安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷

2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列{????????????????}中，????????????????+1=2????????????????”是“{????????????????}是公比为2的等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.某质点沿直线运动，位移????????(单位：????????)与时间????????(单位：????????)之间的关系为????????(????????)=4????????2+3，则质点在????????=2时的瞬时速度为()A.19????????/????????B.16????????/????????C.11????????/????????D.8????????/????????3.若直线????????????????+????????−5=0与2????????+(3????????−1)????????−1=0垂直，则????????的值为()11A.−5B.−C.5D.554.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为()1374A.B.C.D.251055.函数????????(????????)=????????2(????????????????−????????−????????)的大致图象为()A.B.C.D.6.已知圆????????：????????2+????????2=1，直线3????????+4????????−10=0上动点????????，过点????????作圆????????的一条切线，切点为????????，则|????????????????|的最小值为()A.1B.√2C.√3D.27.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为()第1页，共18页学科网（北京）股份有限公司,A.0.4B.0.6C.0.7D.0.88.设函数????????(????????)的定义域为????????，其导函数为????????′(????????)，且满足????????(????????)>????????′(????????)+1，????????(0)=2023，则不等式????????−????????????????(????????)>????????−????????+2022(其中????????为自然对数的底数)的解集是()A.(2022,+∞)B.(−∞,2023)C.(0,2022)D.(−∞,0)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的有()A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变̂B.设有一个线性回归方程????????=3−5????????，变量????????增加1个单位时，????????平均增加5个单位C.设具有相关关系的两个变量????????，????????的相关系数为????????，则|????????|越接近于0，????????和????????之间的线性相关程度越弱D.在一个2×2列联表中，由计算得????????2的值，在????????2≥2.706的前提下，????????2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．????????????????10.已知数列�????????�是首项为1，公差为????????的等差数列，则下列判断正确的是()????????+2A.????????1=3B.若????????=1，则????????????????=????????2+2????????C.????????2可能为6D.????????1，????????2，????????3可能成等差数列11.如图，在正方体????????????????????????????????−????????1????????1????????1????????1中，点????????在线段????????1????????上运动，则下列结论正确的是()A.直线????????????????1⊥平面????????1????????1????????B.三棱锥????????−????????1????????1????????的体积为定值????????????????C.异面直线????????????????与????????1????????所成角的取值范围是[,]42√6D.直线????????1????????与平面????????1????????1????????所成角的正弦值的最大值为312.已知函数????????(????????)=2????????????????????????????????+????????2，则下列说法正确的是()A.当????????=−1时，函数????????=????????(????????)的单调增区间为(1,+∞)B.当????????=−1时，函数????????=????????(????????)的极小值为1第2页，共18页学科网（北京）股份有限公司,C.若????????(????????)在定义域内不单调，则????????∈(−∞,0)1D.若对∀????????1>????????2>0有????????(????????1)−????????(????????2)>2(????????1−????????2)成立，则????????∈(4,+∞)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有种.14.(????????+1)(2????????−1)4展开式中含有????????3项的系数为______．15.某工厂为研究某种产品的产量????????(吨)与所需某种原材料????????(吨)的相关性，在生产过程中收̂̂集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出????????关于????????的回归直线方程为????????=0.6????????+????????.据此计算出在样本(4,3)处的残差为−0.15，则表中????????的值为______.(注：残差是实际观察值与估计值之间的差)????????3456????????234????????16.设抛物线????????：????????2=2????????????????(????????>0)的焦点为????????，点????????(????????,0)，过点????????的直线交????????于????????，????????两点，直线????????????????垂直????????轴，|????????????????|=3，则|????????????????|=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)1已知等比数列{????????????????}是递增数列，????????2????????5=32,????????3+????????4=12,数列{????????????????}满足????????????????=????????．????????(????????)求数列{????????????????}的通项公式；(Ⅱ)求数列{????????????????????????}的前????????项和????????????????．18.(本小题12.0分)已知四棱锥????????−????????????????????????????????中，侧面△????????????????????????为等边三角形，底面????????????????????????????????