广东湛江市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）
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湛江市2022-2023学年度第二学期期末高中调研测试高二数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3.作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.U={0,1,2,4,6,8}MN={0,4,6,}={0,1,6}MN∪=1.设全集，集合，则U（）A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】【分析】由题意可得UN的值，然后计算MN∪U即可.【详解】由题意可得UN={2,4,8}，则MNU={0,2,4,6,8}.故选：A.2.已知ab,∈R，i是虚数单位，若a+2i与1i+b互为共轭复数，则b=（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】D【解析】【分析】由共轭复数的概念求解即可.【详解】∵a+2i与1i+b互为共轭复数，a=1∴.b=−2故选：D.π33.已知θ是第二象限角，sinθ+=，则tanθ=（）45第1页/共16页学科网（北京）股份有限公司,341A.−B.−C.−D.−7437【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可π3【详解】解：θ是第二象限角，sinθ+=，45ππ24所以cosθθ+=−−1sin+=−，445πsinθ+π43所以tanθ+==−，44πcosθ+4πtanθ+tan43tanθ+13所以=−，即=−，π41tan−θ41tantan−θ4解得tanθ=−7，故选：D4.圆台的上､下底面半径分别是rR=1,=4，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A.30πB.28πC.25πD.24π【答案】B【解析】【分析】利用圆台的体积公式即可求得该圆台的体积.【详解】圆台的上､下底面半径分别是rR=1,=4，且圆台的母线长为5，则圆台的高为225−−=(41)4，122则该圆台的体积是π(4++××=141)428π3故选：B5.已知ay=(1,2,−)，bx=(,1,2)，且(ab+−2)//2(ab)，则（）11A.x=，y=1B.x=，y=−4321C.x=2，y=−D.x=1，y=−14第2页/共16页学科网（北京）股份有限公司,【答案】B【解析】【分析】求出ab+2和2ab−的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得x，y的值.【详解】因为ay=(1,2,−)，bx=(,1,2)，所以abx+=+2(21,4,4−y)，2ab−=(2,4,2−−yx)(,1,2)=−(2x,3,2−−y2)，2144xy+−1因为(ab+−2)//2(ab)，所以==，解得：x=，y=−4，2−xy322−−2故选：B.6.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（）A.65，76，82B.66，74，82C.66，76，79D.66，76，82【答案】D【解析】【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.【详解】因为25%22×=5.5，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；7676+中位数为：=76，2因为75%2216.5×=，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.故选：D.2227.已知x++−++−=y24kxykk20表示的曲线是圆，则k的值为（）A.(6，+∞)B.[−+∞6,)C.(−∞,6)D.(−∞,6]【答案】C【解析】22【分析】方程配方后得(xk++−=−)(y26)k，根据圆的半径大于0求解.22222【详解】由方程x++−++−=y24kxykk20可得(xk++−=−)(y26)k，所以当rk=−>60时表示圆，解得k6<.故选：C.第3页/共16页学科网（北京）股份有限公司,218.已知函数fx()=x+=,()singxx，则图象为如图的函数可能是（）411A.yfxgx=+−()()B.yfxgx=−−()()44gx()C.yfxgx=()()D.y=fx()【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.12【详解】对于A，yfxgx=()+()−=+xsinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除4A；12对于B，yfxgx=()−()−=−xsinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；42121对于C，yfxgx=()()=x+sinx，则yxxx′=2sin++cosx，442πππ212当x=时，y′=×++×>0，与图象不符，排除C.4221642故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.129.（多选）对于抛物线上xy=，下列描述正确的是（）81A.开口向上，焦点为(0,2)B.开口向上，焦点为0,16C.焦点到准线的距离为4D.准线方程为y=−4【答案】AC【解析】第4页/共16页学科网（北京）股份有限公司,2【分析】写出标准形式即xy=8，即可得到相关结论122【详解】由抛物线xy=，即xy=8，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距8离为4，准线方程为y=2−．