220022abab证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过P(x,y)的切线方程为：y−y=k(x−x)，与椭圆方程0000联立，利用∆=0。2②过抛物线y=2px上一点P(x,y)作切线，则切线方程为：yy=p(x+x)。0000证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过P(x,y)的切线方程为：y−y=k(x−x)，与抛物线方0000程联立，利用∆=0。若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程。21.(高考题)抛物线yx=上到直线24xy−=的距离最小的点的坐标是()1139A.,B.(1,1)C.,D.(2,4)242422x−x−4200【解析】：法一：设P(x0,x0)，则d=，当x0=1时最小，选B。522y+x0法二：设切点为(x0,x0)，则切线方程为：=x0x，∴k=2x0=2，即切点为(1，1)，由点到直线的2距离可求得，选B。(2)'法三：设Px0,x0，过P的切线与直线平行，切点为所求的点，k=y=2x0=2，x0=1，选B。22..(高考题)抛物线yx=−上的点到直线4380xy+−=距离的最小值是()478A.B.C.D.3355【解析】：方法同上，选A。,第108页共115页【题型2】：过曲线外一点作曲线的切线『秒杀策略』：设过P(x,y)的切线方程为：y−y=k(x−x)，与曲线方程联立，利用∆=0。0000秒杀公式：22xyxxyy+=100①过椭圆外一点P(x,y)作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：+=1。220022ababxxyyA(x,y)B(x,y)111证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为11、22，则切线PA：2+2=；abxxyyxxyyxxyy2210102020同理，切线PB：+=1；点P在两切线上，则有：+=1①，+=1②，构造222222abababxxyyxxyy0000直线l：+=1，则由①②可知点A、B均在直线l上，即直线AB的方程为+=1。2222abab2②过y=2px外一点P(x,y)作抛物线的两条切线，则两切点连线方程为：yy=p(x+x)。0000证明：同上。【题型3】：阿基米德三角形『秒杀策略』：圆锥曲线的弦AB与过弦的端点的两条切线围成的∆PAB叫做阿基米德三角形。抛物线中阿基米德三角形的性质：①当AB过焦点时，则P在准线上；PA⊥PB；PF⊥AB。证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现。）2y=2px2p方法一：设抛物线方程为：y=2px，AB方程为：x=my+，直线与曲线方程联立：p，2x=my+2222yyy得：y2−2pmy−p2=0，设A1,y，B2,y，由前面步骤可知PA：yy=px+1，同理2p12p212p22PB：yy=px+y2y1y2p−py1122p，两直线求交点可得x==−，y=+=(y1+y2)=pm，即点P2p22y122,第109页共115页pp在准线上，kPF=−m，∴PF⊥AB。kPA⋅kPB=×=−1，∴PA⊥PB。yy12p方法二：设两条切线PA、PB的交点P(x,y)，则由前面步骤可知AB方程：yy=p(x+x)，焦点F,000002p在直线上，代入得x=−，∴点P在准线上。022※当抛物线方程为x=±2py时可利用导数求切线。2②当点P在准线上时，AB过焦点，底边AB的中线平行于对称轴，且SPAB的最小值为p。证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现。）2pp设抛物线方程为：y=2px，设P−,y0，由前面步骤可知AB：y0y=px−，即过焦点。22x1+x2,y1+y2y1+y2AB的中点为，由上面步骤可知：=pm=yP，即底边AB的中线平行于对称轴。2223112221222SPAB=PFAB=p+pm×x+x+p=p1+mm(y1+y2)+2p=p(1+m)2，当m=0122222时，其面积最小为p。21.(2014年辽宁卷)已知点A(2,3)−在抛物线C：y=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()1234A.B.C.D.2343222By0,yy0)y=【解析】：可知抛物线：y=8x，设80，则切线方程为：yy0=4(x+，代入点A，得08，84则B(8，8)，kBF=。选D。3秒杀公式：阿基米德三角形：由AF⊥BF，选D。【题型4】：蒙日圆『秒杀策略』：,第110页共115页22xy过椭圆+=1外一点P(x,y)作椭圆的两条互相垂直的切线，则P点的轨迹为圆，方程为：2200ab2222x+y=a+b。00证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现。）Step1：当k存在时，设过P(x,y)的直线为y−y=k(x−x)；0000Step2：直线与椭圆联立；Step3：由韦达定理，∆=0（利用相切），得到关于k的一元二次方程；Step4：由韦达定理，k1⋅k2=−1，得x0,y0的关系，即轨迹方程。