为直角梯形，????????????????//????????????????，1∠????????????????????????=90°，????????????????=????????????????=????????????????=2，????????????????⊥????????????????．2(1)求证：平面????????????????????????⊥平面????????????????????????????????；(2)求直线????????????????与平面????????????????????????所成角的正弦值．第3页，共18页学科网（北京）股份有限公司,19.(本小题12.0分)博鳌亚洲论坛2023年会员大会于3月28日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励．(1)试确定受奖励的分数线；(2)从受奖励的90以下和[90,100]的30人中采取分层抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩在90分以上(含90分)的人数为????????，求????????的分布列与数学期望．20.(本小题12.0分)某企业为了了解年广告费????????(单位：万元)对年销售额????????(单位：万元)的影响，统计了近7年的年广告费????????????????和年销售额????????????????(????????=1,2,3,4,5,6,7)的数据，得到如表的表格：年广告费????????2345678年销售额????????25415058647889由表中数据，可判定变量????????，????????的线性相关关系较强．(1)建立????????关于????????的线性回归方程；(2)已知该企业的年利润????????与????????，????????的关系为????????=2�????????−????????，根据(1)的结果，年广告费????????约为何值时(小数点后保留一位)，年利润的预报值最大？^^^附：对于一组数据(????????1,????????1)，(????????2,????????2)，…，(????????????????,????????????????)，其回归直线????????=????????????????+????????的斜率和截距的最第4页，共18页学科网（北京）股份有限公司,̂∑????????(−)(????????−−????????)∑????????????????????????−−????????=????????=1????????????????−????????????????=????????=1????????????????−????????????????̂−̂−7小二乘估计分别为????????∑????????(−)2????????2−2，????????=????????−????????????????；参考数据：∑????????=1????????????????=405，????????=1????????????????−????????∑????????=1????????????????−????????????????∑7????????????????=2305．????????=1????????????????21.(本小题12.0分)????????2????????2如图，已知椭圆????????：????????2+2=1(????????>????????>0)的右焦点为????????2(√3,0)，上顶点为????????(0,1)，右顶点????????为????????．(1)求椭圆????????的标准方程；(2)若点????????是椭圆????????上异于????????，????????的一点，且直线????????????????、????????????????分别与????????轴和????????轴交于点????????，????????，求证：|????????????????|⋅|????????????????|为定值．22.(本小题12.0分)已知函数????????(????????)=2????????????????????????+????????????????2−????????????????．(1)当????????=1时，求函数????????(????????)在点(1,????????(1))处的切线方程；????????(2)设????????1，????????2(0<????????1<????????2)是函数????????(????????)的两个极值点，证明：????????(????????1)−????????(????????2)<4−2????????????????????????+4．第5页，共18页学科网（北京）股份有限公司,答案和解析1.【答案】????????【解析】解：当????????????????+1=2????????????????时，如????????????????=0时，{????????????????}不是等比数列，充分性不成立，当“{????????????????}是公比为2的等比数列时，????????????????+1=2????????????????成立，必要性成立．故选：????????．由已知结合等比数列的定义分别检验充分必要性即可判断．本题以充分必要性的判断为载体，考查了等比数列的判断，属于基础题．2.【答案】????????【解析】解：因为????????(????????)=4????????2+3，所以????????′(????????)=8????????，令????????=2，则????????′(????????)=8×2=16，故选：????????．求出函数的导数，然后令????????=2代入导数即可求解．本题考查了导数的运算公式以及导数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于基础题．3.【答案】????????【解析】解：直线????????1：????????????????+????????−5=0的斜率????????1=−????????，12当????????≠时，直线????????2：2????????+(3????????−1)????????−1=0的斜率为????????2=−，由于两直线垂直，33????????−11∴????????1????????2=−1，解得????????=；511若????????=3，????????1=−3，直线????????2的斜率不存在，要保证????????1⊥????????2必有????????1=0，显然不成立；1∴????????=．5故选：????????．根据两直线垂直，斜率之积等于−1求解．本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．4.【答案】????????第6页，共18页学科网（北京）股份有限公司,【解析】解：不超过12的质数为2，3，5，7，11；随机选取两个不同的数，共有????????2=10种方法，5其和为偶数的共有????????2=6种方法，463其和为偶数的概率为????????==．105故选：????????．写出不超过12的质数有哪些，再利用古典概率模型求概率即可．本颞考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．5.【答案】????????【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：∵????????(????????)=????????2(????????????????−????????−????????)，∴????????(−????????)=(−????????)2(????????−????????−????????????????)