福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题
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龙岩市2022～2023学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数zai=+3，z=2,+∈biab(R)，则ab+=A.-1B.1C.-5D.532.已知向量a，b，满足a=3，b=4，a与b的夹角的余弦值为，则向量a在向量b上的投影向量为499A.aB.3aC.bD.b4163.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为1234A.B.C.D.55554.已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为xxx,,,,⋅⋅⋅x，经计算全班数学平均成绩x=90，且12340402∑xi=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为i=1A.20B.25C.10D.105.如图，在正方体ABCD−ABCD中，E，F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的1111是A.若E∈BD，F∈BD，则EF⊥AC1学科网（北京）股份有限公司,B.若E∈BD，F∈BD，则平面BEF⊥平面ABC111C.若E∈AC，F∈CD，则EF∥AD11D.若E∈AC，F∈CD，则EF∥平面ABC1116.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，∠=°ACB45，∠=CBD30°，∠=°ADB30，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为A.14米B.15米C.16米D.17米7.已知等边三边形ABC的边长为4，D为BC的中点，将△ADB沿AD折到△ADB，使得△BCD为等边11三边形，则直线BD与AC所成的角的余弦值为1311A.−B.0C.D.22428.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB+coscosB(AC−=)sinsinAC，a=23，则△ABC周长的取值范围是A.(63,663+)B.(333,663++)C.(333,93+)D.(63,93)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知复数z满足zi⋅−=(13)10，则A.z=10B.z的虚部为3i学科网（北京）股份有限公司,2ππC.zi−+=3cossin1D.复数z在复平面内对应的点位于第二象限4410.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则A.本地新增阳性人数最多的一天是10日B.本地新增确诊病例的极差为84C.本地新增确诊病例人数的中位数是46D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数11.已知M是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面内一点，t=+⋅+(MAMC)(MBMD)，则下列结论正确的是1A.当M为正六边形ABCDEF的中心时，t=B.t的最大值为421C.t的最小值为−D.t可以为04412.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形ABCD，再将所得的正方形绕直线BC向上旋转45°，得到正方形ABCD，则111212学科网（北京）股份有限公司,A.直线AC∥平面ABCD2112+B.D到平面ABCD的距离为22C.点A到点D的距离为32−2D.平面ABCD与平面ABCD所成的锐二面角为60°212第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213.方程xx++=230在复数范围内的根为____________.14.数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为_____________.15.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某1场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、211丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、63丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为______________.16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DB⊥AB，AB=DB=BP=PC=2.记四面体PBCD−的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当∠MAO取最大值时，四面体M−ABD体积的最大值为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分10分）在△ABC中，AC=BC=6，AB=4，AP=λλAB(01≤≤).2（1）当λ=时，用CA，CB表示CP；3（2）求CPCACB⋅+()的值学科网（北京）股份有限公司,18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC−ABC中，∠=°ABC90，AA=AB=4，BC=3.1111（1）求三棱柱ABC−ABC的侧面积；111（2）设D为AC的中点，求证：AB∥平面BCD.1119.（本题满分12分）3已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个.从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄41球或蓝球的概率是.2（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间Ω；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.20.（本题满分12分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：学科网（北京）股份有限公司,若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.（1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，222s；n，y，s，记总的样本平均数为ω，样本方差为s.证明：12122222s=+{ms12+−(xωω)+ns+−(y)}.mn（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.21.（本题满分12分）P如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PBC⊥底面ABCD.（1）若∠=°PBC90，求证：AC⊥PD；（2）若AC与平面PCD所成角为30°，求点A到直线PC的距离.22.（本题满分12分）π在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠=A，BD=CD，AD=2.45（1）若BD=b，求c；3（2）若a=22，求△ABC的面积.