当k不存在时，P(a,b)、(-a,b)、(a,-b)、(-a,-b)亦满足。22xy51.(高考题)已知椭圆C:+=>>1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为。22ab3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点Pxy(,)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。0022xy【解析】：（1）+=1。94（2）step1：设直线方程为：当k存在时，设过P点的直线方程为：y−y=k(x−x)；00222Step2：直线与椭圆联立得：(9k+4)x+18k(−kx0+y0)x+9(−kx0+y0)−36=0；222Step3：由∆=0得：(x0−9)k−2x0y0k+y0−4=0；22y0−4222Step4：当x0≠9时，k1⋅k2=2=−1，得x0+y0=13，当k不存在时，即x0=9，亦满足。x−90,第111页共115页第15讲秒杀解析几何题型之圆锥曲线的轨迹问题【题型1】：定义法求轨迹『秒杀策略』：紧扣曲线的定义。【秒杀公式一】：一般涉及到动圆与两定圆相切问题(包括内切、外切)，利用定义求圆心轨迹，轨迹为椭圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径r。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2222【高考母题】与两圆xyxyx+=+−+=1,8120都外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上【解析】：选B。1.(2013年新课标全国卷I20)已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（1）求C的方程；（2）是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求。【解析】：（1）设圆P的半径为r，PM=r+1，PN=3−r，PM+PN=4，动点P到两定点M、N距离之和等于定值4，所以P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，a=2，c=1，C的方程为：22xy+=1(x≠−2)。43222（2）从图得半径最长时圆的方程为：(x−2)+y=4，公切线有三条：x=0,y=±x+2，与椭418圆联立，代入弦长公式得弦长分别为：23，。7【秒杀公式二】：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆。,第112页共115页21121.(高考题)已知A−,0，B是圆F:x−+y=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交22BF于P，则动点P的轨迹方程为。【解析】：AF,关于原点对称，FB=+=PBPF2，PA=PB，PA+=PF2，点P到两定点A、13F距离之和为定值2>=AF1，动点p的轨迹是以A、F为焦点，以2为2a的椭圆，即acb=1,=,=，22224y所以椭圆方程为：x+=1。3【秒杀公式三】：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线l和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线。【秒杀公式四】：已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过F且与直线l相切，则圆心M的轨迹是一条抛物线。【高考母题】点M与点F(4,0)的距离比它到直线lx:60+=的距离小2，求点M的轨迹方程。2【解析】：转化为点M到定点(4,0)的距离等于到定直线x=-4的距离，即yx=16。,第113页共115页221.(高考题)设圆C与圆xy+−=(3)1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆2()2【解析】：方法一：设圆心为(x,y)，半径为r，则有x+y−3=r+1，y=r，消去r，选A。方法二：转化为圆心到定点(0,3)的距离等于到定直线y=-1的距离，选A。【题型2】：直接发求轨迹『秒杀策略』：设动点坐标（x，y），写出动点的几何关系，转化为方程，建立x、y的关系。4【高考母题1】∆ABC两个顶点A、B的坐标分别是(−6,0,6,0)()，AC、BC所在直线的斜率之积等于−，9求顶点C的轨迹方程。22xy【解析】：+=≠1(y0)。3616【高考母题2】已知∆ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(−5,0,5,0)()，且AC，BC所在直线的斜率之积等于mm(≠0)，试探求顶点C的轨迹。【解析】：当m<0时，点C的轨迹是椭圆(m≠−1)、或者圆(m=−1)，并除去两点(−5,0,5,0)()；当m>0时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(−5,0,5,0)()。