=−????????2(????????????????−????????−????????)=−????????(????????)，∴????????(????????)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除????????，????????，当????????→+∞时，????????(????????)→+∞，故排除????????故选：????????．6.【答案】????????【解析】解：圆????????：????????2+????????2=1中，圆心????????(0,0)，半径????????=1设????????(????????0,????????0)，则3????????0+4????????0−10=0，则|????????????????|=�|????????????????|2−12=�????????2+????????2−1=1�25????????2−60????????+84，00400306161当????????0=25=5时，|????????????????|????????????????????????=�36−60×+84=√48=√3．454故选：????????．首先得出切线长|????????????????|的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.【答案】????????第7页，共18页学科网（北京）股份有限公司,【解析】解：设????????表示该汽车是货车，????????表示该汽车是客车，21则????????(????????)=，????????(????????)=，33设????????表示汽车中途停车修理，则????????(????????|????????)=0.02，????????(????????|????????)=0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：2????????(????????)????????(????????|????????)3×0.02????????(????????|????????)=????????(????????)????????(????????|????????)+????????(????????)????????(????????|????????)=21=0.8．×0.02+×0.0133故选：????????．设????????表示该汽车是货车，????????表示该汽车是客车，即可得到????????(????????)，????????(????????)，设????????表示汽车中途停车修理，利用贝叶斯公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】????????????????(????????)−1【解析】解：设????????(????????)=，????????????????∵????????(????????)>????????′(????????)+1，即????????′(????????)−????????(????????)+1<0，????????′(????????)−????????(????????)+1∴????????′(????????)=<0，????????????????∴????????(????????)在????????上单调递减，又????????(0)=2023，∴不等式????????−????????−????????????????(????????)−1????????(0)−1，????????(????????)>????????+2022⇔>2022=????????(0)−1=????????????????????????0即????????(????????)>????????(0)，∴????????<0，∴原不等式的解集为(−∞,0)．故选：????????．????????(????????)−1−????????−????????设????????(????????)=，由已知结合导数可得函数的单调性，由????????????????(????????)>????????+2022可得????????(????????)>????????(0)，????????????????则答案可求．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．9.【答案】????????????????????????【解析】解：根据方差的定义可知每个数据都加上同一个常数，则平均数也增加了这个常数，方差不变，故A正确；根据回归直线的定义可知变量增加1，????????增加的量大约是−5故B错误；第8页，共18页学科网（北京）股份有限公司,相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的，相关系数|????????|越接近1，相关性越强，越接近0相关性就越弱，故C正确；独立性检验中????????2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．故选：????????????????????????．根据方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念，经过计算可以直接解题．本题考查了方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念．10.【答案】????????????????????????【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式及性质，属于中档题．利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解．【解答】????????????????????????????????解：由已知可得数列�????????�的通项公式为????????=1+(????????−1)????????，????????+2????????+2????????1当????????=1时，=1，解得????????1=3，故A正确；1+2????????????????2????????若????????=1，则????????=1+(????????−1)×1=????????，所以????????????????=????????+????????⋅2，故B错误；????????+26若????????2=6，则2=1=1+(2−1)????????，故????????=0，故C正确；2+2????????????????若????????1，????????2，????????3成等差数列，则2????????2=????????1+????????3，又????????+2????????=1+(????????−1)????????，则????????1=3,????????2=6+6????????,????????3=11+22????????，1所以12+12????????=14+22????????，解得????????=−，故????????1，????????2，????????3可能成等差数列，故D正确．5故选：????????????????????????．11.【答案】????????????????????????【解析】解：对于选项A，正方体中，∵????????1????????1⊥????????1????????1，????????1????????1⊥????????????????1，????????1????????1∩????????????????1=????????1，且????????1????????1，????????????????1⊂平面????????????????1????????1，∴????????1????????1⊥平面????????????????1????????1，????????????????1⊂平面????????????????1????????1，∴????????1????????1⊥????????????????1，同理，????????????????1⊥????????????????1，∵????????1????????1∩????????????????1=????????1，且????????1????????1，????????????????1⊂平面????????1????????1????????