故选：AC10.下列命题是真命题的有（）A.A，B，M，N是空间四点，若BABMBN,,不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面1B.直线l的方向向量为a=(1,1,2−)，直线m的方向向量为b=2,1,−，则l与m垂直2C.直线l的方向向量为a=(0,1,1−)，平面α的法向量为n=−−(1,1,1)，则l⊥αD.平面α经过三点A(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),−BC−=n(1,,)ut是平面α的法向量，则ut+=1【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若BABMBN,,不能构成空间的一个基底，则BABMBN,,共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，ab⋅=−−=2110，故ab⊥，可得l与m垂直，B正确；对于C，an⋅=−+=0110，故an⊥，可得l在α内或l//α，C错误；对于D，AB=−(1,1,1)，易知AB⊥n，故−++=10ut，故ut+=1，D正确.故选：ABD.11.有一散点图如图所示，在5个(xy,)数据中去掉D(3,10)后，下列说法中正确的是（）A.残差平方和变小第5页/共16页学科网（北京）股份有限公司,B.相关系数r变小C.决定系数R2变小D.解释变量x与响应变量y的相关性变强【答案】AD【解析】【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．【详解】解：从散点图可分析出，若去掉D点，则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，且是正相关，所以相关系数r变大，决定系数R2变大，残差平方和变小.故选：AD12.（多选）若函数yfx=()的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称yfx=()为R函数，则下列函数可称为R函数的有（）22A.fxx()=+sinxB.fxxx()=ln3xxcosxC.fx()e=−D.fx()=x3e【答案】BD【解析】【分析】根据导数的几何意义只需判定各选项函数是否存在不同的点的导函数值相等即可.【详解】A项：因为fx′()=2x+cosx，令gx()=fx′()，则gx′()=2sin−>x0恒成立，所以fx′()在R上单调递增，不存在两点的导函数值相等，2所以fxx()=+sinx不是R函数，A错误；′B项：fx()定义域为(0,+∞)，fx()=2lnxxx+，令gx()=fx′()，所以gx′()=2lnx+3，x＞0.33令gx′()>0，则−；令gx′()<0，则−，x>e2x<e233−−x∈0,e2x∈e,2+∞当时，fx′()单调递减；当时，fx′()单调递增.3且−是fx′()的极小值点，存在两点的导函数值相等，x=e2第6页>⇒>0xln2；令hx′()<⇒<0xln2，即hx()在(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以hxgxh()=≥=′()(ln2)22ln2−>0，所以fx′()在R上单调递增，3xx不存在两点的导函数值相等，所以fx()e=−不是R函数，C错误；31xx12πD项：fx′()=−⋅−(sinxecosx⋅=−e)(sinx−cos)x=−sinx+，2xxxeee4π3cosx取x1=−，x2=π，则fxfx′′(12)=()=0，所以fx()=x是R函数，D正确.44e故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.61213.2x−的展开式中x的系数为________．x【答案】240【解析】knkk−【分析】根据二项展开式的通项T=Cabk,=0,1,2,...,n，运算求解.kn+16k1k6−kk16−−kkk62【详解】2x−的展开式的通项为：T=C(2x)−=−⋅(1)2⋅Cxk,=0,1,2,...,6k+166xx24222令k=2，则T=−⋅⋅(1)2Cxx=24036612∴2x−的展开式中x的系数为240x故答案为：240.14.有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一､二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是___________.第7页/共16页学科网（北京）股份有限公司,11【答案】0.044##250【解析】【分析】直接由全概率公式求解即可.【详解】该产品是次品的概率是40%5%60%4%×+×=0.044.故答案为：0.044.15.数列{an}中，aaa11=+=2,nn+20，若其前k项和为86，则k=________．【答案】7【解析】【分析】由题意可知{an}是以a1=2为首项，公比为−2的等比数列，由等比数列的前n项和公式求解即可.an+1【详解】由aaa11=+=2,nn+20可得：=2−，an所以{an}是以a1=2为首项，公比为−2的等比数列，k21−−(2)所以其前k项和为S==86，k12+k故1−−(2)=129，即k=7.故答案为：7xy2235516.已知双曲线C:−=>>1(ab0,0)经过点P,2，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦22ab23点到其渐近线的距离为_______．【答案】4【解析】【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，利用点到直线距离公式求解即可.35【详解】由双曲线经过点P,2，则2235222，①−=122ab第8页/共16页学科网（北京）股份有限公司,c5双曲线离心率为：e==，②a3222又abc+=，③222联立①②③解得：abc=9,=16,=25，22xy所以双曲线标准方程为：−=1916所以双曲线的一个焦点为(5,0)，一条渐近线为430xy−=，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：4530×−×d==4，2243+−()故答案为：4.