龙岩市2022～2023学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678学科网（北京）股份有限公司,选项ADBDCBDB2第8题简解：由cosB+coscos(BAC−=)sinsinAC得cosBcosB+−=cos(AC)sinsinAC，∵ABC++=π，∴cosB[−cos(AC++)cos(AC−=)]sinsinAC，π2cossinsinBAC=sinsinAC，∵0,<<ac，∴sina>0，sinC>0，21πabc∴cosB=，∴B=，由正弦定理得==,23sinABCsinsin323×aBsin23aCsin∴b===，c=，sinAAAsinsinsinA所以△ABC的周长为2π23sin−A323sinC333abc++=++23=+=+33sinAAsinsinAsinAAtan2π0<<a2πππaaπ∵⇒<<⇒<<⇒−<a23tan<1，2ππ62122420<−<a32∴△abc的周长为=++∈+abc（333,663+），故选b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101112选项acabcacdbd第12题简解：如图，可将正方形abcd放于两个全等正方体的公共面上，由已知可得直线ac与平面abcd1121相交，所以a错误；过d作dh∥cd，d到平面abcd的距离等价于h到平面abcd的距离，根据2211212+等积关系得vv=，由此得d到平面abcd的距离为，故b正确；连接dd、ad，在habc−−ahbc2122222rt△add中，ad=+=addd32−，故c错误；因为平面abcd>，所以此游戏不公平.8820.（本题满分12分）解：（1）估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数4502分由频率分布直方图可知流量少于300M的所占比例为30%，流量少于400M的所占比例为55%，所以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在[300,400)内，且中位数为0.50.3−300(400300)+−×=3800.550.3−（2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为1mn222sxy=∑∑(ij−+ωω)(−)mn+ij=11=1mn22=∑∑(xxxij−+−ωω)+(yyy−+−)mn+ij=11=1mmmnnn2222=∑∑(xxii−+)2(xxx−−+)(ωω)∑∑∑(x−+)(yyii−+)2(yyy−−+)(ωω)∑(y−)mn+ii=11=ijj=111==j=1mm由∑∑(xii−=x)x−=mx0，可得ii=11=mm∑∑22(xxxii−)(−=−ωω)(x)(xx−=)0ii=11=n同理可得∑20(yyyj−−=)(ω)j=11mmnn22222因此s=∑∑∑∑(xxij−+−+)(xωω)(yy−+−)(y)mn+iijj=1111===学科网（北京）股份有限公司,12222=+{ms12+−(xωω)+ns+−(y)}mn（ii）估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为20800401100×+×ω==1000M2040+由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为122222s=+{ms12+−(xωω)+ns+−(y)}mn122={2010000+−(8001000)+4040000+−(11001000)}=500006021.（本题满分12分）证明：（1）如图，连接BD，∵侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC底面ABCD=BC，∠=°PBC90，∴PB⊥底面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PB.在正方形ABCD中，AC⊥BD，PBBD=B，BD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD∴AC⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD∴AC⊥PD.（2）如图，∵AB//CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD∴A到平面PCD的距离，即为B到平面PCD的距离.过B作BM⊥PC，垂足为M由AC与平面PCD所成的角为30°，得：学科网（北京）股份有限公司,BMBM132sin30°===，∴BM=.AC3222∵侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC底面ABCD=BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC，PC⊂平面PBC∴AB⊥PC又BM⊥PC，ABBM=B∴PC⊥平面ABM，AM⊂平面ABM∴PC⊥AM∴AM的长度即为点A到PC的距离.22936∴AM=AB+BM=+=92236∴点A到PC的距离为.222.（本题满分12分）π5解：（1）在△ACD中∠=A，AD=2，CD=BD=b，由余弦定理得，4322222π2CD=AD+−AC2ADAC⋅cosA=+−2b4cosb=+−4b22b42522∴bbb=+−422，化简得2bb−92+=180，332解得b=32，或b=.255553210∴BD==×=b3210，或BD==×=b.33332210∴c==+=+ABADBD210，或c==+=+ABADBD2，210综上可得c=+210，或c=+2.2（2）在△BCD中BD=CD，设∠=∠BBCD=θ，则∠=BDCπθ−2，aCD2∵a=22，由正弦定理得=，∴CD=.sin2θθsincosθ学科网（北京）股份有限公司,3π在△ACD中，∠=ADC2θ，∠=−ACD2θ，42ADCD2cosθ由正弦定理得=，即=.sin∠ACDsinA3ππsin−2θsin443π化简得cosθθ=sin−24ππ3πππππ33πsin−=θθsin−2，∵0<<θ，∴0<−<θ，−<−<2θ.24222444ππ3ππ3ππ∴−=−θθ2或−+−=θ2θπ，解得θ=或θ=.2424412ππ当θ=时，∠=ACB，AC=BC=22，∴△ABC为等腰直角三角形，421得到△ABC的面积为S=××=22224；△ABC2ππππ2当θ=，∠ACB=−−=π，121243ac在△ABC中由正弦定理得=，sinAsin∠ACBa223∴cC=⋅=⋅=sin23sinA2221π62−∴△ABC的面积为S=×××=×2223sin26=3−3，△ABC2124综上可得△ABC的面积为4或33−.学科网（北京）股份有限公司</a2πππaaπ∵⇒<<⇒<<⇒−<a23tan<1，2ππ62122420<−<a32∴△abc的周长为=++∈+abc（333,663+），故选b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101112选项acabcacdbd第12题简解：如图，可将正方形abcd放于两个全等正方体的公共面上，由已知可得直线ac与平面abcd1121相交，所以a错误；过d作dh∥cd，d到平面abcd的距离等价于h到平面abcd的距离，根据2211212+等积关系得vv=，由此得d到平面abcd的距离为，故b正确；连接dd、ad，在habc−−ahbc2122222rt△add中，ad=+=addd32−，故c错误；因为平面abcd></ac，∴sina>
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