，第9页，共18页学科网（北京）股份有限公司,∴直线????????????????1⊥平面????????1????????1????????，????????选项正确；对于选项B，正方体中∵????????1????????//????????1????????，????????1????????⊂平面????????1????????1????????，????????1????????⊄平面????????1????????1????????，∴????????1????????//平面????????1????????1????????，∵点????????在线段????????1????????上运动，∴????????到平面????????1????????1????????的距离为定值，又△????????1????????1????????的面积是定值，∴三棱锥????????−????????1????????1????????的体积为定值，????????选项正确；对于选项C，∵????????1????????//????????1????????，∴异面直线????????????????与????????1????????所成角为直线????????????????与直线????????1????????的夹角，易知△????????????????1????????为等边三角形，当????????为????????1????????的中点时，????????????????⊥????????1????????；当????????与点????????1或????????重合时，直线????????????????与直线????????1????????的夹角为60°，故异面直线????????????????与????????1????????所成角的取值范围是[60°,90°]，????????选项错误；对于选项D，以????????为原点，????????????????为????????轴，????????????????为????????轴，????????????????1为????????轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点????????竖坐标为????????，0≤????????≤1，则????????(????????,1,????????)，????????(1,1,0)，????????1(0,1,1)，????????1(0,0,1)，所以????????����1��????????�⃗=(????????,0,????????−1),????????����1���????????�⃗=(1,1,−1)，由选项A正确：可知????????����1���????????�⃗=(1,1,−1)是平面????????1????????1????????的一个法向量，∴直线????????1????????与平面????????1????????1????????所成角的正弦值为：|�????????���1����????????�⃗⋅�????????����1���????????�⃗|1|�????????��������⃗||�????????��������⃗|=121，1????????1????????√3⋅�2(????????−)+221√6∴当????????=时，直线????????1????????与平面????????1????????1????????所成角的正弦值的最大值为，????????选项正确．23故选：????????????????????????．在选项A中，推导出????????1????????1⊥????????????????1，????????????????1⊥????????????????1，从而直线????????????????1⊥平面????????1????????1????????；在选项B中，由????????1????????//平面????????1????????1????????，得到????????到平面????????1????????1????????的距离为定值，再由△????????1????????1????????的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；第10页，共18页学科网（北京）股份有限公司,在选项C中，异面直线????????????????与????????1????????所成角转化为直线????????????????与直线????????1????????的夹角，可求取值范围；在选项D中，以????????为原点，????????????????为????????轴，????????????????为????????轴，????????????????1为????????轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．12.【答案】????????????????????????2????????2????????+2????????2【解析】解：????????′(????????)=+2????????=，????????????????2????????2−22(????????−1)(????????+1)对于????????、????????，当????????=−1时，????????′(????????)==，????????????????所以当0<????????<1时，????????′(????????)<0，????????(????????)单调递减，当????????>1时，????????′(????????)>0，????????(????????)单调递增，所以函数????????=????????(????????)的单调增区间为(1,+∞)，在????????=1有极小值????????(1)=1，故A、????????都正确；2????????2????????+2????????2对于????????，因为????????′(????????)=+2????????=，????????>0，????????????????当????????≥0时，????????′(????????)>0恒成立，函数????????(????????)在定义域内单调递增，当????????<0时，????????′(????????)符号不确定，函数????????(????????)在定义域内不单调，故C正确；对于????????，因为对∀????????1>????????2>0有????????(????????1)−????????(????????2)>2(????????1−????????2)成立，即????????(????????1)−2????????1>????????(????????2)−2????????2成立，令ℎ(????????)=????????(????????)−2????????=2????????????????????????????????+????????2−2????????(????????>0)，由题意知ℎ(????????1)>ℎ(????????2)在(0,+∞)上恒成立，即函数ℎ(????????)在(0,+∞)上为增函数，2????????2则ℎ′(????????)=+2????????−2≥0恒成立，故????????≥(−????????+????????)