22m秒杀公式：A,B是曲线．．．mx+ny=1上关于原点对称的两点，曲线上任意一点．．．．．．．．．．．．．．．．．．P满足：．．．kPA⋅kPB=−。．n两类型考题：①求轨迹，代入关系化简，但一定要注意挖去两定点。②求定值(直接利用结论)。1.(2009年新课标全国卷20)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。,第114页共115页（1）求椭圆C的方程；、OP（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并OM说明轨迹是什么曲线。22xy【解析】：（1）a+c=7，a-c=1，得a=4，c=3，所以椭圆的方程为：+=1。16722OP29x+1122（2）设Mxy(,),x∈−[4,4]，由已知2=λ及点P在椭圆C上得22=λ，整理得：OM16(xy+)2222347(16λλ−9)xyx+16=112,∈−[4,4]，(ⅰ)当λ=时，y=±，轨迹是两条平行于x轴的线段；43223xy3(ⅱ)当λ≠时，方程变形为+=1,x∈−[4,4]，当0<<λ时，点M的轨迹为中心在原点、411211242216λλ−9163实轴在y轴上的双曲线满足−≤≤44x的部分；当<<λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴4上的椭圆满足−≤≤44x的部分，当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。【题型3】：代换法（相关点法）求轨迹『秒杀策略』：已知点的轨迹确定，所求点与已知点有相关关系，用代换法求轨迹。步骤为：Step1：设点：设所求点坐标（x，y），已知点坐标（x0，y0）；Step2：建立坐标关系：建立x、y与x0、y0的关系；Step3：代换：把已知点方程中的x0、y0代换为x、y。【题型4】：参数法求轨迹『秒杀策略』：Step1：选中间变量t作为参数；,第115页共115页x=f(t)Step2：与t建立关系：；y=g(t)Step3：消去参数t，建立x、y的关系。</m<3；298step4：求最值：当m=0时，smax=6。3结论：平行直线系，过椭圆中心（原点）时弦长最大。22xy33.(2014年新课标全国卷i20)已知点a(0,−2)，椭圆e：+=></b+ak，即222akm2bm222222−b+ak<m<b+ak，则xx12+=−222,yy12+=222；bak+bak+22akmbmstep4：代入得出结论：∴ab中点m的坐标为−,，即线段ab的中点m在过原222222b+akb+ak22点的直线bx+aky=0上。22yaa中法二：利用点差法可得（步骤同上）：k⋅=−，即yx=−，即在过原点的定直线上。2中2中xbkb中（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于a、b和c、d，并分别取ab、cd的中点m、n，连接直线mn；再作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于a1、b1和c1、d1，并分别取a1b1、c1d1的中点m1、n1，连接直线m1n1，那么直线mn和m1n1的交点o即为椭圆中心。,第87页共115页yf−中【题型3】：求当直线l恒过一定点(ef,)时，得定点弦中点轨迹：利用kab=消去kabxe−中法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。y中my中y中−fm法二：利用点差法得：×k=−，即×=−。xnxx−en中中中22y1.(高考题)设椭圆方程为:x+=1，过点m(0,1)的直线l交椭圆于点ab,，o是坐标原点，点p满足4111op=(oa+ob)，点n的坐标为(,)，当l绕点m旋转时。222求:（1）动点p的轨迹方程；（2）求pn的最值。【解析】：（1）法一：step1：设直线方程：当k存在时，设l的方程为y=kx+1；y=kx+1222step2：直线与曲线联立：y，得(4+k)x+2kx−3=0；2x+=142kx+x=−,1224+kstep3：由韦达定理写出根与系数的关系：；8y+y=.124+k21xxyy++−k41212step4：代入关系式：op=+=()oaob(,)=(,)，设点p的坐标为(x,y),2222244++kk,第88页共115页−kx=,24+k22则，消去参数k得4x+y−y=0；4y=.4+k22222当k不存在时，得p(0,0)，满足4x+y−y=0，即p点的轨迹为：4x+y−y=0。yy−1中中22法二：利用点差法可得（步骤同上）：×=−4，化简得：4x+y−y=0。xx−0中中212y−x22111222111721（2）+=1，xx≤−≤≤,.||()(np=−+−xy)=−++3(x)，当x=1116442261241641121时，|np|取最小值，最小值为;当x=−时，|np|取得最大值，最大值为。466抛物线中点弦问题。『秒杀策略』：2抛物线：①y=⇒=2.pxykp。