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.617.已知在ABC中，cosA=，abc,,分别是角ABC,,所对的边.3（1）求tan2A；π22（2）若sin+=B，c=22，求ABC的面积.2322【答案】（1）22；（2）.3【解析】623sinA2【分析】（1）因为cosA=且AAA∈(0,),sinπ=1cos−=，可得：tanA==，代33cosA2入正切的倍角公式即可得解；22216（2）由题意可得：cosB=，所以sinBB=1cos−=，sinC=sin(AB+=)，由正弦定333cAsin理，得a==2，代入面积公式即可得解.sinC623【详解】（1）因为cosA=且AAA∈(0,),sinπ=1cos−=，33第9页/共16页学科网（北京）股份有限公司,sinA2∴tanA==cosA22tanA∴tan2A==2221tan−Aπ2222（2）由sin+=B，得cosB=，23321由B∈(0,)π，所以sinBB=1cos−=，36则sinC=sin(AB+=)sincosAB+cossinAB=，3cAsin由正弦定理，得a==2，sinC122∴ABC的面积为S=acsinB=.23【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.18.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且aaa139,,成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；111（2）数列{bn}满足ba1=−=,n，求数列{bn}的前n项和Sn.2bbnn−1n【答案】（1）ann=2；（2）Sn=.n+1【解析】2【分析】（1）设{an}的公差为d，由等比中项的性质有(22)+=+dd228()可求d，进而写出{an}的通项公式；（2）应用累加法求{bn}的通项公式，再由裂项相消法求{bn}的前n项和Sn.22【详解】（1）设数列{an}的公差为d，由a1=2，a3=aa19有：(22)+=+dd228()，解得d=2或d=0(舍去)∴ann=2.第10页/共16页学科网（北京）股份有限公司,11（2）−=2n，bbnn−1111111112∴−=2,nn−=−2(1,,)−=×22，将它们累加得：−=+−nn2.bbbbbbbbnn−1n−−1n221n111111n∴bn=2，则Sn=+++=−1=.nn+1223××nn(+1)n++1n119.如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90,AB=3,,DE分别是ACBC,上的点，且满足DE//AB.将CDE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥P−ABED.（1）设平面ABP∩平面DEP=l，证明：l⊥平面ADP；（2）若PA=5,DE=2，求直线PD与平面PEB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析3（2）3【解析】【分析】（1）由DE//AB得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到l⊥⊥DAl,DP，证明出线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.【小问1详解】DE∥ABDE,⊄平面PABAB,⊂平面PAB，∴DE//平面PAB.DE⊂平面PDE，平面PDE平面PAB=l，∴DE//l.由图①DE⊥AC，得DE⊥⊥DADE,DP，第11页/共16页学科网（北京）股份有限公司,∴⊥lDAl,⊥DP.DADP,⊂平面ADPDA,∩=DPD，∴⊥l平面ADP；【小问2详解】由题意，得DE=DP=2,DA=1.22AP==5DP+∴⊥DA,.DADP又DE⊥⊥DPDE,DA，以D为坐标原点，DADEDP,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则DEBP(0,0,0,)(0,2,0,)(1,3,0,)(0,0,2)，PD=−=−=−(0,0,2,)PE(0,2,2,)PB(1,3,2).设平面PBE的一个法向量为n=(xyz,,).nPB⋅=(xyz,,)⋅−=+−=(1,3,2)x3y2z0则n=，nPE⋅=(xyz,,)⋅(0,2,2−=−=)2y2z0令z=1，得yx=1,=−1，故n=−(1,1,1).设PD与平面PEB所成角为θ.nPD⋅(−⋅−1,1,1)(0,0,2)23∴=sinθcosnPD,====.nPD2111×++23×33∴直线PD与平面PEB所成角的正弦值为.3x20.已知函数fx()=e+ax（a∈R，e为自然对数的底数）.（1）讨论函数fx()的单调性；第12页/共16页学科网（北京）股份有限公司,（2）求函数fx()的极值的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）极小值的最大值1【解析】【分析】（1）先求函数的导数，然后再分类讨论即可；（2）由单调性可知极值，再通过研究单调性求最值.【小问1详解】xfx()的定义域为(−∞+∞,)，fx′()=e+a，当a≥0时，fx0，∴fx()在(−∞+∞,)上单调递增.当a<0时，令fx′()=0，得xa=ln(−)，当xa∈−∞(,ln(−))时，fx′()<0；当xa∈(ln(−),+∞)时，fx0，∴fx()在(−∞,ln(−a))上单调递减，在(ln(−a),+∞)上单调递增.