????????????????????????，????????212111因为−????????+????????=−(????????−)+≤，所以????????≥，故D错误．2444故选：????????????????????????．对于????????、????????，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于????????，分????????≥0和????????<0两种情况讨论即可判断；对于????????，把????????(????????1)−????????(????????2)>2(????????1−????????2)化为????????(????????1)−2????????1>????????(????????2)−2????????2，令ℎ(????????)=????????(????????)−2????????=2????????????????????????????????+????????2−2????????(????????>0)，从而问题转化为函数ℎ(????????)在(0,+∞)上为增函数，求导后得到????????≥(−????????2+????????)????????????????????????，结合二次函数即可判断．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．第11页，共18页学科网（北京）股份有限公司,13.【答案】240【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，有????????2=10种分法，5②安排4组学生分别讲4个故事，有????????4=24种情况，4则有10×24=240种分配方案；故答案为：240．根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，②安排4组学生分别讲4个故事，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14.【答案】−8【解析】解：(????????+1)(2????????−1)4=????????(2????????−1)4+(2????????−1)4，∴????????3项的系数为：????????222−????????123=−8，44故答案为：−8．利用二项式定理展开式，即可解出．本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】4.8−3+4+5+6【解析】解：????????==4.5，4−2+3+4+????????????????+9????????==，44????????+9则样本点的中心的坐标为(4.5,)，4̂̂̂????????+9????????+9代入????????=0.6????????+????????，可得????????=−0.6×4.5=−2.7．44̂????????+9∴????????关于????????的回归直线方程为????????=0.6????????+−2.7．4∵在样本(4,3)处的残差为−0.15，∴????????=4时的预测值为3.15．????????+9即3.15=0.6×4+−2.7，可得????????=4.8．4故答案为：4.8．^由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解????????，由题意求得????????=4时的预测值，结合第12页，共18页学科网（北京）股份有限公司,回归直线方程求解????????值．本题考查线性回归方程与残差的求法，考查运算求解能力，是基础题．316.【答案】2????????????????【解析】解：由题意得????????(,0)，因为直线????????????????垂直于????????轴，????????(????????,0)，准线方程为????????=−，22所以????????点的横坐标为????????，设????????(????????1,????????1)，????????(????????2,????????2)，????????3根据抛物线的定义知|????????????????|=????????1+=????????=3，解得????????=2，22则????????：????????2=4????????，则????????(1,0)，可设直线????????????????的方程为????????−1=????????????????，????????=????????????????+1联立抛物线方程有�可得????????2−4????????????????−4=0，????????2=4????????????????=16????????2+16>0，????????1????????2=−4，则(????????1????????2)2=16????????1????????2=16，1????????13则32????????2=16，解得????????2=，则|????????????????|=????????2+=+1=．22223故答案为：．2根据抛物线定义求出????????=2，再设直线????????????????的方程为????????−1=????????????????，得到韦达定理式，求出????????点横坐标，再利用抛物线定义即可求出|????????????????|的长．本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．????????12????????5=32????????1=1????????1=3217.【答案】解：(????????)由题意，设首项为????????1，公比为????????，则�23，∴�????????=2或�????????=1????????1????????+????????1????????=122????????1=1????????−1∵等比数列{????????????????}是递增数列，∴�，∴????????????????=2????????=21∴????????????????=????????−1；21????????(Ⅱ)∵????????????????=????????−1，∴????????????????????????=2????????−12第13页，共18页学科网（北京）股份有限公司,23????????∴????????????????=1+2+2+⋯+????????−1①22112????????−1????????∴2????????????????=2+2+⋯+????????−1+2????????②221111????????????????+2①−②得2????????????????=1+2+2+⋯+????????−1−2????????=2−2????????22????????+2∴????????????????=4−????????−1．2【解析】(????????)由题意，设首项为????????1，公比为????????，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；????????(Ⅱ)????????????????????????=????????−1，利用错位相减法，可求数列的和．2本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．118.【答案】解：(1)证明：四棱锥????????−????????????????????????????????中，∠????????????????????????=90°，????????????????=????????????????=????????????????=2，2则????????????????=√????????????????2+????????????????2=2√2，????????????????