中简答题步骤规范模板：方法一：①设直线ab的方程；②直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；③写出根与系数的关系；x+xy+y1212④利用x=,y=，把根与系数的关系代入。中中22方法二：点差法：2step1：设直线与曲线：设直线ly:=kxt+与曲线：y=2px交于两点a、b，ab中点为p(x,y)，中中则有ab,既在直线上又在曲线上，设a(x1,y1),b(x2,y2)；,第89页共115页2y11=kx+ty1=2px1⋅⋅⋅(1)step2：代入点坐标：即，；y=kx+ty2=2px⋅⋅⋅(2)22222step3：作差得出结论：（1）-（2）得：y=⇒=2.pxykp。(作为公式记住，在小题中直接用。)中同理可推出其余三类方程的中点弦结论：2②y=−⇒=2.pxyk−p。中2③x=⇒=2.pyxpk。中2④x=−2py⇒x=−p⋅k。中【题型4】：求值(求k或p)1.(2009年新课标全国卷13)已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1,0)，直线l与抛物线c相交于a,b两点，若ab的中点为(2,2)，则直线l的方程为。2【解析】：抛物线方程为：y=4x，由结论得：2×k=2，k=1，直线方程为y=x。22.(高考题)已知抛物线y=2pxp(></m<3，s=abcd=18−2m，当m=0时，smax=6。293结论：平行直线系，过椭圆中心（原点）时弦长最大。k【题型2】：求当ab为定值时，平行弦中点轨迹法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。y中mm法二：利用点差法得：×k=−，即y=−x（过原点的直线在曲线内部的部分）。xnkn中1.(高考题)（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(−2,−2)的椭圆的标准方程；22xy（2）已知椭圆c的方程是+=1(a></b<1)的左、右焦点,过点f1的直线交椭圆e于a,b两b点，若af1=3bf1,af2⊥x轴，则椭圆e的方程为。2112a2222b222【解析】：设bf1=t，则有+=2=2,t=b，af1=2b=2a−=2−b，得b=。t3tbb3a32.(2019年新课标全国卷i10)已知椭圆c的焦点为ff12()−1,0，()1,0，过f2的直线与c交于a、b两点，若af2=2f2b，ab=bf1，则c的方程为()2222222x2xyxyxya.+=y1b.+=1c.+=1d.+=12324354【解析】：法一：设bf=t，则af=2t，ab=bf=3t,利用椭圆定义得：bf+bf=4t=2a，22112a1232a22t=，则有+==，2a=3b，而c=1，选b。22aaab,第76页共115页1法二：由法一可知af=a，a为椭圆的顶点，设∠fao=θ，则sinθ=，在∆afb中，由余弦定理211a1222得cos2θ==1−2sinθ=1−，得a=3，选b。23a【题型3】：离心率与焦点弦的关系『秒杀策略』：λ−1焦点弦被焦点f分为两段af、bf,af=λbf，则有ecosθ=(θ为直线与焦点所在轴的夹角)。λ+1※圆锥曲线中简答题中已知ap=λpb(a,b为直线与曲线两交点。)条件时，规范答题模板。step1：设(或写出)直线ab的方程；step2：直线方程与曲线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程(如果p为x轴上的点，则整理成关于y的一元二次方程，反之整理成关于x的一元二次方程。)；step3：写出根与系数的关系；step4：利用ap=λpb，找x,x(或y,y)的关系，代入根与系数的关系中，消去x,x(或y,y)，建立12121212关于参数的方程。x2y21.(2014年新课标全国卷ii20)设f，f分别是椭圆c：+=></k<−2；122k−22xx=></c，所以顶角为直角与底角为直角的均存在；414pf17①如果底角为直角，pf=，pf=，=；2133pf22pf221②如果顶角为直角，rr+=6，rr+=20，rr=4,=2，=2。121212pf2双曲线中的焦点三角形。『秒杀策略』：焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个。2θ焦点三角形面积：sb=.cot(θ为焦点三角形的顶角)=cy⋅（求坐标范围或到坐标轴距离的范围时。）pff1221=rrsinθ（求rr或r+r时。）。等面积思想在解题时非常重要。121212．．．．．．．．．．．．．．22x21.(2015年新课标全国卷i5)已知m(x0,y0)是双曲线c:−y=1上的一点,f1,f2是c的两个焦点,若2mf⋅mf<0,则y的取值范围是()120333322222323a.−,b.−,c.−,d.−,336633332b3【解析】：秒杀方法：当mf⊥mf时，由等面积得：s==1=c⋅y=3⋅y⇒y=，选a。12θ3tan2,第37页共115页222.(高考题)已知f、f为双曲线c:xy−=1的左、右焦点，点p在c上，∠fpf=60°，则1212|pf||⋅=pf|()12a.2b.4c.6d.82b1π【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==3=pfpfsin⇒pfpf=4，选b。