综上，当a≥0时，fx()在(−∞+∞,)上单调递增；当a<0时，fx()在(−∞,ln(−a))上单调递减，在(ln(−a),+∞)上单调递增.【小问2详解】由（1）知当a≥0时，fx()无极值；ln(−a)当a<0时，fx()存在极小值，且极小值为fa(ln(−=))e+aaaln(−=−+)aaln(−)，无极大值.设gxxxx()=−ln，x>0，则gx′()=−lnx，令gx′()=0，得x=1，当x∈(0,1)时，gx′()>0，当x∈(1,+∞)时，gx′()<0，∴gx()在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.∴gx()的最大值为g(1)=−=1ln11.∴fx()的极小值的最大值为1.321.甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲乙对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为,若乙发球,5第13页/共16页学科网（北京）股份有限公司,1则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.3（1）求在前4球中,甲领先的概率;（2）12球过后,双方战平(6:6),已知继续对战奇数球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为X(甲,乙的得分之差),求X的分布列.19【答案】（1）75（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）分甲乙比分为4:0和3:1两种情况计算，然后再求和即可（2）12球过后至少再比5场,甲连胜率先取得11分赢得比赛,或者再比7场,这时甲乙比分为11:8,如果再比9场,甲11分的话，乙这时10分甲还需再赢一场才能获胜,所以该情况排除.继续对战5局,分别是甲发三球乙发两球,甲连赢,计算概率即可，继续对战7局,最后一球是乙发球且最后一球一定是甲赢，前6局分别是甲发四球乙发两球,甲赢4局乙赢2局,分为三种情况，乙在甲发的四球里赢了两球、乙在乙发的两球里赢了两球、乙在甲发的四球和乙发的两球中各赢了一球,计算概率即可.【小问1详解】33111甲与乙的比分是4:0的概率为×××=5533253211332116比分是3:1的概率为22××××+××××=553355337511619故前4球中,甲领先的概率P=+=257575【小问2详解】依题意,接下来由甲先发球.继续对战奇数球后,甲获得11分胜利,即甲11:6或11:8获胜,即在接下来的比赛中,甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.记比分为5:0为事件A,则223133PA()=××=535125记比分为5:2为事件B,即前6场比赛中,乙获胜两场,期间甲发球4次,乙发球两次2222432321223112321152PB()C=×××+××+×4C2C42×××C××=故甲依题553355533362535267意获胜的概率为+=125625625X的所有可能取值为3,5第14页/共16页学科网（北京）股份有限公司,5215由条件概率有,PX(3=),=PX(5=)=,故X的分布列为6767X355215P676722xy22.已知椭圆C：+=>>10(ab)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆C的一个顶22ab点，△FMF12是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，且kk+=8，证明：直线AB过定点．1222xy【答案】（1）+=184（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示kk12+=8，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.【小问1详解】由题意点M(0,2)是椭圆C的一个顶点，知b=2，因为△FMF12是等腰直角三角形，所以ab=2，即a=22，22xy所以椭圆C的标准方程为：+=1．84【小问2详解】若直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，由题意知m≠±2．y=kxm+222由xy22，得(12+k)x+4kmx+2m−=80，+=184第15页/共16页学科网（北京）股份有限公司,22由题意知∆=8(8km+−4)>0，设Axy(11,)，Bxy(22,)，2−4km28m−所以xx12+=2，xx12=2，12+k12+ky−22y−kx+−m2kx+−m21212因为kk12+=8，所以kk12+=+=+xxxx1212xx+−4km12=+−×2km(2)=+−×2km(2)2=8，xx28m−12km1所以k−=4，整理得mk=−2，m+2211故直线AB的方程为y=+−kxk2，即ykx=+−2，221所以直线AB过定点−−,2．2若直线AB的斜率不存在，设其方程为xx=0，Axy(00,)，Bxy(00,−)．yy00−−−221由题意得+=8，解得x=−，0xx00211此时直线AB的方程为x=−，显然过点−−,2．221综上，直线AB过定点−−,2．2【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用Axy(11,)，Bxy(22,)的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司</e233−−x∈0,e2x∈e,2+∞当时，fx′()单调递减；当时，fx′()单调递增.3且−是fx′()的极小值点，存在两点的导函数值相等，x=e2第6页>
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