=�(4−2)2+22=2√2，????????????????=4，∴????????????????2+????????????????2=????????????????2，∴????????????????⊥????????????????，又????????????????⊥????????????????，且????????????????∩????????????????=????????，????????????????，????????????????⊂平面????????????????????????，∴????????????????⊥平面????????????????????????，又????????????????⊂平面????????????????????????????????，∴平面????????????????????????????????⊥平面????????????????????????，即平面????????????????????????⊥平面????????????????????????????????；(2)如图建立空间直角坐标系，则????????(0,0,0)，????????(0,2√2,0)，????????(−√2,√2,0)，????????(√2,0,√6)，所以????????????????������⃗=(0,2√2,0)，????????����????????�⃗=(−2√2,√2,−√6)，????????????????�����⃗=(√2,0,√6)，�????????�⃗⋅????????????????������⃗=2√2????????=0设平面????????????????????????的法向量为????????�⃗=(????????,????????,????????)，则�，�????????�⃗⋅????????????????�����⃗=√2????????+√6????????=0令????????=√3，则????????=−1，所以????????�⃗=(√3,0,−1)，第14页，共18页学科网（北京）股份有限公司,|�????????�⃗⋅�????????����????????�⃗|√6√6设直线????????????????与平面????????????????????????所成角为????????，则????????????????????????????????===，|�????????�⃗|⋅|�????????����????????�⃗|2×48√6所以直线????????????????与平面????????????????????????所成角的正弦值为．8【解析】(1)由题意，利用勾股定理逆定理证明????????????????⊥????????????????，由已知????????????????⊥????????????????，证明????????????????⊥平面????????????????????????，从而证明平面????????????????????????⊥平面????????????????????????????????；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．本题考查面面垂直的证明，线面角的求解，属中档题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90,100]分的人数为0.012×10×100=12；竞赛成绩在[80,90)的人数为0.02×10×100=20，∴受奖励分数线在[80,90)之间；设受奖励分数线为????????，则(90−????????)×0.02×100+0.012×10×100=30，解得：????????=81，∴受奖励分数线为81．(2)由(1)知：受奖励的30人中，分数在[90,100]分的人数为12，则分数在90分以下的人数为30−12=18；18∴从受奖励的30人中分层抽样选10人在主会场服务，其中分数在90分以下的有×10=6人，分3012数在[90,100]的有×10=4人，30∴5人中成绩在90分以上(含90分)的人数????????的可能取值为0，1，2，3，4，????????5????????061????????4????????16056464==∴????????(????????=0)=5=252=42；????????(????????=1)=525221；????????10????????10????????3????????212010????????2????????36056464????????(????????=2)=5=252=21；????????(????????=3)=5=252=21；????????10????????10????????1????????46164????????(????????=4)===；????????52524210∴????????的分布列为：????????01234151051????????4221212142151051∴数学期望为????????(????????)=0×+1×+2×+3×+4×=2．4221212142【解析】(1)根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；(2)根据分层抽样原则确定10人中，分数在90分以下和90分以上(含90分)的人数，从而得到????????所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得????????每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学第15页，共18页学科网（北京）股份有限公司,期望公式可计算得到期望值．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．−2+3+4+5+6+7+8−174057−220.【答案】解：(1)由表格数据，得????????=7=5，????????=7∑????????=1????????????????=7，∑????????=1(????????????????−????????)=(−3)2+(−2)2+(−1)2+02+12+22+32=28，̂∑7????????−−2305−7×5×405????????=1????????????????????????−7????????????????7由公式，得????????===10，72−228∑????????????????=1????????−7????????̂−̂−40555所以????????=????????−????????????????=−10×5=，77̂55故????????关于????????的线性回归方程为????????=10????????+；755(2)由(1)可得，????????=2�10????????+−????????，7551211设�10????????+=????????，则????????=????????−，7101412111211所以????????=2????????−(????????−)=−????????+2????????+，1014101411故当????????=10时，????????取得最大值，此时????????=10−≈9.2，14即年广告费????????约为9.2万元时，年利润的预报值最大．【解析】(1)根据最小二乘法公式计算即可；(2)结合(1)的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可．本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由右焦点????????2(√3,0)，上顶点????????(0,1)可得，????????=√3,????????=1，∴????????2=????????2+????????2=4，????????2即椭圆????????