1212θ23tan222xy3.(高考题)双曲线−=1的两个焦点为ff,，点p在双曲线上，若pf⊥pf，则点p到x轴的距离1212916为.2b16【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==16=c⋅y=5⋅y⇒y=。θ5tan2224.(高考题)已知f、f为双曲线c:xy−=1的左、右焦点，点p在c上,∠fpf=60°，则p到x轴的1212距离为()36a.b.c.3d.6222b6【解析】：秒杀方法：由等面积得：s==3=c⋅y=2⋅y⇒y=，选b。θ2tan222y5.(高考题)设p为双曲线x−=1上的一点,f,f是该双曲线的两个焦点,若|pf|:|pf|3:2=则121212∆pff的面积为()12a.63b.12c.123d.24【解析】：设pf=3t，则pf=2t，由双曲线的定义得：t=2a=2，pf=6，pf=4，ff=213,1212122所以由勾股定理得∆pff为焦点直角三角形，所以s=b=12，选b。12,第38页共115页y226.(高考题)设f,f分别是双曲线x−=1的左、右焦点,若点p在双曲线上,且pfpf⋅=0,则12129pf+=pf()12a.10b.210c.5d.25【解析】：由向量中线定理得：pf+=pf2po=2c=210，选b。1222y7.(2020年新课标全国卷i11)设ff12,是双曲线cx:1−=的两个焦点，o为坐标原点，点p在c上且3||2op=，则△pff的面积为()1275a.b.3c.d.2221【解析】：由po=ff，得pf⊥pf，选b。1212222xy8.(高考题)已知双曲线c:1−=的左,右焦点分别为ff,,p为c的右支上一点,且pf=ff,则12212916∆pff的面积等于()12a.24b.36c.48d.96【解析】：pf=ff=10，由双曲线定义得：pf=16，∆pff是等腰三角形，底边上的高为6，所以212112面积为48，选c。22xy9.(2020年新课标全国卷iii11)设双曲线c：−=1（a></m时，椭圆的焦点在x轴上，要使c上存在点m满足∠=amb120，则只需a3≥=tan603，即≥3，得01<≤m；当m></k，则曲线−=1与曲线−=1的()259−k25−k9a.焦距相等b.实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离心率相等2222xyxy【解析】：−=1表示焦点在x轴上的双曲线，−=1表示焦点在x轴上的双曲线，可知焦259−k25−k9距相等，选a。2222xyxy【高考母题】：曲线+=1与曲线+=1的()25925−−kk9a.长轴长相等b.短轴长相等c.离心率相等d.焦距相等,第24页共115页22xy【解析】：当k<9时，+=1表示焦点在x轴上的椭圆，两曲线焦距相等；当25></r1−r2，内含。1.(2014年新课标全国卷ii16)设点m（x,1），若在圆o:xy22+=1上存在点n，使得∠omn=45°,则x00的取值范围是。【解析】：点m在圆的切线y=1上，当m(1,1)时，恰好存在圆上(0,1),(1,0)两个点满足，由图象m应向左移动，由对称性可得x∈[−1,1]。0xy222.(高考题)若直线+=1与圆xy+=1有公共点，则()ab22221111a.ab+≤1b.ab+≥1c.+≤1d.+≥12222ababxy1【解析】：利用圆心(0,0)到直线+=1的距离d=≤1，选d。ab11+22ab223.(高考题)已知直线axbyc++=0(abc≠0)与圆xy+=1相切，则三条边长分别为abc,,的三角形为()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不存在【解析】：选b。24.(高考题)若直线yxb=+与曲线y=34−−xx有公共点，则b的取值范围是()a.−+1,122b.122,122−+c.122,3−d.1−2,3【解析】：选c。,第10页共115页225.(高考题)若曲线c:x+y−2x=0与曲线c:y(y−mx−m)=0有四个不同的交点，则实数m的取12值范围是()33333333a.(−,)b.(−,0)(0,)c.[−,]d.−∞−,,+∞33333333【解析】：选b。26.(高考题)过点(2,0)引直线l与曲线y=1−x相交于a,b两点,o为坐标原点,当∆aob的面积取最大值时,直线l的斜率等于()333a.b.−c.±d.−333313【解析】：曲线为上半圆，s=×1×1×sin∠aob，当∠aob=90°时面积最大，k=−，选b。∆a0b23227.(高考题)与直线xy+−=20和曲线xyxy+−−+=1212540都相切的半径最小的圆的标准方程是。22【解析】：配方得：(xy−+−=6)(6)18，半径最小的圆是过已知圆圆心(6,6)向直线xy+−=20作22垂线与直线与圆有两交点，以两交点为直径的圆，即(xy−+−=2)(2)2。222228.(高考题)集合a={(,)xyx+=y4,}b={(,)(3)(xyx−+−=y4)r},其中r>
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