的标准方程为+????????2=1；4(2)证明：易知????????(2,0)，由点????????是异于????????，????????的一点，设????????(????????,????????)，则????????≠2，????????≠1；设????????(0,????????0)，????????(????????0,0)，????????0????????2????????由????????，????????，????????三点共线得????????????????????????=????????????????????????，即2=2−????????，可得????????0=，2−????????2????????????????+2????????−2∴|????????????????|=|−1|=||；2−????????????????−2????????由????????，????????，????????三点共线得????????????????������⃗//�????????????????����⃗，即????????????????0+????????−????????0=0，得????????0=1−????????，第16页，共18页学科网（北京）股份有限公司,????????+2????????−2∴|????????????????|=|2−????????0|=||．????????−12????????+2????????−2????????+2????????−2(????????+2????????)−4(????????+2????????)+4故|????????????????|⋅|????????????????|=|⋅|=||，????????−2????????−1????????????????−(????????+2????????)+2∵点????????在椭圆????????上，∴????????2+4????????2=4，????????2+4????????2+4????????????????−4(????????+2????????)+44????????????????−4(????????+2????????)+8代入即得|????????????????|⋅|????????????????|=||=||=4为定值．????????????????−(????????+2????????)+2????????????????−(????????+2????????)+2【解析】(1)根据焦点和顶点坐标即可得????????=√3,????????=1，代入可得椭圆????????的标准方程；(2)设????????(????????,????????)，利用三点共线斜率相等即可求得点????????，????????得的坐标，进而可表示出|????????????????|⋅|????????????????|的表达式，结合????????2+4????????2=4化简可得|????????????????|⋅|????????????????|=4．本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．2222.【答案】解：(1)当????????=1时，????????(????????)=2????????????????????????+????????−????????，????????′(????????)=+2????????−1(????????>0)，????????所以????????′(1)=2+2−1=3，????????(1)=0．所以函数????????(????????)在点(1,????????(1))处的切线方程为????????=3(????????−1)，即3????????−????????−3=0．22????????????????2−????????????????+2(2)证明：令????????′(????????)=+2????????????????−????????==0，????????????????即2????????????????2−????????????????+2=0有两个不等正实根????????，????????，12????????>011则�????????=????????2−16????????>0,解得????????>16.所以????????1+????????2=2，????????1????????2=????????．故????????(????????)−????????(????????)=(2????????????????????????+????????????????2−????????????????)−(2????????????????????????+????????????????2−????????????????)12111222????????=2????????????????????????1−2????????????????????????2+????????(????????1−????????2)(????????1+????????2)−????????(????????1−????????2)=2????????????????????????1−2????????????????????????2−2(????????1−????????2)1????????1????????1=2????????????????????????1−2????????????????????????????????−2[????????1−(2−????????1)]=4????????????????????????1−????????????????1+4+2????????????????????????，其中0<????????1<．14????????144−????????????????令ℎ(????????)=4????????????????????????−????????????????++2????????????????????????，0<????????<，ℎ′(????????)=−????????=，44????????????????441当0<????????<时，ℎ′(????????)>0，当<????????<时，ℎ′(????????)<0，????????????????4441所以ℎ(????????)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减，????????????????444????????????????????????故ℎ(????????)≤ℎ()=4????????????????−4++2????????????????????????=−2????????????????????????+4(????????????????4−1)<−2????????????????????????+4．????????????????444????????所以????????(????????1)−????????(????????2)<−2????????????????????????+4成立．4【解析】(1)先求导函数，再根据点斜式，即可求解．(2)先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，代入到????????(????????1)−????????(????????2)中化简，构造ℎ(????????)=4????????????????????????−第17页，共18页学科网（北京）股份有限公司,????????????????????????++2????????????????????????，求出最值，即可求证．4本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．第18页，共18页学科网（北京）股份有限公司